Modely sieťovej analýzy

Modely sieťovej analýzy

Sieťová analýza Sieťová analýza súbor modelov a metód založených na grafickom vyjadrení realizujúcich časovú, resp. nákladovú analýzu. Používa sa predovšetkým na prípravu a realizáciu investičných projektov, vlastnej výstavby, resp. prípravy a realizácie rozsiahlych akcií, ktoré v sebe zahŕňajú na seba nadväzujúce činnosti.

Sieťová analýza základné pojmy Projekt priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor organizačne, resp. technologicky súvisiacich (nadväzujúcich) činností zameraných na dosiahnutie určitého cieľa. Činnosť priestorovo a/alebo časovo vymedzený súbor prác zameraných na realizáciu projektu. Ohodnotenie činnosti predstavujú rôzne ukazovatele, na báze ktorých možno realizovať analýzu projektu. Časová analýza projektu ohodnotenie činností na báze trvania činností. Nákladová analýza projektu ohodnotenie činností na báze nákladov na realizáciu činností. Technologické väzby technologická nadväznosť jednotlivých činností navzájom.

Sieťové grafy Sieťový graf matematický model projektu. Hranovo orientované sieťové grafy hrany grafu reprezentujúčinnosti projektu a uzly reprezentujú udalosti. Činnosti projektu sa vyjadrujú orientovanými hranami grafu medzi uzlami grafu. Uzlovo orientované sieťové grafy uzly grafu reprezentujúčinnosti a hrany vyjadrujú väzby medzi činnosťami. Činnosti projektu sa vyjadrujú uzlami v tvare štvoruholníka, väzby orientovanými hranami.

Štruktúra sieťovéhu grafu Štruktúra sieťového grafu deterministická resp. stochastická. Pravdepodobnostné ohodnotenie prezentuje podmienené pravdepodobnosti realizácie jednotlivých činností, používa sa keď nemožno presne určiť ohodnotenie činnosti, táto hodnota je považovaná za náhodnú.

Metódy riešenia sieťových grafov Sieťový graf Štruktúra grafu Ohodnotenie Druh ohodnotenia Metóda Deterministická Čas Deterministické Stochastické CPM PERT Hranovo definovaný Náklady Čas Deterministické Deterministické CPM/COST Stochastická Náklady Deterministické GERT Pravdepodobnosť Stochastické Uzlovo definovaný Deterministická Čas Deterministické MPM

Kritická cesta Kritická cesta najdlhšia cesta v sieťovom grafe, ktorá zodpovedá vetve s najdlhším trvaním činností na nej ležiacich. Hľadanie kritickej cesty sa používa predovšetkým na určenie harmonogramu výstavby rôznych projektov, na riadenie výrobných činností z hľadiska ich časového rozvrhovania, na riešenie úloh o maximálnej priepustnosti komunikačného systému a iné.

Hľadanie kritickej cesty Hľadanie kritickej cesty sa používa na určenie harmonogramu na seba nadväzujúcich činností: výstavba rôznych projektov, riadenie výrobných činností z hľadiska ich časového rozvrhovania, riešenie úloh o maximálnej priepustnosti komunikačného systému a iné.

Relácie medzi činnosťami činnosti A (čer.) a B (mod.) prebiehajú paralelne, sú vzájomne nezávislé činnosti A a B nemôžu prebiehať paralelne, sú vzájomne závislé činnosť B môže začať len vtedy, ak bola činnosť A ukončená činnosť B môže prebiehať, ak činnosť A už prebiehala určitú dobu činnosť B môže prebiehať až po určitej dobe po ukončeníčinnosti A fiktívna činnosť, činnosť C (zel.) môže začať po skončení A aj B

Hľadanie kritickej cesty pomocou lineárneho programovania { } { } { } { } { } 1,2,...,n i 0, d 2,...,n 1, r R 2,...,n 1, j 0, d 1,2,...,n p P 2,3,...,n j 1, 2,...,n 1, i pre 0 d kde R j P, i 0,1 x n j 1 x 1 i 1 x 2,3,...,n j x x x d min z(x) ir pj P i R j R k jk P i P i R j

Hľadanie kritickej cesty pomocou lineárneho programovania min t n t j - t i d i 1,2,...,n-1, j 2,3,...,n t i 0 i 1,2,...,n na praktické výpočty je vhodné t i 0.

