Kapitola 4 Odraz a lom svetla Náuka o svetle, optika, je jednou z najdôležitejších častí fyziky, lebo valnú väčšinu skúseností so svetom, ktorý nás obklopuje, získavame našim zrakom. Čo vieme o vzdialených galaxiách, vieme len vďaka svetlu: tento posol bežal v hlbokom vesmíru milióny a miliardy rokov, než k nám dorazil. Aj to, čo vieme o atómoch nám prezradilo svetlo vychádzajúce z ich vnútrajšku. Svetlo z atómu nesie tajnú zakódovanú správu o vnútornej štruktúre látky. Sprostredkovateľom väčšiny informácií, s ktorými sa stretávame v každodennom živote je tiež svetlo. Pokiaľ sa nepozeráme priamo do zdroja svetla do Slnka, žiarovky, svetlušky apod. tak to čo vidíme, je väčšinou odrazené svetlo. Plochy, ktoré odrážajú svetlo sa líšia jeden od druhej v mnohých ohľadoch. Dobre vyleštená karoséria čierneho auta odráža sotva 5% svetla, ktoré na neho dopadá. Toto málo svetla však postačuje k tomu, aby sme videli jasne svoj vlastný odraz na aute. Ani dobré zrkadlo nie je toho schopné viac, len obraz bude svetlejší, lebo jeho povrch odráža 85-95% svetla. Kus čiernej liatiny železa a stena izby vymaľovaná na peknú svetlú farbu odráža zrovna toľko svetla, ako čierna karoséria auta a zrkadlo, predsa sa v nich neuvidíme. Vysvetlenie tohoto rozdielneho správania sa plôch nájdeme v hladkosti odrazových plôch. Vyleštená plocha zrkadla, lakovaný, leštený povrch kovu je nesmierne hladký, rovnomerne hladký ešte aj pre svetlo. Na druhú stranu povrch papiera a steny je posiaty drobnými nerovnosťami, z ktorých sa svetlo odráža na všetky možné strany zrovna tak, ako ping-pongová loptička z hrboľatého povrchu. Odraz svetla z rovnej plochy nazývame aj zrkadlením. Odraz z nerovnomernej, nepravidelnej plochy nazývame difúznym odrazom, difúznou reflexiou. Našu pozornosť sústredíme na zrkadlenie: takýto odraz má jednoduché 45 4- Odraz svetla
46 4. Kapitola 4-2 Rovinné zrkadlá 4-3 Duté a vypuklé zrkadlá zákonitosti. Ak na zrkadlo necháme dopadnúť úzky zväzok svetla (obrázok??) a budeme sledovať smer odrazeného lúča, zistíme zákonitosť, ktorú poznali aj starovekí Gréci. Spustíme na plochu zrkadla kolmicu v mieste, kde sa ho dopadajúci zväzok dotkne; uhol, ktorý uzatvára dopadajúci lúč a spustená kolmica nazývame uhlom dopadu. Uhol medzi kolmicou a odrazeným lúčom sa nazýva uhlom odrazu. Zákon odrazu znie: uhol odrazu sa rovná uhlu dopadu. Pomocou tohoto zákona môžeme skúmať vznik obrazu, jeho formovanie sa v zrkadlách rôzneho tvaru. Najčastejšie používané zrkadlá sú rovinné zrkadlá. Obraz, ktorý v ňom uvidíme, keď sa do neho pozrieme, je všedná udalosť. Pri presnejšej formulácii už teraz nepovieme že vidíme predmet v zrkadle, ale povieme, že v zrkadle vidíme obraz predmetu a tento obraz je výsledkom zobrazenia zrkadla. Na obrázku?? ukážeme, ako zobrazuje rovinné zrkadlo obraz predmetu. Lístky štvorlístka osvetľuje slnečné svetlo. Vrchný bod horného lístka označíme písmenom T (v tomto okamihu je predmetom tento bod). Vďaka difúznemu odrazu slnečného svetla z lístka sa slnečné lúče odrážajú do všetkých možných smerov my ich znázorníme na obrázku len niektoré. Lúče odrazené zo zrkadla a dopadajúce do nášho oka vytvárajú dojem, akoby vychádzali všetky z bodu K. V skutočnosti do bodu K nedorazí ani jeden svetelný lúč (možno, že tento bod sa nachádza hlboko v múre) a vtedy bod K nazývame virtuálnym (neskutočným) obrazom bodu T. Svetelný lúč T C, ktorý na zrkadlo dopadá kolmo, sa odráža naspäť sám do seba. Ak v bode B vztýčime kolmicu BM k ploche zrkadla, potom podla zákona odrazu je uhol dopadu TBM rovný uhlu odrazu MBA. Využitím základných geometrických znalostí môžeme ukázať, že trojuholník T CB je zhodný s trojuholníkom KCB. Z toho však