The Prime Number Theorem in Function Fields
|
|
- Φιλομήνα Δραγούμης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ËÕÓÐ Â Ø ÛÒ & Ì ÕÒÓÐÓ ÛÒ Ô Ø ÑÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ Å Ø ÔØÙÕ Ö ÌÓ Â ÛÖ Ñ ÌÛÒ ÈÖÛØÛÒ Ö ÑÛÒ ËÛÑ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ôö Ó Ã Ô Ø Ò ØÓÙ Æ ÓÐ ÓÙ ÔÓÔ ÛÒ Ø Â ÓÙÐÓ Ö Ð ÀÊ ÃÄ ÁÇ Đ ¾¼¼
2 University of Crete School of Sciences & Engineering Department of Mathematics Master Thesis The Prime Number Theorem in Function Fields Georgios Nikolaou Kapetanakis Supervisor: Theodoulos Garefalakis HERAKLION 2008
3 Ú Ì Ò ØÖ Ñ Ð Ô ØÖÓÔ Ü ÓÐ ÔÓØ Ð Ò Ö Ð Â ÓÙÐÓ ÔÓÔØ ÛÒµ ÄÙ Å Ò Ð ÌÞ Ò Æ Ó
4 i ÙÕ Ö Ø Â Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ÐÓÙ ÒÓÙ ÔÓÙ Ñ Ó Ò Ñ ØÓÒ ØÖ ÔÓ ØÓÙº Ã Ø ÖÕ ÙÕ Ö Øô Ø Ò Ó Ó Ò ÑÓÙ Æ Ó Å Ö ³ Ö Å ÈÖÓ¹ Ô ÒÓÙ Ö Ð µ ô Ø Ò ÙÖ Ø Ö Ó Ó Ò ÑÓÙ ØÓÒ Ó ÑÓÙ Ñ ØÖ º ËØ ÙÒ Õ Ò Ñ ÐÓ ÙÕ Ö Øô ÐÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ÑÓÙ Ü ÒôÒØ Ô ØÓÒ Ò Ó ÌÖ ÒØ ØÓÒ ÓÔÓÓ ¹ ÖôÒÛ Ø Ò Ö µ Ñ Ø ØÓÙ Ø ÑÓÙ Ô ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó ÒôÒ ÙÖÓÙ Ñ ØÖ Ö Ó Ù ÐÓ Ê ÔØ Ø ÐÓ ØÓÙ ¹ Ø ÑÓÙ Ô ØÓ È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø ØÓÙ ÙÖÓÙ Ð Ü ÃÓÙ ôö Ó ÃÛ Ø Å Õ Ð È Ô Ñ ØÖ Æ Ó ÌÞ Ò º Á Ø Ö Ð Ò ÙÕ Ö Ø Û ØÓÒ Ô Ð ÔÓÒØ Â ÓÙÐÓ Ö Ð Ø Ò ÑÔ ¹ ØÓ Ò ÔÓÙ ÑÓÙ Ü Ø Ò ÝÓ ÙÒ Ö Ø Û Ø Ó Ø ÙÒ Õ Ò ÖÖÙÒ º Ñ Ò Ø Ö Ø Ó ÙÕ Ö Øô ÐÓÙ ØÓÙ ÐÓÙ ÑÓÙº Ì ÐÓ Ø Ò Ó Ò Ò Ò ÖÛ Ø ÔÓÐÐÓ Ô ØÓÙ ÐÐ Ò Ó ÖÓÙ Ó ÐÓÒØ ØÓÒ º ÌÞ Ò Òô ØÓ ÐÓÐÓ Ð ÕÓ Ò È Ô ÖÓÙÕ Ø Ò ÓÔÓ ÙÕ Ö Øôº À Ö ÖôÒ Ø ØÓÒ ÐÓ Ñ Ñ Ø Ò Ó ÌÖ ÒØ ØÓ Ò ÐÐÓÛØÓ Ô ØÓ ÕÖ ÒÓ ÔÖ ØÙÔ ÑÓÙº
5 ii È ÖÐ Ý À Ð ÛÖ Ö ÑôÒ ÕÓÐ Ø Ñ Þ Ø Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ØÓ ÒÓÐÓ ZÚØÛÒ Ö ÛÒ Ö ÑôÒº ÈÖÓ Ñ ÒÓÙ Ò ÐÙ Ó Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ð ÛÖ Ö ÑôÒ Ò ÔØ Õ Ð Ö ÛÖ Ö ÑôÒ ÓÔÓ Ñ Ð Ø ØÓ ôñ Ð Ñ ØÛÒ ØÓÙ Z Ð ØÓ Q ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ Ö ØôÒ ¹ Ö ÑôÒ Ô Ô Ö Ñ Ò Ð Ö Ô Ø ØÓÙ Ø Ð Ñ Ò Ö Ñ Ø ôñ Ø º ÑÔÒ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÑÓ Ø Ø ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ ZÚÑ ØÓ ÒÓÐÓ F[x] Ð ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø Ô ÒÛ Ô Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ôñ F Ñ Ñ Ó Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ù º ³ Ø Ñ Ð Ø ÓÙÑ ØÓ ôñ F(x) ØÓ ôñ ØÛÒ Ö ØôÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ô ÒÛ Ô Ò Ô Ô Ö ÒÓ ôñ F Ô Ô Ö Ñ Ò Ð Ö Ô Ø ØÓÙ Ø ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒº  ÔÓ ÜÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ø ÒØ ØÓ Õ ÛÖ Ñ Ø Ø Ð ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ ØÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ñ ÒÓ ÕØôÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ Ø Ò ÙÔ Riemannº Ç Ò Ð Û Ñ Ñ Ø ÓÒØ Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ñ Ð Ø Ó Ò Ñ Ö Ð Ø Ð Ö ÛÑ ØÖ Ñ Ø Ñ Ò ÐÙ ÑÛ ØÓ Ô Ö Ò Ñ ÒÓ ÔÖÓ Ô ÓÙÑ Ò Ô Ö ÓÖ ØÓ Ñ Ñ Ö Ð ÖÓ Ö ÑÓ ¹ ÛÖ Ø ÔÖÓ º ËÙÕÒ ÔÓÐÐ ÔÓØ Ð Ñ Ø Õ ÓÙÒ Ø Ò Ø Ö Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ØÓ FÚ ÒØ Ø Ø Ô ÔÓ Ó ØÙÕ Ó ôñ º  ÔÖÓ Ô ¹ ÓÙÑ Ò Ñ Ò Ô Ö ÓÖ ÓÙÑ Ø Ò Õ ØÛÒ ÔÓØ Ð Ñ ØÛÒ Ò Ø Ø ØÓ Ó Ò Ò Ô Ö Ø ØÓº Ä Ü Ð Â ôö Ñ ÈÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Â ÛÖ Ö ÑôÒ È Ô Ö Ñ Ò ËôÑ Ø ËôÑ ¹ Ø ËÙÒ ÖØ ÛÒ ³ Ð Ö Â ôö Ñ Riemann-Roch  ôö Ñ Hasse-Weil ÍÔ Riemannº
6 iii Abstract Classic Number Theory is studying the set of integers Z. In order to solve several problems of classic Number Theory, Algebraic Number Theory was evolved and Algebraic Number Theory is mainly studying Z s field of fractions, Q, the set of rational numbers and it s algebraic finite extensions, the number fields. Inspired from the similarities between the sets Z and F[x], the set of polunomials of one variable over a finite field F, we are going to imitate the above constructions. So we are going to study the field F(x), the field of rational functions over a finite field F, and its algebraic finite extensions, the function fields. We will show the analogues of several theorems of classic Number Theory, like the Prime Number Theorem, or even the analogues of open problems, like the Riemann Hypothesis. The above constructions can be studied using Algebraic Geometry, or even Complex Analysis, but we keep a more number theoretic aspect of the subject. In several cases many results apply even if we substitute F with the arbitary field. We will try not to limit the power of such results, if possible. Keywords Prime Number Theorem, Number Theory, Function Fields, Finite Fields, Algebra, Riemann-Roch Theorem, Hasse-Weil Theorem, Riemann Hypothesis.
7 È Ö Õ Ñ Ò ½ ËôÑ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ ½ ½º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò Ð Ö Òô º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÈÖôØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö Ø L ÕôÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ¾¼ ¾º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò ÒÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËÙÒ Ô ØÓÙ Riemann-Rochº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ô Ø ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ º½ Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ÙÒ ÖØ Þ Ø ØÓÙ Riemann º½ ÇÖ ÑÓ Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÌÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ò ÑÓÖ µ º º º º º º º º ÌÓ ôö Ñ Hasse-Weil º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÙÒ Ô ØÓÙ Hasse-Weil º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º iv
8 ÈÖ ÐÓ Ó ËÙÑ ÓÐ ÑÓ Ë ÓÐ Ð Ö Ø Ò Ö Ñ K ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ø Ò Ð Ö ØÓÙ ôñ ØÓ K Ñ K F Ø Ò Ð Ö ØÓÙ K ØÓ F Ð Ð Ø ØÓ Õ ØÓÙ F ÔÓÙ Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ FÚØÓ ØÙÕ Ó Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ôñ Ñ q ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Ñ p Ø Ò Õ Ö Ø Ö Ø ØÓÙº Ò R Ø Ð Ó Ñ R ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÒØ ØÖ Ý ÑÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ Rº Ñ Ñ S ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ ÔÐ Ö ÑÓ ØÓÙ ÙÒ ÐÓÙ Sº Ì ÐÓ Ø ÕÖôÑ Ø Ø ØÖ ÔÓÙÐ ÙÑ ÓÐÞÓÙÒ ØÓ Ø ÐÓ Ñ Ô Ü Ò Ô Ø Ø Ö Ð ÕÖ ÑÓÔÓ Ø ÓÖ Ø ÕÖôÑ Òô Ö ØÓÙ ØÓ ØÓ ½ Ó Ð Ó ØÓ ØÓ ¾ Ó ºÓº ºµ Ò Ñ ØÙÕ º v
9 Ã Ð Ó ½ ËôÑ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ ËØÓ Ð Ó ÙØ Ò ÖÓÙÑ ÙÖÛ ÓÖ ÑÓ ÐÐ ÔÓ ÔÐ Ø Ø ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº  ÛÖÓ ÒØ ÒÛ Ø ÔÓ Òô Ð Ö ÛÖ Galois ÛÖ Ö ÑôÒ Ð Ö ¹ ÛÖ Ö ÑôÒ Ñ Ò ÐÙ º ½º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò Ð Ö Òô ÇÖ Ñ ½º½º½º ³ ØÛ K ôñ F Ô Ø ØÓÙº Ò ÙÔ ÖÕ x F Ñ x Ñ Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ø ØÓ Ó ô Ø Ô Ø F/K(x) Ò Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ø Ð Ñ Ø Ô Ø F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ Ô Ø F/K ÓÒÓÑ Þ Ø Ð Ö ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ñ Ñ Ø Ð Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÔÐ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ algebraic function field of one variable function fieldµº ØÓÙ F/Kº Ì ÐÓ ØÓ ôñ K F Ð Ø ØÓ ôñ Ø ÖôÒ Ç Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ÑÔÓÖ Ò ÕÒ ÕÖ ØÓ ÑÛ ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ù ÓÐ Ò Ø Ò Ø Ø º Ä ÑÑ ½º½º¾º À Ô Ø F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ ÒÒ x F \ K F Õ Ø Ô Ø F/K(x) Ò Ô Ô Ö Ñ Ò º Ô Ü º ( ) Ó F/K Õ Ñ ÙÔ Ö Ø Ø Ø ½ Ø Ø z F \K F Ø ØÓ Ó ô Ø F/K(z) Ô Ô Ö Ñ Ò º ½
10 ¾ ³ ØÛ ØÙÕ Ó x F \ K F º Ì Ø x F Ö x Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K(z) Ö ÙÔ ÖÕ f 1 (X,Z) K(Z)[X] Ñ f 1 (x,z) = 0º ³ Ø ÙÔ ÖÕ f 2 (X,Z) K[Z,X] Ñ f 2 (x,z) = 0 Ö z Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x) Ö [K(x,z) : K(x)] < º Ñ [F : K(z)] < [F : K(z)] = [F : K(x,z)] [K(x,z) : K(z)], Ö [F : K(x,z)] < º Ì ÐÓ ÕÓÙÑ Ø [F : K(x)] = [F : K(x,z)] [K(x,z) : K(x)] Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ð ÓÙÑ Ø [F : K(x)] < Ð ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ( ) ³ Ñ Óº Ä ÑÑ ½º½º º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº À Ô Ø K F /K Ò Ô Ô Ö Ñ Ò º Ô Ü º ³ ØÛ ôñ E Ñ K E F E Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ³ ØÛ ØôÖ x F ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K k 1,...,k n E Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ÔÖÓ Òô Ø k 1,...,k n Ò Ö ÑÑ Ò ¹ Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º Ñ ÔÖÓ Òô E(x) F Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø [E : K] [E(x) : K(x)] [F : K(x)] <. ÖÑ ÞÓÒØ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ E = K F ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÐÐ ÔÓÐ ÕÖ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ñ Ø ÓÖ ÛÑ ØÛÒ Ù¹ Ò ÖØ ÛÒ Ò Ó Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º½º º ³ Ò ÓÐ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ global function fieldµ Ò Ò ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/F ÔÓÙ FÚÔ Ô Ö Ñ ÒÓº ÇÖ Ñ ½º½º º ÌÓ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ð Ø Ö Ø Ò F = K(x) ÔÓ Ó x F º
11 Å ÙÒ ÖØ ÔÓÙ Ñ ÕÖ Ø Ö Ø Ö Ò Ö Ø ÔÓØÑ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø Û Ü ÇÖ Ñ ½º½º º ³ ØÛ F ôñ º Ä Ñ Ø Ñ ÙÒ ÖØ u : F Z { } Ò Ö Ø ÔÓØÑ Ò ÒÓÔÓ Ø Ô Ö ØÛ Ø Ø º µ u(x) = x = 0º µ u(xy) = u(x) + u(y) x,y F º µ u(x + y) min{u(x),u(y)} x,y F º µ z F : u(z) = 1º µ u(a) = 0 a K \ {0}º Ñ Ø Ø ³µ ÓÒÓÑ Þ Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø º Ô ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø Ñ Ö Ø ÔÓØÑ Ò Ô Òô ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ò ÙØ Ñ Óº Ä ÑÑ ½º½º Á ÕÙÖ ÌÖ ÛÒ Ò Ø Ø µº ³ ØÛ u Ö Ø ÔÓØÑ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K x,y F Ø ØÓ ô Ø u(x) u(y)º Ì Ø u(x + y) = min{(u(x),u(y)}º Ô Ü º Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º½º ÕÓÙÑ Ø u(ax) = u(x) a K \{0} Ö u(y) = u( y)º Ñ ÙÔÓ ØÓÙÑ ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø Ø u(x) < u(y)º Ì Ø Ò u(x + y) > u(x) Ô ØÓÒ ½º½º ÕÓÙÑ Ø u(x) = u((x + y) y) min{u(x + y),u(y)} > u(x), ØÓÔÓº
12 ½º¾ ÈÖôØÓ Ë ÓÔ Ñ ÙØ Ò Ø Ò Ô Ö Ö Ó Ò Ò ÓÖ ÓÙÑ Ø ÔÖôØ ØÓ Õ Ø Ò ÛÖ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÓÙÑ ÔÓ Ø Ø ØÓÙº ÇÖ Ñ ½º¾º½º ³ Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ valuation ringµ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò Ò Ø Ð Ó O ØÓÒ ÓÔÓÓ K O F Ò z F Ø Ø z O z 1 Oº Ó Ñ Ò Ð ÑÑ ÔÓÙ ÙÑÔÐ ÖôÒ ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ º Ä ÑÑ ½º¾º¾º Ò O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ø Ø Õ Ø K F Oº Ô Ü º ³ ØÛ x K F º Ò x = 0 Ø Ø ÔÖÓ Òô x O Ø Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø x O x 0º ÈÖ Ñ Ø Ò x 0 x 1 / O Ø Ø Ô x F Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º½ Ô ÖÓÙÑ Ø x O ÓÔ Ø Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø x O Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ x 0 x 1 Oº ³ÇÑÛ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ò x 0 x 1 O Ø Ø Ñ ÔÓÙ ØÓ x Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÙÔ ÖÕÓÙÒ n 1 a 0,...,a n 1 K Ø ØÓ ô Ø x n + a n 1 x n a 0 = 0. À Ø Ð ÙØ Õ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ Ñ x n+1 Ñ Ò Ø x = a n 1 a n 2 x 1 a 0 x n+1, Ô ÔÓÙ ÓÐ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ð Ø Ñ Ð ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø Ø Ø Ò ÓÙÒ ØÓ O ÔÓÑ ÒÛ x Oº È Ö Ñ ½º¾º º Ò O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ø Ø Õ Ø K F \ {0} O º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º¾º¾º À Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø Ñ ÕÒ ÔÓ ÕÖ Ñ Ð Ö Ø Ø ØÛÒ ØÙÐÛÒ ÔÓØÑ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº
13 ÈÖ Ø ½º¾º º Ò Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÛÑ ØÓ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ F/K Ø Ø Ó O Ò ØÓÔ Ø Ð Ó ½ º Ô Ü º Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ P := O \ O Ò ô ØÓÙ Oº ³ Ø ØÛ x P z O Ø Ø Ò xz O Õ Ñ Ø x / P ØÓÔÓ Ö xz P º ³ ØÛ ØôÖ x,y P º ÉÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø x/y Oº Ì Ø 1 + x/y O Ô ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ y(1 + x/y) = x + y Oº ³ Ø Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ñ ØÓ Ñ ¹ Ø ô P Ò ØÙÐÓÙ ÔÓØÑ Oº ÙØ Ñ Ó Ò ÓÖ ÓÙÑ ØÓÙ ßÔÖôØÓÙÐ Ñ ÔÖ Ò ÑÛ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ó Ñ Ò ÕÖ ÑÓ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ½º¾º º Ò Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K P ØÓ Ñ ¹ Ø ô ØÓÙ Ø Ø Õ Ø P K F = {0}º Ô Ü º Ò x K F \{0} Ø Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º ÕÓÙÑ Ø x O Ö x / O \ O = P º Ô ØÓ Ø Ð ÙØ Ó ØÓ ÔÖÓ Ò ÓÒ Ø 0 P K F Ô ÖÒÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÌÓ ôö Ñ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ò Ø Ö ÕÖ ÑÓº  ôö Ñ ½º¾º º ³ ØÛ O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÛÑ ØÓ ÙÒ Ö¹ Ø ÛÒ F/K P ØÓ Ñ Ø ô ØÓÙº Ì Ø µ ØÓ P Ò Ö Ó ô µ Ò P = to Ø Ø z F \{0} Õ ÑÓÒ Ò Ô Ö Ø Ø ÑÓÖ z = t n u Ñ n Z u O º Ô Ü º ³µ ³ ØÛ P Õ Ö Ó x 1 P \ {0}º Ö x 2 P \ x 1 Oº Ì Ø P x 1 O Ì Ø x 2 x 1 1 / O Ö ÙÔÓÕÖ ÛØ x 1 2 x 1 P Ð x 1 x 2 P º ËÙÒ ÕÞÓÒØ Ô Û ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ø Ù ÓÙÑ Ñ Ô Ö ½ Δηλαδήέχειμοναδικόμεγιστικόιδεώδες.