Hľadanie kritickej cesty metódou CPM (Critical Path Method) existencia sieťového grafu, ktorý je acyklický, hrany smerujú od uzlov s menšími indexami do uzlov s väčšími indexami deterministická metóda, presne určené hodnoty trvania činností t určená nadväznosť jednotlivých činností

T 0 čas začatia projektu, CPM symbolika T 1 vypočítaný čas ukončenia projektu, t trvanie činnosti z uzla u i do uzla u j, ZM i (t i0 ) najskôr možný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla u i, KM j (t j0 ) najskôr možný koniec činností končiacich v uzle u j, t i 0 + t najskôr možný koniec činnosti (i, j), ZP i (t i1 ) najneskôr prípustný začiatok začatia činností vychádzajúcich z uzla u i, t j 1 t najneskôr prípustný začiatok činnosti (i, j), KP j (t j1 ) najneskôr prípustný koniec činností končiacich v uzle u j, RC kritická rezervačinnosti (i, j): RC KP j KM j ZP i ZM i t j1 t i0 t

Výpočet prebieha v 2 etapách. CPM výpočet 1. etapa výpočet vpred (od začiatočného uzla ku koncovému) Položíme ZM i (t i0 ) 0 t i0 0 Výpočet KM j (t j0 ) ZM i + t t j0 t 0 i + t Výpočet ZM j (najskôr možné konce činností pre už vypočítané KM j ) ZM j max KM j t i0 max t 0 j Výpočet T 1 max KM n T 1 max t 0 n 2. etapa výpočet vzad (od koncového uzla k začiatočnému) Položíme KP j (t j1 ) T 1 t n1 T 1 Výpočet ZP i (t j1 ) KP j t t i1 t j1 t Výpočet KP i (najneskôr prípustné začiatky činností pre už vypočítané ZP i ) KP i min ZP j t i1 min t 1 i Výpočet RC RC KP j KM j ZP i ZM i t j1 t i0 t

CPM spôsoby riešenia Grafické riešenie najskôr možný koniec činností, ktoré vchádzajú do uzla u j KM j (t j0 ) u i KP j (t i1 ) Tabuľkové riešenie najneskôr prípustný začiatok činností, ktoré vychádzajú z uzla u i

CPM Príklad Nech treba vykonať nasledujúce činnosti: Činnosť Pred. Trvanie činnosť t A - 6 B - 8 C - 2 D A 1 E B,D 5 F A 4 G B,D 5 H B,D 3 I B,D 2 J C,E 1 K F,G 6 L F,G,H 8 M H 4 N I,J,M 3

CPM Príklad Činnosť Pred. Trvanie činnosť t A - 6 B - 8 A B D F G H Fi L K C - 2 D A 1 E B,D 5 F A 4 C E I M N G B,D 5 H B,D 3 J I B,D 2 J C,E 1 K F,G 6 L F,G,H 8 M H 4 N I,J,M 3

CPM Príklad F A B D G H Fi L K C E I M N J

CPM Príklad Riešenie

CPM Nákladová analýza kritickej cesty V princípe každáčinnosť sa dá vykonať aj za kratšíčas ako sú určené normy Nech t je normálne trvanie činnosti spojené s normálnymi nákladmi c a T je minimálne trvanie činnosti spojené so zvýšenými nákladmi C Predpoklady: nad normálne trvanie činnosti nie je možné racionálne predlžovaťčas trvania, lebo vplyvom konštantných nákladov sa budú celkové náklady zvyšovať minimálnu dobu trvania činnosti nie je možné skracovať z technických dôvodov.

CPM Nákladová analýza kritickej cesty Graf vývoja nákladov v závislosti od dĺžky trvania činnosti náklady C Zvýšené náklady a C t c T a c Normálne náklady T t čas

CPM - Nákladová analýza kritickej cesty Weberovým postupom Výpočet kritickej cesty pri normálnom trvaníčinností t s normálnymi nákladmi c, pričom celkové náklady sú CNN c i 1,2,..., n 1; j 2,3,..., n Pre všetky činnosti sa vypočíta spád i, j C c a i 1,2,..., n 1; j 2,3,..., n t T Možno skracovať len kritickéčinnosti, pre ktoré vyberáme minimálnu hodnotu a. Kritickéčinnosti možno skrátiť na čas T so zvýšenými nákladmi C, pričom môžu vznikať nové kritické cesty a teda treba vypočítať nové riešenie. Redukcia sa realizuje, pokiaľ sa nevyčerpajú všetky možnosti skrátenia.

