KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων ολοκληρωµάτων. Στο Κεφάλιο υτό νπτύσσουµε τις µεθόδους τρπεζίου, Simpson κι Romerg, δίνοντς έµφση στον τρόπο προσέγγισης τέτοιων προβληµάτων. 1. Η µέθοδος τρπεζίου Με τη µέθοδο υτή προσεγγίζουµε την τιµή του ολοκληρώµτος µις συνεχούς συνάρτησης f σ έν κλειστό κι φργµένο διάστηµ [, ] µε χρήση εµβδών τρπεζίων που προκύπτουν πό την προσέγγιση της συνάρτησής µς πό µί τεθλσµένη γρµµή. Γι ευκολί υποθέτουµε ότι η f είνι θετική στο [, ] όπως φίνετι στο σχήµ 1. H διδικσί που κολουθούµε είνι η εξής: Έστω { x0 =,x 1,...,xN = } x0 < x 1<... < xn είνι ένς οµοιόµορφος διµερισµός του [, ], δηλδή χωρίζουµε το [, ] σε Ν ισοµήκη υποδιστήµτ. Τότε: xi = x0 + κ, κ = 0,..., N. Ν Υπολογίζουµε τις τιµές f(x i), i = 0,...,N. Σχήµ 1 91
Σχηµτίζουµε τ διδοχικά ευθύγρµµ µε άκρ τ f(x 0),...,f(x N) οπότε σχηµτίζετι µί τεθλσµένη γρµµή. Υπολογίζουµε τ εµβδά των Ν-τρπεζίων που σχηµτίζοντι κι έχουµε: f(x)dx Ε +... + Ε τρπ. 1 τρπ. Ν f(x 0) + f(x 1) f(x 1) + f(x ) f(x N 1) + f(x N) = (x1 x 0) + (x x 1) +... + (xn x N 1) = (f(x 0 ) + f(x 1 ) + f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + f(x )... + f(x N 1 ) + f(x N 1 ) + f(x N ) N = (f(x 0 ) + f(x N ) + (f(x 1 ) +... + f(x N 1 ))) N = + + N 1 f(x 0 ) f(x N ) f(x k ) N k= 1 f(x)dx N +. (1) Σφάλµ: Είνι γνωστό ότι ν προσεγγίσουµε µί συνεχή συνάρτηση f(x) σε έν κλειστό διάστηµ [, ] µε µί τεθλσµένη γρµµή, δηλδή µε έν πολυώνυµο 1 ου βθµού p(x), 1 τότε το σφάλµ είνι: f (ξ) f (ξ) f(x) p 1(x) = (x )(x ) = (x )( x), ξ (,) υπό την προϋπόθεση ότι η f είνι φορές πργωγίσιµη συνάρτηση. Εποµένως: f (ξ) f(x) p (x)dx = (x )( x)dx 1 f (ξ)( ) f (ξ) ( ) = =, 6 1 άρ εάν e είνι το σφάλµ στην περίπτωση της µεθόδου τρπεζίου, έχουµε: 9
N 1 e = f(x)dx f(x 0) f(x N) f(x k) + + N k= 1 άρ: f (ξ 1) f (ξ ) f (ξ Ν) e = (x1 x 0) (x x 1)... (xn x o), ξ i (x i,x i+ 1) 1 1 1 = + + 1Ν ( ) (f (ξ 1 )... f (ξ Ν ). Αν λοιπόν Μ = max { f (x) : x [,] }, τότε: x [,] ( ) ( ) ( ) e (M +... + M) = MN = M. () 1N 1N 1N Πράδειγµ 1 Υπολογίστε την προσεγγιστική τιµή του 1 x ολοκληρώµτος e dx, χρησιµοποιώντς N= 8 ισοµήκεις 0 υποδιιρέσεις του κλειστού διστήµτος [ 0,1 ] µε τη µέθοδο τρπεζίου κι υπολογίστε το σφάλµ. Λύση: Γι τον υπολογισµό της προσεγγιστικής τιµής του ολοκληρώµτος θ χρησιµοποιήσουµε τον τύπο (1). άρ: = µήκος διστήµτος ολοκλήρωσης = 1 0 = 1. Ν = πλήθος υποδιστηµάτων = πλήθος σηµείων 1 = 8. Εποµένως χρειζόµστε 9 σηµεί. Εύρος υποδιστηµάτων = 1 = 0 = 0.15, N 8 x0 = 1, x1= 0.15,x = 0.5, x = 0.75,...,x7 = 0.875, x8 = 1 9
