ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Να βρεθούν τα α και β R, ώστε η συνάρτηση 4 ημ α β 0 0 να είναι συνεχής και η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο M, Να βρείτε τα α, β,γ R, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση 3 α β γ 3 Να βρείτε τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση ( )() ημ( ) 3 4 Αν για τη συνάρτηση ισχύουν () α α m α () και α α, όπου, mr και m, α να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο 0 α 5 Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση 3 ημ ημ 0 0 π,0 π 0, 6 Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση () ημ 0 α) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο 0 β) Να βρείτε τα όρια : 0 () 3 () ημ και 0 ημ Σελίδα από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 0 7 Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R και συνεχής στο ( h) h () () Αν, να βρείτε το h 0 8 Έστω : R R συνάρτηση για την οποία ισχύει ημ + ημ + + για κάθε R Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 0 9 Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε,ψ R ικανοποιεί τη σχέση Να αποδείξετε ότι : () (0) α) η είναι συνεχής β) το 0 () (ψ) ( ψ) 0 0 α) Δίνεται η συνάρτηση : R R τέτοια, ώστε για κάθε, y R να * ισχύει y y κ y, κ R Αν η είναι συνεχής στο σημείο 0 με 0 0, να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο R για κάθε,y R, όπου κ R * και 0 0 Να αποδείξετε ότι, αν η είναι συνεχής στο σημείο 0 0, τότε η είναι συνεχής στο R β) Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύουν y κ y Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αημ β, α,β>0 έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει τον αριθμό α+β 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0, α,β>0 έχει τουλάχιστον α β μία ρίζα στο διάστημα (α, β) 3 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] με α β να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β κ α ν β ξ,κ, ν * κ ν τέτοιο, ώστε να είναι, Σελίδα από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 4 Δίνεται η συνάρτηση () ln e α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Nα λύσετε την εξίσωση ln e 5 Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α, β], α,β>0 Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε να ισχύει α α β β α β ξ 6 Έστω συνεχής συνάρτηση : R R με (003) (004) (005) 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () 0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 7 Έστω συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει κ l i m, όπου α,κ>0 Αν η γραφική παράσταση της α α διέρχεται από το σημείο α, α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα α,α 8 Να αποδείξετε ότι για κάθε α R η εξίσωση 4 6 5 3 α 7 α α α 3 0 έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα μικρότερη του 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β], όπου α, β ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ β ένα τουλάχιστον ξ α,β τέτοιο, ώστε να ισχύει = α ξ 0 Έστω συνεχής συνάρτηση στο R και - για την οποία ισχύει: 0 + 0 = 0 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα ακριβώς σημείο τομής με τον άξονα με τετμημένη 0, 0 0 Σελίδα 3 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α,β] για την οποία ισχύει: 4 α +9 β +8 4 α-3 β Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα τουλάχιστον σημείο τομής με τον άξονα με τετμημένη 0 α,β Δίνεται συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,] και σύνολο τιμών το διάστημα [-,0] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της με την ευθεία y 3 Αν οι α, β, γ είναι θετικοί αριθμοί και λ, μ, ν R με λ<μ<ν, α β γ να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μία ρίζα λ μ ν στο διάστημα (λ, μ) και μία ρίζα στο διάστημα (μ, ν) 4 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β], όπου g γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα [α, β] 5 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει (())=, R i) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών (R)=R ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 R τέτοιο, ώστε ( 0 )= 0 6 Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α, β] Αν δ 0 ξ α, β τέτοιο, γ, με γ+δ=, να αποδείξετε ότι υπάρχει ώστε να ισχύει ξ γ αδ β 7 Έστω συναρτήσεις, g ορισμένες και συνεχείς στο R με R = -, και gr, Αν υπάρχουν ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί α, β με α α, gβ β και α<β, να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 α,β 0 g για το οποίο ισχύει 0 0 8 Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα για κάθε, να είναι ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε να είναι ξ, τέτοια, ώστε Να αποδείξετε ξ Σελίδα 4 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 9 Δίνονται οι συναρτήσεις () α β και g() α β, όπου α,β R και β0 Αν υπάρχουν ρ,ρ R με (ρ) g(ρ) 0 και ρ ρ, να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής κ() λ g() 0, με κλ 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ,ρ) 30 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [α, β] με α 0 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο, ώστε να ισχύει ξ α β ξ α β α 3 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [α, β], α,β όπου γ και κ,κ,κ3 0,,κ,κ R Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ρ α,β τέτοιο, κ 3 ώστε να ισχύει ρ α κ β κ γ κ 3 κ κ κ 3 3 Έστω συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο διάστημα (α, β) Αν l im και l im α β η παίρνει ελάχιστη τιμή στο (α, β), να αποδείξετε ότι 33 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ=[0,00] για την οποία ισχύουν: η είναι - και (00)>(0)>0 Να αποδείξετε ότι ()>0 για κάθε Δ 34 Έστω συνεχής