14 ÓÐÓÙ (x i ) i N P Ø ØÓ ô Ø x i x i+1 P x i+1 x i i 1º  ÜÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓ Ó Ò Ò ØÓº Ö ÐÓ Ô Ò Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ø Ò ØÙÕ Ô Ô Ö Ñ Ò ÓÐÓÙ x 1,...,x n P Ñ x 1 = x P \ {0} x i x i+1 P x i x i+1 1 i n 1 ÕÓÙÑ Ø n [F : K(x)] < º Ô Ø Ð ÑÑ Ø ½º½º¾ ½º¾º Ø Ð ÓÙÑ ØÓ Ø [F : K(x)] < º Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ø x 1,...,x n Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò n φ i x i = 0 i=1 ½º½µ Ñ φ i K(x) Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ º ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø φ i K[x] Ø Ò a i := φ i (0) ÙÔ ÖÕ j {1,...,n} Ø ØÓ Ó ô Ø a j 0 a i = 0 i > jº ³ Ø ½º½µ Ò Ø φ j x j = i j φ i x i ½º¾µ Ñ x i x j P i < j φ i = xg i i > j g i K[x]µº ³ Ø ½º¾µ Ò φ j = i<j φ i xi x j + i>j x x j g i x i. ½º µ Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ ÐÓ Ó ÖÓ ØÓÙ Ü Ó Ñ ÐÓÙ Ø ½º µ Ò ÓÙÒ ØÓ P Ö φ j P º ³ÇÑÛ φ j = a j + xg j Ñ g j O x P Ð xg j P Ö a j P K \ {0} ØÓÔÓº ³ Ö Ø x 1,...,x n Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º ³µ À ÑÓÒ Ø Ø Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò Ö Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ Ø º ÕÛ Ð Ø Ò Ø Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø z O ÐÐ ô z 1 O Ö Þ Ñ Ø Ñ ÖÒ Ø Ó º Ò z O Ø Ø z = t 0 zº Ò z P Ø Ø z = tz 1 Ñ z 1 Oº Ò z 1 O Ø Ð ô Ñ º ÓÖ Ø z 1 / O Ö z 1 P ÓÔ Ø z 1 = tz 2 Ñ z 2 O z = t 2 z 2 º Ò z 2 O Ø Ð ô Ñ ÓÖ Ø z 2 P z 2 = tz 3 ÔÓÙ z 3 O z = t 3 z 3 º ÙØ Ø Ñ Ø Ð ÔÓ Ó Ñ n Ò z n O Ø ÓÖ Ø Õ Ñ Ñ Ô Ö ÓÐÓÙ z,z 1,z 2,... Ñ z z 1 P z 1 z 2 P º º º z i
15 z i+1 P ÔÛ ØÓ ³µ ÙØ ÔÓ Ð Ø º ³ Ø ÕÓÙÑ Ø z = t n z n Ñ z n O º ÇÖ Ñ ½º¾º º ³ Ò ÔÖôØÓ prime placeµ P ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò ØÓ Ñ Ø ô ÔÓ ÓÙ Ø Ð ÓÙ ÔÓØÑ º Ñ Ñ P F ÔÐ PÚ Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ µ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/Kº Å Ø Ô Ö Ø Ö ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ Ò Ø Ó Ø Ð Ó ÔÓØÑ Ó ÔÖôØÓ Ö ÓÒØ ½¹½ ÒØ ØÓ Õ º Ô ØÓ Ð ÑÑ ÔÓÙ ÓÐÓÙ Ó Ñ Ø Ø Ø ØÓ Ó Ò Û Ø º Ä ÑÑ ½º¾º º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ O Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ¾ º Á Õ Ø {z F z 1 / P } {0} = O. Ô Ü º ³ ØÛ y O\{0}º Ò y O Ø Ø y 1 O Ö y 1 / P Ð y {z F z 1 / P }º Ò y / O Ø Ø y O\O = P ÔÓÑ ÒÛ y 1 / P Ø y {z F z 1 / P }º ËÙÒÓÐ O {z F z 1 / P } {0}º ³ ØÛ ØôÖ y {z F z 1 / P }º Ò y / O Ø Ø Ô Ó O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ÕÓÙÑ Ø y 1 Oº ³ÇÑÛ y 1 / P Ö y 1 O Ð y O ØÓÔÓº ³ Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ Õ Ò Ñ Ó ÖÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ÔÖô¹ ØÓÙ P Ó ÙÑ ÓÐ Ñ O P := {z F z 1 / P } {0}. Ñ Ñ ÛÒ Ñ ØÓ ³µ ØÓÙ ½º¾º Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º¾º º ³ ØÛ P P F º ÇÖÞÓÙÑ Û Ø Ü ØÓÒ P Ø ÙÒ ÖØ ord P : F Z { } ÔÓÙ Ò P = to z F \ {0} Ø Ø ord P (z) := n ÔÓÙ n ÒÓ ØÓÙ ½º¾º ³µÚµ ord P (0) := º Å ÔÓÐ Ñ ÒØ Ø Ø Ø Ø Ü Ò Ø Ô ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ º ¾ Δηλαδήα τόςγιατονο ο ο P = O \ O.
16  ôö Ñ ½º¾º½¼º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº µ P P ÙÒ ÖØ ord P Ò Ö Ø ØÑ ØÓÙ F/Kº µ Á Õ Ø O P = {z F ord P (z) 0}, O P = {z F ord P (z) = 0}, P = {z F ord P (z) > 0} P = xo P ÒÒ ord P (x) = 1º µ Ã Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ F/K Ò Ñ Ø Û ÔÖÓ ØÓÒ Ð ¹ Ñ ÙÔÓ ØÙÐÛÒ ØÓÙ F º Ô Ü º ³µ ÌÓ Ñ ÒÓ Ñ ÔÖÓ Ò Ò Õ Ø ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ò x,y 0º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò x,y F \ {0}º Ì Ø Ò ord P (x) = n ord P (y) = m Ñ n m ÕÓÙÑ Ø Ò P = to P Ø Ø x = t n u 1 y = t m u 2 Ñ u 1,u 2 OP º ³ Ø x + y = t n (u 1 + t m n u 2 ) = t n z, Ñ z O P º Ò z = 0 Ø Ø ord P (x + y) = > min{ord P (x), ord P (y)}º Ò z 0 Ø Ø z = t k u Ñ k 0 u O P Ø x + y = tn+k u ÓÔ Ø ord P (x + y) = n + k n = min{ord P (x), ord P (y)}. ³µ  ÛÖÓ Ñ Ø P = to P º ÌÓ Ø O P = {z F ord P(z) = 0} Ò ÔÖÓ Ò Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º º ³ ØÛ y {z F ord P (z) > 0} Ø Ø y = t (t ord P (y) 1 u) Ñ u O º ³ÇÑÛ t O ord P (y) 1 0 u O ÓÔ Ø t ord P (y) 1 u O ÔÓÑ ÒÛ y to = P º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø {z F ord P (z) > 0} P º ³ ØÛ y P º Ò ord P (y) = 0 Ø Ø Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ y O P ØÓÔÓº Ò ord P(y) < 0 Ø Ø ord P (y 1 ) > 0 Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö Ô ÒÛ y 1 P ØÓÔÓº ³ Ø ord P (y) > 0 Ö P {z F ord P (z) > 0} Ð ÙÒÓÐ {z F ord P (z) > 0} = P º
17 ÌÓ Ø O P = {z F ord P (z) 0} Ò Ñ Ó Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ØÓ Ø O P = P OP Òô ØÓ Ø P = xo P ÒÒ ord P (x) = 1 Ò Ñ Óº ³µ ³ ØÛ O Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K P ØÓ Ñ Ø ô ØÓÙ z F \ Oº Ö Ò ÜÓÙÑ Ø F = O[z]º ÈÖ Ñ Ø Ò y F Ø Ø Ñ ÔÓÙ ord P (z 1 ) > 0 Ó z / Oµ k 0 Ö Ø Ñ ÐÓ ÕÓÙÑ Ø ord P (yz k ) 0 Ö Ò w := yz k Ø Ø w O y = wz k O[z]º ÓÒ ØÓ P Ò Ñ Ø ô ØÓÙ O P ØÓ O P / P Ò ôñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø P K = {0}º ³ Ø Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ø Ü ÓÖ ÑÓ K O P ÕÓÙÑ Ø ØÓ K Ò ÙÔ ÛÑ ØÓÙ O P / P Ö Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ½º¾º½½º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ø Ø Ó Ö Ñ deg P := [ O P / P : K ] ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ ØÓÙ P º ÌÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ñ ÕÒ Õ Ñ ÒÓ Ø Ó Ñ Ò ÔÖôØÓÙ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓ ÐÐ Ñ Ò Ò ÒÛ Ö Ñ º  ôö Ñ ½º¾º½¾º ³ ØÛ P ÔÖôØÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K x P \ {0} Ø Ø deg P [F : K(x)] <. Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÔÖÓ Òô ØÓ x Ò ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º½º¾ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ø º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò z 1,...,z n O P Ø ØÓ ô Ø Ø z 1,..., z n O P / P Ñ z i := z i + P Ò Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº  ÜÓÙÑ Ø Ø z 1,...,z n Ò την αγματικότητατο K δενε ναι όσ ματο OP / P αλλ ηεικόνατο K στο O P / P μέσ τηςεμ τε σης ο ε ναιισόμο ημετο K. φ : K OP / P x x + P,
18 ½¼ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K(x)º Ò Õ ÙÔ ÖÕÓÙÒ φ i K(x) Ø ØÓ ô Ø n φ i z i = 0. i=1 ½º µ ÇÑÓÛ Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ½º¾º ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø φ i K[x] Ø Ò φ i = a i + xg i a i K, g i K[x]µ Ø Ø Ò Ò Ð Ø a i = 0º ³ÇÑÛ x P a i K Ö φ i = ā i = a i Ø ½º µ Ô ÖÒôÒØ ØÓÒ Ô Ð Ó Ø Ð Ó Ò n a i z i = 0, i=1 Ð Ò Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ñ Ò Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ z 1,..., z n ØÓ¹ ÔÓº Ç Ô Ö ØÛ ÓÖ ÑÓ Ñ ô ÓÙÒ ÒÒÓ ÔÓÙ Ñ ÒÓ Ò ÔÓÐ ÕÖ ¹ Ñ Ø ÕÒ ÔÔ Óº ÇÖ Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ z F P P F ord P (z) = mº Ò m > 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ò ÖÞ ØÓÙ z Ø Ü m Ò m < 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ò Ô ÐÓ ØÓÙ z Ø Ü mº Ó Ñ ØôÖ Ñ Ñ ÒØ Ø Ø ØÛÒ Ô ÐÛÒ ØÛÒ Ö ÞôÒ ØÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ Ñ Ó ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð Ñ º  ôö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ R Ø Ð Ó Ø ØÓ Ó ô Ø K R F º Ò I Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ ô ØÓÙ R Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó P P F Ø ØÓ Ó ô Ø I P R O P º Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓ ÒÓÐÓ F := {S S ÙÔÓ Ø Ð Ó ØÓÙ F Ñ R S IS S}. ÈÖÓ Òô R F Ö F º Ñ ØÓ F Ò Ó Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ñ Ö Ø Ü ØÓÙ Ð ÑÓ Òô Ò H F Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ F Ñ ÓÐ Ø Ü Ø Ø ØÓ T := {S S H} Ò ÙÔÓ Ø Ð Ó ØÓÙ F Ñ R T º  ÜÓÙÑ Ø IT T º
19 ½½ ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø IT = T Ø Ø 1 = n i=1 a is i Ñ a i I s i T º ÓÒ ÑÛ ØÓ H Õ ÓÐ Ø Ü ÙÔ ÖÕ S 0 H Ø ØÓ Ó ô Ø s 1,...,s n S 0 Ö 1 = n i=1 a is i IS 0 ØÓÔÓº ³ Ö Ô ØÓ Ð ÑÑ ØÓÙ Zorn Sha к ¼ µ ØÓ F Ô Ö Õ ÔÓ Ó Ñ Ø ØÓ Õ Ó ØÛ Oº  ÜÓÙÑ Ø ØÓ O Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ º ÓÒ I {0} IO = O ÕÓÙÑ Ø O F I O \ O º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ z F Ñ z,z 1 / O Ð Ø ØÓ O Ò Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ µº Ì Ø IO[z] = O[z] IO[z 1 ] = O[z 1 ] ÐÐ ô ØÓ O Ò Ø Ò Ñ Ø ØÓ Õ Ó ØÓÙ F µ Ö ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÖÓ Ñ a 0,...,a n,b 0,...,b m IO Ø ØÓ ô Ø 1 = a 0 + a 1 z + + a n z n ½º µ 1 = b 0 + b 1 z b m z m, ½º µ Òô ÔÖÓ Òô m,n 1º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø m,n Ø ØÓ ô Ø m n Ò Ø Ð Õ Ø ÙÒ Ø º ÈÓÐÐ ÔÐ ÞÓÙÑ Ø Ò ½º µ Ñ 1 b 0 Ø Ò ½º µ Ñ a n z n Ô ÖÒÓÙÑ 1 b 0 = (1 b 0 )a 0 + (1 b 0 )a 1 z + + (1 b 0 )a n z n 0 = (b 0 1)a n z n + b 1 a n z n b m a n z n m. ÈÖÓ ØÛÒØ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ü ô Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò 1 = c 0 + c 1 z + + c n 1 z n 1 Ñ c i IOº ³ÇÑÛ ÙØ Ò ØÓÔÓ Ð Û Ø Ð Õ Ø Ø Ø ØÓÙ nº ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ ÕÒ ÔÓÐ Ö Ñ ÒÓ ÑÛ ØÓ Ô Ö ØÛ Õ Òµ Ñ Ó Ô Ö Ñ Ò Ø Ö ÕÖ ÑÓº È Ö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ z F ÙÔ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ØÓ z Õ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ò Ô ÐÓ Ñ ÖÞ º Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓÒ Ø Ð Ó R = K[z] ØÓ ô I = zk[z]º Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½ ÙÔ ÖÕ P P F Ñ z P Ð Ó P Ò ÖÞ ØÓÙ z ÓÑÓÛ ÙÔ ÖÕ Q P F ÖÞ ØÓÙ z 1 Ð Ô ÐÓ ØÓÙ zº
20 ½¾ ÌÓ Ø Ð ÙØ Ó Ô Ö Ñ Ñ ÕÒ Ñ Ø Ü ÐÐÛÒµ Ø P F º ËØ Ò ÔÖ ¹ Ñ Ø Ø Ø Õ Ø ÔÓÐ ÕÙÖ Ø ÖÓ Ø Ð P F = Sti Iº µº ³ÇÑÛ Ô Ð Ñ ÕÖ Ø Ñ Ò Ñ ÔÓ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ P F ÔÓ Ð Ó Ø ØÓ Õ ÙØ Ô ÖÓÑÓ ÞÓÒØ Ñ ØÓÙ ÔÖôØÓÙ Ö ÑÓ º Ò ÒÓÙÑ Ø Ø ØÓ Ó Ô Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ K(x)/K Ð ØÓÙ Ö ØÓ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒº Ò Û Ó p(x) K[x] ÓÖÞÓÙÑ Û { } f(x) O p(x) := g(x) f(x),g(x) K[x], p(x) g(x) Ð ÔÓÙÑ ÓÐ Ø ÙØ Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ K(x)/K Ñ ÒØ ØÓ ÕÓ Ñ Ø ô ØÓ P p(x) = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], p(x) f(x), p(x) g(x). ³ Ò ÐÐÓ Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ K(x)/K Ò Ó O := { f(x) g(x) Ñ Ñ Ø ô ØÓ P = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], deg f(x) deg g(x) } f(x),g(x) K[x], deg f(x) < deg g(x), ÔÓÙ Ð Ø ÔÖôØÓ ØÓÙ Ô ÖÓÙ ÖÕ Ñ Ó ÔÖôØÓº ÌÓ Ô Ö ØÛ ô¹ Ö Ñ Ñ ÕÒ Ø ØÓ Ö Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ÒÓ Ó Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖôØÓ º  ôö Ñ ½º¾º½ º ËØÓ Ö Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ K(x)/K Ò P P K(x) Ø Ø P = P P = P p(x) ÔÓ Ó p(x) K[x] Ò Û Óº Ô Ü º ³ ØÛ P P K(x) Ñ P P º ÖÒÓÙÑ Ô Ö ÔØô º Ò x O P Ø Ø K[x] O P ØÓÙÑ I := K[x] P ØÓ ÓÔÓÓ ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò ÔÖôØÓ ô ØÓÙ K[x]º ³ÇÑÛ K[x] Ò Ô Ö ÓÕ ÙÖÛÒ Û ôò Ø ØÓ K Ò ôñ µ ØÓ I Ò ÔÖôØÓ ô Ö ÙÔ ÖÕ p(x) K[x] Ò Û Ó Ø ØÓ Ó ô Ø I = p(x)k[x]º ³ Ø Ò ØÓ g(x) K[x] Ò Ö Ø
21 ½ Ô ØÓ p(x) Ø Ø g(x) / I Ö g(x) / P Ö 1/g(x) O P º ËÙÒÓÝÞÓÒØ ÕÓÙÑ Ø O p(x) = { f(x) g(x) } f(x),g(x) K[x], p(x) g(x) O P. ³ÇÑÛ Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¼ ³µ Õ Ø O P = O p(x) º Ò ØôÖ x / O P Ø Ø ÔÛ ÔÖ Ò K[x 1 ] O P x 1 P K[x 1 ] P K[x 1 ] = x 1 K[x 1 ] Ö { } f(x 1 ) O P g(x 1 ) f(x 1 ),g(x 1 ) K[x 1 ], x 1 g(x 1 ) { } a0 + a 1 x a n x n = b 0 + b 1 x b m x m b 0 0 { } a0 x m+n + + a n x m = b 0 x m+n + + b m x n b 0 0 { } u(x) = v(x) u(x),v(x) K[x], deg u(x) deg v(x) = O. ³ Ø Ô Ð O P = O º ½º Ö Ø L ÕôÖÓ À ÒÒÓ ØÓÙ Ö Ø Õ Ø ÖÞ ØÓÙ Ø Ò Ð Ö ÛÑ ØÖ Õ Ø Ò Ð ÛÖ Ö ÑôÒº È Ö Ð ÙØ Ò Ò Ô Ô ØÓ ÓÑÑ Ø Ø ÛÖ Ñ Ñ ÔÓÙ Õ Ö ÙØ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann- Roch ØÓ Ð Ó ¾ ÔÓÙ Ò Ò Ø ÐÙØ Ñ ÔÓØ Ð Ñ ÔÛ Ó Ñ Ö Ø Ö º ÇÖ Ñ ½º º½º À Ð Ö Ð Ò ÓÑ ÔÓÙ Ô Ö Ø Ô ØÓÙ ÔÖô¹ ØÓÙ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ö ØôÒ group of divisorsµ ÙÑ ÓÐÞ Ø Û D F º Ì ØÓ Õ Ø ÓÑ Ö ØôÒ ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ö Ø divisorsµº
22 ½ ³ Ø Ó ØÙÕ Ó Ö Ø Ò Ò ØÙÔ ÖÓ Ñ Ø ÑÓÖ D = P P F a P P Ñ a P Z a P = 0 Õ Ò ÐÓÙ ØÓÙ P º Ì a P ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ Ø ÔÓÙ ÙÑ ÓÐÞÓÒØ Û ord P (D) ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ø Ü ØÓÙ Ö Ø º ³ Ò Ö Ø Ò Ó 0 := P P F 0 P, Òô Ò D = P P F Ø Ø Ð Ñ Ø Ó D Ò ÔÖôØÓ Ö Ø º ³À Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ D F ÑÔÓÖ Ò ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ü D 1 D 2 ord P (D 1 ) ord P (D 2 ) P P F µº Å Ð Ø Ò D > 0 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó D Ò ÔÓØ Ð Ñ Ø effectiveµº à ÔÓ Ó Ñ ÕÖ ÑÓ ÓÖ ÑÓ Ò Ó Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º º¾º ³ ØÛ D Ö Ø º Ï Ø Ö Ñ supportµ ØÓÙ D ÓÖÞÓÙÑ ØÓ ÒÓÐÓ supp(d) := {P P F ord P (D) 0}. ÇÖ Ñ ½º º º Ï Ñ ØÓÙ Ö Ø D ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ deg F D := P P F ord P (D) deg P. Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓÒ deg F D ÔÐ Û deg Dº Ñ ÓÐ Ð Ô Ò Ø Ô ØÓÒ Ñ ØÛÒ Ö ØôÒ ÔÖÓ ¹ ÔØ Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ deg : D F Zµº Ô ÓÐ ÔÓ Ò Ø Sti Iº µ Ø Ò x F \ {0} Õ Ñ ÒÓ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ Ô ÐÓÙ Ö Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º º º ³ ØÛ x F \ {0}º ÇÖÞÓÙÑ Û (x) 0 := ord P (x)p, ØÓÒ Ö Ø ØÛÒ Ö ÞôÒ ØÓÙ x, (x) := P P F ord P (x)>0 P P F ord P (x)<0 ( ord P (x))p, ØÓÒ Ö Ø ØÛÒ Ô ÐÛÒ ØÓÙ x (x) := (x) 0 (x) ØÓÒ Ö Ó Ö Ø principal divisorµ ØÓÙ x.
