Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται με τα σημεία ενός άξονα, του άξονα των πραγματικών αριθμών (Σχ ) 5 4 0 e π 4 5 Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή, όπου α, β ακέραιοι με 0 Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q Είναι, δηλαδή, Q, έ 0 Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των ακέραιων αριθμών είναι το Z {,,,,0,,,,}, ενώ το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι το N {0,,,,} Για τα σύνολα N, Z, Q και R ισχύει: N Z Q R ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: N Z Q R Τα σύνολα N {0}, Z {0}, Q {0} και {0} συμβολίζουμε συντομότερα με * N, * Z, * Q και τα * αντιστοίχως Πράξεις και διάταξη στο R ) Αν και, τότε ) ), ό 0 ώ, ό 0 4), ό A, ό,,, 0

5) Αν, 0 και ν N 6) 0( 0 0) *, τότε ισχύει η ισοδυναμία 7) Aν 0, τότε ισχύει η ισοδυναμία : Διαστήματα πραγματικών αριθμών Αν, με, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α,β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: () α,β{ α }: β ανοικτό διάστημα [ α,β] { α β}: κλειστό διάστημα [,) { }: κλειστό-ανοικτό διάστημα ( α,β] { α β}: ανοικτό-κλειστό διάστημα a a a a β β β β Αν α, τότε ονομάζουμε μη φραγμένα διαστήματα με άκρο το α καθένα από τα παρακάτω σύνολα: ( α,) { } α [ α,) { } α (,) α { } α (, α] { α} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Υπό μορφή διαστήματος το σύνολο το συμβολίζουμε με (,) Τα σημεία ενός διαστήματος Δ, που είναι διαφορετικά από τα άκρα του, λέγονται εσωτερικά σημεία του Δ Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που συμβολίζεται με, ορίζεται ως εξής:, 0, 0 a a a a

Γεωμετρικά, η απόλυτη τιμή του α παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από το μηδέν, 4 a 0 α 4 ενώ η απόλυτη τιμή του αριθμών α και β παριστάνει την απόσταση των aβ 4 β 0 α 4 Ιδιότητες της απόλυτης τιμής : ) ) ) 4) 5), 0 6) 0 0 0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με () Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A () Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D

4 Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με () A Είναι δηλαδή: () A { () για κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Στα επόμενα και σε όλη την έκταση του βιβλίου : Θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων Όταν θα λέμε ότι Η συνάρτηση είναι ορισμένη σ ένα σύνολο Β, θα εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της Στην περίπτωση αυτή με () B θα συμβολίζουμε το σύνολο των τιμών της σε κάθε B Είναι δηλαδή: () B { () για κάποιο B} Συντομογραφία συνάρτησης Είδαμε παραπάνω ότι για να οριστεί μια συνάρτηση, αρκεί να δοθούν δύο στοιχεία: το πεδίο ορισμού της και η τιμή της, (), για κάθε του πεδίου ορισμού της (τύπος) Συνήθως, όμως, αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση δίνοντας μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το () Σε μια τέτοια περίπτωση θα θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ β α τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, για τους οποίους το () έχει νόημα Γραφική παράσταση συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο Το σύνολο των σημείων M (,) για τα οποία ισχύει (), δηλαδή το σύνολο των σημείων M (,()), A, λέγεται γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C Η εξίσωση, λοιπόν, () επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η () είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο

5 Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης C C Α Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο () A των σημείων της C των τεταγμένων γ) Η τιμή της στο 0 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0 και της C C (Α) C ( 0 ) = 0 C A( 0,( 0 )) Α (α) Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και α) Η γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M (,()) που είναι συμμετρικά των M (,()), ως προς τον άξονα (β) (γ) 0 Μ(,()) Μ (,()) =() =() β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν = () =()

6 Μερικές βασικές συναρτήσεις Η πολυωνυμική συνάρτηση () a>0 a<0 a=0 Η πολυωνυμική συνάρτηση (), 0 α>0 α<0 Η πολυωνυμική συνάρτηση (), 0 α>0 Η ρητή συνάρτηση () α<0, 0 α>0 α<0

