ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΔΙΔΑΣΚΩΝ : ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Διηλκτρικά 5.1 Γνικές Ιδιότητς 5. Διηλκτρικά σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο 5.3 Ο Νόμος του Gauss παρουσία πολωμένων διηλκτρικών 5.4 Ένας κόσμος μέσα σ διηλκτρικό 5.5 Οριακές συνθήκς παρουσία πολωμένων διηλκτρικών 5.6 Ενέργια του ηλκτρικού πδίου παρουσία πολωμένων διηλκτρικών 5.6 Ενέργια του ηλκτρικού πδίου παρουσία πολωμένων διηλκτρικών 5.7 Πυκνωτές μ διηλκτρικά Το παρόν κίμνο αποτλί Κφάλαιο βιβλίου υπό συγγραφή.απαγορύται η αντιγραφή και η αναπαραγωγή κιμένου και σχημάτων μ οποιονδήποτ τρόπο χωρίς την άδια του συγγραφέα. D.Skalatos, 1. 1
5.1 Γνικές Ιδιότητς Τα διηλκτρικά (μονωτές) αποτλούν, όπως έχι ήδη αναφρθί,μία από τις τρίς μγάλς κατηγορίς υλικών ως προς τις ηλκτρικές τους ιδιότητς (οι άλλς δύο ίναι οι αγωγοί και οι ημιαγωγοί).έχουν δ τις ακόλουθς χαρακτηριστικές ιδιότητς: (α) Τα ηλκτρόνια των ατόμων τους ίναι ισχυρά δσμυμένα σ αυτά.κατά συνέπια τα διηλκτρικά δν έχουν στη φυσική τους κατάσταση λύθρα κινούμνα ηλκτρόνια στον όγκο τους όπως οι αγωγοί. (β) Κατά τις διαδικασίς φόρτισής τους το καθαρό (πλονάζον) φορτίο που προσλαμβάνουν ίναι δυνατόν να κατανέμται (ανάλογα μ τον τρόπο φόρτισης) τόσο στην πιφάνια όσο και στο σύνολο του όγκου τους, σ αντίθση μ τους αγωγούς όπου το πλονάζον φορτίο κατανέμται μόνο στην πιφάνιά τους. (γ) Το πλονάζον φορτίο νός διηλκτρικού δν μπορί να κινηθί λέυθρα στον όγκο του.γνικά τα διηλκτρικά δν πιτρέπουν, υπό μη καταστροφικές συνθήκς, τη διέλυση φορτίου μέσα από τον όγκο τους. (δ) Στη φυσική τους κατάσταση τα μορια των διηλκτρικών ίναι δυνατόν να μφανίζουν ή όχι μόνιμς διπολικές ροπές (πολικά και μη πολικά μόρια αντίστοιχα).χαρακτηριστικά παραδίγματα ικονίζονται στο ακόλουθο Σχήμα 5.1. Στο μόριο του HCl το μοναδικό ηλκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου βρίσκται τον πρισσότρο χρόνο κινούμνο πιο κοντά στο άτομο του Cl.Έτσι τα κέντρα θτικού και αρνητικού φορτίου του μορίου δν συμπίπτουν και το μόριο παρουσιάζι μόνιμη διπολική ροπή που κατυθύνται από το άτομο του Cl σ αυτό του H. Στο μόριο του HO, όπου οι δύο δσμοί HO σχηματίζουν γωνία λίγο μγαλύτρη από 9,τα ηλκτρόνια των ατόμων του υδρογόνου συγκντρώνονται τον πρισσότρο χρόνο γύρω από το άτομο του O που καθίσταται αρνητικότρο σ σχέση μ αυτά.κάθ δσμός HO συνισφέρι μια ηλκτρική διπολική ροπή.λόγω συμμτρίας του μορίου η συνισταμένη διπολική ροπή κίται κατά μήκος του άξονα συμμτρίας του μορίου. Τέλος στο μόριο του CO κατ αντιστοιχία οι δύο δσμοί ΟC συνισφέρουν δύο ίσς και αντίθτς διπολικές ροπές μ αποτέλσμα η συνολική διπολική ροπή του μορίου να ίναι μηδέν και αυτό να ίναι μη πολικό. Ο ακόλουθος Πίνακας 5.Ι δίνι τιμές των διπολικών ροπών χαρακτηριστικών μορίων διηλκτρικών υλικών.στα διηλκτρικά μ πολικά μόρια οι προσανατολισμοί των διπολικών ροπών των μορίων ίναι τυχαίοι, όπως ικονίζται στο Σχήμα 5..Τα μόρια αναπαρίστανται ως μικρά δίπολα λόγω της τροβαρούς κατανομής του ηλκτρικού φορτίου σ αυτά.στην πρίπτωση που τα μόρια των διηλκτρικών ίναι μη πολικά αναπαρίστανται σαν τα κέντρα κατανομής του θτικού και αρνητικού τους φορτίου να συμπίπτουν, όπως ικονίζται στο Σχήμα 5.3. Η p Cl 1 Ο p Η 15 p Ο C Ο p p 1 p Η Σχήμα 5.1. Παραδίγματα πολικών και μη πολικών μορίων διηλκτρικών.
Μέχρι στιγμής ασχοληθήκαμ μ τον υπολογισμό ηλκτρικών πδίων φορτισμένων διηλκτρικών που βρίσκονται απομονωμένα στο κνό ή τον αέρα.το Κφάλαιο αυτό ίναι αφιρωμένο στη συμπριφορά των διηλκτρικών υπό την πίδραση ξωτρικού ηλκτρικού πδίου όταν αυτά βρίσκονται στο κνό ή τον αέρα.όπως θα αναδιχθί στη συνέχια ο ίδιος φορμαλισμός χρησιμοποιίται και για τον υπολογισμό ηλκτρικών πδίων φορτισμένων σωμάτων που δν βρίσκονται στο κνό ή τον αέρα, αλλά μέσα σ έναν «κόσμο από διηλκτρικό». p p p p p Σχήμα 5.. Δύο ισοδύναμς αναπαραστάσις πολικών μορίων διηλκτρικών υλικών. Σχήμα 5.3. Αναπαραστάσις μη πολικών μορίων διηλκτρικών υλικών. Πίνακας 5.Ι (Διπολικές ροπές διαφόρων πολικών μορίων) Υλικό Φυσικές Ιδιότητς Διπολική ροπή (C m) x1 3 (Μόριο) ΗCl 3,43 HB,6 HI 1,6 CO,4 HO 6, HS 5,3 SO 5,3 NH3 5 CH5OH 3,66 5. Διηλκτρικά σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο Γνική μακροσκοπική συμπριφορά.στην πρίπτωση όπου ένα αφόρτιστο διηλκτρικό υφίσταται την πίδραση νός ξωτρικού ηλκτριού πδίου E στο κνό ή τον αέρα,διακρίνομ δύο βασικές πριπτώσις που ικονίζονται στο Σχήμα 5.4. 3
