ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë

Transcript

1 ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë ØÓÖ ØÖ Â ÐÓÒ ¾¼¼

2

3 ËÁÄÀË ÃÇÍÃÇÍÄÇ Á ÆÆÀË ÍÔ ØÖÓ Ó ØÓÙ ÁºÃºÍº Ó ÈÖ Ö ÑÑ ÛØ Ö Ó ¹ Ø Ø ÓÖ Ü ô µ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä Í ÊÁ Ë Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À ÍÔÓ Ð ØÓ ÌÑ Ñ Ù ÌÓÑ ØÖÓÒÓÑ ØÖÓ Ù Å Õ Ò ÀÑ ÖÓÑ Ò ÈÖÓ ÓÖ Ü Ø ½ Å ÓÙ ¾¼¼ Å Ð Ø ØÖ Ñ ÐÓ ÙÑ ÓÙÐ ÙØ Ô ØÖÓÔ Ëº ÁÕØ ÖÓ ÐÓÙ Ò Ôк Ã Ø Ô Ð ÔÛÒµ Áº º É ØÞ Ñ ØÖÓÙ Ã Ø º Ö ÒØÞ Ò Ôк Ã Ø ÌÑ Ñ Ù ºÃºÈº º Å Ð Ø ÔØ Ñ ÐÓ Ü Ø Ø Ô ØÖÓÔ º Â Ó ôöóù Ã Ø º ÅÔÓ ÒØ Ã Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò»Ñ Ó È ØÖôÒ º Å Ð ØÐ ÓÙ Ôº à ØÖ º ÓÙ ØÞ Ä ØÓÖ

4 c Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ c ºÈºÂº ÌØÐÓ ØÓÖ ØÖ Å Ð Ø ÒØÓÔ Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØô ÛÒ Ù Ø Ñ Ø ÔÓÐÐôÒ ÑôÒ Ð Ù Ö ISBN: À Ö Ø Ô ÖÓ ØÓÖ ØÖ Ô ØÓ ÌÑ Ñ Ù ØÓÙ Ö ØÓØ Ð ÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ Â ÐÓÒ Ò ÙÔÓ ÐôÒ ÔÓ ÓÕ ØÛÒ ÒôÑ ÛÒ ØÓÙ Ù Ö Û Æº»½ ¾ Ö ÖÓ ¾¼¾ Ô Öº ¾µ

5 È Ö Õ Ñ Ò ½ Û ½ ¾ ³ ÒÒÓ ½ ¾º½ É Ñ ÐØÓÒ Ò ËÙ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½ Ü ô Hamilton º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º¾ ËÙÑÔÐ Ø Ó ÔÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º à ÒÓÒ Ó Å Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ¹ Å Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º ÇÐÓ Ð ÖÛ Ñ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º È Ö Ó ÌÖÓÕ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾º½º Ù Ø Ô Ö Ó ôò ØÖÓÕ ôò º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º  ÛÖ Krein º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º ÌÓÑ Ô Ò Poincaré º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ³ÍÔ ÖÜ Ù Ø multibreathers ÐÙ Klein-Gordon º½ ³ÍÔ ÖÜ Ð ÛÒ multibreathers º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ multibreather º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ³ Ò Ô Ö Ñ ÐÙ ÔÓØ ÐÓ Ñ Ò Ô ÙÞ Ù Ñ ÒÓÙ Ø ¹ Ð ÒØÛØ Morse º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ç Ø Ð ÒØÛØ Morse º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

6 º º¾ Multibreathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morse º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÖÓ Ô Ö Ñ Å Ò ÐÙ Klein-Gordon º º º º º º½ ³ÍÔ ÖÜ multibreathers º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ù Ø ØÛÒ multibreathers º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÙÑÔ Ö Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ñ Ø ÙÔÓÐÓ Ñ ØÛÒ multibreathers º½ ÍÔÓÐÓ Ñ Ñ ÒÛ Ø Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ º º º º º¾ ÍÔÓÐÓ Ñ Ñ ÒÛ ØÓ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ º º º º ÖÑÓ ÐÙ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morse º º º º º º º º º º º º ¼ º ËÙÑÔ Ö Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Breathers ÔÐ Ñ Ø Ø ØÛÒ Õ Ò ÓÐÓ Ð Öô ÑÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ü ³ÍÔ ÖÜ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ breather º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ³ Ò Ô Ö Ñ Ç Ø ØÓ Ø Ð ÒØÛØ Ø Ø ÖØ Ø Ü º º º ËÙÞ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Breathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ ÙÑÔÐ Ø ôò Ô ÓÒ ÛÒ º½ ÇÖ Ñ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ³ÍÔ ÖÜ Ù Ø breathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ ÙÑÔÐ ¹ Ø ôò Ô ÓÒ ÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ô ÓÒ ÛÒ Suris º º º º º º º º º º º º º º Ö Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¼ ËÙÑÔ Ö Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ËÙÑÔ Ö Ñ Ø ½½  ôö Ñ Ô ÔÐ Ñ ÒÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ½½

7 ÐÐ ÔØ ËÙÒ ÖØ ½¾¼

8

9 È ÖÐ Ý ËØ ØÖ ÙØ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÜ ÒØÓÔ Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØô ÛÒ Ù Ø ¹ Ñ Ø ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒº Å ØÓÒ ÖÓ ÒØÓÔ Ñ Ò ÒÒÓÓ Ñ Ø Ò Ö Ø Ø Ð ÒØÛ Ö Ø ÒØÓÔ Ñ Ò ÙÖÛ Ò Ò Ô Ö Ø Ö¹ ÓÙ Ø Ð ÒØÛØ ÔÓÙ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÒØÖ Ó Òô Ó ÔÓÑ ÖÙÒ Ñ Ø Ô ÙØÓ ØÓ ÔÐ ØÓ Ø Ø Ð ÒØÛ Ñ ôò Ø ÙÒ Û Ø Ò Ñ ¹ Ò Ø Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ÙØ Ó ÕÖÓÒ Ô Ö Ó ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ Ò Ò ÓÒÓÑ ÞÓÒØ breathers Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÒØÖ Ø ¹ Ð ÒØÛØ multibreathers Ò Ó ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò Ô Ö Ø ÖÓ º ËØÓ Ø ÖÓ Ð Ó Ø ØÖ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÒØ ÔÓ Ò¹ ÒÓ Ø ÛÖ ØÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ù Ø Ñ ØÛÒ ØÛÒ ÙÑÔÐ Ø ôò Ô ÓÒ ÛÒ ÔÓÙ Ò Ô Ö Ø Ø Ø Ù Ö Ñ Ò Ñ Ð Ø ÕÛÖ Ò Ò Ø Ø Ö Ñ ÔÓ Ü ØÛÒ ÔÓØ Ð Ñ ØÛÒ ÙØôÒº ËØÓ ØÖØÓ Ð Ó ÔÓ Ò Ø Ô ÖÜ Ð ÛÒ Ø ÔÓÙ multibreather ÑÓÒÓ Ø Ø ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Ñ Ð Ø Ø Ö ÑÑ ØÓÙ Ù Ø º À Ô Ü Þ Ø Ø Ò ÒÒÓ Ø ÙÒ Õ ¹ Ô Ø ÐÐ ÐÓ ÒØ ÙÒ Õ Ö Ó Òô Ù Ø ØÓÙ Ñ Ð Ø Ø ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ôòø Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÛÒ Poincaré Krein Ô ÒÛ ØÓ Þ Ø Ñ ÙØ º ³ Ô Ø ÖÑ ÞÓÙÑ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ñ Ð Ø ÙØ Ñ ÐÙ ÙÞ Ù ¹ Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morse Ø ÐÓ Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÐÙ Ø Ð ÒØÛØôÒ ÔÓÙ ÒÓ ÒØ ÙÔ Ø Ò Ô Ö Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ó º ËØÓ Ø Ø ÖØÓ Ð Ó Ò ÔØ Ø Ñ Ñ Ó Ó Ö Ñ Ø Ó ÙÔÓÐÓ ¹ ÑÓ multibreathers ÑÓÒÓ Ø Ø ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ

10 Ø Ð ÒØÛØôÒ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ñ Ø ÐÐ Ð ØÓÑ Poincaréº À ØÓÑ ÙØ Ô Ð Ø Ñ Ù ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÔÖÓ ÖÕ Ø Ô Ø Ñ Ó Ó Ô Ü Ø ¹ Ô ÖÜ ØÛÒ multibreathersº Ô Ô Ñ Ó Ó Ô Ü Þ Ø Ø Ò Ô ÖÜ ØÛÒ Ñ Ø Ð ØôÒ Ö ¹ ÛÒ ÑÓÖ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ò Ò Ô ÒØ ÒÛ Ø Ô Ö ØÓÙÑ Ò Ò ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ ØÛÒ Õ Ö Ø Ö Ø ôò Ø ØÖÓÕ ÕÛÖ Ø ÕÖ ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ÙØÓ º ËØÓ Ô ÑÔØÓ Ð Ó Ô Ø ÒÓÙÑ Ø ØÓÙ ØÖØÓÙ Ð ÓÙ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ breathers ÔÐ Ñ Ø Õ Ò ÓÐÓ Ð Öô ÑÛÒ ¹ Ø ØÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒº ³ Ô Ø ÖÑ ÞÓÙÑ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ñ Ð Ø ÙØ Ò ÔÐ Ñ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô Ø ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ ÔÓÙ ØÓ Þ Ù ØÓ Ö Ó Ô Ö Ö ÓÒØ Ô Ò ÓÐÓ Ð Öô ÑÓ ÔÓÐÙÛÒÙÑ ÙÒ Ñ Ø Ø ÖØ Ø Ü º ËØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ð Ó Ò ÓÒØ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ Ù Ø Ñ Ø ÔÓÙ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò Ô Ö Ö ÓÒØ ÔÐ ÓÒ Ô É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø ÐÐ Ô ÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ º  ÛÖÓ Ñ Ñ ÐÙ ÓÔÓ ØÓ Þ Ù ¹ ØÓ Ö Ó ÔÓØ Ð Ø Ô ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ø Ø ÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ ÔÓ Ò ÓÙÑ Ø Ñ Ö ÐÐ Ñ Ñ Ò Þ ÙÜ ØÓ Ø Ñ ÙØ ÙÔÓ Ø ÖÞ Ð Ø ÔÓÙ breather multibreather Ü Ø ÞÓÙÑ Ø Ö Ñ¹ Ñ ØÓÙ Ù Ø º ÖÑ ÞÓÙÑ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ô ÓÒ ÛÒ Suris ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ó Ñ Ñ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø Ø Ù Ø ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Þ Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒº ½¼

11 Abstract In the present thesis we study the existence of localised oscillations in systems of coupled oscillators. By the term localised we mean that the energy of the oscillation is localised mainly in one or more oscillators, which are called central, while as the distance from them grows larger the amplitude of the oscillation decreases, usually exponentially, to become eventually zero at the borders of the system considered. These time-periodic and spacelocalised motions are called breathers if there is only one central oscillator or multibreathers if the central oscillators are more than one. In the second chapter of the thesis, we recall some basic concepts of the theory of Hamiltonian systems and of symplectic mappings, which are essential for the particular study, without paying particular attention to prove this results. In the third chapter, the existence of multibreather solutions is proved in one-dimensional chains of coupled Hamiltonian oscillators and their linear stability is studied. The proof is based on the concept of continuation from a proper anticontinuous limit, while their stability study is based on the results of Poincaré and Krein in this subject. After that, we apply the results of this study in a chain of coupled Morse oscillators. Finally we apply the previous results in a chain consisting of oscillators which are moving under a general potential. In the fourth chapter, a method of numerical computation of multibreathers in one dimensional chains of coupled Hamiltonian oscillators is ½½

12 developed by using an appropriate Poincaré section. This section is chosen by a very natural way which comes directly from the multibreather existence proof procedure. In addition, since the proof method is based on the existence of the action-angle variables, which usually is not explicitly known, we illustrate an alternative way of calculating the same elements of the multibreathers without use of this transformation. In the fifth chapter, we expand the ideas of the third chapter to prove the existence of breathers in lattices of nearly integrable Hamiltonian oscillators. We apply the results of this study in a lattice consisting of oscillators which, in the uncoupled limit, are described by a integrable polynomial quartic potential. In the final chapter, our results are generalised in systems where the oscillators are not described any more by Hamiltonian systems but by symplectic mappings. We consider a chain which, in the uncoupled limit, is consisted by integrable two-dimensional symplectic maps and we prove that for small but nonzero coupling this system supports breather and multibreather solutions and we study their linear stability. We apply the results of the study in a chain of coupled Suris maps and we perform an extended stability analysis of the calculated solutions. ½¾

13 Ã Ð Ó ½ Û Ò ÛÖ ÓÙÑ Ò ÔÐ Ñ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ñ Ö ÑÑ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ ¹ ÓÙÑ Ò Ò Ô Ö Ø ÖÓÙ Ô ÙØÓ Ò Ó Ò Ô ÔÓ Ò Ø Ò Ö ØÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ ÙØôÒ Ñ Ø Ó ÐÓ ØÓ ÔÐ Ñ Ò Ñ Ð Ñ ÔÐ Ñ Ô ÖÓÙ Ñ ÓÙ Ø Ø Ø Ð Ø Ø Ò Ñ Ø Ð ÒØÛ Ñ Ô ÖÓ Ñ Ó Ñ Ò ÔÐ ØÓº À Ô ÔÓ ÙØ Ø ÖÞ Ø ØÓ ÓÒ Ø ÕÓÙÑ Ñ Ò Ø Ñ Ø Ö ÑÑ º Ë Ò ÔÐ Ñ Ò ÐÐÓÛØÓ ÙÔ Ñ Ø Ø Ô ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô Ö Ñ¹ Ñ Ó É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ø Ð ÒØÛØ Ø ÑÓÖ ẍ n + ω 2 x n = λ(x n+1 2x n + x n 1 ) ½º½µ Ò Ð ØÓÙ Ò π x n (t) = dk ˆx σ (k)e i(kn σω(k)t), π σ ± Ñ ω(k) = ω 2 + 4λ sin 2 k/2º ÔÓÑ ÒÛ Ð Ó Ð ØÓÙ ½º½µ Ô ÖÓÙ ¹ ÞÓÙÒ ÔÓÖ º ³ÇÑÛ ÙØ ÔÓÙ ÙÑ Ò Ø ÔÖÓ Ò Ö ÒØ Ù Ø Ñ Ø ÑÔÓÖ Ò Ñ ÙÑ Ò Ù Ø Ñ Ø ÔÓÙ ÒÓÒ Ø Ø ØÓÙ ÔÐ Ñ ØÓ Ò Ø Ö ¹ Ñ Ò º Ô Ö Ñ Ñ ÐÙ ÔÓÙ ÐÓ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò ÑÓ Ó ½