7 Οι συναρτήσεις (), g(), 0 Επειδή g(), η γραφική παράσταση της, 0 αποτελείται από δύο κλάδους Ο ένας είναι η γραφική παράσταση της και ο άλλος η συμμετρική της ως προς τον άξονα Οι τριγωνικές συναρτήσεις : () (), (), π π =ημ (α) π π =συν (β) π/ π/ π/ =εφ (γ) Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις () και () είναι περιοδικές με περίοδο T, ενώ η συνάρτηση () είναι περιοδική με περίοδο T

8 Η εκθετική συνάρτηση (), 0 α α α> Υπενθυμίζουμε ότι: (α) 0<α< αν, τότε: ενώ αν 0, τότε: Η λογαριθμική συνάρτηση () log, 0 (β) α α α> (α) Υπενθυμίζουμε ότι: ) log ) log και log ) log και log 0 log() log log 4) 5) log log log k log log 6) 0<α< (β) 7) αν, τότε: log log, ενώ αν 0, τότε : log log 8) e ln, αφού ln e

9 Ισότητα συναρτήσεων ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ()() g (Δηλαδή τον ίδιο τύπο) Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες γράφουμε g (Προσοχή : η ισότητα ()() g σημαίνει ότι οι συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο και όχι ότι είναι ίσες!!!!!!!!!!!!) Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β Αν για κάθε ισχύει ()() g, τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ Πράξεις με συναρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g Ο Γ B A και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους ()()()() g g ()()()() g g ()()()() g g () g () g() Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή D Dg των πεδίων ορισμού D και Dg των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το D Dg, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g(), δηλαδή το σύνολο { A και B, με () 0} g δηλαδή D D g() 0 g

0 Σύνθεση συναρτήσεων ΟΡΙΣΜΟΣ Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με go, τη συνάρτηση με τύπο ()()(()) go g (A) B A () g(b) g g g( ()) A Το πεδίο ορισμού της go αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A () } A go g Είναι φανερό ότι η go ορίζεται αν ΠΡΟΣΟΧΗ Ago, δηλαδή αν () A B Στη συνέχεια, θα ασχοληθούμε μόνο με συναρτήσεις που οι συνθέσεις τους έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων ΣΧΟΛΙΑ Στην παραπάνω εφαρμογή παρατηρούμε ότι go og Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho() go ορίζεται και η ()hog o και ισχύει : ho()() go hog o, τότε Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις

ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως αύξουσα συνάρτηση, γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι γνωστές από προηγούμενη τάξη Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι: ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση λέγεται0f() : γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει: ()() γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει: ()() ( ) ( ) ( ) ( ) Ο Δ Ο Για να δηλώσουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε Δ (αντιστοίχως Δ) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο Δ Στην περίπτωση που το πεδίο ορισμού της είναι ένα διάστημα Δ και η είναι γνησίως μονότονη σ αυτό, τότε θα λέμε, απλώς, ότι η είναι γνησίως μονότονη Δ () Μια συνάρτηση λέγεται, απλώς,: αύξουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε ) ( ) ( φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ, όταν για οποιαδήποτε ) ( ) ( Δ, με Δ, με ισχύει ισχύει

Ακρότατα συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) μέγιστο, το () 0, όταν ()() 0 για κάθε A Παρουσιάζει στο 0 A (ολικό) ελάχιστο, το () 0 ()() για κάθε A 0, όταν ( 0 ) () () C 0 ( 0 ) 0 C ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Άλλες συναρτήσεις παρουσιάζουν μόνο μέγιστο, άλλες μόνο ελάχιστο, άλλες και μέγιστο και ελάχιστο και άλλες ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται (ολικά) ακρότατα της Συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε () ()() Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν ()(), τότε

ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση () έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο A B συνάρτηση - συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " Έτσι, οι συναρτήσεις (), 0, (), 0, (), 0 και 4 () log, 0, είναι συναρτήσεις Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για παράδειγμα η, 0 συνάρτηση g(), 0 Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση : A Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι, τότε για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών, () A, της υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει () Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g:() A με την οποία κάθε () A αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει () Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών () A της, =() =g()

4 έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: ()() g Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο, τότε η g αντιστοιχίζει το στο και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με A g()= g (A) =() Επομένως έχουμε ()() οπότε (()), A και (()),() A Ας πάρουμε τώρα μια συνάρτηση και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των και της στο ίδιο σύστημα αξόνων Επειδή ()(), αν ένα σημείο M (,) ανήκει στη γραφική C παράσταση C της, τότε το σημείο (,) = θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και Επομένως: Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και C M(α,β) M (β,α)

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ-ΙΣΟΤΗΤΑ- ΠΡΑΞΕΙΣ ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) () β) () ln γ) () δ) () ε) () στ) () ln() e ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) () β) () 4 4 γ) () δ) () 9 ε) () ln στ) () ln ζ) () ln η) () ln ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) () γ) () 9 log β) () 4 δ) () log( ln) ε) () ln στ) () ln 4 ζ) ()( ) η) () θ) ()() 4) Δίνεται η συνάρτηση ()=-, να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) ()+() ii) (+) iii) ()-() iv) (-) v) ()() vi) () vii) ( ) viii) (()) 5) Δίνεται η συνάρτηση me ()= ()+(), για κάθε,, να αποδείξετε ότι : i) ()=0 ii) (/) =-(), 0 iii) (/)= () -(),, 0 iv) ( )=() 0 6) Να βρεθούν τα σημεία τομής της συνάρτησης () 8 με τους άξονες

6 7) Να βρεθούν τα σημεία τομής της συνάρτησης με () e με τους άξονες 8) Να βρεθούν τα σημεία τομής της συνάρτησης με 5 6 () με τους άξονες 9) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της συνάρτησης () συνάρτηση g() 0) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της συνάρτησης () με τη συνάρτηση g() 7 με τη ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της συνάρτησης () 5 4 με τη συνάρτηση g() ) Δίνεται η συνάρτηση ln, να βρεθεί ο αριθμός α ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να διέρχεται απ το σημείο Μ(, 5) ) Δίνεται η συνάρτηση () a a a 5 να βρεθούν οι τιμές του α έτσι ώστε η γραφική παράσταση της να διέρχεται απ το σημείο Μ(,-6) 4) Δίνεται η συνάρτηση () a να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της να διέρχεται απ το σημείο Μ(,) και να τέμνει τον άξονα στο σημείο Α με τεταγμένη 5) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της συνάρτησης () με τη συνάρτηση g(), και να αποδείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές τριγώνου με εμβαδόν Ε=τμ 6) Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: () 4, 7) Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: (), 8) Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, όταν: () e 9) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης με () είναι πάνω απ τον χ χ

7 0) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση () ln e είναι πάνω απ τον χ χ της συνάρτησης με ) Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: () και g() ) Για ποιές τιμές του η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g, όταν: () και g() ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης με () 5 6 είναι πάνω απ τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() 4) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης με () είναι κατώ απ τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() 5) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι g Στις περιπτώσεις που είναι g αλλά έχουν τον ίδιο τύπο, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει : ()() i) () ii) () iii) () iv) () g και και g()() g() και g() και g() 6) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g,όπου 4 () 5 και g() 7) Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, και g 8) Δίνονται οι συναρτήσεις () ln και g() 4 Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, -, g και g

8 9) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, () και g() 0) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g, g,όπου g,όπου () και g() ) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν πεδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει: g g g, να αποδείξετε ότι : g ) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν πεδίο ορισμού το και για κάθε ισχύει: g g g 4 5 να αποδείξετε ότι : g, ) Να Δίνεται η συνάρτηση (), 0 α) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β) να βρεθούν οι τιμές (-), (), (5), (0) γ) να γίνει η γραφική παράσταση της 4) Να Δίνεται η συνάρτηση α) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της () 6 β) να γίνει η γραφική παράσταση της γ) να βρεθεί το σύνολο τιμών της 5) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: i) (), ii) (),, iii) () iv) () ln, Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο των τιμών της σε καθεμιά περίπτωση 6) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: ημ ημ i) (), ii) (), [0, π] Από τη γραφική παράσταση της να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών της σε καθεμιά περίπτωση

