ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο ; Μονάδες 3 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [α, β] και για κάθε [α, β] α ισχύει f() τότε f() d >. β Μονάδες β. Έστω f µια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο τότε f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του. Μονάδες γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους g ο f είναι συνεχής στο. Μονάδες δ. Αν f είναι µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα και α είναι ένα σηµείο του, τότε g() ( f(t) dt α ) ' = f(g()) g '() µε την προϋπόθεση ότι τα χρησιµοποιούµενα σύµβολα έχουν νόηµα. Μονάδες ε. Αν α> 1 τότε lim a =. Μονάδες Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 1
ΘΕΜΑ ο ίνεται ο µιγαδικός αριθµός αi z = µε α. a i α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ = 1. Μονάδες 9 β. Έστω z 1, z οι µιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο ai z = a i για α = και α = αντίστοιχα. i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z 1 και z. ιι. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: (z 1 ) ν = ( z ) ν για κάθε φυσικό αριθµό ν. ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση: f() = 3 3 ηµ θ π όπου θ µια σταθερά µε θ κπ, κ. α. Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό µέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σηµείο καµπής. Μονάδες 7 β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει ακριβώς τρεις πραγµατικές ρίζες. γ. Αν 1, είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων και 3 η θέση του σηµείου καµπής της f, να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α( 1, f( 1 )), B(, f( )) και Γ( 3, f( 3 )) βρίσκονται στην ευθεία y = ηµ θ. Μονάδες 3 δ. Να υπολογισθεί το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και την ευθεία y = ηµ θ. Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone
ΘΕΜΑ 4ο Έστω f µια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστηµα [, 1] για την οποία ισχύει f() >. ίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστηµα [, 1] για την οποία ισχύει g() > για κάθε [, 1]. Ορίζουµε τις συναρτήσεις: F()= f(t)g(t)dt, [, 1], G()= g(t)dt, [, 1]. α. Να δειχθεί ότι F() > για κάθε στο διάστηµα (, 1]. β. Να αποδειχθεί ότι: f() G() > F() για κάθε στο διάστηµα (, 1]. γ. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: F( ) F(1) G ( ) G(1) για κάθε στο διάστηµα (, 1]. Μονάδες 6 Μονάδες 4 δ. Να βρεθεί το όριο: lim ( f(t)g(t) dt) ( g(t) dt ) ηµt dt 5 Μονάδες 7 Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 3
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Θεωρία, σελίδα 98 σχολ. βιβλίου. Α. Θεωρία - Ορισµός, σελίδα 141 σχολ. βιβλίου. Α.3 Θεωρία - Ορισµός, σελίδα 8 σχολ. βιβλίου. Β. α. Λ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ ο α. αi αi αi 4 α z =, α. Άρα z = = = = 1. α i α i α i α 4 Άρα η εικόνα του µιγαδικού z ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ = 1. β. Για α = έχουµε: z 1 i 1 = = = i = i. i i Για α = έχουµε: i z = = 1 = 1 i. i i. Αν Α, Β οι εικόνες των z 1, z αντίστοιχα, τότε η απόστασή τους είναι d (A, B) = z = ( i ) ( 1 i ) = 1 i = 1 i. z1 = ν ν ν ν ii. Είναι: ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 3ο z = (z ) =((-i) ) =(-1) = -z. 1 1 α. H f είναι παραγωγίσιµη στο ως πολυωνυµική, µε f () = 3 3 = 3( 1)( 1). Οπότε f () = = 1 ή = 1. ν f f - -1 1 - Από τον πίνακα µεταβολών της f προκύπτει ότι η f έχει τοπικό µέγιστο στο 1 = 1, το f( 1) = συν θ > και έχει τοπικό ελάχιστο στο = 1, το f(1) = (1 ηµ θ). Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 4
