iii vii Abstract xiii iii

Transcript

1 È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ ÇÑÓ Ò Å ØÖ Einstein Ë Ò ÙÑ Ò ÈÓÐÐ ÔÐÓØ Ø Ë Ñ ÛÒ ÁÛ ÒÒ Ãº ÉÖÙ Ó ØÓÖ ØÖ Ô Ð ÔÛÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø Ò Ö Ö Ò ØÓ ÛÖ Ó È ØÖ ¾¼½¼

2 ÖôÒ Ø ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ ÃÖØÛÒ Å Ö

3 È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÙÕ Ö Ø È ÖÐ Ý Abstract iii vii ix xi Û xiii (α) Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ò ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º xiii (β) Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º xvii (γ) Ò Ô ØÛÒ Ü Ø Þ Ñ ÒÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º xx (δ) È Ö Ð ÔØ Ô ÖÓÙ Ø ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º xxiv ½ ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann ½ ½º½ ÇÑÓ Ò ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ Ò Û Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º à ÑÔÙÐ Ø Ø Ricci ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º ½º ËÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º¾ ËØÓ Õ Ô Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÙÑÑ ØÖ ôò ÕôÖÛÒ º º º º º º º º º º ½ ½º º À Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÙÑÑ ØÖ ôò ÕôÖÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾ Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ¾ ¾º½ ÌÖÓÕ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Kähler º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º¾º½ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º¾º¾ ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Kähler º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º iii

4 iv È ÊÁ ÉïÇÅ Æ ¾º¾º ÖÑ Ø ÒÓ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÈÓÐÐ ÔÐÓØ Ø Ñ ôò ÛÖ Lie º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ À Ô Ö Ö ØÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò Ñ ÛÖ Lie º º º º º º º º ¾º º¾ Á ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø Ó Õ ØÓÙ Ñ Ø t¹öþ t¹rootsµ º º º º ¾º È Ö ÓÐ ÙÔÓ Ð Ö Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½ ÈÖ ØÙÔ Ô Ö ÓÐ ÙÔÓ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾ Ñ Ñ ÔÐôÒ Ð ÖôÒ Lie º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º À Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º½ Å ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º¾ ÑÑ Ò Ö ÑÑ Ø Dynkin º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º½ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ÓÑ Ñ ØÖ Kähler º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler-Einstein º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ À Ø Ü Ò Ñ º½ ÈÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ º º º º º º º º º º º º¾ ÈÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ø Ö ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ º º º º º º º º º Ç Ø ØÛÒ ÓØÖÓÔ ôò ÔÖÓ Ø ÛÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÑÓ Ø Ù Ò ÓÖØ Ñ ÒÓÙ ÛÑ Ø ÓÙ ÙÔ Ø Ò Ô Ö ØÓÙ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ó Ô ÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ À Ü Û Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ m = m 1 m 2 ½¼ º½ À Ñ Ó Ó Ñ Ø ÓÐôÒ Ñ ØÖ Einstein º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ À Ü Û Einstein ÔÐÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º¾º½ ÈÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ b 2 (M) = 1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¾ º¾º¾ Ö ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º É Ö Ø Ö Ñ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ À Ü Û Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ m = m 1 m 2 m 3 m 4 ½¾ º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ À Ü Û Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ì ÔÓÙ Á º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º½ À ÙÑ ÓÐ Ø Ò Ñ ØÓÔÓ Ù ØÖÓ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricci º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾º¾ À ÔÐÙ Ø Ü Û Einstein º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ º À Ü Û Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ì ÔÓÙ ÁÁ º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler-Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ì ÔÓÙ ÁÁ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

5 È Ö Õ Ñ Ò v º º¾ Ç ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricci º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º À ÔÐÙ Ø Ü Û Einstein M = G/K Ì ÔÓÙ ÁÁa º º º º º º º ½ ½ º º À ÔÐÙ Ø Ü Û Einstein M = G/K Ì ÔÓÙ ÁÁb º º º º º º º ½ º º À ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = SO(2l)/U(p) U(l p) º º º º º º º º ½ º º À ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = Sp(l)/U(p) U(l p) º º º º º º º º º ½ ½ º ÌÓ ÓÑ ØÖ ÔÖ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º ËÙÑÔ Ö Ñ Ø Ô Ö Ø ÖÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ È Ö ÖØ Ñ º½ ËØÓ Õ Ô Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ È Ö ÖØ Ñ ½ º½ ÓÑ ÛÖ ØÛÒ Ñ ÔÐôÒ Ð ÖôÒ Lie º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ µ Ô Ð Ñ Ñ ÔÐ Ñ Ð Ö Lie º º º º º º º º º º º º º º ½ µ ÓÑ ÛÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ (γ) ÔÒ Cartan Ö ÑÑ Ø Dynkin º º º º º º º º º º º º º º ½ (δ) ÈÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ó Ö ¾¼

6 vi È Ö Õ Ñ Ò

7 ÙÕ Ö Ø À Ô ÖÓ ØÓÖ ØÖ ÔÓÒ ØÓ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ È ØÖôÒ ÙÔ Ø Ò Ô Ð Ý ØÓÙ Ô ÓÙÖÓÙ Ã Ø º Ò Ö Ö Ò ØÓ ôö ÓÙ Ñ Ñ Ð Ø ÌÖ Ñ ÐÓ ËÙÑ ÓÙÐ Ø Ô ØÖÓÔ ØÓÒ Ã Ø º Ð Ó È Ô ÒØÛÒÓÙ ØÓÒ Ã Ø º Ð ÔÔÓ ÒÓ Ô ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó Â ÐÓÒ º Ô ÙÑô Ò Ö Û Ø Ô Ó ÖÑ ÑÓÙ ÙÕ Ö Ø ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ ÑÓÙ Ø Ò ÙÔ Ü ØÓÙ Ñ ØÓ Ø Ò ÓÙ Ø ÙÑ ÓÐ ØÓÙ ØÓ Õ Ñ Ø Ò ÓÐÓ Ð ÖÛ ÙØ Ø ØÖ Ø Ò ÑÔ ØÓ Ò ÔÓÙ ÑÓÙ Ü Ò ÔÓÒ Û Ø Ò Ô ÖÓ Ñ Ð Ø º ÌÓÒ ÙÕ Ö Øô Ô Ø Ò ÔÓ Ó ÓÑ Ø ÙÒ Ö Ñ ô Ô ØÓ ÙÒ Õ Ò ÖÓÒ ØÓÙ Ø Ø ØÓÙ Ø Ø Ñ ÓÖÓ Ð Ø Ö ØÛÒ Ñ Ø ÔØÙÕ ôò ÔÓÙ ôò ÑÓÙº  ÖÑ ÙÕ Ö Øô ØÓÒ Ã Ø º Ð Ó È Ô ÒØÛÒÓÙ Ø ÔÓÐ Ø Ñ Ô Ö Ø Ö ØÓÙ Ô Ø Ô ÖÓ Ö ô ØÓ Ò ÖÓÒ ØÓÙ Ø ÕÖ Ñ ÙÞÙØ ÔÓÙ Õ Ñ Þ ØÓÙ Ô Ø ÔÖôØ Ð ÔÖÓÔØÙÕ ÑÓÙ ÕÖ Ò º Ô ÖÑ ÙÕ Ö Øô ØÓÒ Ã Ø º Ð ÔÔÓ ÒÓ Ø ÓÙ Ø ÙÑ ÓÙÐ ØÓÙ Ø Ò Ø Ð ÓÔÓ ÙØ Ø ØÖ º Ö ÞÛ Ô Ø ÖÑ ÑÓÙ ÙÕ Ö Ø ØÓÒ º Yusuke Sakane Ã Ø ØÓÙ ØÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ Ø Osaka Ø ÔÓÐ Ø Ñ ÙÞ Ø ÔÓÙ Õ Ñ Ô Ø Ñ Ð Ø ÙØ Ø Ø Ö Ô Ý ØÓÙ ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖôÒº Ô Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÙ ÐÓÙ ÑÓÙ ÙÔÓÝ ÓÙ ØÓÖ ØÓÙ Å Ñ Ø Ó ËÔÓÙ Ø ÖÓÙ ØÛÒ Ö Ø ÖÛÒ ÈÁ Å Å Ö ÑÑ ôò ËÙ Ø Ñ ØÛÒ ÖÑÓ Ñ Ò Ò ÐÙ¹ Ø Ò Ñ Ö Ø ÐÐ Ð Ø Ö Ü ØÓÙ Ø Ø Ö ØÛÒ ÔÓÙ ôò ÑÓÙ Ø Ò È ØÖ º Ì ÐÓ Ó ÐÛ Ò ÙÕ Ö Ø Û Ø Ò Ô ØÖÓÔ Ö ÙÒôÒ ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ È ØÖôÒ Ø Ò Ó ÓÒÓÑ ¹ Ø Ö Ü ÔÓÙ ÑÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ö Ô Ò Ø ØÓÖ ÑÓÙ Ö ÙÒ Ñ Û ØÓÙ ÈÖÓ Ö ÑÑ ØÓ Ãº Ã Ö Ó ÛÖ ¾¼¼ ¹½¼ C. ½ ½µº Ã Ø Ð ÓÒØ Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ ÃÖØÛÒ Å Ö Ø Ò ÙÐ Ø Ö Ü ÔÓÙ ÑÓÙ Ô Ö Õ Ò Ð Ø Ö ØÛÒ ÔÓÙ ôò ÑÓÙº ÌÓÙ ÖôÒÛ Ø Ò Ö ÙØ º ÁÛ ÒÒ ÉÖÙ È ØÖ ÔÖÐ Ó ¾¼½¼ vii

8 viii ÙÕ Ö Ø

9 È ÖÐ Ý Å ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M, g) Ð Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Einstein Ò ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Λ R Ø ô Ø Ric g = Λg ÔÓÙ Ñ Ric g ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ Ø ÒÙ Ø Ricciº Ò ÒÛ¹ Ø Ø Ò (M = G/K, g) Ò Ñ ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ø Ø Ó G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÑÓÒ ÓÙ ÓÙ Ò Ø Ö Ñ Ñ Ø ÙÒ ÖØ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø S : M G R Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ ÕôÖÓ M G 1 Ñ ØÖ ôò Ñ Ó ÑÓÒ º ÐÛÒ ØÛÒ G¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ç Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ò Ó ØÖÓÕ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö Ø ÙÑÔ ôò Ñ ÔÐôÒ ÓÑ ÛÒ Lie Gº Ç ÕôÖÓ ÙØÓ Ü ÒØÐÓ Ò Ð Ø ÙÑÔ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Kähler Ò Ø ÑÓÖ G/C(S) ÔÓÙ C(S) Ò ÒØÖÓÔÓ Ó ÙÔÓÓÑ Ò ØÙÐÓÙ S Ø Ò Gº à ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Õ Ø Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler-Einsteinº ³ ØÛ G Ñ ÔÐ ÙÑÔ ÓÑ Lieº ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ Ø Ü ÒÓÑÓ Ñ Ø ÔÓй Ð ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø ¾ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº ØÓÙ ÕôÖÓÙ ÙØÓ Ô Ð ÓÙÑ Ø Ò Ü Û Einstein Ô Ö ¹ ØÓÙÑ Ø Ò ÐÙØ Ö Ò ÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einsteinº ËØ Ô Ö Ø Ö Ô Ö ÔØô Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ò ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôòº Ô Ð ÕÓÙÑ ØÓ ÓÑ ØÖ ÔÖ Ð Ñ º Ø Ò Ø Ù Ø Ü Û Einstein ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ÔÖôØ ÓÖ Ø Ò Ñ ØÓÔÓ ØÖ Ý twistor fibrationµ ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ô Ò ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙ ÙÑÔ Ó Ø ÔÓÙº À Ñ Ó Ó ÙØ Ò ÔÖÛØ ØÙÔ ÑÔÓÖ Ò ÖÑÓ Ø ÐÐ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ø M = G/K Ô Ø ¾ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ ÖÑ ÞÓÒØ ØÓ ÒÛ Ø Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö ÓÖ Ñ Ò Ò restricted Hessianµ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÑ Ø Ñ ØÖ Einstein Û ØÓÔ Ð Õ Ø Ñ Ø ÑÛØ ¹ ÑÔÙÐ Ø Ø Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ ÕôÖÓ M G 1 º ÜÞ Ò Ñ Û Ø Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÔÓй Ð ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ñ Ó Þ Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ó Ü ô Ò Ò ÓÖØÓÙ ÙÔ Ø Ò Ô Ö ØÓÙ ¹ Ð ØÖÓÑ Ò Ø Ó Ô ÓÙ Ó Û ÑÔ Ð Ò ÔÐ ÖÛ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò º ix

10 x È ÖÐ Ý

11 Abstract A Riemannian manifold (M, g) is called Einstein, if there is some Λ R such that Ric g = Λg, where Ric g is the Ricci tensor. It is well known that if (M = G/K, g) is a compact homogeneous Riemannian manifold, then the G-invariant Einstein metrics of unit volume, are the critical points of the scalar curvature function S : M G R restricted to the space M G 1 of all G-invariant metrics with volume 1. For a G-invariant Riemannian metric the Einstein equation reduces to a system of algebraic equations. The positive real solutions of this system are the G-invariant Einstein metrics on M. An important family of compact homogeneous spaces consists of the generalized flag manifolds. These are adjoint orbits of a compact semisimple Lie group. Flag manifolds of a compact connected semisimple Lie group exhaust all compact and simply connected homogeneous Kähler manifolds and are of the form G/C(S), where C(S) is the centralizer (in G) of a torus S in G. Such homogeneous spaces admit a finite number of G-invariant complex structures, and for any such complex structure there is a unique compatible G- invariant Kähler-Einstein metric. In this thesis we classify all flag manifolds M = G/K of a compact simple Lie group G, whose isotropy representation decomposes into 2 or 4, isotropy summands. For these spaces we solve the (homogeneous) Einstein equation, and we obtain the explicit form of new G-invariant Einstein metrics. For most cases we give the classification of homogeneous Einstein metrics. We also examine the isometric problem. For the construction of the Einstein equation on certain flag manifolds with four isotropy summands, we apply for first time the twistor fibration of a flag manifold over an isotropy irreducible symmetric space of compact type. This method is new and it can be used also for other flag manifolds. For flag manifolds with two isotropy summands, we use the restricted Hessian and we characterize the new Einstein metrics as local minimum points of the scalar curvature function restricted to the space M G 1. We mention that the classification of flag manifolds with two isotropy summands gives us new examples of homogeneous spaces, for which the motion of a charged particle under the electromagnetic field, and the geodesics curves, are completely determined. xi