9 7) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: (),, 8) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: (),, 9) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση:, 0 (), 0 40) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: ln,0 e (), e 4) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: 4, 0 (),0, e, 0 4) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: (),0 e, e 4) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ()= - και να βρεθούν τα σημεία τομής της C με την ευθεία =4 44) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) () ln, ii) g() ln, iii) h() ln 45) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) () e, ii) g() e, iii) h() e 46) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) () ln e, ii) g() ln e 47) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) (), ii) g(), iii) h()

0 iv) t() v) s() h 48) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) (), ii) g() iii) h, () iv) t v) s() h () 49) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) () e, ii) g() e, iii) h() e iv) t() e 50) Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) () ln, ii) g() ln( ), iii) h() ln iv) t() ln( ) 5) Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις συναρτήσεις: A(),89 70,64 (για τους άνδρες) και Γ(),75 7,48 (για τις γυναίκες) όπου σε εκατοστά, το μήκος του βραχίονα Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους 0,45 m α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του; β) Αν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της; 5) Σύρμα μήκους 0 cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη cm και (0) cm Με το πρώτο κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του 5) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση είναι: i) ii) iii) 4

54) Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης cm και όγκο 68 cm Το υλικό των βάσεων κοστίζει 4 δρχ ανά cm, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας,5 δρχ ανά cm Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5 cm, και ύψος 8 cm; Ε 55) Στο διπλανό σχήμα είναι AB, ΑΓ και Ν ΓΔ Να εκφράσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του AM, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ 56) Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης BΓ 0cm και ύψους ΑΔ 5cm Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του 57) Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο B N K πληθυσμός Ρ της πόλης είναι εκατοντάδες χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη N 0 ( ) χιλιάδες αυτοκίνητα Έρευνες δείχνουν ότι σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t 4 εκατοντάδες χιλιάδες άτομα i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t ii) Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 0 χιλιάδες αυτοκίνητα; Β ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ: 58) Αν () και g() να βρείτε τις τιμές g, g, g 0 59) Αν (), και g () τιμή g 4 60) Αν () να αποδείξετε ότι : A M B, να βρείτε την 0 6) Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Α=[5, 8], να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h με h()=(+8)+ (9- ) 6) Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Α=[-, ], να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h με h()=(- ) 6) Αν () και g() ln να βρείτε τις συναρτήσεις g και g A Δ Ε Δ Γ Μ Λ Γ

64) Έστω οι συναρτήσεις () και g() Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) go ii) og iii) o 65) Έστω οι συναρτήσεις () g() Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) go ii) og iii) o και 66) Έστω οι συναρτήσεις () ln και g() Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) go ii) og 67) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν g(), () π 68) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go, αν () 4 g() εφ 69) Αν () και g() να βρείτε τις συναρτήσεις g και g 70) Αν () 5 και g() να βρείτε τις συναρτήσεις g και g 7) Αν () και g() να βρείτε τη συνάρτηση g 7) Αν () και g() να βρείτε τη συνάρτηση g 7) Αν (), να ορίσετε τη συνάρτηση o, και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση 74) Αν (), g(), h() ln,να ορίσετε τη συνάρτηση: h(g) 75) Αν () και g() 4 9 να αποδείξετε ότι g =g 76) Αν () και g() να βρεθεί ο α για τον οποίο ισχύει g =g 77) Αν () και g() να βρεθεί ο α για τον οποίο ισχύει g =g 78) Αν () 5 6 και g() a να βρεθεί ο α για τον οποίο ισχύει g =g 79) Αν () Να αποδείξετε ότι, για κάθε χ στο πεδίο ορισμού της 80) Δίνονται οι συναρτήσεις: () α β, με β α και α g() Να αποδείξετε ότι: και και