Επίσης είναι: f () = 6. Οπότε f () = 6 = =. - f - f Προκύπτει ότι η f έχει σηµείο καµπής στο 3 =, το f( 3 ) = ηµ θ. β. i. Επειδή f () =, f ( 1) = συν θ και f γνησίως αύξουσα και lim > συνεχής στο (, 1], προκύπτει: f ((, 1]) = (, συν θ] Επειδή f ((, 1]), υπάρχει ρ 1 (, 1) ώστε f(ρ 1 ) =. Η ρίζα ρ 1 είναι και µοναδική στο (, 1], αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό. ii. Επειδή f ( 1) = συν θ >, f (1) = (1 ηµ θ) < και f γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [ 1, 1] προκύπτει: f ([ 1, 1]) = [ (1 ηµ θ), συν θ]. Επειδή f ([ 1, 1]), υπάρχει ρ ( 1, 1) ώστε f (ρ ) =. Η ρίζα ρ είναι και µοναδική στο [ 1, 1], αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα αυτό. iii. Επειδή f (1) = (1 ηµ θ) <, lim f() = και η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [1, ) προκύπτει: f ([1, )) = [ (1 ηµ θ), ). Επειδή f ([1, )), υπάρχει ρ 3 (1, ) ώστε f (ρ 3 ) =. Η ρίζα ρ 3 είναι και αυτή µοναδική στο [1, ), αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η εξίσωση f () = έχει ακριβώς 3 ρίζες στο. γ. Έχουµε Α ( 1, συν θ)), Β (1, (1 ηµ θ)), Γ (, ηµ θ) Α (ε) αφού: συν θ = ( 1) ηµ θ (1 ηµ θ) = ηµ θ ηµ θ = ηµ θ. Β (ε) αφού: (1 ηµ θ) = ( ) 1 ηµ θ ή ηµ θ = ηµ θ. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 5
Γ (ε) αφού: ηµ θ = ηµ θ ή ηµ θ = ηµ θ. δ. Βρίσκουµε τα κοινά σηµεία των C f, ε: f () = y 3 3 ηµ θ = ηµ θ 3 = ( 1) = ( 1) ( 1) = = ή = 1 ή = 1. Εποµένως το ζητούµενο εµβαδόν Ε του χωρίου είναι: 1 1 (*) 3 E= f() y d = d= -1-1 1 3 3 1 = ( -)d ( -)d= τ.µ. -1 (*) 3 = ( 1)( 1). 3 > για ( 1, ). 3 < για (, 1). ΘΕΜΑ 4ο α. Αφού f, g συνεχείς στο [, 1] η F είναι παραγωγίσιµη στο [, 1] µε F () = f () g (). Όµως g () > στο [, 1] από υπόθεση, ενώ αφού f γνησίως αύξουσα στο [, 1] έχουµε: f () f() >, άρα f () > στο [, 1]. Συνεπώς f () g() > στο [, 1] και εποµένως F () > στο [, 1]. Οπότε F γνησίως αύξουσα στο [, 1]. Έτσι για (, 1] είναι > F() > F() F()> f(t)g(t)dt F() >. β. Είναι: t µε (, 1]. Αφού f γνησίως αύξουσα στο [, 1] έχουµε t f (t) f () οπότε f () f (t) για κάθε (, 1]. Ακόµη g (t) > στο (, 1]. άρα και g (t) [f() f (t)] για κάθε (, 1] και για κάθε t [, ]. Η ισότητα ισχύει µόνο όταν t = Ακόµη η g (t) [f() f (t)] συνεχής στο [, ] µε (, 1]. Άρα g(t)[f()-f(t)]dt > µε (, 1]. Εποµένως για κάθε (, 1] έχουµε: g(t)f()dt f(t)g(t)dt > f() g(t)dt > f(t)g(t)dt f()g()> F(). γ. Είναι για κάθε (, 1] και για κάθε t [, ]: g (t) >. Επίσης g συνεχής στο [, ] άρα η G()= g(t)dt είναι παραγωγίσιµη και θετική για κάθε (, 1]. Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 6
Έτσι µπορούµε να θεωρήσουµε τη συνάρτηση και παραγωγίζεται στο (, 1] µε F( ) H( ) = που ορίζεται G ( ) F'()G()-F()G'() f()g()g()-f()g() H'()= = = G() G() g() ( f()g() F() ) = > στο (, 1]. ( ιότι από το ερώτηµα β είναι G() f()g() F()> ). Άρα η συνάρτηση Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, 1] και εποµένως για F( ) F(1) (, 1] έχουµε: 1 Η () H(1) δηλαδή. G ( ) G(1) δ. Θεωρούµε τη συνάρτηση K()= f(t)g(t) dt g(t)dt ηµ(t ) dt 5 για κάθε (, 1]. Αφού οι F, G παραγωγίσιµες στο [, 1] είναι και συνεχείς σε αυτό άρα: Συνεπώς: lim lim F( ) = F() = lim G ( ) = G() = f(t)g(t) dt F() = lim G() g(t) dt F'( ) = lim = lim f ( ) G'( ) LH. fσυνεχής f() στο [,1] =. (1) Άρα Η φ(t) = ηµ(t ) είναι συνεχής στο και η είναι παραγωγίσιµη στο άρα η στο. ηµt dt είναι παραγωγίσιµη στο και άρα είναι συνεχής = = lim ηµ(t )dt ηµ(t )dt Ακόµη lim 5 = Συνεπώς Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 7
' ηµ(t )dt 4 4 ηµ(t )dt ηµ( ) ηµ( ) lim = lim lim lim 5 LH 5 4 4 ' = = = ( ) 5 5 = 1 = () 5 Εποµένως: lim K() = lim lim f () = f (t)g(t)dt ηµt dt (1) 5 g(t)dt = () Τεχνική Επεξεργασία: Keystone 8