Εάν ίναι διηλκτρικό μ μη πολικά μόρια,υπό την πίδραση του ξωτρικού πδίου τα κέντρα κατανομής θτικού και αρνητικού τους φορτίου διαχωρίζονται και τα μόρια αποκτούν παγόμνη διπολική ροπή,όπως φαίνται στο Σχήμα 5.4(α). Εάν ίναι διηλκτρικό μ πολικά μόρια, υπό την πίδραση του ξωτρικού ηλκτρικού πδίου τα μικροσκοπικά αυτά δίπολα τίνουν να προσανατολιστούν παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές του,όπως φαίνται στο Σχήμα 5.4(β).Ο προσανατολισμός τους ξαρτάται από τρίς βασικούς παράγοντς που ίναι : (α) Η δομή των μορίων που καθορίζι και τη μόνιμη διπολική ροπή τους.αυτό ίναι αναμνόμνο, δδομένου ότι η διπολική ροπή νός ηλκτρικού διπόλου αποτλί ουσιαστικά ένα μέτρο του πόσο ύκολα αυτό μπορί να παραλληλιστί στις δυναμικές γραμμές νός ηλκτρικού πδίου. (β) Η ένταση του ξωτρικού ηλκτρικού πδίου. (γ) Η θρμοκρασία του πριβάλλοντος που τίνι να αποπροσανατολίσι τα δίπολα και να παναφέρι την τυχαιότητα στον προσανατολισμό τους. Και στις δύο πριπτώσις η μακροσκοπική ικόνα του υλικού ίναι αυτή του Σχήματος 5.4(γ) κατά την οποία μφανίζται πρίσσια αρνητικού φορτίου στην μία πιφάνιά του και θτικού φορτίου στην άλλη.το φαινόμνο έιναι μακροσκοπικά ανάλογο μ την πρίπτωση της ανάπτυξης παγόμνου φορτίου σ αγωγό που βρίσκται σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο μ τη διαφορά ότι η γννσιουργός αιτία ίναι ριζικά διαφορτική στις δύο πριπτώσις.στην πρίπτωση των αγωγών η αιτία ίναι μτακίνηση λύθρου υκίνητου φορτίου (ηλκτρονίων) προς την μία πλυρά του μ αποτέλσμα την διαταραχή της τοπικής ουδτρότητάς του.στην πρίπτωση των διηλκτρικών έχομ ανάπτυξη πιφανιακών φορτίων λόγω προσανατολισμού ολόκληρων των μορίων του ηλικού στα οποία θτικά και αρνητικά φορτία ίναι ισχυρά δέσμια.το υλικό πλέον καθίσταται πρακτι E = E E E = (α) E E E (β) E Σχήμα 5.4. Επίδραση ξωτρικού ηλκτρικού πδίου σ διηλκτρικό.(α)επαγόμνς διπολικές ροπές σ μη πολικά μόρια.(β)προσανατολισμός πολικών μορίων.(γ)γνική μακροσκοπική ικόνα του υλικού. E = E E (γ) 4
κά ένα μγάλο ηλκτρικό δίπολο.το φαινόμνο ονομάζται πόλωση του διηλκτρικού.κατά τη διαδικασία της πόλωσης τόσο τα θτικά όσο και τα αρνητικά φορτία του μγάλου αυτού διπόλου δν αποχωρίζονται από τα μόρια του υλικού, αλλά παραμένουν δέσμια σ αυτά.ονομάζονται δ δέσμια φορτία.εάν το ξωτρικό ηλκτρικό πδίο παύσι ξαφνικά να φαρμόζται, τα πρισσότρα διηλκτρικά πανέρχονται στην αρχική τους κατάσταση μ τυχαίους προσανατολισμούς των διπόλων τους (άν τα μόριά τους ίναι πολικά) και μ σύπτωση των κέντρων κατανομής θτικού και αρνητικού φορτίου τους (άν τα μόριά τους ίναι μη πολικά).υπάρχουν όμως και υλικά στα οποία η πόλωση παραμένι και μτά την απομάκρυνση του ξωτρικού πδίου.τα υλικά αυτά ονομάζονται σιδηροηλκτρικά. Στο σημίο αυτό θα πανέλθομ στο Σχήμα 5.4 προκιμένου να διυκρινιστούν κάποια λπτά σημία.η μφάνιση της πόλωσης στο διηλκτρικό συνπάγται και την ανάπτυξη νός ηλκτρικού πδίου που οφίλται στο ίδιο το υλικό και έχι αντίθτη φορά από το ξωτρικά φαρμοζόμνο.το πδίο του πολωμένου διηλκτρικού αναπτύσσται τόσο μέσα στον όγκο του, όσο και στον πριβάλλοντα χώρο (κνό ή αέρας) και θα συμβολίζται ως E.Η χωρική του ξάρτηση (ομογνές ή όχι) ξαρτάται τόσο από το υλικό, όσο και από το ξωτρικά φαρμοζόμνο ηλκτρικό πδίο (ομογνές ή όχι).κατά συνέπια το συνολικό ηλκτρικό πδίο σ κάθ σημίο του χώρου (τόσο μέσα στο υλικό, όσο και στον πριβάλλοντα χώρο) θα ίναι το συνιστάμνο πδίο: E = E E και ν γένι θα ίναι ασθνέστρο από το ξωτρικά φαρμοζόμνο πδίο λόγω της αντίθτης φορά του πδίου πολώσως. Το φαινόμνο της πόλωσης των διηλκτρικών πριγράφται ποσοτικά σ μακροσκοπικό πίπδο από ένα διάνυσμα που ονομάζται πόλωση (polaization) και συμβολίζται ως.εάν p ίναι η διπολική ροπή (παγόμνη ή μόνιμη) κάθ μορίου του διηλκτρικού και Ν το πλήθος των μορίων του ανά μονάδα όγκου (σ m 3), η πόλωση ολόκλητου του διηλκτρικού ορίζται ως: Cm C = N p, σ = 3 m m Εν γένι η πόλωση νός διηλκτρικού παρουσιάζι ξάρτηση από τη διύθυνση μέσα στο υλικό.υπάρχι όμως μία κατηγορία διηλκτρικών στα οποία η πόλωση ίναι ανάλογη του συνολικού φαρμοζόμνου ηλκτρικού πδίου E (ξωτρικού πδίου που παράγται από το πολωμένο διηλκτρικό) και δίδται από τη γνική έκφραση : = χ E e (5.) (5.1) Τα υλικά αυτά ονομάζονται γραμμικά διηλκτρικά.η σταθρά αναλογίας χ e ονομάζται ηλκτρική πιδκτικότητα του υλικού και ίναι καθαρός θτικός αριθμός.αποτλί δ μέτρο της απόκρισης ολόκληρου του υλικού στην φαρμογή του συνολικού ηλκτρικού πδίου, όπως η διπολική ροπή κάθ μορίου αποτλί μέτρο της απόκρισης του κάθ μορίου στην φαρμογή του πδίου.ο ακόλουθος Πίνακας 5.ΙΙ δίδι χαρακτηριστικές τιμές πιδκτικότητας για διάφορα γραμμικά διηλκτρικά. Πίνακας 5.ΙΙ (Ηλκτρική πιδκτικότητα γραμμικών διηλκτρικών) Υλικό Φυσικές Ιδιότητς χ e Μica Στρό 5 Πορσλάνη Στρό 6 Γυαλί Στρό 8 Βακλίτης Στρό 4,7 HO Υγρό 78 Λάδι Υγρό 1,1 Βνζίνη Υγρό 1,84 Οινόπνυμα Υγρό 4 Αέρας (Σ πίση 1 atm και στους C) 5,4x1 4 CO Αέριο. (Σ πίση 1 atm και στους C) 9,x1 4 5