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique) spôsob výpočtu rovnaký ako CPM stochastická metóda, určené hodnoty optimistického odhadu trvania činnosti a, pesimistického odhadu trvania činnosti b, najpravdepodobnejšieho odhadu trvania činnosti m výpočet trvania činnosti t a + 4m + b 6

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique) Výpočet trvania činnosti Beta rozdelenie výhodné vlastnosti na modelovanie a zodpovedá premenlivosti prevádzkových podmienok Vlastnosti: Unimodálne jeden vrchol, ktorý zodpovedá najpravdepodobnejšej dobe trvania (modus) m, 4m + b Konečné variačné rozpätie -časy trvania sa vyskytujú v intervale medzi najkratšou (a ) a najdlhšou dobou trvania (b ), Symetria závisí na polohe vrcholu vo vnútri intervalu a podľa toho možno vytvoriť hypotetickú krivku funkcie hustoty pravdepodobnosti. d a + 6

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique) Beta rozdelenie

Hľadanie kritickej cesty metódou PERT (Program Evaluation and Review Technique) a + 4m + b Výpočet trvania činnosti t Smerodajná odchýlka činnosti 6 b a σ 6 Rozptyl činnosti 2 b a σ 6 Smerodajná odchýlka trvania projektu 2 Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného T p σ Tp T p( Tp T ) Φ σ ( T ) ( T ) σ K 2

PERT Príklad Nech treba vykonať nasledujúce činnosti: A B C Fi E H G F D I J K L Odhad dĺžky trvania činnosti v dňoch Činnosť Predch. optimistický najpravdepodobnejší a m pesimistický b A - 4 6 10 B - 2 2 2 C - 10 18 20 D A 2 6 10 E A 6 8 12 F B 2 4 6 G A, C 8 11 13 H A, C 8 11 14 I E 5 5 5 J G 7 9 11 K G 10 20 25 L F, J 5 9 10

PERT Príklad

PERT Príklad Riešenie

PERT Príklad Riešenie Výsledok: trvanie projektu T 47 Smerodajná odchýlka trvania projektu Plánované ukončenie T p 46 2 σ(t ) σ 9, 722 3118, Pravdepodobnosť ukončenia do plánovaného T p 46 Tp T 46 47 p(tp 46 ) Φ Φ 0, 313676 (T ) 3188, Φ σ p(t 46 ) Φ z 1 Φ z 1 0, 62172 0, P K [ ] [ ] [ ] 37828 0, 62172

PERT Príklad Riešenie Tabuľka hodnôt distribučnej funkcie normálneho rozdelenia: z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) 0,00 0,5000000 0,70 0,7580363 1,40 0,9192433 2,10 0,9821356 2,80 0,9974449 0,10 0,5398278 0,80 0,7881446 1,50 0,9331928 2,20 0,9860966 2,90 0,9981342 0,20 0,5792597 0,90 0,8159399 1,60 0,9452007 2,30 0,9892759 3,00 0,9986501 0,30 0,6179114 1,00 0,8413447 1,70 0,9554345 2,40 0,9918025 3,10 0,9990324 0,40 0,6554217 1,10 0,8643339 1,80 0,9640697 2,50 0,9937903 3,20 0,9993129 0,50 0,6914625 1,20 0,8849303 1,90 0,9712834 2,60 0,9953388 3,30 0,9995166 0,60 0,7257469 1,30 0,9031995 2,00 0,9772499 2,70 0,9965330 3,50 0,9997674 z Φ(z) 0,30 0,6179114 0,31 0,6217195 0,32 0,6255158 0,33 0,6293000 0,34 0,6330717 0,35 0,6368307 0,36 0,6405764 0,37 0,6443088 0,38 0,6480273 0,39 0,6517317 0,40 0,6554217