συνάρτηση : 0, R με 0 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0, τέτοιο, ώστε να είναι ξ ξ π 35 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () 4 3ημ, 0, είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3ημ 4 έχει ακριβώς μία π λύση στο διάστημα 0, Σελίδα 5 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 36 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις : R R οι οποίες για κάθε R ικανοποιούν τη σχέση () () e 37 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση : A R,όπου Α=,, για την οποία ισχύει: () () για β< -Στη συνέχεια, να βρείτε τα όρια: i) για κάθε Α,(α)>α για α> και (β)<β + () ii) (() ) + 38 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις : R R οι οποίες για κάθε R ικανοποιούν τη σχέση () 3() 4 39 α) Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα β) Αν α,β, γ, δ R και β 3 α γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 α β γ δ 0 έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα () () 40 Έστω : R R μια συνεχής συνάρτηση Αν, 0 ν ν όπου ν περιττός φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι η εξίσωση () ν 0, έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 4 Έστω συνεχής συνάρτηση :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση () ημ0 για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της β) Να βρείτε το () γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 (), έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα μικρότερη του μηδενός π π 4 Αν για κάθε, 4 4 η είναι συνεχής και ισχύει 4ημ (), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα π π, 4 4 Σελίδα 6 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 43 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο 0, με (0) = και () =, να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει μοναδικό ξ (0,) ii) υπάρχει μοναδικό 0 (0,), τέτοιο ώστε ξ, τέτοιο ώστε 3 4 5 5 5 5 4 ln e 0 3 44 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο R και - και οι μιγαδικοί αριθμοί z=(α)+αi, w=(β)+βi, όπου α, β οι ρίζες της εξίσωσης +-008=0 με α<β i) Αν z w I, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C τέμνει τον άξονα α,β σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0 ii) Αν z w R, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C τέμνει την ευθεία α,β ψ=0 σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη 0 45 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ()=α +β+γ Αν ισχύει 5α+3β+3γ=0,να δείξετε ότι η εξίσωση ()=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0, 46 Δίνεται η συνάρτηση () = - z+z z, 0 z, 0, όπου z C με z 0 i) Να δείξετε ότι αν η είναι συνεχής στο o =0, τότε ο z R * ii) Να βρείτε τα όρια: (), () iii) Αν z R *, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, τέτοιος ώστε (ξ)=0 47 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : α,β R και η εξίσωση z- α i,z C,z - β i z+ β i, που έχει πραγματική ρίζα i) Αν ισχύει () 0 για κάθε α,β, να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν είναι - ii) Αν η συνάρτηση είναι -, να δείξετε ότι η εξίσωση ()=0 έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο α,β Σελίδα 7 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ 48 Δίνεται η συνάρτηση () = ημ z α, 0 β,=0,zc, z 0 -β + γ, 0 i) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κυκλικό δίσκο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα και η είναι συνεχής στο 0 =0,να δείξετε ότι α=γ=0 και β - ii) Αν α +γ =0, z +β=0 και β+ 0, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ξ -, z 49 Δίνεται η συνάρτηση ()= e -, 0, 0 i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση iii) Να εξετάσετε τη συνάρτηση της ως προς τη συνέχεια iv) Να δείξετε ότι η εξίσωση ()=α,όπου α, πραγματική ρίζα έχει ακριβώς μια 50 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει: +ημ =ημ για κάθε R και ()>,(-)<- i) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Να δείξετε ότι ()=+ημ, R iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή iv) Αν, να βρείτε το 0 0 v) Να υπολογίσετε τα όρια της συνάρτησης στο και στο vi) Να δείξετε ότι η εξίσωση ()=α, αr, έχει ακριβώς μία πραγματική λύση vii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C - Σελίδα 8 από 9
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - Θ BOLZANO - Θ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ -+4+α+β, 0 5 Δίνεται η συνάρτηση : R R με ()= ημ + w+i, 0 συνεχής στο 0,για την οποία ισχύει i) Να δείξετε ότι α=-β=- ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (c) των εικόνων Μ του μιγαδικού αριθμού w iii) Αν Α(w ), B(w ) σημεία του (c) με w-w =4,να βρείτε το w+ w iv) Να βρείτε το v) Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα 5 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β] -ψ για την οποία ισχύει: - ψ για κάθε,ψ α,βνα αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] β) η συνάρτηση h()=()- είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β] ξ α,β τέτοιο, ώστε (ξ)=ξ γ) υπάρχει μοναδικό 53 Έστω και g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [,8] για τις οποίες ισχύει ()+(4)+(8)=3+g()+g(4)+g(8) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον,8 0 τέτοιο, ώστε ( 0 )= 0 +g( 0 ) 54 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : (,0] R με () 0 για κάθε <0 και 0Επίσης, δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z= +e i για τον οποίο ισχύει Rez+ =Re z z i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Αν = -e, να βρείτε τo όριο της συνάρτησης στο iii) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ()=α για τις διάφορες πραγματικές τιμές του α iv) Να βρείτε τα όρια: α) ημ β) 0 0 + ημ Σελίδα 9 από 9