1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila da je odjevni predmet loš, kolika je vjerojatnost da je taj odjevni predmet veličine L? b) Dokažite da je funkcija f f(x) = { 1 2 x + 1 2 za x [ 1, 1] 0 za x / [ 1, 1] funkcija gustoće vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Nacrtajte graf funkcije f, te izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable X. 2. a) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (13, 5). Izračunajte P (8 X 15) i b) Pretpostavimo da je visina studenata normalno distribuirana s očekivanjem 171.2 cm i standardnom devijacijom 5.6 cm. Ako ima 250 studenata, koliki je očekivani broj studenata koji su viši od 173 cm? 3. U cilju ispitivanja nekog svojstva pamučnih vlakana mjerena je njihova duljina. Podaci su dani u tablici: duljina u cm [0, 3 [3, 6 [6, 9 [9, 12 [12, 15 broj vlakana 10 45 61 35 9 a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječnu duljinu vlakana, standardnu devijaciju te varijancu. b) Uz razinu značajnosti α = 0.01 provjerite hipotezu o normalnoj razdiobi duljine vlakana. 4. Plivačka ekipa Mladosti podijeljena je u dvije grupe. Mjereno je vrijeme (u sekundama) koje je potrebno da preplivaju bazen duljine 100 m. Rezultati su dani u tablici: 1. grupa 54.35 55.67 55.34 53.78 57.01 56.52 54.09 2. grupa 56.41 53.99 55.56 54.72 55.12 56.73 Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da su rezultati u obje grupe jednaki? 5. a) Iz intervala [5, 10] generirano je 400 slučajnih brojeva koji su razvrstani u 5 podintervala: interval [5, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, 10] broj br. 82 74 78 82 84 Da li su frekvencije ravnomjerno rasporedene po intervalima uz razinu značajnosti α = 0.01 i α = 0.05? OKRENI!
b) U trgovini odjeće anketirali su kupce o preferiranom materijalu odjeće. Zanima ih da li postoji razlika u odabiru vrste materijala ovisno o dobi. Dobiveni rezultati su dani u tablici: vrsta materijala mladi stariji pamuk 56 43 99 viskoza 38 54 92 94 97 191 Možete li na osnovu ovih podataka zaključiti da starija populacija preferira viskozu, uz razinu značajnosti 0.025?
1. a) Voćarnica se opskrbljuje jabukama iz tri voćnjaka, i to 35% potrebne količine iz prvog, 28% iz drugog, a ostatak iz trećeg voćnjaka. 3% jabuka iz prvog voćnjaka su druge kvalitete, 4% jabuka iz drugog voćnjaka su druge kvalitete, te 2% jabuka iz trećeg voćnjaka su druge kvalitete. Ako smo ustanovili da je jabuka druge kvalitete, kolika je vjerojatnost da je iz trećeg voćnjaka? b) Dokažite da je funkcija f f(x) = { 1 8 x 1 8 za x [1, 5] 0 za x / [1, 5] funkcija gustoće vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Nacrtajte graf funkcije f, te izračunajte očekivanje i varijancu slučajne varijable X. 2. a) Vjerojatnost da strijelac pogodi cilj je 1. Ako gada 10 puta, kolika je vjerojatnost da 4 pogodi cilj barem dvaput? b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (17, 7). Izračunajte P (16 X 21) i 3. a) Nakon 30 nezavisnih mjerenja jedne veličine dobivene su vrijednosti: x = 5.73, s 2 = 0.09. Odredite 99% pouzdani interval za matematičko očekivanje uz pretpostavku da slučajna varijabla ima normalnu razdiobu. b) Statističko obilježje X ima normalnu razdiobu N (µ, 2 2 ). Koliki opseg uzorka treba uzeti da duljina 95% pouzdanog intervala bude veća od 1.4? 1. metoda 74.37 75.27 73.34 75.78 77.01 76.57 2. metoda 76.41 73.99 75.56 74.72 75.12 76.73 74.11 Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 130 osoba dobiveni su sljedeći podaci o vremenu provedenom na internetu tokom jednog dana: provedeni sati [0, 1 [1, 2 [2, 3 [3, 4 [4, 5 [5, 6 broj osoba 9 34 51 24 9 3 a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječno vrijeme provedeno na internetu, standardnu devijaciju te varijancu. b) Testirati hipotezu o normalnoj razdiobi vremena provedenog na internetu uz razinu značajnosti 0.05.