Δυναμικό πολωμένου διηλκτρικού που βρίσκται σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο.θωρούμ ένα αφόρτιστο διηλκτρικό που βρίσκται σ ένα ξωτρικό ηλκτρικό πδίο E και ίναι κατά συνέπια πολωμένο, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.5.Λόγω της πόλωσής του το διηλκτρικό αναπτύσσι και αυτό ένα ηλκτρικό πδίο E που συντίθται μ το ξωτρικά φαρμοζόμνο δίνοντας ένα συνολικό πδίο E = E E σ κάθ σημίο του χώρου ντός και κτός του υλικού.ένα βασικό πρόβλημα ίναι ο υπολογισμός του συνιστάμνου αυτού ηλκτρικού πδίου.δδομένου ότι το ξωτρικό ηλκτρικό πδίο μπορί συνήθως να θωρηθί γνωστό, το πρόβλημα ανάγται στον υπολογισμό του ηλκτρικού πδίου E που δημιουργί το ίδιο το πολωμένο διηλκτρικό τόσο μέσα στον όγκο του όσο και στον πριβάλλοντα χώρο.για λόγους που θα καταστούν προφανίς στη συνέχια το πρόβλημα διαχωρίζται ουσιαστικά σ δύο. (α)υπολογισμός του δυναμικού στον πριβάλλοντα χώρο. Θωρούμ έναν στοιχιώδη όγκο του πολωμένου διηλκτρικού dυ μ κέντρο (χ,y,z ).Εάν η πόλωση του διηλκτρικού ίναι ( ), ο στοιχιώδης αυτός όγκος συμπριφέρται μακροσκοπικά σαν ένα δίπολο διπολικής ροπής dυ.θωρούμ τώρα ένα σημίο (x,y,z) ξωτρικό του διηλκτρικού που απέχι απόσταση από τον στοιχιώδη αυτό όγκο.δδομένου ότι το δυναμικό νός διπόλου σ πολύ μγάλη απόσταση από το κέντρο του δίδται από την έκφραση 1 pcosθ 1 p ˆ V = 4π 4π το στοιχιώδς δυναμικό του διπόλου dυ στο σημίο (x,y,z) θα ίναι : 1 i ˆ 1 1 dv dυ = dυ 4π 4π i Κατά συνέπια το δυναμικό λόγω της συνισφοράς ολόκληρου του πολωμένου διηλκτρικού θα ίναι στο σημίο : V 1 1 = dυ 4 i (5.3) π Ο γκος Διηλκτρικού Χρησιμοποιώντας την γνωστή ταυτότητα για μία βαθμωτή συνάρτηση και μία διανυσματική συνάρτηση Α i( A) = ia Ai ( ) ( ) E = E E dυ ˆ (x,y,z ) ˆn (x,y,z) E = E E Σχήμα 5.5. Για την ξαγωγή της έκφρασης του δυναμικού του ηλκτρικού πδίου πολωμένου διηλκτρικού που βρίσκται σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο. 6
παίρνομ ότι: Μ βάση το θώρημα της αποκλίσως Όγκος V 1 1 i = dυ dυ 4π i 4π Ογκος Ογκος Διηλκτρικο ύ Διηλκτρικο ύ ( ifd ) υ = F i da, όπου F διανυσματική συνάρτηση Επιϕάνια μπορούμ να μτατρέψομ το πρώτο ολοκλήρωμα της παραπάνω σχέσως σ πιφανιακό παίρνοντας τλικά ότι : 1 da i 1 i V = dυ 4π 4π (5.4) Επιφάνια Ογκος Διηλκτρικο ύ Διηλκτρικο ύ Από την παραπάνω έκφραση φαίνται ότι το δυναμικό του ηλκτρικού πδίου νός πολωμένου διηλκτρικού προέρχται από δύο κατανομές δσμίου φορτίου στο σωτρικό του: (i) Μία πιφανιακή κατανομή δσμίου φορτίου μ πιφανιακή πυκνότητα σ = n i ˆ C/m (5.5) όπου ˆn το κάθτο στην πιφάνια του διηλκτρικού μοναδιαίο διάνυσμα (ii) Μία χωρική κατανομή δσμίου φορτίου μ πυκνότητα : ρ = i C/m 3 (5.6) Η προέλυση των δύο αυτών κατανομών μπορί να γίνι αντιληπτή μ τη βοήθια του Σχήματος 5.6 που απικονίζι την πόλωση νός υγρού διηλκτρικού λόγω της παρουσίας νός λύθρου σημιακού φορτίου q στο σωτρικό του.η πρώτη συνισφορά στο ηλκτρικό πδίο του πολωμένου διηλκτρικού σ ένα ξωτρικό σημίο(x,y,z) έρχται από το στρώμα του πιφανιακού θτικού δέσμιου φορτίου των ακραίων διπόλων του.η δύτρη συνισφορά στο ηλκτρικό πδίο του πολωμένου διηλκτρικού στο ξωτρικό σημίο έρχται από το πλονάζον καθαρό αρνητικό φορτίο χώρου στον όγκο του που οφίλται στα δίπολα που πριβάλλουν το σημιακό φορτίο.το νδιάμσο στρώμα ίναι ένα στρώμα αλληλοαναιρούμνων φορτίων που δν συνισφέρι στο πδίο του πολωμένου διηλκτρικού. H έκφραση (5.6) υποδηλώνι ότι προκιμένου να υπάρχι συνισφορά χωρικής πυκνότητας δσμίου φορτίου στο ηλκτρικό πδίο νός πολωμένου διηλκτρικού θα πρέπι η πόλωση του διηλκτρικού να παρουσιάζι απόκλιση. Σχήμα 5.6. Πόλωση διηλκτρικού από σημιακό φορτίο στο σωτρικό του. 7
(β)υπολογισμός του δυναμικού στο σωτρικό του διηλκτρικού. Στην πρίπτωση όπου θέλομ να υπολογίσομ το δυναμικό του ηλκτρικού πδίου του πολωμένου διηλκτρικού στο σωτρικό του τα πράγματα πριπλέκονται.το κυριότρο πρόβλημα πηγάζι από το γγονός ότι σ ένα σωτρικό σημίο του υλικού λόγω της γγύτητας των διπόλων σ αυτό, η προσέγγιση του δυναμικού κάθ ανξάρτητου διπόλου του υλικού που χρησιμοποιήθηκ στην προηγούμνη απόδιξη δν ισχύι γιατί προϋποθέτι ότι >>α ( α ίναι η απόσταση μταξύ των φορτίων του διπόλου).στην πρίπτωση αυτή αυτό που μπορί να υπολογισθί ίναι ένα μέσο μακροσκοπικό ηλκτρικό πδίο πολώσως μέσα στο υλικό.ο υπολογισμός ίναι ν γένι μή ττριμμένος, αλλά για διηλκτρικά ιδικής γωμτρίας και ομοιόμορφα πολωμένα ίναι δυνατόν να καταλήξομ σ κλιστές κφράσις για το δυναμικό και το ηλκτρικό πδίο.χαρακτηριστικό ίναι το ακόλουθο παράδιγμα που απικονίζι μία υπραπλουστυμένη πρίπτωση. Εφαρμογή 5.1:Το ηλκτρικό πδίο πολώσως νός ομοιόμορφα πολωμένου διηλκτρικού κυλίνδρου. Στο ακόλουθο Σχήμα 5.7 όπου απικονίζται ένας κύλινδρος από διηλκτρικό υλικό σ ξωτρικό ομογνές ηλκτρικό πδίο E που τον πολώνι έχοντας υθυγραμμίσι τις διπολικές ροπές των (έστω) πολικών μορίων του υλικού που κατανέμονται ομοιόμορφα στον όγκο του.κατά συνέπια το διηλκτρικό ίναι όπως λέμ ομοιόμορφα πολωμένο.το πολωμένο υλικό αναπτύσσι ένα ηλκτρικό πδίο E μέσα και έξω από τον όγκο του που συντίθται μ το ξωτρικά φαρμοζόμνο πδίο δίνοντας ένα συνολικό πδίο E = E E σ κάθ σωτρικό και ξωτρικό σημίο του, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.7(α). E = E ˆn E E E ˆn E = E E E = E E E = E (α) (β) (γ) Σχήμα 5.7. Ομοιόμορφη πόλωση διηλκτρικού κυλίνδρου μ πολικά μόρια από ξωτρικό ομογνές ηλκτρικό πδίο. 8
