SECTION 6 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 6. Ορισµοί Συναρτήσεις Γενικά, µε τον όρο συνάρτηση εννοούµε µια απεικόνιση αντιστοίχιση σύµφωνα µε έναν κανόνα) από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο στοιχείο του R. Τα D και R ονοµάζονται πεδίο ορισµού και πεδίο τιµών αντίστοιχα και αποτελούν αναπόσπαστο µέρος του ορισµού της συνάρτησης. Συνήθως τα D και R είναι σύνολα αριθµών π.χ. ένα ευθύγραµµο τµήµα ή ένα δισδιάστατο χωρίο). Μια συνάρτηση αποδίδεται µε το συµβολισµό : X Y ή απλούστερα ), όπου η ανεξάρτητη µεταβλητή µπορεί να περιστάνει µία ή περισσότερες πραγµατικές ή µιγαδικές µεταβλητές µε την αντίστοιχη τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής. Η τιµή απεικονίζεται µονοσήµαντα στην τιµή. Όρια Μια συνάρτηση ) µιας ανεξάρτητης µεταβλητής έχει όριο το L ή τείνει στο L) όταν το τείνει στο 0, αν για οποιοδήποτε θετικό αριθµό ε υπάρχει ένας θετικός αριθµός δ τέτοιος ώστε η 0 < 0 < δ να έπεται την ) L < ε. Γενικά, το όριο συµβολίζεται µε lim ) L. 0 Ο ορισµός ισχύει και για 0 + ή, εφόσον για οποιοδήποτε θετικό αριθµό ε υπάρχει αριθµός Μ τέτοιος ώστε η > M να έπεται την ) L < ε. Μια συνάρτηση ) τείνει στο + στο ) όταν το τείνει στο 0, αν για οποιοδήποτε θετικό αρνητικό) αριθµό Μ υπάρχει αριθµός δ τέτοιος ώστε η 0 < 0 < δ να έπεται την ) > M ) < M). Ιδιότητες των ορίων lim[ ) + g )] lim ) + lim g ) 0 0 0 lim[ a )] a lim ) 0 0 lim[ ) g )] lim )lim g ) 0 0 0 lim 0 lim ) ) 0 [lim g ) 0] g ) lim g ) 0 0
SECTION Αξιοσηµείωτα όρια ) + / lim + lim ) e. 788 lim c l c lim 0 0 a a a lim l lim l lim e 0 [ a> 0] 0 lim si lim ta lim sih lim tah 0 0 0 0 Απροσδιόριστες µορφές Ο υπολογισµός ορίων οδηγεί µερικές φορές σε εκφράσεις χωρίς σαφή σηµασία, όπως οι 0/0, /, 0, 0 0, 0,,. Μια τέτοια έκφραση µπορεί να αναχθεί στην 0/0 µε διαίρεση ή λογαρίθµιση) και να υπολογιστεί µε τον ακόλουθο κανόνα του L Hôpital: Έστω ότι οι συναρτήσεις ) και g) είναι παραγωγίσιµες σ ένα ανοικτό διάστηµα a, b) που περιλαµβάνει το 0 και ότι 0 ) g 0 ) 0, αλλά g') 0 σε κάθε σηµείο του a, b) εκτός ίσως από το 0. Τότε lim ) lim ) g ) g ) 0 0 µε την προϋπόθεση ότι το όριο στο δεξιό µέλος υπάρχει. Το ίδιο ισχύει αν το 0 είναι + ή. Παράγωγος Αν ), η παράγωγος της ή της ) ως προς στο σηµείο, ) ορίζεται µε τη σχέση + h + lim ) ) lim ) ) 0 h 0 ) όπου h. Η παράγωγος συµβολίζεται ακόµα µε '), / ή /. Η παράγωγος µιας συνάρτησης ) σε ένα σηµείο 0 ισούται µε την εφαπτόµενη της γωνίας φ που σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στο σηµείο αυτό µε τον άξονα, δηλαδή ' taφ. 0 Σχ. 6-
