a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾

½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ÈÖÓØ ½ ¾¾ ³ÇÑÓ Ù Ö ÑÑ Õ Ñ Ø º ÈÖ Ø ¾ Ë Ò ØÓ Ð Ó º ÈÖÓØ ¾ ¼ À ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôòº ÈÖÓØ ½ ½ ÓÖ º ½¾º¾ ÇÖ ÑÓ ½º ³ÇÑÓ Õ Ñ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø ÛÒ ÒØ ØÓ Õ Ø Ô Ö ½ Ø ÛÒ ÒØ ØÓ Õ ÔÐ ÙÖ Ò ÐÓ º ¾º Å Ù Ð Ø Ø Ø ÑÒ Ø ÖÓ Ñ Ó Ð Ó Ø Ò Ð ÔÖÓ ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ØÑ Ñ Ò Ñ ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ØÑ Ñ ÔÖÓ ØÓ Ñ Ö Ø ÖÓº ¾ º ³ÍÝÓ Ô ÒØ Õ Ñ ØÓ Ò Ñ Ò Ô Ø Ò ÓÖÙ ØÓ ÔÖÓ Ø º ½ ΟΕυκλείδηςδενλέγειότιοιαντίστοιχεςπλευρέςείναιαυτέςπουυποτείνονταιαπότις αντίστοιχεςίσεςγωνίες. ¾ Καιπάλιηχρυσήτομή.Αν aείναιτοόλομήκοςκαι xτομεγαλύτεροτμήμα,έχουμε a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.

½¾º º À ï ËÀ ÌÀË ÏÅ ÌÊïÁ Ë ÌÀË ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ë ½¾º ½¾ À Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø ¹ Ø ÌÓ ôö Ñ ØÓÙ ÐÓ٠س ÕÒ Ö Ø ôó ÐÐ Ò ØÓ Ñ Ð Ó Ø Ù Ð ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø º ÈÖ Ø Ø³ ½º Ì ØÖ ÛÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ò ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓ Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ÔÛ Ó ØÓÙº ËÕ Ñ ½¾º½ (a) ÈÖ Ø Ø³ ½º (b) Ç ÓÖ Ñ ØÓÙ Ñ Ó º ³ ØÛ 1 = ABC 2 = ACD Ó ØÖ ÛÒ ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓº ËÕ Ñ ½¾º½ (a)µº Ì Ø Ñ Ò ABC : Ñ Ò ACD = Å Ó BC : Å Ó CD. Ø Ò Ô Ü ÔÖ Ô Ò Û Ó ÓÖ Ñ ØÓÙ ÐÓÙ ³º Ò HC = nbc Ø Ø ØÓ HCA Õ Ñ Ò n Ñ Ò BCA)º ÌÓ Ó Ô Õ Ö Ñ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ø CD ØÓ CDAº ³ Ö nbc > mcd n ( Ñ Ò BCA) > m ( Ñ Ò CDA), ÐÔº ËÕ Ð Óº ÌÓ Ö Ó Ø Ò ÈÖ Ø ÙØ Ò Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ¹ Ø Ó ÓÙ Ñ Ñ º ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ÔÖÓ Ø Ñ ÕÖÓÒ τους. Ωςσυνήθως,λέγοντας τρίγωνα και παραλληλόγραμμα οευθκλείδηςεννοείταεμβαδά