23 ½ ³ Ò Ò ÖÓÒ Ð ÑÑ Ò ØÓ Ô Ö ØÛº Ä ÑÑ ½º º º Á Õ Ø x K F (x) = 0º Ô Ü º µ ³ ØÛ x K F \{0} P ÔÖôØÓº Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º¾º ÕÓÙÑ Ø P K F = {0} Ö x / P Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¼ ord P (x) 0º ÇÑÓÛ ord P (x 1 ) 0 Ð ord P (x) 0º ËÙÒÓÝÞÓÒØ Ø Ð ÓÙÑ Ø ord P (x) = 0º µ ³ Ñ Ó Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º½ º Å ÙÔÓÓÑ Ø Ö Ñ Ò Ô Ö ØÛº ÇÖ Ñ ½º º º ÌÓ ÒÓÐÓ P F := { (x) x F \ {0} } ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ö ÛÒ Ö ØôÒ group of princpal divisorsµ ØÓÙ F/Kº Ò ÔÖÓ Ò Ø ØÓ P F Ò ÙÔÓÓÑ Ø D F º ³ Ø Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ½º º º À Ô Ð ÓÓÑ C F := D F / PF ÓÒÓÑ Þ Ø ÓÑ Ð ÛÒ Ö ØôÒº Ò D D F ÒØ ØÓ Õ Ð ÙÑ Óй Þ Ø Ñ [D]º Ó Ö Ø D,D D F ÓÒÓÑ ÞÓÒØ Ó Ò ÑÓ Ò [D] = [D ] ÙÑ ÓÐ D D µº ËØ ÙÒ Õ ÓÖÞÓÙÑ ØÓÙ L ÕôÖÓÙ ÔÓÙ Ô ÜÓÙÒ ÙØÓ ÔÖÛØ Û¹ Ò Ø Ö ÐÓ Ø ÛÖ Ñ ØÓ ôö Ñ Riemann-Rochº ÇÖ Ñ ½º º º ³ ØÛ A D F ÕÓÙÑ Ø L(A) := {x F (x) A } {0}. Å ÔÓÐ ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö Ò Ø L(A) {0} ÒÒ ÙÔ ÖÕ A A Ñ A 0º À Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø Ñ ÕÒ ÔÓ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ø Ø ØÛÒ L ÕôÖÛÒº
24 ½ ÈÖ Ø ½º º º ³ ØÛ A D F º Ì Ø µ ØÓ L(A) Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ K µ Ò A D F Ñ A A Ø Ø L(A) = L(A ) Û ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ µ L(0) = K µ Ò A < 0 Ø Ø L(A) = {0}º Ô Ü º ³µ ³ ØÛ x,y L(A) a Kº Ì Ø P P F Õ Ø ord P (x + y) min{ord P (x), ord P (y)} ord P (A), Ð x + y L(A) ord P (ax) = ord P (a) + ord P (x) ord P (A), Ð ax L(A)º ³µ Ó A A ÕÓÙÑ Ø A = A + (z) ÔÓ Ó z F \ {0}º  ÛÖÓ Ñ Ø Ô ÓÒ φ : L(A) L(A ) x xz φ : L(A ) L(A) x xz 1 Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ò Ð ÓÖ Ñ Ò K¹ Ö ÑÑ Ñ ÒØ ØÖÓ Ø ÐÐ º ³ Ø φ Ò ÓÑÓÖ Ñ º ³µ ÈÖÓ Òô K L(0)º ³ ØÛ ØôÖ x L(0) \ {0} Ø Ø (x) 0 Ö ØÓ x Ò Õ Ô ÐÓÙ Ö x K Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º¾º½ º ³µ ³ ØÛ x L(A) \ {0} Ø Ø (x) A > 0 Ð ØÓ x Õ ÖÞ ÐÐ Õ Ô ÐÓÙ ØÓÔÓº ËØ Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ñ Ø Ò L ÕôÖÓ Ò ÒÙ Ñ Ø Õô¹ ÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ËØ ÙÒ Õ Ñ Ð Ø ÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓÙ Û ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ø Ð ÜÓÙÑ Ø Õ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º Ä ÑÑ ½º º½¼º ³ ØÛ A,B D F A Bº Ì Ø L(A) L(B) dim K ( L(B) / L(A) ) deg B deg A.
25 ½ Ô Ü º ÌÓ Ø L(A) L(B) Ò ÔÖÓ Ò º Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò ÐÐ Õ Ò Ö Ø Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø B = A + P Ñ P P F Ò Ô ÖÔØÛ ÙÒ Ô Ø Ô Û º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø B = A + P Ñ P P F t F Ñ ord P (t) = ord P (B) = ord P (A) + 1º x L(B) ÕÓÙÑ Ø ord P (x) ord P (B) = ord P (t), Ö ord P (xt) 0 Ð xt O P º ÔÓÑ ÒÛ Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ø Ò Ô Ö ØÛ Ô Ò ψ : L(B) O P / P x xt, ÓÔÓ Ò K¹ Ö ÑÑ x ker ψ ord P (xt) > 0 Ð ord P (x) ord P (A)º ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø kerψ = L(A) Ö Ô ØÓ ½ Ó ôö Ñ ÓÑÓÖ ÑôÒ dim K ( L(B) / L(A) ) dimk ( OP / P ) = deg P = deg B deg A. ÈÖ Ø ½º º½½º A D F Ó L(A) Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ Ø A = A + + A Ñ A + A Ø ÔÖÓ Ò µº Ó L(A) L(A + ) Ö Ò ÜÓÙÑ Ø dim K L(A + ) deg A ³ÇÑÛ 0 A + Ö Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ Õ Ø dim K ( L(A+ ) / L(0) ) deg A+. Ñ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ ÕÓÙÑ Ø L(0) = K Ö dim K L(A + ) = dim K ( L(A+ ) / L(0) ) + 1 ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº α ητέτοιο tε ασ αλ εταια ότο εώ ημα...
26 ½ ËØ Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ñ Ø Ò L ÕôÖÓ Ò Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ø ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº ³ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ ½º º½¾º Ò Ò A D F Ó Ö Ó l(a) := dim K L(A) ÓÒÓÑ ¹ Þ Ø Ø ØÓÙ Aº ÔÓ Ò Ø Sti Iº µ Ø x F \ K Õ Ø Ø deg(x) 0 deg(x) Ò ØÓ ÔÓÐ Ñ [F : K(x)]º ËØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ó Ñ Ø Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ø Ø Õ Ø Ø º  ôö Ñ ½º º½ º x F \ K Õ Ø deg(x) 0 = deg(x) = [F : K(x)]. Ô Ü º  ØÓÙÑ n := [F : K(x)] B := (x) Ñ ÛÒ Ñ Ø Ô Ö ¹ Ô ÒÛ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø deg B nº Ô Ð ÓÙÑ {u 1,...,u n } Ñ Ø Ô Ø F/K(x) C D F Ø ØÓ Ó ô Ø C 0 (u i ) C i = 1,...,nº Ñ Ô Ø Ñ Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø k 0 Õ Ø x i u j L(kB + C) 0 i k 1 j nº Ô ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ø Ô Ö Ô ÒÛ ØÓ Õ Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ K Ö l(kb + C) n(k + 1) ½º µ k 0º  ØÓÙÑ c := deg C Ô Ø Ò Ô Ü Ø ½º º½½ Ô ÖÒÓÙÑ Ø n(k + 1) l(kb + C) k deg B + c + 1º ³ Ø k(deg B n) n c 1 ½º µ k Nº ³ÇÑÛ c > n Ó Ô Ø Ò Ô Ü Ø ½º º½½ ÕÓÙÑ Ø c > l(c) Ó C 0 l(c) n Ô ½º µ k = 0º ØÓÔÓ Ò deg B < n Ö deg B nº ³ Ø ½º µ Ò ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ ÔÓ Ò Ø Ù ÓÐ Ø Ö Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ø ØÓÙ K[x] Û ØÙÐÓÙ
27 ½ Dedekind Ros к µ ÑÛ ô ÔÖÓØ Ñ Ñ Ñ Ô Ó Ù Ö Ñ ¹ Ò ÔÖÓ º Ì ÐÓ ÔÖ Ò Ð ÓÙÑ ØÓ Ð Ó Ó Ñ Ñ Ö Ñ ÔÓÖ Ñ Ø ØÓÙ Ø Ð ÙØ ÓÙ ÛÖ Ñ ØÓº È Ö Ñ ½º º½ º Ò x F \ {0} Ø Ø deg(x) = 0º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓ ôö Ñ ½º º½ ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º º º È Ö Ñ ½º º½ º ³ ØÛ A,A D F Ñ A A º Ì Ø l(a) = l(a ) deg A = deg A º Ô Ü º ÌÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø Ñ Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µº È Ö Ñ ½º º½ º Ò A D F Ñ deg A 0 Ø Ø l(a) = 0 Ø Ò A 0 ÓÔ Ø l(a) = 1º Ô Ü º Ò deg A < 0 x L(A)\{0} Ø Ø deg((x)+a) = deg A < 0 Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ deg((x)+a) 0 Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ L(A) ØÓÔÓ Ö L(A) = {0} l(a) = 0º Ò deg A = 0 x L(A) \ {0} Ø Ø (x) + A 0 deg((x) + A) = 0 Ö (x) + A = 0 Ö A 0º Ì ÐÓ Ò A 0 Ø Ø Ô Ô Ö Ñ ½º º½ l(a) = l(0) Ñ ÔÓÙ L(0) = K Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ l(0) = 1º ιατονο ισμότο δακτ λ ο Dedekindδες Neu σελ..
28 Ã Ð Ó ¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÌÓ ÒØÖ ÔÓØ Ð Ñ ØÓÙ Ð ÓÙ ÙØÓ Ò ØÓ ôö Ñ Riemann- Rochº ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch Õ Ø ÖÞ ØÓÙ Ø Ò Ð Ö ÛÑ ¹ ØÖ Òô Ø ÒØ ØÓ ÕÓ Ò ÙÔ ÖÕ Ø Ò Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒº Ò ÖÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ø Ò Ò Ô Ò ÕÙÖÓ Ö Ð Ó ØÓ ÓÔÓÓ Ñ Ó Ò ÕÓÙÑ ÔÓØ Ð Ñ Ø Ø Â ÛÖ Ö ÑôÒ ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ù ÓÐ Ø Ö Ô Ø Ø Ò Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ Ó Ñ Ø Ô Ñ Ò Ð º À Õ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch Ò Ø Ó Ñ Ð ÔÓÙ Ø ÔÓÐÐÓ ÔÖ Ø ØÓ Ñ ÒØ Ø ÖÓ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÛÖ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº ËØÓ Ð Ó ÙØ ÛÖÓ Ñ Ô ÒØ Ø ØÓ F/K Ò ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø K F = Kº ¾º½ ÈÖÓ Ô ØÓ Ñ Ò ÒÒÓ ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ØÓ Ñ Ñ Ð Ñ Ò Ò ÓÖ ÓÙÑ ØÓ ÒÓ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ô ÙØ Ô Ü ÓÖ Ø Ö ÐÓº Ü Ò ¹ ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Ô Ñ Ó Ø ÔÖ Ø º ÈÖ Ø ¾º½º½º ÍÔ ÖÕ ÔÓ Ø Ö γ Z Ø ØÓ ô Ø A D F Ò Õ deg A l(a) γ. ¾¼
29 ¾½ Ô Ü º Ã Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ ÕÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 Ò Ö Ø Ø Ø A 1 A 2 deg A 1 l(a 1 ) deg A 2 l(a 2 ). ¾º½µ  ÛÖô Ò Ù Ö ØÓ x F \ K ØÓ ÓÔÓÓ Ô Ü Ó Ø Ö ÐÓ Ø Ò Ô Ü ØÛ B := (x) º Ì Ø ÓÐÓÙ ôòø Ø Ò Ñ Ò Ø Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ ½º º½ ô ØÓ ½º º½ Ø Ð ÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó C D F ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ x Ø ØÓ Ó ô Ø C 0 k 0 Õ Ø l(kb + C) (k + 1) deg B. ¾º¾µ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ ÕÓÙÑ Ø k 0 Õ Ø l(kb + C) l(kb) deg(kb + C) deg(kb) l(kb + C) deg C + l(kb). ¾º µ ËÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø ¾º¾µ ¾º µ Ø Ð ÓÙÑ Ø k 0 l(kb) (k + 1) deg B deg C = deg(kb) + (deg B deg C) Ð ÔÓ Ó γ Z Õ Ø deg(kb) l(kb) γ. ¾º µ  ÐÓÙÑ Ò ÜÓÙÑ Ø ¾º µ Õ Ñ Ò ÒØ Ø Ø ÓÙÑ ØÓ kb Ñ ØÓ ØÙÕ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ D F º Á ÕÙÖ Þ Ñ Ø Ø A D F ÙÔ ÖÕÓÙÒ A 1,D D F k Z 0 Ø ØÓ Ó ô Ø A A 1 A 1 D D kbº ÈÖ Ñ Ø Ò Ô Ð ÜÓÙÑ ÔÓ Ó A 1 D F Ø ØÓ Ó ô Ø A 1 A A 1 0 Ø Ø k Ö Ø Ñ ÐÓ l(kb A 1 ) l(kb) deg A 1 Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼µ deg(kb) γ deg A 1 Ô Ø Ò ¾º µúµ > 0 Ö Ø Ñ ÐÓ kµ º ³ Ö ÙÔ ÖÕ z L(kB A 1 ) \ {0} ØÓÒØ D := A 1 (z) Ô ÖÒÓÙÑ Ø A 1 D D A 1 (A 1 kb) = kbº
30 ¾¾ ³ Ø ÙÔÓ ØÓÙÑ Ø A 1 D ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ ÕÓÙÑ Ø deg A l(a) deg A 1 l(a 1 ) Ô Ø Ò ¾º½µÚµ = deg D l(d) Ô Ô Ö Ñ ½º º½ µ deg(kb) l(kb) Ô Ø Ò ¾º½µÚµ γ Ô Ø Ò ¾º µúµ Ð ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º½º¾º ÌÓ ÒÓ genusµ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K ÓÖÞ Ø Û g := max{deg A l(a) + 1 A D F }. ÌÓ ÒÓ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ò ÓÖ Ø Ñ ÑÛ Ò Ò Ó ÙÔÓÐÓ Ñ ØÓÙ Ò Ò ÓÐÓº Ñ Õ Ø g 0. ¾º µ ÌÓ ÔÓØ Ð Ñ ÙØ ØÓ Ð Ñ ÒÓÙÑ Ò ÛÖ ÓÙÑ ØÓÒ Ñ Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø deg 0 = 0 l(0) = 1 ÓÔ Ø deg 0 l(0) + 1 = 0 Ö Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ g 0º Å ÐÐ Õ ÔÓÙ ÔÓÖÖ Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ Ò Ø A D F Õ Ø l(a) deg A + 1 g, ¾º µ ÐÐ ô Ò Ø Ø Riemannº Ñ Õ ØÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ º  ôö Ñ ¾º½º Riemannµº Ò g ØÓ ÒÓ ØÓÙ F/K Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó c Z ÔÓÙ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ F/K Ø ØÓ Ó ô Ø Ò A D F Ñ deg A c Õ Ø l(a) = deg A + 1 g. Ô Ü º ³ ØÛ A 0 D F Ø ØÓ Ó ô Ø ½ deg A 0 l(a 0 ) + 1 = g c := deg A 0 +gº Ò A D F Ñ deg A c Ø Ø Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ Ø l(a A 0 ) deg(a A 0 ) + 1 g c deg A g = 1. ½ α ητέτοιο A 0 ε ασ αλ εταια ότονο ισμότο γένο ς.
31 ¾ ÔÓÑ ÒÛ ÙÔ ÖÕ z L(A A 0 ) \ {0}º  ÛÖÓ Ñ ÐÓ Ô Ò ØÓÒ Ö Ø A := A + (z) ØÓÒ ÓÔÓÓ Õ Ø A A 0 º ³ Ø ÕÓÙÑ deg A l(a) = deg A l(a ) Ô Ô Ö Ñ ½º º½ µ deg A 0 l(a 0 ) Ô Ð ÑÑ ½º º½¼µ = g 1. ÔÓÑ ÒÛ l(a) deg A + 1 g ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ñ Ø Ò Ò Ø Ø Riemann ÓÐÓ Ð ÖôÒÓÙÑ Ø Ò Ô Ü º ¾º¾ ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÌÓÒÞÓÙÑ ØÓÒ Ò Òô Ø Ø Ñ Ø Ò Ø ÔÛ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ÕÖ Þ Ø Ö Ø Ñ ÔÖÓÔ Ö Ù º ËØ Ò Ò Ø Ø ÙØ ØÙÔô ÓÙÑ ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ôö Ñ ¾º¾º½ µº Ë ÓÐ Ð Ö Ø Ò Ò Ø Ø Ñ g ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ ØÓ ÒÓ ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/Kº Â Ü Ò ÓÙÑ ÒÓÒØ ÔÓ ÓÙ ÕÖ ÑÓÙ ÓÖ ÑÓ º ÇÖ Ñ ¾º¾º½º A D F Ó Ö Ó i(a) := l(a) deg A + g 1 ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ö Ø Ø index of specialityµ ØÓÙ Aº À Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ Ñ Ü ÐÞ Ø A D F Õ Ø i(a) 0 Òô Ô ØÓ ôö Ñ Riemann ôö Ñ ¾º½º µ ÕÓÙÑ Ø Ò deg A Ò Ö Ø Ñ ÐÓ Ø Ø i(a) = 0º ÇÖ Ñ ¾º¾º¾º ÌÓ ÒÓÐÓ { A F := (α P ) P PF } α P O P Õ Ò Ð Ø P P F P P F F ÓÒÓÑ Þ Ø Ø Ð Ó ÕÛÖ ÑôÒ adele space repartition space adele ring idèle ringµº
32 ¾ ÓÐ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó Ñ Ø Ó Ø Ð Ó ÕÛÖ ÑôÒ Ò ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ Õ ÔÖ Ñ Ø ÓÑ ØÙÐÓÙ ÐÐ ÙØ Ñ Ô ÕÓÐ Ø Ö º ÒØ Ø Ñ ÒØ Ö ÐÓ Ø ÛÖ Ô Ü ØÓ ÓÒ Ø Õ ÓÑ K¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙº Ô x F Õ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ Ô ÐÓÙ Sti к ½ Ö Ñ φ : F A F z (z) P PF Ò Ð ÓÖ Ñ Ò Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ó Ñ ØÓ F Û K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ A F º Ô ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ù ØÖ ÔÓ Ø Ò Ø Ü Ò ÔÖôØÓÙ Ô ØÓ F ØÓ A F ÓÔ Ø P 1 P F ÓÖÞÓÙÑ ord P1 : A F Z { } (α P ) P PF ord P1 (α P1 ) ØÓ ÓÒ Ø Ò α A F Ø Ø ord P (α) 0 Õ Ò Ð Ø P P F Ò Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º Ó Ñ ØôÖ Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ó Ó Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ A F º ÇÖ Ñ ¾º¾º º A D F ÓÖÞÓÙÑ A F (A) := {α A F ord P (α) ord P (A) P P F }. ÌÓ Ô Ö ØÛ ôö Ñ Ñ Ó Ò ÕÓÙÑ Ñ ÔÖôØ ß ÓÕ Ð ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ô Ò Ò Ñ Õ Ö Ø Ö Ñ ØÓÙ ÒÓÙº  ôö Ñ ¾º¾º º A D F Õ Ø ( i(a) = dim AF K / AF (A)+F). Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 D F Ñ A 1 A 2 Ø Ø A F (A 1 ) A F (A 2 ) ( dim AF (A 2 ) K / AF (A 1 )) = deg A2 deg A 1. ¾º µ ÌÓ Ø A F (A 1 ) A F (A 2 ) Ò ÔÖÓ Ò º Ø Ò Ô Ü Ø ¾º µ Ö Ò ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÔØÛ A 2 = A 1 + P 1 Ñ P 1 P F Ò Ô ÖÔØÛ Ô Ø Ñ Ô Û º Ô Ð ÓÙÑ ¾ t F Ñ ord P1 (t) = ord P1 (A 1 )+1 ÓÑÓÛ ¾ α ητέτοιο tε ασ αλ εταια ότονο ισμότηςτ ηςενός ώτο.