12 xii Abstract

13 Û (α) Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ò ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Å ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M, g) Ð Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Einstein Ò Ó Ø ÒÙ Ø Ricci Ric g Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ó ØÓÙ Ñ ØÖ Ó Ø ÒÙ Ø g Ð ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Λ R Ø ô Ø Ric g = Λg. (1) À Ô Ö Ô ÒÛ Ü Û Ð Ø Ü Û Einstein Õ Ø ÖÞ Ø Ø Ò ÛÖ Õ Ø Ø Ø ØÓÙ Einsteinº Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M Ò Ñ Ø ØÖ ¹ Ø Ø Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ó ÕÛÖÓÕÖ ÒÓ Ø Ò ÛÖ Õ Ø Ø Ø µ Ó Ñ Ò Ñ Ñ Ñ ØÖ Lorentz Ð Ñ Ñ ØÖ g ÓÔÓ Ò ØÓÙ Ø ÔÓÙ (, +, +, +)º Ø Ö Ò ÛÖ Õ Ø Ø Ø Ñ Ð ôò Ø Ô ÒÛ Ø ØÖ Ø Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Lorentz (M, g) Ó ÓÔÓ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò Ü Û Ric g S g g = T, (2) 2 ÔÓÙ Ñ S g ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ø g Ð ØÓ ÕÒÓ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricciµ T Ò Ò ÙÑÑ ØÖ ÙÒ ÐÐÓÛØÓ ¾¹Ø ÒÙ Ø Ø Ò M Ó ÓÔÓÓ Ð Ø Ø ÒÙ Ø Ò Ö ¹ÓÖÑ stress-energy-momentum tensorµº ËØ Ò Ü Û ÙØ Ø Ð Ü Ó Einstein ØÓ ½ ½ ÔÖÓ Ô ôòø Ò Ô Ö Ö Ý Ø ÔÐ Ø ÛÖ Õ Ø Ø Ø ÔÓÙ Õ Ò ÔØ Ü µ Ø Ò ÐÐ Ð Ô Ö ØÓÙ ÖÙØ Ó Ô ÓÙ ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖÞ Ø Ô Ø Ñ ØÖ Lorentzµ Ñ ÐÐ Ô ÙÒ Ñ ÛÒº ÇÙ Ø Ü Û Einstein Ò Ø Ò Ü Û Poisson ÔÓÙ Ô Ö Ö ØÓÔ ØÓÒ Ò ÑÓ ØÓÙ Newton Ø Ò ÖÙØ ÐÜ Ñ Ø ØÓ ÓÒ ØÖ ÔÓ ô Ø Ò Ñ Ò Ô Ö ÞÓÒØ Ó ÖÕ Ø ÛÖ Õ Ø Ø Ø º ÛÑ ØÖ Ô Ö Ö ØÓ Ôô ÑÔÙÐôÒ Ø Ó ÕÛÖÓÕÖ ÒÓ ÔÓ Ø Ò Ô ÖÓÙ Ð Ø Ò ÛÖ Õ Ø Ø Ø Ñ Ð Ø Ø ÙÒ Ñ Ø ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÕÛÖÓ¹ ÕÖ ÒÓÙ Ñ ÐÐ Ð Ø ÙÒ Ñ ØÓÙ Ñ ØÖ Ó Ø ÒÙ Ø gº ³ Ò ÓÒ ÔÓÙ Ó ØÓÒ Einstein Ò ØÙÔô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ü ô Ô ÓÙ ¹ Ò Ø Ó Ø ÒÙ Ø Ò Ö ¹ÓÖÑ T Ò Ñ Ò Ô Ð Ð Ó ØÓÙ Ò ÑÓÙ Ø Ö Ò Ö ¹ÓÖÑ µ Ø ÔÓÙ Õ ØÓÒ Ø ÒÙ Ø Einstein Ric g S g g ÐÐ Ò Õ 2 xiii

14 xiv Û ØÓÒ Ø ÒÙ Ø Ricci Ric g º À Ü Û ¾µ ÓÖÞ Ò Ø Ñ Ñ Ö ÑÑ ôò Ñ Ö ôò ¹ ÓÖ ôò Ü ô ÛÒ Ø Ö Ø Ü º Ç Ü ô ÙØ Ò Ø Ö ÔÓÐ ÔÐÓ Ó Ó Ø ÒÙ Ø Ricci ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø ÔÖÓ ÖÕÓÒØ Ô Ù ØÓÐ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ó Ô ÓÙ ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓ ÓÔÓÓ ÑÔÐ Ø ÔÖôØ Ô Ö ô ÓÙ Ò Ñ Ò ØÛÒ ÙÑ ÐÛÒ Christoffel Ø ÓÔÓ Ñ Ø Ö ØÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ ÔÖôØ Ô Ö ô ÓÙ ØÓÙ Ñ ØÖ Ó Ø ÒÙ Ø º Ô Ø Ò ÐÐ Ó Ø ÒÙ Ø Ò Ö ¹ÓÖÑ Ò Ô ÖÔÐÓ Ó Ó Ò Ò Ô Ö Õ ØÓÒ Ñ ØÖ Ø ÒÙ Ø º Ñ ØÓ Ò ÔÓÙ ØÓÙÑ T = 0 Ü ô Ric g S g g = 0 Ó Ò Ñ 2 Ric g = 0µ ½ Ò Ò ÐÓÙ Ø ØÖ ÑÑ Ò º Å ÙÒ Ñ Ó Ó ÔÓÙ ÔÐÓÔÓ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÔÐÙ Ø Ø Ð ÙØ Ü Û Ò Ô ÓÐ ÔÓ ÛÒ Ù Ö Ñ ÒÛÒ ÔÖÓÔÓ ÛÒ Ø Ñ ØÖ g ÔºÕº Ô ÖÜ ÙÑÑ ØÖ ôòµº Ç ÔÔ Ó ÕôÖÓ Minkowski R 4 Ó ÕÛÖÓÕÖ ÒÓ Ø ÛÖ Õ Ø Ø Ø µ ÔÓØ Ð Ø Ò Ô Ó ÔÐ Ð Ø Ü Û Einstein ØÓ Ò º À Ñ ØÖ Lorentz Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Õ Ø Ò Ö ds 2 = (dx 4 ) 2 + (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2, ÔÓÙ (x 1, x 2, x 3, x 4 ) Ò Ó ÙÒ ÙÒØ Ø Ñ Ò ØÓÒ R 4 º ÜÞ Ò Ñ Û Ø Ó Einstein ØÓ ½ ¾ ÔÖ ØÓ Ö Ø Ö Ñ ÖÓ Ø ¾µ Ò Ò Ô ÔÐ ÓÒ ÖÓ ØÓÒ Λg ÔÓÙ Λ Ò Ñ Ø Ö Ø Ò ÓÔÓ ÓÒ Ñ Ó ÑÓÐÓ Ø Ö cosmological constantµº ¾ ÇÒÓÑ ÞÓÙÑ ÙØ Ø Ø Ö Ø Ö Einstein Ò Ø Ö ÔÓÙ Ñ ÒÞ Ø Ø Ò ½µ Ó Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ü Û Ô ÓÙ ØÓÙ Einstein ØÓ Ò Ò Ø Ô Ø Ò ½µº ËØ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ñ ØÓÒ Einstein Ø Ð Ü Ô ÖÔÓÙ Ø Ò Ô ÖÓ Óµ Ó Hilbert ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ÐÓ Ñ Ñ Ø ÓÐôÒº À Ñ Ó Ó Ñ Ø ÓÐôÒ Ø Ò ÒÛ Ø Ô Ø Ò ÔÓÕ ØÛÒ Newton Leibnitz Euler Lagrange Õ ô Ô ÒØ ÔÓÐÐ Ñ ÒØ ÖÛØ Ñ Ø Ø Ù º Ô Ö Ñ ØÓÒ R 3 Ó Ü ô Ø Ð Ñ Õ Ò F = m q Ò Ó Ð ØÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ñ Ø ÓÐôÒ δe(q) = 0 ØÓÙ ÙÒ ÖØ Ó Ó E(q) = t2 t 1 L(q, q)dt, ÔÓÙ L(q, q) = m 2 q 2 V (q) Ò Ä Ö ÒÞ Ò Langrangianµ ÙÒ ÖØ Ð ½ ÈÖ Ñ Ø ÕÓÒØ ÙÔ Ý Ñ Ø trg = dim M = 4 ÕÓÙÑ Ø tr ( Ric g S g 2 g) = 0 tr Ric g = tr ( S g 2 g) S g = 4S g 2 S g = 0. ¾ ÌÓÒ ÖÓ ÙØ ÔÖ Ó Einstein Ñ ÓÔ Ò Ô Ö Ø Ø Ó ÑÓÐÓ Ð Ð Ð ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÙÒ Ø ÙÑÔ Ö ÓÖ ØÓÙ ÑÔ ÒØÓ Ñ Ð ÐÑ º Ö Ø Ö Ô Øô Ô ØÓÒ Ó ØÓÒ Einsteinµ Ø Ø ØÓ Ó ÑÓÐÓ ÑÓÒØ Ð Ò Ø Ð Û Ø Ó ÖÓ ÙØ ÔÓÖÖ º

15 (α) Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ò ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Ñ ØÖ xv Ò Ö µº Ç Hilbert Hil Ô Ü Ø Ó Ü ô Ø Ò ÛÖ Õ Ø Ø Ø ÔÓÖ¹ Ö ÓÙÒ Ð ÒÓÒØ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ñ Ø ÓÐôÒ δt(g) = 0 ÔÓÙ T(g) Ò ØÓ ÙÒ ÖØ Ó ÓÐ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓ ÕôÖÓ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Lorentz Ø Ò M Ñ Ø Ö Ó ØÓ ÓÔÓÓ ÓÖÞ Ø Û Ü T : g T(g) = M S g dv g. ÈÖ Ñ Ø Ò g t = g + th Ò Ñ Ñ Ø ÓÐ Ø g Ø Ø Ü Û d dt T(g t) = 0 t=0 Ò Ó Ò Ñ Ñ Ø Ò Ü Û ØÓÙ Einstein ØÓ Ò Ð Ø Ò ½µ ØÛ Ô ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ V (g) = M dv g = c = Ø Ö º Ù Ó Hilbert Ö Ø Ñ Ñ Ñ ØÖ Lorentz Û Ø Ó ÔÓ Ò Ø Ø ØÓ ôö Ñ ØÓÙ Õ Ñ ØÖ Riemann Ø ÙÑÔ Ô ÖÔØÛ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ðº Kü µº ³ Ø Ñ ÙÑÔ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M, g) Ð Ñ Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ð Ó Ñ ØÖ ÔÓÙ ÒÓÔÓ Ó Ò Ø Ò ½µ Ò Ø Ö Ñ Ñ ØÓÙ ÙÒ ÖØ Ó Ó ÓÐ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ô Ö ÓÖ Ñ ÒÓ ØÓ ÕôÖÓ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Riemann Ñ Ø Ö Óº Ç Ø Ð ÙØ Ó Õ Ö Ø Ö Ñ Ø Ø Ñ ØÖ Einstein Ø Ò Ò Ù ØÖ ÔÓµ Û Ø Ö ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Ñ ØÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Mº Ç Ñ ØÖ Einstein ØÓÙ Ñ Ñ Ø Ó Ò Ø Ö Ñ ÒØ Õ Ø Ó Ü Ø Ø Ò ØÓÙ Ñ Ø ÛÖ Õ Ø Ø Ø ÐÐ Ø ÔÓØ ÐÓ Ò ØÓ Ò ÐÓ Ó Ñ Ð Ø Ö Ø µ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø Gauss Ô Ò º Ò Ò Ô Ø Ñ Ð ô ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÛÑ ØÖ Riemann Ò Ö ÒÓÒ ôò Ñ ØÖ ôòº ô Ñ ØÓÒ ÖÓ ÒÓÒ ÒÒÓÓ Ñ Ñ ØÖ Riemann Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø º ËÙÕÒ Ô ÖÜ Ñ ÒÓÒ Ñ ØÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Õ Ñ ÒØ ØÓÔÓÐÓ ÙÒ Ô Òô Ô ÖÔØÛ Ö Ñ Ø ØÓ Ñ ØÖ Ò Ò Ò Ò ÔÓÐ ÓÐÓ ÔÖ Ð Ñ º Ë Ñ Ô Ò M Ó ØÖ ÓÖ Ø ÑÔÙÐ Ø Ø ÙÑÔÔØÓÙÒ Ñ Ø Ü ØÓÙ ÓÙ ¹ Ø ÙÔ ÖÕ Ñ ÒÓ Ñ ÒÒÓ ÑÔÙÐ Ø Ø ÙØ Ø ÑÔÙÐ Ø Ø Gauss K : M Rº Ò ÒÛ Ø Ø ÙÑÔ Ô Ò Õ Ø Ñ Ñ ØÖ Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø Gauss Kü µº Ì Õ ÑÛ Ô Ö Ô ÒÛ Ø ÈÓ Ò Ó Ð Ø Ö Ñ ØÖ Riemann Ñ Ø ÓÔÓ ÑÔÓÖ Ò Ó Ø Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ dim M 3 Õ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ø ØÓ Ñ ØÖ Riemann Ì ÖôØ Ñ Ø ÙØ Ø Ò Ô ØÓ Rene Thom ØÓ ½ Ò Ø Ö Ñ ÒØ Ñ Ø Õ Ñ Ð Ø µ ÔÓÙ ÛÑ ØÖ Riemann Ò Ø Ø Ò Ò ÔÓÐ Ö Ð Ó Ø Ò ÔÐÙ ÓÖÛÒ ØÓÔÓÐÓ ôò ôò ô Ñ q = q(t) = (q 1 (t), q 2 (t), q 3 (t)) ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø Ò ÙÑ Ò ÙÒØ Ø Ñ Ò Ò ÛÑ Ø ÓÙ Ñ Þ m ØÓÒ ØÖ Ø ØÓ ÕôÖÓ R 3 º Ë Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø ØÓ Ø ÒÙ Ø Ô Ó ÑÔÙÐ Ø Ø R ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø Ò ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓÑ Ø Ò ÑÔÙÐ Ø Ø Ricci Ø Ò ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ðº È Ö ÖØ Ñ µº

