Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε το f( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (, ). (9 μονάδες) Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Fermat και τη γεωμετρική του ερμηνεία. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος. (6 μονάδες) α) Tο f()d είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα ' μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα '. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ. γ) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο διάστημα Δ, τότε f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. P() δ) Οι ρητές συναρτήσεις, με βαθμό του αριθμητή P() μεγαλύτερο Q() τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες. ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα. Θέμα Β z e, Δίνεται η συνάρτηση f() και z, w z (z ), ( μονάδες) Β. Αν υπάρχει το lim f () να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών z και w αν είναι w z. (8 μονάδες) z Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα
Β. Να δείξετε ότι αν z,z,z 3 μιγαδικοί που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών z που βρήκατε στο Β ερώτημα, τότε ισχύει: z z z z z z z z z 7 (9 μονάδες) 3 3 3 B3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν χωρίου που περικλείεται από τη g()= f() και τις ευθείες =- και =- (8 μονάδες) Θέμα Γ Δίνεται συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει f() f( ) * f() ά και οι μιγαδικοί z, w z f() i w f() f( )i z w z w. Γ. Να αποδείξετε ότι ισχύουν: f()-=+f(-) () ( μονάδες) Γ. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) τέτοιο ώστε f( ) f( ) ( μονάδες) Γ3. Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,) ώf( ) f( ) ( μονάδες) Γ. Η C f έχει δύο τουλάχιστον πιθανά σημεία καμπής. (6 μονάδες) Γ. Αν η πορεία που ακολουθεί ένα πλοίο δίνεται από τη γραφική παράσταση της f f() f( ) για την οποία ισχύει f() για κάθε (, ), να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του πλοίου τη χρονική στιγμή που αυτό διέρχεται από το σημείο (,f()), αν η τεταγμένη του ελαττώνεται με ρυθμό f() /s ( μονάδες) Θέμα Δ Δίνεται συνεχής συνάρτηση g: για την οποία ισχύει: g() dt ά () g(t) Δ. Να αποδείξετε ότι η g είναι - και να βρείτε τον τύπο της Δ. Να προσδιορίσετε το g (8 μονάδες) lim dt. (6 μονάδες) g (t) Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο καμπής της C το οποίο και να g προσδιορίσετε. ( μονάδες) Δ. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης g( ) (6 μονάδες) Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα
Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ:6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ:6 Α3. α) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:36 Θέμα Β Β. β) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:9 γ) Λ Σχολικό βιβλίο σελ:7 δ) Σ Σχολικό βιβλίο σελ:8 ε) Λ Σχολικό βιβλίο σελ:9 Απαντήσεις z z e (e ) z lim f () lim lim lim z e z () z (z ) (z (z ) ) lim f () lim lim lim z ( z ) () z Επομένως θα πρέπει z z z z z άρα ανήκουν σε κύκλο y με κέντρο το Κ(,) και ακτίνα ρ=. w z zz Re(z) Re(z) z Επομένως ισχύει Re(z) w δηλαδή ο w κινείται πάνω στον στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία (-,) και (,). Β. Αφού z,z,z 3σημεία του παραπάνω κύκλου θα ισχύουν: z z z i,,3 ό z z z z z z z z z 7 i i i 3 3 3 zi zz zz zz 7 z z z z z z 9 3 3 3 3 zzz 3 zzz 3 z z z3 z z z 9 z z z 36 3 3 z z z3 z z z3 z z z z z z 36 z z z 36 z z 6 ύύ z z z z z z 6 3 3 3 z 3 3 3 Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα 3