33 ¾ Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ð ÑÑ ØÓ ½º º½¼ Ô Ò φ : A F (A 2 ) O P 1 / P1 (α P ) P PF tα P1 Ò Ð ÓÖ Ñ Ò K¹ Ö ÑÑ kerφ = A F (A 1 )º Ñ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø x O P1 Ò (β P ) P PF A F Ñ β P Ø ØÓ ô Ø ord P (β P ) = ord P (A 2 ) P P 1 β P1 = t 1 x Ø Ø (β P ) P PF A F (A 2 ) φ((β P ) P PF ) = x Ð φ Ò Ôº ³ Ø Ô ØÓ ½ Ó ôö Ñ ÓÑÓÖ¹ ÑôÒ Ô ÖÒÓÙÑ Ø Ò ¾º µº ËØ ÙÒ Õ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò A 1,A 2 ÔÛ ÔÖ Ò Ø Ø ( dim AF (A 2 ) )+F K / AF (A 1 )+F ÈÖ Ñ Ø ÛÖÓ Ñ Ø Ò ÓÐÓÙ = (deg A 2 l(a 2 )) (deg A 1 l(a 1 )). ¾º µ 0 σ 1 L(A2) σ / 2 L(A1 ) A F (A 2 ) / AF (A 1 ) σ 3 A F (A 2 )+F / AF (A 1 )+F σ 4 0 ¾º µ Ñ σ i Ø ÔÖÓ Ò º ³ ÕÓÙÑ Ø ÔÖÓ Òô imσ 1 = ker σ 2 im σ 3 = kerσ 4 imσ 2 kerσ 3 º ³ ØÛ ØôÖ α A F (A 2 ) Ñ σ 3 (α + A F (A 1 )) = 0 Ø Ø α A F (A 1 ) + F ÓÔ Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F Ñ α x A F (A 1 )º à ô A F (A 1 ) A F (A 2 ) Ø Ð ÓÙÑ Ø x A F (A 2 ) F = L(A 2 )º ³ Ø α + A F (A 1 ) = x + A F (A 1 ) = σ 2 (x + L(A 1 )) Ð kerσ 3 imσ 2 Ð ÙÒÓÐ imσ 2 = ker σ 3 º ³ Ø ÓÐÓÙ Ø Ò ¾º µ Ò Ö Õ Ö Rei к µ Ö ÕÖ ÑÓÔÓ ôòø Ø Ò ¾º µ Ô ÖÒÓÙÑ ( dim AF (A 2 ) )+F K / AF (A 1 )+F ( = dim AF (A 2 ( ) K / AF (A 1 )) L(A2 ) ) dimk / L(A1 ) = (deg A 2 deg A 1 ) (l(a 2 ) l(a 1 )). Ñ ÜÓÙÑ Ø Ò B D F Ñ l(b) = deg B + 1 g Ø Ø A F = A F (B) + F. ¾º½¼µ
34 ¾ ÈÖ Ñ Ø Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º º½¼ Ò B 1 B Ø Ø l(b 1 ) deg B 1 + l(b) deg B = deg B g. Ì ÙØ ÕÖÓÒ Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ l(b 1 ) deg B 1 +1 g Ö ÙÒÓÐ l(b 1 ) = deg B g B 1 B. ¾º½½µ ³ ØÛ ØôÖ α A F º ÈÖÓ Òô ÙÔ ÖÕ B 1 B Ø ØÓ Ó ô Ø α A F (B 1 )º Ô Ø ¾º µ ¾º½½µ ÕÓÙÑ ( dim AF (B 1 ) )+F K / AF (B)+F = (deg B 1 l(b 1 )) (deg B l(b)) = (g 1) (g 1) = 0, Ð A F (B) + F = A F (B 1 ) + F ÓÒ α A F (B 1 ) Ø Ð ÓÙÑ Ø α A F (B) + F Ð Ü Ñ Ø Ò ¾º½¼µº Ì ÐÓ ØÛ A Ö Ø º Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ö Ø A 1 A Ø ØÓ Ó ô Ø l(a 1 ) = deg A gº Ô Ø Ò ¾º½¼µ A F = A F (A 1 ) + F Ø ¾º µ Ò ( dim AF ( K / AF (A)+F) = AF (A dimk 1 ) )+F / AF (A)+F = (deg A 1 l(a 1 )) (deg A l(a)) = (g 1) + l(a) deg A = i(a). ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ Ñ ÕÒ Ø A D F Õ Ø l(a) = deg A + 1 g + dim K ( AF / AF (A)+F), ¾º½¾µ ÔÓÙ Ò Ñ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ø ÔÛ ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Rochº ¹ Ñ Ñ Ò Ò Ò Ñ ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ ØÓÙ ÒÓÙ ÔÛ Ð ÔÓÙÑ ØÓ Ô Ö ØÛ Ô Ö Ñ º È Ö Ñ ¾º¾º º Á Õ Ø g = dim K ( AF / AF (0)+F).
35 ¾ Ô Ü º Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º Õ Ø dim K ( AF / AF (0)+F) = i(0) := l(0) deg 0 + g 1 = g. ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ Ø Ò ÒÒÓ ØÓÙ ÓÖ Ó Weilº ÇÖ Ñ ¾º¾º º ³ Ò ÓÖ Weil ØÓÙ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ F/K Ò Ñ K¹ Ö ÑÑ Ô Ò ω : A F K ÔÓÙ Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F ÔÓ Ó A D F º ÌÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÓÖ ôò Weil ØÓÙ F/K ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ Ω F º ÓÐ Ð Ô Ò Ø ØÓ Ω F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ Ø Ò ÔÖÓ¹ Ò ÔÖ ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò x K ξ A F ω Ω F ÓÖÞÓÙÑ Û (xω)(ξ) := ω(xξ)µº ÓÐ Ð Ô Ò Ñ Ø Ñ Ó Ó ¹ Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÛÒ ØÓÙ Ω F Ô Ö Ö Ø ØÓÒ Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º¾º º A D F ÓÖÞÓÙÑ Ω F (A) := {ω Ω F ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F }. Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ô ÓÙÑ Ò Ò Ñ ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ÑÓ Ø Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ø º Ä ÑÑ ¾º¾º º A D F ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (A) = i(a)º Ô Ü º à ØÓ Õ Ó ØÓÙ Ω F (A) Ò K¹ Ö ÑÑ Ô Ò A F K Ö ÓÑ ÒÓÙ Ø ØÓ A F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Õ Ö Ø ÖÞ Ø ÔÐ ÖÛ Ô Ø Ò Ò ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ Ø K¹ ØÓÙ A F º Ì ÙØ ÕÖÓÒ ÑÛ Ö ô Ô ÙØ ÔÓØ ÐÓ Ò Ø Ò K¹ ØÓÙ A F (A)+F Ò Ñ ÙÑ Ò ô ÔÖ Ô Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º¾º Ò Ó ÒØ Ñ Ñ Òº ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø ( dim K Ω F (A) = dim AF ) K / AF (A)+F Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø Ñ º Ô ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ð ÑÑ Ð ÔÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÓÙÑ Ò Ò Ö Ø A ÕÓÙÑ dim K Ω F (A) = i(a) = l(a) deg A + g 1, ¾º½ µ
36 ¾ Ø Ò deg A 2 Ø Ø Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ µ ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (A) 1 Ð Ω F (A) {0} ÓÔ Ø Ω F {0}º Å Ñ ÔÓÐ Ñ ÒØ Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ ¾º¾º ØÓÒ ÓÖ Ñ ¾º¾º½ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø ØÓ ÒÓ Õ Ø g = dim K Ω F (0), ¾º½ µ Ð ØÓ ÒÓ ÑÔÓÖ Ò ÙÔÓÐÓ Ø Ñ Û ØÛÒ ÓÖ ôò Weilº Ì ÐÓ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø Ó K¹ ÑÛØ ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ ÔÓÙ ÓÖ Ñ Ô ¹ Ö Ô ÒÛ Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ Ω F Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ø Ò Ø Ù ÓÐÓ ØÓ F º ³ Ø ØÓ Ω F Ò F ¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ Ø ÓÖ ÑÛ Ø ØôÖ Ò x F ω Ω F Ñ ØÓ ω Ò Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A) + F ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A + (x)) + F º ³ Ø Ø Ω F (A) Ñ A D F Ò Ò F ¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F º Å Ô ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö ÔÓÙ ÔÓÖÖ Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ò Ø Ò x F ω Ω F \ {0} xω = 0 Ø Ø x = 0 Òô ÔÖÓ Òôµ Õ ØÓ ÒØ ØÖÓ Óº À Ø ØÓÙ Ω F Û F ¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ñ Ô ÕÓÐ Ó Ò ÓÖ Ø Ñ Ø Ò Ô Ü ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann-Roch ÔÖôØ ÑÛ ÓÖ ÓÙÑ ØÓ Ö Ø Ò ÓÖ Ó Weilº ÌÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ Ñ Ó Ò Ò Ð ÓÖ Ñ Ò ÒÒÓ ÙØ º Ä ÑÑ ¾º¾º º ³ ØÛ ω Ω F \{0}º Ì Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó ÑÓÒ A D F Ø ØÓ Ó ô Ø ω(a F (A) + F) = {0} Ó A Ò Ò Ñ Ø Û ÔÖÓ ÙØ Ò Ø Ò Ø Ø º Ô Ü º Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó c Ø ØÓ Ó ô Ø i(a) = 0 A D F Ñ deg A cº ³ÇÑÛ Ô ØÓ ôö Ñ ¾º¾º ÕÓÙÑ Ø Ò deg A c Ø Ø A F = A F (A)+F Ö ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ÓÐ Ð ÖÓ ØÓ A F Ð ω = 0 ØÓÔÓº ³ Ø Ò ÓÙÑ T := {A D F ω(a F (A)+F) = {0}} ÕÓÙÑ Ø Ó ÑÓ ÐÛÒ ØÛÒ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ T Ö ÓÒØ Ô ØÓ cº ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A T Ñ ØÓÙ ÑÓ º  ÜÓÙÑ Ø Ó A Ò Ó Þ ¹ ØÓ Ñ ÒÓ Ö Ø º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò A T Ø Ø ÔÖÓ Òô lcm(a,a ) T
37 ¾ ÔÓÙ lcm(a,a ) := max{ord P (A), ord P (A )}P D F. P P F ³ÇÑÛ deg lcm(a,a ) deg A Ö Ô Ø Ò Ñ Ø Ø Ø ØÓÙ deg A Ô Ø Ø deg lcm(a,a ) = deg A Ð ÔÖ Ô lcm(a,a ) = A Ð A Aº À ÑÓÒ Ø Ø ØÓÙ A Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò º Ô ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ð ÑÑ Õ Ò Ñ Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ º ÇÖ Ñ ¾º¾º½¼º Ç Ö Ø ÔÓÙ Ô Ö Ö Ø ØÓ Ð ÑÑ ¾º¾º ÓÒÓÑ Þ Ø Ö Ø ØÓÙ ÓÖ Ó Weil ω ÙÑ ÓÐÞ Ø Û (ω)º Ñ Ò W D F Ø ØÓ Ó ô Ø W = (ω) ÔÓ Ó ω Ω F \{0} Ø Ø Ó W ÓÒÓÑ Þ Ø ÒÓÒ Ö Ø º Å Õ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ø ØÛÒ Ö ØôÒ Weil ØÙÔôÒ Ø ØÓ Ô Ö ¹ ØÛ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ ¾º¾º½½º Ò A D F ω Ω F Ø Ø ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+ F ÒÒ A (ω)º Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ ¾º¾º ¾º¾º½¼º ³ ÐÐ Ñ Ø Ø ØÛÒ Ö ØôÒ ÓÖ ôò Weil Ò Ø Ø Ò Ô Ö ØÛ ÔÖ Ø º ÈÖ Ø ¾º¾º½¾º Ò x F ω Ω F \ {0} Õ Ø (xω) = (x) + (ω). Ô Ü º Ò ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+F ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A+ (x))+f Ö Ñ ÔÓÙ ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F ((ω))+f ØÓ xω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F ((x) + (ω)) + F Ö Ô Ø Ñ Ø Ø Ø ØÓÙ (xω) (ω) + (x) (xω). ÇÑÓÛ (xω)+(x 1 ) (x 1 xω) = (ω)º ³ Ø ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ô ÖÒÓÙÑ Ø (ω) + (x) (xω) (x 1 ) + (ω) = (ω) + (x).
38 ¼ Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÙÔÓÐÓ ÓÙÑ Ø Ø ØÓÙ Ω F Û ÒÙ Ñ ¹ Ø Ó ÕôÖÓÙ Ô ÒÛ Ô ØÓ F º ÈÖ Ø ¾º¾º½ º Á Õ Ø dim F Ω F = 1º Ô Ü º Ã Ø ÖÕ ÜÓÙÑ Ø Ò ω Ω F \ {0} x L((ω) A) Ñ A D F Ø Ø Õ Ø xω Ω F (A)º ÈÖ Ñ Ø Ó x L((ω) A) ÕÓÙÑ Ø (x) A (ω) Òô Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½¾ (xω) = (x)+(ω)º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø (xω) A Ð xω Ω F (A)º ËØ ÙÒ Õ ÜÓÙÑ Ø Ò ω Ω F \ {0} A D F Ø Ø ØÓ L((ω) A)ω Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F (A)º ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø ½º º ³µ ØÓ L((ω) A) Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ö ÓÐ ÑÔÓÖ Ò Ò Ø ØÓ L((ω) A)ω Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Òô Ô Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ø Ö Ô Ø Ñ Ø Ò ÙÔÓ ÒÓÐÓ ØÓÙ Ω F (A)º ÌÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø Ò ω,ω Ω F \ {0} Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ø ØÓ Ó ô Ø L((ω) A)ω L((ω ) A)ω {0}. ÈÖ Ñ Ø ÛÖÓ Ñ ÔÓ Ó P P F ØÓÙÑ D n := np n Nµº Ô Ø Õ ¾º½ µ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø dim K Ω F (D n ) = l(d n ) deg D n + g 1 = n deg P + g 1. ¾º½ µ Ô Ø Ò Ò Ø Ø Riemann Õ ¾º µúµ ØÓ ÓÒ Ø dim K L((ω) D n )ω = dim K L((ω) D n ), Õ Ø dim K L((ω) D n )ω = l((ω) + np) deg(ω) + n deg P g + 1, Òô ØÓ Ó Õ ØÓ ω º ³ Ø Ô ÖÒÓÙÑ Ø dim K L((ω) D n )ω + dim K L((ω) D n )ω 2n deg P + deg(ω) + deg(ω ) 2g + 2. τόισχ ειδιότιαν ω Ω F \ {0}και x F τότε xω = 0 x = 0 ό ςε δαμε στασχόλιαμετ τολήμμα...
39 ½ ³ Ø n Ö Ø Ñ ÐÓ ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ n deg P + g 1 ÔÓÙ Ô Ø Ò Õ ¾º½ µ Ó Ø Ñ dim K Ω F (D n )º Ð Ò ÓÙÑ Û n 1 ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ö Ñ ÒÓ n A := D n1 Ø Ø dim K L((ω) A)ω + dim K L((ω) A)ω dim K Ω F (A). ³ Ø ØÓ Ø Ð ÙØ Ó Ô ØÓ Õ ô Ö ÑÑ Ð Ö Ñ ÔÓÙ ÔÛ Ñ Ô Ö Ô ÒÛ Ø L((ω) A)ω L((ω ) A)ω Ò K¹ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ Ω F (A) Ñ Ò ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð Ñ º Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ º ÓÑ ÒÓÙ ÐÓ Ô Ò Ø Ω F {0} Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ω 1,ω 2 Ω F \ {0} Ø Ø ÙÔ ÖÕ z F Ø ØÓ Ó ô Ø ω 1 = zω 2 º ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ø ØÓ Ó ô Ø M := (L((ω 1 ) A)ω 1 L((ω 2 ) A)ω 2 ) \ {0}. ³ Ø Ò m M ÙÔ ÖÕÓÙÒ x,y F Ø ØÓ ô Ø m = xω 1 = yω 2 Ð z := x 1 y ÕÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº À Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Ø Ò ÓÙ Ñ Ò ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÑÛ ÔÖ Ô Ò ÜÓÙÑ ÔÖôØ Ñ Ö ÔÓÖ Ñ Ø Ø º È Ö Ñ ¾º¾º½ º Ò ω Ω F \ {0} A D F Ø Ø L((ω) A) = Ω F (A). Ô Ü º ³ ÕÓÙÑ Ô Ö Ô ÒÛ Ø Ø Ó ÒÓÐ Ò K¹ ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Òô Ø Ò Ô Ü Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø Ü Ñ Ø L((ω) A) Ω F (A)º ³ Ø Ö Ò ÜÓÙÑ Ø L((ω) A) Ω F (A)º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò ω Ω F (A)º Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½ ÙÔ ÖÕ x F Ø ØÓ Ó ô Ø ω = xωº ÓÒ ØÓ ω Ñ ÒÞ Ø ØÓ A F (A)+F ÕÓÙÑ Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò Ø Ò ÔÖ Ø ¾º¾º½¾µ Ø A (ω ) = (x) + (ω) Ð (x) ((ω) A) Ð x L((ω) A)º È Ö Ñ ¾º¾º½ º Ç ÒÓÒ Ó Ö Ø ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ð Ö ØôÒ Û ÔÖÓ Ø Ò ÙÔÓÓÑ ØÛÒ Ö ÛÒ Ö ØôÒ P F º
40 ¾ Ô Ü º ÌÓ Ø Ó ÒÓÒ Ó Ö Ø Ò Ó Ò ÑÓ Ô Ø Ñ Ô Ø ÔÖÓØ ¾º¾º½¾ ¾º¾º½ º ³ ØÛ ØôÖ ω Ω F \ {0} A [(ω)]º Ì Ø ÔÓ Ó x F ÕÓÙÑ Ø A = (x) + (ω) = (xω) Ð Ó A Ò ÒÓÒ Ö Ø º ³ Ø Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ø Ò Ð ØÛÒ ÒÓÒ ôò Ö ØôÒ ÓÔÓ ÓÒÓÑ Þ Ø ÒÓÒ Ð canonical classµ ØÓÙ F/K ÙÑ ÓÐÞ Ø Ñ W F º Ñ Ø ÔÐ ÓÒ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ Riemann-Rochº  ôö Ñ ¾º¾º½ Riemann-Rochµº Ò W W F Ø Ø A D F Õ Ø l(a) = deg A + 1 g + l(w A). Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô Ø ÔÓÖ Ñ Ø ¾º¾º½ ¾º¾º½ Ø Ò Õ ¾º½ µº ¾º ËÙÒ Ô ØÓÙ Riemann-Rochº ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ò Ò Ô Ø ÕÙÖ Ø Ö Ö Ð Ø Ò ÛÖ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº ô Ó Ñ ÔÓ Ñ Ô ÐÓÙ ØÓÙ ¹ ÔÓ ØÛÒ ÓÔÓÛÒ Ó ÓÙÒ ØÓ Ó ØÓ ôö Ñ Ò Ò Ô Ó ÕÖ ØÓº Ü Ò ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò Õ Ö Ø ÖÞÓÒØ Ø Ò ÒÓÒ Ð W F º ÈÖ Ø ¾º º½º W W F ÕÓÙÑ Ø deg W = 2g 2 l(w) = gº Ô Ü º ³ ØÛ W W F º ÌÓ ôö Ñ Riemann-Roch A = 0 Ò Ø l(0) = deg g + l(w) Ö l(w) = l(0) 1 + g Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø l(w) = gº Ñ ØÓ Riemann-Roch A = W Ò l(w) = deg W + 1 g + l(0) Ö deg W = l(w) + g 1 l(0), Ð Ô ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ deg W = 2g 2º ÈÖ Ø ¾º º¾º Ò W D F Ñ deg W = 2g 2 l(w) g Ø Ø W W F º
41 Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ÔÓ Ó A D F Ñ deg A = 2g 2 l(a) g ÔÓ Ó W W F º Ì Ø ÔÓ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch ÕÓÙÑ Ø g l(a) = deg A + 1 g + l(w A) = g 1 + l(w A). ³ Ø l(w A) 1º ³ÇÑÛ deg(w A) = 0 Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø W A 0 Ð W Aº ÌÓ Ô Ñ ÒÓ ôö Ñ ÔÖÓ ÓÖÞ Ñ Ö Ø Ø Ö c ÔÓÙ Ò Ö ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µº  ôö Ñ ¾º º º À Ø Ö c ØÓÙ ÛÖ Ñ ØÓ Riemann Ò 2g 1º Ô Ü º ³ ØÛ A D F Ñ deg A 2g 1 W W F º Ì Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º½ ÕÓÙÑ Ø deg W = 2g 2 Ö deg(w A) < 0 ÓÔ Ø Ô ØÓ Ô Ö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ Ø l(w A) = 0º ÌôÖ ØÓ ôö Ñ Riemann-Roch Ñ Ò l(a) = deg A + 1 g. ÌÓ Ø Ø Ö ÙØ Ò Ò Ñ Ö Ø Ö Ô 2g 1 Ô Ø Ñ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º½ Ó deg W = 2g 2 Ò Õ Þ ØÓ Ñ Ò Õ º ËØ ÙÒ Õ ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ô ÖÜ ØÓ Õ ÛÒ ØÓÙ F ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ò ÑÓÒ Ô ÐÓº ÈÖ Ø ¾º º º Ò P P F Ø Ø n 2g ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F Ø ØÓ Ó ô Ø (x) = np º Ô Ü º n 2g Ô ØÓ ôö Ñ ¾º º ÕÓÙÑ Ø l((n 1)P) = (n 1) deg P + 1 g l(np) = n deg P + 1 gº ³ Ø l((n 1)P) l(np) Ö L((n 1)P) L(nP)º Ò x L(nP) \ L((n 1)P) Ø Ø (x) = np º ÃÐ ÒÓÒØ ØÓ Ð Ó ÙØ ô ÓÙÑ Ò Ò ÓÑÝ Õ Ö Ø Ö Ñ ØÓÙ Ö ØÓ ôñ ØÓ ÙÒ ÖØ ÛÒ ÈÖ Ø ¾º º º ³ ÕÓÙÑ Ø ØÓ F/K Ò Ö Ø ÒÒ g = 0 ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó A D F Ñ deg A = 1º
42 Ô Ü º ËØ Ò Ô Ü ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ ÔÓÙ ÕÖ ¹ ÑÓÔÓ Ñ ØÓ ôö Ñ ½º¾º½ º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø F = K(x)º À Ô ÖÜ Ö Ø ÑÓ 1 Ò Ø ØÖ ÑÑ Ò ÔºÕº D := P µº Ñ Ô ØÓ ôö Ñ Riemann º ¾º½º µ n > 0 Ñ ÐÓ ÕÓÙÑ Ø l(np ) = n g + 1º Ô ÔÐ ÓÒ Ø K¹ Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø 1,x,...,x n ÔÖÓ Òô Ò ÓÙÒ ØÓ L(nP ) Ð l(np ) n + 1º ³ Ø ÙÒÓÐ g 0º ³ÇÑÛ ÔÛ Ñ Ø Õ Ð Ñ Ø ØÓÒ ÓÖ Ñ ØÓÙ ÒÓÙ Õ Ø g 0º ÔÓÑ ÒÛ ÙÒÓÐ g = 0º ÒØ ØÖÓ ØÛ Ø g = 0 A D F Ñ deg A = 1º Ô deg A > 2g 1 Ô ØÓ ¾º º ÕÓÙÑ Ø l(a) = 2 > 0 Ö Ô Ø Ò Ô Ö Ø Ö ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º º ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó Ø A D F Ñ A Aº ÓÒ ØôÖ dim K L(A ) = l(a ) = 2 ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x L(A ) \ K Ö (x) 0 (x) + A 0º ³ÇÑÛ ÓÒ A 0 deg A = 1 Ø Ø ØÓ Ó Ò Ø Ñ ÒÓ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ A = (x) º ³ Ø Ô ØÓ ôö Ñ ½º º½ ÕÓÙÑ [F : K(x)] = deg(x) = deg A = 1, Ð F = K(x)º
43 Ã Ð Ó Ô Ø ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ ËØÓ Ð Ó ÙØ ÓÖ ÓÙÑ ÔÓ ÒÒÓ Ô Ö ØÛÒ Ô Ø ÛÒ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ó Ñ ÔÓ ÔÐ Ø Ø ØÓÙº ØÛÒ ÒÒÓ ôò ÔÓÙ ÓÖ ÓÙÑ ØÓ Ð Ó ÙØ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙ¹ Ñ Õ Ø ÓÐ Ø ÒØ ØÓ Õ Ñ ÐÛÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø Ð Â ÛÖ Ö ÑôÒ ÔÛ ØÓ ôö Ñ Riemann-Hurwitz Ø Ò ABC ÑÛ ¹ Ø Ø ØÓ Ó Ü Ô ØÓÙ ÓÔÓ Ñ º Ø ÔÓ Ü ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓ Ros º º Ñ ØÓ Ð Ó ÙØ Ü ÓÐÓÙ ÓÙÑ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ñ ØÓÙ ÙÑ ÓÐ ÑÓ Ø Ô Ö ÓÕ ØÛÒ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÛÒ Ð ÛÒ Ô Õ Ñ Ø Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó ½ ÔÓÙ ÙØ Ò Ô Ö Ø ØÓº º½ Ò Ø Ø ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ó Ñ ÔÓ ÒÒÓ Ø Ø ØÛÒ Ô Ô Ö Ñ ÒÛÒ Ô Ø ÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº Ü Ò ÓÙÑ ÐÓ Ô Ò ÓÖÞÓÒØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ô Ø º ½ Δηλαδήόλεςοιαλγε ικέςε εκτ σειςτο ε ναιδιαχ σιμες.