vyplýva, že: virtuálny obraz predmetu v rovinnom zrkadle je na kolmici vztýčenej z predmetu na plochu zrkadla a nachádza sa presne tak ďaleko za plochou zrkadla, ako ďaleko je predmet pred plochou zrkadla. Rovnako môžeme zostrojiť obraz najnižšieho bodu D stonky štvorlístka (i ostatných bodov štvorlístka), musíme dbať len o to, aby DEF bolo kolmé na plochu zrkadla a aby platilo DE = EF, čím obdržíme presnú polohu bod F, ktorý je obrazom bodu D. Poznamenajme, že náš oko vidí v F obraz bodu D aj vtedy, ak samotné zrkadlo k bodu E nesiaha. Namiesto rovinných zrkadiel sa v optických prístrojoch, od ďalekohľadov až po mikroskopy, sa najčastejšie používajú duté a vypuklé zrkadlá. Najjednoduchším takým zrkadlom je vyleštený kúsok povrchu gule. Pozrime sa, že čo sa stane so svetlom, keď sa odráža od povrchu dutého zrkadla,
Biofyzika a radiológia 47 tak ako to ukazuje aj obrázok??a. Bod C, ktorý je geometrickým stredom gule nazývame stredom krivosti zrkadla zrkadlo je časťou plochy tejto gule. Stred krivosti a stred zrkadla (toho kúsku povrchu gule) spája priamka CO, ktorú nazývame optickou osou. Pozrime sa teraz na lúč, ktorý postupuje rovnobežne s optickou osou a na povrch zrkadla dopadne v bode B. Polomer CB gule je kolmý na povrch zrkadla, preto lúč AB sa odráža do smeru F tak, že uhol dopadu i sa rovná uhlu odrazu r. Odrazený lúč pretína optickú os v bode F; tento bod nazývame ohniskom zrkadla. Nakoľko AB je rovnobežný s optickou osou, uhol BCF je rovný i a preto trojuholník BCF je rovnoramenný, teda BF = CF. Pokiaľ bod B nie je príliš ďaleko od bodu, potom OF a BF sú si skoro rovnako veľké. To ale znamená aj to, že bod F skoro presne polí polomer krivosti CO. Vychádzajúc z nejakého skutočného a vzdialeného predmetu môžeme nakresliť množstvo lúčov rovnobežných vzájomne a súčasne rovnobežných s optickou osou. Tieto lúče po odraz sa pretínajú všetky v tom istom (alebo skoro v tom istom) bode F. Čím je lúč AB bližšie k optickej osi, tým skôr je splnená približná rovnosť OF = BF, teda to, že bod F polí polomer krivosti OC. Nezabúdajúc toto priblíženie, ako ohnisko zrkadla definujeme bod F, v ktorom sa všetky lúče, bežiace rovnobežne s optickou osou a dostatočne blízko k nej, pretínajú navzájom i s optickou osou. Vzdialenosť OF (ktorú označujeme zvyčajne f) nazývame ohniskovou vzdialenosťou zrkadla. Pri našom bádaní budú rozmery zrkadla podstatne menšie, ako polomer krivosti zrkadla, preto naše priblíženie bude v dobrej zhode so skutočnosťou. Na obrázku??b vidíme, ako zostrojíme obraz predmetu zobrazený dutým zrkadlom. Z predmetu T by sme mohli vypustiť množstvo lúčov dopadajúcich na zrkadlo. Ku každému z nich by sme mohli zostrojiť polomer krivosti vychádzajúci z bodu C a mohli by sme zostrojiť uhol odrazu r rovný uhlu dopadu i. Získali by sme tým všetky odrazené lúče. Pokiaľ si však vyberieme lúče umne, môžeme sa dopracovať k výsledku aj jednoduchšie. Nech je TB rovnobežný s optickou osou; je známe, že tento lúč sa odrazí do ohniska F. Nasledujúcim vhodným lúčom môže byť T C; Tento lúč postupuje v smere polomeru gule a na povrch zrkadla dopadá kolmo v bode D, preto sa odráža späť sám do seba, smerom k C. Nakoľko i = r, každý odrazený lúč sa dá sledovať aj v opačnom smere. Na obrázku??a lúč vychádzajúci z bodu F a smerujúci do bodu B sa odráža do lúča BA rovnobežného s optickou osou. Môžeme preto, vychádzajúc z bodu T, zostrojiť aj cestu tretieho vhodne zvoleného lúča, TF, ktorý po dopade na zrkadlo sa odráža ako vidieť rovnobežne s optickou osou. Tieto tri lúče sa vzájomne pretínajú v bode K, preto pozorovateľovi sa zdá, akoby svetlo vychádzalo z bodu K. Všetky lúče vychádzajúce z bodu T sa vzájomne pretínajú v bode K.