Η πόλωση του υλικού έχι μέτρο που δίδται από την έκφραση Np ha =, όπου Ν το πλήθος των διπόλων του υλικού και φορά που ικονίζται στο Σχήμα 5.7(β) από την μία έως την άλλη άκρη του όγκου του υλικού.είναι δ χωρικά σταθρή και δν παρουσίαζι απόκλιση. Κατά συνέπια η χωρική πυκνότητα δσμίου φορτίου ίναι μηδέν,όπως ύκολα αποδικνύται από τη σχέση ρ = i.αυτό διαπιστώνται ύκολα αθροίζοντας τα θτικά και αρνητικά φορτία των διπόλων του υλικού στο σωτρικό του (ξαιρώντας τις δύο πιφάνις) μέ βάση το Σχήμα 5.7(α). Το υλικό μακροσκοπικά μφανίζι δύο πιφανιακές πυκνότητς φορτίου στις δύο πιφάνις του κυλίνδρου,όπως φαίνται στο Σχήμα 5.7(γ) μ τιμές: Np σ = n i ˆ = n cos = = > στην πάνω πιφάνια Ah Np σ = n i ˆ = ncos18 = = < στην κάτω πιφάνια Ah Εάν φανταστούμ τις δύο πιφάνις σαν φορτισμένα πίπδα μ ίσα και αντίθτα φορτία θα έχομ,όπως έχι αποδιχθί μ βάση τον νόμο του Gauss, ότι: Κατά συνέπια για το συνολικό πδίο θα έχομ ότι:, έξω E = σ ˆ ˆ Np j = j = ˆ, j μέσα Ah E E = E, έξω, μέσα Εν γένι ο υπολογισμός του δυναμικού Vp δν ίναι ύκολος.εάν όμως υπολογισθί μέσα και έξω από το διηλκτρικό, το ηλκτρικό πδίο πολώσως υπολογίζται μ τη σιρά του από την σχέση: E = V Εάν τώρα γνωρίζομ το ξωτρικά φαρμοζόμνο ηλκτρικό πδίο E (πράγμα όχι σπάνιο) μπορούμ να υπολογίσομ στη συνέχια το συνολικό πδίο μέσα και έξω από το διηλκτρικό από την έκφραση: E = E E Το πρόβλημα ν γένι ίναι δύσκολο,αλλά σ πριπτώσις που παρουσιάζι σφαιρική, κυλινδρική ή συμμτρία πιπέδου ίναι ύκολο να αντιμτωπισθί μ την βοήθια του νόμου του Gauss και την ιδική μορφή που αυτός παίρνι παρουσία πολωμένων γραμμικών διηλκτρικών.η φαρμογή του μας δίνι το συνολικό πδίο χωρίς να απαιτίται ο υπολογισμός του πδίου πολώσως του διηλκτρικού. 9
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου)/ Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος 5.3 Ο Νόμος του Gauss παρουσία πολωμένων διηλκτρικών Θωρούμ την πρίπτωση νός αφόρτιστου διηλκτρικού που βρίσκται σ ξωτρικό ηλκτρικό πδίο που παράγται από φορτισμένα σώματα που το πριβάλλουν (σημιακά φορτία ή συνχίς κατανομές φορτίου), όπως φαίνται στο Σχήμα 5.8.Στο σύστημά μας θωρούμ δύο ίδών φορτία. Τα δέσμια φορτία που ίναι τα φορτία πολώσως των διπόλων του διηλκτρικού (παγόμνα ή προσανατολισμένα μόνιμα δίπολα). Τα λέυθρα φορτία που ίναι ότι φορτία δν ίναι φορτία πολώσως και ίναι τα σημιακά φορτία ή το φορτίο των συνχών κατανομών που δημιουργούν το ξωτρικό πδίο που πολώνι το διηλκτρικό. Εάν ρ και ρ ίναι οι αντίστοιχς πυκνότητς δέσμιου και λέυθρου φορτίου του διηλκτρικού θα έχομ ότι η συνολική πυκνότητα φορτίου στο χώρο θα ίναι: ρt = ρ ρ Ο νόμος του Gauss για το συνολικό ηλκτρικό πδίο που παράγται τόσο από τα λέυθρα φορτία που δημιουργούν το ξωτρικό ηλκτρικό πδίο, όσο και από τα φορτία πολώσως του διηλκτρικού θα έχι την μορφή: Όμως ρ = i και πομένως έχομ: i ρ t E = = ρ ρ 1 ie = ( ρ i ) i( E ) = ρ (5.7) Ορίζομ το διάνυσμα της ηλκτρικής μτατόπισης D ως : D= E Κατά συνέπια η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss παρουσία πολωμένου διηλκτρικού θα έχι τη μορφή: D = ρ (5.8) i (5.9) Ελύθρα Φορτία Δέσμια Φορτία da () () () () Επιφάνια Gauss Σχήμα 5.8. Για την ξαγωγή του νόμου του Gauss παρουσία πολωμένων διηλκτρικών. 1
Επομένως η ολοκληρωτική μορφή του σ μία κλιστή πιφάνια τυχαίου σχήματος που πρικλέιι λύθρα και δέσμια φορτία (βλ.σχήμα 5.8) θα ίναι : i DdA= Q (5.1) Κλιστ ή Επιϕάνια Ειδικά στην πρίπτωση γραμμικού διηλκτρικού θα έχομ ότι: όπου: = ( χ 1 ) D= E = E χ E = χ E = E = E ( 1) e e η σχτική διηλκτρική σταθρά του διηλκτρικού που ίναι καθαρός αριθμός και μγαλύτρος e της μονάδας (για το κνό ή τον αέρα =1) = η διηλκτρική συταθρά του διηλκτρικού σ C /Nm. Κατά συνέπια παρουσία γραμμικών πολωμένων διηλκτρικών ο νόμος του Gauss έχι την ολοκληρωτική μορφή: i EdA= Q (5.11) Κλιστ ή Επιϕάνια Τα γραμμικά διηλκτρικά χαρακτηρίζονται αποκλιστικά από την απόκρισή τους στο συνολικό ηλκτρικό πδίο μ βάση την ξίσωση (5.).Τα γραμμικά διηλκτρικά διακρίνονται παράλληλα, ανάλογα μ την έκφραση της σχτικής διηλκτρικής σταθράς τους σ Ομογνή γραμμικά διηλκτρικά άν η σχτική διηλκτρική σταθρά τους ίναι σταθρή παντού μέσα στο υλικό. Μη ομογνή γραμμικά διηλκτρικά άν σχτική διηλκτρική σταθρά τους ίναι συνάρτηση της θέσως μέσα στο υλικό. Σ κάθ πρίπτωση ο νόμος του Gauss έχι την γνική ολοκληρωτική μορφή (5.11). Ο ακόλουθος Πίνακας 5.ΙΙΙ δίνι τιμές σχτικών διηλκτρικών σταθρών διαφόρων διηλκτρικών. Πίνακας 5.ΙΙΙ (Σχτική διηλκτρική σταθρά διηλκτρικών) Υλικό Φυσικές Ιδιότητς Κνό 1 NaCl Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 5,9 Γυαλί yex Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 4, Πορσλάνη Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 6,8, Διαμάντι Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 5,7 Πυρίτιο (Si) Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 11,8 Θίο (S) Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 4, Πολυαιθυλένιο Στρό(Σ πίση 1 atm και στους C),5,3 Πάγος Στρό (3 C) 99 HO Υγρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 8,1 Ορυκτέλαιο Υγρό(Σ πίση 1 atm και στους C),4 Βνζίνη Υγρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 1,84 Οινόπνυμα Υγρό(Σ πίση 1 atm και στους C) 4 Αέρας (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,54 Υδρατμοί Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους 11 C) 1,587 He Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,65 Ne Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,13 A Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,5 H Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,5 CH4 Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,88 HCl Αέριο (Σ πίση 1 atm και στους C) 1,46 11