1. a) Neka su A i B dogadaji za koje je P (A) = 0.42, P (B) = 0.35 i P (A B) = 0.14. Odredite P (A + B), P (A), P (B), P (A + B), P (A B). b) Odredite konstantu a tako da funkcija f dana tablicom x i 2 1 0 1 2 2 a 1 2 1 f(x i ) 9 9 9 9 9 bude funkcija vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Izračunajte E[X] i V [X]. 2. a) Ispravnu kocku bacamo 15 puta. Odredite vjerojatnost da se 5 puta pojavio broj 2. b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (31, 9). Izračunajte P (27 X 33) i 3. a) Mjerenjem obilježja X koje ima normalnu razdiobu dobiveni su rezultati: 10, 15, 7, 11, 10, 9, 11, 8, 9, 12. Procijenite 90% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost obilježja X. b) Statističko obilježje X ima normalnu razdiobu N (µ, 3 2 ). Koliki opseg uzorka treba uzeti da duljina 99% pouzdanog intervala ne bude veća od 3.4? 1. metoda 4.37 5.27 3.34 5.78 7.01 6.57 6.52 2. metoda 6.41 3.99 5.56 4.72 5.12 6.73 4.11 5.54 Može li se uz razinu značajnosti α = 0.02 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 300 studenata dobiveni su sljedeći podaci o broju neuspješnih pokušaja u polaganju ispita iz Statistike: broj neuspješnih pokušaja 0 1 2 3 4 broj studenata 158 97 35 7 3 a) Izračunajte prosječan broj neuspješnih pokušaja, standardnu devijaciju, varijancu, koeficijent varijacije te standardnu pogrešku. b) Provjerite da li se podaci podudaraju s Poissonovom razdiobom s pouzdanošću 95%.
1. a) Neka su A i B dogadaji za koje je P (A) = 0.37, P (B) = 0.43 i P (A B) = 0.17. Odredite P (A + B), P (A), P (B), P (A + B), P (A B). b) Odredite konstantu a tako da funkcija f dana tablicom x i 7 5 3 1 1 3 1 1 a 1 1 1 f(x i ) 6 12 8 12 6 8 bude funkcija vjerojatnosti neke slučajne varijable X. Izračunajte E[X] i V [X]. 2. a) Ispravnu kocku bacamo 25 puta. Odredite vjerojatnost da se 7 puta pojavio broj 3. b) Slučajna varijabla X ima normalnu razdiobu N (25, 8). Izračunajte P (19 X 27) i 3. a) Mjerenjem obilježja X koje ima normalnu razdiobu dobiveni su rezultati: 100, 150, 75, 114, 69, 103, 95, 117, 84, 101, 97, 123, 89. Procijenite 99% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost obilježja X. b) Inženjer želi procijeniti prosječno vrijeme potrebno za sastavljanje neke elektroničke komponente. Koliki uzorak treba uzeti da bi mogao biti 90% siguran da je greška u procjeni srednjeg vremena sastavljanja manja od 1 minute? Standardna devijacija vremena sastavljanja je 1.5 minuta. 1. metoda 24.37 25.27 23.34 25.78 27.01 26.57 27.21 26.52 24.93 2. metoda 26.41 23.99 25.56 24.72 25.12 26.73 24.11 25.54 Može li se uz razinu značajnosti α = 0.1 zaključiti da obje metode daju istu točnost? 5. Anketiranjem 160 osoba dobiveni su sljedeći podaci o vremenu provedenom u gledanju TV-a tokom dana: provedeni sati [0, 1 [1, 2 [2, 3 [3, 4 [4, 5 [5, 6 broj osoba 14 39 56 29 14 8 a) Nacrtajte histogram za dobivene podatke, te izračunajte prosječno vrijeme provedeno gledajući TV, standardnu devijaciju te varijancu. b) Testirati hipotezu o normalnoj razdiobi vremena provedenog gledajući TV uz razinu značajnosti 0.01.