½ ¼ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ÓÖÓÐÓ º ³ ØÛ a = BC b = CD Ó ØÛÒ ØÖ ôòûò Ñ Ó Ò ÝÓ hº Ì Ø 1 = 1 2 ah, 2 = 1 2 bh ÙÒ Ô Û 1 : 2 = a : b Ò ÔÖÓ Ò º ÍÔ ÖÕ ÑÛ Ò ÔÓÐ Ð ÔØ Ñ Ó Ø ÕÖÓÒ Ô ÖÓÙ Ø ÛÑ ØÖ ÙØ ØÛÒ ËØÓ Õ ÛÒº Ç Ô Ó Ô ÒÛ Ø ÔÓ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ ÐÐ ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò Õ Ø ÑÛ Ä Û Ø ÈÖ Ø ³ ½ Ó Ø ÔÓ ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ØÖ ôòóù ÔÖÓ ÔØ Ñ Û Ô ØÓÒ Ø ÔÓ ØÓ Ñ Ò ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙº È Ö ÓÖ Þ ¹ Ñ Ø ÐÓ Ô Ò Ø ÓÖ Ó ôò Ò ÓÖ Ó ôò Ó Ñ ÓÙ a ÝÓÙ ½º ÒØ ¹ Ñ ØÛÔÞÓÙÑ ØôÖ ØÓ Ü ÖôØ Ñ Ì Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ñ Ò ÓÖ Ó ôò Ó Ø Ñ Ò Ò Ñ ØÖ Ñ Ò ØÑ Ñ µ à ÔÓ Ó Ø ÖÓÔÓ Ò ÑÓÒ Ó ØÑ Ñ OE Ý ÕÒ Ò ÔÖ Ñ Ø a Ø ØÓ ÓÒ ô Ø AB = aoe Ð AB : OE = a : 1. Ñ ÔÛ ÙØ ÙÒ Ø Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ö ÑôÒ Ø ÙÞ ¹ Ø ØÓÙ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³º À ÈÖ Ø Ø³ ½ Ò Ò Ñ Ô Ö Ô ÒÛº ËØ ÖÓÔÓ ôòø ØÓ OE Ñ Ò Ø Ø ÖÓÔÓ Ø ØÓ ÑÓÒ Ó Ø ØÖ Û¹ ÒÓ ØÓ ÓÔÓÓ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ò Ñ ØÖÓÙµ ½º Å ØÖ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ Ñ Ò Ñ ØÖ ØÓÙ Û ÔÓÐÐ ÔÐ Ó ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ Ø ØÖ ôòóùº Ç Ù ÓÐ Ø Ò Ø³ ½ ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø ÖÖ Ø ØÑ Ñ Ø º Ï ÙÒ Û Ó Ù Ð ÛÔ Ô Ö ÙØÓ Ó Ø Ò Õ Ò Ö Ø Ò ÒÒÓ Ñ ÕÖ Ø Ñ º ËØÓ ËÕ Ñ ½¾º½ (b) Ð ÔÓÙÑ ÔÛ Ò ÖÖ ØÓ ØÑ Ñ a Ð Ñ Ò Ñ ÒÓ Û Ö Ó Ð Ñ ØÛÒ m/n Ó ØÓ Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ó A ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ Ø ØÖ ôòóùº ½¾º Ì ÛÖ Ñ Ø Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø ÌÓ Ñ Ð ô ôö Ñ Ø³ ½ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Û¹ Ö Ñ ØÓ ØÛÒ Ò Ð ÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ ÔÓÙ Ò ØÓ ÓÐ Ö Ð Ó Ø ÛÑ ØÖ Ø ÓÑÓ Ø Ø º Δηλαδή,νέτρησητωνπλευρώνσημαίνειτοπέρασμααπότο2 διάστατομέτροστο1 διάστατομέτρο. ΗΠρότασηστ 1μεάλλαλόγιαείναιοπρώτοςαξιοσημείωτοςπρόλογος κατασκευήςμέτρωνγινομένωνστηθεωρίαμέτρου.

½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ ½ ÈÖ Ø Ø³ ¾º Ò ØÖ ÛÒÓ Õ Ù Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ñ Ô Ø ÔÐ ÙÖ ØÓÙ Ø Ø Ø ÑÒ Ò ÐÓ Ø ÐÐ ÔÐ ÙÖ º Ã Ò Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù ØÑ Ó Ò Ò ÐÓ Ù ÔÓÙ ÒôÒ Ø Ñ ØÓÑ Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø ÐÓ Ô ÔÐ ÙÖ º Ø Õ Õ Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ò ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ð Û Ø ÔÖÓ Ø Ò ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò º ËÕ Ñ ½¾º¾ ÈÖ Ø Ø³ ¾º Ô Ü º ÕÓÙÒ ÙÒ Ó º ( ) ³ Ö ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º Ø ÕÓÙÒ Ø Ò Ö ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ Ô Ö ÐÐ ÐÛÒº à ØÓ Ò Ò ÐÐÓ ØÖ ÛÒÓº Ì Ñ ÕÓÙÒ ÔÖ ØÓ Ó Ñ Ó ØÓÒ Ó Ð Óº ³ Ö ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÔÛ ØÓ ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ º ÐÐ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ØÖ ÛÒÓ ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ø Ö ÓÒØ ØÛ Ô ØÓ Ó ÝÓ ÔÓÙ Ø Ô ØÓ Ø Ø Ò Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ÔÛ Ó ØÓÙº Πρότασηα 38. Πρότασηε 7. Πρότασηστ 1. ØÓÙ ÓÙ Ð ÓÙ

½ ¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ØÓ ØÖ ÛÒÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ö ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ Ø Ò º µ ³ ØÛ Ø ÕÓÙÒ ØÑ Ó ÔÐ ÙÖ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ò ÐÓ Ñ Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ø Ò Ò ÔÛ ÔÖÓ Ø Ò Õ ÙÒ º Ä Û Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ñ Ø Ò º ËÙÒ ÕÞÓÙÑ Ñ ÕÖÓÒ ÓÖÓÐÓ Ù ÓÐ Ò : = :, : = : Ô Ø Ò Ø³ ½º ³ Ö : = :. ³ÇÑÛ Ø Ø ½¼ = Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ò º ³ Ö ½½ º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ º À Ô Ö ØÛ Ò ÒÛ Ø Û ôö Ñ Ø ÕÓØ ÑÓÙ ËÕ Ñ ½¾º µ ÈÖ Ø Ø³ º Πρότασηε 11. ½¼ Πρότασηε 9. ½½ Πρότασηα 39.

½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ Ò ÕÓØÓÑ ÛÒ ØÖ ôòóù Ø ÑÒÓÙ Ø Ò ÛÒ Ø ÑÒ Ø Ø ØÑ Ñ Ø Ø ÕÓÙÒ ØÓÒ Ó Ð Ó Ñ ÙØ Ò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóùº Ã Ò Ø ØÑ Ñ Ø Ø ÕÓÙÒ ØÓÒ Ó Ð Ó Ñ ÙØ Ò ØÛÒ ÐÓ ÔôÒ ÔÐ ÙÖôÒ ØÓÙ ØÖ ôòóù Ù Ô Ø Ò ÓÖÙ ÔÖ Ø Ò ØÓÑ ÕÓØÓÑ Ø Ò ÛÒ ØÓÙ ØÖ ôòóùº Ô Ü º µ Ö Ø º ³ Ö º ³ Ö : = : = :. ÌÓ ÒØ ØÖÓ Ó ÔÓ Ò Ø Ô Ö ÑÓ º ÈÖÓØ» º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖÓØ Ø³» º Ç ÈÖÓØ» ÙÒÓÝÞÓÒØ ØÓ Ô Ö ØÛ ÙÑÔ Ö Ñ º ³ ØÛ Ó ØÖ ÛÒ Ñ ÔÐ ÙÖ a, b, c r, s, t Ñ ÛÒ α, β, γ ρ, σ, τ ÒØ ØÓ Õ º Ì Ø α = ρ} {b : c = s : t β = σ γ = τ c : a = t : r. a : b = r : s Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Ü³ Ø ØÓ ÔÓ Ô Ø ØÖ Õ ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ð º ÈÖÓ ÔØ Ø ØÓ Õ Ñ ÔÛ Ö Þ Ø Ñ Ø ÛÒ µ Ö Þ Ø Ñ Û Ò ÐÓ ôòº ËØ Ò ÔÓÕ ÔÓÙ Ø ÖÖ Ø ØÑ Ñ Ø Ø Ò ÒÛ Ø Ó Ð Ó ØÛÒ

½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ØÑ Ñ ØÛÒ Ö ÞÓÒØ Ò Ñ Ö ÑÓ ÙÒ Ôô Ø Õ Ñ Ø ØÛÒ ØÖ ôòûò ÐÐ ØÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ÔÓÙ ÔÓØ ÐÓ ÒØ Ô ØÖ ÛÒ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ô Ö Ö ¹ Ó Ò Ñ Ö ÑÓ º ½¾ ³ÇÑÛ Ø ËØÓ Õ Ò ÒÓÙÒ Ñ Ø Ù... Ç ÈÖÓØ» Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÓ Ø Ø º Ç ÈÖÓØ» Ò ØÓ Ø ÖÓ Ö Ø Ö Ó ÓÑÓ Ø Ø º ÈÖÓØ» º α = ρ } { β = σ b : c = s : t c : a = t : r. ÌÓ Ô Ö ØÛ Ò ÒÛ Ø Û Â ôö Ñ ØÓÙ Ù ÜÓÙº ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³  ôö Ñ ØÓÙ Ù ÜÓÙº ÈÖ Ø Ø³ Ò ÓÖ Ó ôò Ó ØÖ ÛÒÓ Õ ØÓ Ô Ø Ò ÓÖ ÛÒ ÔÖÓ Ø Ø ØÖ ÛÒ ÖÛ Ô Ø Ò ØÓ Ò Ø Ó ÑÓ ÔÖÓ ØÓ ÐÓ ØÖ ÛÒÓ Ñ Ø Ü ØÓÙº À Ô Ü Ò Ñ Ñ Û ØÛÒ Ö Ø ÖÛÒ ÓÑÓ Ø Ø º Å Ñ ÙÒ ¹ Ô Ø ÈÖ Ø Ø³ Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ ØÓ ÔÛ Ö ÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ó Ò ÐÓ Ó Ó ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø Ø³ ½ º Æ Ö Ó Ñ Ó Ò ÐÓ Ó Ó Ó ÒØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒº ½¾ Πυθαγόρας:ταπάνταείναιαριθμός.

