ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 5-5-5 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.) Θεωρία σελ. 94 Α.) Θεωρία σελ.88 Α3.) Θεωρία σελ. 59 Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β.) Είναι z 4 z z 4 4 z z 4 z 4 4 z z zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 3zz z 4 z, αφού είναι z Άρα, οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ= Β.) α) Είναι z z 4 z z 4 z 4 z Ακριβώς όμοια θα έχουμε z 4 z Άρα θα είναι w 4 4 z z z z z z z 4 4 z z z z z w
Άρα w w w w Im( w) i Im( w) w β) Είναι w z z z z z z z z 4 Αφού όμως w θα είναι w 4 4 w 4 Β3.) z z w z z z z 4 4 z z z z z z z z z z, () () Είναι z z iz z z i 5 3 Επίσης z z iz z z i ( ) 5 3 Συνεπώς, αφού (ΒΓ) =(ΑΓ), το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ Γ.) Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: ( ) για κάθε και αφού η είναι συνεχής στο =, είναι γνησίως αύξουσα στο. Έτσι, το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα: lim ( ), lim ( ) Είναι lim ( ) lim αφού, lim lim
και lim ( ) lim lim lim DLH Άρα, το σύνολο τιμών της είναι το, Γ.) Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, θα έχει την ιδιότητα -. Έτσι, η δοσμένη εξίσωση γράφεται: 3 3 () 5 3 3 3 ( ), () 3 Αφού όμως ο αριθμός, (το σύνολο τιμών της ) η εξίσωση () θα έχει μια τουλάχιστον λύση. Η λύση αυτή είναι μοναδική, αφού η είναι -. Γ3.) Α τρόπος: Για κάθε με t 4, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε: 4 4 ( t ) (4 ) ( t ) dt (4 ) dt 4 4 4 ( t) dt (4 ) t ( t) dt (4 )(4 ) 4 ( t) dt (4 ). Β τρόπος: Θεωρώ την συνάρτηση F( ) ( t) dt, Η F είναι παραγωγίσιμη στο, με F( ) ( ) αφού η είναι συνεχής. Για κάθε > είναι < 4.
H F είναι συνεχής στο [,4 ], και παραγωγίσιμη στο (, 4). Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον,4 τέτοιο ώστε: 4 F(4 ) F( ) ( t) dt ( t) dt F 4 4 ( t ) dt. Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε: 4 ( t) dt 4 4 4 ( t) dt 4 για >. 4 Γ4.) Η είναι συνεχής στο, άρα η 4 ( t ) dt είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων. 4 ( t) dt ( t) dt 4 lim g( ) lim ( t) dt lim lim 4 (4 ) ( ). DHL Είναι lim 4 (4 ) 4 lim ( u) 4 () 4 και u lim ( ) lim ( u) () u Άρα, lim g( ) lim 4 (4 ) lim ( ) 4 g() Συνεπώς, η g είναι συνεχής στο.
Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο συναρτήσεων, άρα η g είναι συνεχής στο Από το (Γ3) έχουμε: 4 4,, ως πηλίκο συνεχών,. ( t) dt (4 ) ( t) dt (4 ) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, με: 4 4 (4 ) ( ) ( t) dt 4 (4 ) ( ) (4 ) g( ) (4 ) ( ) Όμως, 4 ( ) (4 ) (4 ) ( ). για κάθε, Άρα, g ( ) στο διάστημα,. ΘΕΜΑ Δ.Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα Δ.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c, () Για = είναι: γράφεται: () () () c c. Άρα η σχέση () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ), () Αν ( ) ( ) h, και αφού επιπλέον τότε ( ) h αφού () h() και η h είναι συνεχής στο, θα ισχύει: h( ) για κάθε. Έτσι, η σχέση () γράφεται: ( ) ( ) Αφού ( ) για κάθε, θα ισχύει ( ) ln,.. Άρα είναι για κάθε Δ.) α) ( ), και ( ) + - H είναι κυρτή στο διάστημα έχει σημείο καμπής το Σ(,)., και κοίλη στο, και
β) Η εφαπτομένη της C στο σημείο είναι: y () ()( ) y Η είναι κοίλη στο [, ], άρα θα ισχύει: ( ) ( ) για κάθε [,] Η είναι και συνεχής, συνεπώς θα έχουμε: ( ) ( ) d d ln d ln d ln d ln d d ln ln ln ln.. Δ3.) Η ( t ) είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, άρα η συνάρτηση ( t ) dt είναι παραγωγίσιμη στο. ( t ) dt Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
DLH ( t ) dt ( t ) dt lim lim ( t) dt ( t ) dt lim ( ) () Για ( ) () ( ) Άρα θα είναι: ( ) ln ( ) ( ) lim ln ( ) lim ln ( ) lim lim DLH ( ) lim ( ) αφού είναι lim lim ( ) ( ) DLH Άρα ( t ) dt ( t ) dt lim ln ( ) lim lim ln ( ) Δ4.) Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) ( ) 3 t dt ( 3) 8 3 ( t) dt Η g είναι συνεχής στο [,] ως σύνθεση και πράξεις συνεχών συναρτήσεων και ισχύει: () 8 3 ( ) g t dt
Είναι () και η είναι γνησίως αύξουσα, άρα Για κάθε ( ) () ( ) Από Δ.β έχουμε ( ) ( ) ( ) και η ( ) δεν είναι παντού μηδέν, άρα θα ισχύει: ( ) ( ) d d d 3 8 ( ) d ( ) d 3 3 3 ( ) d 8 8 3 ( ) d g() Είναι g(3) 3 t dt και ισχύει και η ( ) δεν είναι παντού μηδέν, άρα θα ισχύει: d d d 3 d d 3 3 3 d 3 d 3 d g(3) Συνεπώς ισχύει g() g(3), άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον,3 τέτοιο ώστε g. Επιμέλεια λύσεων: Γιάννης Μοσχονάς Μαθηματικός