ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό βιβλίο σελ. 5 β) i) Σχολικό βιβλίο σελ. 35 ii) Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α3. Απόδειξη θεωρήματος μονοτονίας : Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 35 Α4. α) Η πρόταση είναι λάθος. Αιτιολόγηση : Θεωρούμε τη συνάρτηση Τότε αν < = αν > αν = αν > Επομένως = για κάθε (,) (, ) Γραφική Εξήγηση :. Αλλά η δεν είναι σταθερή σε όλο το Α = = β) Η πρόταση είναι λάθος. Θα ήταν σωστή αν η συνάρτηση ήταν συνεχής στο A. Αντιπαράδειγμα : lim = lim Άρα lim = = αλλά ( ) Α5. γ ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση ( ) = λ δέχεται στο οριζόντια ασύμπτωτη την lim = lim λ = λ= Όπου lim = lim = =, τότε:
Β. = =, θεωρούμε τη συνάρτηση Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με = με R. Τότε : = < για κάθε R. Άρα, επειδή η είναι συνεχής στο R θα είναι γνησίως φθίνουσα στο R Για τη συνάρτηση που είναι συνεχής στο [,3 ] ισχύει : = = > ( 3) 3 < ( 3) 3 = = < 3 Άρα για την στο διάστημα τουλάχιστον μία ρίζα (,3),3 εφαρμόζεται το Θεώρημα Bolzano. Επομένως υπάρχει Επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα η ρίζα είναι μοναδική επομένως = = Β3. =, R Η συνεχής και παραγωγίσιμη στο R τότε = < Άρα γνησίως φθίνουσα, επομένως η «-» άρα αντιστρέφεται. Θέτω τότε = = Από την () πρέπει > > τότε ln = ln = ln =ln Άρα =ln ( ) και για = =ln ( ), > Β4. =ln, >, τότε lim = lim ln =, άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της = C = C
ΘΕΜΑ Γ α, β, < Γ. Ν.α.ο. α= και β= παραγωγίσιμη άρα συνεχής lim = lim = R lim = lim = R και = α lim α = lim β Από () α= β α=β βα β Από () lim = lim = lim = β DLH α α ( ) lim = lim = lim = lim = lim = Άρα από () και () : β= β= α=β α= Γ. Ν.α.ο. γνησίως αύξουσα στο R και να βρω Σύνολο Τιμών παραγωγίσιμη άρα συνεχής Για <, ( ) = = > Για >, ( ) = > Για =, = άρα συνεχής στο, οπότε γν. αύξουσα σε όλο το πεδίο ορισμού της Σύνολο Τιμών A,, Για = ( ] γν. αύξουσα στο ( ] Οπότε ( A ) = lim ( ), ( lim = lim = = ( A ) = (,] Για A = (, ) γν. αύξουσα στο (, ) Άρα ( A ) = lim ( ), lim lim = lim = = Οπότε ( A ) = (, ) = = ( ) A A A, Άρα η έχει Σύνολο Τιμών το R 3
Γ3. i) Ν.α.ο η = έχει μοναδική ρίζα για, η οποία είναι και αρνητική Εφόσον το (μηδέν) περιέχεται στο σύνολο τιμών, αυτό σημαίνει πως θα υπάρχει τουλάχιστον ένα R τέτοιο ώστε ( ) = Αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο R, αυτό το είναι και μοναδικό. = Στο διάστημα Και για τυχαία τιμή 3 Οπότε σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano στο < < < =3 3 = 3< 3, συνεχής υπ ρχει ά ( 3, ), δηλαδή αρνητικός αριθμός ( 3) < Ώστε : ( ) = και αυτή η ρίζα είναι και μοναδική καθώς γνησίως αύξουσα ii) Ν.α.ο η = είναι αδύνατη στο (, ) Για > > > Οπότε : ( ) > = = >, και εφόσον το Από (), () <, άρα > ( ) > ( ) Οπότε η εξίσωση δεν έχει λύση καθώς δεν μπορεί να μηδενιστεί Γ4. Για M(, ) στην καμπύλη t = t το Μ διέρχεται από το = με Για A 3,. Ο ρυθμός μεταβολή της τετμημένης του Μ είναι μον/sc Να βρω ρυθμό μεταβολής εμβαδού τριγώνου MOK και O, όταν t = t >, οπότε με Μ (,) = =, M ( 3, ), ( t ) = 3, ( t ) = και E( t ) O K(, ) t = Το εμβαδόν του τριγώνου θα είναι : E= συναρτήσει του χρόνου t θα έχω E( t) = ( t) ( t) Άρα ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι E ( t) = ( ( t) ( t) ( t) ( t) ) = ( t) ( t) ( t) ( ( t) ) = = ( ( t) ( t) ( t) ( ( t) ( t) )) = ( ( t) ( t) ( t) ( t) ) Για t = t έχω ( t ) = 3, ( t ) =, ( t ) = M(, ) 4
E t = 3 = 8 Άρα ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ. Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων τότε = ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) α = ln ( ) ( ) α= ln ( ) α Επειδή η ευθεία (ε): = είναι εφαπτομένη της = ln αβ= αβ= Άρα = ln α= α= Επίσης Άρα (), () α=, β= Δ. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι ( ) ln( ) d ( ) ln ( ) d 5 C στο A (, ) τότε ( ε) =λ = E = d = d = ln d = = = ln ln ln ln Άρα ln ( ) και, επομένως ( ) ln( ) d ( ) ln ( ) d ( = ) ln ( ) d = = = ( ) ln( ) ( ) d = = ( ln ln) ( ) d ln ln ( ) ln = = = Αλλά Δ3. i) Αρκεί για κάθε R ( ) ln 3 ii) λ λ ( λ) ln ( λ λ ) 3 λ ( λ) ln ( λ λ ) λ και ( ) ln ln = ln και, ισχύει διότι
λ ( λ) ln ( λ λ ) ( λ) λ ( λ) λ ( ), λ R Για τη συνάρτηση στο διάστημα λ, λ Η παραγωγίσιμη στο λ, λ τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ λ, λ ώστε λ ( λ) ( ξ ) = λ λ για κάθε R ξ και Αλλά από το Δ3.i. δείξαμε ότι λ ( λ) λ λ άρα και Δ4. Από την υπόθεση η ευθεία ( ε ) := είναι εφαπτομένη της C στο A (, ) Η εφαπτομένη της C στο B(,( ) ) είναι = 3 ( ) ( ) = 3 =3 3 =3 =. Οι ευθείες (ε), (ζ) θα ταυτίζονται όταν : 3 3 3 3 3 (ζ) : 3 = = 3 = = Η ευθεία = εφάπτεται της C, Άρα στο σημείο B(, ( )) ή B(, ) Η εφαπτομένη (ε) : = είναι μοναδική των C και εφαπτομένη της μορφής : Για την θα ισχύει : =λ Για την θα ισχύει : Αλλά η =λ β τότε : =λ=3 C διότι αν θεωρήσουμε μία άλλη 3 3 =, δηλαδή το σημείο επαφής της =λ β με την C θα είναι το Γ (, ) το οποίο ταυτίζεται με το σημείο επαφής της (ε): =. Άρα η ευθεία ( ε ) := μοναδική Οι παραπάνω απαντήσεις είναι ενδεικτικές 6