16 xvi Û Poincaré Ô Ü ÙØ Ô ØÓÒ Êô Ó Ñ Ñ Ø Perelman ÓÐÓÙ ôòø ØÓ ÔÖ Ö ÑÑ ØÓÙ Hamiltonµº ³ Ò ÐÐÓ Ô Õ Ö Ñ ÔÓÙ ÙÔÓ Ò Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ò ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Ò ØÓ Ü Ò Ñ ÔÐ ÙÒ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M n, g) Ô Ø ÓÙÑ ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓÑ Ò Ò Ø Ö Ñ Ñ Ø Ö c R Ø Ø M Ò ØÓÔ ÓÑ ØÖ Ñ Ðº Kü ON µ Ì Ò Ö S n Ò c > 0 ô ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø S n Ò Ó Ñ Ò Ñ Ø Ò Ô Ñ Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ô ØÓÒ R n+1 µ ÌÓÒ Ù Ð Ó ÕôÖÓ R n Ò c = 0 ÌÓÒ ÍÔ Ö ÓÐ ÕôÖÓ H n Ò c < 0º Ò Ô ÔÐ ÓÒ ÙÔÓ ÓÙÑ Ø M Ò ÙÑÔ Ø Ø ÙØ Ò ØÓÔ ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ô Ð Ó ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÕôÖÛÒ Ñ ÔÓ Ö Ø ÓÑ ÓÑ ØÖ ôò ØÓÙ Ber3 к µº ³ Ø ÙÒ Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓÑ Ò Ö Ø Ô Ö ÓÖ Ø º Ô Ø Ò ÐÐ ÙÑÔ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M n Õ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ Ñ ØÖ Riemann ÓÔÓ Õ Ø Ö ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø º ËÙ Ö Ñ Ò n 3 ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Riemann Ñ Ø Ö ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Õ Ñ ØÞ Ò Ò Ô ÖÓ Ø ØÓ ÕôÖÓ Ber3 к µº ËÙÒ Ôô ÙÒ Ø Ö ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ò Ö Ø Ò Ñ º ÔÓÑ Ò ÐÓ Ô Ò Ò ÛÖ ÓÙÑ Û ÔÖÓÒÓÑ Ó Õ Ñ ØÖ Riemann Ø Ñ ØÖ Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø Ricci ÔÓÙ Ò Ò ÐÐ Ô Ø Ñ ØÖ Einsteinº Ì Ø Ð ÙØ Ø Ó ÒÓÒ Ñ ØÖ Ó Ñ ØÖ Einstein Ò ÒØÖ Ò¹ Ø Ñ Ò Ñ Ð Ø ØÓÒ Ð Ó Ø ÓÖ ÛÑ ØÖ º Ó Ñ Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M Ò Ô Ø Ô Ó Ñ Ð ô ÖÛØ Ñ Ø ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò ÔÓ Ó Ò ÙØ Ø Ô Ö¹ Ü Ñ Ñ ØÖ Einsteinº Ü Ö Ø Ò ÖÓÒ Ô ÖÓÙ Þ Ô ØÓ ÓÐÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ø Ü Ò Ñ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Mº ËØ Ñ Ö Ñ Ò ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ò ÔÓØ Ð Ñ ÔÓÙ Ò ÐôÒ Ø Ò Ô ÖÜ Õ µ Ñ ØÖ ôò E- instein Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M Ø Ñ Ð Ø Ö ØÓÙ º ËØ Õ Ñ Ð Ø Ö Ø Ó Ñ ØÖ Einstein ÕÓÙÒ Ò Ð Ø Ö Ø ÒÓ Ø Ò Ñ ÙÒ Ñ Ò Ñ Ø Ò ØÓÔÓÐÓ Ø Mº Ô Ö Ñ Ò Õ Ø ¹ Ø Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ñ Ñ ØÖ Einsteinº Å Ø ØÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ò S 1 S 2 к LeB1 µº ÌÓ Ó Õ Ø Ø ÔÓÙ Ó Hitchin Thorpe Ô Ü Ò Ø ÙÒ Ø Ö ÑÔÙÐ Ø ¹ Ø Ricci Ô ÐÐ ØÓÔÓÐÓ Ó Ô Ö ÓÖ ÑÓ Ó ÓÔÓÓ Ò Ô ØÖ ÔÓÙÒ ÙÑÔ ¹ Ø Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ò Ò Einstein к And LeB1 LeB2 Hit µº ¹ Ô Ö Ø Ö Ð ÔØÓÑ Ö Ò ÓÖ Ñ Ø Ñ ØÖ Einstein Ð Ø ÛÖ ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ Õ Ø Ñ ÙØ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ Ø Ð Bes Ber2 º È Ó ÕÖÓÒ ÔÓØ Ð Ñ Ø

17 (β) Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein xvii ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ö Ó Ò ØÓ LeB-Wa º Ô Ò ÖÓÒ Ô ÖÓÙ Þ ØÓ Õ Ø ÔÖ ØÓ ÐÓ ØÓÙ Berger Ber3 ÔÓÙ Ô Ö Ö ÓÒØ Ø ÙÖ Ø Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø ÕÖÓÒ Ö ÙÒ Ø ÛÑ ØÖ Riemann ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ñ ØÓÙ ôò ÔÓÙ Ô Ö º ³ ÐÐ Õ Ø Ð Ó Ö Ò Ø And Bö-Wa-Zi BGa Dan NRS º (β) Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ³ÇÔÛ ÔÖÓ Ò Ö Ñ Ñ ØÖ Ø Ò ÔÐÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ñ Ð Ø Ø Ü Û E- instein Ò Ò Ô ÐÐÓÙÑ ÙÑÑ ØÖ Ø Ò Ñ ØÖ Riemann Ð Ò ÛÖ ÓÙÑ ÔÓй Ð ÔÐ Ø Ø Riemann (M, g) Ø ÓÔÓ Ö Ñ ÓÑ Lie Ñ Û ÓÑ ØÖ ôòº Ì ØÓ ÔÓй Ð ÔÐ Ø Ø ÓÒÓÑ ÞÓÒØ ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ò Ø ÑÓÖ M = G/K ÔÓÙ G Ò Ñ ÓÑ Lie K Ñ Ð Ø ÙÔÓÓÑ ÙØ º Ç ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø ÙØ Õ Ö ¹ Ø ÖÞÓÒØ Ô Ø Ò Ñ Ø Ø Ø Ø Ñ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ò ÒÛÖÞÓÙÑ ÔÓ Ó ÛÑ ØÖ Ñ Ó Ò Ñ Ó ØÓÙ ÕôÖÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø ÐÐ Ð Ô ÓÒ Ñ Ø ÓÖ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ ÓÔÓ Ó ÔÓØ ÐÐÓ Ñ Óº Ç ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ò ØÓ ÑÓÒØ ÐÓ Ø ÛÑ ØÖ ÔÓÙ Ø Ø Ð ØÓÙ ½ ÓÙ ôò Ó ÖÑ Ò Ñ Ñ Ø Felix Klein ¹ ØÓ ÑÓ ÈÖ Ö ÑÑ Erlangen Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ÓÔÓÓ ÛÑ ØÖ Ò Ñ Ð Ø ÒÛÒ ØÛÒ ÒØ Ñ ÒÛÒ ÔÓÙ Ô Ö Ñ ÒÓÙÒ Ò ÐÐÓÛØ ØÛ Ô Ø Ö Ñ ÓÑ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒº Ù ôö ÓÖ Ø ôò Ø ØÓ ÛÒ ÓÑ ÛÒ Ñ Ó ÓÖ Ø ÛÑ ØÖ Ù Ð ÙÔ Ö ÓÐ ÐÐ ÔØ ÐÐ µº À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ÔÓØ Ð Ò Ù Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑ ÛÒ Lieº Ô Ö Ñ Ò G Ò Ñ ÙÑÔ ÓÑ Lie Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ö ØÓ Ñ Ñ Ñ ¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ð Ñ ØÖ Riemann Ø ÓÔÓ Ö Ø Ö Ü Ñ Ø ÓÖ Ø Ò G Ò ÓÑ ØÖ º Ã Ø ØÓ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓÖÞ Ø ÔÐ ÖÛ Ô Ò Ad G ¹ Ò ÐÐÓÛØÓ ÛØ Ö Ò Ñ ÒÓ Ø Ò Ð Ö Lie g = T e G Ø G ÔÓÙ Ñ Ad G ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø ÙÞÙ Ò Ô Ö Ø Ø Gº ³ÇÑÓ Ò Ò Ò Û ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ M = G/K Ò ÓÐ Ò ÛÖ ÓÙÑ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ð Ñ ØÖ Ø ÓÔÓ Ó Ñ Ø ÓÖ τ a : G/K G/K (a G) Ò ÓÑ ØÖ º Ã Ø ØÓ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓÖÞ Ø ÔÐ ÖÛ Ô Ò ÛØ Ö Ò Ñ ÒÓ ØÓÒ ÔØ Ñ ÒÓ ÕôÖÓ ØÓÙ G/K ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ö Ñ Ò Ò ÐÐÓÛØÓ Ô Ø Ö Ø ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø ØÓÙ G/Kº G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ò Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ü Û Einstein Ò Ø Ò Ð Ö Ø Ñ Ñ Ö ÑÑ ôò ÔÓÐÙÛÒÙÑ ôò Ü ô ÛÒº Ç Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÒØ ØÓ ÕÓ Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ð ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÙØÓ º ³ Ò Ø Ö Ñ ÒØ ÖôØ Ñ ÔÓÙ ÑÔÓÖ Ò Ø Ò ÓÖ Ñ Ø ÛÑ ØÖ Ò ÓÑÓ ÒÓ ÕôÖÓÙ Ò ØÓ Ü ÈÖ Ð Ñ Õ Ø ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÈÓÓ Ò

18 xviii Û ØÓ ÔÐ Ó ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò ÔÓ Ò ÐÙØ Ö ÙØôÒ Ì Ô Ö Ø Ö ÒÛ Ø Ô Ö Ñ Ø ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Einstein Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ º Ô Ö Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ M = G/K ÕÓÒØ Ñ ÑÓÒ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ø Ò ØÙÔ Ñ ØÖ ÓÔÓ Ô Ø Ô ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ Ø ÑÓÖ Killing Ø G Wo4 µº É Ö Ø Ö Ø Ô Ö Ñ Ø ØÙÔ ôò ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Einstein ÔÓØ ÐÓ Ò Ó ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ Ó ÓÔÓÓ Ø Ü ÒÓÑ Ò Ô ØÓÒ Cartanº Å Ð Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ØÙÔ Ñ ØÖ ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÑÑ ØÖ º À ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ÐÛÒ ØÛÒ ØÙÔ ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Einstein M = G/K Ñ G ÔÐ Ô ØÓÙ Wang-Ziller ØÓ Ö ÖÓ WZ1 º Ö Ø ÕÖ Ò Ö Ø Ö Kerr Ö Ø ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙ M = G/K ÙÑÔ Ó Ø ÔÓÙ Ô Ü Ø Ò ÛÖ ÓÙÑ Ø Ö Ñ Ö Ø ÖÛÒ ÙÔÓÓÑ ÛÒ G G = Isom(M) Ø Ò M = G/K = G /K Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ Ò Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÓÖ ¹ Ø Ô Ø ÙÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ðº Ker µº ËØ Ö ØÓÙ ÔÖÓ ÓÐ Ó ÕôÖÓÙ Ó Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ø Ü ÒÓÑ Ò Ô ØÓÒ Ziller Zi µ ÖÑ ÞÓÒØ Ø Ñ ¹ Ó Ó ØÛÒ ÙÔ Ñ ÔØ ÛÒ Riemann Riemannian submersionsµ к Bes µº ³ ÐÐÓ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÕÓÙÒ Ñ Ð Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ò Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Stiefel к Nik1 ADN µ Ó ÕôÖÓ Aloff-Wallach к Nik1 µ Wan µ Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò к Ô Ö ØÛµ º º Ë ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙ Þ Ñ ÒÓ Ø Ò ÖÕ Ø ÙÑÑ ØÖ Ø Ø ØÛÒ Ö ÑÛÒ Ñ ÛÒ ØÓÙ Palais Pal µ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ó Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ¹ Ò Ø Ö Ñ Ñ Ø ÙÒ ÖØ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ ÕôÖÓ ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Riemann Ø ÖÓ ÓÙº À Ñ Ó Ó ÙØ ÖÑ Ø ÔÖôØ ÓÖ Ô ØÓÒ Jensen Je2 µ Ö Ø Ö ¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ ÓÑ Lieº Ô Ø Ø Ñ Ó Ó ØÛÒ Ñ Ø ÓÐôÒ Õ ÕÖ ÑÓÔÓ Ö Ø ÓÖ Õ Ö Û Û Ñ Ô Ø Ø Ö Ñ ÓÙ Ò ÓÖ Ñ Ø Ò Ö Ò ÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙº È Ö ØÛ Ø ÞÓÙÑ Ø Ñ Ð Ø Ñ ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙº ÔÓØ Ð Ñ Ø Õ Ø Ñ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ñ ÙÑÔ ÓÑÓ¹ Ò ÕôÖÓÙ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ Ø Ö Ö NRS Heb Laur La-Wi º Ò ÒÛ Ø Ø ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Einstein (M n, g) Ø ¾ Ò ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ò ÕôÖÓ Ø Ö ÑÔÙÐ Ø Ø ØÓÑ Ðº Nik1 Bö-Ke µº n = 4 Ó Jensen Je1 µ Ô Ü Ø ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Einstein Ò ¹ ÓÑ ØÖ Ñ Ò Ò ÙÑÑ ØÖ ÕôÖÓº n = 5, 6 7 Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÔÐ ÙÒ ¹ Ø ôò ÙÑÔ ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø ØÛÒ Einstein Ô ÖÓÙ Ø Ø Ö Ö Al-Dot-Fer Ni-Ro1 Ni-Ro2 Nik1 ÒØ ØÓ Õ º Å ÕÖ Ñ Ö ØÓ ÐØ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ Ô ÖÜ Ò ØÓ Ü Â ôö Ñ Bö-Ke µ à ÙÑÔ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ø Ñ Ö Ø Ö