α) (()), για κάθε { α} β) g(()) g, για κάθε [0,] 8) Δίνονται οι συναρτήσεις: () g () ln e και e, και g, για Να αποδείξετε ότι: κάθε 8) Αν (), g() g, για κάθε,να αποδείξετε ότι 8) Αν (), να βρεθεί η αριθμός α ώστε η συνάρτηση o, να είναι ταυτοτική στο -{} 84) Αν g() και g να βρεθεί η συνάρτηση και η g 85) Αν g() και g 4 να βρεθεί η συνάρτηση και η g 86) Αν g() και 6 g να βρεθεί η 6 συνάρτηση 87) Αν () και g 5 να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 88) Αν () και g 6 9e να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 89) Αν g() και g 4 να βρεθεί η συνάρτηση και η g 90) Αν () και g 4 να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 9) Αν () και g να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 9) Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει: ()() og, αν g() 9) Να βρείτε συνάρτηση τέτοια, ώστε να ισχύει: ()() go συν 94) Αν g() και η g, αν g() και g να βρεθεί η συνάρτηση

4 95) Αν () ln και g να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 96) Αν () και g να βρεθεί η συνάρτηση g και η g 97) Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει (-)=(-), για κάθε χ Να βρεθούν οι τιμές () και (+) 98) Αν (), 0, να βρεθούν τα α,β ώστε για κάθε να ισχύει 99) Έστω συνάρτηση : [,+) για την οποία ισχύει 4, για κάθε, να βρεθεί η 00) Αν ln, και g h για την οποία ισχύει :,να βρείτε τη συνάρτηση h g 0) Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει ()()=4-, για κάθε χ Να αποδείξετε ότι ()= 0) Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει ()()=-, για κάθε χ Να αποδείξετε ότι ()= Γ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 0) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: 04) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln 05) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: e 06) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:, με 07) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: 5 08) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: e,με 0 09) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:,με 0

5 0) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:,με α>0 ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:, με α>0 ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση:,με α<0 ) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η είναι άρτια και η g περιττή τότε οι g και g, είναι άρτιες 4) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι περιττές τότε οι g και g, είναι περιττές 5) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι περιττές τότε και η +g είναι περιττή 6) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι άρτιες τότε και η +g είναι άρτια 7) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι γν αύξουσες τότε και η +g είναι γν αύξουσα 8) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι γν φθίνουσες τότε και η +g είναι γν φθίνουσα 9) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι γν αύξουσες τότε οι g και g, είναι γν αύξουσες 0) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η είναι γν αύξουσα και η g γν φθίνουσα τότε οι g και g, είναι γν φθίνουσες ) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Να αποδείξετε ότι αν η και η g είναι γν φθίνουσες τότε οι g και g, είναι γν αύξουσες ) Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση,, να λυθεί η () ανίσωση: 4 ) Δίνεται η συνάρτηση 5 5 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο β) Να λύσετε την εξίσωση 4 5 Δ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ «-» & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι " ", και για όσες αντιστρέφονται να βρείτε την αντίστροφή της i) () ii) () iii) ()( )( )

6 v) () ln() vi) () e iv) () viii) () 5) Δίνεται η συνάρτηση, α) Να αποδείξετε ότι η είναι «-» β) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση - της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της δ) Να κάνετε τη C με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης της 6) Δίνεται η συνάρτηση, α) Να αποδείξετε ότι η είναι «-» β) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση - της γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και της - e 7) Δίνεται η συνάρτηση,χ Να αποδείξετε ότι e η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της 8) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση () e είναι και να βρεθεί η αντίστροφή της 9) Δίνεται η συνάρτηση e 5,χ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της 0) Δίνεται η συνάρτηση e,χ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της ) Δίνεται η συνάρτηση ln,χ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της e ) Δίνεται η συνάρτηση ln,χ Να αποδείξετε e ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της ) Δίνεται η συνάρτηση, ορισμένη στο διάστημα [0,+) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, και αν είναι αντιστρέψιμη να βρείτε την αντίστροφή της 4) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα a, για κάθε χ, με α0 Να αποδείξετε ότι: α) η είναι «-» β) (0)=0