Εφόσον f(x) = e x, υπολογίζουµε τις τιµές f(x i), i = 0,...,8 κι προκύπτει ο κόλουθος πίνκς τιµών: 0 0.15 0.5 0.75 0.5 0.65 0.75 0.875 1 1 0.9844 0.994 0.8688 0.7788 0.6766 0.5697 0.465 0.678 Χρησιµοποιούµε τον τύπο (1) γι τις τιµές του πρπάνω πίνκ κι προκύπτει ότι : f(x)dx 0.7458. Γι τον υπολογισµό του σφάλµτος ρκεί ν υπολογίσουµε τη στθερά x x Μ του τύπου. Πρτηρούµε ότι f (x) = e + 4e x κι είνι εύκολο ν δει κνείς ότι oπότε: { } M= max f (x) :x [0,1] = f (0) =, 1 i 1 1 e = =. 1i8 6i64 84 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν γίνει εφρµογή της µεθόδου τρπεζίου στ δεδοµέν: -1-0,5 0 0,5 1 1,5-4 0 1 4 6. Υπολογίστε όλες τις συνεχείς συνρτήσεις f γι τις οποίες το σφάλµ υπολογισµού του f(x)dx µε χρήση της µεθόδου τρπεζίου είνι µηδέν.. Η µέθοδος Simpson: Με τη µέθοδο υτή προσεγγίζουµε την τιµή του f(x)dx µις συνεχούς συνάρτησης σε έν κλειστό κι φργµένο διάστηµ [, ] µε χρήση εµβδών πρβολών, οι οποίες προκύπτουν πό την προσέγγιση της συνάρτησής µς σε στοιχειώδη υποδιστήµτ του [, ] πό πολυώνυµ ου βθµού, δηλ. πό πρβολές. Όπως θ δούµε πρκάτω 94
το σφάλµ (γι τον ίδιο ριθµό υποδιιρέσεων του [, ]) είνι κλύτερο σε σχέση µε τη µέθοδο τρπεζίου. Υπάρχουν διάφορες πρλλγές της µεθόδου υτής. Γι την κλύτερη κτνόηση της µεθόδου νφέρουµε τη βσική της εκδοχή. Έστω { x0 =,x 1,...,xN = } x0 < x 1<... < xn είνι ένς οµοιόµορφος διµερισµός του [, ], δηλδή χωρίζουµε το [, ] σε Ν ισοµήκη υποδιστήµτ. Τότε: xi = x0 + κ, κ = 0,..., N. Ν Υπολογίζουµε τις τιµές f(x i), i = 0,...,N. Σχηµτίζουµε τις διδοχικές πρβολές που διέρχοντι πό τ σηµεί f(x i),f(x i+ 1),f(x i+ ), i = 0,...,N/ οπότε πρέπει Ν = ζυγός. Σχήµ Υπολογίζουµε τ εµβδά των Ν/-πρβολών που σχηµτίζοντι κι έχουµε: f(x)dx E +... + Ε. πρβ. 1 πρβ. Ν Γι ν υπολογίσουµε τ προνφερθέντ εµβδά χρήσιµο είνι το κόλουθο: Θεώρηµ Εστω πρβολή y(x) = x + x+ c όπως στο κάτωθι σχήµ: 95
Σχήµ τότε: h h E πρβ. = (x + x+ c)dx= (y 0 + 4y 1+ y ). h Aπόδειξη: x x h E πρβ. = (x + x+ c)dx= + + cx h h h h h h h h h = + + ch + ch = + ch = h + 6c Aλλά: ( ). ( h) + ( h) + c = y h h+ c = y 0 0 0 + 0 + c = y 1 c = y1 h + h + c = y h + h+ c = y + h + 4c = y0 + 4y1+ y Τελικά: h E πρβ = (y0 + 4y1+ y ). Tώρ µπορούµε ν υπολογίσουµε: f(x)dx E +... + Ε πρβ. 1 πρβ. Ν 96
= + + + + + N N ( f(x ) 4f(x ) f(x )) ( f(x ) 4f(x ) f(x )) 0 1 4 +... + f(x N ) + 4f(x N 1) + f(x N) Ν ( ) = (f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x ) + f(x ) + 4f(x ) + f(x 4 ) +... N... + f(x ) + 4f(x ) + f(x )) N N 1 N N N 1 f(x)dx f(x 0) f(x N) f(x i) 4 f(x i 1) + + + N. () i= 1 i= 1 Σφάλµ: Εργζόµενοι όπως πρπάνω, δηλδή λµβάνοντι υπόψη ότι ο τύπος Simpson ολοκληρώνει κριβώς κι πολυώνυµ ου βθµού έχουµε: (4) f (ξ) + f(x) p (x) = (x ) x ( x) 4 οπότε υπολογίζουµε: κ.λπ. 5 ( ) e Μ 4 180Ν (4), όπου Μ max { f (x) : x [,]} =. (4) Πράδειγµ 1 Υπολογίστε την προσεγγιστική τιµή του 1 x ολοκληρώµτος e dx, χρησιµοποιώντς N= 8 ισοµήκεις 0 υποδιιρέσεις του κλειστού διστήµτος [ 0,1 ] µε τη µέθοδο Simpson κι υπολογίστε το σφάλµ. Λύση: Γι τον υπολογισµό της προσεγγιστικής τιµής του ολοκληρώµτος θ χρησιµοποιήσουµε τον τύπο (). = µήκος διστήµτος ολοκλήρωσης = 1 0 = 1. 97