½¾º º ËÁÃï  ÏÊïÀÅ Ì ½ ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ Ö ØÓÙ Ñ ÓÙ Ò Ð ÓÙº Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ Ø Ñ Ù ÖÓÙÑ ØÓ Ñ Ð Ó Ñ Ñ ØÖÓ º ³ ØÛ Ø Ø Ò ØÓ º Ô ÛÒ Ò ÓÖ ÕÓÙÑ Ø ÑÓ ØÖ ÛÒ Ø Ø³ º ³ Ö : = :. Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ ÙØ ØÓ Ñ Ó ÔÛ Ó Ø ØÖ ÛÒ Ñ Ø ØÖ ÔÐ ÖÓÙ Ø ÈÖ Ø ³ ½ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ò Ò Ø ØÖ ¹ ÔÐ ÙÖÓ Ø Ø Ö ÓÙÑ ØÓÙ Ñ ÓÙ Ò ÐÓ ÓÙ Ó ÓÕ ôò ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ÞÓÙÑ Ø Õ Ñ ÛÒ Ñ Ø ÈÖÓØ ³ ½»½ º ½ Ç ÙÔ ÐÓ Ô ÔÖÓØ ØÓÙ Å ÖÓÙ ØÓÙ ÐÓ٠س ÕÒÓÙÒ ÔÛ Ø ¹ ÑÒÓÙÑ ØÑ Ñ ÑÓ Ñ Ó Ò Ø ØÑ Ñ ÒÓ ØÑ Ñ ÔÛ Ö ÓÙÑ ØÓÒ ØÖØÓ ØÓÒ Ø Ø ÖØÓ Ò ÐÓ Ó Ó ÒØ ØÑ Ñ Ø º ½ ΟΑριστοτέληςήξερεκαιτιςδύοαποδείξεις.ΛέγειστοΠερίΨυχής: Γιαπαράδειγμα,τιείναιο τετραγωνισμός ; Ηκατασκευήενόςτετραγώνουίσου(σε εμβαδόν)μεδοθένορθογώνιο. Εναςτέτοιοςορισμόςείναιηπαράθεσητουσυμπεράσματος, ενώ,εάνπείτεότιοτετραγωνισμόςείναιηεύρεσητουμέσουαναλόγου,δηλώνετετηναιτία τουπράγματοςπουορίστηκε.

½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ Ò ÐÓ Ñ ÌÓ Ö Ó ôö Ñ ØÓÙ Ñ ÖÓÙ Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ç Ù Ð ÔÛ Ò ÕÖÓÒÓ Ù Ö Þ Ø Ø ÕÒ Ñ Ö Ø Ô Ü Ò Ð ÑÑ ÈÖ Ø Ø³ ½ µ ÔÖÓ Ø ÔÓ ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø ÈÖÓØ Ø³ ½ ½ µº ÌÓ ËÕ Ñ Ø ³ Ô Ò Ñ ÒÞ Ø º ÌÓ Å ÖÓ Ò Ü ÖØ Ø Ô Ø ÔÖôØ Ó Ñ Ö ØÓÙ ÐÓ٠سº Ø Ò Ô Ü Ó Ù Ð Ô ØÖ Ø ÖÞ Ø Ø³ ½º È Ö ØÓÙÑ Ø Ø³ ½ ½ Ö Ó Ñ Ø Ò Ô Ü º ÈÖ Ø Ø³ ½ Ë Ó ôò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ó ÔÐ ÙÖ ÖÛ Ô Ø ÛÒ¹ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ó ôò Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø ÓÔÓ Ó ÔÐ ÙÖ ÖÛ Ô Ø ÛÒ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ò º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ô Ü º ÌÓÔÓ ØÓ ÒØ Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ø ô Ø Ø Ñ À Ò Ò ÙÒ Ù º È Ö Ø Ö Ø ØÓ ËÕ Ñ ½¾º Ø ÙÔ ÖÕ Ò Ö ØÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº ( ) ³ ØÛ Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò º ÐôÒÓÒØ Ø Ñ Ñ Ô Ö Ò ÔÖÓ ÔØ µ = À µ µ : µ = À µ : µ