Παρατήρηση 1.Οι ολοκληρωτικές ξισώσις (5.1) και (5.11) υπολογίζουν το συνολικό ηλκτρικό πδίο που οφίλται τόσο σ όλα τα λέυθρα φορτία που βρίσκονται στη γιτονιά νός πολωμένου διηλκτρικού δημιουργώντας το ξωτρικό πδίο που το πολώνι όσο και στα φορτία πόλωσης του ίδιου του πολωμένου διηλκτρικού.το συνολικό ηλκτρικό πδίο δίδται και από την έκφραση και φαίνται να ίναι το άθροισμα δύο «πδίων» : (i) του D D E = (5.1) που σχτίζται μ τα λέυθρα φορτία που βρίσκονται στο χώρο, δδομένου ότι D ρ i = Θα πρέπι να τονισθί ιδιαίτρα ότι το διάνυσμα της ηλκτρικής μτατόπισης δν αναπαριστά κάποιο ηλκτρικό πδίο.αυτό καθίσταται προφανές γράφοντας την έκφραση του στροβιλισμού του βάσι της σχέσως ορισμού του (5.8) ως ( ) E= D = E ==== (5.13) όπου παρατηρούμ ότι ισούται μ τον στροβιλισμό της πόλωσης του διηλκτρικού που δν ίναι ν γένι μηδέν. Το πδίο αυτό ισήχθι στον φορμαλισμό που προηγήθηκ για να «απορροφήσι» στην έκφραση του νόμου του Gauss τη συνισφορά των δσμίων φορτίων του πολωμένου διηλκτρικού.εάν θέλομ να αναπαραστήσομ την ηλκτρική μτατόπιση μ «δυναμικές γραμμές», αυτές ξκινούν και καταλήγουν μόνο σ λέυθρα φορτία.αυτό βέβαια δν σημαίνι ότι η τιμή και η φορά της ηλκτρικής μτατόπισης σ ένα σημίο ξαρτάται μόνο από τα λυθρα φορτία που ίναι παρόντα.εξαρτάται και από τα δέσμια φορτία μ βάση της σχέση ορισμού της (5.8).Η απόκλισή της όμως ξαρτάται μόνο από τα λέυθρα φορτία. (ii) του ρ i = που σχτίζται μ τα φορτία πόλωσης που αναπτύσσονται στο διηλκτρικό,δδομένου ότι. Την ισχύ αυτής της έκφρασης ίδαμ στο απλό παράδιγμα του ομοιόμορφα πολωμένου διηλκτρικού κυλίνδρου που προηγήθηκ.το διάνυσμα της πόλωσης ξκινά πάντα από αρνητικά και καταλήγι σ θτικά δέσμια φορτία. Οι δυναμικές γραμμές του συνολικού ηλκτρικού πδίου E ξκινούν και καταλήγουν ή σ λέυθρα ή σ δέσμια φορτία ανάλογα μ το πρόβλημα. Παρατήρηση (Μθοδολογία φαρμογής του νόμου του Gauss παρουσία πολωμένων γραμμικών διηλκτρικών).στην πρίπτωση αυτή η φαρμογή του νόμου του Gauss οδηγί ιδιαίτρα ύκολα στον προσδιορισμό του ηλκτρικού πδίου E άν το πρόβλημα παρουσιάζι σφαιρική, κυλινδρική ή συμμτρία πιπέδου.η γνική μθοδολογία που ακολουθίται ίναι η ξής: Επιλέγομ κατάλληλς πιφάνις Gauss σύμφωνα μ τη συμμτρία του προβλήματος. Στη συνέχια προσδιορίζομ το διάνυσμα της ηλκτρικής μτατόπισης σ κάθ πριοχή του χώρου μ βάση την ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss: Επιϕάνια Gauss DdA i = Q 1
προσέχοντας πάντα στην παραπάνω έκφραση να συμπριλαμβάνομ μόνο τα λέυθρα φορτία που πρικλίονται στην πιφάνια Gauss ξαιρώντας τα δέσμια φορτία πόλωσης. Στη συνέχια υπολογίζομ την ένταση του συνολικού ηλκτρικού πδίου σ κάθ πριοχή του χώρου μ βάση την έκφραση: D, σ χώρο που υπάρχι κνό ή αέρας D E = = D, σ χώρο που υπάρχι γραμμικό πολωμένο διηλκτρικό Η πόλωση του διηλκτρικού (που πάντα υπολογίζται στον χώρο που αυτό καταλαμβάνι) θα δίδται από την έκφραση: = D E Τέλος μπορούν να υπολογισθούν και οι πυκνότητς χωρικού και πιφανιακού φορτίου του πολωμένου διηλκτρικού, φόσον υπολογισθί η πόλωση, από τις σχέσις (5.5) και (5.6). Παράδιγμα 5.1: Ένα θτικό σημιακό φορτίο q βρίσκται στο κέντρο συμμτρίας νός σφαιρικού κλύφους από γραμμικό και ομογνές διηλκτρικό σωτρικής ακτίνας α, ξωτρικής ακτίνς και σχτικής διηλκτρικής σταθράς,όπως στο Σχήμα. Να υπολογισθούν; (α) Η ηλκτρική μτατόπιση D και η ένταση του ηλκτρικού πδίου E στις πριοχές (i) <α, (ii) α<<, (iii) >. (β) Η πόλωση του διηλκτρικού. (γ) Η χωρική πυκνότητα δσμίου φορτίου πολώσως ρ του διηλκτρικού και η πιφανιακή πυκνότητα δσμίου φορτίου πολώσως σ στις πιφάνις του διηλκτρικού. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. Παράδιγμα 5.: Ένας σφαιρικός αφόρτιστος διηλκτρικός φλοιός σωτρικής ακτίνας α και ξωτρικής αποτλίται από γραμμικό και ομογνές διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθράς.ο φλοιός αυτός πριβάλλται από ομόκντρο σφαιρικό αφόρτιστο αγώγιμο φλοιό σωτρικής ακτίνας c και ξωτρικής d, όπως στο Σχήμα. Στο κέντρο συμμτρίας της διάταξης τοποθτίται σημιακό θτικό φορτίο q. Να υπολογισθούν : (α)η ηλκτρική μτατόπιση D και η ένταση του ηλκτρικού πδίου E παντού.(β) Η πόλωση του διηλκτρικού. (γ)η χωρική πυκνότητα δσμίου φορτίου πολώσως ρ του διηλκτρικού.(δ)η πιφανιακή πυκνότητα δσμίου φορτίου πολώσως σ στις πιφάνις του διηλκτρικού.()η πιφανιακή πυκνότητα λύθρου φορτίου στις πιφάνις του αγώγιμου φλοιού.τέλος να σχδιαστούν τα πδία D, E και. Λύση : Έχι δοθί ως άλυτο Πρόβλημα στη Σιρά #5 13