48 4. Kapitola Ak do tohoto bodu umiestníme mliečne sklo, uvidíme obraz bodu T. Takýto bod nazývame preto reálnym (skutočným) obrazom. Na obrázku?? sme nakreslili jeden lúč od T k bodu O, ku stredu zrkadla. Nakoľko uhol T OA sa rovná uhlu KOB (prečo?), pravouhlý trojuholník TOA je podobný pravouhlému trojuholníku KOB. Platí preto teda výška predmetu výška obrazu TA KB = AO BO, = vzdialenosť predmetu vzdialenosť obrazu = t k. ( Vzdialenosť je vzdialenosť od zrkadla.) Na obrázku je ešte dvojica podobných trojuholníkov T AC a KBC, preto AC BC = TA KB = t k. Aj z obrázku je vidieť, že AC je rozdiel vzdialenosti predmetu a polomeru krivosti zrkadla, teda t r. Podobne BC = r k. Dosaďme tieto rovnosti t r = t r k k, tk rt = rt tk, rk + rt = 2tk. Predelme obidve strany poslednej rovnosti tkr a dostaneme t + k = 2 r, a nakoľko r = 2f, teda 2/r = /f, náš vzťah nadobudne tvar t + k = f. Ako príklad zoberme duté zrkadlo, ktorého polomer krivosti je 24 cm. Čo vieme povedať o predmete vysokom 4 cm, ktorý stojí 48 cm pred zrkadlom? Údaje sú f = 2 cm, p = 48 cm, teda teda 48 + k = 2, k = 2 48 = 3 48 48 = 6
Biofyzika a radiológia 49 a k = 6 cm. dokážeme vypočítať aj veľkosť obrazu rozmer obrazu 4 = 6 48, odkiaľ rozmer (výška) predmetu je = 4 6/48 = 4/3 cm. Obraz je (čo môžeme skontrolovať geometrickou konštrukciou) je reálny a obrátený. Je účelné, pokiaľ pri riešení úloh so zrkadlami a šošovkami, robíme náčrtky a pokiaľ robíme tieto náčrtky rovnakým spôsobom, napríklad, aby svetlo prichádzalo vždy zľava. Pokiaľ si budeme pamätať, že členy vo vzťahu medzi predmetovou vzdialenosťou k, obrazovou vzdialenosťou o a ohniskovou vzdialenosťou f (ktorý sme odvodili vyššie) sú kladné (majú znamienko +), potom so znamienkami problémy mať nikdy nebudeme. Stred krivosti dutého zrkadla spadá naľavo od zrkadla a brali sme jej hodnotu za kladnú, preto polomer krivosti vypuklého zrkadla ktorého stred krivosti spadá napravo budeme brať ako záporný. Predmetová vzdialenosť naľavo od zrkadla je kladná a preto hodnotu p napravo od zrkadla by sme mali brať ako zápornú. Obdobne budeme brať vzdialenosť obrazu (k) napravo od zrkadla za zápornú. Na obrázku?? môžeme vidieť, ako zostrojíme zobrazenie vypuklého zrkadla. Lúč TA rovnobežný s optickou osou sa odráža od zrkadla tak, akoby vychádzal z bodu F. (Ohnisko F vypuklého zrkadla je samozrejme virtuálny bod, nakoľko ani jeden lúč cez neho v skutočnosti neprechádza.) Lúč TB, ktorý postupuje smerom k stredu krivosti zrkadla, sa odrazí sám do seba, nakoľko na povrch zrkadla dopadá kolmo. Vrchol tyče so zástavou môžeme zostrojiť už aj s touto dvojicou lúčov.; môžeme však ľahko narysovať aj tretí lúč: lúč TC postupujúci v smere F sa odráža rovnobežne s optickou osou. Ak lúč predĺžime za zrkadlo, dostaneme sa do priesečníku priamok AF a BC : tento bod je vrcholom tyče, na ktorej vlaje zástava. Pozorovateľ vidí lúče odrazené z bodov A,B a C ako aj všetky lúče vychádzajúce z T a odrazené na povrchu zrkadla akoby vychádzajúce z bodu spoza zrkadla a tento bod K je virtuálnym obrazom bodu T. Vzťah medzi predmetovou, obrazovou vzdialenosťou a ohniskovou vzdialenosťou (t,k a f) je rovnaká ako predtým, len ich hodnoty musíme brať podľa našej dohody. Nech predmet T je 25 cm pred zrkadlom, ktorého polomer krivosti je 20 cm. Podľa toho je ohnisková vzdialenosť 0 cm.
50 4. Kapitola Kde je obraz? 25 + k k = 0 = 0 25 7 50 k = 50 7 = 7,4 cm. Záporné znamienko ukazuje, že obraz sa nachádza za zrkadlom a je preto virtuálny. Vo všetkých našich príkladoch sme museli predpokladať, že rozmer zrkadla je podstatne menší, ako jeho ohnisková vzdialenosť. Pokiaľ by tomu tak nebolo, potom by bol obraz rozmazaný a neboli by sme schopní povedať kde sa obraz vôbec nachádza. Príčinou je, že lúče odrážajúce sa od kraja zrkadla pretínajú optickú os bližšie k zrkadlu, než tie, ktoré sa odrážajú od stredu zrkadla (pozri obrázok??a). Túto vadu zrkadla nazývame sférickou vadou alebo sférickou aberáciou. Táto vada predstavuje vážny problém u veľkých hvezdárskych ďalekohľadoch, ktoré musia podľa možnosti pozbierať veľa svetla. Problémy možno prekonať tým, že namiesto sférických zrkadiel budeme používať parabolické zrkadlá (ktorého výroba stojí žiaľ podstatne viac, a má iný typ chyby, ktorý sa u guľových zrkadiel sa neobjavuje). Parabolické zrkadlá pozbierajú všetky lúče rovnobežné s optickou osou do ohniska (pozri obrázok??b). Chod lúčov znázornených na obrázku sa dá aj otočiť; umiestnime do ohniska malý zdroj svetla: od parabolického zrkadla sa odrazia rovnobežne a postupujú ďalej ako zväzok vzájomne rovnobežných lúčov. Vo svetlometoch, ktoré majú svietiť ďaleko (napríklad svetlomety protivzdušnej obrany) sa používajú parabolické zrkadlá. 