19 (γ) Ò Ô ØÛÒ Ü Ø Þ Ñ ÒÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ xix ØÓÙ ½½ Ô Õ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einsteinº È Ö Ñ ½¾¹ Ø ØÓÙ ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙ ÔÓÙ Ò Ô Õ Ø ÔÓ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ØÓ Ö ÖÓ WZ2 ÖÑ ÞÓÒØ Ø Ò Ñ Ó ØÛÒ Ñ Ø ÓÐôÒ Ø ÙÒ ÖØ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø S Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ ÕôÖÓ M G 1 ÐÛÒ ØÛÒ Ò ÐÐÓ¹ ÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Riemann ÑÓÒ ÓÙ ÓÙº Ç ÕôÖÓ ÙØ Ò Ó M = SU(4)/SU(2) ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø ÙØÓ Ô Ø Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº À ÔÐ Ö Ø Ü¹ Ò Ñ ÐÛÒ ØÛÒ ÔÐ ÙÒ Ø ôò ÙÑÔ ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Einstein ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ô ÖÓÙ Ø ÔÖ ¹ Ø ØÓ Ö ÖÓ Di-Ke ÔÓÙ Ø Ù Ø Ò ÐÐ Ô Ö Ñ Ø ÙÑÔ ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ÔÓÙ Ò ÕÓÒØ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einsteinº È Ó ÔÓÐ ÔÐÓ Ó Ó Ò ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ÔÓÙ Ò ÕÓÒØ Ø ØÓ Ñ ØÖ Ø Ù Ø Ò ØÓ Ö ÖÓ Pa-Sa º È Ö ÐÓ ÔÓÙ ÔÓ ÓÙ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÓÙÑ Ð Ø Ò Ð¹ ÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ò ÛÖ Ñ Ø Ô ÖÜ Ø ØÓ ÛÒ Ñ ØÖ ôò Ò ÓÐ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò ÔÓÐ ÔÐÓ º Ô Ö Ñ ØÓ Ö ÖÓ WZ2 ÔÓ Õ Ø ¹ Ò Ò ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K ÔÓÙ K Ò Ñ Ð Ø ÙÒ Ø ÙÔÓÓÑ Ø G ÙÒ ÖØ ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø S Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ M G 1 Ò Ö Ñ Ò Ô Ô ÒÛ Ò properµ Ò Ñ ÒÓ Ò K Ò Ñ Ñ Ø ÙÔÓÓÑ Ø G Û ÔÖÓ Ø Õ Ð ÑÓ µº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ S Õ Ò ÓÐ Ñ ØÓ Ñ Ó ØÓ ÓÔÓÓ ÔÖ Ô Ò ÓÖÞ Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ØÓÒ G/Kº ³ ÐÐ ÛÖ Ñ Ø Ô ÖÜ ÕÓÙÒ ØÙÔ¹ Û Ô ØÓÙ Böhm-Wang-Ziller Ø Ö Ö Bö1 Bö2 Bö-Wa-Zi ÞÓÒØ Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ Ö Ñ ØÓ Γ G/K ÔÓÙ ÒØ ØÓ Õ ÙÑÔ ÙÒ Ø ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K к Ô NRS µº Ò ÐÓ Ô Ò Ø ÔÖÓ ØÓ Ô Ö Ò Ñ Ø Ñ Ö Ô Ø Ò ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ Ó¹ ÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Einsteinº Ô ÙÑÔ Ö ÓÖ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ¹ ÓÑ ØÖ ôò Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ô Ø M = G/K Ò Ò Ü Ö º ³ Ø Ò ÒÛÖÞÓÙÑ Ô ÒØ Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ñ ÓÑ ØÖ ôò Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ø Ò M Ò Ô Ô Ö ¹ Ñ ÒÓ Õ º ËØÓ Ö ÖÓ Bö-Wa-Zi ÔÓ Õ Ø Ò Ò ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ñ Ð ô ÓÑ Ò Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÒÓÐÓ ÔÓØ Ð Ø Ô Ô Ô Ö ¹ Ñ ÒÓ ØÓ ÔÐ Ó ÙÑÔ ÙÒ Øô º ÈÖÓ Ø Ò Ø ÙÒ ÙØ Ò ÖÓÒ Ô ÖÓÙ Þ Ô Ö ØÛ ÒÛ Ø ØÛÒ Böhm-Wang-Zillerº Bö-Wa-Zi µ Ò M = G/K Ò Ò ÙÑÔ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô Ñ Ó Ò ÑÓÙ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÔÖÓ Ø ÓÙ Ð rkg = rkk Ø Ø ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ñ ÓÑ ØÖ ôò Ò ÐÐÓ¹ ÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ø Ò M Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓº Å Ð ÙÒ ÖØ f : M R Ñ Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M Ð Ø Ò Ò Ó ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ a < b ÔÖÓ Ò f 1 ([a, b]) Ò ÙÑÔ º

20 xx Û (γ) Ò Ô ØÛÒ Ü Ø Þ Ñ ÒÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Å Ñ ÒØ Ø ÓÖ ÙÑÔ ôò ÔÐ ÙÒ Ø ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ÔÓØ ÐÓ Ò Ó Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò generalized flag manifoldsµº ÈÖ Ø ØÖÓÕ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö Ø Ad G ÙÑÔ ôò Ñ ÔÐôÒ ÓÑ ÛÒ Lie Gº ÙØ Ó ÙÞÙ ØÖÓÕ Ü ÒØÐÓ Ò Ð Ø ÙÑÔ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Kähler Ò Ø ÑÓÖ G/C(S) ÔÓÙ C(S) Ò ÒØÖÓÔÓ Ó ÙÔÓÓÑ Ò ØÙÐÓÙ S Ø Ò Gº ³ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K = G/C(S) Ò Ø ØÓ ô Ø rkg = rkkº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó Ø Ð Ó Ò Ñ ØÓ ØÛ T Ø Ø C(T) = T Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/T Ò ÒÛ Ø Û ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº Ç ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ø Ü ÒÓÑÓ ÒØ ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø ÑÑ Ò Ö ÑÑ Ø Dynkin к Al-Arv µº Ì Ô Ó ÒÛ Ø Ñ Ð Ø Ó Ó Ò ÙØ Ò Ó ÖÑ Ø ÒÓ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ ÙÑÔ Ó Ø ÔÓÙµ Ð ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ Ó Ñ ÒÓ Ñ Ñ Ñ ÓÑ ÓÔÓ Ô Ö Ñ Ò Ò ÐÐÓÛØ Ô Ø Û ÙÑÑ ØÖ º Ç ÕôÖÓ ÙØÓ Ò Ó ÑÓÒ Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÛÖ Ó Ò Û ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ø ÙØ ÕÖÓÒ º À ÛÑ ØÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/C(S) Ò Ü Ö Ø ÔÐÓ Ó ÔÓ Ò Ø Ø Õ Ø Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô Ò ÐÐÓÛØ Ñ ÓÑ Ô ÙÑ Ø Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler Al-Pe µº Å Ð Ø Ø ØÓ Ñ ÓÑ ÒØ ØÓ Õ Ñ ÑÓÒ µ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler-Einstein Ð Ñ Ñ ØÖ Kähler Ø ÓÔÓ Ó Ø ÒÙ Ø Ricci Ò Ò ÐÓ Ó ØÓÙ Ñ ØÖ Ó Ø ÒÙ Ø Ðº Ã Ð Ó ¾µº À Ö ÙØ Ø Ñ ØÖ Ó Ð Ø ØÓÒ Koszul Kos µº ÜÞ Ò Ñ Û Ø Ó ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ ÖÑ Ø ÒÓ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ ÙÑÔ Ó Ø ÔÓÙ Ò Ó Ñ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ø ÓÔÓ Ñ ØÖ Kähler-Einstein ÓÖÞ Ø Ô Ø Ò ØÙÔ Ñ ØÖ Ò ÑÓÒ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÔÓÙ Ô ÕÓÒØ Ó ÕôÖÓ ÙØÓº ËØ Ñ Ö Ñ Ò Ò ÒÛ Ø ÔÓ Ó Ò ôö Ñ ÔÓÙ Ò Ù Ø Ø Ò Ô ÖÜ Ò ÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ÓÖ Ø ôò ØÛÒ ÒÛ ØôÒ Ñ ØÖ ôò Kähler-Einsteinº ÌÓÒÞÓÙÑ Ø ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ØÙÔ Ñ ØÖ Ò Ñ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ó ÙØÓ Ó ÕôÖÓ Ñ ÒÞÓÒØ Ø Ò Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ Wang-Ziller WZ1 µº Ô Ö Ñ Ò Ø ØÓ Ó ÕôÖÓ Ò Ó SU(nk)/S(U(k) U(k)) (k ÓÖ ) Ñ k 2 n 3º ËØÓ Ö ÖÓ WZ1 ÔÓ Õ Ô Ø Ñ ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò G/T Ò Ñ ØÙÔ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Einstein Ò Ñ ÒÓ Ò G Ò ÔÓ Ô Ø ÓÑ Lie A l, D l, E 6, E 7 E 8 Ó Ò Ñ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó ÖÞ Ø G ÕÓÙÒ ØÓ Ó Ñ Óº ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ÔÖÓ ÓÖ ÑÓ Ò ÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ñ Ð Ø ÔÖôØ ÓÖ Ô ØÓÒ Alekseevsky Ale2 µ Ó ÓÔÓÓ ÔÖÓ Ô Ò ÔÓ ô ØÓÒ Ø ÒÙ Ø Ricci Ñ Ö Ñ Ò ÖÓÙ Ô Ø ÛÖ Ö ÞôÒ Ø Gº Ï Ø Ó Ö Ø Ö ÔÓ ÕØ Ø

21 (γ) Ò Ô ØÛÒ Ü Ø Þ Ñ ÒÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ xxi ÙØ Ö Ø Ò ÐÐ Ô º À ÓÖ ÛÑ Ò ÓÕ Ô ÖÓÙ Ø Ö Ø ÕÖ Ò Ö Ø Ö Ô ØÓÒ Ö Ò ØÓ ôö Ó ØÓ Ö ÖÓ Arv3 ÔÓÙ ØÙÔô Ò Ó Ò ÐÙØ Ö Ò ÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ ÔÛ Ô Ö Ñ ØÓÙ ÕôÖÓÙ SU(l)/U(l 1 ) U(l 2 ) U(l 3 ) (l = l 1 + l 2 + l 3 ) SO(4m)/U(m) U(m) ÒØ ØÓ Õ º Ï ØôÖ Ô Ó Ò Ø Ü Ò Ñ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ó Ð Ø ØÓÒ Kimura Kim µ Ó ÓÔÓÓ ÖÑ ÞÓÒØ Ø Ñ Ó Ó Ñ Ø ÓÐôÒ Ø Ü Ò Ñ ÙØ Ø Ñ ØÖ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ð m = T o M = m 1 m 2 m 3 º ³ Ò Ø ÖÓ ÓÒ Õ Ø Ñ Ø Ò ØÛÒ Böhm-Wang-Ziller Ò ØÓ Ü º  ۹ ÖôÒØ Ø Ò ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò F n = SU(n)/T n Ô ØÓ Ö ÖÓ Arv3 ÒÛÖÞÓÙÑ Ø n 4 Ô Õ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ n!/2 + n + 1 Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Ô Ø ÓÔÓ Ó n!/2 Ò Kähler-Einstein Ñ Ò ØÙÔ Ñ ØÖ º Ç Sakane Sak µ Ô ¹ Ü Ø Ó ÕôÖÓ F 2m m 2µ Ô Õ Ø Ñ Ò Ó Ó Ò Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einsteinº ÈÖ Ø Ó Dos Santos-Negreiros D-N µ Ô Ü Ò Ø ØÓÒ F n ÙÔ ÖÕ Ñ ØÖØ Ð Ô Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein n = 2m n = 2m+1 m 6º Ï Ø Ó Ñ ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÙØ Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ò Ò ÒÛ Ø Ò ÒÛÖÞÓÙÑ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓº Ô Ö Ø ÖÛ ÕÖ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ÙØ Ø ØÖ ÓÖ Ø Ð Ñ ØÖ ôò Einstein ØÓÒ F n Ñ E 1, E 2 E 3 ÒØ ØÓ Õ º Ì ÐÓ ÜÞ Ò Ñ Û Ø Ó Êô Ó Ñ Ñ Ø Graev ÙÒ Ù ÞÓÒØ ÒÒÓ Ô Ø Ò Ð Ö ÛÑ ØÖ Ø ÛÖ ØÛÒ Ð ÖôÒ Lie Newton polytopes contracted Lie algebrasµ ÔÖÓ Ö ØÓÒ Ö Ñ E C (M) ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ôò G¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÙÑÔ Ñ Ó µ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙ M = G/K ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø Ñ Ò ô Ñ Ñ Ó Ò Ñ ÙÔÓÔÖ ØÙÔ º Ò Ñ Ø Ó¹ Ö ÛÖ Ñ Ø ÔÓÙ Ô Ü Ô Ð Ù ÒÛ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Õ Ø Ñ ØÓÒ Ö Ñ E C (M) Ø Ò M Ò Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº Ô Ö Ñ Ô Ü Ø Ó ÕôÖÓ SU(3)/T E 6 /T 2 SO(8) Ô ÕÓÒØ ÔÖ Ñ Ø µ ÓÑÓ Ò Ñ ØÖ Einstein к Kim Arv3 µº Ô ÔÖÓ Ö ØÓÒ Ö Ñ E C (M) ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ØÛÒ ÓÔÓ¹ ÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø Ó٠к Ô Ö ØÛµº ËØ Ò Ô ÖÓ ØÖ Ü Ø ÞÓÙÑ ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ö Ø Ü Ò Ñ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ÙÑÔ ÔÐ ÓÑ Lie Gµ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø ¾ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ð m = m 1 m 2 m = m 1 m 2 m 3 m 4 º ÖÕ Ø Ü ÒÓÑÓ Ñ ÙØ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø t¹öþ º ÌÓ ÒÓÐÓ ÙØôÒ ØÛÒ ÙÒ ÖØ Ó ôò ÔÓØ Ð Ò ÔÓÙ Ó ÓÑ Ð Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº ËØ ÙÒ Õ Ø Ù ¹

22 xxii Û ÞÓÙÑ Ø Ò Ü Û Einstein Ñ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann ÔÖÓ ÓÖÞÓÙÑ Ø ÔÖ Ñ Ø Ø Ð ÙØ º ØÓÙ Ô Ö Ø ÖÓÙ ÕôÖÓÙ Ô ØÙÕ ÒÓÙÑ Ø Ò ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Òô Ô ÖÔØÛ Ô Ö ØÓÙÑ Ø Ò Ò ÐÙØ Ö ÙØôÒº ÌÓÒÞÓÙÑ Ø Ø Ò Ø Ù Ø Ü Û Einstein ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ø Ö ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ô ÖÒÓÙÑ Ö Ñ ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ø Ó Ô Ø Ñ ØÖ Kähler-Einstein Ó Ô Ø Ò Ñ ØÓÔÓ ÔÓÙ Õ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ô Ò ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙ ÙÑÔ Ó Ø ÔÓÙ twistor fibrationµº À Ñ Ó¹ Ó ÙØ Ô ÖÓÙ Þ Ø ÔÖôØ ÓÖ ÑÔÓÖ Ò ÖÑÓ Ø Ò ÓÖ Ñ Ø Ò Ø Ù Ø Ü Û Einsteinµ ÐÐ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº È Ö ØÛ ØÓÙ ÈÒ ÙÒÓÝÞÓÙÑ Ð Ø ÒÛ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ Ñ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôòµ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÐ Ö Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò ÔÓÙ ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ÔÐ ÙÑÔ ÓÑ Lieº ËÙÑÔ Ö Ð Ñ ÒÓÙÑ Ø Ñ ÒÓ Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø ÓÔÓ ÙÔÓ Ò ÓÙÑ Ñ Ø Ð Ü new º ËØ Ø Ö Ø Ð ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ ÓØÖÓÔ ôò ÔÖÓ Ø ÛÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ¹ Ô Ø ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ø M = G/Kº À Ø Ð K E Ò Ö Ø ØÓÒ Ö Ñ ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ ØÖ ôò Kähler-Eistein Ø Ò M Û ÔÖÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Óµº À Ø Ð ÙØ Ô Ö Ð Ô Ø Ø ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº Ò M Ò Ñ ØÙÔ ÓÑÓ Ò ÔÓй Ð ÔÐ Ø Ø Einstein Ñ ÛÒ Ñ ØÓ Ö ÖÓ WZ1 µ ØÓ Ñ ôòóùñ Ø Ò Ø Ð ÌÙÔ º ËØ Ò Ø Ð ÙØ Ø Ð Ñ E(M) ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ ÐÛÒ ØÛÒ G¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ ÔÖ ¹ Ñ Ø ôòµ Ñ ØÖ ôò Einstein Ø Ò Mº ³ÇØ Ò Ö ÓÙÑ = m ÒÒÓÓ Ñ Ø M Ô Õ Ø Ö ô m G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Òô Ø Ò Ö ÓÙÑ m ÒÒÓ Ñ Ø M Ô Õ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ m G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein Û ÔÖÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Óµº ÈÒ º ÌÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº M = G/T m = s i=1 m i ÌÙÔ E(M) SU(3)/T s = 3 = 4 Arv3 Sak SU(n)/T (n 4) s = n(n 1)/2 n!/ E 1 Arv3 SU(2m)/T (m 2) s = m(2m 1) (2m)!/ E 1 + E 2 Sak SU(2m)/T (m 6) s = m(2m 1) (2m)!/ E 1 + E 2 + E 3 D-N SU(2m + 1)/T (m 6) s = m(2m + 1) (2m + 1)!/ E 1 + E 2 + E 3 SO(5)/T s = 4 ¹ 6 Sak SO(2n + 1)/T (n 12) s = n 2 ¹ 2 Sp(n)/T (n 8) s = n 2 ¹ 2 SO(2n)/T (n 8) s = n(n 1) 2