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου)/ Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος 5.4 Ένας κόσμος μέσα σ διηλκτρικό Μέχρι στιγμής διαπραγματυτήκαμ την Ηλκτροστατική στο κνό ή τον αέρα (ένα ομογνές γραμμικό διηλκτρικό μ =1).Αξίζι να ξατάσι κανίς πώς τροποποιίται στην πρίπτωση που ο χώρος στον οποίο υπάρχουν πηγές ηλκτρικών πδίων (σημιακών φορτίων ή συνχών κατανομών φορτίου) αποτλίται από ένα άλλο υλικό. Στην πρίπτωση νός φανταστικού κόσμου μέσα σ έναν αγωγό η διαπραγμάτυση δν έχι νόημα δδομένου ότι στο σωτρικό των αγωγών δν αναπτύσσονται ηλκτρικά πδία. Στην πρίπτωση νός κόσμου μέσα σ ένα απέραντο διηλκτρικό η διαπραγμάτυση έχι νόημα.μέχρι στιγμής στις προηγούμνς παραγράφους θωρήσαμ την πρίπτωση νός χώρου μοιρασμένου μταξύ κνού ή αέρα και νός διηλκτρικού υλικού.το διηλκτρικό φρόταν σ μία πριοχή του χώρου (κνό ή αέρας) όπου προϋπήρχ ένα ηλκτρικό πδίο, πολώνονταν και ανέπτυσσ και αυτό το δικό του πδίο πολώσως.κατά συνέπια στον χώρο ντός και κτός του διηλκτρικού το συνολικό πδίο ίναι το άθροισμα των δύο πδίων που προαναφέρθηκαν και μπορί να υπολογισθί από τον νόμο του Gauss μ βάση την ξίσωση (5.1).Η μορφή της ξίσωσης αυτής δν αλλάζι άν φανταστούμ ότι όλος ο χώρος καλύπτται από ένα απέραντο διηλκτρικό μέσα στο οποίο βρίσκονται λέυθρα (μ την έννοια ότι δν έιναι φορτία πόλωσης) φορτία, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.9 που απικονίζι μία συνχή κατανομή φορτίου (π.χ έναν φορτισμένο αγωγό) συνολικού θτικού φορτίου Q κατανμημένου μ πυκνότητα ρ σ διηλκτρικό πριβάλλον.υπό την πίδραση αυτού του λέυθρου φορτίου ο πριβάλλον χώρος πολώνται και ο νόμος του Gauss γράφται ξανά μ την μορφή: DdA i = Q = Q id= ρ = ρ Νόμος του Gauss ή 1 η Εξίσωση του Maxwell στην ύλη Κλιστ ή Επιϕάνια Στην πρίπτωση που το λύθρο αυτό φορτίο βρίσκται στο κνό ή τον αέρα η παραπάνω έκφραση μταπίπτι στην γνωστή μας Q Q ρ in EdA i = = ie= Νόμος του Gauss ή 1 λιστ ή η Εξίσωση του Maxwell στο κνό ή τον αέρα Κ Επιϕάνια Δέσμια Φορτία () Q da Επιφάνια Gauss Σχήμα 5.9. Φορτισμένο σώμα σ έναν κόσμο από διηλκτρικό. 14
Εφαρμογή 5.: O Νόμος του Coulom σ έναν κόσμο από διηλκτρικό. Θωρούμ το θτικό σημιακό φορτίο Q του Σχήματος, αλλά όχι στο κνό.θωρούμ ότι βρίσκται σ έναν χώρο από γραμμικό ομογνές διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθράς. Επιθυμούμ να υπολογίσομ την ένταση του ηλκτρικού πδίου του συναρτήσι της απόστασης από αυτό.το πρόβλημα παρουσιάζι προφανή σφαιρική συμμτρία και για τον λόγο αυτό θωρούμ την νοητή σφαιρική πιφάνια Gauss ακτίνας του Σχήματος.Λόγω της συμμτρίας του προβλήματος η ηλκτρική μτατόπιση θα έχι το ίδιο μέτρο σ όλα τα σημία αυτής της πιφάνιας κατυθυνόμνη ακτινικά προς τα έξω. Κατά συνέπια φαρμόζοντας τον νόμο του Gauss παρουσία του πολωμένου πλέον διηλκτρικού που το πριβάλλι θα έχομ ότι : πιϕάνια σϕαίρας cos = πιϕάνια σϕαίρας DdA i = Q = Q Dn da= Q ( iˆ) DdA Q D da Q Q D( 4π ) = Q D= 4π πιϕάνια σϕαίρας πιϕάνια σϕαίρας = D D D D D D Ή διανυσματικά : D = ˆ 4Q π Δδομένου ότι το διηλκτρικό ίναι γραμμικό θα έχομ ότι: D E = = Q π 4 Εάν τώρα σ απόσταση από αυτό φέρομ ένα σημιακό φορτίο q, η δύναμη που θα δχθί από την πηγή του πδίου Q θα ίναι: Qq F = qe = ˆ 4π που ίναι η γνωστή έκφραση του νόμου του Coulom λαττωμένη κατά φορές. Κατά συνέπια η σταθρά του Coulom έχι την μορφή μέσα σ έναν κόσμο από διηλκτρικό: όπως έχι ήδη αναφρθί. K e 1 = 4π ˆ 15
5.5 Οριακές συνθήκς παρουσία πολωμένων διηλκτρικών Ας θωρήσομ την πρίπτωση δύο πολωμένων διηλκτρικών που διαχωρίζονται μταξύ τους από μία φορτισμένη πιφάνια που πριέχι τόσο λέυθρα φορτία μ πιφανιακή πυκνότητασ,όσο και δέσμια φορτία μ πιφανιακή πυκνότητασ,έτσι ώστ η ολική πυκνότητα φορτίου της να ίναι σ = σ σ όπως φαίνται στο Σχήμα 5.1. Στόχος ίναι να υπολογισθί η μταβολή της ηλκτρικής μτατόπισης D κατά μήκος της φορτισμένης διπιφάνιας μταξύ των διηλκτρικών.στην πρίπτωση αυτή οι γνικές οριακ ές συνθήκς για την ένταση του ηλκτρικού πδίου που έχουν αποδιχθί στο κνό ή τον αέρα ξακολουθούν να ισχύουν (αποδικνύονται κατά τον ίδιο τρόπο) αφορώντας το συνολικό ηλκτρικό πδίο που δημιουργίται τόσο από τα λέυθρα φορτία όσο και από τα δέσμια φορτία πόλωσης των δύο διηλκτρικών.θα ισχύι δηλαδή ότι: σ σ σ Ε Ε 1 = = Ε =Ε 1 (5.14) Στην πρίπτωση αυτή η πυκνότητα δσμίου φορτίου πολώσως στη διπιφάνια θα ίναι: ˆ ˆ σ = in 1i n = 1 = 1 (Για την φορά της πόλωσης στα δύο διηλκτρικά φανταστίτ ότι η φορτισμένη πιφάνια έχι συνολικό αρνητικό φορτίοαντίστοιχη λογική πικρατί και στην πρίπτωση που θα ίχ συνολικό θτικό φορτίο). Στις πριοχές (1) και () του Σχήματος θα ισχύι ότι D = E 1 1 1 D = E Αφαιρώντας κατά μέλη έχομ ότι: Σχήμα 5.1. Για την απόδιξη των οριακών συνθηκών παρουσία πολωμένων διηλκτρικών. 16