4-4 Lom svetla Pokiaľ lúč svetla vojde do kúsku skla, alebo vodnej vrstvy, zmení svoj smer (jedine, žeby vchádzal do skla alebo vody kolmo na povrch, čo je špeciálny prípad). Na obrázku??a postupuje svetelný lúč najprv vo vzduchu, potom vchádza do bloku skla meniac svoj smer. Uhol i meraný medzi lúčom a normálou plochy (tj. priamkou, ktorá je kolmá k povrchu) je uhol dopadu, kým r je uhol lomu. V tomto prípade neplatí rovnosť i = r, ako pri odraze. Príslušný zákon objavil holandský fyzik Willebrod Snell v roku 62. Podľa tohoto zákona, ak svetlo vstupuje z jedného prostredia do druhého, platí sin i sin r = n,
Biofyzika a radiológia 5 kde n je konštanta, teda nech je uhol dopadu i akokoľvek veľký, uhol lomu bude taký, že pomer sin i/sin r zostane nemenný. Tento pomer, n, nazývame indexom lomu druhého prostredia (prostredia, v ktorom sa svetlo láme) vzhľadom na prvé prostredie (prostredia, z ktorého svetlo dopadá). K indexu lomu je zvykom pripísať ako dolný index dvojicu prostredí. V príklade obrázku??a znamená n sv =,65, že index lomu skla vzhľadom na sklo sa rovná tejto hodnote, teda sin i/sin r =,65 vždy, keď svetlo zo vzduchu prechádza v sklo. Index lomu vzťahujeme väčšinou k vákuu a vtedy nepíšeme druhý dolný index. V tomto ohľade sa vzduch líši od vákua len veľmi nepatrne a môžeme preto povedať aj to, že index lomu skla je n s =,65. Index lomu niektorých látok sme uviedli v tabuľke4.. Index lomu závisí nepatrne aj od farby svetla; v tabuľke sme udali index lomu podľa zvyklostí pre žlté svetlo. látka index lomu voda, 33 lieh, 36 flintové sklo, 65 diamant 2, 42 Tabuľka 4.: Index lomu niektorých látok (pre žlté svetlo) Ak uhol dopadu na obrázku??a je 40, potom sin40 =, 65, sin r sin 40 sin r =,65 = 0,643,65 = 0,390, r = 23, 0. Situácia na obrázku??b je o niečo zložitejšia, lebo tu je medzi sklom a vzduchom naviac rovnomerná vrstva vody. Ak zadáme uhol dopadu i, uhol lomu r vo vode vieme bez problémov vypočítať., nakoľko index lomu vody (vzťahujúc na vákuum alebo na vzduch) nájdeme v tabuľke 4.. V tejto tabuľke však nenájdeme index lomu flintového skla vzhľadom na vodu, to by sme ale potrebujeme k výpočtu druhého lomu svetla. Tento problém sa dá našťastie ľahko preklenúť, lebo (ako o tom bude reč v nasledujúcej kapitole) n sklo,voda = n sklo n voda =,65,33 =,24. Predpokladajme, že i = 60. Výpočet vzťahujúci sa k obrázku??b je
52 4. Kapitola nasledujúci sin 60 sin r =,33, Pri prechode svetla z vody do skla sin r = sin60,33 = 0,866,330 = 0,65, r = 40,6 = i 2. sin 40,6 sinr 2 =,24, sinr 2 = 0,65,24 = 0,525 r 2 = 3,7. Je zaujímavé, že pokiaľ svetlo pôjde v opačnom smere, teda zo skla do vody a odtiaľ do vzduchu, jeho dráha bude rovnaká. Zo všetkých i sa stanú r a z r zase i, ďalej budeme musieť počítať indexy lomu vody vzhľadom na sklo a vzduchu vzhľadom na vodu: tieto indexy lomu sú prevrátenými hodnotami predtým použitých príslušných indexov lomu a hodnoty majú menšie od. Ak do priehľadnej kvapaliny ponoríme pevné teleso z priehľadnej látky, ktorej index lomu je rovnaké ako kvapaliny, potom teleso ponorené do kvapaliny nie je viditeľné, nakoľko lúče pri prechode z kvapaliny do telesa a naspäť sa nelámu. Tento fyzikálny fakt využil aj H.G. Wells vo svojom slávnom románe neviditeľný muž, keď hlavný hrdina zmenil svoj index lomu na, čím sa stal vo vzduchu priehľadným, neviditeľným. Wells však pozabudol na veľmi podstatnú vec pravdepodobne zámerne, hlavný hrdina jeho románu musel byť slepým, lebo jeho očné šošovky neboli takto schopné tvoriť obraz na jeho retine. 4-5 Hranoly Často používanou súčiastkou optických prístrojov je hranol, o ktorom bude reč aj neskôr pri optických prístrojoch. Na obrázku?? dopadá na sklenený hranol úzky zväzok svetelného lúča. Nech toto svetlo je zmesou červeného a modrého svetla. Zistíme, že hranol vychýli svetlo, ale modré viac, ako červené. Môžeme z toho usúdiť, že index lomu skla pre modré svetlo je väčšie, ako pre červené. Ak na hranol necháme dopadnúť biele svetlo, za hranolom sa objaví celé spektrum farieb: fialovú, modrú, zelenú, žltú, oranžovú a červenú, ktoré sa radia tak, že najviac sa vychyľuje fialová a najmenej červená. Túto závislosť indexu lomu od farby svetla nazývame disperziou a je vlastnosťou všetkých priehľadných látok. Spôsobuje farebnú hru diamantov v prsteni, ale aj farebné trblietanie kvapiek rosy, ale vďačíme tomuto javu