23 (γ) Ò Ô ØÛÒ Ü Ø Þ Ñ ÒÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ xxiii ÈÒ º ÌÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôòº M = G/K m = s i=1 m i K E ÌÙÔ E(M) SO(2l + 1)/U(l m) SO(2m + 1) (l m 1) s = 2 ½ ¹ = 2 new Sp(l)/U(l m) Sp(m) (m 0) s = 2 ½ ¹ = 2 new SO(2l)/U(l m) SO(2m) (l m 1, m 0) s = 2 ½ ¹ = 2 new G 2 /U(2) ( U(2) Ò Ô Ö Ø Ø Ô Ø Ò ÓÒØ ÖÞ ) s = 2 ½ ¹ = 2 new F 4 /SO(7) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new F 4 /Sp(3) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 6 /SU(6) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 6 /SU(2) SU(5) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 7 /SU(7) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 7 /SU(2) SO(10) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 7 /SO(12) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 8 /E 7 U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new E 8 /SO(14) U(1) s = 2 ½ ¹ = 2 new SU(l 1 + l 2 + l 3 )/S(U(l 1 ) U(l 2 ) U(l 3 )) s = 3 ¹ = 4 Kim Arv3 SU(3l)/S(U(l) U(l) U(l)) s = 3 = 4 Kim Arv3 SO(2l)/U(1) U(l 1) (l 4) s = 3 ¹ = 4 Kim G 2 /U(2) ( U(2) Ò Ô Ö Ø Ø Ô Ø Ò Ý Ð ÖÞ ) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim Arv3 F 4 /U(2) SU(3) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim E 6 /U(1) U(1) SO(8) s = 3 = 4 Kim E 6 /U(2) SU(3) SU(3) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim E 7 /U(3) SU(5) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim E 7 /U(2) SU(6) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim E 8 /U(2) E 6 s = 3 ½ ¹ = 3 Kim E 8 /U(8) s = 3 ½ ¹ = 3 Kim (1) F 4 /SU(3) SU(2) U(1) s = 4 ½ ¹ = 3 new (2) E 7 /SU(4) SU(3) SU(2) U(1) s = 4 ½ ¹ = 3 new (3) E 8 /SU(7) SU(2) U(1) s = 4 ½ ¹ = 3 new (4) E 8 /SO(10) SU(3) U(1) s = 4 ½ ¹ = 5 new (5) E 6 /SU(5) U(1) U(1) s = 4 ¹ = 8 new (6) E 7 /SO(10) U(1) U(1) s = 4 ¹ = 8 new (7) SO(2l + 1)/U(1) U(1) SO(2l 3) (l 2) s = 4 ¹ = 8 (l 3) new (8) SO(2l)/U(1) U(1) SO(2l 4) (l 3) s = 4 ¹ = 8 new (9) SO(2l)/U(p) U(l p) (l 4, 2 p l 2) s = 4 ¹ 6 new (10) Sp(l)/U(p) U(l p) (l 2, 1 p l 1) s = 4 ¹ 4 new (11) SO(4p)/U(p) U(p) s = 4 ¹ 6, (p 2) new (12) Sp(2p)/U(p) U(p) s = 4 ¹ = 6, (p 1) new ³ÇÔÛ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ ØÓÒ ÈÒ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Õ Ø Ó Ñ ØÖ Einstein Ñ Ô Ø ÓÔÓ Ò Kähler- Einsteinº ÌÓ Ó ÔÓØ Ð Ñ Û ÔÖÓ ØÓ ÔÐ Ó Ñ ÒÓµ Ô Ö Õ Ø Ø Ò ÔÖ Ø Ø Ü Ò Ñ

24 xxiv Û ØÛÒ Dickinson-Kerr Di-Ke µ ÔÓÙ Û Ø Ó Ò Ô Ö Ö ÓÒØ Ò ÐÙØ Ó Ñ ØÖ ÙØ º ËØÓ Ã Ð Ó ÙÑÔÐ ÖôÒÓÙÑ ÙØ ØÓ Ò Ðº  ÛÖ Ñ º µ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ò ÐÙØ Ø Ó Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÔÓÙ Õ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ m = m 1 m 2 º ÈÖ Ò Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ôô ÓÖ ÒôÒ Ø Ô ÖÓ ØÖ Ñ ôòóùñ Ø Ô ØÓ Ö ÖÓ Grv ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò SO(N)/U(1) U(1) SO(N 4) (N = 2n, N = 2n+1) SO(4n)/U(n) U(n) Sp(2n)/U(n) U(n) Ò Ø ØÓ ô Ø E C (M) = 10º Ò M Ò Ñ Ô Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò SO(2p + 2q)/U(p) U(q) (p > q 2) Sp(p+q)/U(p) U(q) (p > q 1) E 6 /T 2 SU(5) E 7 /T 2 SO(10) Ø Ø Õ E C (M) = 12 Grv к ½¼ µº Ï Ø Ó ÔÛ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ ØÓÒ ÈÒ ÔÛ ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ Ã Ð Ó µ Ó Ö Ñ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôò Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ò Ñ Ö Ø ÖÓº (δ) È Ö Ð ÔØ Ô ÖÓÙ Ø ØÖ ÌÓ Ã Ð Ó ½ ÔÓØ Ð Ñ Û Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Riemann Ô Ö Õ ÒÒÓ ÔÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø ØÖ º ËÙ Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ö ÝÓÙÑ ÙÒÓÔØ ÒÒÓ ÔÛ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ò Û Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G¹ Ò ÐÐÛØ Ñ ØÖ Riemann º º ØÙÔôÒÓÙÑ Ø Ö Ø Ñ¹ ÔÙÐ Ø Ø Ricci Ø ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ò Û Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓÙ ØÛÒ ÓÔÓ¹ ÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÔÐ Ó Ô Ñ Ó Ò ÑÓÙ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÔÖÓ Ø ÓÙº ËØ ÙÒ Õ Ñ Ð Ø Ñ ØÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙ Ô Ö ¹ Ö ÓÙÑ ÔÓ ØÓ Õ Ô Ø ÛÑ ØÖ ØÓÙº Ò ÙÒØÓÑ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ò Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÕôÖÛÒ ÙØôÒ Ø Ò ÓÔÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓ Ã Ð Ó º ËØÓ Ã Ð Ó ¾ Ò Ø Ñ Ò ÐÙØ Ò ÔØÙÜ Ø ÛÖ ØÛÒ Ò ÙÑ ÒÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓ¹ Ø ØÛÒ Ñ ôòº ÖÕ Ñ Ð Ø Ñ Ø ÙÞÙ ØÖÓÕ Ñ ÔÐôÒ ÙÑÔ ôò ÓÑ ÛÒ Lie Ô Ö ¹ Ö ÓÒØ Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ø ÙØôÒº ³ Ô Ø Ô ÖÒ Ñ Ø ÙÑÔ ÔÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Kähler Ó ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ø ØÓ Ó ÕôÖÓ Ò Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ô Ö ØÓÙÑ Ø Ô Ó Ñ ÒØ Õ Ö Ø Ö Ø ØÛÒ ÖÑ Ø ÒôÒ Ùѹ Ñ ØÖ ôò ÕôÖÛÒº ËØ ÙÒ Õ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ò Ð Ö Ô Ö Ö Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ñ ÖÓÙ Ô Ø ÛÖ Lie Ñ Ð Ø Ñ Ø t¹öþ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÙÒ ÓÒØ Ñ Ø Ò ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ø Mº À ÒÒÓ ØÛÒ t¹ö ÞôÒ Ö ¹ Ñ ØÞ Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ò Ø Ü Ò Ñ ÔÓÙ ÓÐÓÙ ØÓ Ã Ð Ó Ø Ò Ø Ñ Ø Ò Ò ÓÖ Ø ÖÑÓ ØÓÙ Òô ÔÓ Ò ÓÙÑ ÕÖ Ñ ÙÑÔ Ö Ñ Ø Ø ÓÔÓ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ø Ð Ó Ö Ðº Ô Ö Ñ ÈÖ Ø ¾º½¾µº Ñ Û Ô Ö ØÛ Ô Ö ¹ Ö ÓÙÑ Ø Ô Ö ÓÐ ÙÔÓ Ð Ö Ø Ò ØÓÙ Ñ Ø Ñ ØÛÒ Ñ ôò Ñ ÔÐôÒ Ð ÖôÒ Lieº Ç Ô Ö ÓÐ ÙÔÓ Ð Ö ÑÔÐ ÓÒØ Ø ÛÖ Ø M = G/K

25 (δ) È Ö Ð ÔØ Ô ÖÓÙ Ø ØÖ xxv Ó M ÑÔÓÖ Ò Ö Ø Ô Û G C /P ÔÓÙ G C Ò Ñ ÓÔÓ Ø G P Ñ Ô Ö ÓÐ ÙÔÓ Ð Ö ÙØ º Ô Ø Ò ÐÐ Ó Ñ ØÛÒ Ñ ôò Ð ÖôÒ Lie Ñ Ô ØÖ ÔÓÙÒ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ñ ½¹½ ÒØ ØÓ Õ ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ Ò Ñ ÑÑ Ò ¹ Ö ÑÑ Ø Dynkin Ù Ö Ñ ÒÓÙ Ø ÔÓÙ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò Ñ m = m 1 m 2 к Ã Ð Ó ÈÖ Ø º¾ È Ö Ø Ö º¾µº À Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò Ñ Û ØÛÒ ÑÑ ÒÛÒ Ö ÑÑ ØÛÒ Dynkin Ò ØÓ ÒØ Ñ ÒÓ Ñ Ð Ø Ø Ô Ñ Ò Ô Ö Ö ÓÙº ËØ Ò Ø Ð ÙØ Ô Ö Ö Ó Ñ Ð Ø Ñ Ø ÛÑ ØÖ Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/Kº Ó Ô Ö Ö ÝÓÙÑ Ø Ò ÐÐÓÛØ Ñ ÓÑ Ø Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Kähler ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ø Ü ÒÓÑ ÓÙÑ Ñ Ð Ø Ñ Ø Ñ ØÖ Kähler-Einstein Ô Ø M Ô Ö ØÓÙÑ Ø ÑÓÖ ØÓÙº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ø M Õ Ø Ñ Ô Ø ÑÓÖ m = m 1 m s ÔÓ Ò ÓÙÑ Ò ÕÖ ÑÓ ôö Ñ Ò ÓÖ Ñ Ø Ò Ö ÙØôÒ ØÛÒ Ñ ØÖ ôò к  ôö Ñ ¾º½ µº ËØÓ Ã Ð Ó ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ Ü Ñ ØÓ Ã Ð Ó ¾ Ø Ü ÒÓÑÓ Ñ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K ÔÓÙ G Ñ ÔÐ ÓÑ Lieµ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ô Ø ¾ ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº À Ø Ü Ò Ñ Þ Ø Ø ¹ Ö Ó Ð Ó Ø Ò ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ü t¹ö ÞôÒ Ñ ôò Ñ Ò ô ÑÛÒ ad(k C )¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ ÙÔÓÔÖÓØ ÔÛÒ Ø m C º ËØ ÙÒ Õ ÙÔÓÐÓ ÞÓÙÑ Ø Ø ØÛÒ ÓØÖÓÔ ôò ÔÖÓ ¹ Ø ÛÒ ÖÑ ÞÓÒØ ÓÖ ÒÛ Ø Ñ ÓÙ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ø Ñ Ò ô ÑÛÒ ÙÔÓÔÖÓØ ÔÛÒ ÔÛ ØÓÒ Ø ÔÓ ØÓÙ Weylº ËØ Ò Ø Ð ÙØ Ô Ö Ö Ó Ô Ö Ö ÓÙÑ Ñ Ö¹ ÑÓ Ø Ù º ËÙ Ö Ñ Ò ÕÒÓÙÑ Ø Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôò Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ Ñ Ó Þ Ñ Ñ ÔÐ ôö Ô Ò Ô Ö Ñ Ø ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ò Ò ÓÖØ Ñ ÒÓÙ ÛÑ Ø ÓÙ ÙÔ Ø Ò Ô Ö ØÓÙ Ð ØÖÓ¹ Ñ Ò Ø Ó Ô ÓÙ ô Ó Û ÑÔ Ð Ò ÔÐ ÖÛ ÔÖÓ ÓÖ Ñ Ò º ËØÓ Ã Ð Ó ÖÑ ÞÓÙÑ Ø Ñ Ó Ó Ñ Ø ÓÐôÒ Ø ÙÒ ÖØ ÑÛØ Ñ¹ ÔÙÐ Ø Ø ÔÖÓ ÓÖÞÓÙÑ Ø Ò Ò ÐÙØ Ö ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº Å Ð Ø ÖÑ ÞÓÒØ ØÓ ÒÛ Ø Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ö ÓÖ Ñ Ò Ò restricted Hessianµ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÑ Ø Ñ ØÖ ÙØ Û ØÓÔ Ð Õ Ø Ñ Ø ÑÛØ ÑÔÙÐ Ø Ø Ô Ö ÓÖ Ñ Ò ØÓ ÕôÖÓ M G 1 º ËØÓ Ã Ð Ó Ø Ü ÒÓÑÓ Ñ Ø Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ñ Ø Ö ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº ÖÓ Ñ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø ÙØ Ó Ø ÔÓÙ Ì ÔÓÙ Á Ì ÔÓÙ ÁÁ Ò ÐÓ Ñ ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ÔÐôÒ Ö ÞôÒ ÔÓÙ ÓÙÑ Ñ Ö ØÓ Ö ÑÑ Dynkin Ø G Ñ Ó ÒØ ØÓ Õ µº Ò ÓÖ Ñ ØÓÒ ÈÒ Ó ÕôÖÓ ½µ¹ µ Ò Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ì ÔÓÙ Á Òô Ó ÙÔ ÐÓ ÔÓ ÕôÖÓ µ¹ ½¾µ Ò Ó ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ì ÔÓÙ ÁÁº Å ÙØ Ò ØÓÒ ÕÛÖ Ñ ÐÓÙÑ ÙÖÛ Ò ØÓÒ ÓÙÑ Ø ÓÖ Ø ÛÑ ØÖ Ø Ø ÔÓÙ ÕÓÙÒ ÙØÓ Ó Ó Ø ÔÓ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Ñ ôòº Ò Ô Ö Ñ M = G/K Ò Ì ÔÓÙ Á Ø Ø ÙØ Õ Ø Ñ ÑÓÒ Ñ ØÖ Kähler-