σ σ D D1 = ( E E1 ) ( 1 ) D D1 = ( E E1) ( 1) D D1 = ( E E1 ) ( 1 ) σ σ D D1 = σ D D1 = 1 D D1 = σ D D = 1 1 (5.15) Οι παραπάνω ξισώσις συνιστούν τις οριακές συνθήκς για την ηλκτρική μτατόπιση στην φορτισμένη διπιφάνια μταξύ δύο πολωμένων διηλκτρικών.παρατηρούμ ότι και οι δύο συνιστώσς της ηλκτρικής μτατόπισης ίναι ασυνχίς καθώς μταβαίνομ από την πριοχή (1) στην πριοχή (). Μ τον τρόπο που ακολουθήθηκ στην πρίπτωση του κνού αποδικνύται και ότι: V = V1 (5.16) που υποδηλώνι ότι το δυναμικό ίναι συνχής συνάρτηση στις πριοχές (1) και (). Ειδικές πριπτώσις: (α) Στην πρίπτωση όπου η φορτισμένη διπιφάνια μταξύ των δύο διηλκτρικών δν πριέχι λέυθρα φορτία ( ) σ =, η κάθτη συνιστώσα της ηλκτρικής μτατόπισης θα ίναι συνχής( D = D1 ),νώ δν πηρράζται η ασυνέχια της παράλληλης συνιστώσας. (β) Στην πρίπτωση που το ένα υλικό έστω το (1) ίναι αγωγός θα έχομ ότι D = E = = 1 1 1 και κατά συνέπια: ˆ D ˆ in= Di n= σ γγονός που υποδηλώνι την παρουσία μόνο κάθτης συνιστώσας της ηλκτρικής μτατόπισης στο διηλκτρικό (). 17
Εφαρμογή 5.3 : Θωρίστ την πρίπτωση δύο πολωμένων διηλκτρικών που διαχωρίζονται από μια πιφάνια που δν πριέχι λύθρα φορτία (σ = ) παρά μόνο τα δέσμια πιφανιακά φορτία των δύο υλικών. (α) Να αποδιχθί ότι η αλλαγή διύθυνσης της ηλκτρικής μτατόπισης δίδται από τη σχέση : tanθ = tanθ 1 1 Σημιώστ ότι η παραπάνω σχέση θυμίζι τον νόμο του Snell στην οπτική. (β) Εάν θωρηθί γνωσό το μέτρο και η διύθυνση της ηλκτρικής μτατόπισης και του ηλκτρικού πδίου στο διηλκτρικό 1 να αποδιχθί ότι τα αντίστοιχα στο διηλκτρικό προσδιορίζονται από τις σχέσις : 1 D = D1 cos θ1 sin θ1, E = E1 sin θ1 cos θ1 1 Παράδιγμα 5.3: Θωρούμ ένα δοχίο μ υγρό γραμμικό και ομογνές διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθράς.βυθίζομ σ αυτό μία θτικά ομοιόμορφα φορτισμένη συμπαγή αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R και συνολικού φορτίου Q,κατά τρόπο ώστ μέχρι τη μέση της να βρίσκται μέσα στο υγρό,όπως φαίνται στο Σχήμα.Να βρθί η ένταση του ηλκτρικού πδίου και η πιφανιακή πυκνότητα φορτίου της σφαίρας. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. 18
5.6 Ενέργια του ηλκτρικού πδίου παρουσία πολωμένων διηλκτρικών Στην πρίπτωση της διαπραγμάτυσης της Ηλκτροστατικής στο κνό ή τον αέρα απδίχθι ότι η νέργια του ηλκτρικού πδίου μίας συνχούς κατανομής φορτίου (η ηλκτρική δυναμική νέργια της κατανομής που ισοδυναμί μ το έργο που απαιτίται για την διάλυσή της) δίδται συναρτήσι του ηλκτρικού της πδίου από την σχέση: Up = Ε dυ όλος ο χ ώ ρος Στην πρίπτωση όπου το συνολικό ηλκτρικό πδίο συντίθται από ένα πδίο λύθρων φορτίων και ένα νός πολωμένου διηλκτρικού ίναι δυνατόν να καταλήξομ στην ακόλουθη έκφραση: 1 Up = D Ed i υ (5.17) όλος ο χ ρος που φαρμόζται ξίσου στις δύο πριπτώσις του σχήματος 5.11: ώ (i) Στην πρίπτωση όπου η συνχής κατανομή φορτίου βρίσκται μέσα σ χώρο που καλύπτται από διηλκτρικό (σ έναν κόσμο από διηλκτρικό), όπως φαίνται στο Σχήμα 5.11(α). (ii) Στην πρίπτωση όπου ένα διηλκτρικό πολώνται παρουσία νός ξωτρικού ηλκτρικού πδίου στο κνό ή τον άέρα, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.11(β). Στις πριπτώσις αυτές η πυκνότητα νέργιας του ηλκτρικού πδίου θα ίναι: 1 1 1 u = DiE = E Ei (5.18) Στην ιδική πρίπτωση γραμμικών διηλκτρικών θα έχομ ότι: 1 1 1 u = DiE = E και Up = E dυ όλος ο χ ώ ρος D E = E E Κατανομή Ελύθρου Φορτίου E, () Διηλκτρικό D D, Κνό ή Αέρας E (α) (β) Σχήμα 5.11.Πριπτώσις φαρμογής της ξισώσως (5.17). 19
Παράδιγμα 5.4: Μια θτικά φορτισμένη αγώγιμη συμπαγής σφαίρα ακτίνας R και συνολικού φορτίου Q βυθίζται σ υγρό γραμμικό και ομογνές διηλκτρικό, η σχτική διηλκτρική σταθρά του οποίου ίνα. Να υπολογισθί η νέργια του ηλκτροστατικού πδίου της σφαίρας. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. ι
5.7 Πυκνωτές μ διηλκτρικά Θωρούμ έναν πίπδο πυκνωτή μ οπλισμούς πιφάνιας Α και φορτία ±Q που κατανέμονται σ αυτούς μ σταθρή πιφανιακή πυκνότητα ± σ.αρχικά ο χώρος μταξύ των οπλισμών του ίναι κνό ή αέρας.το ηλκτρικό πδίο μταξύ των οπλισμών έχι ένταση μέτρου και διαφορά δυναμικού μταξύ των οπλισμών του όπως έχι ήδη αποδιχθί. Η χωρητικότητά του δίδται από την έκφραση: E C σ Q = = Α V = E d Q A = = d V Η κατάσταση αποδίδται στο Σχήμα 5.1(α).Εισάγομ στον μταξύ των οπλισμών του χώρο ένα κομμάτι από γραμμικό ομογνές διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθράς που τον καλύπτι πλήρως, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.1(β).Τα μόρια του διηλκτρικού πολώνονται παράλλη λα προς το αρχικό ξωτρικό πδίο E.Κατά συνέπια αναπτύσσονται σ αυτό πιφανιακά φορτία πολώσως μ πιφανιακές πυκνότητς ± σ καθώς και χωρικά φορτία πολώσως.λόγω της πόλωσης του διηλκτρικού αναπτύσσται ένα νέο ηλκτρικό πδίο (πολώσως)στο χώρο μταξύ των οπλισμών του πυκνωτή που έχι αντίθτη φορά από το αρχικό ξωτρικό πδίο E και θα συμβολίζται τώρα ως E i.το πδίο αυτό του πολωμένου διηλκτρικού οφίλται τλικά μόνο στα πι φανιακά φορτία πολώσως στις δύο πιφάνιές του, δδομένου ότι το σωτρικό χωρικό φορτίο πολώσως ίναι αθροιστικά μηδέν.αυτό μπορί πίσης να καταστί σαφές από το γγονός ότι το διηλκτρικό ίναι ομοιόμορφα πολωμένο μ χωρικά σταθρή πόλωση για την οποία θα ισχύι ότι =,γγονός που οδηγί σ μηδνική συνισφορά του χωρικού δσμίου φορτίου στο ηλκτρικό πδίο πολώσ ως.κατά συνέπια το συνολικό ηλκτρικό πδίο στον χώρο μταξύ των οπλισμών του πυκνωτή θα ίναι, όπως φαίνται στο Σχήμα 5.1(γ): E = E E E = E E i i i Q E Q Q σ ρ = σ Q Q E i E Q (α) ( β) (γ) Σχήμα 5.1.Εισαγωγή διηλκτρικού μταξύ των φορτισμένων οπλισμών πίπδου πυκνωτή. 1