½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ÔÓÙ Ñ ØÓÒ ÒÛ Ø Ù Ð Ó ÙÑ ÓÐ Ñ Ò ØÓ Ô ÒÛ Ö Ø Ö Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓº ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØôÖ Ø Ò Ø³ ½ µ : µ = :, À µ : µ = : À. ³ Ö : = : À, Ó ÔÐ ÙÖ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ º ( ) ÒØ ØÖ ÓÙÑ Ø Ñ Ø ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ Ñ ÖÓÙ Ø Ô Ü º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ò Ø Ö Ù Ò Ò ÐÓ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ö Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ñ Ò ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ö Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ñ Ó Ø Ö Ù Ò Ò ÐÓ º ËÕ Ñ ½¾º ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ô Ü º ËÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ a, b, c, d Ø Ñ ØÛÒ Ù ôò Ñ ad bc Ø Ñ ØÛÒ ÓÖ Ó ÛÒÛÒº Ø Ø Ò ÔÓ Õ Ø a : b = c : d ad = bc. Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø ÙØ Õ Ò Ñ ÔÖÓ Ò Ò Ø ÔÛ Ø ÈÖ Ø Ø³ ½ º

½ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ç Ó ÈÖÓØ Ø³ ½»½ Ñ Ð ÓÙÒ Ô Ø Ò Ó Ó ôò Ô ¹ Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ Ò Ñ Ô Ö Ñ ÒÓÙÒ Ñ Ò ÐÐ ÜÓÙÑ Ø ÛÒ Ö ØôÒØ Ò ÐÐÓÛØ Ø ÔÐ ÙÖ º ÍÔ ÖÕÓÙÒ Ó Ñ ÛÖ Ñ Ø Ô Ö ÓÖ Ó ÛÒÛÒ ÓÑÓ Ø Ø ØÓ Å ¹ ÖÓ ØÓÙ ÐÓ٠سº Ç Ù Ð Ø Ò ÐÐ ØÓ Å ÖÓ Ø ¹ Ò ÔØ ØÓ ÒØ Ñ ÒÓ ØÛÒ ÓÑÓÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ØÓ Å ÖÓ º ÈÖ Ø Ñ Ò Õ Ó Ñ Û ÓÑ Ò Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø Ô Ö ÓÙÑ Ø ÈÖÓØ Ø³ ¾ ¾ ÒØ ØÓÙ ÒØ Ñ ÒÓÙ Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÖ Ó ÛÒÛÒº ËÙÑ ÓÐÞÓÒØ Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø Ñ ÕÓÙÑ ËÕ Ñ ½¾º ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º ÈÖ Ø Ø³ ¾ º T AC AT TC AC. ÈÖ Ø Ø³ ¾ º AT AC T AC. ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ ³ÇÑÓ Ù Ö Ñ¹ Ñ Õ Ñ Ø ÌÓ ÔÖôØÓ ÔÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ó Ù Ð ØÓ ØÓ ØÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÐÓ٠س Ò Ò Ü ØÓ ÔÛ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ø Ù ØÓ Ò ÑÓ ØÑ Ñ Ø º ÈÖ Ø Ø³ ½ ºµ ³ ÕÓÒØ Ü Ð Ø Ò Ô ÖÜ ÓÑÓÛÒ Õ Ñ ØÛÒ ÔÖÓÕÛÖ ØÓ ÔÐ ÓÒ Ñ ÒØ ôö Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÙÒ Ñ Ñ Û ÔÖÓ Ø Ò ÓÑÓ Ø Ø º