14 Ø Ô Ò Ò Ò Ö Ø Ø Ð ÒØÛ ÑÔÓÖ Ò ÒØÓÔ Ø ÖÛ Ô ØÓÒ Ø Ð ÒØÛØ ÙØ Òº Ì Ð ÒØô ÙØ Ø ÑÓÖ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÒÓÒ Ó ØÖ ÔÓ Ø Ð ÒØÛ Ð Û ÔÖÓ ÑÜ ÛÒ Impurity modesµ ÔºÕº ½ µº ÒØÓÔ ¹ Ñ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÓÙÑ Ô Ù Ø Ñ Ø ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ ÕÛÖ ØÙÕ Ø Ø Ø Ò Ø ÒÓÑ ØÛÒ Ö ÑÑ ôò ÙÕÒÓØ ØÛÒ» Ø Þ ÙÜ Ò Ñ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ º Ç Ø Ð ÒØô ÙØÓ ØÓÙ ÓÙ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÒÓÒ Ó ØÖ ÔÓ Ø Ð ÒØÛ Anderson ÔºÕº µ Ð Û Ø ÓÙÐ ØÓÙ Anderson Ø Ü ô¹ Schrödinger º ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ ÑÛ ÕÓÐ Ó Ñ Ñ ÒÓ Ñ ÔÐ Ñ Ø ÑÓ ÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Ñ ÙÑÑ ØÖ Ñ Ø Ø Ô º À Ô ÖÜ ÒØÓÔ Ñ ÒÛÒ Ø Ø ÛÒ Ø ØÓ ÓÙ ÓÙ Ù Ø Ñ Ø Ó Ð Ø ÔÓ Ð Ø Ø Ñ Ö ÑÑ Ø Ø ØÓÙ ÔÐ Ñ ØÓº Ç ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ Ò ÕÖÓÒ Ô Ö Ó Ò Ù Ø Ñ Ø ÙÞ Ù ¹ Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Discrete Breathersº Ç ÖÓ ÙØ ÔÖÓ ÖÕ Ø ØÓÖ Ô Ø Ò Ô ÖÜ ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ó ôò Ð ÛÒ Ø Ò ÒØ ØÓ Õ ÙÒ Õ Ü Û Sine - Gordon u xx u tt = sin u ÔÓÙ ÒÓÒØ Ø ÐÐ ÐÓ ÒÓ Ñ ÒÓ Ø Ñ ÙÒØ Ø Ñ ÒÛÒ Ô Ø ( ) ε sin t u(x,t) = 4 tan 1 1+ε 2 cosh εx, 1+ε 2 ÐÓ ÒØ Breathersº Ç Ð ÙØÓ ØÓÙ ÓÙ Ô ÒÞÓÙÒ Ø ÙÒ Õ Ù Ø Ñ Ø Ø Ù Ø Ñ Ø Ð ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÒØ Ô ÓÖ Ü ô¹ Ñ Ö ôò Ô Ö ô ÛÒº ËÙ Ö Ñ Ò Õ ÔÓ ÕØ ¼ Ø Ü ô ØÓÙ Ø ÔÓÙ u xx u tt = V (u) ÙÔ ÖÕÓÙÒ breathers Ñ ÒÓ Ø Ò ØÓ V (u) Ò Ñ ØÓÒÓ º ³ÇÑÛ Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ø ÙÒ Õ Ù Ø Ñ Ø Ó Ð ÙØÓ ØÓÙ Ø ÔÓÙ Ò Ò ÙÒ Ñ Ò ÔÓØ ÐÓ Ò Ø Ò ÙÑÔ Ö ÓÖ Ø Ö Ø Ù Ø Ñ Ø Ù Ø Ñ Ø ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÒØ Ð Ô ÙÒ ÓÖ Ü ô ÓÖôÒº Ô ô ØÓ Ü Ñ ØÓÒ ÖÓ breathers ½

15 ÒÒÓÓ Ñ discrete breathers ÓÒ ÕÓÐ Ó Ñ ÔÓ Ð Ø Ñ Ö Ø Ù Ø Ñ Ø º À ÔÖôØ Ö Ñ Ø Ô ØÛ Ø Ô ÖÜ Ø ØÓ ÓÙ ÓÙ Ò ÛÒ Ò Ô ØÓÙ Takeno et al. º ³ÇÑÛ ÔÖôØ Ô Ü Ø Ô ÖÜ breathers Ò Ô ØÓÙ S. Aubry R. MacKay º ÙØÓ Ô Ü Ò Ø Ò Ô ÖÜ breathers ØÙ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ ÕÖÓÒ ÒØ ØÖ ÔØôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ÒÒÓ Ø ÙÒ Õ Ô Ò ÒØ ÙÒ Õ Ö Óº À ÒÒÓ ÙØ ÙØ Ø Ø Ò Ö Ò ÓÖÓÙ Ñ Ø Ô ÙÑ Ø Ø Ø Ñ Ø Ñ Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓÙ Ô Ø Ò ÓÔÓ Ü ÖØ Ø ØÓ Ø Ñ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ô Ø ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Ô ÔÐ Ñ Ò ÙÒ ÖØ Ø Ò Ô Ü Ø ÙÒ ¹ Õ ÙØ Ø Ø Ø Ñ Ø Ô ÙÑ Ø Ø Ø ØÓÒ Ø Ñ Ø Ô Ö Ñ ØÖÓÙº Ä Û ØÓÙ ÓÒ ØÓ Ø Ø É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø Ó Ô Ö Ó Ð Ñ ÒÞÓÒØ ÑÓÒÓÔ Ö Ñ ØÖ Ó Ó Ò ÕÖ Ø Ø Ø Ø ÕÖÓÒ ÒØ ØÖ Ý Ñ Ø Ø Ò Ô Ö Ø Ø º Ö Ø Ö ÒÒÓ Ô Ø Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô Ü Ô ÖÜ breathers ÐÐÓÙ ÓÙ Ù Ø Ñ Ø ÔÛ ÐÙ Ñ ÙÒØ Ö Ø ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ º ³ ÐÐ Ñ Ó Ó ÕÖ ÑÓÔÓ Ò Ô Ø Ò Ô Ü Ø Ô ÖÜ breathers ÔÛ Ñ Ó Ó Ð Õ ØÓÔÓ ÔÓ ÓÙ Ø ÐÐ ÐÓÙ ÙÒ ÖØ Ó ÓÑÓ Ð Ò Ñ Ó Ó ØÓÙ G. James ¾ Ø Ò Ô Ü ÙÔ ÖÜ breathers Ñ ÖÓ ÔÐ ØÓÙ ÐÙ FPUº Ç Ð ÙØ Ø ÑÓÖ ÑÛ Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ð ¹ Ø º ³ Ø ÔÓÐ ÓÙÐ Õ Ò Ô Õ Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒ ÔºÕº µ Ø Ò Ù Ø Ø Nekhoroshev Ø Ò Ö ØÓÙ D. Bambusi º Å Ô Ø Ø ÒÒÓ ØÓÙ breather Ò ØÓ multibreatherº ÌÓ multibreather Ò Ñ ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ Ò ÕÖÓÒ Ô Ö Ó Ò ÔÓÙ ØÓ ÒØ ÙÒ Õ ØÓÙ Ö Ó Ô Ö Ø ÖÓ Ô Ò Ò Ø Ð ÒØÛØ ÒÓ ÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ º ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÜ Ù Ø multibreathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ ÑÓÒÓ Ø ØÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ ô ½

16 Ø Ò Ô ÖÜ Ù Ø breathers ÔÐ Ñ Ø ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ ÔÓÐÙ ¹ Ø ØÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒº À Ñ Ð Ø ÙØ Ø ÖÞ Ø Ø Ò Ö ØÓÙ H. Poincaré ½ ¾ µ Ô ÒÛ Ø ÙÒ Õ ØÛÒ Ô Ö Ó ôò ØÖÓÕ ôòº À ØÖ ÙØ Ò ÓÖ ÒÛÑ Ò Û Ü ËØÓ Ø ÖÓ Ð Ó Ô ÖÓÙ Þ ¹ Ø ØÓ Ô Ö Ø ØÓ ÛÖ Ø ÙÔ ÖÓ Ô ÒÛ ØÓ ÓÔÓÓ Ø Ö ÕØÓ Ñ Ø ÔÓ Ü ØÛÒ Ô Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒº ËØÓ ØÖØÓ Ð Ó ÔÓ Ò Ø Ô ÖÜ multibreathers ÙÔÓÐÓ ÞÓÒØ Ó Ð ÙØ Ñ Ð Ø Ø Ö Ñ¹ Ñ ØÓÙ Ù Ø º ËØÓ Ø Ø ÖØÓ Ð Ó Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ò ÙÔÓÐÓ ÞÓÒØ Ö Ñ Ø Ó Ð ÙØ Ø Ò Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÐÙ¹ Ø ØÓÙ ÙÔÓÐÓ Ñ º ËØÓ Ô ÑÔØÓ Ð Ó Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ñ Ó Ó Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø Ù Ø breathers ÔÐ Ñ ¹ Ø ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ø ØÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Òô ØÓ ØÓ Ð Ó ÙÖ ÒÓÙÑ Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ breathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ ÙÑÔÐ Ø ôò Ô ÓÒ ÛÒ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø Ö ÑÑ Ù¹ Ø ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒº À Ô ÖÓ ØÖ Ø ÖÕØ Ó ÓÒÓÑ Ô ØÓ ³Á ÖÙÑ ÃÖ Ø ôò ÍÔÓØÖÓ ôò ÁÃ͵ Ô Ø ¼½»½½»½ Ñ ÕÖ ØÓÒ ½»¼»¾¼¼ Ô ØÓ ÔÖ Ö ÑÑ ÙÔÓØÖÓ ôò ÛØ Ö Ó Ø Ò Ù ÓÖ Ü ô º  ÛÖô ÙÔÓÕÖ Û ÑÓÙ Ò ÙÕ Ö Ø Û Ø Ñ Ð Ø ØÖ Ñ ÐÓ ÙÑ ÓÙÐ Ù¹ Ø Ô ØÖÓÔ ÔÓÙ Ñ Ó Ò Ð Ø Ö Ø Ô Ò Ø ¹ ØÖ ÙØ º  ÐÛ Ò ÙÕ Ö Ø Û Ø Ö ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ Ø Ô ÖÓ ØÖ Ò Ôк º ˺ ÁÕØ ÖÓ ÐÓÙ Ó ÔÓØ Ð ÖÓ ÛÒ Ó Ð Ó Ø ÙÐÓÔÓ Ø ØÖ Ó ôòø Ñ Ò Ü Ô Ö Û Ð Ø ÔÖÓ ÑÑ Ø ÔÓÙ ÔÖÓ ÙÝ Ò Ø ÙØ Ø Ò Ô Ø ÑÓÒ Ø ÓÔÓ ÔÓØ ÐÐ º Ù¹ Õ Ö Øô Ô Ø Ñ Ð Ø ÔØ Ñ ÐÓ Ü Ø Ø Ô ØÖÓÔ Ø ØÖ ÙØ Ø Ò ÔÖÓ ÓÕ Ñ Ø Ò ÓÔÓ Ü Ø Ò Ø ØÖ Ø Ò Ñ Õ Ð ØÓÙ Õ Ø Ñ Ø ÐØÛ Ø º Ì ÐÓ ÐÛ Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ Â ÓÔ Ø ôö Ó ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ ô Ø º Ó ØÞ Ø ÙÑÔ Ö Ø ØÓÙ ÐÓ ÙØ ØÓ ÕÖÓÒ Ø Ñ º ½

17 Ã Ð Ó ¾ ³ ÒÒÓ ¾º½ ¾º½º½ É Ñ ÐØÓÒ Ò ËÙ Ø Ñ Ø Ü ô Hamilton Ç Ô Ó ÓÑ ÒÓ ØÖ ÔÓ Ñ Ð Ø Ò Ñ Õ Ò Ó Ù Ø Ñ ØÓ Ò Ñ Û Ò É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ ËÙ Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ò Û Ü º ³ Ò É Ñ ÐØÓ¹ Ò Ò Ë Ø Ñ Ò Ò ÒÙ Ñ Ø Ô Ó V Ñ 2n¹ Ø Ø ÓÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø P ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô Ø Õ ω 2 (V,ξ) = dh(ξ) ξ TP ÔÓ ÙÒ ÖØ H : P R ÔÓÙ ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÒ ÖØ Hamilton É Ñ Ð¹ ØÓÒ Ò µ ÙÑÔÐ Ø ÑÓÖ ω 2 Ø Ò P º Å ÙÑÔÐ Ø ÑÓÖ Ò Ñ Ð Ø S 2 ω 2 = Ð Ø Ò ô Ñ ¾¹ Ö ØÓ P µ Ñ ¹ ÙÐ Ñ Ò ω 2 (ξ,η) = ξ η = µ ÒØ ÙÑÑ ØÖ ω 2 (ξ,η) = ω 2 (η,ξ)µ Ö ÑÑ Ö ÑÑ Û ÔÖÓ Ö Ñ µ ¾¹ÑÓÖ ØÓÒ ÔØ Ñ ÒÓ ÕôÖÓ TPº ËØÓ Ô Ö Ò Ô Ö ÓÖ ØÓ Ñ Ø ÕÖ Ø ÙÒ ÓÙ ÙÑÔÐ Ø ÑÓÖ Ò ω 2 = n j=1 dq j dp j ØÓÒ R n R n ÔÓÙ Ò Ø Ð Ø Ü ô Hamilton q i = ṗ i H p i = H q i i = 1...n ¾º½µ ½

18 ³ÇÔÓÙ q = (q 1...q n ) Ò Ó Ò ÙÑ Ò ÙÒØ Ø Ñ Ò p = (p 1...p n ) Ó Ò ÙÑ Ò ÓÖÑ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº À ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø P ÓÒÓÑ Þ Ø ÕôÖÓ ØÓ n ÔÓØ Ð ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ ÑôÒ Ð Ù Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº Ç Ü ô ¾º½µ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ü ô Ò Ó ÔÓØ ÐÓ Ò Ø ¹ ÓÖ Ü ô ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÙÒ Ø Ò ØÓ ÕôÖÓ ØÓÙ Ù Ø ¹ Ñ ØÓº Å Ð {q(q,p,t),p(q,p,t)} ØÛÒ ¾º½µ ÓÒÓÑ Þ Ø ØÖÓÕ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ q = q() p = p() ÔÓØ ÐÓ Ò Ø ÖÕ ÙÒ Ø ØÖÓÕ º ³ Ò ÓÙÑ η = (η 1...η 2n ) = (q 1,p 1,q 2,p 2...q n,p n ) Ó Ü ô Ò ÒÓÒØ η = ΩD η H ÔÓÙ Ω Ó 2n 2n ÔÒ Ø ÙÑÔÐ Ø ÓÑ Ñ diag(ω 2 Ω }{{} 2 ) n ÓÖ ( ) 1 Ω 2 =. 1 ¾º¾µ ³ÇØ Ò É Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Ü ÖØ Ø Ñ Ô ØÓ ÕÖ ÒÓ t Ø Ø ØÓ Ø Ñ ÓÒÓÑ Þ Ø ÙØ ÒÓÑÓº Ì ÙÒ Ñ Õ Ò Ù Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÔÓ ÕÓй Ó Ñ ØÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø ØÖ Ò ÙØ ÒÓÑ É Ñ ÐØÓÒ Ò ØÓÙ Ò Ø Ô Ø Õ H = T(p) + V (q) ÔÓÙ T(p) Ò Ò Ø Ò Ö V (q) ØÓ ÙÒ Ñ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ¾º½º¾ ËÙÑÔÐ Ø Ó ÔÒ ³ Ò 2n 2n ÔÒ A ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÑÔÐ Ø Ò Õ AΩA T = Ω. ÔÓ Ò Ø ÔºÕº ¾ µ Ø ÓÖÞÓÙ ØÛÒ ÙÑÔÐ Ø ôò Ô Ò ÛÒ Ò det(a) = 1. ØÓ Õ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ A Õ p(λ) = A λi = A T λi = ΩA 1 Ω + λω 2 = A 1 + λi = I + λa = λ 2n A λ 1 I = λ 2n p(1/λ). ½

19 ÔÓÑ ÒÛ Ò λ Ò ÖÞ ØÓÙ Õ Ö Ø Ö Ø Ó ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Ø ÙÒ Ô ÔÓØ Ð ÓØ Ñ ØÓÙ A Ø Ø ØÓ 1/λ ÔÓØ Ð ÖÞ º Ô ÔÐ ÓÒ ÓÒ ØÓ p(λ) Ò ÔÖ Ñ Ø Ó ÖÞ ØÓÙ Ñ ÒÞÓÒØ Ñ Þ º ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ Ø Ð Ø Ó ÓØ Ñ ØÛÒ ÙÑÔÐ Ø ôò Ô Ò ÛÒ Ñ ÒÞÓÒØ Ò Ò Ø ØÖ (λ, 1/λ,λ, 1/λ ) ÔÓÙ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ñ Ø ØÖ º ¾º½º à ÒÓÒ Ó Å Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ¹ Å Ø Õ Ñ ¹ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ³ ØÛ Ò ØÙÕ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ ÙÒØ Ø Ñ ÒÛÒ ØÓÙ ÕôÖÓÙ M : (q,p) (Q,P)º ³ Ò Ø ØÓ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ò Ò Ø Ö ØÓÒ É Ñ ÐØÓÒ Ò Õ Ö Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ø Ò Ø Ø ÙØ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÒÓÒ Óº Ç ÙÒ ØÖ ÔÓ ÓÖ ÑÓ ØÛÒ ÒÓÒ¹ ôò Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Ò Ñ Û ØÛÒ Ð Ñ ÒÛÒ Ò Ø ÖÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÔºÕº ¾ ¾ µº Ç Õ ÓÖ ÑÓ ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ÙØÓ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ôòø Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÖØ Ø ÖÓÙ Ø ÔÓÙ Ñ Ò Ø Ö Ð Ø ÑÓÖ S = S(q,P)µ Ò Q i = S P i p i = S q i. ¾º µ ¾º½º ÇÐÓ Ð ÖÛ Ñ Ø Ø ³ ØÛ Ó ÙÒ ÖØ F,G : P Rº Ì Ø Ð Poisson ØÛÒ Ó ÙØôÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÓÖÞ Ø Ô Ø Õ [F,G] = n i,j=1 È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ò G = H Ø Ø ÕÓÙÑ [F,H] = n i,j=1 ij F H Ω = η i η j ½ ij F G Ω. η i η j n i=1 F η i = df η i dt.