44 ÇÖ Ñ º½º½º Ò F/K ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ L Ð Ö Ô Ø ØÓÙ F E := K L Ø Ø ØÓ L/E Ò Ô Ø ØÓÙ F/K ÙÑ º F Lµº Ò [L : F] < Ø Ø F L Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø Ò L = EF Ø Ø ÕÓÙÑ Ñ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ Ò E = K Ø Ø ÕÓÙÑ Ñ ÛÑ ØÖ Ô Ø º Ò Ò ÔÖÓ Ò Ø ØÓ L/E ØÓÙ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒº ÔÓ Ò Ø ÑÛ Ð Ô Mor Ôº ½ º½ µ Ø Ò F 1 /F 2 /F 3 Ò Ò Ô Ö Ó Ô Ø ÛÒ ÛÑ ØÛÒ trdeg(f i /F j ) Ó Ñ ÙÔ Ö Ø ¹ Ø Ø ¾ Ø Ô Ø ÛÑ ØÛÒ F i /F j Ø Ø trdeg(f 1 /F 3 ) = trdeg(f 1 /F 2 ) + trdeg(f 2 /F 3 ), º½µ Ð Ô Mor Ôº ½ º & Óº ½ º½ µ Ø trdeg(f i /F j ) = 0 ÒÒ Ô Ø F i /F j Ò Ð Ö º ³ Ø ÕÓÙÑ Ø Ò F,K,L E ÔÛ ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½ Ø Ø Õ Ø trdeg(f/k) = 1 trdeg(l/f) = 0 trdeg(e/k) = 0º Ì ÐÓ Ô Ø Õ º½µ Ô ÖÒÓÙÑ Ø trdeg(l/e) = 1 Ð ØÓ L/E Ò ÔÖ Ñ Ø ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ Ó ÓÖ Ñ º½º½ Ò Ð º Ñ Ò Ñ Ó ÙÑÔ Ö Ñ ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º½º½ Ò ØÓ Ô Ö ØÛ Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º½º¾º Ò ØÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/K Ø Ø [E : K] <. Ô Ü º  ÛÖÓ Ñ ØÓ ôñ ÙÒ ÖØ ÛÒ L/K ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ô Ø ¹ Ñ Ô ØÓ Ð ÑÑ ½º½º º Ç ÓÖ Ñ º½º½ ÕÒ ÔÓÐ ÔÐÓ Ó ÐÐ ØÓ Õ Ñ º½ ÔÓÙ Ô Ö Ð Ñ Ò ØÓ Ð ÑÑ º½º¾µ ØÓÒ Ò Õ Ñ Ø Ò ÛØ Ø º Å Ñ ÕÖ Ñ Ô Ö Ø Ö Ò Ø F EF L Ñ F EF Ô Ø Ø ÖÓ ¾ ια τον γενικό ο ισμό το α μο ε ατικότητας μιας ε έκτασης λέ ε Mor σελ.. ον ο μεότιστην ε τ ση ο trdeg(f i /F j ) = 1ογενικόςο ισμός καιοο ισμός.. τα τ ονται κατ ο ανήτ ό ο.
45 Ô Ô Ö Ñ Ò F L ÙÔ Ö Ø ÑÓ ½ E ÙÔ Ö Ø ÑÓ ½ K Ô Ô Ö Ñ Ò ËÕ Ñ º½ ÌÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/Kº ôñ ØÓ EF L ÛÑ ØÖ º Ô ô Ô Ö ÛÖÓ Ñ Ø ØÓ L/E Ò Ô Ô Ö Ñ Ò Ô Ø ØÓÙ F/K ÕÛÖ Ò Ò Ø Ò ÓÖ º ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ Ôô Õ ØÞÓÒØ Ó ÔÖôØÓ ØÓÙ L/E Ñ ÒÓÙ ØÓÙ F/Kº ÇÖ Ñ º½º º ³ ØÛ P P F P P L º Ä Ñ Ø Ó P Ö Ø Ô ÒÛ lies aboveµ Ô ØÓÒ P ÙÑ º P P µ Ò O P = O P F P = P O P º Ó Ñ ØôÖ ÔÓ Ñ ÔÓÙ Õ Ö Ø ÖÞÓÙÒ Ø Ò Ô Ö Ö Ñ Ò Ô ØÓÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓÖ Ñ Õ º Ò Ñ Ñ Ò Ð ÑÑ ÔÓÙ Ò Ø Ñ Ð ÓÖ Ñ Ò º Ä ÑÑ º½º º Ò P P ÔÛ ÔÖ Ò Ø Ø µ ØÓ O P /P Ò ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ O P / P µ P O P = P e ÔÓ ÓÒ Ö Ó e 1º Ô Ü º ³µ Ô Ø Õ Ð ÔÖ Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ ½º¾º½½ ØÓ ôö Ñ ½º¾º½¾ Ø O P / P O P /P Ò ÒÙ Ñ Ø Ó ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø Ô ÒÛ Ô Ø K E ÒØ ØÓ Õ Òô Ð Ñ ÒÓÒØ ÙÔ Ý Ò ØÓ Ð ÑÑ º½º¾ Ô ÖÓÙÑ Ø ØÓ O P /P Ò ÙØ K¹ ÒÙ Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö Ñ Ò Ø º ³ Ø Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ O P / P Ò ÙÔ ÕÛÖÓ ØÓÙ O P /P º ÙØ Ò Ñ Ó Ò Ô Ö Ø Ö Ò Ø Ô Ò φ : O P / P O P /P α + P α + P
46 Ò ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ º ³µ ³ ÕÓÙÑ Ø ØÓ P O P Ò Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P Ö Ö Ò ÜÓÙÑ Ø ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓ Õ Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P º ÈÖ Ñ Ø Ò I Ñ Ñ Ò Ò Ó ô ØÓÙ O P P = to P Ø Ø ØÓ ÒÓÐÓ A := {r N t r I} Ò Ñ Ò Ø ØÓ I Ô Ö Õ ÔÓ Ó Ñ Ñ Ò Ñ ÒØ ØÖ Ý ÑÓ ØÓ Õ Ó Ð ØÓ Õ Ó ØÓÙ to P ØÛ t r u Ñ r 1 u O P µ ÓÔ Ø u 1 t r u = t r Iº  ØÓÙÑ n := min(a) ÕÓÙÑ Ø I t n O P Ø ÔÖÓ Ò ØÖ ÔÓ Ò y I \ {0} Ø Ø y = t m w Ñ m 1 w OP Ö tm I Ö ÔÖ Ô n m Ð Û Ð Õ Ø Ø Ø ØÓÙ n ÔÓÑ ÒÛ y t n O P Ð ÙÒÓÐ I = t n O P = P n º ³ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÓÖ Ñ Õ Ò Ñ º ÇÖ Ñ º½º º Ò P P Û Õ Ø Ñ relative degree inertia degreeµ ØÛÒ P P ÓÖÞÓÙÑ ØÓÒ Ö Ñ f(p/p) := [ O P / P : O P / P ] Û Ø Ð Û ramification indexµ ØÛÒ P P ÙÑ º e(p/p)µ ØÓÒ Ö Ó e ÒÓ ÔÓÙ P O P = P e º Ò e(p/p) = 1 Ø Ø Ð Ñ Ø Ó P Ö Ò inertsµ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P ÐÐ ô Ð Ñ Ø Ð ôò Ø ramifiesµ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P º Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÙÒÓ ÕÙ Ö ÓÙÑ ÔÐ f e ÒØ ØÓ Õ º Ñ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ø Ó Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ò Ô ÒØ 1º Ô Ñ Ñ ÙÒ Ô ØÛÒ ÓÖ ÑôÒ Ò Ø a F ÕÓÙÑ Ø ord P (a) = e ord P (a). º¾µ Ó Ñ ØôÖ Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ø ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ñ ôòº ÈÖ Ø º½º º Ò K L M P P K P P L p P M Ø ØÓ ô Ø p P P Ø Ø e(p/p) = e(p/p) e(p/p) f(p/p) = f(p/p) f(p/p). τόγ νεταια ότο εώ ημα.. α.
47 Ô Ü º ³ Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ º Å ÕÖ Ø Ñ ÑÛ Ò Ñ Ó Ø Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ P P ÔÓÙ Ò ÒÓ¹ ÔÓ Ó Ò Ø Õ P P Ó Ø Ô Ò ÙØ Ò Ñ Ø ÖÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ Ò Ô Ø Óº À Ô Ñ Ò ÔÖ Ø Ô ÒØ Ò Ñ Ö µ ÙØ ØÓ ÖôØ Ñ º ÈÖ Ø º½º º Ò F L Ø Ø µ P P L ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó ÑÓÒ P P F Ø ØÓ Ó ô Ø P P µ P P F ÙÔ ÖÕ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ò ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÓ Õ ØÓÙ P L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ÙØ º Ô Ü º ³µ ³ Ñ Ó Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º º ³µ Ô Ø Ò ÔÖ Ø ¾º º ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó x F \ K Ø ØÓ Ó ô Ø Ó P Ò Ò ÑÓÒ ØÓÙ ÖÞ º  ÜÓÙÑ Ø P P ord P (x) > 0. º µ ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò º¾µ Ò P P Ø Ø ord P (x) = e ord P (x) > 0º ÒØ ØÖÓ Ò ord P (x) > 0 Q Ó ÑÓÒ ÔÖôØÓ ØÓÙ F/K Ñ P Q Ø Ø Ô Ø Ò º¾µ Õ Ø ord Q (x) > 0º ³ÇÑÛ ØÓ x Õ Û ÑÓÒ ÖÞ ØÓ F/K ØÓÒ P Ö P = Qº ³ Ø º µ Ñ Ð Ø Ó P Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P ÒÒ Ò ÖÞ ØÓÙ x ØÓ L/Eº ³ÇÑÛ ØÓ x ØÓ L/E Õ ØÓ ÔÓÐ ØÓÙÐ Õ ØÓÒ Ñ ÐÐ Ô Ô Ö Ñ Ò ØÓ ÔÐ Ó ÖÞ ØÓ L/Eº Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò Ô Ö Ô ÒÛ ÔÖ Ø Õ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ñ ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ L/E ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô Ò Ò ÔÖôØÓ ØÓÙ F/Kº Ô Ñ ÒÓ Ø ÕÓ Ñ Ò Ò ÜÓÙÑ Ø Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ÓÙÑ ØÓÒ Ø Ð Û Ñ ØÓÒ Õ Ø Ñ P P L ÔÓÙ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ P P F ÔÖÓ ÓÙÑ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ò Ñ Ò ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÔÓÙ Ô ÖÓÙÑ Ò [L : F]º Ò Ñ Ñ Ñ ÔÐ ÔÖ Ø º ÈÖ Ø º½º º Ò P P F P P L P P Ø Ø ef [L : F]º
48 ¼ Ô Ü º ÓÒ f = [ O P/P O : P / P ] ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓ ω 1,...,ω f O P Ø ØÓ ô Ø Ø ω 1,..., ω f O P /P Ò Ò Ö ÑÑ Ò ¹ Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ O P / P º Ñ Ô ØÓ ôö Ñ ½º¾º ³µ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó T L Ø ØÓ Ó ô Ø P = T O P º  ÜÓÙÑ Ø Ø ef ØÓ ÔÐ Óµ ω i T j Ñ 1 i f 0 j < e Ò Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ F º ³ ØÛ ÐÓ Ô Ò Ø e 1 j=0 f a ij ω i T j = 0 i=1 Ò Ñ Ø ØÖ ÑÑ ÒÓ Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ Ñ a ij F º Ô ÕÛÖ Ð Ø Ò Ø Ø ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø a ij O P Ø ØÓ ôñ Ð ¹ Ñ ØÛÒ ØÓÙ O P Ò ØÓ F µ Ø ØÓÙÐ Õ ØÓÒ ÔÓ Ó Ô ÙØ Ò Ò ØÓ P ÔÓÐÐ ÔÐ ÞÓÒØ ÓÖ ÕÖ Ø Ø Ò Õ Ñ t 1 ÔÓÙ t F Ø ØÓ Ó ô Ø P = to P µº  ÛÖÓ Ñ ØôÖ Ø ØÓ Õ A j := f a ij ω i i=1 0 j < eº Ò ÐÓ Ô Ò ÔÓ Ó j ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó a ij / P Ø Ø a ij 0 Ö Ô Ø Ö ÑÑ Ò Ü ÖØ ØÛÒ ω i µ ÕÓÙÑ Ø Ā j 0 Ð A j / P Ð A j OP º ÒØ Ø Ò a ij P i Ø Ø t A j Ö Ñ ÔÓÙ t = T e Ô Ø Ò Ô Ü ØÓÙ Ð ÑÑ ØÓ º½º ³µ ord P (A j ) eº ³ Ø Ô Ø Ò ÕÙÖ ØÖ ÛÒ Ò Ø Ø Ó Ð Ø j ÔÓÙ ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó a ij / P Ø ord P A j T j Ò ÓÖ Ø Ò Ó ÐÐ Ô ÒØ < e Ò ÔÓÙ Ò Õ ÙØ Ø ord P A j t j Ò eµ ÕÓÙÑ Ø ( e 1 ) ord P j=0 A jt j < e 1 eº ³ÇÑÛ j=0 A jt j = 0 ord P (0) = ØÓÔÓº ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ ØÓÒ ÕÙÖ Ñ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô Ø L/F Ò ÕÛÖ Ñ º ÈÖ Ø º½º º Ò Ô Ø L/F Ò ÕÛÖ Ñ Ø Ø P P F Ò {P 1,...,P k } Ò ØÓ ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ØÓ P e i := e(p i /P) f i := f(p i /P) Ø Ø k e i f i = [L : F]. i=1
49 ½ Ô Ü º À ÔÖ Ø Õ Ò ØÙÐÓÙ Dedekind Ø Ò Ô Ü Neu º I Ôº º¾µ º Ó Ñ ØôÖ Ø ÙÑ Ò Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ º ÈÖ Ø º½º½¼º ³ ØÛ Ø L/F ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Ô Ø ÑÓ p p = charf º Ò F = L p P P F Ø Ø ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ P P L Ø ØÓ Ó ô Ø P P º Ñ e = p f = 1 ÓÔ Ø ef = [L : F]º Ô Ü º  ØÓÙÑ R := {r L r p O P } P := {r L r p P }º ÓÑ Ò Ø Ø ÙØ Ø Ø (a ± b) p = a p ± b p ôñ Ø Õ Ö Ø Ö Ø p ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ R Ò Ø Ð Ó ØÓ P ÔÖôØÓ ô ØÓÙ Ø P O P = P º  ÜÓÙÑ Ø Ó R Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ ØÓÙ L/Eº ³ ØÛ t ÒÒ ØÓÖ ØÓÙ P º ÓÒ L p = F ÙÔ ÖÕ ÔÓ Ó T L Ø ØÓ Ó ô Ø T p = tº ÈÖÓ Òô T Pº ³ ØÛ x L ÓÔ Ø x p F Ö x p = ut s ÔÓÙ u OP s Zº Â Õ Ø (x/t s ) p = u Ð x/t s R Ñ ÔÓÙ u 1 O P u 1 = (T s /x) p ÕÓÙÑ Ø T s /x Rº ³ Ø Ø Ð ÓÙÑ Ø ØÓ Õ Ó ØÓÙ L Ò Ò Ñ ÒÓ ÔÓ Ò Ñ ØÓÙ T Ñ ÔÓ Ó ØÓ Õ Ó ØÓÙ R º ÓÐ ÐÓ Ô Ò Ø Ð ÓÙÑ Ø P = TR Ø ÔÖ Ñ Ø ØÓ R Ò Ø Ð Ó ÔÓØÑ º Ü Ñ ÐÓ Ô Ò Ø P P L P P º ³ ØÛ P Ò ÐÐÓ ÔÖôØÓ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö Ø Ô ÒÛ Ô ØÓ P º Ò x O P Ø Ø x p F O P Ö x R Ð O P Rº ³ Ø Ô ØÓ ½º¾º½¼ ³µ Õ Ø O P = R Ö P = P º Å Ñ Ò ÐÓ Ô Ò Ò ÜÓÙÑ ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ Ø e fº ÈÖ Ñ Ø Ô Ø Ò º¾µ Ñ ÔÓÙ ord P (t) = p ÕÓÙÑ Ø e = p Ô Ø Ò º½º ÕÓÙÑ Ø ef p Ö f = 1º Ó Ñ ØôÖ ÔÓ Ò Ð Ö ÔÖÓØ ÔÓÙ Ñ Ó ¹ ÓÙÒ Ö Ø Ö º ÍÔ Ò ÙÑÞÓÙÑ Ø Ò ôñ Ð Ø Ø Ð Ó Ò Ð Ö ØÓÙ Ô Ø Ò ÕÛÖ Ñ Ó Ò Ñ Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑ ØÓÙ Ò ÕÛÖ ÑÓº Ä ÑÑ º½º½½º Ò ØÓ F Ò ôñ Ñ charf = p > 0 Ø Ø ØÓ F Ò Ø Ð Ó ÒÒ F = F p º
