ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστηµα = [ αβ, ], τότε το µέτρο του µιγαδικού z= + ()i έχει µέγιστη τιµή.. Η συνάρτηση () =ηµ είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της.. Αν η συνάρτηση :(,) R έχει σύνολο τιµών το U (, 4) (5,7), τότε η δεν είναι συνεχής. 4. Αν α, β R και ισχύει α + βi = ( + i), τότε α + β = 5. 5. Αν ισχύει z = z τότε ισχύει z 6. Αν η συνάρτηση :[,] R έχει σύνολο τιµών το (, 4, τότε η δεν είναι συνεχής. ] 7. Αν η συνάρτηση :[,] R έχει την ιδιότητα για κάθε (,) τότε η δεν είναι συνεχής. 8. Αν ισχύει lim () = 4 τότε lim () = lim () 9. Αν ισχύει lim () = τότε lim () =.. Αν συνεχής στο R τότε 7 ( + )d = ()d. () > ή =. ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση : R R µε την ιδιότητα ( o )() = m + () για κάθε R και m. Να αποδείξετε ότι. Η συνάρτηση αντιστρέφεται.. Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων.. () = (() ) για κάθε R αν είναι γνωστό ότι m (R) = R.
4. Αν η είναι παραγωγίσιµη να δείξετε ότι δεν έχει τοπικό ακρότατο στο =. 5. Αν η C έχει ασύµπτωτη στο + την ευθεία y = + 5m να βρείτε την ασύµπτωτη στο + της C. ΘΕΜΑ Ο ίνεται η συνάρτηση () = e +, R.. Να µελετηθεί η ως προς τη µονοτονία.. Να συγκριθούν οι αριθµοί A = e και 4 ( ) + > 5 B =. 4. Να λύσετε την ανίσωση e +, R. 4 + 4 + 4. Να λύσετε την εξίσωση e =, R. + + 5. Να βρείτε το σύνολο τιµών της. 6. Να βρείτε τις τιµές του λ R για τις οποίες η εξίσωση e λ = ( λ λ )( + ) έχει λύση στο R. ΘΕΜΑ 4 Ο ίνεται η συνάρτηση :(, + ) R η οποία είναι παραγωγίσιµη. ln Αν ισχύει '() = για κάθε (, + ) και () = να + αποδείξετε ότι:. () για κάθε (, + ).. () + ( ) = ln για κάθε (, + ).. Η εξίσωση + ln = έχει µοναδική ρίζα στο (, + ). 4. Η C έχει ένα µόνο σηµείο καµπής το M(,( )) και ισχύει ( ) + ( ) > '( ). ΘΕΜΑ 5 Ο Α.Έστω :(, + ) a R παραγωγίσιµη και κυρτή συνάρτηση στο (, + ). Αν η ευθεία ( ε ): y= + 4 είναι ασύµπτωτη της C στο +
. Να βρείτε το όριο L= lim[ (+ ) () ]. Να δείξετε ότι () ( ) < '() < ( + ) (), >.. Να βρείτε το όριο L= lim'() Β. ίνεται η συνάρτηση : R R παραγωγίσιµη στο = και () lim = k R. Να αποδείξετε ότι:. () =. '() = ΘΕΜΑ 6 Ο A. Έστω α> και µία συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο [ α, α ] και ισχύει () για κάθε [ α, α. ] Αν βγδ [,, α, α] και () = να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [ α, α] ώστε ( ξ ) = ( β) ( γ) ( δ) B. ίνεται η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιµη στο R.Αν α<β<γ και ισχύει ( α ) < ( γ ) < ( β ).Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον αγ (, ) ώστε '( ) =. Γ. Έστω ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο[ αβ, ]. Αν α<γ<δ<β και ισχύει ( γ ) < ( α ) < ( β ) < ( δ ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α, β ) ώστε ''( ) =. ΘΕΜΑ 7 Ο A. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη και συνεχής στο διάστηµα [,] και ισχύει : () = (). Να δείξετε ότι η εξίσωση: () = + () έχει µια τουλάχιστον πραγµατική ρίζα. B. ίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: < () < + για κάθε R. Α. Να δείξετε ότι η C τέµνει την ευθεία ε : y= σε ένα τουλάχιστον σηµείο µε τετµηµένη (,). Β. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση g() =, R () + e είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β. Η εξίσωση e + () = e () έχει µοναδική ρίζα στο (,). γ. Να βρείτε το ηµ +. lim ( ) ln ΘΕΜΑ 8 Ο Α. Αν η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο = [,] και για κάθε ισχύουν: () + () i) (), ii) () Nα αποδείξετε ότι: α) () = () β) () = γ) Η έχει στο δύο τουλάχιστον κρίσιµα σηµεία και µία πιθανή θέση σηµείου καµπής δ) () Β. Μια συνάρτηση είναι ορισµένη και συνεχής στο R µε ()=9 και για κάθε χ R ισχύει : () (()) =. () Να βρείτε το (5). ΘΕΜΑ 9 Ο Για κάθε R ορίζουµε τη συνάρτηση και t α+ e g() = dt, α> το µιγαδικό z= g() + i µε z + i z. Να αποδείξετε ότι : α). Η συνάρτηση g αντιστρέφεται. β). Οι εικόνες του z ανήκουν στη γραφική παράσταση της g.. Να αποδείξετε ότι : α. Re(z) Im(z) για κάθε R. β. α=
γ. < dt dt < t t + e α+ e α+ e + e ΘΕΜΑ o Α. Έστω : R R µία συνάρτηση παραγωγίσιµη στο η οποία εφάπτεται στον άξονα ' στο σηµείο (,( ) τότε συµπληρώστε τα παρακάτω ( ) =..., '( ) =... Β. Έστω :R R µία παραγωγίσιµη συνάρτηση µε '() και () για κάθε R.. Αν g :R R µία παραγωγίσιµη συνάρτηση ώστε οι γραφικές παραστάσεις των,g να έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο (,y ) να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση g() της H() = εφάπτεται στον άξονα '. (). Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων k () Φ () = e () και G() = e έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη να βρείτε: την τιµή του k και το ( ). Γ. Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιµες στο R και έχουν την ιδιότητα ( ) = g() για κάθε R να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις αυτών έχουν στο O(,) κοινή εφαπτοµένη.