20 Ò Ò [F,G] = Ø Ø Ð Ñ Ø Ó F G Ö ÓÒØ Ò Ð Ü º Å ÙÒ ÖØ F ÓÒÓÑ Þ Ø ÔÖôØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ø Ò ÔÐô ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ø Ò Ò ÙÒ ÖØ ÙØ Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ø Ö Ø Ñ Ó Ñ ØÖÓÕ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÐÐ ô df(q,p) dt = [F,H] =. Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ n Ò Ü ÖØ Ø ÑÓÒ Ø Ñ ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø Ò Ò Ð Ü Ø Ø ØÓ Ø Ñ ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÐÓ Ð Öô ÑÓº ³ Ò Ø Ñ Ò ÑÓ Ð Ù Ö Ò Ô ÒØÓØ ÓÐÓ Ð Öô ÑÓ ÓÒ ÙÒ ÖØ Hamilton Ò Ô ÒØÓØ ÓÐÓ ¹ Ð ÖÛÑ Ø Ò Ó [H,H] =. Ø ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ù Ø Ñ Ø ØÓ ôö Ñ Liouville-Arnold Ò Ö Ø µ ËØ Ò Ô Ö ÓÕ Ø Ö Ñ Ò Ò Ò É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù Ø Ñ ØÓ ØÖÓÕ ØÓÒ ÕôÖÓ ÛÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ö Ø Ô ÒÛ Ò ÐÐÓÛØ ÓÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø ÔÓÙ Ò Ò ÙÑÔ ÙÒ Ø Ò ¹ ÓÖÓÑÓÖ ØÓÙ n¹ Ø ØÓÙ Ø ÖÓÙ T n º µ À Ò ØÓÒ Ø ÖÓ ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ö Ñ Û ØÛÒ ÒÓÒ ôò Ñ Ø Ð¹ ØôÒ Ö ¹ ÛÒ (J,w)º Ì J i ÔÓØ ÐÓ Ò ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø Ø Ò Ø w i ÛÒ Ñ Ø Ð Ø Ô ÒÛ ØÓÒ Ø ÖÓº µ ËØ Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ É Ñ ÐØÓÒ Ò Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø Ö ¹ Ð H = H(J)º Ç n¹ Ø ØÓ Ø ÖÓ ÓÖÞ Ø Û ØÓ ÖØ Ò Ò Ñ ÒÓ T n = S } 1... {{ S } 1 º n ÓÖ Ò Ð Ñ ÓÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø ÔÓÙ Ô Ö Õ n Ñ Ò ô ÑÓÙ ¹ ÐÓÙ γ i ÐÓÙ ÔÓÙ Ò Ò ÙÒ Ø Ñ ÙÒ Õ Ñ Ø ÓÐ Ò ÙÑÔ ÓÙÒ Ò ÙÐ ØÓ Ò Ñ Óµº Ô Ö Ñ ØÓ Õ Ñ ¾º½µ Ò Ø Ó ¹ Ø ØÓ Ø ÖÓ Ñ ØÓÙ Ó Ñ Ò ô ÑÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ γ 1 γ 2 º Ç Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ ÓÖÞÓÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø n ÓÐÓ Ð Öô¹ Ñ Ø Ò I i = I i (q,p) = c i ¾¼ ¾º µ

21 ËÕ Ñ ¾º½ Ç Ø ØÓ Ø ÖÓ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº Ä ÒÓÒØ Ø Ü ô ¾º µ Û ÔÖÓ Ø ÓÖÑ p i Ô ÖÒÓÙÑ p i = p i (I,q). Ì J i Ø Ø ÓÖÞÓÒØ Ô Ø Õ J i = 1 n p j (q,i)dq j 2π γ i j=1 ÔÓÙ ÓÐÓ Ð ÖÛ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ø Ñ Ó Ò Ô ØÓÙ Ñ Ò ô ¹ ÑÓÙ ÐÓÙ ØÓÙ T n º ³ÇÔÛ Ò Ø Ô Ø Ò ¾º½º µ ÕÓÙÑ J i = J i (I) Ö Ø J i ÔÓØ ÐÓ Ò ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ÅÔÓÖÓ Ñ ÔÓÑ ÒÛ Ò Ö ÓÙÑ Ø ÓÖÑ Û p i = p i (q i,j i ) Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø n S(q,J) = p j (q i,j i )dq j, j=1 ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ò Ø Ö ÙÒ ÖØ Ø ÖÓÙ Ø ÔÓÙ ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ñ Ø Õ Ñ ¹ Ø ÑÓ Ö ¹ ÛÒ º ÔÓÑ ÒÛ Ó ÙÞÙ Ñ Ø Ð Ø ØÛÒ J i Ó ÛÒ w i ÓÖÞÓÒØ Û w i = S J i ÔÓØ ÐÓ Ò Ð ÛÒ ÙÒØ Ø Ñ Ò Ô ÒÛ ØÓÒ T n Ó Õ i w k = dw k = γ i = n J k γ i j=1 n γ i j=1 w k dq j = q j J k p j dq j = 2π J i J k = 2πδ ik. ¾½ n γ i j=1 S q j dq j

22 Ô Ø Ü ô ØÓÙ Hamilton Ô ÖÒÓÙÑ Ó ÙÒ ÖØ Hamilton Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø Ö J i ẇ i = J i H J i = ω i (J i ) = H w i =, Ì ω i ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÛÒ ÙÕÒ Ø Ø Ø ØÖÓÕ Ò Ø Ö Ø Ø Ò Ò Ó Ü ÖØôÒØ Ñ ÒÓ Ô Ø Ö º ÔÓÑ ÒÛ Ò Ô Ö ¹ Ö Ø Ô Ø Õ w i J i = ω i t + ϑ i = const. ÔÓÙ ϑ i = w() Ò Ó ÖÕ Ø Ñ ØÛÒ ÛÒ ôòº Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ Ô ÖÒ Ñ Ô Ó ÓÐ ÑÓÖ Ø ¹ ÕÛÖ Ñ Ù Ø Ñ Ø º Ì Ù Ø Ñ Ø ÙØ Ò ÙØ Ø ÓÔÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ò Ø Ö ÙÒ ÖØ Ò Ø S = S 1 (q 1,p 1 ) + + S n (q n,p n ) ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ó Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ Ü ÖØôÒØ Ñ ÒÓ Ô Ø ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ð Ø q i,p i º Ò Ð w i = w i (q i,p i ) J i = J i (q i,p i )º Ì ÕÛÖ Ñ Ù Ø Ñ Ø Ò Ô ÒØ ÓÐÓ Ð Öô Ñ º ¾º½º È Ö Ó ÌÖÓÕ È Ö Ó ÓÖÞ Ø Ñ ØÖÓÕ Ø Ò ÙÔ ÖÕ ÕÖ ÒÓ T R + Ñ Ø Ò Ø Ø η(t + T) = η(t). ¾º µ ÌÓ Ð Õ ØÓ T ØÓ ÓÔÓÓ Õ ¾º µ ÓÒÓÑ Þ Ø Ô ÖÓ Óº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ØÛÒ ÓÐÓ Ð Öô ÑÛÒ Ù Ø Ñ ØÛÒ Ó Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ò ÐÐÓÛØÓÙ n¹ Ø ØÓÙ Ø ÖÓÙ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Õ Ñ Õ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÛÒ ôò ÙÕÒÓØ ØÛÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ø ÑÓÖ ω 1 = = ω n = ω = 2π k 1 k n T ¾¾ ¾º µ

23 ÔÓÙ k = {k 1...k n } Z n ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º ÓÒ Ø ω i Ü ÖØôÒØ Ñ ÒÓ Ô Ø J i Ø Ø Õ ¾º µ Õ Ñ Ó ØÓÙ Ø ÖÓÙ Ó ÙØ ÓÖÞ Ø Ô Ø Ø Ñ ØÛÒ J i º ³ Ö Ñ Ó ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÔÓØ Ð ÖÕ ÙÒ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÑ ÒÛ Ó Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ø ÓÐÓ Ð Öô Ñ É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø Ò Ò Ò Ñ ¹Ñ ÑÓÒÛÑ Ò º Å ÑÓÒÛÑ Ò ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ø Ò ÑÔÓÖ Ò Ö ÒÓ ÕØ Ô Ö ÓÕ ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò Ø ØÖÓÕ ÙØ Ø Ò ÓÔÓ Ò ÙÔ ÖÕ ÐÐ Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ñ Ø Ò Ô ÖÓ Óº ¾º½º Ù Ø Ô Ö Ó ôò ØÖÓÕ ôò Ö ÐÓ Ø Ñ Ð Ø Ø Ù Ø Ñ Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ô Þ Ñ Ð Ø ØÛÒ Ü ô ÛÒ Ñ Ø ÓÐôÒ ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò Ø Ò ØÖÓÕ ÙØ º ³ ØÛ ØÓ Ø Ñ ØÛÒ Ü ô ÛÒ ¾º½µ η (t) Ñ Ô Ö Ó Ð ØÓÙ Ñ Ô ÖÓ Ó T º Ò ÛÖ ÓÙÑ Ø Ñ ØÛÒ η i Ø Ò Ô Ö ÓÕ Ø Ô Ö Ó Ð ÓÙÑ Ð η = η + ξ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ü ô Ñ Ø ÓÐôÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ξ = A(t)ξ ¾º µ Ñ ÔÓÙ A(t) = ΩD 2 ηh η=η ( DηH 2 2 H = η i η j Ç ÔÒ A(t) Ò ÔÖÓ Òô Ô Ö Ó º ³ Ò ÔÒ Φ(t) ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò Ü Û Φ(t) = A(t)Φ(t) ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ Ð ô ÔÒ Ð ÛÒ Ø ¾º µº ³ ØÛ (t) Ó Ñ Ð ô ÔÒ Ð ÛÒ Ø ¾º µ Ñ Ø Ò Ø Ø () = I ÓØ Ñ λ i º Ç ÔÒ (T) ÓÒÓÑ Þ Ø ÑÓÒ ÖÓÑÓ ÔÒ Ø ÒØ ¹ ØÓ Õ Ô Ö Ó ØÖÓÕ º ÇÖÞÓÒØ Ô Ó Õ Ö Ø Ö Ø Ó Ø µ i ØÓÙ ÑÓÒ ÖÓÑÓÙ ÔÒ Ñ Û Ø Õ λ i = e µ it. ¾ ).

24 Ì Ø ØÓ ôö Ñ ØÓÙ Floquet Ò Ö Ø Ò λ 1...λ 2n Ò Ó ÓØ Ñ ØÓÙ ÔÒ (T) ÔÓÙ Ò Ö Ø Ñ Ø Ü ØÓÙ µ i Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Õ Ö Ø Ö Ø Ó Ø Ø Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ 2n Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ð Ø ¾º µ Ø ÑÓÖ ξ i (t) = p i (t)e µ it ¾º µ ÔÓÙ Ø p i (t) Ò T ¹Ô Ö Ó ÙÒ ÖØ ØÓÙ tº Ò ÔÓ Ô Ø ÓØ Ñ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ô Ð ÕÓÙÑ 2n Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ð ÐÐ ÑÓÖ ØÛÒ p i Ò Ô Ó ÔÓÐ ÔÐÓ º ËÙ Ö Ñ Ò Ò ÓØ Ñ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø s Ø Ø Ø ÒØ ØÓ Õ p i (t) Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ ÑÓ s 1 Ñ Ô Ö Ó Ó ÙÒØ Ð Ø º ³ÇÔÛ Ò Ø Ô Ø ÑÓÖ ØÛÒ ¾º µ Ó Ð ÙØ Ò Ò Ø³ Ò Ô Ö Ó º ³ÇÑÛ Ò ÔÓ Ó λ i Õ Ñ ØÖÓ Ñ Ö Ø ÖÓ Ó Ø ÑÓÒ Ð Õ Ö Ø Ö Ø Ø µ i Ñ ÔÖ Ñ Ø Ñ ÖÓ Ñ Ö Ø ÖÓ Ó Ñ ØÓ Ñ Ò Ø Ø ÒØ ØÓ Õ Ð ξ i (t) Ò Ö Ñ Ò º Ò Ð Ó Ñ Ö Ð Ò Ö Ñ Ò Ø Ø ÒØ ØÓ Õ Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ò Ö ÑÑ Ù Ø º Ô Ø Ò ÐÐ Ó ÔÒ (T) Ò ÙÑÔÐ Ø ÔºÕº ¾ µº ÔÓÑ Ò¹ Û Ó ÓØ Ñ ØÓÙ ÔÒ ÙØÓ Ñ ÒÞÓÒØ Ñ Ø ØÖ º ÙØ Õ Ò ÔÓØ Ð Ñ Ò Ñ Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÓÙÑ ÙÑÔØÛØ Ù Ø Ó Ò ÕÓÙÑ Ñ ÓØ Ñ Ñ Ñ ØÖÓ Ñ Ö Ø ÖÓ Ø ÑÓÒ ÔÛ Ô Ø Ø ÙÑÔØÛØ Ù Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÕÓÙÑ Ø ÙØ ÕÖÓÒ Ø Ò Ò¹ Ø ØÖÓ Ø Ñ Ñ ØÖÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ø ÑÓÒ º ³ Ö Ñ Ò Ô ÖÔØÛ Ù¹ Ø Ó Ò Ò Ò Ö ÓÒØ Ð Ó ÓØ Ñ ØÓÙ (T) Ô ÒÛ ØÓ ÑÓÒ ¹ Ó ÐÓ Õ Ñ ¾º¾(a)µº ËØÓ Ó Õ Ñ Ñ ÒÞÓÒØ Ó ØÖ ÙÒ Ø Ô Ö ÔØô Ø º ÈÖ Ô Ô Ò Ô Ñ ÒÓÙÑ Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÒØ ØÓ Õ Ñ ÑÓÒ ÔºÕº ¾ µ ÓØ Ñ ÓÔÓ Ò ÔÐ Ð Û ØÓÙ É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Õ Ö Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ¾

25 ËÕ Ñ ¾º¾ È Ö ÔØô Ù Ø À Ô ÖÔØÛ (a) Ò Ñ Ò Ù Ø Òô Ó ÙÔ ÐÓ Ô Ò Ø º (b) ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ Ø º ¾

26 ¾º½º  ÛÖ Krein Ò ÕÓÙÑ Ò Ò ÙÑÔÐ Ø ÔÒ ÔÓÙ Ü ÖØ Ø ÙÒ Õô Ô Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ ε Ø Ø Ó ÓØ Ñ ØÓÙ Ü ÖØôÒØ ÙÒ Õô Ô Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔºÕº ¾ µº Ò ÔÓ Ø Ñ ε Ø Ô Ö Ñ ØÖÓÙ ÙØ Ó ÓØ Ñ ØÓÙ A Ö ÓÒØ Ø ÔÓÙ Ò Ø ØÓ Õ Ñ ¾º¾ µ Ò ÑÔÓÖÓ Ò Ñ Ù Ö Ø Ñ Ö Ñ Ø ÓÐ ØÓÙ ε Ò ÓÙÒ Ô ØÓ ÑÓÒ Ó ÐÓ Õ Ñ ØÞÓÒØ Ø Ò Ò ØÓÙ Õ Ñ ØÓ ¾º¾ µ Ð Û ÙÒ Õ º ³ Ò ÑÛ ÔÓ Ø Ñ ε Ø Ô Ö Ñ ØÖÓÙ Ó ÓØ Ñ ÙØ ÙÑÔÔØÓÙÒ Ô ÒÛ ØÓÒ ÐÓ ÑÔÓÖÓ Ò ÙØ ε > ε Ò ÓÙÒ Ô ØÓ ÑÓÒ Ó ÐÓ ÔÖÓ ÐôÒØ Ñ Ø º À ÙÑÔ Ö ÓÖ ÙØ Ò Ø ØÓ Õ Ñ ¾º º À  ÛÖ Krein Ô Ö Õ Ò ÕÙÖ Ö Ø Ö Ó ÔÓÙ Ñ Ò Ö Ò Ó ÓØ Ñ ÙØ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÓÙÒ Ø ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ ÐÓÙ Ø Ñ ØÓÙ ε Ù Ö Ø ÓÒØ ØÓ ε º ËÕ Ñ ¾º ³ ÜÓ Ó ÓØ ÑôÒ Ô ØÓ ÑÓÒ Ó ÐÓ ÇÖÞÓÙÑ ØÓ ÒØ ÙÑÑ ØÖ Ö Ñ Ø Ò Ñ ÒÓ Û v 1,v 2 = i(ωv 1,v 2 ) = iv 2Ωv 1 ¾