50 ¾ Ô Ü º  ÕÖ ÑÓÔÓ ÓÙÑ ØÓ ÓÒ Ø Ò charf = p > 0 f F[X] Ò Û Ó Ø Ø f Ñ ÕÛÖ ÑÓ ÒÒ f F[X p ] Ash Ôº º º ¾µ µº ( ) Ó F Ø Ð Ó ÕÓÙÑ Ø α F ØÓ X p α Ò Ò Ò Û Óº ³ÇÑÛ X p α = (X p α) p Ö ÔÖ Ô X p α F[X] Ð p α F º ³ Ø F F p Ö F = F p º ( ) Ò f F[X p ] Ø Ø f F p [X p ] Ö ØÓ f Ò Ø ÑÓÖ f(x) = α p 0 + α p 1X p + + α p nx p n = (α 0 + α 1 X + + α n X n ) p, Ö f Õ Ò Û Óº ÈÖ Ø º½º½¾º Ò ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ Õ Ö Ø Ö Ø p > 0 Ø Ø [F : F p ] = pº Ô Ü º ³ ØÛ x F \ K Ø Ø [F : K(x)], [F : K(x p )] < º Ã Ø ÖÕ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø K(x) p = K p (x p ) = K(x p )º Ñ Ò Ñ Ò Ø ØÓ ÒÓÐÓ {1,x,x 2,...,x p 1 } Ò Ñ K(x p )¹ ØÓÙ K(x) Ø ÕÓÙÑ Ø [K(x) : K(x p )] = p. º µ ËØ ÙÒ Õ Ò Ô ÖÓÙÑ {ω 1,...,ω m } Ñ K(x)¹ ØÓÙ F Ð ÔÓÙÑ ÓÐ Ø ØÓ ÒÓÐÓ {ω1,...,ω p m} p Ò Ñ K(x) p ¹ ØÓÙ F p Ø ÙÒÓÐ ÕÓÙÑ Ø Ñ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø [F : K(x)] = [F p : K(x p )]. º µ [F : K(x p )] = [F : K(x)] [K(x) : K(x p )] º µ [F : K(x p )] = [F : F p ] [F p : K(x p )], º µ Ø Ô Ø º µ º µ º µ º µ Ø Ð ÓÙÑ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº È Ö Ñ º½º½ º Ò ØÓ K Ò Ø Ð Ó ôñ Õ Ö Ø Ö Ø p > 0 Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ ÑÓ p Ø Ø E = K L p = F º
51 Ô Ü º ³ ØÛ a Eº Ü ÓÖ ÑÓ ØÓ a Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÓÒ Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ ÑÓ p ÕÓÙÑ Ø a p F Ò Ð Ö Ô ÒÛ Ô ØÓ K ÓÔ Ø a p Kº ³ Ø Ô ØÓ Ð ÑÑ º½º½½ ÕÓÙÑ a K Ð E K ÓÔ Ø Ø Ð E = Kº ÓÒ Ô Ø E/K Ò Ð Ö ØÓ E Ò ÙØ Ø Ð Óº ³ Ø Ô Ø Ò ÔÖ Ø º½º½¾ ÕÓÙÑ Ø [L : L p ] = pº ³ÇÑÛ Ó Ô Ø L/F Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Õ Ø L p F Ø ÙÒÓÐ [F : L p ] = 1 ÓÔ Ø L p = F º ÈÖ Ø º½º½ º ³ ØÛ K Ø Ð Ó ôñ F M L Ñ M Ø Ñ Ø ÕÛÖ Ñ Ô Ø ØÓÙ F º Ì Ø ØÓ ÒÓ ØÓÙ M Ò Ó Ñ ØÓ ÒÓ ØÓÙ Lº Ñ p P M ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ P P L Ø ØÓ Ó ô Ø P p Ñ e(p/p) = [L : M] f(p/p) = 1º Ô Ü º Ò N ØÓ ôñ Ø ÖôÒ ØÓÙ M Ø Ø ØÓ N Ò Ø Ð Ó Û Ð ¹ Ö Ô Ø ØÓÙ Kº ÓÒ ØôÖ Ô Ø Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ Ñ Ô ØÓ Õ ô Ð Ö ÙÔ ÖÕÓÙÒ ôñ Ø K 0,K 1,...,K n Ø ØÓ ô Ø F M = K 0 K 1 K n 1 K n = L i 1 Ò Õ Ø Ô Ø K i /K i 1 Ò ÔÐ ÖÛ Ñ ÕÛÖ ¹ Ñ ÑÓ pº Å Ô Û ØÓ Ô Ö Ñ º½º½ Ø Ð ÓÙÑ Ø K i 1 = K p i º ³ Ø Ó Ô ÓÒ φ i : K i K i 1 α α p Ò ÓÑÓÖ ÑÓ Ð Ð Ø K i ÕÓÙÒ ØÓ Ó ÒÓº ³ÇÐÓ Ó ÙÔ ÐÓ ÔÓ ÕÙÖ ÑÓ ÔÓÒØ Ñ Ñ Ô Û ÒÓÒØ ÕÖ ØÓÙ ÔÓÖ Ñ ØÓ º½º½ Ø ÔÖ Ø º½º½¼ Ø ÔÖ Ø º½º º ÈÐ ÓÒ Ñ Ø Ò ÜÓÙÑ ØÓÒ ÕÙÖ Ñ ÔÓÙ Ò Ñ Ø Ð º  ôö Ñ º½º½ Â Ñ Ð ô Ì ÙØ Ø Ø µº ³ ØÛ F/K ôñ ÙÒ ÖØ ¹ ÛÒ K Ø Ð Ó L ôñ Ø ØÓ Ó ô Ø [L : F] = n º Ò P P F
52 {P 1,...,P m } P L Ó ÔÖôØÓ ØÓÙ L ÔÓÙ Ö ÓÒØ Ô ÒÛ Ô ØÓÒ P e i := e(p i /P) f i := f(p i /P) Ø Ø m e i f i = n. i=1 Ô Ü º ³ ØÛ M Ñ Ø Ñ ØÓ Lµ ÕÛÖ Ñ Ô Ø ØÓÙ F º i ØÓÙÑ p i ØÓÒ ÔÖôØÓ ØÓÙ M ÔÓÙ Ö Ø ØÛ Ô ØÓÒ P i Ñ ØÓÙÑ e i := e(p i /P) f i := f(p i /P)º Ô Ø Ò ÔÖ Ø º½º Õ Ø m e if i = [M : F]. i=1 Ñ Ô Ø ÔÖÓØ º½º º½º½ Õ Ø e i = e i[l : M] f i = f i º ³ Ø ØÓ Ô Ö Ô ÒÛ ÖÓ Ñ Ò m e i f i = [L : M] [M : F] = n. i=1 À Ñ Ð ô Ø ÙØ Ø Ø ÔÓ Ò Ø ÕÛÖ Ò ÙÔÓ ÓÙÑ Ø ØÓ K Ò Ø Ð Ó Ñ ÕÖ ÓØ ØÛÒ ØÛÒ ÛÑ ØÛÒ ÙÒ ÖØ ÛÒº È Ö Ð ÙØ Ñ ô ØÓ Ü Ñ Ñ Ò Ñ ÓÙ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÕÖ ÑÓÔÓ ¹ Ó Ò ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ø Ð Ó Dedekindº ÙØ Ó Ô Ö Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ñ ÓÙ Ñ Û Ñ Ö Ò ÖÓÒØ Ò Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÛ Ø Ò ÔÖ Ø º½º½ º Ø Ò Ô Ü Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ ØÓ Sti IIIº½ º ËØ ÙÒ Õ Ó Ñ ÔÓ Ñ ÒØ Ô ÓÒ Ñ Ö ÔÐ Ø Ø ØÓÙº ÌÓÒÞÓÙÑ Ø Ó Ô Ö ØÛ ÒÒÓ Ò Ð ÓÖ Ñ Ò Õ Ö Ø Ò ÔÖ Ø º½º º ÇÖ Ñ º½º½ º Ò F L Ø Ø Ô Ò N L/F : D L D F Ñ N L/F (P) = f(p/p)p, ÔÓÙ P P L P Ó ÑÓÒ µ ÔÖôØÓ ØÓÙ F ÔÓÙ Ö Ø ØÛ Ô ØÓÒ P Ô Ø Ò Ñ Ò Ö ÑÑ ÐÓ ØÓ D L ÓÒÓÑ Þ Ø Ò ÖÑ Ø Ñ normµº Ô Ô Ò i L/F : D F D L Ñ i L/F (P) = e(p/p)p, P P
53 ÔÓÙ P P F Ô Ø Ò Ñ Ò Ö ÑÑ ÐÓ ØÓ D F ÓÒÓÑ Þ Ø ÙÒ ÖÑ conormµº Ò Ñ Ó Ô ØÓÙ ÓÖ ÑÓ Ø Ò ÖÑ Ò Ô ÑÓÖ Ñ ÙÒ ÖÑ ÑÓÒÓÑÓÖ Ñ º Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÖÑ Ø ÙÒ ÖÑ Ø Ò Ñ Ð ô Ø ÙØ Ø Ø ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø (N L/F i L/F )(D) = [L : F] D. º µ Ñ Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ Ø Ò ÖÑ Ø ÙÒ ÖÑ Ø Ò ÔÖ Ø º½º ÕÓÙÑ Ø Ò F M L A D F A D L Ø Ø i L/F (A) = i L/M (i M/F (A)) N L/F (A) = N L/M (N M/F (A)). º µ º½¼µ À Ô Ñ Ò ÔÖ Ø Ñ ÕÒ Ôô Õ ØÞÓÒØ Ó ÑÓ ØÛÒ ÔÖÓ ÒÛÒ Ñ ÒÓÙ ØÛÒ ÒÛÒ ØÛÒ Ò Ð Û Ô ÓÒ ÛÒº ÈÖ Ø º½º½ º Ò A D L A D F Ø Ø deg F (N L/F (A)) = [E : K] deg L A deg L (i L/F (A)) = [L : F] [E : K] deg F A. Ô Ü º Ö Ò ÜÓÙÑ ØÓÙ ÕÙÖ ÑÓ Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ Ó Ö Ø A A Ò ÔÓ Ó ÔÖôØÓ P P ÒØ ØÓ Õ º ³ Ø Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÖÕ Ø [ OP / P : K ] = [ O P / P : E ] [E : K] = [ O P / P : O P / P ] [ OP / P : K ], Ð [E : K] deg L P = f(p/p) deg F P, º½½µ Ô ÔÓÙ Ô Ø Ñ ÔÖôØ ÔÖÓ Ô Ü Ü Û º
54 ËØ ÙÒ Õ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø deg L (i L/F (P)) = e(p/p) deg L P P P 1 = e(p/p)f(p/p) deg [E : K] F P = P P [L : F] [E : K] deg F P, ÔÓÙ ÔÖôØ Ü Û Ô Ø Ô ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½ Ø Ö Ô Ø Ò º½½µ ØÖØ Ô ØÓ ôö Ñ º½º½ º ÃÐ ÒÓÒØ Ø Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ Ó Ñ Ñ ÔÖ Ø Õ Ø Ñ Ø Ùѹ Ô Ö ÓÖ Ø ÙÒ ÖÑ Ø P F P L Ø ÓÑ ØÛÒ Ö ÛÒ Ö ØôÒº ÈÖ Ø º½º½ º Ò a F Ø Ø i L/F ((a) F ) = (a) L º Ô Ü º ³ ÕÓÙÑ Ø i L/F ((a) F ) = i L/F ( ) ord P (a)p P P F = ord P (a) e(p/p)p p P F P P = P P L e(p/p) ord P (a)p = P P L ord P (a)p =: (a) L. Ô Ø Ò Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ÙÒ ÖÑ Ô Ù ÓÐÓ Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ C F C L ØÓÒ ÓÔÓÓ Ô ÙÑ ÓÐÞÓÙÑ Ñ i L/F º º¾ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ÕÓÐ Ó Ñ Ñ Ô Ø Ø ÖÓ ôñ ØÓ ¹ ÔÛ ÙØ ÓÖ Ø Ò ØÓÒ ÓÖ Ñ º½º½º Ç Ô Ø ÙØ Ò Ø Ö δώεννοο με (a) F := P P F ord P (a)pκαι (a) L := P P L ord P (a)p.
55 Ñ ÒØ Ø ÛÖ ÙØ Ø Ô Ö Ö ÓÙ ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ ôö Ñ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ Ø ôñ Ø ÙÒ ÖØ ÛÒ Ø Ò Ò ØÓÙ ÑÓÖ¹ º Ì ÐÓ Ø Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ÒÓÙÑ Ô Ö ÓÕ Ò Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ö Ó Ô ÛÖÓ Ñ Ø ØÓ ôñ K Ò Ø Ð Ó ÕÛÖ Ò Ò Ø Ø Ö Ò ÓÖ º Ü Ò ÓÙÑ Ñ ÔÓ Ø Ø ØÛÒ Ô Ø ÛÒ Ø ÖÓ ôñ ØÓº ÈÖ Ø º¾º½º Á Õ Ø [FE : F] = [E : K] Ø K¹ ØÓÙ E Ò F ¹ ØÓÙ FEº Ô Ü º Ò Ô Ø E/K Ò Galois Ø Ø Ñ ÔÓÙ E/K Ô Ô Ö Ñ Ò E F = K Ó ØÓ K Ò ØÓ ôñ Ø ÖôÒ ØÓÙ F µ ÕÓÙÑ Ø Ô Ø FE/F Ò Galois Gal(FE/F) = Gal(E/K) Ô ØÓ Ash º º¾º¾ º ³ Ø Gal(FE/F) = Gal(E/K) Ð [FE : F] = [E : K]º ³ ØÛ Ø Ô Ø E/K Ò ÕÛÖ Ñ º  ØÓÙÑ Û E 1 Ø Ò Ð Õ Ø Ô Ø ØÓÙ K ØÓ Ē ÔÓÙ Ò Galois Ô ÒÛ Ô ØÓ Kº Ì Ø ÓÑ ÒÓÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ ÕÓÙÑ Ø [E 1 : K] = [FE 1 : F] = [FE 1 : FE][FE : F] [E 1 : K] = [E 1 : E][E : K], Ð ÙÒÓÐ [FE 1 : FE][FE : F] = [E 1 : E][E : K]. º½¾µ ³ÇÑÛ ÔÖÓ Òô [FE 1 : FE] [E 1 : E] [FE : F] [E : K] Ø Ô Ø Ò º½¾µ Ô ÖÒÓÙÑ Ø [FE 1 : FE] = [E 1 : E] [FE : F] = [E : K]º ³ ØÛ ØôÖ Ø {α 1,...,α n } Ñ K¹ ØÓÙ Eº Ì Ø ØÓ Õ Ó e ØÓÙ E Ö Ø Û e = n i=1 k iα i Ñ k i K Ö ØÓ Õ Ó r ØÓÙ FE Ö Ø Û r = m j=1 f je j Ñ f j F e j E ÓÔ Ø ( m m n n m n r = f j e j = k ij α i = f j k ij )α i = f iα i. j=1 j=1 f j i=1 α ητέτοιο E 1 ε ναι ο ανής. i=1 j=1 i=1
½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô
Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει
Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº à ï Ä ÁÇ
Å Ñ ¾ º½ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÙÖ Ò Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º º º º º º ½ º ÈÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò º º º º º º
È Ö Õ Ñ Ò Á ³ Ò ÖÜ Ñ Ñ ØÓ ÁÁ ÖÕ Ñ Ñ Ø ½ Å Ñ ½ ½º½ Û º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓÖ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ¾ ÓÑ ¹ Ì Ø ÖØ»»¾ ÃÙ ÐôÑ Ø ÔÖ Ü ÛÒ ¹ ËØÓ Õ ô ÑÓÒ Ö Ñ Ø»¾¾ Ö Ñ Ø ÔÖ Ü ÔÓÙ Ø Ð Ø Ò Ò ÀºÍº Ò À ÔÖ ¾ Ù ôò
f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. (X, A) f (Y, B) g (Z, C) f 1 (E) A Õ E Eº (iii) a R f 1 ([a, )) Mº (iv) a R f 1 ((, a]) Mº
ÇÐÓ Ð ÖÛ º½ Å ØÖ Ñ ËÙÒ ÖØ È Ö Ø Ö º½ µ Å ÙÒ ÖØ f : X Y Ñ Ø Ü Ñ ÒôÒ ÙÒ ÐÛÒ Ô ½ Ñ Ô Ò f 1 : P(Y ) P(X) : B f 1 (B) {x X : f(x) B}. À Ô Ò ÙØ Ø Ö ÙÑÔÐ ÖôÑ Ø Ù Ö Ø Òô Ù Ö Ø ØÓÑ º µ Ò B P(Y ) Ò σ¹ Ð Ö Ó Ó Ò
a x = x a x. Ηθετικήλύσητηςεξίσωσηςαυτής(για a = 1)είναιοαριθμόςτου Fibonacci 5 1 φ =. 2 ΟΑριστοτέληςδενχρησιμοποιείτονόρο,αλλάπροτιμάτοκάθετος.
