ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η : A έχει: ) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία 0 τ.µ.τ. όταν lim ± ή lim ± ή lim ± ( ηλαδή η ευθεία 0 0 + 0 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια είναι + ή ). ) οριζόντια ασύµπτωτη την y β τ.µ.τ. όταν: β lim ή lim β + ) πλάγια ασύµπτωτη την ευθεία y λ + β τ.µ.τ. όταν: + ( λ β) ( λ β) lim + 0 ή lim + 0 Παρατήρηση: Η πλάγια ασύµπτωτη αποτελεί γενίκευση της οριζόντιας. Για λ 0 από την πλάγια προκύπτει η οριζόντια. ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΥΜΠΤΩΤΩΝ Η έρευνα για ύπαρξη ασύµπτωτων γίνεται στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού. Ο προσδιορισµός πλάγιας οριζόντιας γίνεται ταυτόχρονα από τους τύπους: λ λ lim + lim ( ) ( ) β lim λ + β lim λ Όταν λ 0 βρίσκοντας το β προκύπτει οριζόντια πιθανόν. Όταν λ ±, βρίσκοντας το β δεν προκύπτει ούτε οριζόντια. Στην εύρεση κατακόρυφης τα προσδιορίζονται σαν ρίζες παρονοµαστή, ή άκρα 0 διαστηµάτων του Α, πραγµατικοί αριθµοί ή σηµεία ασυνέχειας. Τα 0 µπορεί να είναι: ) σηµεία στα οποία η δεν ορίζεται, αλλά είναι άκρα του πεδίου ορισµού, π.χ. µε A (, ) (, + ) 0, ) σηµεία στα
οποία η ορίζεται αλλά είναι ασυνεχής. Παράδειγµα: αν 0 Προϋπόθεση αναζήτησης κατακόρυφης αν πλάγιας οριζόντιας ασύµπτωτης είναι οι αντίστοιχες προϋποθέσεις για την αναζήτηση των ορίων. Έτσι για την µε µε A [,] δεν έχει νόηµα η εύρεση κατακόρυφης, πλάγιας οριζόντιας ασύµπτωτης διότι δεν µπορώ να αναζητήσω όρια. Ενώ για την µε n δεν έχει νόηµα η αναζήτηση πλάγιας-οριζόντιας του Για εύρεση πλάγιας-οριζόντιας ασύµπτωτης στις ρητές εργάζοµαι του + και γράφω οµοίως του. Σε άλλες συναρτήσεις κλαδικές, µε απόλυτα, άρρητες, τριγωνοµετρικές, εκθετικές, λογαριθµικές, εργάζοµαι χωριστά του + και του διότι τα όρια προκύπτουν διαφορετικά. Παρατήρηση. Μια συνάρτηση µπορεί να έχει περισσότερες από ασύµπτωτες και µαζί πλάγια, οριζόντια, κατακόρυφες < 5 ( ) ( )( 4),,,4 Έχω του ψ, του + ψ και κατακόρυφες τις,,, 4. Παρατήρηση. Η πλάγια-οριζόντια ασύµπτωτη µπορεί να τέµνει τη C σε άπειρα σηµεία.
Παρατήρηση. Τα σηµεία στα οποία η C παρουσιάζει εφαπτόµενη είναι απαραίτητα σηµεία συνέχειας, άρα ανήκουν στο πεδίο ορισµού. Σε αντίθεση µε την εφαπτόµενη, κατακόρυφη ασύµπτωτη έχω σε σηµεία ασυνέχειας που ανήκουν στο πεδίο ορισµού η άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού. Παράδειγµα ο δίνεται συνάρτηση µε +. Να ευρεθούν ασύµπτωτες. (κατακόρυφη (ρητή) άρα ρίζες παρονοµαστή ) Παράδειγµα ο. ίνεται συνάρτηση µε. Να βρεθούν ασύµπτωτες (A R, άρα δεν έχω κατακόρυφη ασύµπτωτη διότι η συνεχής στο R.) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες: 5 (α) (β) (γ) 5 + 6 (δ) + (ε) 5 + + + (ζ) 5 + 6 4 (η) + + (θ) + 5 (ι) 5 + + ) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες: (κ) 5 + 5 5 (α) + + (β) 5 + 6 (γ) (δ) (ε) (ζ) ) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες:
4 (α) (β) + (γ) 5 + + (δ) 4) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες: (α) 9 + 6 ( ) 5) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες: (α) + 4 8 (β) ( ) (γ) ( ) (δ) n (ε) e (ζ) + (η) n (θ) (ι) ηµχ n e e (κ) (λ) (µ) + ln (ν) συν π π π 5π, -,, συν (ο) e ( ) e, (π) e (ρ), 6) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, οι ασύµπτωτες της ( ) και γενικότερα της C. 7) Να βρεθούν οι ασύµπτωτες: α) + + + + 5 5 αν [ ) αν, + β) + + + αν 0 αν 0 και -
5 γ) 4 δ) 4 + 8) α) Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε η y α + β να είναι ασύµπτωτη της + β) Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε lim + ( α + β) 0 + 9) ίδεται η α + β. Να προσδιοριστούν τα α, β ώστε το + β + α διάγραµµα της να έχει κατακόρυφες ασύµπτωτες τις ευθείες και. 0) ίνεται η συνάρτηση µε τύπο: + β + γ + δ αν a αν Να υπολογιστούν οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ, δ έτσι ώστε η να είναι παραγωγίσιµη στο o και η ευθεία y να είναι ασύµπτωτη της C. ) Να βρείτε τα λ, µ ώστε η συνάρτηση µε + λ + µ, ορισµένη στο ) ( + να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και η C να έχει ασύµπτωτη την y. Για τις τιµές των λ, µ που βρήκατε να βρείτε και τις άλλες ασύµπτωτες αν υπάρχουν. Με τα παραπάνω στοιχεία να κάνετε πρόχειρα γραφική παράσταση της. ) Να δείξετε ότι η n e έχει τρεις ασύµπτωτες, που διέρχονται από το ίδιο σηµείο.