Biofyzika a radiológia 53 aj za schopnosť spektroskopu, že je schopný rozdeliť svetlo na jeho farebné komponenty, ktoré potom môžeme analyzovať. Vo fotoaparátoch, ďalekohľadoch, mikroskopoch je ale disperzia veľmi rušivým javom, lebo v týchto prístrojoch by sme chceli všetky farby sústrediť do jediného bodu (pokiaľ vyšli z jediného bodu). Preskúmajme, že čo sa udeje s úzkym zväzkom bieleho svetla, ak prejde hranolom. Nech hranol má tvar rovnostranného trojuholníka, teda veľkosť každého uhla je 60. Nech je z flintového skla (sklo s veľkou hustotou), ktorého index lomu pre červené, žlté a modré svetlo je n č =,600, n ž =,605, n m =,626. Nastavme naše pomôcky tak, aby zväzok žltého lúča bežal v hranole rovnobežne so základňou BC hranola (pozri obrázok??). V tomto prípade je uhol lomu žltého svetla patriaci k povrchu AB 30 a uhol dopadu (čo je súčasne uhlom dopadu i bieleho svetla) sa dá vypočítať nasledovne sini = sin i sin 30 0,5 =,605, sin i = 0, 8025, i = 5322. Pri tejto voľbe uhla dopadu postupuje žlté svetlo vzhľadom na uhol A úplne symetricky a po pri prechode cez plochu AC sa dostane na vzduch tak, že jeho uhol lomu bude r ž = 5322. Červená zložka svetla cez hranol už neprechádza symetricky, preto s touto zložkou už budeme mať trošku viac práce. Jeho uhol dopadu na plochu AB je ešte rovnaký ako u žltého svetla, teda 5322 a uhol lomu v skle sa dá vypočítať nasledovne sin5322 sin r č =,600, sin r č = 0,8025,600, r č = 3006. Krátkym výpočtom môžeme zistiť, že uhol dopadu červeného svetla na plochu AC je i č = 2954. Uhol lomu pri výstupe na vzduch sa dá tiež vypočítať sin 2954 sin r č =,600 ( n vzduch,sklo = sin r č = 0,4985,600 = 0,7976, r č = 5254. n sklo,vzduch ),
54 4. Kapitola Úplne rovnako postupujeme aj v prípade modrej zložky svetla a nakoniec dostaneme r m = 5527. V tomto prípade biele svetlo bude rozložené na jeho zložky tak, že rozdiel v smere červenej a modrej zložky svetla bude 5527 5254 = 233. Každý hranol sa dá využiť k tomu, aby sme ním odchýlili smer lúča a vyvolali tiež disperziu. Mnohé hranoly ale majú úplne odlišnú úlohu, odrážajú svetlo zrovna tak, ako zrkadlo. To, že ako je to možné, ukazuje obrázok??a. Existuje veľmi veľa druhov optického skla a ich index lomu (pre žlté svetlo) spadá medzi hodnoty,45 a,92. Zoberme také sklo, ktorého index lomu vzhľadom na vzduch je napríklad,65. Ak svetelný lúč vystupuje z tohoto skla do vzduchu, potom index lomu je /, 65 = 0, 606 a smer lomeného lúča môžeme určiť podľa vzťahu sini sin r = 0,606, veľmi ľahko. Vždy, keď keď svetelný lúč dorazí k rozhraniu prostredí, časť svetla sa odrazí z rozhrania a časť prejde do druhého prostredia, pričom zmení svoj smer. Presne to sa deje aj s lúčom na obrázku. Správanie sa lúča 2 je podobný, ale 3 lúč sa chová neobvykle. Ak jeho uhol dopadu je v prípade nášho skla 37,3, potom sínus uhla lomu je a tak sin r = sin37,3 0,606 r = 90. = 0,606 0,606 =, Ak nejaký lúč (nazývame aj kritickým lúčom) dopadá na rozhranie skla a vzduchu pod takýmto kritickým alebo hraničným uhlom, potom sa láme tak, že vôbec neprejde do druhého prostredia, do vzduchu. Ak v našom danom prípade chceme vypočítať uhol lomu pre väčší uhol dopadu, než je 37,3, pre sin r dostaneme hodnotu, ktorá je väčšia ako, čo nie je možné. Príroda tu naráža na nemožné (alebo ako neskôr uvidíme na skoro nemožné) a zväzok sa odráža naspäť do skla, tak ako to ukazuje lúč 4 na obrázku??b. Takýto úplný odraz môže nastať len vtedy, pokiaľ svetelný lúč prechádza z prostredia s väčším indexom lomu do prostredia s menším indexom lomu. Všetky lúče, ktoré dopadajú na rozhranie pod väčším uhlom, než je kritický, sa odrazia úplne. Hodnotu kritického alebo hraničného uhla môžeme vypočítať zo vzťahu sin i h = n.