½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ÈÖ Ø Ø³ ½ º Ì ÑÓ ØÖ ÛÒ Ò ØÓ Ò ÔÖÓ ØÓ ÐÐÓ ØÓÒ ÔÐ Ó Ð Ó ØÛÒ Òع ØÓ ÕÛÒ ÔÐ ÙÖôÒº ËÕ Ñ ½¾º½¼ ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º Ç ÔÐ Ó Ð Ó ÓÖÞ Ø ØÓ ÐÓ ³ ÇÖ Ñ ³ º Ò a : b = b : c Ø Ø ØÓ a : c Ð Ø Ó ÔÐ Ó Ð Ó ØÓÙ a : bº Å ÕÖÓÒÓÙ ÖÓÙ Ò a : b = b : c = k Ø Ø a : c = (a : b) (a : b) = k 2 º À ÈÖ Ø Ø³ ½ Ñ Ð ÐÓ Ô Ò Ø Ò Ó ÔÐ ÙÖ Ó ÓÑÓÛÒ ØÖ ôòûò ÙÒ ÓÒØ Ñ Ò Ô Ö ÓÒØ ÓÑÓ Ø Ø k Ø Ø Ø Ñ ØÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ ØÓÒ Ô Ö ÓÒØ k 2 º ÙØ ÖÑ Þ Ø Ø Ò Ô Ö ØÛ ÈÖ Ø Ø³ ¾ Ô Ø Ò ÐÐ ÔÐ ÙÖ Ü ôò Ø Ñ Õ a : c = k 2 Ø Ñ Þ Ø Ø Ó Ô Ö ÓÒØ k Û Ó Ñ Ó Ò ÐÓ Ó ØÛÒ a cº ËØ Ò Ô Ü Ø Ø³ ½ Ó Ù Ð Õ ÖÞ Ø Ñ Ñ ØÖ Ø Ò ÐÓ Ø Ù Û ØÓÙ Ò ÑÔÓÖ Ò ÖÑ ØÓ Ñ Ð ô ôö Ñ Ø³ ½ Ò Ô Ö Ø Ñ º Ô Ò Ð Ñ ÒÓÙÑ Ø Ô Õ Ö Ñ Ø ØÓÙ Ù Ð ÐÐ Ô Ö ØÓÙÑ ØÓ ËÕ ¹ Ñ ½¾º½¼ Ò ÒÓÙÑ Ø Ò Ð Ó Ô Ó Ò Ñ Ø Ò ÒÒÓ Ø ÓÙÑ Ò Ñ Ó Ó Ñ ÓÐ Ø B Eµº Ò Ñ Ñ Ø Ò β = ǫ Ø Ò AB : BC = DE : EF. À Ò ÐÐ AB : DE = BC : EF.

½ ¼ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ Ã Ø Ù ÞÓÙÑ ØôÖ ØÓ Ñ Ó G Ø Ò BC Ó ØÛ ô Ø ½ ÈÖÓ ÔØÓÙÒ Ó ÙÑÔ Ö Ñ Ø AB : DE = EF : BG. ½º ÌÓ Ñ Ò ØÓÙ ABG Ò Ó Ñ ÙØ ØÓÙ DEF ½ ¾º BC : EF = EF : BG Ö Ó BC : BG Ò Ó ÔÐ Ó Ð Ó ØÓÙ BC : EF º ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ÔÖÓ ÔØ ØôÖ Ô Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ (ABC) : (DEF) + (ABC) : (ABG) = BC : BG. À Ô Ñ Ò ÈÖ Ø Ø³ ¾¼ Ô Ø Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø³ ½ Ø ¹ ÑÓ ÔÓÐ ÛÒ Ñ Û ØÖ ÛÒ ÑÓ º À ÈÖ Ø Ø³ ¾½ ÕÒ Ø Õ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ò Ñ Ø Ø º ½¾º ÐÓ Ø³ Å ÖÓ À ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôò ËÙÞ Ø Ñ ØÓ ÐÓ ³ Û Ø ÈÖÓØ ³» ØÓ ÔÛ ÖÑÓ ØÛÒ Ñ ôò Ø ÖÕ ÐÐ Ò Ñ Ñ Ø ÑÔÓÖ Ò Ñ Ø Ö Ø Ò Ø Ð Ø ØÖ ÛÒ ôò Ü ô ÛÒº ÒÛÖÞÓÒØ Ø Ò ÙÞ Ø ÓÙÑ Ø Ò Ò Ù ØÓÙ Ô Ø Ø ØÖ ÛÒ Ø ÑÓ Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑ ÔÓÙ Ò Ø Ø ÈÖÓØ Ø³ ¾»¾ º ½ Ç Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ò ØÓ ÐÓ ³ ÕÖ Þ Ø Ò ØÖÓÔÓÔÓ ¹ Ó Ò Ð Ó Ø Ò Ø Ô Ü Ø Ô Ö ØÛ ½ Πρότασηστ 11. ½ Πρότασηστ 14. ½ Ξανατονίζουμεσεαυτότοσημείοτηναέναηδιαμάχηιστορικώνκαιμαθηματικώνπερί τουανταελληνικάμαθηματικάήτανκαθαράγεωμετρικάόπωςυποστηρίζουνοιπρώτοι,ή, επηρεασμένααπότιςβαβυλωνιακέςμεθόδους,δενήταντίποτεάλλοαπόάλγεβραμεταμφιεσμένησεγεωμετρίαόπωςυποστηρίζουνοιδεύτεροι.αυτόπουείναιγεγονός,είναιότιενώ οιφιλόλογοιδίδουνιδιαίτεροβάροςστηνέκφρασηκαιστηφόρμα,οιμαθηματικοίτεινουννα θεωρούνταπάνταυπότοβλέμμακάποιουισομορφισμού.καιοιδύοόψειςείναιαπαραίτητες γιατηνκατανόησητωναρχαίωνμαθηματικώνκαικατ επέκτασητωννεώτερων.