27 ÔÓÙ v 1 v 2 2n¹ Ø Ø Ò Ñ Ø º ³ Ò λ Ñ ÓØ Ñ Ò Ò ÔÓÐÐ ÔÐ µ ØÓÙ A σ Ó ÒØ ØÓ ÕÓ ÕÛÖÓ Ø Ø λ Ð Ø ÔÖôØÓÙ ÓÙ Ò v,v > v σ Ø ÖÓÙ ÓÙ Ò v,v < v σ Ñ ØÓ ÓÙ Ò v σ Ñ v,v = º ³ Ò Ñ ÓØ Ñ Ò ØÓÙ ÔÖôØÓÙ ØÓÙ Ø ÖÓÙ ÓÙ Ø Ø ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÖ Ñ Ò¹ ÐÐ ô Ö Ø º Å ÔÐ ÓØ Ñ ÔÓ Ò Ø Ø Ò Ô ÒØ ÓÖ Ñ Ò º Å ÓØ Ñ ÑÔÓÖ Ò Ô ØÓ ÑÓÒ Ó ÐÓ Ñ ÒÓ Ò Ò Ö Ø º Å Ö Ø ÓØ Ñ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø ÖÓÙ Ó ÓÖ Ñ ÒÛÒ ÓØ ÑôÒ ¹ ÓÖ Ø Ó ÓÙº È Ö Ø Ö Ð ÔØÓÑ Ö Õ Ø Ñ Ø ÛÖ Krein ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò Ø Yacubovich and Starzhinskii ¾ Arnold and Avez [5] Moser º ¾º½º ÌÓÑ Ô Ò Poincaré ³ Ò ØÖ ÔÓ ÔÓÔØ Ò É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÔÓÐÐ ÓÖ Ò Ô Ó ÔÓØ Ð Ñ Ø Ô Ø Ò Ô Ö ÓÐÓ Ø ÔÐ ÖÓÙ ØÖÓÕ ØÓ ÕôÖÓ Ò ØÓÑ Poincaréº À ØÓÑ ÙØ ÓÖÞ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÐ Ò Ö E ÓÐ ØÓÒØ Ñ Ø Ö Ø Ñ Ò Ô Ø x i ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ³ÇÔÛ Ò Ø Ô ØÓ Õ Ñ ¾º µ Ò Ò Ñ Õ Ò Ø Ñ ÔÓÙ É Ñ ÐØÓÒ Ò ØÓÙ Ò ÓÑÓ Ò ÙÒ ÖØ ÙØ ÖÓÙ ÑÓ Û ÔÖÓ Ø ÓÖÑ ØÖÓÕ Ø Ò Ô Ö ÓÕ ØÛÒ Ð ØôÒ ØÖÓÕ ôò Ø ÑÒ ÙØ Ø ØÓÑ Ó Ñ Ñ ÒØ Ø ÔÖ Ñ ØÓÙ p i к Õº ¾º µº ØÓÒ ÔÐ Ö ÓÖ Ñ Ø ØÓÑ ÙØ ÓÖÞÓÙÑ Ô ØÓ ÔÖ ÑÓ Ø ÙÞÙ Ó ÓÖÑ p i ÔÓÙ ÙÒ Û Ø Ò Ô ÖÒÓÙÑ Ø º Å ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÙØ Ñ Ó ÙØ Ø ÙÔ Ö Ô Ò ÙÒ Ø ¾ ÓÖÞ Ñ ØÖÓÕ ØÓ ÕôÖÓ ØÛÒ ÛÒ ØÓÙ É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù Ø Ñ ØÓº ÇÖÞ Ø Ø Ø Ô Ò Poincaré ( x, p ) = Φ( x, p) ÓÔÓ Ô ÓÒÞ Ò Ñ Ó Ø ØÓÑ Ñ ÙÒØ Ø Ñ Ò η ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ó η ÔÓÙ Ø ÑÒ Ø Ò Ô Ò ØÓÑ ØÖÓÕ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô ØÓ ηº Ì Ø ÙÒ ¹ ¾

28 ËÕ Ñ ¾º ÌÓÑ Poincaré Ò ÓÖÞ ØÓ η Ô Ö Ó ØÖÓÕ Ò Φ( η) = η Ô Ó Ò Φ k ( η) = Φ Φ Φ( η) = ηº }{{} k ÓÖ ¾º¾ ËÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ ³ Ò ØÖ ÔÓ Ô Ö Ö Ò Ñ Õ Ò Ó ÙÒ Ñ Ó Ù Ø Ñ ØÓ ÓÖ Ø Ô Ø É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø Ò Ó ÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ º  ÛÖÓ Ñ Ñ Ô Ò R 2n R 2n Ø ÑÓÖ x i = f xi (x j,y j ) y i = f yi (x j,y j ) i = 1...n. Ò ÛÖ ÓÙÑ z R 2n Ñ z 2i 1 = x i z 2i = y i Ø Ø Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ò Ø z = f(z). ¾º µ Å Ô Ò Ø ÑÓÖ ÙØ ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÑÔÐ Ø Ò Ó Á Û Ò Ø ÔÒ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô Ø Õ J ij = f i z j i,j {1...2n}, ¾

29 Ò ÙÑÔÐ Ø ºÀ Ô Ò Poincaré ÔÓØ Ð ÙÑÔÐ Ø Ô Ò Òô ÒØ ØÖÓ Õ ÔÓ ÕØ Ø ÙÑÔÐ Ø Ô Ò ÔÓØ Ð Ø Ò Ô Ò Poincaré ÔÓ ÓÙ É Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ¹ Ö Ó Ô ØÓ ÕÖ ÒÓº Å ÙÑÔÐ Ø Ô Ò Ô Ö Ö Ø Ò Ò Ò Ñ Õ Ò Ó Ù Ø ¹ Ñ ØÓ Õ ØÓ ÙÒ Õ ÕÖ ÒÓ t ÐÐ Ö Ø Ñ Ø ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ÓÕ ÖÑÓ Ø ÔÓÙ Ø ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ z (m) = f... f(z), ¾º½¼µ }{{} m ÓÖ ÔÓÙ Ó Ø m Ô Ö Ø Ò Ø Ñ Ø ÙØ º ÌÖÓÕ Ñ Ô Ò ÓÒÓÑ Þ ¹ Ø ÓÐÓÙ {z (m )} Òô Ó Ø Ñ ØÓÙ z ÔÓØ ÐÓ Ò Ø ÖÕ ÙÒ Ø º ÇÐÓ Ð ÖÛÑ Ñ Ô Ò ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ ÙÒ ÖØ I : R 2n R 2n Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ Ó Ñ ØÖÓÕ Ð I(z ) = I(z). ³ÇØ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ n Ò Ü ÖØ Ø ÑÓÒ Ø Ñ ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø Ò Ð Ü Ô Ò¹ ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÐÓ Ð Öô Ñ º ÌÓ Þ Ø Ñ Ø ÓÐÓ Ð ÖÛ Ñ Ø Ø ÙÑÔÐ ¹ Ø ôò Ô ÓÒ ÛÒ Ò ÔØ Ø Ò Ð Õô ØÓ ¼ º ³ Ò Ñ Ó ØÓ ÓÔÓÓ Õ z = z ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ö Ñ Ó Ø Ô Ò Òô Ò Õ z (q) = z, ¾º½½µ ØÓ Ñ Ó ÙØ ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ö Ñ Ó q Ø Ü q¹ô Ö Ó Ñ Ó Ø Ô Ò º Ç Ñ Ö Ø ÖÓ Ö Ñ q N ØÓÒ ÓÔÓÓ Õ ¾º½½µ ÓÒÓÑ Þ Ø Ô ÖÓ Óº Ë ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø ÓÖÞÓÒØ Ó Ñ Ø Ð Ø Ö ¾

30 ÛÒ ÓÐÓ Ð Öô Ñ ÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ º n J i = y j (c 1...c n,x)dx j γ i j=1 ¾º½¾µ ÔÓÙ c i Ò Ø Ñ ØÛÒ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ ØÛÒ I i Ø Ò ØÖÓÕ ÔÓÙ Ô Ð Ü Ñ º À Ñ Ø Ð Ø ÛÒ ÓÖÞ Ø Ñ Û Ø Ò Ø Ö ÙÒ ÖØ Ø ÖÓÙ Ø ÔÓÙ Ô Ø Õ W(x i,c(j i )) = n y j (x,c)dx j j=1 w i = W J i. À ÙÑÔÐ Ø Ô Ò Ø Ñ Ø Ð Ø ÙØ Ò Ø w i J i = w i + 2πα i (J) = J i ÔÓÙ α i (J) Ò Ó Ö ÑÓ Ô Ö ØÖÓ Ó ÓÔÓÓ Ü ÖØôÒØ Ñ ÒÓ Ô Ø Ø Ñ ØÛÒ J j º Å ÙÑÔÐ Ø Ô Ò ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ ÙÐ Ñ Ò Ò Õ ( ) αi det. J j Ò Ò Ò Ò Ò ÐÐÓÛØÓ Ø ÖÓ Ò Ñ Ô Ö Ó Òô ØÓÙ ÙÒ¹ ØÓÒ Ñ ÒÓÙ ÐÓÙ ÔÓÙ ØÓ ÒÙ Ñ ØÛÒ Ö ÑôÒ Ô Ö ØÖÓ α(j) Ò Ö Ø Ð α(j) = (α 1...α n ) = (p 1...p n )/q, p i,q Z, Ñ Ó ØÓÙ ÒØ ØÓ Õ q¹ô Ö Ó ØÖÓÕ º Ç ÙÑÔÐ Ø Ô ÓÒ¹ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÛÖ Ó Ò Û ÒÓÒ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ (x,y) (x,y ) Ô Ø Ô Ð Ñ Ø Ð Ø (x,y) Ø ÒÓ Ö Ñ Ø Ð Ø (x,y )º Ï ÒÓÒ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ô Ñ Ò Ø Ö ÙÒ ÖØ ¼

31 Ø ÖÓÙ Ø ÔÓÙ S(x,y ) Ñ Û ØÛÒ Õ ÛÒ y i = S x i x i = S y i i = 1...n ½

32 ¾

33 Ã Ð Ó ³ÍÔ ÖÜ Ù Ø multibreathers ÐÙ Klein-Gordon º½ ³ÍÔ ÖÜ Ð ÛÒ multibreathers ³ Ò Ñ Ö ÑÑ ÑÓÒÓ Ø ØÓ Ø Ð ÒØÛØ Ô Ö Ö Ø Ô Ñ É Ñ ÐØÓ¹ Ò Ò Ò ÑÓ Ð Ù Ö Ø ÑÓÖ H osc = p2 2 + V (x) ÔÓÙ x Ô Ø Ô ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ p ÙÞÙ ÓÖÑ º ÉÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÛÖ ÓÙÑ Ø ØÓ Ñ Ó ÓÖ¹ ÖÓÔ ÙØ Ö Ø ØÓ (x,p) = (, ) ÔÓÑ ÒÛ Õ Ô V () = V () = ω 2 p Ñ ω p Rº Ç Ø Ð ÒØô ØÓÙ Ö ÑÑ ÓÔÓ Ñ ÒÓÙ ÔÐ ¹ Ñ ØÓ Ñ ÙÕÒ Ø Ø ω p ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÒÓÒ Ó ØÖ ÔÓ Ø Ð ÒØÛ ÛÒ Ò º Ã Ø Ù ÞÓÙÑ Ñ ÑÓÒÓ Ø Ø ÐÙ ÛÖôÒØ Ò Ö Ñ ÑÓ ÒÓ¹ ÐÓ Ø ØÓ ÛÒ ÑÓ ÛÒ É Ñ ÐØÓÒ ÒôÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Ò ÑÓ Ð Ù Ö ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ Ø Ü ØÓÙ Ñ ÙÑÑ ØÖ Þ ÙÜ ÓÒØ Ò Ø ÖÓÙ ØÓÒ Ñ Û

34 Ñ Ñ Ö Ø Ö εº À É Ñ ÐØÓÒ Ò ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÙØÓ Ò [ ] p 2 H = H + εh 1 = i 2 + V (x i) + ε (x i+1 x i ) 2 º½µ 2 i= i= Ì ØÓ ÓÙ ÓÙ ÐÙ Ø Ð ÒØÛØôÒ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÐÙ Klein-Gordonº È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ó ÖÓ H Ø Ô Ö Ô ÒÛ É Ñ ÐØÓÒ Ò Ò ÓÐÓ Ð Öô ÑÓ ÓÒ Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò ÕÛÖ ÑÓ Ñ ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø Ø h i = p2 i 2 + V (x i ) Ç Ü ô Ò ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØÓÙÒ Ô Ø Ò Ü Û Hamilton º½µ Ò Ó ẋ i = H p i = p i º¾µ ṗ i = H x i = V i (x i ) + ε(x i+1 2x i + x i 1 ) i Z.  ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ multibreathers ÙØÓ ØÓÙ ÓÙ Ø Ù Ø ¹ Ñ Ø º ØÓ Ð Ó ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ò ÒÒÓ Ø ÙÒ Õ Ô Ò ÒØ ÙÒ Õ Ö Ó ε º ÌÓ Ö Ó ÙØ ÔÓØ Ð Ø Ô n + 1 Ø ¹ Ð ÒØÛØ ÔÓÙ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ ÒØÖ Ó ÒÓ ÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Õ ÙÒØÓÒ ÑÓ ω k = = ω n k n = ω º µ ÔÓÙ k i Z Ó ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ö ÓÒØ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ ØÓ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ S = {,...,n} Òô ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÙÔ ÐÓ ÔÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Ñ S º À Ø Ø ÙØ Ô Ö Ö Ñ ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ Ò ÕÖÓÒ Ô Ö Ó Ò Ñ Ô ÖÓ Ó T = 2π ω º  ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ô Ö Ó ÙØ ØÖÓÕ ÙÒ ÕÞ Ø Ö Ó ÒØÛ Ñ Ö ÐÐ Ñ Ñ Ò ε ÒÓÒØ ØÓ multibreatherº ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ò É Ñ ÐØÓÒ Ò Ø Ñ ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ò ÐÙØ Ô Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ ε Ð ØÓÙ Ü ÖØ Ø Ô Ò ÐÙØ Ô Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔºÕº ½ µº ÔÓÑ ÒÛ Ò ØÛÒ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ Ô Ö Ö Ø Ô Ü ô Ø ÑÓÖ x i = x () i + εx (1) i + O(ε 2 ) p i = p () i + εp (1) i + O(ε 2 ) i S