Ã Ð Ó ½¾ ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ Ø³ ÇÑÓ Ø Ø ½¾º½ Ì Ô Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓ٠س ÇÖ ÑÓ ÇÖ ÑÓ Ø ÓÑÓ Ø Ø Ù Ù Ö ÑÑÛÒ Õ Ñ ØÛÒº ÈÖ Ø ½ ÌÓ ôö Ñ º ÈÖÓØ ¾ ÇÑÓ Ø Ø ØÖ ôòûòº ÈÖÓØ ½ Ò ÐÓ Ö ØÑ Ñ ØÛÒº ÈÖÓØ ½ ½ Ò ÐÓ Ñ º ½¾ ½¾ à ï Ä ÁÇ ½¾º
º º½ Destination-Sequenced Distance-Vector (DSDV) º º º º. º º Temporally Ordered Routing Algorithm (TORA) º º º
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖôÒ ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ ÌÑ Ñ Å Õ Ò ôò ÀÐ ØÖÓÒ ôò ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÔÐÛÑ Ø Ö Ð Ö ÑÓ Ô Ó ÒÛÒ Ad-hoc Ã Ò Ø ØÙ È Ò ôø à ÒÓ Å ¾½¾ Ô Ð ÔÛÒ ÉÖ ØÓ ÖÓÐ È ØÖ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼ c Copyright È Ò ôø à ÒÓ ÁÓ Ð Ó ¾¼¼
p din,j = p tot,j p stat = ρ 2 v2 j,
ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Öº Ò ÍÔÙØ ØÚÓ Þ Ð ÓÖ ØÓÖ Ú ¹ Å Ò ÐÙ Í Å Ò ÐÙ Ø ÓÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ Ò Ø Ü ÚÓ ÐÙ º Ç ÒÓÚÙ Ø ÞÒ Õ Ò ÖÒÙÐ Ú Ò Õ Ò Ò Õ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø ÔÖÓ¹ Ö ÕÙÒ ØÖÙ Ò ÓØÔÓÖ º ÅÒÓ Ó Ø ÓÖ ÞÒ ÒÓ Ñ ÒÞ ØÖÙ ÑÓ Ù ÔÖÓÚ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ
ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÑÓÖ Û ÈÖÓÔØÙÕ ÛÒ ËÔÓÙ ÛÒ ÌÑ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ÛÒ È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ Å Ñ Û Ø Ò Ô Ø Ñ ØÛÒ ÍÔÓÐÓ ØôÒ ÌÅÀÅ Ä ÉÇÍ Controlµ Ã Ì ÉÏÊÀÌ Ë Registersµ º Bussesµ ÃÍÃÄÇÁ ÅÀÉ ÆÀË Machine Cyclesµ Á ÍÄÇÁ ØÑ Ñ Ð ÕÓÙ
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼
Ö ØÓØ Ð Ó È Ò Ô Ø Ñ Ó ÈÓÐÙØ ÕÒ ËÕÓÐ Ò ÌÑ Ñ Ö Ñ Ø Ò ÐÙ Ä ÛÒ È Ø Ó Ð Â ÐÓÒ ¾¼¼ ¾ È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó i ½ Ð Ö ÑÓ Ë ÐÑ Ø ½ ½º½ ÔÐÙ ÈÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ð Ö ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ Ð Ö ÑÓ Ù Ó ô º º º
v w = v = pr w v = v cos(v,w) = v w
Íö Ú Ò ÔÖ Ø Ô Ö ÔÖ ØÝ Ô Ð Ùö Ú ÒÝÒ ÝÖ Ð ÓØ Ó µ º ºÃÐ ØÒ Ë ÓÖÒ Þ ÔÓ ÒÐ Ø Ó ÓÑ ØÖ ½ ÁÞ Ø Ð ØÚÓ Æ Ù Å Ú º ÖÙ µº Ã Ø Ùö Ú Ò ÝÖ Ú Ø ÒÅ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ºÚÙºÐØ» Ø ÖÓ» ¾» л Ò Ó» ÓÑ ÙÞ º ØÑ ½ Î ØÓÖ Ð Ö ÒÅ Ö Ú ØÓÖ ÒÅ
Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Προσομοίωση Δημιουργία τυχαίων αριθμών Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
v[m/s] U[mV] 2,2 3,8 6,2 8,1 9,7 12,0 13,8 14,2 14,6 14,9
Á ¹ È ÖÙÔ ½º ÖÞ ÚÓÞ Ö ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 1 = 45,0 m/s ÔÖÙ ÒÓÑ ÔÖ Ð ÞÙ Ó ÔÙØ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò ÔÖ Ú ÔÖÙ Ö ÙØÓÑÓ Ð ÓÒ Ø ÒØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÒØ ÒÞ Ø Ø v 2 = 15,0 m/s Ó Ò Ð º Í ÓÐ Ó Ö Ò ÚÓÞ Ñ ØÙ ÞÚÙ ÙÕ Ø ÒÓ
S i L L I OUT. i IN =i S. i C. i D + V V OUT
Ç ÒÓÚÒ ÓÒÚ ÖØÓÖ ÈÓ Ó ÒÓÚÒ Ñ ÔÖ Ñ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ù ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù ÓÓ Ø Ù ¹ ÓÓ Øº ËÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ Ù Ö Ø Ö Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ñ ÖÓ Ñ Ð Ñ Ò Ø Þ Ø Ú Ù Ò ÓÒØÖÓÐ Ò ÔÖ ÒÙ Ó Ù Ò Ð Ñ Ò ÓÒ ÒÞ ØÓÖº Æ Ò Ó ÓÚ ØÖ ÓÒÚ ÖØÓÖ
Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί νόμοι
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Τεχνικές βασισμένες στα Δίκτυα Αναμονής Εισαγωγικά Επιχειρησιακοί
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ
ØÖÓÒÓÑ ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò Ö Ò Ë Ð ØÛ ØØ Ö¹ ØÖÓÒÓÑ Íº Ù ÍÒ Ú Ö ØØ Ù ÙÖ ¹ Ò Ö ËÓÒÒ ÒÐ Ù Ñ Î ÖÐ Ù Ò Â Ö Ð ÙÒ ½ Û ÙÒ Ö ËÓÒÒ Ö Ò À ÑÑ Ð ÞÙ Ï ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð Ò Ò Ò ÙÒ ËÓÑÑ Ö Ò Ò ÖÞ Ù Ø Ñ Ø Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ë ØØ Ò ÔÙÖ µ ½ ÒÐ
M 2. T = 1 + κ 1. p = 1 + κ 1 ] κ. ρ = 1 + κ 1 ] 1. 2 κ + 1
Å Ü Ò ÙÐØ Ø ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Ã Ø Ö Þ Ñ Ò Ù ÐÙ Ð Ò Ö Ëº Ó Ì Ä ÈÊÇÊ ÉÍÆ Æ ÃÁÀ ËÌÊÍ ËÌÁ ÁÎÇ ÄÍÁ Á ÆÌÊÇÈËÃ Ê Ä Á κ = 1.4µ ½ ½ ÁÞ ÒØÖÓÔ Ö Ð ÃÓÖ Ø Ò ÑÓ Þ Þ ÒØÖÓÔ Ó ØÖÙ ½ Ú ÔÓÑÓ Ù Ò ÜÙ ØÓØ ÐÒ Ú Ð Õ Ò Ø Ø
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων. Α.-Γ. Σταφυλοπάτης.
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Πειράματα Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μαθηματική μορφολογία Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 11 ÅÑØ ÑÓÖÓÐÓ 11.1 ÅÓÖÓÐÓ ÔÜÖ ÙôÒ ÒÛÒ À ÑÑØ
Z
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÈÖ ÑÓö È Ø ÖÐ Ò Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÌÇÅËÃÇ Â ÊÇ º½ ÍÚÓ Î Ø Ñ ÔÓ Ð Ú Ù ÓÑÓ Ù Ú Ö Ð Þ Ó ÒÓÚÒ Ñ Ð ØÒÓ ØÑ ØÓÑ Öº ÈÓÞÒ Ú Ò Ø Ð ØÒÓ Ø ÔÓÑ Ñ ÒÓ Þ Ö ÞÙÑ Ú Ò Ñ Ò ÒÓ Ø Ò
N i. D i (x) = 1 N i. D(x, x ik ). (3, 1), (3, 0.9), (3, 0.8), (3, 0.8) (4, 0), (4, 0.1), (4, 0.2). k=1. j=1
Å Ì Å ÌÁà Á Î µ ÍÔÓÖ Å Ø Ñ Ø Á Ú Ð ØÖÓØ Ò ÚØÓÖ ØÙÑ Å Ð Ø À Ò Ú Ù Ø ¾¼¼ ½ âì ÎÁÄËà ÎÊËÌ ½º Ê ÎÊâ Æ ΠÇÊ Î ÃÓ ö Ð ÑÓ Ò Ö ÞÚÖ Ò ÚÞÓÖ ÑÓ ÒÓ Ö ÞÚÖ Ø Ø ÓÞº ÓÔÖ Ð Ø ÞÖ ÙÒ ÑÓ Ö Þ Ð Ø ÚÞÓÖ Ó Ú ÞÒ Ò Ö ÞÖ ÓÚ ÚÞÓÖ
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ14) Περίοδος ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η. Τότε r r b c. και ( )
Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήμες (ΦΥΕ4) Περίοδος 8-9 ΕΡΓΑΣΙΑ η Θέμα (μονάδες ) i. Δείξτε ότι ( a b) c a ( b c ) + b( a c ). a b c+ c a b+ b c a ii. Δείξτε την ταυτότητα Jacobi : ( ) ( ) ( ) Απάντηση i.
iii vii Abstract xiii iii
È Ò Ô Ø Ñ Ó È ØÖÛÒ ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ÛÒ ÇÑÓ Ò Å ØÖ Einstein Ë Ò ÙÑ Ò ÈÓÐÐ ÔÐÓØ Ø Ë Ñ ÛÒ ÁÛ ÒÒ Ãº ÉÖÙ Ó ØÓÖ ØÖ Ô Ð ÔÛÒ Ô ÓÙÖÓ Ã Ø Ò Ö Ö Ò ØÓ ÛÖ Ó È ØÖ ¾¼½¼ ÖôÒ Ø ØÓÙ ÓÒ ÑÓÙ ÃÖØÛÒ Å Ö È Ö Õ Ñ Ò È Ö Õ Ñ Ò ÙÕ Ö Ø
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Σχηματισμός και αντίληψη εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 2 ËÕÑØ Ñ ÒØÐÝ ÒÛÒ 2.1 ËÕÑØ Ñ ÒÛÒ
arxiv: v1 [math.dg] 3 Sep 2007
Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÛÓ Ò ÐÓ Ó Ø Å Ò ÓÛ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ò Ö Áº Ó Ö Ò Ó ½ arxiv:0709.0158v1 [math.dg] 3 Sep 2007 ØÖ Ø ÙØ ÓÖ Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ö ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÔ Ò Ò ÐÓ ÙÖ Ò Ê Ñ ÒÒ Ò Ô º Ì Ö ØÓ Ð ÔÖÓ
tan(2α) = 2tanα 1 tan 2 α
½º ÙÒ Ð ØØ ½º Ò Ò Å Ò Ò M 1 = {1,4,9,16,25,36,49,64,...}, M 2 = {4,6,8,9,10,12,14,15,...}. µ Ö Ò Ë M 1 ÙÒ M 2 ÙÖ Ò Ò Ö Ò Ø ÓÖÑ Ð Ù º µ Ò Ë M 1 M 2 Òº µ Ò Ë M 1 \M 2 ÙÒ M 2 \M 1 Òº µ Ï Ú Ð ÚÓÒ Ò Ò Ö Ú Ö
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë
ÊÁËÌÇÌ Ä ÁÇ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ Â ËË ÄÇÆÁÃÀË ËÉÇÄÀ Â ÌÁÃÏÆ ÈÁËÌÀÅÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË Ð ÃÓÙ ÓÙÐÓ ÒÒ Å Ä ÌÀ ÆÌÇÈÁËÅ ÆÏÆ Ì Ä ÆÌÏË ÏÆ Ë ËÍËÌÀÅ Ì ÈÇÄÄÏÆ ÂÅÏÆ Ä ÍÂ ÊÁ Ë ØÓÖ ØÖ Â ÐÓÒ ¾¼¼ ËÁÄÀË ÃÇÍÃÇÍÄÇ Á ÆÆÀË ÍÔ ØÖÓ Ó ØÓÙ
x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2
¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð
Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
ÄÓ Ñ ÒÓ ØÓ Ãô ØÓ Ë Ø Ñ Ø Ì Ñ À Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009 ½ º Ó Ó Ð Ó Διεύθυνση Πληροφορικής ΔΕΗ Τομέας Συστημάτων Γραφείου ÚºÞÓÙ Ó ºÓѺ Ö ¹Ñ Ð Αθήνα 19 Ιουνίου 2009 Συνεδριο Δημιουργων ΕΛ/ΛΑΚ 2009
arxiv:quant-ph/ v1 28 Nov 2002
Ò ÒÚ Ø Ø ÓÒ ØÓ ÉÙ ÒØÙÑ Ñ Ì ÓÖÝ arxiv:quant-ph/0211191v1 28 Nov 2002 Û Ö Ïº È ÓØÖÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð È Ý ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ý ØÓ Ä ÔÓÛ ½ ÈÐ ½ ¾ Ý ØÓ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô ÐÔ ºÙÛ º ÙºÔÐ Â Ò Ë ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó È Ý ÍÒ Ú Ö
plants d perennials_flowers
ÈÖÓ Ð Ø Ç Ø ÌÀÇÅ Ë ÁÌ Ê Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Â Å Ë Âº ÄÍ Ù Ò ÐÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÌÀÇÅ Ë ÄÍà ËÁ ÏÁ Ì Ò ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ï Ò Ò Îº ˺ ËÍ Ê ÀÅ ÆÁ Æ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å ÖÝÐ Ò Ì ÓÙ Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÑÓ Ð ÓÓ
ÍÒ Ú Ö Ø Ð Ù ÖÒ Ö ÄÝÓÒ Á ÁÒ Ø ØÙØ È Ý ÕÙ ÆÙÐ Ö ÄÝÓÒ Ì ÓØÓÖ Ø ËÔ Ð Ø È Ý ÕÙ Ô ÖØ ÙÐ ØÙ Ù Ò Ð À ¼ ¼ ÙÜ ÓÐÐ ÓÒÒ ÙÖ ÖÓÒ ÕÙ Ø ÒØ Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ù ÐÓÖ Ñ ØÖ Ù ÊÙÒ ÁÁ Ù Ì Ú ØÖÓÒº Ô Ö È ÖÖ ¹ ÒØÓ Ò Ð ÖØ ËÓÙØ ÒÙ Ð ½
+ m ev 2 e 2. 4πε 0 r.
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö Ë ËÚ Ø Ò Ò Ó Ø Ò ê ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú ÇËÆÇÎ ÅÇÄ ÃÍÄËà ÁÇ Á Áà º½ ÍÚÓ ÅÓÐ ÙÐ Ó Þ Ó Ö ÚÒ Ú Ð ØÒÓ Ø Ó ÒÓÚÒ Ø ÚÒ ÐÓÚ ÓÐÓ Ø ÑÓÚ ØÓ ØÓ¹ ÑÓÚ ÑÓÐ ÙÐ ÓÒÓÚ Ò Ñ ÖÓÑÓÐ Ùк Ç Ö ÚÒ Ú ØÙ ÞÚ ÞÓ
p a (p m ) A (p v ) B p A p B
½ ËØ Ø ÐÙ ½º½ ÍÚÓ ÈÖ ÔÖÓÙÕ Ú Ù Ñ Ò ÐÙ Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÐÙ ÑÓ ÑÓ ÔÓ Ð Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Ð ¹ ÐÙ Ù Ò Ú ÐÙ Ò Ð ÙÒÙØ Ö ÔÓ Ñ ØÖ Ò Þ ÔÖ Ñ Ò Þ Ò Ó Ö ØÒÓ Þ Õ Ó ÓÒØ Ø Ð Þ Ñ Ò Ø Ò Ö ÐÒ Ð Ð ØÖÓÑ Ò ØÒ Ð µº ÇÚ Ð Ó ÕÒÓ ÞÖ Ú Ù ÔÓ
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙ
È ÖÖÝ Àº Ä Ó ½½¼ ÍÒ ÓÒ ËØÖ Ø Ë ¾ ½ ÀÓÐÑ Ú º ˺ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ Å ÒÒ ÔÓÐ ÅÆ ¼ ½¾¹ ¾ ¹¼» Ü ½¾¹ ¾ ¹½ ½¾¹ ¾ ¹ Ô Ð Ó ÑºÙÑÒº Ù Ù Ø ÓÒ È º º ź Ò º º Ò º Å Ø ÐÐÙÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ò Å Ø Ö Ð Ë Ò ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÆÓÚ Ñ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð
¾ Ë Öö º¾º Å ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê ÞÙÐØ Ø Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê ÞÙÐØ
Ë Öö ½º ÍÚÓ Ó Ò Ú Ò ÓÐÓ ÑÖ ö Ø ÓÖ ÓÑ Ö ÓÚ ½º½º ÍÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÓÖ î Ò ÑÖ ö ÔÖ Ó Ò ÓÚ ÚÓ Ø Ú º º º º º º º º º º º ½º º ÅÓ Ð ÑÖ ö º º º º º º º
Δυαδικά Συστήματα. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Δυαδικά Συστήματα ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò Ù Ë Ø Ñ ½ ¾ Δυαδικό
Reserve & Trapped. Mission Fuel. Military Ordnance. Expendable Payload. Passengers + Bags ( lbs/pass.) Revenue Cargo. Non expendable Payload
ÈÖÐÑÒÖÝ ØÑØ Ó Ì¹Ç«ÏØ ÈÓØÓÖÔ Ó ÓÒ ¹½ ÐÓÑ ØÖ Ø Ø¹Ó«ÅÜÑÙÑ Ø¹Ó«ÛØ ÕÙÐ ¼¼¼ Ð ÑÜÑÙÑ ÔÝÐÓ ½ ¼¼¼ Ð ÓÙÖØ Ý Ó Ø ÓÒ ÓÑÔÒݵº ½ Ï Ì Ç Ï ÙÐ Ï ÔÝÐÓ Ï ÑÔØÝ ¾½ Ï ÔÝÐÓ Ï ÜÔÒÐ Ï ÒÓÒ ÜÔÒÐ ¾¾ 000000000000 111111111111 000000000000
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Αποκατάσταση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 12 ÔÓØ Ø ÒÛÒ ÈÓÐÐ ÓÖ Ó Ò Ø Ø ÐÝ Ù ØÒØ ÔÖÑÖÛ
Faculté des Sciences. Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale
Faculté des Sciences Etude du couplage entre un algorithme génétique et des méthodes d optimisation locale Promoteur : Annick Sartenaer Directeur : Caroline Sainvitu Mémoire présenté pour l'obtention du
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù
Î Ò È Ö Ó Ì ÈË Ì Ñ ØÙ Ò ÈÖÓÑÓ Ó Ë Ù ËÙÑ Ö Ó ½ Î Ò Ó Ú Ö ÓÙÐØ ½ ½º½ Ú Ò Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Å Ò ÑÓ Ò Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
½ È Ê Ç Î Ç Ê ÇÚ ÒÓÚ ÓØ À Ð ÖØÓÚ Ç ÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ò ÔÖ Ú ÒÓÚ ÔÖ Ö º ÍÔÖ ÚÓ Ù Ò Ò Ù ÑÓ Ò ÔÖ Ú Ñ Ò ÓÔÙÒ º Í ÓÔÙÒ I Ù ÙÔÐ Ò Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ù Ø ÑÙ ÓÑ Ö ÐÒ ÖÓ¹ Ú
½ ËÊÈËà à ÅÁÂ Æ Íà ÃÄ ËÁ ÆÁ Æ Í ÆÁ ËÈÁËÁ ÃÆÂÁ XIV Å Ì Å ÌÁ ÃÁ ÁÆËÌÁÌÍÌ ÃÆÂÁ ½ ÍÖ Ò Ñ Ê ÁÎÇ à â ÆÁÆ ÍÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ø ØÙØ Ë Æ º ÀÁÄ ÊÌ ÇËÆÇÎ ÇÅ ÌÊÁ ÈÊ Î Ç Ë ÇËÅÇ Æ Å ÃÇ Á ÆÂ êº Ê â ÆÁÆ ÈÖ ÑÐ ÒÓ Ò XI
ÍÆÁÎ ÊËÁ Ë ÆÌÁ Ç ÇÅÈÇËÌ Ä ÍÄÌ ËÁ Ô ÖØ Ñ ÒØÓ È ÖØ ÙÐ Ó Ý ÈÖÓ Ö Ñ Ò ÓÖ ÒØ Ó Ç ØÓ Ð Ê ÓÒ ØÖÙ Ò ËÙ Ó Ò Ð ÜÔ Ö Ñ ÒØÓ À Ë ÓÐ ÓÒ Æ Ð Ó¹Æ Ð Ó Å ÑÓÖ ÔÖ ÒØ Ô Ö ÓÔØ Ö Ð Ö Ó Ä Ò Ó Ò Ò ÔÓÖ Å ÒÙ Ð Ë Ò Þ Ö Å ÖÞÓ ½ ¾
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
imagine virtuală plan imagine
Ô ØÓÐÙÐ ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ¾ ÈÁÌÇÄÍÄ ½º ÅÇ ÍÄÍÄ ÄÁ Ê Ê ÇÅ ÌÊÁ Å Ê Á ÙÔÖ Ò ½ ÅÓ ÙÐÙÐ Ð Ö Ö ÓÑ ØÖ Ñ Ö ½ ½º½ ÁÒØÖÓ Ù Ö ÑÓ Ð ÓÑ ØÖ Ð Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º ½º½º½ ÈÖÓ ñ Ô Ö Ô Ø Ú º º º º º º º
Montreal - Quebec, Canada.