Biofyzika a radiológia 55 Na obrázku??b je znázornený 45 -vý hranol a uhol dopadu lúča je 45, čo je väčšie ako hraničný uhol, preto zväzok sa úplne odrazí, tj. odrazí sa sto percent lúča. Účinnosť odrazu svetla sa dá zvyšovať postriebrením, alebo nanesením hliníkovej vrstvy povrchu hranola; táto vrstva nevybledne, ani nezoxiduje a preto stopercentná schopnosť odraziť svetlo hranola sa udrží po veľmi dlhú dobu. Podobne k vypuklým (konvexným) a dutým (konkávnym) zrkadlám existujú aj vypuklé šošovky (spojky) a duté šošovky (rozptylky), ktoré mô- 4-6 Šošovky žeme vidieť na obrázku??. Spojky sú v strede hrubšie ako na kraji; lúče rovnobežné s optickou osou pozbierajú do skutočného, reálneho ohniska. Stred rozptyliek je tenší a ich okraj hrubší; rovnobežne lúče rozptýlia tak, akoby vychádzali z virtuálneho ohniska. Zrovna tak, ako v prípade zrkadiel, vzdialenosť medzi šošovkou a ohniskom sa nazýva ohnisková vzdialenosť; v prípade spojky je jej hodnota kladná, v prípade rozptylky záporná. Jednoduchým výpočtom pomocou podobných trojuholníkov (k čomu použijeme obrázok??b) sa dá ukázať, že medzi predmetovou vzdialenosťou t, obrazovou vzdialenosťou k a ohniskovou vzdialenosťou f platí rovnaký vzťah, ako v prípade zrkadiel, teda t + k = f. Aby sme sa o používaní kladných a záporných hodnôt (znamienková dohoda) sa dohodli aj tu na niečom, všimnime si obrázok??b, kde všetky vzdialenosti sú kladné. Svetlo aj tu postupuje zľava doprava; vzdialenosť predmetu, ktorý sa nachádza naľavo od šošovky je kladná a vzdialenosť obrazu, ktorý je od šošovky napravo je tiež kladná a nakoľko sa jedná o spojku, aj ohnisková vzdialenosť je kladná.. Na obrázku??d môžeme vidieť zobrazenie spojky. Tu je hodnota f záporná, ale hodnota t je kladná, lebo predmet sa nachádza naľavo od šošovky. Virtuálny obraz sa nachádza tiež naľavo od šošovky, preto hodnota k je záporná. Zobrazenie pomocou šošoviek je zrovna také jednoduché ako zobrazenie pomocou zrkadiel. Z množstva lúčov vyrážajúcich z T nakreslíme dva (pozri obrázok??b): jeden z nich beží rovnobežne s optickou osou, tento sa láme do ohniska; druhý lúč nech prechádza stredom šošovky. V tomto bode môžeme považovať plochy vymedzujúce šošovku za rovnobežné a nakoľko v tomto základnom výklade sa zaoberáme len s tenkými šošovkami, môžeme predpokladať, že lúč prechádzajúci stredom šošovky nezmení svoj smer. K pozorovateľovi, ktorý je napravo od šošovky prichádzajú lúče tak, akoby vychádzali z priesečníku lúčov, teda z reálneho (skutočného) obrazu K. Pomer rozmerov obrazu a predmetu nazývame zväčšením. Z podobných trojuhol-
56 4. Kapitola níkov obrázku??b vyplýva, že zväčšenie je N = k t. Ako príklad si pozriem veľmi jednoduchý fotoaparát, ktorý má šošovku s ohniskovou vzdialenosťou 50 mm. Ak s tým fotoaparátom fotíme predmety, ktoré sú dostatočne ďaleko, lúče vychádzajúce z jednotlivých bodov predmetu prichádzajú do šošovky takmer rovnobežne s optickou osou a šošovka ich pozbiera do bodu na filme nachádzajúceho sa vo vzdialenosti 50 mm za šošovkou. Pokiaľ však predmet bude len vo vzdialenosti meter (000 mm) od šošovky, potom obrazová vzdialenosť bude o niečo väčšia. Dosaďme číselné hodnoty do vzťahu takže t + k = f 000 + k k = 50 = 50 000 = 0,020 0,00 = 0,09, a takto k = 52,6 mm. Pokiaľ chceme, aby obraz predmetu sa vytvoril presne na filme, potom vzdialenosť medzi šošovkou a filmom musíme zväčšiť. V ďalšom príklade predpokladajme, že 20 cm od steny svieti žiarovka a máme spojku s ohniskovou vzdialenosťou 24 cm. Kam máme umiestniť šošovku, aby sa na stene vytvoril ostrí obraz žiarovky? Náčrtok úlohy je vidieť na obrázku?? Zrejme platí, že k = 20 t (alebo t = 20 k; výsledok bude samozrejme v oboch prípadoch rovnaké). Potom t + 20 t 20 t(20 t) = 24, = 24, t 2 20t + 2880 = 0,