35 ÔÓÙ x () k,p() k T ¹Ô Ö Ó ÙÒ ÖØ º Ç ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÙÒ Ø Ò Ò ØÛÒ Ñ ¹ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ Ò ÔØ ÓÒØ Û x i = + εx (1) i + O(ε 2 ) p i = + εx (1) i + O(ε 2 ) i S ÓÒ ε = Ó Ø Ð ÒØÛØ ÙØÓ Ö ÓÒØ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖ¹ ÖÓÔ (x k,p k ) = (, )º ÓÒØ Ø Ò ÔØ Ñ Ø ÙØ Ø Ü ô Ò º¾µ Ô ÖÒÓÙÑ ÖÓÙ ÔÖôØ Ø Ü ØÓÙ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ ẋ (1) n = p (1) n ṗ (1) n = V 1 ( ẋ (1) k = p (1) k ( ṗ (1) k = V k ẋ (1) = p (1) ( ṗ (1) = V x () n x () k x () ) x (1) n 2x () n + x () n 1 ) ( ) x (1) k + x () k 1 2x() k + x () k+1 ) x (1) 2x () + x () 1 º µ Òô ØÓÙ Ñ ¹ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ô ÖÒÓÙÑ ÖÓÙ ÔÖôØ Ø Ü ẋ (1) n+k = p(1) n+k ṗ (1) n+k = ω2 px (1) n+k ẋ (1) n+1 = p (1) n+1 ṗ (1) n+1 = ωpx 2 (1) n+1 + x () n ẋ (1) 1 = p (1) 1 ṗ (1) 1 = ωpx 2 (1) 1 + x () ẋ (1) k = p(1) k ṗ (1) k = ω2 px (1) k º µ  ÕÓÐ Ó Ñ Ø ÖÕ Ò Ñ ØÓÙ Ñ ¹ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ º  ØÓÙÑ η m (l) k = (x (l) m k,p (l) m k ) T Ñ m k = n + k Ò m k > m k = k Ò m k < º ³ Ø Ó

36 Ü ô º Þ µ ÒÓÒØ η (1) m k = Aη mk º µ Ñ A = ( 1 ω 2 p Ç ÔÒ A Ò Ó Ó Ø Ð ÒØÛØ m k º Ç Ñ ¹Ø ØÖ ÑÑ Ò Ð ØÛÒ Ü ô ÛÒ º µ Ò Ô Ö Ó Ñ Ô ÖÓ Ó T p = 2π/ω p º ÓÒ ÑÛ Ò Þ ØÓ Ñ Ô Ö Ó Ð Ô Ö ÓÙ T T p Ó ÔÛ Ó Ñ Ö Ø Ö Ó Ð Ñ Ô ÖÓ Ó T p Ò Ò Ô ØÖ ÔØ Ñ Ò ÔÓ Ø Ð Ò ) η (1) m k = k > 1. º µ ÔÓÑ ÒÛ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓÒ ÙÖ ÖÕÓ ÖÓ ØÛÒ Ò ÔØÙ Ñ ØÛÒ ØÛÒ Ø ¹ Ð ÒØÛØôÒ ÙØôÒ ÔÖ Ô Ò ÙÒ Õ ÓÙÑ Ø Ö ÑÑ Ò ÐÙ ÖÓÙ ÒôØ Ö Ø Ü º Ô Ô Ø Ü ô º ص Ô ÖÒÓÙÑ η m (1) 1 = Aη m (1) 1 + f m1 (t) ( ) T ÔÓÙ f m1 (t) =, x (k 1) (m ) º À Ð Ø º µ Ò ÔºÕº ¾ к ¾¾ µ t η m (1) 1 (t) = e At η m (1) 1 () + e At e As f m1 (s) ds. º µ º µ ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ ÙÔÓÐÓ ØÓÒ ÙÖ ÖÕÓ ÖÓ ØÓÙ Ò ÔØ Ñ ØÓ ØÓ η m1 ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ø η m1 = εη (1) m 1 + O(ε 2 ). ËÙÒ ÕÞÓÙÑ ØôÖ Ø Ò Ò ÐÙ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ m k Ñ k > 1º É Ö Ø Õ º µ Ø Ò ÔØ Ñ Ø ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Ñ k > 1 Ü ÒÓ Ò Ñ ÖÓÙ O(ε 2 )º ÔÓÑ ÒÛ ØÓÙÑ η mk = ε 2 η (2) m k + O(ε 3 ) k > 1 º½¼µ

37 Ø Ü ô Ò º¾µ Ô ÖÒÓÙÑ ÖÓÙ Ø Ö Ø Ü η m (2) k = Aη m (2) k k > 2 η m (2) 2 = Aη m (2) 2 + f m2 º½½µ Ø Ò Ü Û º½½µ ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ñ Ø Ô Õ Ö Ñ Ø ÔÛ ÔÖÓ ÓÙÑ Ò¹ Û Ø Ñ η m (2) k = k > 2 η m (2) 2 = ε 2 η m (2) 2 + O(ε 3 ) t η m (2) 2 (t) = e At η m (2) 2 () + e At Ø Ô Û ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ð Ø Õ Ð Ñ η (l) m k = l < k, η mk = ε k η (k) m k + O(ε k+1 ) t η m (k) k (t) = e At η m (k) k () + e At e As f m2 (s) ds. e As f mk (s) ds. º½¾µ º½ µ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ø Ø ÐÐ Ð Ô Ö Ó ÙÒ ÖÑ ÞÓÙÑ Ø ÖÕ Ò ØÓÒ ÒÓÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ØÓ ÖÕ Ø ¹ Ñ º¾µ ØÓÙ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ º ÓÒ H Ò ÓÐÓ Ð Öô Ñ Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø ÒØ ØÓ Õ Ö J i ØÓ Ø Ñ Ò Ø ẋ mk = H p mk ṗ mk = p mk = H x mk = V m k (x mk ) + ε(x mk+1 2x mk + x mk 1 ) k 1 H ẇ i = J i = ω i + ε H 1 J i J i = H w i = ε H 1 w i i S, º½ µ

38 ÔÓÙ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ω i = H J i Ò Ó ÛÒ ÙÕÒ Ø Ø ØÓÙ Ø Ö ¹ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº Ô Ð Û ØÓÙ Ò ÔØ Ñ ØÓ º½¾µ ÕÓÙÑ η mk (T) η mk () = ε k [η (k) m k (T) η (k) m k ()] + O(ε k+1 ) ÓÐÓ Ð ÖôÒÓÒØ Ø º½ µ Û ÔÖÓ ØÓ ÕÖ ÒÓ Ô ÖÒÓÙÑ J i (T) J i () = ε T H 1 w i dt + O(ε 2 ) ÔÓÙ ÖÓÙ ÔÖôØ Ø Ü Û ÔÖÓ ε ÓÐÓ Ð ÖÛ Ò Ø Ø Ñ Ó Ø Ø Ö Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ º ËÙÒ Ôô ÓÖÞÓÙÑ Ø Ô Ö Ó ÙÒ Û ε k [η mk (T) η mk ()] = η (k) m k (T) η (k) m k () + O(ε) = k 1 w i (T) w i () = 1 ε [J i(t) J i ()] = H T + O(ε) J i T = 2πk i H 1 w i dt + O(ε) = i S. º½ µ À ØÓÙ Poincaré Ò Ö Ñ Ñ Ø ÐÐ Ð Ò Ñ ØÓÙ εº À Ö ÙØ Ò ÙÒ Ø Ø Ñ ØÖÓÕ ÔÓÙ ÙÒ ÕÞ Ø Ö Ø Ñ Ö ε ÔÖ Ô Ò ÒÓÔÓ Ø º½ µ Ø Ò ÖÕ ØÓÙ ÑÓÖ ÕÛÖ Ö ÔÓÑ ÒÛ ÓÒ ε Ö Ò ÙÒ Ø ÙÒ ÔÖ Ô Ò Ü ÓÐÓÙ Ò Õ ØÓ Ö Ó ε Ð Û ÙÒ Õ º ³ Ö ε Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ô Ö ØÛ Ô Ö Ó ÙÒ º η (k) m k (T) η (k) m k () = k 1 H J i T 2πk i = T H 1 w i dt = i S. Ä Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò Ø Ò º½ µ Ó Ü ô º½ µ ÒÓÒØ η (k) m k (T) η (k) m k () = (e AT I)η (k) m k () = e AT T e As f k (s) ds. º½ µ

39 Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÖÕ ÙÒ η() ÔÓÙ Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ô Ö Ó ÙÒ º½ µ ÔÖ Ô Ò Õ e AT I e ±iωpt 1 T 2π ω p n = nt p n Z, º½ µ ÓÔÓ Ò ÙÒ Ñ ¹ ÙÒØÓÒ ÑÓ Ñ Ø ÛÒ Ò ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº È ÖÒÓÙÑ Ø Ð η (k) m k () = (e AT I) 1 e AT T e As f mk (s) ds. À Ü Û º½ µ ÙÑÔÔØ Ñ Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µ Ó H J i = ω i º Ô Ò H 1 = 1 T T H 1 dt Ò Ñ Ø Ñ Ø H 1 Ø Ñ Ó Ñ Ø Ö Ø T ¹Ô Ö Ó ØÖÓÕ ØÛ φ i = k i ϑ k ϑ i i S, º½ µ ÔÓÙ S = {1...n} Ó ÛÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º à ÒÓÐÓ Ø ÑôÒ ØÛÒ φ i ÓÖÞ Ñ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ØÓÒ n¹ Ø ØÓ ÙÒØÓÒ Ñ ÒÓ Ø ÖÓ ØÓÙ Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ÓÒ H 1 Ø Ò ÙÔ ÐÓ Þ Ø Ñ T ¹Ô Ö Ó ØÖÓÕ ØÓÙ Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò T ¹Ô Ö Ó ÙÒ ÖØ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙ Ñ Ø Ø Ñ Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø Ù Ö Ñ Ò ØÖÓÕ Õ Ô ØÓ ÖÕ Ñ Ó Ø ØÖÓÕ ÙØ º Ñ Û ØÛÒ φ i º É Ö Ø Ò ¾º½º µ ÕÓÙÑ Ø ÔÓÑ ÒÛ H 1 Ü ÖØ Ø Ô Ø ϑ i Ñ ÒÓ 1 T T H 1 dt = H 1, º½ µ w i ϑ i ÔÓÑ ÒÛ Ó H 1 ϑ i = H 1 ϑ = n j=1 n j=1 H 1 φ j H 1 = k φ j ϑ i φ i H 1 φ j φ j ϑ = n j=1 k j H 1 φ j, º¾¼µ

40 Ü Û º½ µ ØÛÒ Ô Ö Ó ôò ÙÒ ôò ÔÖ Ô Ò ÒØ Ø Ø Ô Ø Ò H 1 φ i = i S. º¾½µ Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ôö Ñ Ô ÔÐ Ñ Ò ÙÒ ÖØ ÔºÕº Ô Ö ÖØ Ñ µ ÙÒ Õ ØÛÒ Ô Ö Ó ôò ØÖÓÕ ôò ε Ó Á Û Ò ÔÒ ØÛÒ Ô Ö ¹ Ó ôò ÙÒ ôò ÔÖ Ô Ò Ò ÒØ ØÖ Ý ÑÓ ε = º ÙØ Ó ÔÒ Ò Ð Ø 2 2 ÑÔÐÓ Ø Ñ Ó Ø ÛÒÓÙº ÔÓÑ ÒÛ Ó ÙÒ ÒØ ØÖ Ý Ñ Ø Ø ØÓÒ m k Ñ ÒØÖ Ø Ð ÒØÛØ Ò x k (T) 1 xm k (T) x mk () p mk () p mk (T) p mk (T) 1 x mk () p mk (). ³ÇÑÛ Ó ÔÒ x mk (T) x mk () p mk (T) x mk () x mk (T) p mk () p mk (T) p mk () º¾¾µ Ò Ó ÑÓÒ ÖÓÑÓ ÔÒ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÛÒ Ö ÑÑ ÓÔÓ Ñ ÒÛÒ Ü ô ÛÒ ØÓÒ k¹ ØÓ Ñ ¹ ÒØÖ Ø Ð ÒØÛØ Ó Ø Ñ e AT ¾ º ÙÒ º¾¾µ Ò Ø det e AT I, ÔÓÑ ÒÛ º¾ µ ÓÔÓ ÙÑÔÔØ Ñ Ø ÙÒ º½ µ Ø Ò Ô ÖÜ Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ º À ÙÒ ØÓÙ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò Ø 2 H 1 2 H 1 φ det i φ j φ i J k i,j S, k,l S 2 H J l J k ÓÔÓ Ò Ø Ø Ò Ô Ö ØÛ ÙÒ Ñ ÙÐ ÑÓ Ò ÖÑÓÒ Ø Ø µ ØÓÙ ÓÐÓ Ð Öô ÑÓÙ ØÑ Ñ ØÓ H Ø É Ñ ÐØÓÒ Ò det 2 H J i J j i,j S º¾ µ Ø ÙÒ det 2 H 1 φ i φ j i,j S, º¾ µ ¼

41 ÔÓÙ Ð Ò ÙÔ Ý Ó Õ º¾¼µº À Ü Û º¾ µ Ñ Ò Ø Ó Ñ Ò ÑÓ Ø º¾½µ ÔÖ Ô Ò Ò ÔÐÓº ³ Ö ØÛ Ô Ø ÙÒ º¾ µ º¾ µ º¾ µ Þ Ù Ø Ô Ö Ó Ò ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô Ø Ò º¾½µ ÙÒ ÕÞ Ø ÒÓ ÕØ Ø Ñ ( ε,ε ) Ø ÑôÒ ØÓÙ ε ÖÛ Ô ØÓ Ñ Ò Ñ Ù Ö Ñ Ò Ø Ñ Ø ÓÐ Ò Ö ØÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒº ¹ ÓÒ ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µ Õ Ñ ÑÓÒÓÔ Ö Ñ ØÖ Ó Ó Ò Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ø ÖÛÒ ØÓÙ Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø Ò Ò Ö ÔÓ Ò ÓÙÑ ÓÙ Ø Ø Ö ε ( ε,ε ) Ø Ò Ô ÖÜ Ñ ÑÓÒÓÔ Ö Ñ ØÖ Ó Ó Ò multibreathersº à ÔÓ Ó ÑÔÓÖ Ò ÛÖ Ø Ò Ò Ö Ø Ò Ô ÖÓ Ó ØÓÙ multibreather Û Ô Ö Ñ ØÖÓ Ø Ñ Ó Ø Ó Ó Ò º ÈÖ Ô Ò Ô Ñ ÒÓÙÑ ô Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ÙØ Ø Ñ ¹ Ó Ó ÔÓ Ò ÓÙÑ Ø ÙØ ÕÖÓÒ ØÓÒ ÒØÓÔ Ñ ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒ Ó Ð Û Ø º½¾µ ÕÓÙÑ lim η m k ÓÒ η m (k) k Ò Ô Ö Ó k ± ÔÛ Ò Ø Ô Ø Ò º½ µ Ò Ö Ñ Ò ØÓ ÕÖÓÒ Ø Ñ [,T]º ÔÓ ÕØ ÔÓÑ ÒÛ ØÓ ÐÓÙ Ó ôö Ñ Â ôö Ñ ½ ³ ØÛ ÑÓÒÓ Ø Ø ÐÙ ÔÓÙ Ô Ö Ö Ø Ô Ø ÙÒ ÖØ Hamilton Ø ÑÓÖ º½µ Ø Ò ÓÔÓ ε = ÐÓ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ö ÓÒØ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ Ø Ô n Ó ÓÔÓÓ ÒÓ ÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µº ÙØ ÕÛÖ Ò¹ ØÓÔ Ñ Ò T ¹Ô Ö Ó Ò ÙÒ ÕÞ Ø Ö Ó ÒØÛ Ñ Ö ε ÒÓÒØ multibreather Ò Õ ÓÙÒ Ó Ô Ö ØÛ ÔÖÓÙÔÓ ½º T kt p = 2πk ω p k Z ¾º det 2 H J i J j i,j S º Ó Ñ Ò ÑÓ Ø H 1 φ i i S Ò Ò ÔÐÓº ÙØ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ô Ö ÑÓ Ó Ñ ÙØ ÔÓÙ ÔÓ ÕØ ØÓ ¾ ÐÐ Ó ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò Ô ÖÓ ØÖ Ò Ô Ó Ñ Ó Ñ ½