SECTION 3 Από την ιδιότητα αυτή αλλά και τον ορισµό είναι φανερό ότι η ' εκφράζει ουσιαστικά το ρυθµό µεταβολής της στο σηµείο 0. 6. Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης Στους παρακάτω τύπους α) u, υ, w είναι συναρτήσεις του, β) c, είναι σταθερές, γ) e.788 είναι η βάση των φυσικών λογαρίθµων, δ) lu είναι ο φυσικός λογάριθµος του u όπου δεχόµαστε u > 0) και όλες οι γωνίες είναι σε ακτίνια. c 0 c) c [ ακέραιος ή πραγµατικός] u ± ± w ± ) u ± ± w ± cu ) c u u ) u + u uw ) u w + uw +w u ) u u / ) u / ) u u u / ) u u u [παράγωγος σύνθετης συνάρτησης] / u [παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης]
4 SECTION / t / t F/ F/ [αν η συνάρτηση δίνεται σε παραµετρική µορφή t), t)] [αν η συνάρτηση ) δίνεται σε πλεγµένη µορφή F, ) 0] u e l u e l u l u) u u + u lu εύτερη παράγωγος Τρίτη παράγωγος Παράγωγος τάξης ) 3 3 ) ) ) ) a a a a ) + ) 6.3 Παράγωγοι Στοιχειωδών Συναρτήσεων Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις si cos cos si ta cos cot si a ) si si + p ) cos cos + p si p si p
SECTION 5 cos [ 0 cos ] ta < ta < + cot [ 0 < cot < ] + [si, cos, ta, cot παριστάνουν τους πρωτεύοντες κλαδους.] Εκθετικές και λογαριθµικές συναρτήσεις e log e c c c l c logc e c 0, l l ) )! Υπερβολικές συναρτήσεις sih cosh cosh sih tah cosh coth sih sih +
6 SECTION cosh cosh > 0, > cosh < 0, > tah < coth > 6.4 Μερικές Παράγωγοι Αν, ) είναι µια συνάρτηση ανεξάρτητων µεταβλητών και, η µερική παράγωγος της, ) ως προς ορίζεται µε τη σχέση + lim, ), ) µε σταθ. 0 Όµοια, η µερική παράγωγος της, ) ως προς ορίζεται µε τη σχέση + lim, ), ) µε σταθ. 0 Μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης µπορούν να ορισθούν ως εξής:,,, Οι δύο προηγούµενες σχέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσµα, αν η συνάρτηση και οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς. Στην περίπτωση αυτή δεν έχει σηµασία η σειρά παραγώγισης. Γενικά, η µερική παράγωγος ως προς µια ανεξάρτητη µεταβλητή βρίσκεται µε απλή παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή αυτή θεωρώντας τις άλλες ανεξάρτητες µεταβλητές σαν σταθερές. Το διαφορικό της, ) ορίζεται µε τη σχέση + όπου και. Επέκταση σε συναρτήσεις πολλών µεταβλητών γίνεται εύκολα.
SECTION 7 Κανόνες παραγώγισης Γενικά, για τον υπολογισµό µερικών παραγώγων ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης της Παραγ. 6.. Επιπλέον διακρίνουµε τις επόµενες περιπτώσεις: Αν u, υ,..., w), όπου u, υ,..., είναι συναρτήσεις µίας µόνο ανεξάρτητης µεταβλητής, τότε u u + + + w Αν u, υ,..., w), όπου u, υ,..., είναι συναρτήσεις των ανεξάρτητων µεταβλητών,,...,, τότε 6.5 ιαφορικά w u + + + w για k,,..., u w k k k k Αν ) είναι µια συνάρτηση, για µια αύξηση της ανεξάρτητης µεταβλητής κατά η εξαρτηµένη µεταβλητή αυξάνει κατά + ) ). Ορίζουµε ιαφορικό της : ιαφορικό της : ') Είναι + ) ) ) + e + e όπου ε 0, όταν 0. Συνεπώς ') + ε u ± υ ± w ) u ± υ ± w uυ) uυ + υu ) u u u u ) u u siu) cosuu cosu) siuu