ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία απόδειξη,σχολικό βιβλίο Α. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Σωστό Α4. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψευδής. β) Έστω συναρτήσεις: x, x f(x)= και x, x Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x, αφού: x, x g(x)=. x, x Η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο x, αφού: lim f ( x) lim f ( x) x x lim g( x) lim g( x) x x Ωστόσο, η συνάρτησηf g ( x), x είναι συνεχής στο x, αφού είναι η ΘΕΜΑ Β σταθερή συνάρτηση. Β. Έστω t o χρόνος που χρειάζεται ο κολυμβητής για να κολυμπήσει από το Κ στο Μ και t o που χρειάζεται για να περπατήσει από το Μ στο Σ. ( KM ) t u x και t ( MΣ) x u 5 Επομένως, ο συνολικός χρόνος για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ είναι: T ( x) x x 5
Β. Θεωρούμε τη συνάρτηση: Είναι: T ( x) Η ρίζα της T ( x) είναι το 75. Το πρόσημο της x x 5 T ( x), x x x 5, T ( x ), η μονοτονία και τα ακρότατα της Τ φαίνονται στον επόμενο πίνακα: x 75 T ( x) ( x) Δηλαδή η συνάρτηση Τ παρουσιάζει ελάχιστο για x 75 ft Άρα όταν, x 75 ft τότε ο κολυμβητής χρειάζεται το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο σπίτι του. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με : f (x) x, x. Άρα αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο θα είναι και - και επομένως η f αντιστρέφεται.το σύνολο τιμών της είναι το,, όπου: lim f ( x), B lim f ( x), δηλαδή το. x x Γ. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση f x f x f x f x Έστω: Παρατηρώ ότι: Άρα το - είναι ρίζα της g(x) έχει μοναδική ρίζα το -. f f x x, τότε είναι g x f x f x g x f f x x Η συνάρτηση g(x) είναι παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων στο ) με: g f f f (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων g ' x f ' f x f ' x x x x 9x x x x Άρα η g( x ) είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και «-». Επομένως το - είναι η μοναδική ρίζα της g x f x f x Άρα οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και A, f ( ) ή A,. f - έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο το
Εναλλακτικά ος τρόπος: f ( ) f ( ), δηλαδή το είναι ρίζα της εξίσωσης:. f ( x) f ( x) f ( f ( x)) x Έστω ότι η f ( x) f ( x) έχει ρίζες ρ, ( ρ ) επομένως και η f ( f ( x)) x έχει ρίζες τις ρ,. Θεωρώ τη συνάρτηση: g( x) f ( f ( x)) x, x Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g στο διάστημα [ρ, ]. Η g είναι συνεχής στο [ρ, ] (ως σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο [ρ, ] ) Η g είναι παραγωγίσιμη στο ρ, (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο g g ρ, ) με: g x f f x f x f x x f x x f x x ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα υπάρχει ρ, τέτοιο, ώστε g ( ) που είναι άτοπο αφού g ( x). Άρα η x η μοναδική ρίζα της f ( x) f ( x) και επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο το A, f ( ) ή A,. Γ. α. Για x y ισχύει η ισότητα: f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) x y Για x y εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στο διάστημα x, y και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο x, y (ως πολυωνυμική) Η f είναι παραγωγίσιμη στο x, y (ως πολυωνυμική) f ( y) f ( x), : ( ) ( ( ) ), δηλαδή: y x f ( y) f ( x) y x ή f ( x) f ( y) x y διότι: Άρα υπάρχει x y f f f ( x) f ( y) f ( y) f ( x) f ( y) f ( x) y x y x x y () Για x y εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού στο διάστημα y, x και έχουμε: Η f είναι συνεχής στο y, x (ως πολυωνυμική) Η f είναι παραγωγίσιμη στο y, x (ως πολυωνυμική) f ( x) f ( y), : ( ) ( ( ) ), δηλαδή: x y f ( x) f ( y) x y ή f ( x) f ( y) x y διότι: Άρα υπάρχει y x f f f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) x y x y () Επομένως από τις σχέσεις () και () έχουμε: x y f ( x) f ( y) (Ι) για κάθε x, y Στην σχέση (Ι) θέτουμε όπου x το f ( x) f ( y ), αφού η (Ι) ισχύει για κάθε, f ( x) f ( y ). Άρα έχουμε: f ( x) f ( y) x y και τελικά: - - f x f y x y f x f y ( ) ( ) ( ) ( ) x. β. Έστω οποιοδήποτε Θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο x, δηλαδή ότι: lim f ( x) f ( x ) x x. x y και