42 Ò Ñ Ð Ø Ö ÔÓÔØ Ø Ñ Ñ Ø ÐÓ Ø Ò ÓÔÓ Ø ÖÞ Ø ÐÐ Ø Ù Ñ ØÓÙ Ù Ö Ñ ÒÓÙ ÔÓØ Ð Ñ ØÓº Ò Ô Ò Ö Ô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÐÙ Ø Ò Ñ ÒÓ Ò Ø ¹ Ð ÒØÛØ Ò Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ ε = H 1 Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø Ò ÒØ ØÓ Õ ÛÒ Ñ Ø Ø Ñ Ò ÙÒ ÖØ Ñ ÒÓ Ø ÒØ ØÓ Õ Ö ÔÓÑ ÒÛ Ô ÖÓ Ñ Ó Ó ÙÒ Õ Ò Ò Ö¹ Ñ Ñ º º¾ Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ multibreather Ë Ù Ø Ñ Ø Ò ÙØ ÔÓÙ Ñ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ø Ó Ò Ñ Ð Ñ Ù Ø Ø Lyapunov ÓÒ ÔÛ ÕÒ ØÓ Ô Ö Ñ Ø ÕÙ Arnold É Ñ ÐØÓÒ Ò Ù Ø Ñ Ø Ñ Ô Ö Ø ÖÓÙ Ô Ó ÑÓ Ð Ù Ö Ó Ò ÐÐÓÛØÓ Ø ÖÓ ØÓÙ Ã Å Ò Ò Ò Ò Ô Ö ÓÖ Ø Óº ÔÓÑ ÒÛ Ü Ø ÞÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø Ö ÑÑ Ù Ø ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Þ Ñ ÒÛÒ multibreathersº ³ÇÔÛ Ò Ö Ø Ò Ô Ö Ö Ó ¾º½º Ö ÑÑ Ù Ø ØÛÒ ÙÒ Õ Þ Ñ ÒÛÒ Ô Ö Ó ôò Ð ÛÒ Ü ÖØ Ø Ô Ø ÓØ Ñ ØÓÙ ÑÓÒ ÖÓÑÓÙ ÔÒ ØÓÙ Ö ÑÑ ÓÔÓ Ñ ÒÓÙ ÙÔ Ü Ø Ù Ø Ñ ØÓº ε = Ó ÔÒ ÙØ ÔÓØ Ð Ø Ô 2 2 ÑÔÐÓ º Ä Û ØÓÙ ÙÑÔÐ Ø Ó Õ Ö Ø Ö ÙØôÒ ØÛÒ ÑÔÐÓ Ó ÓØ Ñ ØÛÒ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ Ö ÓÒØ Ø ÑÓÒ º Òô Ó ÙÔ ÐÓ Ô Ö ÓÒØ ØÓ ÑÓÒ Ó ÐÓ Ó ÙÞÙ Ñ Ø ÓÔÓ ÔÛ Ò Ö ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ò ÓÖ Ô Ø ÑÓÒ º  ØÓÒØ Ø Ø Ö Õ ε Ó ÓØ Ñ ØÛÒ Ñ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ ÒÓ ÒØ Ø Ñ Ó ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ ÐÓÙ ÓÒ Ò ØÓÙ ÓÙ ÓÙ Ø Ø ÒÒÓ Ø ÛÖ Kreinº Ç ÓØ Ñ ØÛÒ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ ÒÓÒØ λ i = e ±σit, ÔÓÙ σ i Ò Ó Õ Ö Ø Ö Ø Ó Ø º Ë Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ½ µ Ø σ i Ò Ò ÐÙØ Ò Ò ÐÙØ Û ÔÖÓ ε ÔÓÑ ÒÛ ÑÔÓÖ Ò Ò ÐÙ Û σ i = εσ i1 + o( ε), i S º¾ µ ¾

43 ÔÓÙ σ 2 i1 Ò Ó ÓØ Ñ ØÓÙ n n ÔÒ E = A B º¾ µ Ñ A ij = 2 H 1 ϑ i ϑ j B ij = 2 H J i J j i,j S. À Ô ÖÜ ØÛÒ Ñ ÒØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒ Ô Ö Þ ØÓ Ò ÔØÙ Ñ ØÛÒ Õ Ö ¹ Ø Ö Ø ôò ØôÒ ÖÓÙ Ø Ü ÒôØ Ö ØÓÙ ε Ó ØÓ ÔÐ ØÓ Ø Ð ÒØÛ ¹ ØÛÒ Ñ ÒØÖ ôò ØÓ ÔÓÐ O(ε) Òô ØÛÒ ÒØÖ ôò Ò O(1)º º ³ Ò Ô Ö Ñ ÐÙ ÔÓØ ÐÓ ¹ Ñ Ò Ô ÙÞ Ù Ñ ÒÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morse º º½ Ç Ø Ð ÒØÛØ Morse Ç Ø Ð ÒØÛØ Morse ÓÖÞ Ø Ô Ø ÙÒ ÖØ ÙÒ Ñ Ó V M (x) = (e x 1) 2 É Ñ ÐØÓÒ Ò ØÓÙ Ò H M = 1 2 p2 + (e x 1) 2. º¾ µ ÌÓ ÔÓÖØÖ ØÓ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morse Ò Ø ØÓ Õ Ñ º½º Ç ÒÓÒ¹ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ØÓÒ Ø Ð ÒØÛØ ÙØ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ù Ø Ò Ô Ö ÓÕ ØÛÒ Ö Ñ ÒÛÒ Ò ÛÒ Ò ( ) w = arccos 1 (1 E)e x E J = 2(1 1 E) º¾ µ ÔÓÙ E Ò Ò Ö ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Ð Ø Ñ ØÓÙ H M Ñ Ù ¹ Ö Ñ Ò Ö Ñ Ò ØÖÓÕ º À ÙÒ ÖØ Hamilton Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ Ò Ø H M = 1 2 (2 2J J 2 ). º ¼µ

44 ËÕ Ñ º½ ÌÓ ÔÓÖØÖ ØÓ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morse ÔÓÑ ÒÛ ÛÒ ÙÕÒ Ø Ø ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Ò ω = H M J = 2(1 E) Ð ØÓÙ 1 ( 2(1 ) E cos E)t + ϑ x(t) = ln 1 E. º ½µ º ¾µ ÈÖ Ô Ò Ô Ñ ÒÓÙÑ Ø Ô Ö Ó Ò Õ < E < 1º À Ø Ñ E = ÒØ ØÓ Õ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ ØÓ x = Òô Ø Ñ E = 1 ÒØ ØÓ Õ ØÓ Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ ØÓ Ô ÖÓ Ø Ò ÒØ ØÓ Õ ÕÛÖ Ø ÑÔ Ð º

45 º º¾ Multibreathers ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ø ¹ Ð ÒØÛØôÒ Morse  ÛÖÓ Ñ ÐÙ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô ÙÞ Ù Ñ ÒÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morseº À ÙÒ ÖØ Hamilton ØÓÙ ÔÐ ÖÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò H = H + εh 1 = i= ( ) 1 2 p2 i + (e x i 1) 2 + ε 2 Òô Ó Ü ô Ò ØÓÙ k¹ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Ò (x i+1 x i ) 2 i= ẋ k = p k ṗ k = 2(e x k 1)e x k + ε(xk+1 2x k + x k 1 ). ε = ÛÖÓ Ñ Ø ÐÓ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ö ÓÒØ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ (x k,p k ) = (, ) Ø Ô ØÓÙ ØÖ ÒØÖ Ó ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ k 1 T 1 = k T = k 1 T 1 = T º Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ ØÓÙ Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÙÒ Õ ØÓ Ò ε ÔÖ Ô Ò ÖÓ Ñ Ø ÖÕ Ò Ø Ð Ø º¾½µ Ø Ù Ö Ñ Ò É Ñ ÐØÓÒ Ò º À Ñ Ø Ñ Ø H 1 Ò H 1 = 1 T T H 1 dt, º µ ÔÓÙ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ÓÐÓ Ð ÖÛ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø ε = º Ó H 1 Ò ÑÛØ ÙÒ ÖØ ÑÔÓÖÓ Ñ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ ÓÐÓ Ð Öô¹ Ñ ØÓ Ø º µ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ò H 1 (x i ) ÒØ Ø H 1 (w i,j i ) ÓÒ ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ð º ¾µ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morseº Ó (x k, p k ) Ñ ÒÓ k = 1,, 1 H 1 ØÓ Ø Ö ØÓ Ø Ñ Ò H 1 = 1 [ ] x (x 1 x ) 2 + (x x 1 ) 2 + x 2 1. Ç ÖÓ Ø ÑÓÖ x 2 i Ø Ò H 1 Ò ÕÓÙÒ Ò ÖÓÒ Ô Ñ ØÓÙ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ö ÔÓ Ø Ø c Ò Ü ÖØ Ø ØÛÒ φ i µº ÔÓÑ ÒÛ ÒØ Ò

46 ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ø Ò º µ ÕÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ ÐÓÙ Ó ÔÓÙ I = T ÌÓ Ò ÔØÙ Ñ Fourier Ø Ð º ¾µ Ò ¼ x(t) = C 2 s=1 x(t) = C (x 1 x + x x 1 ) dt. º µ [ s 1 e sa cos s( ] 2(1 E) t + ϑ) C s cos(sωt + sϑ), s=1 C s = 2s 1 e sa, ω = 2(1 E), cosh a = E 1 2. Ì Ò ÔØ Ñ Ø Ø x x 1 Ò x (t) = C x 1 (t) = C 1 C,s cos (sω t + sϑ ) s=1 C 1,r cos (rω 1 t + rϑ 1 ). r=1 ÍÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ÖÕ ØÓ I 1 = T x x 1 dt ØÓ ÓÔÓÓ Ô ÖÒÓÒØ ÙÔÓÝ Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µ Ò Ø I 1 = T x x 1 dt = + T s=1 r=1 C C 1 dt T C,s C 1,r cos(sk ωt + sϑ ) cos(rk 1 ωt + rϑ 1 ) dt T C 1 C,s cos(sk ωt + sϑ ) dt s=1 T C C 1,r cos(rk 1 ωt + rϑ 1 ) dt. r=1 º µ

47 Ç ÔÖôØÓ ÖÓ ØÓÙ º µ Ô Ö Õ Ò Ø Ö c 1 Òô Ó Ó Ø Ð ÙØ Ó ÖÓ Ò Ñ Ò Ô Ò ÓÐÓ Ð ÖôÑ Ø ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ Ø Ñ ÓÐÓ Ð ÖÛ ÔÓÐÐ ÔÐ Ó Ø Ô Ö ÓÙ ØÓÙº Ç Ø ÖÓ ÖÓ Ö Ø Û I 2 = 1 [ T C,s C 1,r cos [(sk + rk 1 )ωt + (sϑ + rϑ 1 )] dt 2 s=1 r=1 T ] + cos [(sk rk 1 )ωt + (sϑ rϑ 1 )] dt À ÔÓ Ø Ø Ø Ð Ò Ñ Ñ Ò Ñ ÒÓ ÓÒ sk = rk 1 sk = rk 1 º Ë Ñ ô Ø Ø ÓÒ r,s N Ó Ó ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ü ô ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ð ÓÙÒ Ø ÙØ ÕÖÓÒ Ø Ö k i º ³ ØÛ Ø Õ sk = rk 1 º Â ØÓÙÑ Ø Ø ÔÓÑ ÒÛ ØÓ I 2 Ò Ø I 2 = 1 C,k1 mc 1,k m 2 m=1 s = k 1 m r = k m, T cos[m(k 1 ϑ k ϑ 1 )] dt. ÇÖÞÓÙÑ Ø ÛÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ Ñ ØÓÒ ÒØÖ Ø Ð ÒØÛØ Ð ÓÙ ÙÑÑ ØÖ º ËÙ Ö Ñ Ò ÛÖÓ Ñ Ø ÛÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ φ 1 = k ϑ 1 k 1 ϑ, φ 1 = k ϑ 1 k 1 ϑ ÔÓÑ ÒÛ T I 1 = x x 1 dt = T C,k1 mc 1,k m cos(mφ 1 ) + c 1. 2 m=1 º µ Å Ô Ö ÑÓ Õ Ô ÖÒÓÙÑ ØÓ I 1 = T x o x 1 dt ÕÖ ÑÓÔÓ ôò¹ Ø Ø º µ º µ º µ Ô ÖÒÓÙÑ ( H 1 = 1 ) C,k1 mc 1,k m cos(mφ 1 ) + C,k 1 mc 1,k m cos(mφ 1 ) +c, 2 m=1 ÔÓÙ c = c + c 1 + c 1 º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø C i,s = 2s 1 e sai ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ C,k±1 mc ±1,k m cos(mφ ±1 ) = 4 e (k ±1a +k a ±1 )m cos(mφ k k ±1 m 2 ±1 ) m=1 m=1 m=1

48  ØÓÙÑ z ±1 = e k ±1a +k a ±1 ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ÔÒ ÖÓ Ñ ØÛÒ ¼ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ð H 1 = i=±1 2 k k i ( ) sin φi arctan dφ i, z i cos φ i ÔÓÙ ÒÓ Ñ ØÓÙ ÖÓÙ ÔÓÙ Ò Ò Ü ÖØ ØÓ Ô Ø φ i º Ç ØÖÓÕ ÔÓÙ ÙÒ Õ ØÓ Ò Ò ÙØ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò ØÓ H 1 = φ i =,π. φ i Ç Ð ÙØ ÒÓÔÓ Ó Ò Ô Ø det 2 H 1 φ i φ j Ö ÙÒ Õ Õ º Ò Ù Ö Ò ÓÙÑ Ø Ò Ù Ø ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Þ Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒ multibreather ÔÖ Ô Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓÒ ÔÒ E ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Ô Ø Ò º¾ µº ÓÒ Ô Ø Ò º ¼µ ÕÓÙÑ Ô ÖÒÓÙÑ 2 H J l J j = δ lj, E ij = 2 H 1 ϑ i ϑ j i,j { 1,, 1} Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ø Ù Ö Ñ Ò ÑÓÖ Ø H 1 Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ð i = j = ±1 k E ij = 2 H H 1 i = j = ±1 φ 2 i = 2 H 1 º µ ϑ i ϑ j k k i i = ±1,j = l=±1 k 2 l φ 2 i 2 H 1 φ 2 l Ç ÔÒ ÙØ Ò ÔÖÓ Òô ÙÑÑ ØÖ Ñ E 11 = 2k k 1 z 1 cosφ 1 1 z 2 1 2z 1 cos φ i,j =

49 E 1 = 2 z 1 cos φ 1 1 z 2 1 2z 1 cosφ E 1 1 = 2k k 1 z 1 cos φ 1 1 z 2 1 2z 1 cos φ E 1 = 2 z 1 cos φ 1 1 z 2 1 2z 1 cos φ E = 2k 1 k z 1 cos φ 1 1 z 2 1 2z 1 cosφ k 1 k z 1 cos φ 1 1 z 2 1 2z 1 cosφ E 11 =. ³ Ô Ø ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ Ø ÓØ Ñ ÙØÓ ØÓÙ ÔÒ E Ó ÓÔÓ ÙÑÔÔØÓÙÒ Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ σ i1 Ø Ò Ü Û º¾ µº Ø Ô Ò Ñ Ò σ 2 i1 Ò ÔÓ Ô Ø φ 1 φ 1 Ó Ø Ñ π ÒØ ØÓ Õ ÓØ Ñ Ò ÖÒ Ø ÔÓÙ Ò Ò Þ Ù Ö ÒØ Ø ôò ØôÒ Òô Ò ÔÓ Ó Ô Ø φ 1 φ 1 Ó Ø Ñ Ø Ø ÒØ ØÓ Õ ÓØ Ñ Ò Ø Ô Ö Õ Ò Þ Ó ÔÖ Ñ Ø ôò ØôÒº multibreather Ò φ 1 = φ 1 = πº ÔÓÑ ÒÛ Ñ Ò Ô ÖÔØÛ Ö ÑÑ Ù Ø º º º½ Ø ÖÓ Ô Ö Ñ Å Ò ÐÙ ¹ Klein-Gordon ³ÍÔ ÖÜ multibreathers À Ò Ò ÑÓÒÓ Ø ØÓÙ Õ Ñ ÐØÓÒ ÒÓ Ø Ð ÒØÛØ Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ Ô Ö Ö Ø Ô Ø ÙÒ ÖØ x = A (J) + A r (J) cos(rw) = A (J) + A r (J) cos[r(ωt + ϑ)] r=1 r=1 Ó ÙÒ ÖØ Ø ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Ò ÖØ ÙÒ ÖØ Ø ÛÒ º Ã Ø Ù ÞÓÙÑ Ñ ÐÙ Ø ÑÓÖ º½µ ÛÖÓ Ñ n ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ó ÓÔÓÓ ε = ÒÓ ÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò

50 Ø Õ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µº ³ÇÔÛ ÕÓÙÑ ÔÓ Ü Ø Ñ ØÓÙ ÙØÓ ÙÒØÓÒ Ñ ÒÓÙ Ø ÖÓÙ ÔÓÙ ÙÒ Õ ØÓ Ò ÔÖ Ô Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò H 1 φ i = i = 1...n º µ Ñ φ i = k ϑ i k i ϑ. ÔÓÑ ÒÛ ÔÖ Ô Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø ÖÕ Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø H 1 H1 = 1 T T H 1 dt Ø Ñ Ó Ø Ø Ö Ø Ô Ö Ó ØÖÓÕ º Ó ε = ÕÓÙÑ n Ø Ð ÒØÛØ Ñ (x i,y i ) Ô ÖÒÓÙÑ H 1 = n x 2 i i= n x i x i 1. i=1 Å ÒÓ Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ø H 1 Ñ Ò ÖÓÙÒ Ø ÓÐÓ Ð ÖÛ ØÛÒ Ø ØÖ ¹ ÛÒ ôò ÖÛÒ Ñ Ô ÖÓ Ó ÒÓÙÒ Ø ÖÓ ÖÓÙ ÖÓÙ Ð Ò Ü ÖØ ¹ ØÓÙ ØÛÒ φ i º ÇÖÞÓÙÑ Ø I i = T x i 1x i dt ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ Ø ÖÕ Ò ØÓ I 1 = = = T r=1 s=1 x x 1 dt = r=1 s=1 T r=1 s=1 A,r (J ) cos(rw )A 1,s (J 1 ) cos(sw 1 )dt = T A,r (J )A 1,s (J 1 ) cos[r(ω t + ϑ )] cos[s(ω 1 t + ϑ 1 )]dt = { T A,r A 1,s 2 cos[r(ω t + ϑ ) + s(ω 1 t + ϑ 1 )]+ } + cos[r(ω t + ϑ ) s(ω 1 t + ϑ 1 )]dt = r=1 s=1 A,r A 1,s 2 { T cos[(rk + sk 1 )ωt + (rϑ + sϑ 1 )]dt T } + cos[(rk sk 1 )ωt + (rϑ sϑ 1 )]dt ¼

51 Ò k,k 1 Ò ÓÑ Ñ Ó Ñ ÒÓ ÖÓ ÔÓÙ Ô ôò Ò ØÓ Ø ÖÓ ÓÐÓ ¹ Ð ÖÛÑ Ñ ÒÓ rk = sk 1 º ÙØ Ñ Ò Ø r,s,k,k 1 N ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÙÑ r = k 1 m s = k mº ÇÖÞÓÙÑ Ô Ø z i Û ØÓ I 1 Ò Ø I 1 = m=1 ÔÓÑ ÒÛ A,k1 ma 1,k m 2 T z i = k i ϑ i 1 k i 1 ϑ i cos[m(k 1 ϑ k ϑ 1 )]dt = m=1 TA,k1 ma 1,k m 2 cos mz 1. H 1 = 1 T T H 1 dt = 1 T n T i=1 x i 1 x i dt = 1 2 n A i 1,ki ma i,ki 1 m cos mz i. i=1 m=1 Ç Õ ÔÓÙ ÙÒ ÓÙÒ Ø z i Ñ Ø φ i Ò Ó z 1 = φ 1 k z i = k i 1 φ i k i φ i 1 i = 2...n. Ô Ø º º½µ Ô ÖÒÓÙÑ H 1 = H 1 φ 1 z 1 H 1 = k i 1 H 1 k i+1 H 1 φ i k z i+1 k z i i = 2...n, ÔÓÑ ÒÛ Ó Õ º µ Ò Ø ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ H 1 z i = i = 1...n. H 1 z i = 1 2 A k1 ma 1k m sin mz i = m=1 º µ ½

52 ÓÔÓ Õ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ø Ð z i =,π. Ò ÙÒ ÕÞÓÒØ Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ð ÔÖ Ô Ò Õ Ô det 2 H 1 φ i φ j º ¼µ Ø Ù Ö Ñ Ò Ô ÖÔØÛ Ó ÔÒ 2 H 1 φ i φ j Ò ØÖ ôò Ó Ñ ØÓ Õ 2 H 1 φ i 1 φ i 2 H 1 φ 2 i = k ik i 1 2 H 1 = k2 i 1 k 2 k 2 z 2 i 2 H 1 z 2 i 2 H 1 φ i+1 φ i = k ik i+1 k 2 2 H 1 z 2 i+1 + k2 i+1 k 2 2 H 1 z 2 i+1 Ø Ô ÙÐ Ñ Ò Ø Ø ÒÓÔÓ Ø ÙÒ º ¼µº ÈÖ Ô Ò Ñ Û Ø Ó Ð z i =,π ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ô ÒØ ÐÐ Ò Ò Ô Ö Ø Ø Ó Ñ Ò Ó Ò ÐÓ Ñ Ø ÙÑÑ ØÖ ØÓÙ Ù Ö Ñ ÒÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÑÔÓÖ º µ Ò Õ ÐÐ Ð º º º¾ Ù Ø ØÛÒ multibreathers Ò ÛÖ ÓÙÑ ¾ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ò Ù Ø ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ multibreatherº Ã Ø Ø ÒÛ Ø Ù Ø ¹ ØÛÒ ÙÒ Õ Þ Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒ Ü ÖØ Ø Ô Ø ÓØ Ñ ØÓÙ ÔÒ E ik = 2 H 1 ϑ i ϑ j 2 H J j J k Ò ÛÖ ÓÙÑ ¾ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ò ÑÓÒÓ z i = zº ³ ÕÓÙÑ ÔÓÑ ÒÛ ØÓÒ ÔÒ Ù Ø ( ) E = 1 m 2 k1 2 k k 1 A k1 ma 1k m cos mz 2 k k 1 k 2 m=1 ¾ ( ω J ω 1 J 1 )

53 ÐÐÓ ô E = 1 2 ( A k1 ma 1k m cos mz m=1 k1 2 ω J ω k k 1 1 J 1 ω k k 1 J k 2 ω 1 J 1 ). Ã Ø Ø ÒÛ Ø Ñ ÓØ Ñ ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÔÒ Ò Ñ Ò Òô Ñ Ñ Ò Ó Ø Ñ σ11 2 = 1 ω 2 (k2 1 + k 2 ω 1 ) J J 1 A k1 ma 1k m cos mz. Ô Ø Ò ÐÐ Ò ÛÖ ÓÙÑ Ò Ò ÙÑÑ ØÖ multibreather Ñ ØÖ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò Ò multibreather Ð ÔÓÙ Ò ÒØÖ Ó Ò Ó ¹½ ¼ ½ Ø Ø Õ ω 1 = ω 1 z 1 = z 1 = z ÕÓÙÑ Ó Ñ Ñ Ò ÓØ Ñ ØÓÙ ÔÒ Ù Ø σ 2 12 = 1 2 σ 2 11 = k2 2 ÔÓÙ Ò Ò Ò ÖØ º ω J m=1 A k1 ma 1k m cos mz m=1 ( ) 2k1 2 ω + k 2 ω 1 A k1 ma 1k m cos mz, J J 1 m=1 º ËÙÑÔ Ö Ñ Ø ËØÓ Ð Ó ÙØ Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÑÓÒÓ Ø Ø ÐÙ Klein-Gordon ÔÓ Ü Ñ Ø Ò Ô ÖÜ multibreathers ÙØ º ËØ Ò Ô Ü ÙØ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ Ñ Ø Ò ÒÒÓ ÙÒ Õ Ô ØÓ ÒØ ÙÒ Õ Ö Ó ØÓ ÓÔÓÓ ÐÓ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ö ÓÒØ ØÓ Ù Ø Ñ Ó ÓÖÖÓÔ Ø Ô n ÔÓÙ ¹ ÒÓ ÒØ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µº ÔÓ Ò ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ø Ø Ø ÙØ ÙÒ ÕÞ Ø Ò ô Ñ ¹ T ¹Ô Ö Ó ÕÛÖ ÒØÓÔ Ñ Ò Ð ÔÓÙ ÔÓØ Ð ØÓ multibreatherº

54 ËÙÞ Ø Ñ Ô Ø Ø Ò Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø ÙÑÔ Ö ¹ Ñ Ø Ø Ö ØÓÙ H. Poincaré ½ Ñ Ô Ó Ø ÒÓ Ø Ô Ö Ö Ðº µº Å Ø ÖÑ ÞÓÙÑ Ø ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ò ÐÙ Ñ ÐÙ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô ÙÞ Ù Ñ ÒÓÙ Ø Ð ÒØÛØ Morse ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ ¹ ÞÓÙÑ Ø ÐÐ Ð ÖÕ ÙÒ Ð multibreathers ô Ø Ö ÑÑ ØÓÙ Ù Ø º Ì ÐÓ ÖÑ ÞÓÙÑ Ø Ñ Ó Ó Ñ Ñ ÐÙ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô Ø Ð ÒØÛØ ÔÓÙ ÒÓ ÒØ ÙÔ Ø Ò Ô Ö Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ó º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ô ØôÒÓÙÑ Ø Ó Ø Ø ØÓÙ Ò¹ Ø ÙÒ ÕÓ ÓÖÓÙ Ø ÓÔÓ Õ φ i =,π ÒÓÙÒ Ô ÒØ multibreathers Òô ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÐÐ Ø Ø Ñ Ø Ò Ø Ø º ÒÓÙÑ Ô Ù Ö Ñ Ò ØÓ Õ Ù Ø ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ó ØÖ ôò Ø Ð ÒØÛØôÒº

55 Ã Ð Ó Ö Ñ Ø ÙÔÓÐÓ Ñ ØÛÒ multibreathers º½ ÍÔÓÐÓ Ñ Ñ ÒÛ Ø Ñ Ø Õ Ñ ¹ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ËØ ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÓ Ü Ñ Ø Ò Ô ÖÜ multibreather ÐÐ Ò ÙÔÓÐÓ Ñ Ø Ò Ö Ø Ñ ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò ØÛÒ Ð ÛÒ ÙØôÒ ε º Ç Ø Ñ ÙØ Ò Ò ÙÒ Ø Ò Ò ÙÔÓÐÓ ØÓ Ò Ò ÐÙØ ÐÐ Ò Ô Ö Ø Ø ÕÖ Ö Ñ Ø ôò Ñ ÛÒº Ò Ò Ø Ö Ô Ö Ó ôò ØÖÓÕ ôò Ò Ù Ø Ñ ØÓ ÔÖ Ô Ò Ò ÓÙÑ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÙØ ÔÖ Ð Ñ Ö Ö ÞôÒ Ñ Ø ÐÐ Ð Ü Û º Ñ Ô Ð ÓÙÑ Ò Ò Þ Ø ÓÙÑ Ø Ò Ô Ö ¹ Ó ØÖÓÕ Ø Ø Ö Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ô Ò Poincaré ÔÓÙ ÔÛ ÜÓÙÑ Ò Ù ÔÓÖ ÔÓÙ ÔÖ Ô Ò ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ø Ñ Ó Ñ º ØÓÒ Ö Ñ Ø ÙÔÓÐÓ Ñ breathers multibreathers ¹ ÕÓÙÒ ÕÖ ÑÓÔÓ Ô ÒØ Ðô ÓÖ Ø Ñ Ó Ó ÔÛ Ñ Ó Ó ØÛÒ Bountis et al. ½ ÔÓÙ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ö ØÛÒ multibreather Ò Ø ÔÖ Ð Ñ Ö ØÛÒ ÓÑÓ Ð Ò ôò ØÖÓÕ ôò Ø ÐÐ ÐÓÙ ÙÒ Ñ Ó Ù Ø ¹ Ñ ØÓº ËØ Ò Ñ Ó Ó Ø ÖÞÓÒØ Ô Ø ½¼ ½½ ½¾ º

56 ³ÇÔÛ Ò Ö Ø Ò Û Ñ Ô Ö Ó ØÖÓÕ ØÓÒ ÕôÖÓ Ò Ù Ø Ñ ØÓ ÒØ ØÓ Õ Ø Ö Ñ Ó Ø Ô Ò Poincaréº ÔÓÑ ÒÛ Ü Û Ø ÓÔÓ Ó ÖÞ Ö ÓÒØ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ô Ö ¹ Ó ØÖÓÕ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò F( η) Φ k ( η) η =, º½µ ÔÓÙ ØÓ η ØôÖ Ö Ø Ô ÒÛ Ø Ò ØÓÑ Ð ÕÓÙÑ ÔÖÓ ÓÖ Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ x Ø ÙÒÓÐ Ò Ö E ÓÐ ØÓ ÔÖ ÑÓ ØÓÙ p ÔÓÙ ÙÒ Û ØÓ Ô ÖÒÓÙÑ Ø º ÒØ ØÓ Þ Ó (x,p ) ÑÔÓÖÓ Ñ ÔÖÓ Òô Ò ÕÓÙÑ Ô Ð Ü ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÐÐÓ Þ Ó Ñ Ø Ð ØôÒ ÔÓÙ ÒØ ¹ ØÓ Õ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ º ÙØ Ò Ñ ÙÒ Ô ØÓÙ ÓÒ ØÓ Ø Ó ØÖÓÕ ØÓÙ Ø Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÓÙ ÙÒ Õ ØÓ Ò ÓÖÞÓÒØ Ñ Û ØÛÒ φ i ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò º¾½µº à ÙÒ Ù Ñ φ i ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ø Ò º¾½µ ô ÒØ ØÓ Õ ØÖÓÕ ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ s j Ñ j = 1...m m Ó Ö Ñ ØÛÒ ØÖÓÕ ôò ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø º¾½µº Ò ÓÖ ÓÙÑ Ò Ñ Ó Ô ÒÛ Ò s j ÔÖ Ô Ò ÓÖ ÓÙÑ Ò Ù Ö Ñ ÒÓ ϑ Ô Ø Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø ÙÔ ÐÓ Ô ϑ i ØÓÙ Ù Ö Ñ ÒÓÙ Ñ ÓÙ Ñ Û ØÛÒ Ø ÑôÒ ØÛÒ φ i ØÛÒ Õ ÛÒ ÓÖ ÑÓ ØÛÒ φ i º Ç ÓÖ Ñ Ø ØÓÑ Poincaré Ó¹ ÙÒ Ñ Ñ ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ϑ º ÈÖ Ñ Ø ÕÓÒØ ÓÖ Ñ ÒÓ ØÓ x Ø Ò Ò Ö E ÓÐ ØÓ ÙÒØÓÒ Ñ ØÓ ÔÖ ÑÓ ØÓÙ p ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ ϑ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ º ³ Ô Ø ÙÔÓÐÓ ¹ ÞÓÙÑ Ø ÙÔ ÐÓ Ô ϑ i Ø ÐÓ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓÒ ÒØ ØÖÓ Ó Ñ Ø Õ Ñ ¹ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ Ö ÓÙÑ Ø ÙÔ ÐÓ Ô x i,p i º ÙØ Ø x i,p i ÔÓØ ÐÓ Ò ÖÕ ÙÒ ØÓÙ Ù Ö Ñ ÒÓÙ s j Ô ÒÛ Ø ÛÖÓ Ñ Ò ØÓÑ Poincaréº ³ÇÑÛ ÒØ ØÓ Õ ÙÒ Õ Þ Ñ Ò Ð Ò ÙÒ Õ ÙÒ ÖØ ØÓÙ ε ε Ó Ð ÙØ ÙÑÔÔØ Ñ Ø Ò s j º ³ Ö Ó ÖÕ ÙÒ ØÛÒ multibreathers Ö ÓÒØ Ø Ò ε¹ô Ö ÓÕ ØÛÒ s i º ÔÓÑ ÒÛ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ñ ÙØ Û ÖÕ ØÑ Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ó Ó ÔÛ Ñ Ó Ó Newton-Raphson ÔºÕº º µ Ñ Ó Ó Broyden º ½ µ Ò ÔÖÓ ÓÙÑ Ø ÔÖ Ñ Ø ÖÕ ÙÒ