Biofyzika a radiológia 57 z čoho t = 20 ± 4400 520 2 t = 20 ± 2880 2 20 ± 53,7 t = 2 t = 86,8 cm alebo 33,2 cm. Dobre vidíme, že úloha má dve riešenia, šošovku môžeme umiestniť do dvoch polôh: v jednom prípade bude veľkosť obrazu väčšia, v druhom menšia ako veľkosť predmetu. Úloha, ktorého náčrtok vidieť na obrázku??a sa zdá byť na prvý pohľad dosť zložitou: Kam zobrazí táto sústava troch šošoviek predmet T. a aké je zväčšenie sústavy? Táto úloha, podobne mnohým iným úlohám vo fyzike, je sériou jednoduchých otázok. Zaoberajme sa naraz len s jednou šošovkou. Zo vzťahu + =, t k f ktorá popisuje zobrazenie prvej šošovky (pozri obrázok??b), plynie a 24 + k = 6 k = +8. Obraz vytvorený prvou šošovkou sústavy je predmetom pre druhú šošovku, nezávisle od toho, že je tento obraz skutočný, alebo neskutočný, nezávisle od toho, či druhá šošovka bráni lúčom vo vytvorení obrazu alebo nie. Zo vzdialenostných údajov sa dá ľahko zistiť, že K sa nachádza od druhej šošovky vo vzdialenosti 4 jednotiek (??c) a pre šošovku predstavuje virtuálny predmet (V T 2 ). Nakoľko V T 2 sa nachádza od 2. šošovky napravo, predmetová vzdialenosť t 2 je záporná a takto 4 + k 2 = 6, teda k 2 = +2. Teraz tento obraz K 2 vytvorený 2. šošovkou bude predmetom pre šošovku 3 (obrázok??d). pre tretiu šošovku píšeme 6 + k 3 = +2, teda k 3 = +4. 4-7 Sústavy šošoviek
58 4. Kapitola Konečný obraz sa teda nachádza na 4 jednotky napravo od tretej šošovky. Celkové zväčšenie dostaneme tak, že zväčšenie jednotlivých šošoviek medzi sebou násobím N = k t k2 t 2 k3 t 3 = 8 24 2 4 4 6 = 2 3. Konečný obraz teda má 2/3 výšky predmetu a z konštrukcie je zrejmé, že obraz je skutočný a obrátený. 4-8 Mikroskop Každodenným nástrojom je zväčšovacie sklo. Ak nejaký predmet približujeme k svojmu oku, vidíme ho čím ďalej tým väčším; pokiaľ by toto zväčšovanie by nemalo svoje hranice, nepotrebovali by sme zväčšovacie sklo. Zaostrovanie oka je však obmedzené skutočnosťou, že na predmety, ktoré držíme bližšie, než 25 cm nedokážeme trvalo pozerať pohodlne (táto vzdialenosť je tzv. vzdialenosť ostrého videnia). Obyčajné zväčšovacie sklo môžeme chápať aj ako prostriedok, ktorý posilňuje naše očné šošovky, a tak môžeme predmet viac priblížiť predmet k nášmu oku a pritom stále budeme mať jasný obraz vytvorený na zadnej strane oka, na retine citlivej na svetlo. Na obrázku?? sme ukázali použitie jednoduchého zväčšovacieho skla, alebo lupy. Pokiaľ predmet umiestníme medzi lupou a jeho ohniskovou vzdialenosťou, vo vzdialenosti 25 cm, teda vo vzdialenosti ostrého videnia vznikne virtuálny obraz. Zväčšenie je pomer rozmerov obrazu a predmetu. Aby sme mohli stanoviť zväčšenie, musíme poznať ohniskovú vzdialenosť f lupy a k je vzdialenosť ostrého videnia, tj. k = 25 cm. Vtedy t 25 t = f, = f + 25 = 25 + f 25f N = k t = k t =, 25(25 + f) 25f = 25 cm f cm +. Ak rozmeru udáme v iných jednotkách, aj vtedy bude platiť tento vzťah, napr. 0,25 metra N = +. f metrov Od jednoduchej lupy je podstatne účinnejší prístroj zložená lupa, prístroj známy skôr pod názvom mikroskop. Na obrázku?? sme nakreslili trojicu lúčov vychádzajúcich z oboch koncov malého predmetu, ktoré prejdú dvojicou šošoviek mikroskopu a nakoniec sa dostanú do oka. Prvá šošovka (väčšinou s malou ohniskovou vzdialenosťou) sa nazývaná objektív alebo predmetová šošovka a zobrazí obraz predmetu do blízkosti druhej šošovky, ktorá
Biofyzika a radiológia 59 sa nazýva okulár alebo očná šošovka. Pomocou okuláru sa pozeráme ako s obyčajnou lupou a vidíme obraz predmetu ešte väčším. ďalekohľadďalekohľad pracuje na tom istom princípe, ako mikroskop. 4-9 Objektív vytvorí reálny obraz o nejakom veľmi vzdialenom predmete a na tento predmet hľadíme okulárom. Aby sme zamedzili príliš veľkému počtu zbiehavých lúčov, na niektorých z obrázkov?? sme nakreslili len lúče, ktoré prechádzajú stredom šošoviek, bez zmeny smeru. V prípade ďalekohľadov nemá zmysel porovnávať rozmer predmetu a obrazu; namiesto toho používame tzv. uhlové zväčšenie. Nasmerujme napríklad hvezdársky ďalekohľad obrázku??a na nejakú hviezdu; na obrázku sme označili päťcípou hviezdou. Ak sa na oblohu pozrieme vlastnými očami, bez ďalekohľadu napríklad o uhol α nad našu hviezdu môžeme vidieť aj inú hviezdu, ktorú sme na obrázku označili malým čiernym krúžkom. Objektív vytvára v prípade oboch hviezd reálny obraz. Vzdialenosť dvojice obrazov je d (tým rozumieme to, že ak do ohniska objektívu umiestníme