½¾º º Á ÄïÁÇ ËÌï Åï ÊÇË ½ ½ ÈÖ Ø Ø³ ¾ º Æ Ø Ù Ø Ò ØÓ ÙØ Õ Ñ ÑÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ Ó Ñ ÐÐÓ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º ËÕ Ñ ½¾º½½ ÈÖ Ø Ø³ ¾ º ÒØ ØÓÙ ØÖ ôòóù ÔÓÙ ÛÖ Ó Ù Ð Û ØÓ ÔÖôØÓ Ó Ò Õ Ñ ô Ô ÖÓÙÑ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ABCD ÔÛ ØÓ ËÕ Ñ ½¾º½½º ³ ØÛ Ø ØÓ Ó Ò Ñ Ò Ò Ó Ñ Qº Å Û Ø ³ ÖÑ ÞÓÙÑ ØÓ Q Ø Ò Ù BCº Å Ø Ò Ø³ ½ Ø Ù ÞÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ó Ò ÐÓ Ó BH ØÛÒ AB BF º ½ ÌôÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó AKMN Ñ ÔÐ ÙÖ AK Ñ BH Ò ÑÓ Ó ÓÑÓ ØÓ Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ABCD Õ Ñ Q Ñ ÛÒ Ñ Ø Ø³ ½»¾¼º Ç ÈÐÓ Ø ÖÕÓ 45 125 Ѻɺµ Ó Ù Ö ØÛÒ ÛÒ È Ö ÐÐ ÐÛÒ ÛÖÓ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ¾ Û Ñ Ñ ÒØ Ò Ù ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓº Ö Ø ËÙÑÔ ØÓÙ Ò Ñ Ø Ô Ö Ø Ö ÛÑ ØÖ ÛÖ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ØÓ ÐÓÙ Ó Ó ÒØÛÒ Ó Õ Ñ ØÛÒ Ò ÖÑÓ Ø Ò ØÖØÓ Ó Ñ ØÓ ÔÖôØÓ ÑÓ Ó Ñ ØÓ ÐÐÓº ËØ Ò Ñ ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ ÙØÓ Ð Ø Ø Ù Ò Ó ÈÙ Ö Ó Ò ÒØÖÖ Ø ØÓ ØÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ò Ô Ó Ð ÔØ Ô Ó Ô Ø ÑÓÒ Ô ØÓ ôö Ñ ÔÓÙ ÔÓ Ò Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ù¹ ÔÓØ ÒÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒº ½ ½ Αλγεβρικά,αυτόσημαίνειότιβρίσκουμετηρίζα BH = AB BF,τοοποίοθαχρησιμοποιηθείστιςστ 28/29. ½ ΠράγματιτοΠυθαγόρειοΘεώρημαμπορείναδιαβαστείκαιωςηλύσητουεξήςπροβλήματος:Νακατασκευαστείτετράγωνο,ίσοπεριεχομένουμεέναάλλοσχήμα,τοοποίοστην περίπτωσηαυτήείναιδύοτετράγωνα.

½ ¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º Á ÄïÁÇ ËÌï ÇÅÇÁïÇÌÀÌ