57 ØÓÙ multibreather Ô ÒÛ Ø Ò ØÓÑ Poincaré Ò Þ ØôÒØ Ø ÒØ ØÓ Õ Ð ¹ Ø º½µº À Ù Ø ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Þ Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ s j ÔÓÙ Ô Ð Ü Ñ Ñ ÛÒ Ñ ÙØ ÔÓÙ Ò Ö Ñ Ø Ò Ô Ö Ö Ó º¾º º¾ ÍÔÓÐÓ Ñ Ñ ÒÛ ØÓ Ñ Ø Õ Ñ ¹ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ³ÇÔÛ Ñ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ø Ò Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ Ò Ò¹ Û Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ò ÐÙØ Ø Ó Ø ÙÒ Õ Þ Ñ Ò Ô Ö ¹ Ó ØÖÓÕ Ó Ø Ò Ù Ø ØÛÒ ØÖÓÕ ôò ÙØôÒº Ì ØÖÓÕ ÙØ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ÖÕ ÙÒ ¹ multibreathers Ô ÒÛ Ñ Ø ÐÐ Ð ØÓÑ Poincaré ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ñ Ö Ñ Ø Ñ Ó Óº ³ÇÑÛ ÙÒ Û ÑÓÖ ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Ò Ò Ò Ò ÒÛ Ø º È Ö Ð ÙØ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø ÖÕ ÙÒ ØÛÒ s j Ø Ò Ù Ø ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ multibreathers ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ñ Ó Ó ÔÓÙ Ò ÔØ ÜÓÙÑ Ô Ö ØÛº ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø º½ µ Ô ÖÒÓÙÑ H 1 φ i = 1 k H 1 ϑ i, 2 H 1 = 1 2 H 1 i,j S º¾µ φ i φ j k 2 ϑ i ϑ j ÔÓÑ ÒÛ Ó ÙÒ º¾½ º¾ µ ÒÓÒØ ÒØ ØÓÕÛº H 1 ϑ i = º µ det 2 H 1 ϑ i ϑ j, i,j S º µ Ä Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ø Ó Ñ Ø Ð Ø Ö ¹ ÛÒ (w i,j i ) Ü ÖØôÒØ Ñ ÒÓ Ô Ø ÒØ ØÓ Õ (x i,p i ) Ø H 1 Ü ÖØ Ø Ñ ÒÓ Ô Ø x i Ø Ø Ò Ø Ö Ø ØÖÓÕ Õ dx i dt = ω x i i, w i

58 Ô ÖÒÓÙÑ 2 H 1 ϑ i ϑ j = 1 T T H 1 ϑ i = 1 T T 2 H 1 w i w j dt = H 1 dt = 1 w i ω i T 1 ωi 2T 1 ω i ω j T T T T 2 H 1 x 2 i H 1 x i p i dt, p 2 i + H 1 x i ṗ i dt º µ i = j 2 H 1 x i x j p i p j dt i j i,j S º µ ÍÔÓÐÓ ÞÓÙÑ n ØÖÓÕ Ø Ò Ô Ö ÓÕ ØÛÒ Ö Ñ ÒÛÒ Ò ÛÒ ØÓÙ Ø Ð ÒØÛØ ÔÓÙ ÛÖÓ Ñ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µ ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ Ø ÒØ ØÓ Õ Ò Ö E i ÛÖÓ Ñ ØÓÙ n ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò ÒÓ ÒØ ÙØ º ÙØ ÑÔÓÖ Ò Ò ÓÐ ÓÖÞÓÒØ Ö Ñ Ø Ñ ¹ ÙÒ ÖØ T(x,y ) ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ Þ Ø Ò Ô ÖÓ Ó Ñ ØÖÓÕ Ñ Ø Ù ¹ Ö Ñ Ò ÖÕ ÙÒ º ³ Ø ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ö ØÖÓÕ ôò ÔÓÙ Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ø ÙÒ ÙÒØÓÒ ÑÓ º µ Ñ Ø ØÖ Ô Ø Ò ÙÒ Ñ ÒÓ shooting ÔÖ Ð Ñ º ³ ØÛ (x i,p i ) = (x i (),p i ()) ØÓ Þ Ó ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ØÓÒ i Ø Ð ÒØÛØ º À ÙÒ º µ ÓÖÞ Ñ Û Ø Ü Û º µ Ñ Õ Ñ Ø Ü ØÛÒ ÖÛÒ x i,p i ÔÛ ÙÒ º¾½µ Ö Ñ Õ Ñ Ø Ü ØÛÒ ϑ i ÓÖÞÓÒØ Ñ ÙØ Ò ØÓÒ ØÖ ÔÓ Ø ÓÖ s i º ÔÓÑ ÒÛ Ò ÖÓ Ñ ÖÕ ÙÒ ÙØ Ø ØÖÓ¹ Õ ε = ÔÖ Ô Ò Ø ÖÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ x ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ØÓ p Ô Ø Ò Ø Ñ Ø ÒØ ØÓ Õ Ò Ö E Ô Ð ÓÒØ ÙÒ Û Ô Ò Õ p > º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÓÙÑ ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÐÐÓ Þ Ó (x k,p k ) ÐÐ Ô Ð ÓÙÑ Ø Ù Ö Ñ Ò Ð ÓÙ ÔÐ Ø Ø ØÛÒ ÙÑ ÓÐ ÑôÒº ³ Ø Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø ÙÔ ÐÓ Ô (x i,p i ) ÔÖ Ô Ò Ð ÓÙÑ Ò Ø Ñ Ü ô ÛÒ ØÓ ÓÔÓÓ Ð Û Ø ÑÓÖ¹ Ø H 1 Ò n 1 Ò Ü ÖØ Ø Ü ô Ñ Ó Ð ÓÙ Ñ F i (x i ) = T H 1 x i dt =, º µ

59 ÔÓÙ Ø Ñ ØÓÙ p i ÙÔÓÐÓ Þ Ø Ñ Û Ø p i = ± 2(E i V (x i )º À ¹ Ø Ö Ø Ñ Ø x k ØÓ ÔÖ ÑÓ ØÓÙ p k Ø Ñ Ø ÓÐ Ò Ö ε = E = n i= m E i ÓÖÞ Ø Ò ØÓÑ Poincaré Ø Ò ÓÔÓ ÓÙÐ ÝÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓÙ multibreathers ε ÔÛ Ö ô Ò Ñ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ø Ò ÒÛÖÞ Ñ ØÓÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø ÙÔÓÐÓ Ñ Ò Ø Ñ ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò ØÛÒ s i Û ÖÕ Ø Ñ º Ç Ð ÙØ ÔÖ Ô Ò ÒÓÔÓ Ó Ò Ô Ø Ò º µ Ò Õ ÙÒ Õ º À ÙÒ ÙØ ÙÔÓÐÓ Þ Ø ÒØ ØôÒØ Ø ØÓ Õ ÙØ Ø ÓÖÞÓÙ Ô Ø º µº Ø ³Ç Ó ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ ÔÒ Ù Ø E ÔÖ Ô Ò Ñ ô ÓÙÑ B ij = 2 H = J i J j i j dω i dj i dω i dj i = dω i de i de i dj i i = j º µ À ÙÒ ÖØ ω(e) ÓÖÞ Ø ÓÐ ÙÔÓÕÖ ôòóòø ØÓ η ØÓÙ T(η ) ÔÓÙ ÓÖ Ø ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ò Ô ÖÒ Ø Ñ Ø Ñ Ó ØÓÙ Ø Ó Ñ ÜÓÒ ¹xº Ì Ø Ù Ö Ñ Ò ØÖÓÕ Ø ÑÒ ÙØ Ò ØÓÒ ÜÓÒ ØÓ x imax ØÓ ÓÔÓÓ Õ ØÞ Ø Ñ Ø Ò ÒØ ØÓ Õ Ò Ö Ñ Û Ø E i = V (x imax )º ÔÓÑ ÒÛ ØÓ ω i (E) ÓÖÞ Ø Û ω i (E i ) = 2π/T(x imax (E i ), ) Òô J i (E i ) = 1 π ximax (E i ) x imin (E i ) p i dx i. Ô ØÓ A Ø Ò º¾ µ ÙÔÓÐÓ Þ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Õ º µº Ç Õ º ¹ º µ ÙÔÓÐÓ ÞÓÒØ ÓÐ Ó Ó ÙÒ ÖØ x i,y i Ò Ö Ó ÒØÛ ÓÑ Ð Û ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÙÒ Ø Ò Ò Ò Ø Ð ÒØÛØ ÑÔÓÖÓ Ò ÔÓÐ ÓÐ Ò ÙÐÓÔÓ Ó Ò Ñ Û Ò Ô ØÓÙ Ñ Ñ Ø Ó Ð¹ Ó Ñ Ó ÔÓÙ ÔÖ Ñ ØÓÔÓ Ø Ó Ò ÐÙØ Ó Ó Ö Ñ Ø Ó ÙÔÓÐÓ¹ ÑÓ ÔÛ ÔºÕº ØÓ Mathematicaº Ë Ñ ôòóùñ Ô Ø Ö ÔÓÐ

60 ÈÒ º½ Ì ÓÖ Ø s i Ù Ø ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ multi- s i φ 1 φ 1 Ù Ø s 1 π π Ù Ø s 2 π ¼ Ø s 3 ¼ π Ø s 4 ¼ ¼ Ø breathers Ñ Ð Ø Ö Ô O(ε) Ò Ò ÔÓÐ ÕÖ Ñ Ò ÔÖ Ø ÙØ Ø ÔÓØ Ð ¹ Ñ Ø Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò ô ÖÕ Ø Ñ ÖÕ ôò ÙÒ ôò multibreathers ÓÒ ÔÖ Ñ Ø ØÖÓÕ Ö Ø Ñ ε¹ô Ö ÓÕ ÙØ Ø ØÑ º º ÖÑÓ ÐÙ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morse  ÖÑ ÓÙÑ ØôÖ Ø Ñ Ó Ó ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ø Ó ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ÖÕ ÙÒ multibreathers Ñ ÐÙ ÙÞ Ù Ñ ÒÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morseº ØÓ ÓÔ ÙØ ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ ÓÙÑ Ø ØÓ Õ Ø Ò ÐÙ ØÛÒ Ø Ð ÒØÛØôÒ Morse ÔÓÙ ÙÔÓÐÓ Ø Ò Ø Ò Ô Ö Ö Ó º º Ð ÓÙÑ Ø ÖÕ Ò Ñ Ó Ó Ò Ñ Ù Ö Ñ ÒÓ ÙÒØÓÒ Ñ º Ô Ð ÓÙÑ k 1 = k 1 = 2 k = 1 ÓÖÞÓÒØ Ø ØÓÒ ÙÒØÓÒ¹ Ñ ¾ ½ ¾º Ç ÔÒ Ù Ø E Õ ÙÔÓÐÓ Ø Ô Ø Ò Ô Ö Ö Ó º º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø Ó ÓØ Ñ ØÓÙ ÔÒ ÙØÓ ÙÑÔÔØÓÙÒ Ñ ØÓ σi1 2 Ø Ò Ü Û º¾ µº Ø Ø Ñ Ñ Ò ÓØ Ñ ÔÓÙ Õ Ô ÒØ Ó ÔÒ E φ = Ô ÖÒÓÙÑ Ñ Ø ÓØ Ñ Òô φ = π ÒØ ØÓ Õ Ñ ÖÒ Ø ÓØ Ñ º Ô Ø Ø Ñ ØÛÒ ÓØ ÑôÒ ÙØôÒ ÓÖÞ ¹ Ø Ö ÑÑ Ù Ø ØÛÒ ÙÒ Õ Þ Ñ ÒÛÒ multibreathersº ËØÓÒ ÔÒ º½ Ò Ø Ö ÑÑ Ù Ø ØÛÒ multibreathers ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò Ø ÓÖ Ø s i º ¼

61 ÈÒ º¾ 1 η ØÑ φ 1 = φ 1 = π ϑ 1 = ϑ = ϑ 1 = x 1 =. x = x 1 =. p 1 = p = p 1 = ÈÒ º 2 η ØÑ φ 1 = φ 1 = 3π ϑ 1 = ϑ = ϑ 1 = x 1 =. x = x 1 =. p 1 = p = p 1 = Ô Ð ÓÙÑ Ô Ö Ñ Ø Ò s 1 Ó Ó Ù Ø Ð ÕÓÙÒ Ñ Ð Ø Ö¹ Ù Ñ º ÇÖÞÓÙÑ Ø Ò ØÓÑ Ñ Ñ x 1 = p 1 > ω = 1 4 Ø Ò º µ ÔÓÙ Ñ Ò Ø ÙÒÓÐ Ò Ö E ÓÐ = E 1 + E + E 1 = 81º 32 ÍÔÓÐÓ ÞÓÙÑ ØÓ ϑ 1 Ô ØÓ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ö ¹ ÛÒ º¾ µ Ø ϑ ϑ 1 Ô Ø º½ µº Ë Ñ ôòóùñ Ø Ó ÙÒØÓÒ Ñ ØÓÙ 1¹Ø Ð ÒØÛØ Ñ Û ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÓÖ Ñ Ø Ò Ô Ò ØÓÑ ØÓÙ ¹Ø Ð ÒØÛØ Ò ¾ ½º ³ Ö ØÖÓÕ Ø ÑÒ Ø Ò ØÓÑ Ó ÓÖ Ø Ñ º Ò ÙÔ¹ ÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ ÔÖôØÓ Ñ Ó ØÓÙÑ φ 1 = φ 1 = π ÔÛ ØÓÒ ÔÒ º½ ØÓ Ø ÖÓ Ñ Ó ØÓÙÑ φ 1 = φ 1 = 3πº ÅÔÓÖÓ Ñ Ò ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ô Ø Ó ÙØ Ñ Û ÖÕ Ø Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ ÖÕ ÙÒ ØÓÒ Ù Ø ¾ ½ ¾ multibreather Ø Ò Ô Ò ØÓÑ ÈÒ º¾ º µº Â Ô Ð ÜÓÙÑ Ò Ö ØÓ Ñ Ñ Ø Ø Ö º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ÖÕ ØÑ ÐÓÙ ØÓÙ Ñ ¹ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Ò (x i,p i ) = (, ) ô Ô Ø Ó φ 1 = φ 1 ÕÓÙÑ Ô x 1 = x 1 p 1 = p 1 º ÌôÖ Ò ÔÖ Ñ ØÓÔÓ ÓÙÑ Ö Ñ Ø Ó ÙÔÓÐÓ ÑÓ ÔÖ Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ñ Ô Ô Ö Ñ Ò ÐÙ º ÉÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ñ ÐÙ ¾½ Ø Ð ÒØÛØôÒ Ñ Ô Ö Ó ÙÒ Ø Ö º  ØÓÙÑ ε ÙÔÓÐÓ ¹ ½

62 ÈÒ º ÖÕ ÙÒ Ò Ò ¾ ½ ¾ multibreather Ñ ε =.1 x p ¼ º ¾ ½¾ ¼º¾¼ ¾ ¾ ½ ¼º¼ ½º ¾¾¾ ¼ ¾ ½¼ ¼º¼ ¼º¼ ÞÓÙÑ Ø Ð ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ñ Ó Ó Broyden ε =.1 ÈÒ º µº ³ÇÐ Ó Ð ÔÓÙ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ ô Ò ØÓÙÐ Õ ØÓÒ 1 1 ÓÒØ Ø Ò Ô Ö Ó ØÖÓÕ º È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÓÒ ÖÕ ØÑ Ò ÙÑÑ ØÖ Ø Ò ØÓ multibreather Ð x i = x i p i = p i º À Ñ Ø Ô Ð ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò Ô Ø Ò ÖÕ ØÑ Ò O(1 3 )º ÉÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ø Ñ ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ ôò ØÓÙ ÙÔÓÐÓ Ñ ÒÓÙ multibreather Û Ó Ó ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ ØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ ÐÓ Ø Ó Ó Ò ε =.2 Ó ØÛ Ü º ËØÓ Õ Ñ º½ Ð ÔÓÙÑ Ø Ñ Ø ÓÐ ØÛÒ ÖÕ ôò ÙÒ¹ ôò ØÓÙ ÒØÖ Ó Ø Ð ÒØÛØ Õ Ñ Ø Ø Ö Þ ÙÜ ε Ñ Ñ ØÓ ε º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø Ò Ô ÒØ x 1 = º Ô Ö Ñ Ð ε =.64 Ô ÖÓÙ Þ Ø ØÓÒ ÔÒ º ÕÖÓÒ Ü Ð Ü¹ ØÓÙ multibreather Ò Ø ØÓ Õ Ñ º Å Ñ Ó Ó ÙØ Ò Ö Ô ÖÓ Ó T ØÛÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ÒÛÒ multibreathers Ñ Ø ÐÐÓÒØ Ô º À Ñ Ø ÓÐ ÙØ Õº º¾µ Ñ ÒÞ Ø Ô ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Û ÖÕ ¹ ¾