26 xxvi Û Einstein Òô Ò M = G/K Ò Ì ÔÓÙ ÁÁ Ø Ø Ò Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ØÖ Kähler- Einstein Õ Ô Ö Ø Ø Ð Ñ ÓÑ ØÖ Ñ Ø Ü ØÓÙµº ÈÖôØ Ü Ø ÞÓÙÑ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ì ÔÓÙ Áº Ò Ø Ù ¹ ÓÙÑ Ø Ò Ü Û Einstein Ô Õ ÖÓ Ñ Ò Ò Ñ Ó ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricci Ô ÖÒÓÒØ Ö Ñ ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ô Ø Ò ÒÛ Ø Ñ ØÖ Kähler-Einsteinº ËØ ÙÒ Õ ÔÓ Ò ÓÙÑ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò G/K Ì ÔÓÙ Á ÙÔ ÖÕ Ñ Ò Ñ ØÓÔÓ U/K G/K G/U Ô Ò ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙ G/U Ø ô Ø ØÓ Ò Ñ U/K Ô ÖÔØÛ Ò Ò Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ó ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙº À Ò Ñ ØÓÔÓ ÙØ ÓÔÓ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Ô Ö Ñ Ò Ñ ØÓÔÓ Ù ØÖÓ twistor fibrationµ ÙÒ Ù Ñ Ñ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÙ Ã Ð ÓÙ Ñ Ô ØÖ ÔÓÙÒ Ò ØÙÔô ÓÙÑ Ø Ò Ü Û Einstein Ò Ø Ü ÒÓÑ ÓÙÑ Ð Ø Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ì ÔÓÙ Áº ËØ Ò Ô Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ñ Ð Ø Ñ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò M = G/K Ø ÔÓÙ ÁÁº Ö¹ Õ Ø ØÓ Ó ÕôÖÓ ÔÖÓ ÓÖÞÓÙÑ Ø Ò Ò ÐÙØ Ö Ñ Ñ ØÖ Kähler- Einsteinº À Ñ ØÖ ÙØ Ñ Ó Þ Ñ Ô Ö ÔÐ ÖÓ ÓÖ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricci Ø Ò M Ø Ò Ø ÔÛ Ø Ü Û Einstein Ø Ò Mº ÇÔÛ Ó Ñ ØÓ Ò Ô ÖÓÙÑ Ð Ø Ð Ø Ü Û Einstein Ò Ò ÓÐÓ Õ Ö Ñ º À Ù ÓÐ ÔÖÓ ÔØ Ô ØÓ ÓÒ Ø Ó Ô Ö Ø Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M = G/K Ì ÔÓÙ ÁÁ ÒØ ¹ ØÓ ÕÓ Ò Ð ÓÑ Lie G Ö Ó Ø ÒÙ Ø Ricci Ü ÖØ Ø Ô Ø Ò Ø Ü l Ø Gº ³ Ø Ü Û Einstein Ò Ø Ò Ø Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ôò Ñ Ö ÑÑ ôò ÔÓÐÙÛÒÙÑ ôò Ü ô ÛÒ ÔÐÙ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÕÖ Þ Ø ÙÖ Ò Ô ÖÓÙ Þ Ù ÓÐ º ØÓÙ¹ ÕôÖÓÙ µ¹ µ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ Ø Ò ÔÐ Ö Ø Ü Ò Ñ ØÛÒ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einsteinº Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò µ¹ ½¼µ Ó ÔÖÓ ÓÖ Ñ ÐÛÒ ØÛÒ Ò ÐÐ ÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein Ò Ü Ö Ø ÓÐÓº ËØÓÙ ÕôÖÓÙ ÙØÓ Ô ÔÐ ÓÒ Ù ÓÐ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø Ò Ô ÖÜ Ñ Ô ÔÐ ÓÒ Ô Ö Ñ ØÖÓÙ p Ø Ò Ö ØÓÙ Ø ÒÙ Ø Ricci Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ü Û Einstein Ò Ü ÖØ Ø Ô Ó Ô Ö Ñ ØÖÓÙ l pº À Ö Ò ÔÓÙ ÒÓÙÑ Ñ Ò Þ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ü ÕÛÖ Ø Ø Ò Ô ÖÔØÛ l = 2p ÓÔÓ ÓÖÞ ØÓÙ ÕôÖÓÙ SO(4p)/U(p) U(p) Sp(2p)/U(p) U(p) ÒØ ØÓ Õ º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ö ÓÙÑ Ð Ø Ñ ØÖ Einsteinº Ø Ò Ò Ô ÖÔØÛ l 2p Ø Ü ÒÓÑÓ Ñ Ø Ñ ØÖ Einstein Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò SO(2l)/U(p) U(l p) Ñ (2 p l 2)º ËØ Ò Ø Ð ÙØ Ô Ö Ö Ó Ñ Ð Ø Ñ ØÓ ÓÑ ØÖ ÔÖ Ð Ñ ØÛÒ Ò ÛÒ Ñ ØÖ ôò Einstein ÔÓÙ Ö Ñ º ËØÓ Ø ÐÓ Ø ØÖ ÕÓÙÑ ÙÑÔ Ö Ð Ó Ô Ö ÖØ Ñ Ø º ËØÓ ÔÖôØÓ Ô Ö Ö ÓÙÑ ÙÒÓÔØ ÒÒÓ Ô Ø ÛÑ ØÖ Riemannº ËØÓ Ø ÖÓ Ô Ö ÖØ Ñ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÓÖ ÒÒÓ Ô Ø ÓÑ ÛÖ ØÛÒ Ñ ôò Ñ ÔÐôÒ Ð ÖôÒ Lie Ô Ö ØÓÙÑ Ø Ù Ø Ñ Ø Ö ÞôÒ ØÛÒ ÔÐôÒ Ð ÖôÒ Lie Ø ÓÔÓ ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ Ø Ã Ð ¾ º

27 Ã Ð Ó ½ ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann ËØÓ Ð Ó ÙØ ÙÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ ØÓ Ò Ó ÙÔ ÖÓ Ô Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÔÓÐÐ ÔÐÓØ ØÛÒ Riemann к Arv1 Bes Ga-Hu-La Ch-Eb Ko-No2 Lee ON µº Ë ÓÔ Ñ Ò Ò Ô Ö Ö ÝÓÙÑ ÔÖÓ Ø Ö Ø ÒÒÓ Ô Ö Ø Ø Ø ¹ ØÖ Ù ÓÐ ÒÓÒØ Ø Ø Ò Ø Ò ØÛÒ ÙÑÔ Ö Ñ ØÛÒ ÔÓÙ ÑÔ Ö ÕÓÒØ Ø Ô Ñ Ò Ð º ÖÕ Ñ Ð Ø Ñ Ø ÓÑ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ Ô ÖÓÙ ÞÓÙÑ ÔÓ Ô Ö Ñ Ø º ËØ Ø Ö Ô Ö Ö Ó Ô Ö Ö ÓÙÑ ØÓ Õ Ô Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ Ò ¹ Û ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ÒÓÙÑ Ø Ö ØÛÒ ÓÖÛÒ Ø ÒÙ ØôÒ ÑÔÙÐ Ø Ø º ËØ Ò ØÖØ Ô Ö Ö Ó Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÔÓÙ Ð ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ØÓÙ ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓÙº ³ÇÔÛ Ó Ñ ØÓ Ã Ð Ó Ó ÙÑÑ ØÖ Ó ÕôÖÓ Ñ Ô Ö ÕÓÙÒ ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ó ÓÔÓ Ò Ñ ÒØ Ø Ø ÔÛ Ø Ü Û Einstein ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ø Ö ÓØÖÓÔ Ó ÔÖÓ Ø ÓÙ ØÓ Ð Ó ÙØ Ô Ö ØÓÙÑ Ø Ô Ó Ö Õ Ö ¹ Ø Ö Ø ÙØôÒº ½º½ ÇÑÓ Ò ÕôÖÓ ³ ØÛ G Ñ ÓÑ Lie K Ñ Ð Ø ÙÔÓÓÑ Ø Gº ÌÓ ÒÓÐÓ {ak : a G} ÐÛÒ ØÛÒ Ö Ø ÖôÒ ÙÑÔÐ ÛÒ Ø K Ø Ò G ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ G/K Ó Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò ØÓÔÓÐÓ Ô Ð Ó ÔÓÙ ÓÖÞ ÒÓÒ ÔÖÓ ÓÐ π : G G/K α ak Ð Ø ÕôÖÓ Ô Ð Óº Ç ÕôÖÓ Ô Ð Ó G/K Õ Ø Ñ ÑÓÒ ÓÖ ÓÑ Ø ô Ø ÒÓÒ ÔÖÓ ÓÐ π Ò Ò Ñ ÙÔ Ñ ÔØ submersionµ Ð ØÓ ÓÖ dπ a Ò Ò Ô a G Ko-No1 µº À Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø G/K ÔÓÙ Ø Ù Þ Ø Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ÙØ Ð Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ô Ð Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Õ dim G/K = dim G dim Kº Å Ð Ø Ô Ò G G/K (a, bk) abk G/K ÓÖÞ Ñ Ð Ñ Ø Ø Ö Ø G ØÓÒ G/K Ð x, y G/K ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó g G Ø ØÓ Ó ô Ø gx = yº Ò K Ò Ñ ÒÓÒ ÙÔÓÓÑ Ø G Ø Ø G/K Ò Ø Ñ ÓÑ Lie Û ÔÖÓ ØÓÒ

28 ¾ ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ a 1 K a 2 K = (a 1 a 2 )Kº ÒØ ØÖÓ ØÛ Ø Ô Ò φ : G M M Ñ Ø ÔÓ φ(g, p) = gp Ò Ñ Ð Ñ Ø Ø Ö Ñ ÓÑ Lie G Ñ Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Mº Ì Ø ØÖÓÕ G p = {g p : g G} Ò Ñ ÓÙ p M Ò Ñ ÓÖ Ñ Ø Ò Mº ³ ØÛ G p = {g G : gp = p} ÓÑ ÓØÖÓÔ ØÓÙ Ñ ÓÙ p Mº À G p Ò Ñ Ð Ø ÙÔÓÓÑ Ø G ÙÒ Ôô Ñ ÙÔÓÓÑ Lie Ø Gº ³ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó ÓÙÑ ØÓ Ô Ð Ó G/G p Ñ Ñ ÓÖ ÓÑ g G Ô Ò G/G p gg p gp M Ò Ñ Ó Ò ÐÐÓÛØ equivariantµ Ñ Ö Lee µº ³ Ö M = G/K ÔÓÙ K = G p º Å Ò ØÖÓ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ ØÓÒ Ü ÓÖ Ñ ÇÖ Ñ ½º½º ³ Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ò Ñ Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø M Ø Ò ÓÔÓ Ö Ñ Ø Ø ¹ Ñ ÓÑ Lie Gº Á Ó Ò Ñ M Ò Ñ Ð ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ø ÑÓÖ G/K ÔÓÙ G Ò Ñ ÓÑ Lie K Ñ Ð Ø ÙÔÓÓÑ Ø Gº ³ ØÛ Φ : G Diff(M) Ó ÓÑÓÑÓÖ Ñ ÔÓÙ Ø ÐÒ g G Ø Ò Ñ Ö φ g : M M Ñ Ø Ñ φ g (p) = φ(g, p) = gp p Mº Ä Ñ Ø Ö Ø G Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø effectiveµ Ò KerΦ = {e} Ð Φ Ò ½¹½º Ò Ó Ñ ÓÑ Lie G Ñ ÙÑÔ Ó ÙÔÓÓÑ K Ò Ò Ô Ö Ø ØÓ G Ò Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÒ G/K Bes µº Ï Ø Ó Ó ÔÙÖ Ò KerΦ ÑÔÓÖ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Û Ñ Ð Ø Ö ÒÓÒ ÙÔÓÓÑ Ø G ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ò K Ö ØÓ Ô Ð Ó G = G/KerΦ Ò Ñ ÓÑ Lie ÔÓÙ Ö Ô ÒØ ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÒ G/Kº À ÓÑ ÓØÖÓÔ Ò K = K/KerΦ Ø ÕÓÙÑ Ø Ò Ñ Ö G/K = G /K º ËØ ÙÒ Õ Ð ÓÒØ Ø G Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÒ G/K ÒÒÓÓ Ñ Ø K Ò Ô Ö Õ Ñ ¹Ø ØÖ ÑÑ Ò ÒÓÒ ÙÔÓÓÑ Ø Gº È Ö Ñ ½º½º ³ ØÛ G Ñ ÓÑ Lieº Ì Ø G = G/{e} = G G/Gº Ø Ò ÔÖôØ Ö ÛÖÓ Ñ Ø G Ö ØÓÒ ÙØ Ø Ñ Û ØÛÒ Ö Ø ÖôÒ Ñ Ø ÓÖôÒ L a : G G L a (h) = ahº ÌÓ Ø ÖÓ Ô Ð Ó ÔÖÓ ÖÕ Ø Ô Ø Ö ØÓÙ ÖØ ÒÓ ÒÓÑ ÒÓÙ G G Ø Ò G Ñ Û ØÛÒ Ö Ø ÖôÒ Ü ôò Ñ Ø ÓÖôÒº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ÓÑ ÓØÖÓÔ Ò G Ñ ÙØ Ø ØÓ G G ôò º È Ö Ñ ½º¾º ³ ØÛ S n = {v R n+1 : v, v = 1} ÑÓÒ Ö ØÓÒ R n+1 ÔÓÙ Ñ, ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ Ù Ð Ó ÛØ Ö Ò Ñ ÒÓ ØÓÒ R n+1 º À ÓÖ Ó ôò ÓÑ SO(n + 1) Ö Ø Ò S n Ñ Û ØÓÙ ÔÓÐÐ ÔÐ ÑÓ Ô Ò ÛÒ A v ÔÓÙ ÛÖÓ Ñ ØÓ ÒÙ Ñ v S n Û ÔÒ Ø Ð º À Ö ÙØ Ò Ñ Ø Ø Ø Ò x, y S n {x, a 1,..., a n } {y, b 1,..., b n } Ò Ó ÓÖ Ó ÒÓÒ ØÓÒ R n+1 ÔÓÙ Ô ÓÙÒ ØÓÒ Ó ÔÖÓ Ò ØÓÐ Ñ Ó ÔÒ Ñ Ø Ô Ø Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ò SO(n + 1)º À ÓÑ ÓØÖÓÔ ØÓÙ ÑÓÒ ÓÙ Ò Ñ ØÓ e 1 = (1, 0,..., 0) S n ÔÓØ Ð Ø Ô ØÓÙ ÔÒ A SO(n + 1) Ø ô Ø Ae 1 = e 1 º ÓÐ ÔÖÓ ÔØ Ø Ó ÔÒ A Ò Ø