B3. Είναι e f() Επομένως g() f() ά [, ] Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με e g()d f ()d d e d e d d e e e e e d d d e e e e e 3e 3 6e 3e... Θέμα Γ Γ. f() f( ) ί f() ά ό f() f( ) f() f() f() f( ) f() fώ f() f( ) f( ) f( ) f() f( ) f( ) f () Τελικά ισχύει f() f Γ. Έστω g() f() f( ). Τότε g συνεχής στο [-,] ως πράξεις συνεχών και ισχύει g( ) f ( ) f ( ) g() f () f ( ) f ( ) f ( ) Ά ίg( )g() Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έώ g( ) f( ) f( ). Επιπλέον ισχύει f() f( ) f() f() f ( ) f() f ( ) z w zw z w zw z z w w zw zw z z w w zzzwwzww z w zwwz Re(zw) έf( ) f() ά f( ) f( ) Γ3. Η συνάρτηση f ως δύο φορές παραγωγίσιμη στο, είναι συνεχής με συνεχή πρώτη παράγωγο στα [-,] και [,]. Επομένως ικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ σε καθένα από αυτά. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα
Άρα θα υπάρχουν f() f( ) f() f() (,) (,) έ ώf( ) f( ) ( ) έ f ( ) f ( ) f () f ( ) () Γ. Εφαρμόζοντας ΘΜΤ για την f στο [-,] έχουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ f() f( ) στο (-,) ώστε f( ) () ( ) () f() f( ) (f() ) (f( ) ( )) ί έ f() f() f() f() f( ) ( ) (3) έ h() f(),, (3) ί :h() h() h( ) Δηλαδή παρουσιάζει ακρότατο για =- και =άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Fermat θα είναι h ( ) h () f ( ) f () f ( ) f () Τελικά η f() έχει τρεις τουλάχιστον ρίζες, οπότε αν εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για την f στα [-,ξ] και [ξ,] διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον ένα (, ) και τουλάχιστον ένα (,) τέτοια ώστε f( ) f( ) άρα έχει τουλάχιστον δύο υποψήφια σημεία καμπής. Γ. Αν θέσουμε f() f( ) y f() ό έ y(t) (t) Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε y (t) (t) οπότε τη χρονική στιγμή t που περνά από το (,f()) έχουμε y(t) (t) (f()) (t) (t) f() Θέμα Δ Δ. Αφού g συνεχής τότε και η θα είναι συνεχής άρα η συνάρτηση g(t) dt ά θα είναι παραγωγίσιμη. Επομένως g παραγωγίσιμη λόγω g(t) της () και g() () άρα η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και -. Από g() τη σχέση () έχουμε g ()g () g () g ()g () g () g() () g() () g() g() c (3) Όμως από () για = έχουμε g(t) ότι c=. Τελικά g() dt άρα από τη σχέση (3) προκύπτει (3) g () g() ά () Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα
Αν θέσουμε f()=y γίνεται. Επομένως είναι y y y y y g () Δ. Αν θέσουμε f() τότε f() άρα f g () γνησίως φθίνουσα. Επομένως για κάθε > ισχύει t f() f(t) f( ) f()dt f(t)dt f( )dt f() dt f(t)dtf() dtf()() f(t)dtf()( ) f() f(t)dtf() f(t)dt () () Όμως lim και lim άρα από κριτήριο παρεμβολής θα ( ) ( ) είναι Δ3. lim f (t)dt ί όg() g() ά ό ί άέ έ ά g() g() 3 g ()g() g ()g () g () g () g () g() g() μοναδική ρίζα αφού g γνησίως αύξουσα. Επίσης για g() g() ό g() και για g() g() ό g() άρα η g παρουσιάζει καμπή στο (,) Δ. g( ) g () Αν θέσουμε h() h () και h() Άρα προκύπτει ο ακόλουθος πίνακας μονοτονίας - h() + - + h() h(-)=- h()=-9 Παρατηρούμε ότι η h()= δεν είναι δυνατόν να έχει ρίζες στα (, ] [,] Όμως h [, ) [h(), lim h()) [ 9, ) και [ 9, ) άρα από Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών υπάρχει μοναδικό (λόγω μονοτονίας) (, ):h( ) Επομένως η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. Επιμέλεια Θεμάτων και Λύσεων : Νίκος Καρράς (Μαθηματικός) Σελίδα 6