film, vzdialenosť medzi obrazmi hviezd na filme bude d). Hľadiac na obraz cez okulár, bude rozostup medzi hviezdami vyjadrený pomocou uhla rovný β. Uhlové zväčšenie definujeme ako pomer β/α. K jeho výpočtu udávame hodnotu β a α v radiánoch. Nakoľko približne platí, že α = d a β = d F obj F ok potom β α = F obj F ok. Hvezdársky ďalekohľad má jednu veľkú nevýhodu, o ktorou sa ale hvezdári nestarajú: druhá hviezda, ktorú sa v skutočnosti nachádza nad prvou hviezdou, ďalekohľade vidíme pod druhou hviezdou, inými slovami je obrázok otočený hlavou dole. V pozemských ďalekohľadoch, ktorými sledujeme predmety a udalosti je obrátený obraz veľmi rušivý, preto sa používa aj tretia šošovka, ktorá obracia obraz ešte raz, a zabezpečí, aby sme videli zväčšene, ale normálne (obrázok??b). Nepríjemné je len to, že ďalekohľad musí byť štyrikrát taký dlhý, ako ohnisková vzdialenosť šošovky, ktorá obracia obraz do normálnej polohy. Binokulár je v podstate dvojica ďalekohľadov namontovaných vedľa seba. Aby sa nepríjemná dĺžka a váha zmenšila, obracanie obrazu sa robí pomocou hranolov: svetelný lúč sa odráža na plochách 45 -ho hranola štyrikrát (pozri obrázok??c). Už sme videli, že použitím svetla rôznej farby, je aj index lomu skla iný a iný. Odlišné správanie sa farieb umožnili fyzikom analýzu svetla a tým 4-0 Hranolové spektroskopy
60 4. Kapitola aj analýzu štruktúry atómov, vlastnosti a zloženia hviezd o čom budeme hovoriť aj neskôr. Prostriedkom analýzy svetla je spektroskop (pozri obrázok??). V hornej časti obrázku (obrázok??a) vidíme bezhranolový spektroskop. Svetlo zdroja, ktorý chceme analyzovať, dopadne na úzku štrbinu; štrbina sa nachádza v ohnisku tav. kolimátorovej šošovky (C). Lúče zo štrbiny sa teda lámu na tejto šošovke do rovnobežných zväzkov a dopadajú na objektív, ktorý premietne obraz štrbiny do ohniska. Tento obraz zrovna tak ako v ďalekohľade skúmame okulárom. Ďalekohľad sa dá otáčať na podstavci a miera otočenia sa dá merať na uhlovej stupnici. K presnému nastaveniu slúži zameriavací kríž zabudovaný do ohniska objektívu. Presné nastavenie predstavuje otočenie ďalekohľadu, pri ktorom stredová čiara zameriavacieho kríža splýva s obrazom štrbiny. Ak medzi kolimátor a ďalekohľad umiestníme hranol (obrázok??b) obvykle rovnostranný, tj. každý jeho uhol je 60 potom svetelný lúč sa vychýli a ďalekohľad musíme na podstavci natočiť, aby obraz štrbiny a stredová čiara zameriavacieho kríža znova splynuli. Pokiaľ je svetlo monochromatické, potom vidíme v ďalekohľade jediný obraz štrbiny. Pokiaľ však (ako aj na obrázku??c) sa skladá svetlo z červeného a fialového svetla, potom po prechode hranolom sa fialové svetlo vychýli viac, než červené a dostaneme dva obrazy štrbiny. Aby obrázok nebol príliš komplikovaný, označili sme len polohy zameriavacieho kríža: pre každú farbu je poloha iná. Svetlo prichádzajúce z bežnej žiarovky obsahuje všetky farby, preto skúmaním jeho svetla vidíme v spektroskopu nespočetne veľa štrbín vedľa seba (každý inej farby). Výsledkom je teda spojité spektrum: naše oko vidí všetky druhy farieb, od najhlbšej červenej az po krajnú fialovú. Zo slnečného svetla niektoré farby chýbajú, preto ak do spektroskopu privedieme prirodzené slnečné svetlo, spojité spektrum je prerušované tmavými čiarami; každá tmavá čiara je jeden chýbajúci obraz štrbiny a príslušné svetlo chýba preto, lebo ho pohltila vlastná atmosféra Slnka. Takéto spektrum nazývame absorpčným spektrom. Svetlo neónky však dá v spektroskope rad širokých farebných čiar, väčšina z nich je červená a oranžová. Poukazuje to na to, že neónový plyn vyžaruje svetlo len niektorých farieb; každá farba zobrazí štrbinu ako farebný pás. Takéto spektrum nazývame čiarovým spektrom. V neskoršej kapitole uvidíme, že aký je rozdiel medzi týmito spektrami a ich zdrojmi. Autori tu mali na mysli skutočne neónku naplnenú neónovým plynom.
Biofyzika a radiológia 6 Úlohy 4.. Jeden človek chce na stenu zavesiť zrkadlo, v ktorom sa bude vidieť celý. Aké dlhé musí byť toto zrkadlo? (Predpokladajme, že náš človek je 80 cm vysoký a oči má vo výške 70 cm) (4-)
62 4. Kapitola