ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο σύνολο Δ να αποδείξετε ότι: g g Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με τη λέξη ΣΩΣΤΟ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει: g g g. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ β. Στην περίπτωση ποσοτικών μεταβλητών, η αθροιστική σχετική συχνότητα F εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ γ. Τα μέτρα θέσης είναι αριθμητικά μεγέθη που μας δίνουν τη θέση του κέντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ δ. Αν Α, Β ενδεχόμενα πειράματος τύχης με Ρ(Α) < Ρ(Β) τότε Α Β. ε. Για τα συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α πειράματος τύχης ισχύει: Ρ(Α) = Ι-Ρ(Α ). Μονάδες: Α 5, Α 0, Α3 0 ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
ΘΕΜΑ B Δίνεται η συνάρτηση με n, >0. Β Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης c της στο σημείο A,. Β3 α. Να επιλυθεί το σύστημα των ανισώσεων: n 4 n. Μονάδες: Β 0, Β 0, Β3 5
ΘΕΜΑ Γ Η προϋπηρεσία των συμβασιούχων μιας δημόσιας υπηρεσίας έχει ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Το εύρος είναι R=6. ΧΡΟΝΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ [, ) ΚΕΝΤΡΑ % [, ) [, ) 0 3 [, ) ΣΥΝΟΛΟ Γ Δείξτε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c = 4 και ότι 0. Γ Να συμπληρώσετε τον πίνακα με στήλες:,, %,, %,,. Γ3 Να βρείτε τη μέση τιμή, την τυπική απόκλιση και να εκτιμήσετε το ποσοστό των συμβασιούχων που έχουν χρόνο υπηρεσίας τουλάχιστον S και το πολύ S. Γ4 Η πολιτεία αποφασίζει να απολύσει τους συμβασιούχους που έχουν προϋπηρεσία λιγότερο από 4 έτη. Να βρείτε τη νέα μέση τιμή του χρόνου προϋπηρεσίας. Δίνεται ο τύπος v v. v S v Μονάδες: Γ 6, Γ 6, Γ3 5, Γ4 8
ΘΕΜΑ Δ Το 40% των κατοίκων μιας συνοικίας διαβάζουν την εφημερίδα ΤΟ ΘΕΜΑ, ενώ το 5% των κατοίκων διαβάζει την εφημερίδα ΤΟ ΘΕΜΑ και δεν διαβάζει την εφημερίδα ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ. Δ Ένας κάτοικος της συνοικίας επιλέγεται τυχαία. α. Ποια είναι η πιθανότητα να μη διαβάζει την εφημερίδα ΤΟ ΘΕΜΑ ή να διαβάζει την εφημερίδα ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ. β. Τί ποσοστό αμερόληπτων κατοίκων διαβάζει και τις δύο εφημερίδες. Δ Να δείξετε ότι PA 3 3, όπου Α είναι το ενδεχόμενο ένας κάτοικος που 0 4 επιλέγεται να διαβάζει την εφημερίδα ΕΛΕΥΘΕΡΟΤΥΠΙΑ. Δ3 Να εξετάσετε τη συνάρτηση: 3 3 0P B 3P A 034 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, όπου Β είναι το ενδεχόμενο ένας κάτοικος που επιλέγεται τυχαία να διαβάζει την εφημερίδα ΤΟ ΘΕΜΑ. Μονάδες: Δα 7, Δβ 3, Δ 6, Δ3 9
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 3 Α3 α ΛΑΘΟΣ β ΛΑΘΟΣ γ ΣΩΣΤΟ δ ΛΑΘΟΣ ε ΣΩΣΤΟ ΘΕΜΑ Β Β Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα 0, με: n n n n n n n, 0 Άρα Επειδή 0 το πρόσημο της εξαρτάται από το πρόσημο της συνάρτησης: g n, 0 Έχουμε: 0 0 g 0 g 0 n 0 n
και 0 0 g 0 g 0 n 0 Ανάλογα: 0. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:. 0 0 + Μονοτονία 0,,, Η παρουσιάζει στη θέση 0 τοπικό ελάχιστο Β Έχουμε: τ.ε. το mn n n n n n Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: ε:ψ = λχ+β, όπου λ = Άρα ε: Αλλά η ε διέρχεται από το σημείο:, ή Α,, Επομένως είναι: 3 4 B και τελικά: 3 :
Β3 Έχουμε: n 4 n n n n n n n, αφού, και. ΘΕΜΑ Γ Γ Έστω [Κ,Κ+c) η πρώτη κλάση, οπότε η τέταρτη κλάση είναι [Κ+3c, +4c). Είναι R = (+4c)- = 4c και R=6 4c=6 c = 4. Είναι % + % +3%+4% = 00 3 00 00 00 0. Γ Η Τρίτη κλάση είναι [Κ+c, +3c) και c=4 άρα [+8, +) και αφού το κέντρο της είναι 0 θα έχουμε: 8 0 0 0 0. Επομένως οι κλάσεις είναι: [0,4), [4,8), [8,), [,6) και ο ζητούμενος πίνακας είναι: ΧΡΟΝΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΑΣ % F F % [0,4) 0, 0 0, 0 0, 0,4 [4,8) 6 0, 0 0,3 30, 7, [8,) 0 0,3 30 0,6 60 3 30 [,6) 4 0,4 40 00 5,6 78,4 ΣΥΝΟΛΟ 00 0 6
Γ3 Έχουμε: v v 0 v και s v v v v v v v v v v v v v 6 00 6, άρα S S 6 4. Είναι S 0 4 6, S 4 4 Επομένως το αντίστοιχο ποσοστό αντιστοιχεί στο διάστημα: [6,4] = [6,8] [8,] [,4]. Δηλαδή το ζητούμενο ποσοστό είναι: % 4% 0 40 3% 30 % 0 30 0 % 60%. Γ3 Αφού αποσύρθηκε η κλάση [0,4) έχουμε τις κλάσεις [4,8), [8,) και [,6) με αντίστοιχες συχνότητες v, v 3, v 4. To μέγεθος του νέου δείγματος είναι v v v και οι καινούργιες σχετικές συχνότητες είναι: v v v v v v v v v v3 v3 3 v v v και v4 v4 4 3 v v v
Επομένως η νέα τιμή είναι: 3 4 3 4 3 3 4 33 44, 3 5,6, 5. 0, ΘΕΜΑ Δ Δ α. Από τα δεδομένα προκύπτει ότι PB 5 P B A P B A. 00 4 και Έτσι έχουμε: 40 00 5 PA PB PA PA B PB PA B P A B P A P B P A B P A P B P A P A B 3 PB A 4 4 β. Είναι PB A P B P A B άρα: 8 5 3 PA B P B P B A ή 5%. 5 4 0 0 0 3 () 4 Δ Είναι A A B PA PA B P A 3 () 0 και A B A PA B PA P A 3 3. 0 4 Από () και () προκύπτει ότι PA 3 0P B 3P A 034 3 Δ3 Είναι άρα 3 3 0 3P A 5
3 3 4 3P A, ή 3 43 4 3P A 9 4 3P A 9 48 36P A 36P A 39. Αλλά από το Δ έχουμε: 3 3 3 3 PA 36 36PA 36 0 4 0 4 7 7 36PA 7 39 36PA 39 7 39 5 5 33, 6 και επειδή Α=3>0 άρα 0, Δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν έχει ακρότατα.