Είναι x x x x lim lim x x x x f ( x) f ( x ) x x x x f ( x) f ( x ) x x Από το κριτήριο της παρεμβολής έχουμε και lim f ( x) f ( x ) ή x x lim f ( x) f ( x ) x x Γ4. Έχουμε ισοδύναμα: f ( ) f (ξ) f ( ) f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση: g( x) f ( x) x, x Ισχύουν: Η g είναι συνεχής στο [, ] (ως σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο [, ]). g() f () g() f ( ) 9 Από το Θεώρημα του Bolzano υπάρχει, τέτοιο, ώστε g( ) ή ισοδύναμα f ( ). Επιπλέον η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (,) (ως σύνθεση και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, )) με: g ( x) f ( x) ( x ) 4x Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα και «-», και επομένως το παραπάνω είναι μοναδικό. Εναλλακτικά ος τρόπος Ισχύει f () και f ( ) και η f είναι συνεχής στο [, ]. Επομένως, σύμφωνα με το Θ. Bolzano υπάρχει (και είναι μοναδικό) x, τέτοιο, ώστε: f ( x ) f () x, Ακόμα f () f () Θα εφαρμόσουμε το Θ. Bolzano για την συνάρτηση: ( x) f ( x) x στο διάστημα,. Η ( x ) είναι συνεχής στο, (άθροισμα συνεχών στο, ) και f x, () f () () () Επομένως υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε: Η f είναι γνησίως αύξουσα διότι: Αν y, y f ( ) Έστω y f x y f x με y y ( ), ( ) με x, ( ) f ( ).Θα αποδείξουμε ότι: f y f y x. Άρα. x f y, x f y (*) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και ισχύει η (*) έχουμε διαδοχικά: y y f ( x ) f ( x ) x x f y f y Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα. Τώρα θα αποδείξουμε ότι η ( x ) είναι γνησίως αύξουσα: x x f ( x ) f ( x ) x x x x και με πρόσθεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε: 4
f ( x ) x f ( x ) x ( x ) ( x ) Το είναι μοναδικό, αφού η συνάρτηση ( x ) είναι γνησίως αύξουσα, άρα και «-». ΘΕΜΑ Δ Δ. g( ) g( ) g( ) g() g( ) g() lim lim g( ) g() g( ) g() lim () g( ) g() g( x) g() lim lim g () () ( x και g ί ) x x g( ) g() g( x) g() lim lim g () () ( x και g ί ) x x (), (), () g () g () g () g () Δ. x x ( x x ) x f x ex x x x x x x x x x x x x lim ( ) lim ( ) lim lim lim lim e ( e ) e e Άρα η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη. f Δ. x f ( x) e ( x x ) f στο με: lim f ( x) και lim f ( x) lim e x ( x x ) ( ) ( ) x Άρα το σύνολο τιμών είναι (, ) x Στον επόμενο πίνακα φαίνεται η μονοτονία της f x Δ4. Το σημείο x, f ( x) της C απέχει απόσταση από το, A : f ( x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ), d x x f x x x 5
d ( x) x ( x ) f ( x) ( x ) e ( x x ) ( x ) f ( x) ( x ) f ( x) x Θα μελετήσουμε πρώτα τη συνάρτηση t( x) ( x ) e ( x x ) ως προς το πρόσημό της. Η εξίσωση t( x) έχει προφανής λύσης την x και: Το πρόσημο της t( x) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: t x e x x e x x x x ( ) ( 5 7) ( 5 7 ), Το πρόσημό της d( x) φαίνεται στον πίνακα: Οπότε το σημείο είναι, () Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της ή, f () ή, C στο σημείο είναι: f () 4 λ () και ο συντελεστής διεύθυνσης της είναι f () και άρα: λ Επομένως: ( ) Επιστημονική ευθύνη: Καραγιάννης Ιωάννης, Συντονιστής Εκπαιδευτικού Έργου ΠΕ, ο ΠΕ.Κ.Ε.Σ. Ν. Αιγαίου 6