29 ½º½ ÇÑÓ Ò ÕôÖÓ ( ) 1 0 ÑÓÖ A =, ÔÓÙ B SO(n) Ø ÓÑ ÓØÖÓÔ Ø ÙØÞ Ø Ñ Ø Ò 0 B SO(n)º ËÙÒ Ôô S n = SO(n + 1)/SO(n)º Ë Ñ ôòóùñ Ø Ò Ò Ð ÓÙÑ ÙÔ Ý Ñ ØÓÒ ÔÖÓ Ò ØÓÐ Ñ ØÛÒ ÛÒ ØÓÒ R n+1 Ø Ø Ø Ø SO(n + 1) Ô ÖÒ ÓÖ Ó ôò ÓÑ O(n + 1) Ø Ð ÓÙÑ Ø Ò Ö S n = O(n + 1)/O(n)º ÌÓ Ñ Ò ÐÓ Ó ØÓÙ Ô Ö Ñ ØÓ ÔÓÙ Ñ Ð Ô Ö Ö Ý Ñ ÔÓØ Ð S 2n+1 = SU(n+1)/SU(n) Òô ØÓ ÕôÖÓ ØÛÒ ÙÔ ÖÑ ôò Ø ÖÒÛÒ quaternionsµ ÔÓ Ò Ø Ø S 4n+3 = Sp(n + 1)/Sp(n)º È Ö Ñ ½º º Å ÔÐ Ö µ Ñ full flagµ ØÓÒ C n Ò Ñ ÜÓÙ ÓÐÓÙ f = {V 1 V 2... V n 1 V n = C n } Ô Ñ Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ÙÔ ÕÛÖÓÙ V i ØÓÙ C n Ø ô Ø dim V i = i 0º ³ ØÛ F n (C) ØÓ ÒÓÐÓ ÐÛÒ ØÛÒ Ñ ôò ØÓÒ C n º À Ò Ö ÑÑ ÓÑ GL n (C) ÒØ ØÓ Õ SL n (C)µ Ö ØÓ F n (C) Û Ü g f = {gv 1 gv 2... gv n }º ³ ØÛ {e 1, e 2,...,e n } ÙÒ ØÓÙ C n ØÛ V 0 i = span{e 1, e 2,...,e i } Ó Ñ Ó ÙÔ ÕÛÖÓ ÔÓÙ Ô Ö ÓÒØ Ô Ø i ÔÖôØ Ò Ñ Ø º À Ñ f 0 = { V 0 1 V V 0 n } = {C C 2... C n } Ð Ø ÙÒ Ñ ØÓÙ C n º À Ô Ö Ô ÒÛ Ö Ò Ñ Ø Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ò n n ÔÒ g GL n (C) Ø ØÓ Ó ô Ø g(v 0 i ) = V i i = 1,...,n Ð g f 0 = fº À ÓÑ ÓØÖÓÔ B Ø f 0 F n (C) ÔÓØ Ð Ø Ô ØÓÙ ÒØ ØÖ Ý ÑÓÙ ÒÛ ØÖ ÛÒ Ó n n ÔÒ º ÙØ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò Ñ Ö F n (C) = GL n C/Bº Ò Ð ÓÙÑ ÙÔ Ý Ñ ØÓÒ ÔÖÓ Ò ØÓÐ Ñ ØÛÒ ÛÒ Ø Ø ÔÖ Ô Ò ÛÖ ÓÙÑ Ø Ö Ø SL n (C) ØÓ ÒÓÐÓ F n (C)º ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ÓÑ ÓØÖÓÔ B Ø f 0 Ò ÙÔÓÓÑ ÔÓÙ ÔÓØ Ð Ø Ô ØÓÙ n n ÒÛ ØÖ ÛÒ Ó Ô Ò A Ñ det(a) = 1º ÌÓÒÞÓÙÑ Ø Ô Ö ÔØô B Ò Ñ Ñ Ø Ô Ð Ñ ÙÒ Ø ÙÔÓÓÑ Lie Ø ÒØ ØÓ Õ ÓÑ Lieº Å ÐÐ Ó Ò Ñ Ö ØÓÙ F n (C) Ò Ü Ô Ð ÓÙÑ Ò ÔÒ g Ø ô Ø ÙÐÐÓ {ge 1,...,ge n } Ò Ò Ñ ØÓÙ C n Û ÔÖÓ ØÓ Ð ÖÑ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ u, v = i u i v i u = i u ie i, v = i v ie i C n µº U(n)º Ì Ø gu, gv = u, v Ö g ÔÓ Ò Ø Ø U(n) Ö Ñ Ø Ø ØÓ F n (C) Òô ÓÑ ÓØÖÓÔ Ø f 0 F n (C) ÔÓØ Ð Ø Ô ØÓÙ ôò ÓÙ ÔÒ Ø Ò U(n) Ò ÑÓÖ Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ T = U(1) U(1) n ÓÖ µ Ð Ò Ò Ñ ØÓ Ø Ð Ó Ø U(n)º ËÙÒ Ôô F n (C) = U(n)/T n º Ò Ð ÓÙÑ ÙÔ Ý Ñ ØÓÒ ÔÖÓ Ò ØÓÐ Ñ ØÛÒ ÛÒ Ø Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø Ò Ö F n (C) = SU(n)/T ÔÓÙ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ Ó T Ò Ò Ñ ØÓ Ø Ð Ó Ø SU(n)º À ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø F n (C) ÓÒÓÑ Þ Ø ÔÐ Ö ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò full flag manifoldµº Ò Ñ Ø ØÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ò Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ø ÑÓÖ G C /B ÔÓÙ G C Ò Ñ Ñ ÙÒ Ø Ñ ÔÐ ÓÑ Lie B Ò Ñ Ñ Ø Ô Ð Ñ ÙÒ Ø ÙÔÓÓÑ Ø G C Ð Ñ ÙÔÓÓÑ Borelµº ³ÇÔÛ Ñ Ñ Ò ÐÐ Ø ÑÓÖ ÙØôÒ ØÛÒ ÕôÖÛÒ Ò G/T ÔÓÙ G Ò Ñ ÙÑÔ ÔÖ Ñ Ø ÑÓÖ Ø G C T = G B Ò Ò

30 ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ñ ØÓ Ø Ð Ó Ø Gº È Ö Ñ ½º º Ó Ñ ØôÖ Ø Ò Ù ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ñ ØÓº ³ ØÛ n 1,...,n s Ñ ÜÓÙ ÓÐÓÙ Ô Ø Ó Ö ÓÙ Ø ô Ø n n s = n ÔÓÙ n = dimc n º ³ ØÛ F n1,...,n s (C) ØÓ ÒÓÐÓ ÐÛÒ ØÛÒ Ô Ñ ÖÓÙ Ñ ôò partial flagsµ f = {V 1 V s } ØÓÒ C n ÔÓÙ dim V j = n n j j = 1,...,sº È Ö ÑÓ Ñ ØÓ ÔÖÓ Ó ¹ Ñ ÒÓ Ô Ö Ñ GL n (C) ÒØ ØÓ Õ SL n (C)µ Ö ØÓ ÒÓÐÓ F n1,...,n s (C) Ñ Ø Ø º Ò ÓÙÑ d j = n n j = dim V j Ø Ø ÙÒ Ô Ñ ÖÓÙ Ñ Ò f 0 = { span{e1,...,e d1 } span{e 1,...,e d2 }... span{e 1,...,e ds } } º À ÓÑ ÓØÖÓÔ P Ø f 0 ÔÓØ Ð Ø Ô ÔÒ Ø ÑÓÖ P 1 P 2 º ºº, 0 P s ÔÓÙ Ó ÔÒ P i Ò Ø ØÓ Ó ô Ø P i GL di d i 1 (C) i = 1,...,s ØÓÙÑ d 0 = 0µº ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø Ò Ø Ø ØÓÙ F n1,...,n s (C) Ñ ØÓÒ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ GL n (C)/P Ð F n1,...,n s (C) = GL n (C)/P º Ë Ñ ôòóùñ Ø P Ô Ö Õ Ø Ò ÙÔÓÓÑ B ÐÛÒ ØÛÒ ÒØ ØÖ Ý ÑÛÒ ÒÛ ØÖ ÛÒ ôò n n Ô Ò ÛÒº ÓÐÓÙ ôòø ØÓ È Ö Ñ ½º ÔÓ Ò Ø Ø Ó ÓÑ Lie U(n) SU(n) ÖÓÙÒ Ô Ñ Ø Ø ØÓ F n1,...,n s (C)º ÙØ Ô Ö Ñ ÐôÒ Ø Ò Ô ÖÜ Ò g SU(n) Ø ØÓ Ó ô Ø g f 0 = fº ËØ Ò Ô ÖÔØÛ ÙØ ÓÑ ÓØÖÓÔ Ø f 0 Ò ÓÑ ÐÛÒ ØÛÒ ôò ÛÒ Ô Ò ÛÒ diag(a 1,...,A n ) Ñ A i U(n i ) det(a 1 ) det(a s ) = 1 Ø Ò ÓÔÓ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ S(U(n 1 ) U(n s ))º ÙØ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò Ö F n1,...,n s = SU(n)/S(U(n 1 ) U(n s ))º ³ ØÛ ØôÖ S = S(n 1,...,n s ) ÙÔÓÓÑ Ø SU(n) ÓÔÓ ÔÓØ Ð Ø Ô ÐÓÙ ØÓÙ ôò ÓÙ ÔÒ diag{c 1 I 1,...,c s I s } ÔÓÙ I j Ò Ó n j n j Ø ÙØÓØ Ó ÔÒ Ó Ñ Ó Ö ÑÓ c j C Ò Ø ØÓ Ó ô Ø c j = 1 c n 1 1 cns s = 1º Ì Ø S Ò Ò Ø Ð Ó Ø SU(n) ÒØÖÓÔÓ Ó ÙÔÓÓÑ ÙØ C(S) Ò S(U(n 1 ) U(n s ))º ÙØ F n1,...,n s = SU(n)/C(S(n1,...n s ))º À ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø F n1,...,n s (C) ÓÒÓÑ Þ Ø Ò ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò generalized flag manifoldµº Ò Ñ Ø ØÓ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ò Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ø ÑÓÖ G C /P ÔÓÙ G C Ò Ñ Ñ ÙÒ Ø Ñ ÔÐ ÓÑ Lie P Ò Ñ Ñ ÙÔÓÓÑ Lie Ø G C ÔÓÙ Ô Ö Õ Ñ ÙÔÓÓÑ Borel Ø G C Ð Ñ Ô Ö ÓÐ ÙÔÓÓÑ µº Å Ó Ò Ñ Ö ÙØôÒ ØÛÒ ÕôÖÛÒ Ò G/C(S) ÔÓÙ G Ò Ñ ÙÑÔ ÔÖ Ñ Ø ÑÓÖ Ø G C C(S) Ò ÒØÖÓÔÓ Ó ÙÔÓÓÑ Ò ØÙÐÓÙ S Ø Ò Gº È Ö Ø Ö ½º½º ÈÖÓ Òô F 1,...,1 (C) = F n (C) Ø Ø Ø P = Bº Ò ÓÙÑ n 1 = k n 2 = n k Ø Ø F k,n k (C) = SU(n)/S(U(k) U(n k)) Ó ÕôÖÓ ÙØ Ò

31 ½º¾ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ Ò ÐÐÓ Ô Ø Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Grassmann Gr k C n Ð Ó ÕôÖÓ ÐÛÒ ØÛÒ k¹ Ø ØÛÒ Ñ ôò ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÒ C n º Ô k = 1 Ô ÖÒÓÙÑ ØÓ Ô Ð Ó Gr 1 (C n ) = SU(n)/S(U(1) U(n 1)) = F 1,n 1 (C) Ð ØÓÒ Ñ ÔÖÓ ÓÐ ÕôÖÓ CP n 1 º Ç ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ñ ôò Ñ Ð Ø Ó Ò Ò ÐÙØ ØÓ Ã Ð Ó ¾º ËÙ Ö Ñ Ò Ó Ñ Ø Ó ÓÑÓ Ò ÙØÓ ÕôÖÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÛÖ Ó Ò Û ØÖÓÕ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö ¹ Ø Ad : G Aut(g) Ø G Ø Ò Ð Ö Lie g ÔÓÙ Ø ÒØ ØÓ Õ ÓÒ ÔÓÙ Ñ Ò Ø ÙÒ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ò Ò Ø ØÓ Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Û Ñ Ñ ÙØ ÙÑ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø ÔÓ ÓÒ Ù Ð Ó ÕôÖÓº ½º¾ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ñ Ð Ø Ñ Ñ ÒØ ÒÒÓ Ô Ø ÛÑ ØÖ ØÛÒ Ò Û ôò ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ Ô Ö Ö ÓÙÑ ØÓÙ ÓÖÓÙ Ø ÒÙ Ø ÑÔÙÐ Ø Ø º ½º¾º½ Ò Û Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ³ ØÛ G/K Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓº a G ÓÖÞÓÙÑ Ø Ò Ô Ò τ a : G/K G/K, τ a (bk) = abk, Ø Ò ÓÔÓ ÐÓ Ñ Ö Ø Ö Ñ Ø ÓÖ ØÓÒ G/Kº Ì Ø a, b G Õ ÓÙÒ Ó Õ π L a = τ a π τ ab = τ a τ b (a, b G) ÔÓÙ L a Ò Ö Ø Ö Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Gº À ÔÖôØ Õ ÕÒ ÓØ τ a Ò Ñ Ð Ô Ò Ð Û Ø Ø Ö Õ ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø ÓÙ Ø ÔÖ Ø Ñ Ö º ³ ØÛ g k Ó Ð Ö Lie ØÛÒ G K ÒØ ØÓ Õ º Ï ÙÒ Û Ø ÙØÞÓÙÑ ØÓÒ ÔØ Ñ ÒÓ ÕôÖÓ Ñ ÓÑ Lie G ØÓ ÓÙ Ø ÖÓ e G Ñ Ø Ò Ð Ö Lie g ØÛÒ Ö Ø Ö Ò ÐÐÓÛØÛÒ ÒÙ Ñ Ø ôò Ô ÛÒº ³ ØÛ Ad G Ad : G Aut(g) ÒØ ØÓ Õ ad g ad : g End(g)µ ÙÞÙ Ò Ô Ö Ø Ø G ÒØ ØÓ Õ Ø gµº ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø ad = (d Ad) e º  ØÓÙÑ o = ekº  ÛÖôÒØ ØÓ ÓÖ dπ e : g T o (G/K) ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ò Ò ÓÑÓÖ Ñ Ñ Ø Ü ØÓÙ g/k ØÓÙ ÔØ Ñ ÒÓÙ ÕôÖÓÙ T o (G/K) Û Ü Ó ØÓ dπ Ò Ô Ñ Ó Ø G ØÓ Ñ Ó o = ek = K Ò Ñ ÒÓÒ Ø Ñ Ø πº ³ Ö Ó ÔÙÖ Ò ØÓÙ ÓÖ Ó dπ e Ò Ó ÔØ Ñ ÒÓ ÕôÖÓ ØÓ eµ Ø ÒØ ØÖÓ Ò π 1 (o) Ð Kerdπ e = T e (π 1 (o)) = T e (K) = kº ËÙÒ Ôô g/k = T o (G/K) X g ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ò Ð Ó ÒÙ Ñ Ø Ô Ó X ØÓÒ G/K Ô Ø Õ XaK = d dt (exp tx)ak t=0, ÔÓÙ exp tx Ò Ñ ÑÓÒÓÔ Ö Ñ ØÖ ÙÔÓÓÑ Ø G ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô ØÓ Xº Å Ð Ø Õ Ø [X, Y ] = [X, Y ] Ó Ø ÒÙ Ñ Ø Ô X Y Ò Ô Killing