Ν = πλήθος υποδιστηµάτων = πλήθος σηµείων 1 = 8. Εποµένως χρειζόµστε 9 σηµεί. Εύρος υποδιστηµάτων = 1 = 0 = 0.15, N 8 άρ: x0 = 1, x1= 0.15,x = 0.5, x = 0.75,...,x7 = 0.875, x8 = 1 Εφόσον f(x) = e x, υπολογίζουµε τις τιµές f(x i), i = 0,...,8 κι προκύπτει ο κόλουθος πίνκς τιµών: 0 0.15 0.5 0.75 0.5 0.65 0.75 0.875 1 1 0.9844 0.994 0.8688 0.7788 0.6766 0.5697 0.465 0.678 Χρησιµοποιούµε τον τύπο () γι τις τιµές του πρπάνω πίνκ κι προκύπτει ότι: f(x)dx 0.7467. Γι τον υπολογισµό του σφάλµτος ρκεί ν υπολογίσουµε τη στθερά Μ του τύπου (4). Mε διδοχικές πργωγίσεις είνι εύκολο ν δει κνείς ότι oπότε: (4) { } M= max f (x) :x [0,1] = 1, 1 5 e 1 = 0.000016. 4 180i8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν γίνει εφρµογή της µεθόδου Simpson στ δεδοµέν: -1-0.5 0 0.5 1 1.5-4 0 1 4 6. Υπολογίστε όλες τις συνεχείς συνρτήσεις f γι τις οποίες το σφάλµ υπολογισµού του f(x)dx µε χρήση της µεθόδου Simpson είνι µηδέν. 98
. Ολοκλήρωση Romerg Χρησιµοποιεί µί τεχνική διδοχικών διχοτοµήσεων του διστήµτος ολοκλήρωσης µε στόχο τη µείωση του σφάλµτος ποκοπής. Αν Τ n είνι η προσέγγιση του ολοκληρώµτος που προκύπτει πό τον κνόν τρπεζίου µε n-υποδιστήµτ υπολογίζουµε τις Τ n, T 4n, T 8n κ.λπ. Συνδυάζοντς τις προσεγγίσεις υτές µπορούµε ν πάρουµε κόµ κλύτερες προσεγγίσεις µε τον κόλουθο τρόπο: Σχήµ 4 όπου εάν το συνολικό πλήθος των υποδιστηµάτων του [,] είνι Ν = µ n, τότε: ( j 1) ( j 1) (j) (j 1) Ti Ti Ti = T i +, i, j = 1,,...µ. (5) j 4 1 Πράδειγµ: Υπολογίστε µε τη µέθοδο Romerg το χρησιµοποιώντς 8 υποδιιρέσεις του [0,0.8] όπως πρκάτω: 0 0.8 ηµx dx x 0 0.1 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1 0.998 0.99 0.9851 0.975 0.9589 0.9411 0.90 0.8967 0.8 ηµx Λύση: Aρχικά υπολογίζουµε το dx µε χρήση του τύπου 0 x (1) του τρπεζίου γι n =1,, 4, 8 ισοµήκεις υποδιιρέσεις του διστήµτος [0,0.8]: n = 1: T 1= (f0 + f 8) = 0.7586. 99
n = : T = (f0 + ( f4 + f 8) ) = 0.7687. 4 n = 4 : T 4 = (f0 + (f+ f4 + f 6) + f 8) = 0.771. 8 n = 8 : T 8 = (f0 + (f 1+... + f 7) + f 8) = 0.7718. 16 Στη συνέχει χρησιµοποιούµε τον τύπο (5) (βλέπε σχήµ 4) γι j = 1: (0) (0) (1) (0) T T1 T = T + = 0.71. 4 1 (0) (0) (1) (0) T4 T T4 = T4 + = 0.77097. 4 1 (0) (0) (1) (0) T8 T4 T8 = T8 + = 0.77095. 4 1 έπειτ γι j = : (1) (1) () (1) T4 T T4 = T4 + = 0.7709577. 4 1 κι τελικά: (1) (1) () (1) T8 T4 T8 = T8 + = 0.7709578, 4 1 () () () T8 T4 I T8 + = 0.7709578. 4 1 100