Το συνολικό πδίο μπορί να υπολογισθί μ την βοήθια του νόμου του Gauss μ βάση το ακόλουθο Σχήμα 5.13(α), όπου θωρούμ πιφάνια Gauss (σχήματος παραλληλπιπέδου και μβαδού βάσως ίσου μ αυτό του οπλισμού του πυκνωτή) που πρικλίι τόσο το φορτίο του οπλισμού, όσο και το πιφανιακό φορτίο πολώσως του διηλκτρικού.το φορτίο του μταλλικού οπλισμού ίναι λέυθρο φορτίο, νώ το πιφανιακό φορτίο πολώσως του διηλκτρικού ίναι δέσμιο φορτίο.επομένως θα έχομ: Κλιστ ή Επιϕάνια Gauss Αφού το διηλκτρικό ίναι γραμμικό και ομογνές D nˆ DdA i = Q = Q DA= σ A D= σiˆ D σ ˆ σ ˆ E E = = i = i = Παρατηρούμ ότι το ηλκτρικό πδίο στον χώρο μταξύ των οπλισμών μιώθηκ κατά φορές μ την ισαγωγή του διηλκτρικού. Για τη διαφορά δυναμικού μταξύ των οπλισμών έχομ ότι: ( ) ( ) d E E E V V = E i d = i d = d = d = ( ) ( ) Παρατηρούμ ότι η διαφορά δυναμικού στον χώρο μταξύ των οπλισμών μιώθηκ κατά φορές μ την ισαγωγή του διηλκτρικού. Δδομένου ότι το φορτίο των την νέα χωρητικότητα του συστήματος θα έχομ ότι: οπλισμών του πυκνωτή δν μταβάλλται κατά την ισαγωγή του διηλκτρικού για Q Q A C = = = C = V V d Παρατηρούμ ότι η χωρητικότητα του πυκνωτή αυξήθηκ κατά φορές μ την ισαγωγή του διηλκτρικού. Η πόλωση του διηλκτρικού δίδται από τη σχέση: ˆ σ ˆ 1 D E σi i σ = = = i ˆ Επιφάνια Gauss σ σ σ σ ˆn A D d σ σ (a) (β) Σχήμα 5.13.(α) Για τον υπολογισμό της ηλκτρικής μτατόπισης.(β)τα διανύσματα D,, E. x ˆn σ σ E D d ˆn x
Παρατηρούμ ότι η πόλωση δν παρουσιάζι χωρική ξάρτηση [γγονός πού σημαίνι,όπ ως έχι προαναφρθί, ότι ρ = i = = ]. x Οι πιφανιακές πυκνότητς δέσμιου φορτίου του διηλκτρικού συναρτήσι του φορτίου των οπλισμών του υπολογίζονται μ βάση το Σχήμα 5.13(β) ως ξής: Στην αριστρή πιφάνια του διηλκτρικού 1 ˆ cos18 σ = n i = = = σ < Στην δξιά πιφάνια του διηλκτρικού 1 ˆ cos, όπως αναμνόταν. σ = n i = = = σ >, όπως αναμνόταν. Τα τρία διανύσματα D, E και ικονίζονται στο Σχήμα 5.13(β). Το D ξκινά από και καταλήγι σ λέυθρα φορτία που ίναι αυτά των οπλισμών του πυκνωτή. Το ξκινά από και καταλήγι στα πιφανιακά δέσμια φορτία πολώσως του διηλκτρικού. Το E D καθορίζται από τη σχέση E = Τέλος η νέργια του ηλκτρικού πδίου μταξύ των οπλισμών του πυκνωτή θα ίναι 1 Q 1 Q U U = = = C C Δδομένου ότι > 1, η τλική νέργια ίναι μικρότρη από την αρχική.η διαφορά τους αντιστοιχί στο παραγόμνο από το αρχικό πδίο έργο που έλκοντας το διηλκτρικό,όπως φαίνται στο ακόλουθο Σχήμα 5.14, το ωθί προς το σωτρικό του πδίου. Σχήμα 5.14.Διαδικασία ισαγωγής του διηλκτρικού μταξύ των φορτισμένων οπλισμών πίπδου πυκνωτή. Παρατήρηση:Στην διαπραγμάτυση που προηγήθηκ το πρόβλημα αντιμτωπίσθηκ υπό συνθήκς σταθρού, όπως λέμ, φορτίου των οπλισμών του πυκνωτή.αυτό σημαίνι ότι το φορτίο των οπλισμών του δν μταβλήθηκ κατά την ισαγωγή του διηλκτρικού στον μταξύ τους χώρο.η αλλαγή της χωρητικότητας του συστήματος πήλθ από την μταβολή της διαφοράς δυναμικού μταξύ των οπλισμών.εάν όμως ο πυκνωτής ίναι συνδδμένος μ μία μπαταρία κατά την ισαγωγή του διηλκτρικού, η διαφορά δυναμικού μταξύ των οπλισμών του δν μπορί να αλλάξι και διατηρίται πάντα στην τιμή V.Αυτό συνιστά διαπραγμάτυση του προβλήματος υπό συνθήκς σταθρής διαφοράς δυναμικού.στην πρίπτωση αυτή ίναι δυνατόν να αποδιχθί ότι το φορτίο των οπλισμών του πυκνωτή αλλάζι μτά την ισαγωγή του διηλκτρικού σ Q = Q.Η νέα χωρητικότητα του συστήματος θα ίναι όμως πάλι C = C. 3
Παράδιγμα 5.5: Ο χώρος μταξύ των οπλισμών νός σφαιρικού πυκνωτή γμίζται μ γραμμικό και ομογνές διηλκτρικό σχτικής διηλκτρικής σταθράς, όπως στο Σχήμα.Εάν το φορτίο των οπλισμών του ίναι Q και οι ακτίνς του σωτρικού και του ξωτρικού οπλισμού του α και αντίστοιχα,να υπολογισθί η χωρητικότητά του. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. Παράδιγμα 5.6: Δύο παράλληλς στρώσις γραμμικών και ομογνών διηλκτρικών ίσου πάχους αλλά διαφορτικής σχτικής διηλκτρικής σταθράς γμίζουν τον χώρο ανάμσα στους οπλισμούς νός πίπδου πυκνωτή μ μβαδό Α, όπως στο Σχήμα.Το φορτίο των οπλισμών ίναι Q και η μταξύ τους απόσταση d.να υπολογισθί η χωρητικότητα του συστήματος. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. Παράδιγμα 5.7: Δύο παράλληλς στρώσις γραμμικών και ομογνών διηλκτρικών ίσου πάχους αλλά διαφορτικής σχτικής διηλκτρικής σταθράς γμίζουν τον χώρο ανάμσα στους οπλισμούς νός πίπδου πυκνωτή μ μβαδό Α, όπως στο Σχήμα.Το φορτίο των οπλισμών ίναι Q και η μταξύ τους απόσταση d.να υπολογισθί η χωρητικότητα του συστήματος. Λύση : Λύθηκ στο Μάθημα. 4