7 5) Δίνεται η συνάρτηση : Αν η είναι γνησίως αύξουσα 4 4 στο, να λυθεί η εξίσωση: 6) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα 0 0 0, για κάθε χνα αποδείξετε ότι: α) η είναι «-» β) η είναι αντιστρέψιμη 7) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα, για κάθε χ, Να αποδείξετε ότι: α) η είναι «-» β) να βρεθεί η αντίστροφη της 8) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα, για κάθε χ, Να αποδείξετε ότι: 0 α) η είναι «-» β) η αντίστροφη της είναι ίση με την αντίθετη της 9) Δίνεται η συνάρτηση : με την ιδιότητα, για κάθε χ α) Να αποδείξετε ότι: η είναι «-» 4 β) να λυθεί η εξίσωση 40) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: Αν η συνάρτηση g είναι «-», α) να αποδείξετε ότι και η g είναι «-» g g β) Να λύσετε την εξίσωση 4) Αν, g:, είναι συναρτήσεις «-» να αποδείξετε ότι και οι συναρτήσεις g και g, είναι επίσης «-» 4)Αν για τη συνάρτηση :, ξέρουμε ότι η είναι αντιστρέψιμη, να αποδείξετε ότι και η είναι αντιστρέψιμη 4) Δίνονται οι συναρτήσεις, g:, για τις οποίες υποθέτουμε ότι: g g g για κάθε χ Αν η είναι συνάρτηση «-» να αποδείξετε ότι και η g είναι «-» 44) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει για κάθε χ Να αποδείξετε ότι: α) η είναι συνάρτηση είναι «-» β) (0)=0 για κάθε χ γ) 45) Να βρεθεί η συνάρτηση : *, αν γνωρίζουμε ότι είναι 0 «-» και για κάθε 0 ισχύει, 46) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν είναι «-» 0 0 004

8 47) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν είναι «-» 8 45 940 48) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει 000 για κάθε χ Να αποδείξετε ότι η δεν αντιστρέφεται 49) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει για κάθε χ α) Να αποδείξετε ότι: ()= β) Αν g για κάθε χ, να υπολογίσετε το g(0) και να δείξετε ότι η g δεν είναι συνάρτηση «-» 50) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει 5 9 για κάθε χ α) Να αποδείξετε ότι: ()= β) Αν g για κάθε χ, να δείξετε ότι η g δεν είναι συνάρτηση «-», α) να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία της β) να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης g()=( ) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της 5) Δίνεται η συνάρτηση γ) να λύσετε την εξίσωση 4 5) Δίνεται η συνάρτηση, α) να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία της β) να λυθεί η ανίσωση 6 5 6 γ) να λύσετε την εξίσωση 5) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο Να λυθεί η εξίσωση 4 4 καθώς και η εξίσωση 54) Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης :, διέρχεται απ τα σημεία Α(5,9) και Β(,) α) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας) β) Να λυθεί η εξίσωση 9

9 55) Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης :, διέρχεται απ τα σημεία Α(,) και Β(5,9) α) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας) β) Να λυθεί η εξίσωση γ) Να λυθεί η εξίσωση 9 8 56) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι «-» β) Αν η γραφική παράσταση C της συνάρτησης διέρχεται απ τα σημεία Α(,005) και Β(-,), να λύσετε την εξίσωση 004 8 57) Δίνεται η συνάρτηση 5 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται γ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των και - 58) Δίνεται η συνάρτηση 5 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο β) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται γ) Να λυθεί η εξίσωση - ()= 59) Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως μονότονη στο και, για κάθε, Να αποδείξετε ότι 60) Δίνεται η συνάρτηση : *, με την ιδιότητα έχει μοναδική ρίζα: α) να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται, για κάθε, Αν η εξίσωση 0 β) να λυθεί η εξίσωση: γ) αν επιπλέον ισχύει 0 για κάθε >, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο (0, +)