5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Α. α) Ψευδής 4 3 β) Θεωρώ f, f 4, f Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο η f είναι κυρτή στο άρα δεν παρουσιάζει καμπή όμως f. Α.3 (δ) Α.4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β. Β. Εφαρμόζω Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΒΖ οπότε Από υπόθεση ΕΒ, ΓΖ, ΓΒ άρα τότε EZ,,.
Β. Το εμβαδόν του ΕΖΗΘ f 44 4 4, Β.3 f 4 4,, Η f παραγωγίζεται με f 4 4 4 f f () - + f() Η f παρουσιάζει ελάχιστο για f f 4 ) (το f ) και μέγιστο για και για (το Β.4 Αφού η f έχει ελάχιστο το και μέγιστο το 4 ισχύει f 4 για κάθε, Ισχύει. e. ύ. e e e e e 4 4e 4e 5 4e 4e δηλαδή ο αριθμός 4e δεν βρίσκεται στο σύνολο τιμών της f το οποίο είναι το,4 άρα δεν υπάρχει, τέτοιο ώστε το ΘΕΜΑ Γ. Γ. Η f ορίζεται και παραγωγίζεται στο σχήμα βλέπω ότι η f3 9. f f 4e,3 άρα είναι συνεχής στο είναι συνεχής στο,3 και ότι f f 3,3. Από το δοσμένο f Επειδή η f δεν ικανοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών στο,3,όμως είναι συνεχής συμπεραίνω ότι f f 3 f 3.. Από υπόθεση f άρα Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της ευθειών, 3 δίνεται από τον τύπο f και των Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7
Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 3. 3 f d f d 8 f f 8 f f f 3 f 8 lim ln f,ln παρ/μες κοντά στο f f 3 8 4 f f f 3 8 f 4 8 f lim ln f ή f lim f f DLH f f lim lim limf ln ln κοντά στο f ή f 3 lim f ή DLH lim f f lim lim lim f, f παρ/μες στο, f f f f στο, είναι συνεχής στο,3 άρα και στο ισχύει limf f επιπλέον f στο, άρα lim f. επειδή η f Γ. Βλέπω από το σχήμα ότι f στο,, η f είναι συνεχής στο, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. f στο,3, η f είναι συνεχής στο,3 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,3. f Οπότε παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο το και στο 3 τοπικό μέγιστο το f 3. Η f στο Η f στο είναι γνησίως φθίνουσα στο,,η f είναι συνεχής στο,., στο τοπικό ελάχιστο το f, άρα η f είναι κοίλη είναι γνησίως αύξουσα στο,3, η f είναι συνεχής στο,3. Οπότε στο παρουσιάζει καμπή και το σημείο καμπής είναι το,3 άρα η f είναι κυρτή,f,. 3
Γ.3 Επειδή η f είναι συνεχής ισχύει lim f f. Αν f lim υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. f f τότε υπάρχει το Για να μην υπάρχει το πρόσημο. lim f θα πρέπει f και η f εκατέρωθεν του να αλλάζει Αρχικά πρέπει να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδικό,3 τέτοιο ώστε Η f είναι συνεχής στο,3 f f 3 f. άρα f f 3 οπότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον,3 τέτοιο ώστε,3 άρα η ρίζα είναι μοναδική. f. Επιπλέον η f είναι γνησίως αύξουσα στο Για τα,,3 με f f δηλαδή f στο, f. ύ. με 3 f f δηλαδή f στο,,3 f. ύ.,3. Άρα η f μηδενίζεται μόνο για και εκατέρωθεν αυτού αλλάζει πρόσημο. Επομένως lim f, ενώ lim f, άρα δεν υπάρχει lim f. Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 4
Γ.4 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 O 3 - ΘΕΜΑ Δ Δ. f 3 3, Η f είναι συνεχής στο, ως πολυωνυμική 3 lim f lim 3 f άρα η f είναι συνεχής στο. Άρα τελικά είναι συνεχής στο,. Η f παραγωγίζεται στο, ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων, άρα ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής. Δ. Αφού η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της είναι συνεχής στο οπότε ισχύει lim f lim f f () () lim f lim α α α 3 5
Δ.3 Για α 3 3 f 3 3, Για, η f παραγωγίζεται ως πηλίκο με g f Παρατηρώ ότι g. στο, g συν συν αφού στο, και στο, με g ημ συν Επιπλέον η g είναι συνεχής στο, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε για τα,, τότε g. ύ. με g g δηλαδή g f στο, Η f συνεχής στο, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Για η f παραγωγίζεται με f 3 6 3 f 3 Άρα f στο, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο,. f στο, οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, g στο, Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 6
f () - - + f() Τ.Μ. Δ.4 Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 3 f d f d f d f d 3 d 4 3 6 f d f d 8 4 f d 4 4 Τότε η προς απόδειξη σχέση 3 f d γίνεται 3 f d Η f είναι συνεχής στο, άρα λόγω Θεωρ. Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής έχει μέγιστο και ελάχιστο. Επειδή είναι γνησίως φθίνουσα στο, μέγιστο το f 3 3, άρα f έχει ελάχιστο το f και άρα ισχύει f 3 για κάθε για κάθε, και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα - η f δεν είναι παντού επομένως ισχύει f d f d d f d f d () 7
3 f Επίσης για κάθε, και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα - δεν είναι παντού ισχύει 3 f d 3d f d 3 f d 3 f d () 3 (), () f d Δ.5 ος τρόπος: Ισχύει δηλαδή, e e e e e e. ύ. ή e e άρα h f f e Θέτω ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. e, h f f 3 h f f διότι: e βρίσκω το πρόσημο της διαφοράς που είναι ορισμένη και συνεχής στο, e e e e e Άρα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, e e άρα f f f f e e Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 8
επομένως ισχύει h h άρα λόγω Θεωρήματος Bolzano υπάρχει μία τουλάχιστον λύση στο h f f e (), τέτοιο ώστε Έστω ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα, τέτοιο ώστε h f f e () Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7 f f e, η f είναι γνησίως φθίνουσα άρα - στο, οπότε e e f f e και επειδή η f είναι - e e Δηλαδή υπάρχουν λύσεις της φθίνουσα άρα -, ( ος τρόπος: e Αδύνατο διότι η g e στο ) Ισχύει δηλαδή, e e e e e e. ύ. ή e e άρα e, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε και - g e είναι γνησίως f f e f f f f e e e e Άρα αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση Θέτω g e που είναι συνεχής στο, e έχει μοναδική λύση στο, 9
g e g g e g e e e άρα ισχύει για την g το Θεώρ. Bolzano στο ρίζα στο,. Επειδή,, επομένως η g e είναι γνησίως φθίνουσα g e στο ) άρα -, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. ( g έχει μία τουλάχιστον Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής 5/9/7