32 ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann Ð Ó ØÓÔ µ ÖÓ ÙØôÒ Ò ÓÑ ØÖ º ËØ ÙÒ Õ ÐÓ Ñ Ø ÒÙ Ñ Ø Ô X Ô Ñ Ò ÒÙ Ñ Ø Ô º ÇÖ Ñ ½º¾º ³ Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K Ð Ø Ò Û Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÔ ÕÛÖÓ m Ø g Ø ØÓ Ó ô Ø g = k m Ad(k)m m k K Ð Ó m Ò Ad(K)¹ Ò ÐÐÓÛØÓº Ó ad = (d Ad) e Õ Ad(k)m m ÙÒ Ô Ø Ø [k, m] m Òô ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Õ Ø Ò K Ò ÙÒ Ø º Ë Ñ ôòóùñ Ø Ø Ò ÓÑ Lie K Ò ÙÑÔ ÙÒ Ø Ñ ÔÐ Ø Ø Ó G/K Ò Ò Û Ðº No µº ³ÇØ Ò Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K Ò Ò Û Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø ÙØ ÓÙÑ ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ m Ñ ØÓÒ ÔØ Ñ ÒÓ T o (G/K) Ñ Û Ø Ô Ò m X Xo = d dt (exp tx)o t=0 T o (G/K). ÇÖ Ñ ½º º À ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø isotropy representationµ Ò ÓÑÓ ÒÓ ÕôÖÓÙ G/K ÔÐ Ø Kµ Ò Ó Ð Ó ÓÑÓÑÓÖ Ñ χ : K Aut(T o (G/K)), k χ(k) = (dτ k ) o. Ø Ö X T o (G/K) ÕÓÙÑ χ(k)(x) = (dτ k ) o (X)º Ô Ò Ø ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø χ(k) = {(dτ k ) o : k K} Aut(T o (G/K)) Ð Ø Ö ÑÑ ÓÑ ÓØÖÓÔ ØÓÙ G/Kº È Ö Ø Ö ½º¾º ÜÞ Ò Ñ Û Ø Ò ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ò Ô Ø faithfulµ Ð ½¹½µ Ø Ø Ö Ø G ØÓÒ G/K Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø º Á Õ ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ðº Ko-No2 к ½ ¹½ ¼ µº ÇÖ Ñ ½º º ³ Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ ØÓÙ ÓÔÓÓÙ ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø Ò Ñ Ò ô Ñ Ð Ø ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ isotropy irreducibleµº Ô Ö Ñ Ö S n = SO(n + 1)/SO(n) Ò Ò ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ðº Arv1 µº ÈÖ Ø ½º½º Arv1 Ga-Hu-La µ ³ ØÛ G/K Ò Ò Û ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ (g = k m)º Ì Ø ÓØÖÓÔ Ò Ô Ö Ø χ : K Aut(m) ØÓÙ G/K Ò Ó Ò Ñ Ñ ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö Ø Ad G K ØÓÒ ÙÔ ÕÛÖÓ m Ð Ad G (k)x m = χ(k)(x m ) = (dτ k ) o (X m ), ÔÓÙ Ñ Ad K G : K Aut(g) ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ Ø ÙÞÙ Ó Ò Ô Ö Ø Ad G Ø G Ø Ò K X m Ò ÙÒ Øô Ò Ö Ø Ö Ò ÐÐÓÛØÓÙ ÒÙ Ñ Ø Ó Ô ÓÙ X g ØÓÒ mº

33 ½º¾ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÓÑÓ ÒôÒ ÕôÖÛÒ È Ö Ø Ö ½º º À ÈÖ Ø ½º½ Ò Ñ ÔÐ ÙÒ Ô ØÓÙ Ù Û ÖÓ Ñ ØÓ Ad K G = Ad K χ ÔÓÙ Ñ Ad K : K Aut(k) ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø ÙÞÙ Ò Ô Ö Ø Ø K к Arv1 µº Ô K Ò Ñ ÙÔÓÓÑ Lie Ø G k K Õ Ø Ad K (k) = Ad G (k) k º Ü Ø Ø Ø Ø χ = Ad K G ØÓÒ m ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø Ö ÑÑ ÓÑ ÓØÖÓÔ χ(k) Ñ Ad G (K) GL(g)º ½º¾º¾ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø ÛÑ ØÖ Ò ÓÑÓ ÒÓ ÕôÖÓÙ M = G/K ÔÖ Ô Ò ØÓÒ Ó ¹ ÓÙÑ Ñ Ñ Ñ ØÖ Riemann gº Ò ÓÐ Ò ÓÖ ÓÙÑ Ñ ØÖ Ø ÓÔÓ Ó Ö Ø Ö Ñ Ø ÓÖ τ a Ò Ò ÓÑ ØÖ a G Ð g(x, Y ) = g(dτ a (X), dτ a (Y )) X, Y T o (G/K)º Ì ØÓ Ñ ØÖ ÐÓ ÒØ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemannº Ò Ó M = G/K Ò ÓØÖÓÔ Ñ Ò ô ÑÓ Õ Ø Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Ø Ø ÙØ Ò ÑÓÒ Û ÔÖÓ Ò ÑÛØ ÔÓÐÐ ÔÐ Óµº Ò G Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø ØÓÒ G/K Ø Ø Ñ Ô Ö Ø Ø ÙÒ Ø Ò Ô ÖÜ Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Ò ÙÑÔ Ø ÓÑ ÓØÖÓÔ Kº ËÙ Ö Ñ Ò Ð Ó ÔÐ ÖÓ ÓÖ ØÓ Ô Ø Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ G/K ÑÔÓÖ Ò Ó Ø Ñ Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ô Ö ÕÓÒØ Ø Ö ÑÑ ÓÑ ÓØÖÓÔ Ad G (K)º ÈÖ Ø ½º¾º Ch-Eb Ga-Hu-La µ ³ ØÛ G Ñ ÓÑ Lie ÓÔÓ Ö ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Ò M = G/Kº Ì Ø M Õ Ø Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Ò Ñ ÒÓ Ò Ð Ø Ø Ø Ad G (K) Ò ÙÑÔ Ø Ò GL(g)º ÇÖ Ñ ½º º Å ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M = G/K, g) Ò Ò ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ M = G/K Ó Ñ ÒÓ Ñ Ñ G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann gº Á Ó Ò Ñ ¹ Ò Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M, g) Ø Ò ÓÔÓ ÓÑ ÓÑ ØÖ ôò G = Isom(M) Ö Ñ Ø Ø º ÌÓÒÞÓÙÑ Ø ÕÖ Þ Ø Ò Ö Ñ Ø Ø Ø Ò (M, g) ÓÐ Ð Ö ÓÑ ÓÑ ØÖ ôò ÐÐ ÔÓ Ð Ø µ ÙÔÓÓÑ ÙØ º ³ Ø M ÑÔÓÖ Ò Ö Þ Ø Û ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ Ñ ÓÖ Ø Ó ØÖ ÔÓÙ Ð ÑÔÓÖ Ñ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Þ (G, K) (G, K ) Ø ØÓ ô Ø M = G/K = G /K º Ô Ö Ñ R n = Isom(R n )/SO(n) = R n /{0} к Ga-Hu-La µº È Ö ØÛ ÛÖÓ Ñ Ô ÒØ Ø Ñ Ð Ø ÙÔÓÑ G Ø Isom(M) Ö Ñ Ø Ø Ø Ò (M, g) ÐÓ Ñ Ø Ò (M, g) Û G¹ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemannº À ÓÑ ÓØÖÓÔ K Ò ØÙÕ ÓÙ Ñ ÓÙ p M Ò Ñ ÙÑÔ ÙÔÓÓÑ Ø Isom(M) Û Ð Ø ÙÔÓÓÑ Ø ÓÖ Ó ôò ÓÑ O(T p M)µº ÌôÖ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ÒÛ Ø ôö Ñ ØÛÒ Myers-Steenrod ÓÑ ÓÑ ØÖ ôò Isom(M) Ñ ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann M Ò Ñ ÓÑ Lie ÓÔÓ Ò ÙÑÔ Ò Ñ ÒÓ Ò M Ò ÙÑÔ º ÙØ Ð Û Ø

34 ÇÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann ÙÑÔ Ø K Ñ G¹ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann M = G/K Ò ÙÑÔ Ò Ñ ÒÓ Ò G Ò ÙÑÔ º Å Ð Ø Õ ØÓ Ü ÕÖ ÑÓ ôö Ñ Â ôö Ñ ½º½º Ko-Sz µ à ÓÑÓ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Riemann (M = G/K, g) Ò Ò Ò Û ÓÑÓ Ò ÕôÖÓº Ì Ô Ö Ø Ö ÛÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ M = G/K ѹ ÔÓÖÓ Ò Ò ÔÐÓÔÓ Ó Ò Ö Ø Ò Ô Ò ØÓÔÓ Ø Ó Ò Ñ Ð Ö Ó ÖÓÙ ØÛÒ ÓÑ ¹ ÛÒ Lie G K ØÛÒ Ð ÖôÒ Lie ÙØôÒµº Ò Ó M = G/K Ò Ò Û Ñ Ð Ø ØÛÒ G¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ø ÒÙ Ø ôò Ô ÛÒ Ø ÔÓÙ (p, q)µ ØÓÒ M = G/K Ò Ø Ø Ò Ô Ö Ö Ø ÒÙ ØôÒ Ø ÔÓÙ (p, q)µ ØÓÒ m = T o M ÔÓÙ Ò Ò ÐÐÓÛØÓ ØÛ Ô Ø Ò ÓØÖÓÔ Ò ¹ Ô Ö Ø Ó Ò Ñ Ð Û ÈÖ Ø ½º½µ Ad G (K)¹ Ò ÐÐÓÛØÓ º Å Ô ÖÔØÛ ÙØÓ ØÓÙ ÓÒ ØÓ Ò ÐÓÙ ÔÖ Ø º ÈÖ Ø ½º º Ko-No2 µ ³ ØÛ M = G/K Ò Ò Û G¹ÓÑÓ Ò ÕôÖÓº Ì Ø ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ ÑÓÒÓ Ñ ÒØ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ü G¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò g ØÓÒ M Ad G (K)¹ Ò ÐÐÓÛØÛÒ ÛØ Ö ôò ÒÓÑ ÒÛÒ, ØÓÒ m = T o M ÓÔÓ Ò Ø Û Ü X, Y = g(x, Y ) o X, Y mº À Ad G (K)¹ Ò ÐÐÓÛØ Ø Ø ØÓÙ ÛØ Ö Ó ÒÓÑ ÒÓÙ, Ö Þ Ø Ô Ø Õ Ad G (k)x, Ad G (k)y = X, Y k K X, Y m Ù Ø Ø ÙØ Ò Ð ÓÖ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ ÕôÖÓ Ø Mº À Ø Ð ÙØ Õ ÙÒ Ô Ø Ø Ó Ò ÓÑÓÖ Ñ ad(z) : m m Ò ÒØ ¹ ÙÑÑ ØÖ skew-symmetricµ Û ÔÖÓ ØÓ, Ð Õ [X, Y ], Z + Y, [X, Z] = 0 Z k X, Y mº ËÙÕÒ Ö ÞÓÙÑ Ø Ò Ø Ð ÙØ ÙÒ Ð ÓÒØ Ø ØÓ ÛØ Ö Ò Ñ ÒÓ, Ò ad g (k)¹ Ò ÐÐÓÛØÓº ³ÇØ Ò ÓÑ Lie K Ò ÙÒ Ø Ø Ø Ó ÒÒÓ Ñ Ø Ü Ad G (K) ad g (k)¹ Ò ÐÐÓÛØÓÙ Ò Ó Ò Ñ º È Ö Ø Ö ½º º Ò K = {e} Ø Ø Ó ÓÑÓ Ò ÕôÖÓ M = G/K Ò Ñ ÓÑ Lie G Ð Ô È Ö Ñ ½º½µ Ó G¹ Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann ØÓÒ M Ò Ö ô Ó Ö Ø Ö Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÖ Riemann Ø Ò G Ð ÙØ Ó Ñ ØÖ g Ø ÓÔÓ Ó Ö Ø Ö Ñ Ø ÓÖ L a ÖÓÙÒ Û ÓÑ ØÖ L ag = g a Gº ËÙ Ö Ñ Ò ÈÖ Ø ½º Ò ØÓ ÓÒ Ø Ñ ÓÑ Lie G ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ ÑÓÒÓ Ñ ÒØ ÒØ ØÓ Õ Ñ Ø Ü Ö Ø Ö Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Ø Ò G ÛØ Ö ôò ÒÓÑ ÒÛÒ Ø Ò gº È Ö ÑÓ Ó ÓÑÓÖ Ñ m = T o (G/K) Ò ØÓÒ ÓÑÓÖ Ñ g = T e Gº À Ò Ù ØÛÒ Ñ Ò ÐÐÓÛØÛÒ Ñ ØÖ ôò Ð ØÛÒ Ñ ØÖ ôò Ø Ò G ÔÓÙ Ò Ø ÙØ ÕÖÓÒ Ö Ø Ö Ü Ò ÐÐÓÛØ Ò Ü