ÂÆÁÃÇ Å ÌËÇ ÁÇ ÈÇÄÍÌ ÉÆ ÁÇ ËÉÇÄÀ ÀÄ ÃÌÊÇÄÇ ÏÆ ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ Ã Á ÅÀÉ ÆÁÃÏÆ ÍÈÇÄÇ ÁËÌÏÆ ÌÇÅ Ë ËÀÅ ÌÏÆ Ä ÉÇÍ Ã Á ÊÇÅÈÇÌÁÃÀË ËÙÑ ÓÐ Ø Ò Ò ÔØÙÜ ÈÓÐÙÔÖ ØÓÖ ÖÕ Ø ØÓÒ Ò ÔØÙÜ Ó ÊÓÑÔÓØ Ó Ð ÕÓÙ Ø Ó Ò ÕÙØ Å : ÖÑÓ ØÓÒ
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής
Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Δυναμικοί τύποι δεδομένων
Δυναμικοί τύποι δεδομένων ΙωάννηςΓºΤσούλος Δεκέμβριος ¾¼ Η ÂÚπεριέχειμιασειράαπόχρήσιμεςκατηγορίεςπουχρησιμοποιούνταιγια τηνδιαχείρισηδυναμικώνδεδομένων σταοποίαδενγνωρίζουμεεκτωνπροτέρων όχι μόνον την
Õâñéäéóìüò. Ðïéá åßíáé ç áíüãêç åéóáãùãþò ôçò Ýííïéáò ôïõ õâñéäéóìïý. Ðïéá åßíáé ôá âáóéêüôåñá åßäç õâñéäéóìïý
9 Õâñéäéóìüò ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ 9.1 ÅéóáãùãÞ 9.2 Õâñéäéóìüò & õâñéäéêü ôñï éáêü 9.3 Åßäç õâñéäéóìïý êáé õâñéäéêþí ôñï éáêþí 9.4 Õâñéäéóìüò êáé ðïëëáðëïß äåóìïß 9.5 Õâñéäéóìüò êáé ìïñéáêþ ãåùìåôñßá 9.6 ÅñùôÞóåéò
Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù Ó Ö Ù Å Ü Ò ÙÐØ Ø Ëº É ÒØÖ Åº Ä Õ º Ó Å À ÆÁà ÄÍÁ Ó Ö ¾¼¼ º Ë Ö ½ Ç ÒÓÚÒ ÔÓ ÑÓÚ Þ Õ ÚÓ ØÚ ÐÙ ½ ½º½ ÈÖ Ñ Ø ÞÒ Õ Ö ÞÚÓ Ñ Ò ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½º½ ÈÖ Ñ Ø ÔÓ Ð Ñ Ò
Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam
È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ ÂÀÆÏÆ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÈÌÍÉÁ ÃÀ Ê ËÁ Ô Ö ØÒÓÙ ÖÕ ÓÒ ÈÙÖ ÒÓ Ò ÇÖ Ø Ð ºÅº ¾¼¼¾¼¼¼¾ Ô Ð ÔÛÒ Ã Ø Ò Ó Ä Õ Ò ¾ Scientific knowledge is the common heritage of mankind. Abdus Salam È Ö Õ Ñ Ò ÈÖ ÐÓ Ó ½
½ ÍÚÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔ Ó Ò Ó Ù Ø ÓÖ Ñ Ö ÞÑ ØÖ Ò Ñ ÔÓ Ù Ú ÑÓ Ó Ö ÑÓ ÐÓö ÒÓ Ø Ø ö ÒÙ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó Ù ÔÖ Ø Ò Ñ ÔÖ Ñ Ò Ñ ö Ð ÑÓ ØÓ ÔÖ ÞÒ ÔÖÓ Ò ÑÓ Ó Ú
Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ØÒ Ö Þ ÔÖ Ñ Ø ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Å Ð Ò Ò ÓÚ ¾¼¾½»¼ ¼ º ¼¾º ¾¼¼ º Ë ö Ø ÇÚ Ö ÔÖ Ø ÚÐ Ö Ø ÔÖ Ð Ò Ñ ØÓ Ò Ð Þ Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ñ ÙØÓÖ Ö ÙÔÓÞÒ Ó Ù Ó Ú ÖÙ ÙÖ ËÐÓö ÒÓ Ø ÞÖ ÙÒ Ú Ò Ò ÔÖÚÓ Ó Ò ÔÓ Ø ÔÐÓÑ
ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ÔØ Ö ΑΡΧΕΙΑ ΚΑΙ ΒΑΣΕΙΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στοκεφάλαιοαυτόθαπαρουσ ιασ τούνμερικέςαπότιςδυνατότητεςπουπαρέχειη βιβλιοθήκη ÉÌσ εαρχείακαθώςκαιτρόποισ ύνδεσ ηςκαιεκτέλεσ ηςερωτημάτων σ εβάσ ειςδεδομένωνº º½ Ηκατηγορία
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Βελτίωση εικόνων. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Βελτίωση εικόνων Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 9 ÐØÛ ÒÛÒ À ÒÒÓ Ø ÔÓØØ ØÛÒ ÒÛÒ ÒØ ÔÓÐ ÙÕÒ ÙÔÓÑÒ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Εισαγωγή. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Εισαγωγή Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 1 Û Å ØÒ ÐÙ Ø Ý ÛØÓÖ Ý Ò Ò ÔÐÓÒ ØÑ ØÓÙ ÙÖÛ ÓÒÓº À ÔÜÖ ÒÛÒ
¾
Ù Ð ÛÑ ØÖ Ë Ñ ô Áº º ÈÐ Ø ÌÑ Ñ Å Ñ Ø ôò È Ò Ô Ø Ñ Ó ÃÖ Ø Ñ ÖÓÙ ¾¼¼ ¾ ÈÖ ÐÓ Ó Ç Ñ ô ÙØ Ö Ø Ò Ø Ó Ø ØÖ ØÓÙ Ó Ø Ø ØÓÙ ÌÑ ¹ Ñ ØÓ Å Ñ Ø ôò ØÓÙ È Ò Ô Ø ÑÓÙ ÃÖ Ø ÔÓÙ Ô Ð Ü Ò ØÓ Ñ Ñ Å¾¼ Ù Ð ÛÑ ØÖ ØÓÙ ÒÓÒ Ó ÈÖÓ
! " # $ % & $ % & $ & # " ' $ ( $ ) * ) * +, -. / # $ $ ( $ " $ $ $ % $ $ ' ƒ " " ' %. " 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; ; < = : ; > : 0? @ 8? 4 A 1 4 B 3 C 8? D C B? E F 4 5 8 3 G @ H I@ A 1 4 D G 8 5 1 @ J C
Ηυλοποίησ ητηςπαραπάνωκατηγορίαςβρίσ κεταισ τοναλγόριθμο º¾ºΗγραμμή
ÔØ Ö ΕΙΣΟΔΟΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ º½ ÉÄ Ò Ø Ηβασ ικήκατηγορίατης ÉØγιαείσ οδοδεδομένωνείναιηéä Ò Øμετηνοποία οχρήσ τηςμπορείναεισ άγεισ εμιαγραμμήένααλφαριθμητικόºστοναλγόριθμο º½παρουσ ιάζεταιηδήλωσ ηγιαένακεντρικόπαράθυρομετοοποίοοχρήσ
c = a+b AC = AB + BC k res = k 1 +k 2
Ã Ô Ø Ð Á ÒÐ ØÙÒ ï ½ ÅÓ ÐÐ ÚÓÒ Î ØÓÖÖÙÑ Ò ÁÒ Ñ Ö ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ò Ò Òµ È Ö Ö Ô Ò Ò ÐÒ Û Ö Ô Ð ÞÙÖ Ð Ö ¹ Ò ËØÖÙ ØÙÖ Î ØÓÖÖ ÙÑ º Ò Ö ÙÒ Ò Ø Ò ØÞ Ò Û Ö Ð ÒÒØ ÚÓÖ Ù º Ò ÈÖÞ ÖÙÒ Ö ÓÐ Ø ÔØ Ö Û ÒÒ Û Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ñ Ø
ΟπτικόςΠρογραμματισ μός. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
ΟπτικόςΠρογραμματισμός ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ÔØÖ ½ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σεαυτήτηνενότηταθαεξεταστούνμερικέςαπότιςβασικέςδομέςπάνωστις οποίεςστηρίζεταιηβιβλιοθήκη É̺Οιδομέςαυτέςπεριλαμβάνουνδυναμικούς πίνακες
Γραφικάμετηνχρήσ η ÛØ
Γραφικάμετηνχρήση ÛØ ΙωάννηςΓºΤσούλος Νοέμβριος ¾¼ Η Úδιαθέτειένα δικό της σύστημαγραφικών τοοποίομπορεί να είναι κάπωςπεριορισμένοσεσχέσημετο ÉÌήτο ÏÁÆ ¾ ÈÁαλλάδίνειμεταφέρσιμο κώδικακαιμπορείναχρησιμοποιηθείγιατηνκατασκευήπρογραμμάτωνγραφικής
ÌÓ ÑÝ Ñ ÐÝ Ò Ö Ò Û Ø ÓÙØ Û ÓÑ Ø ÔÖÓ Ø ÛÓÙÐ Ò Ú Ö ÓÑÔÐ Ø
ÇÆ ÌÀ Ä ËËÁ Á ÌÁÇÆ Ç ÄÇË Ä Ì ÇÍʹŠÆÁ ÇÄ Ë Ý Ì ÓÑ È ÙÐ Ä Ñ ÖØ ÖØ Ø ÓÒ ËÙ Ñ ØØ ØÓ Ø ÙÐØÝ Ó Ø Ö Ù Ø Ë ÓÓÐ Ó Î Ò Ö ÐØ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Ç ÌÇÊ Ç ÈÀÁÄÇËÇÈÀ Ò Å Ø Ñ Ø Ù Ù
Τμήμα Φυσικής, Εργαστήριο Αστρονομίας
Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ À ÆÁÉÆ ÍËÀ Ã Á Å Ä ÌÀ Ï Ä Á ÃÏÆ ÍÈÇÄ ÁÅÅ ÌÏÆ ÍÈ ÊÃ ÁÆÇ ÆÏÆ Ë ÈÇÄÄ ÈÄ ÅÀÃÀ ÃÍÅ ÌÇË Ä ÏÆÁ ÃÀ ÁÏ ÆÆ È Æ ÈÁËÌÀÅÁÇ È ÌÊÏÆ ¹ ÌÅÀÅ ÍËÁÃÀË ÂÆÁÃÇ ËÌ ÊÇËÃÇÈ ÁÇ ÂÀÆÏÆ Ë ÔØ Ñ Ö Ó ¾¼½¾ Á ÃÌÇÊÁÃÀ Á ÌÊÁ
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Σανπρώτοπαράδειγμαχρήσ εωςτης ÉÈ ÒØ Öπαρουσ ιάζεταιέναπαράδειγμασ χεδιασ μούκύκλωνμέσ ασ εένακεντρικόπαράθυροº
ÔØ Ö ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΜΕΣΑ Ηβιβλιοθήκη ÉÌμπορείναχρησ ιμοποιηθείκαιγιατηνδημιουργίαπρογραμμάτων μεαπλάγραφικά γραμμές κείμενο κύκλουςκτλµόπωςεπίσ ηςγιατηνδημιουργία γραφημάτων από δεδομέναº º½ Àκατηγορία
Γιατηνδήλωσ ητωνδομώνχρησ ιμοποιείταιοπροσ διορισ τής ØÖÙØ όπωςσ την σ υνέχεια
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΟΜΕΣ º½ Απλές δομές Ηδομήχρησ ιμοποιείταισ ανσ υλλογήμεταβλητώνδιαφορετικούτύπουπροκειμένου ναπεριγράψεισ υνολικάμιαοντότηταº ΓιαπαράδειγμαηοντότηταΑΝΘΡΩΠΟΣ αποτελείταιαπόταπεδία ½º Ονομα αλφαριθμητικόµ
Προγραμματισ μόςσ ε» ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Προγραμματισμόςσε» ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ½º½ Μεταβλητές ½º½º½ Δήλωση Η δήλωσημεταβλητώνμπορεί να γίνει σε οποιοδήποτεσημείοτου κώδικα σε αλλάείναιπροτιμότεροναγίνεταιστηναρχήτουπρογράμματος
ÔÖÓØ Ô ØÓ ESO (M. Sarazin and F. Roddier, A&A 227, 294-300, 1990) Õ Ò ¹
Seeing-GR Å ØÖôÒØ Ø Ø Ö Õ Ø ØÑ Ö Ø Ò ÐÐ Å Ð Ñ ØÖ 1 Æ ØÓÖ ÒÒ 2 È ÖÞ ËØ Ð Ó 3 ÌÖ ÑÓÙ Ù Ð 4 Ã Ö Ñ Ò Ð 5 ÒØÛÒ ÒÒ 5 ÓÙÐ ÒÒ 5 ÃÓÙÖÓÙÑÔ ØÞ Ãô Ø 5 Ë Ö ÒÒ 5 1 Hamburger Sternwarte, Gojenbergsweg 112, 21029 Hamburg,
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / / + 3 / / / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " #
Z L L L N b d g 5 * " # $ % $ ' $ % % % ) * + *, - %. / 0 1 2 / + 3 / / 1 2 3 / / + * 4 / / 1 " 5 % / 6, 7 # * $ 8 2. / / % 1 9 ; < ; = ; ; >? 8 3 " # $ % $ ' $ % ) * % @ + * 1 A B C D E D F 9 O O D H
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration. DTU Wind Energy - PhD
Adaptive Trailing Edge Flaps for Active Load Alleviation in a Smart Rotor Configuration DTU Wind Energy - PhD Leonardo Bergami DTU Wind Energy PhD-0020(EN) August 2013 DTU Vindenergi Active Load Alleviation
Ω = {ω 1,..., ω 6 }, ω = ω 1,..., ω m 1, 6, ω 1,...,, ω j {1, 2,...5}, m 1.
Î Ð Ù ËØ Å Ò Ì ÑÝ Ù Ø ÓÖ Ó Ô ØÓ Î ÐÒ Ù ¾¼¼ ÌÙÖ ÒÝ ½ Ì ÑÝ ÒÅ Ö ÚÅ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º½º ËØ Ø Ø Ò Ô Ö Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÃÐ Ò ÑÓ Ð º º º º º º º º
Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ Ì Ø Ò Ð Ð ØÙÑ Ñ ØÓ ÖÓ Û ÃÖ Ù Ú Ë ßÛ Þ ÔÓ Ð Û Ø ÒØ Ò ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÓÑ ÙÐØ ØÙ ÍÒ Ú
ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ø Ù ÃÖ Ù ÚÙ ÈÖ ÖÓ ÒÓ¹Ñ Ø Ñ Ø ÙÐØ Ø Ì Ø Ò Ð Ð Ê ÇÎÁ ÁÂ Â Æ ÂÅ Ï Ã Ê ÃÌ ÊÁËÌÁ Æ ÎÊ ÆÇËÌ ÅÁÆÁÅ ÄÆ Í Æ ÃÁÅ ÃÄ Ë Å Ê ÇÎ Ó ØÓÖ ÖØ ÃÖ Ù Ú ¾¼½¾º Á ÆÌÁ Áà ÁÇÆ ËÌÊ ÆÁ ÇÃÌÇÊËà ÁË ÊÌ Á Iº ÙØÓÖ ÁÑ ÔÖ Þ Ñ
Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσ ουμεγιατααρχείασ τηνγλώσ σ α ºΘαχρησ ιμοποιηθούνσ υναρτήσ ειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισ όδου»εξόδου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΧΕΙΑ Στοκεφάλαιοαυτόθαμιλήσουμεγιατααρχείαστηνγλώσσα ºΘαχρησιμοποιηθούνσυναρτήσειςαπότηνκαθιερωμένηβιβλιοθήκηεισόδου»εξόδου ØÓºµκαι γιααυτόγίνεταιμιαπρώτηπαρουσίασηαυτήςτηςβιβλιοθήκηςº º½
, z = 1 ( Lψ = Eψ, E = E fixed, L = +v(x,t), = 4 z z, x R 2 ½º µ
ÇÄ ÈÇÄ Ì ÀÆÁÉÍ ÆÌÊ Å ÌÀ Å ÌÁÉÍ Ë ÈÈÄÁÉÍ Ë ÍÅÊ ÆÊË ½ ½½¾ È Ä ÁË Í Ê Æ µº Ì Ð ¼½ ¼¼º Ü ¼½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ ÔºÔÓÐÝØ Ò ÕÙ º Ö» Ò Ó ÓÐ ØÓÒ Û Ø Ù ÒØ Ð Ö ÐÓ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÖ Ø ÆÓÚ ÓڹΠÐÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÒÓÒÞ ÖÓ Ò Ö Ý ÒÒ Ã Þ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ
ÔØ Ö ¾ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΟΠΤΙΚΑ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ¾º½ Δημιουργία απλού παραθύρου Γιατηνδημιουργίαπαραθύρουθαχρειασ τείοχρήσ τηςνατοποθετήσ ειμέσ ασ ε μιακυρίωςεφαρμογήέναοπτικόσ υσ τατικό Ï ØµΤοπιοαπλόοπτικόσ υσ τατικόπουμπορείναχρησ
[Na + ] [NaCl] + [Na + ]
Ç ÒÙØ Þ Ó Þ Þ Ñ ÒÓ Ó Ò Óö ÂÙÖ Ö Ò ÊÙ ÓÐ ÈÓ ÓÖÒ Ò Ë ËÚ Ø Ò ¾¼½½»¾¼½¾ ÈÓ Ð Ú Ä ÃÌÊÁ ÆÁ ÁÆ Å Æ ÌÆÁ ÈÇ ÎÁ º½ º½º½ Ð ØÖ ÒÓ ÔÓÐ Ò ØÓ Ð ØÖ Ò Ò Ó Ð ØÖ Ò ÔÓ Ú Ð Ó Ö ÞÐÓö ÑÓ Ò Ó ÒÓÚ Ù ÓØÓÚ ØÚ Ñ Ó Ó ÒÓÚÒ Ð ÓØ Ø
Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º
Þ ÔÓÚ Ø Ø Ö Ø Ò ÈÖ ÙÖ Ò ÐÙÖÙ ÔÖ Ð ½ ¾¼½¼ Ç ÖÚ Ø Ö Ø Ð ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÒØ Ö Ø º È ÖÑ ÙÒ Ð Ô ÒØÖÙ Ñ Ø Ö Ð ÔÖ ÐÙ Ø ÒÙ Ù Ó Ø Ò ÖÙØ º È Ò Ø Ø Ð Ó Ö Ô ÒØÖÙ ÔÖ ÒØ Ø Ù ÓÖ Ô ÙÒ º ÔÓ Ø Ñ º ÓÒØ ÒØ ½ Å Ò ½ ½º ÄÙÑ Ñ Ø
ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (
35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä
) * +, -. + / - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 : ; < 8 = 8 9 >? @ A 4 5 6 7 8 9 6 ; = B? @ : C B B D 9 E : F 9 C 6 < G 8 B A F A > < C 6 < B H 8 9 I 8 9 E ) * +, -. + / J - 0 1 2 3 J K 3 L M N L O / 1 L 3 O 2,
Preisdifferenzierung für Flugtickets
Ë Ñ Ø Ö Ö Ø ÏÄ ÌÀ Ö ÈÖ Ö ÒÞ ÖÙÒ Ö ÐÙ Ø Ø Ù Ò ËØÖ Ò Ö ¹ ÄÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ò ÙÖØ ¹ Æ Û ÓÖ ÙØÓÖ Ò Ì ÓÑ ÖÙÒÒ Ö À ÙÖ ØÖº ¼ Ö Ñ ÐØ ÓÑ ÖÙÒÒ Öº Ö ØÓÔ Ã Ö ÐÙÑ ÒÛ ½¼ Ç ÖÛ Ð Ö ØÙ Òغ Ø Þº ØÖ Ù Ö ËØ Ò Ä Ù Ò Ø Ò ÈÖÓ ÓÖ ÖÑ
Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Εισαγωγικά. URL:
Ø ÖÓ Ü Ñ ÒÓ ÓØ Εισαγωγικά ôö Ó Éº Ð Ü Ò Ö ÔÓÙÐÓ Ä ØÓÖ Èº º ¼» ¼ e-mail: alexandg@uop.gr URL: http://users.iit.demokritos.gr/~alexandg ÌÑ Ñ Ô Ø Ñ Ì ÕÒÓÐÓ Ì Ð Ô Ó ÒÛÒ ôò È Ö Õ Ñ Ò ½ Οργάνωση Μαθήματος Διαδικαστικά
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις
Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Ενδεκτικές ασκήσεις-απαντήσεις Τσούλος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Τμ. Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. Άρτα, Μάιος 2015 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Θα εμφανίσει την τιμή 232 αντί της ακριβούς
Ì ÔÓ ÓÑ ÒÛÒ Ö Å Ø ØÖÓÔ ÑôÒ Fahrenheit ÑÓ Celsius Fahrenheit Celsius c = (5/9)(f 32) public class Fahr2Cels { public static void main(string args[]) { int f = 451; // Τι συμβαίνει στους 451F? int c; c =
Κληρονομικότητα. ΙωάννηςΓºΤσ ούλος
Κληρονομικότητα ΙωάννηςΓºΤσούλος ¾¼½ ½ Ηκατηγορία ÈÖ ÓÒ ΗκληρονομικότητααποτελείένααπόταβασικότεραχαρακτηριστικάτουαντικειμενοστραφούςπρογραμματισμούºΤαβασικάτηςστοιχείασε είναι ½ºΤαπεδίαπουχρειάζεταιναπεράσουνστηνκατηγορίαπουκληρονομείθα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
A Francesca, Paola, Laura
A Francesca, Paola, Laura L. Formaggia F. Saleri A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2 3 LUCA FORMAGGIA FAUSTO SALERI ALESSANDRO VENEZIANI MOX - Dipartimento
Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
0RELOH,QWHUQHW :$3 :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
ù ù ø ³ ò 0RELOH,QWHUQHW :$3 û 0RELOH,QWHUQHW :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ ù 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL
arxiv: v3 [math.ap] 25 Nov 2009
ÅÁ ÊǹÄÇ Ä Æ Ä ËÁË ÏÁÌÀ ÇÍÊÁ Ê Ä Ë Í ËÈ Ëº È ÊÌ Á ËÌ Î Æ ÈÁÄÁÈÇÎÁ Æ Æ Ì Ç ÆÇÎ Æ ÂÇ ÀÁÅ ÌÇ Ì arxiv:0804.1730v3 [math.ap] 25 Nov 2009 ØÖ Øº Ä Ø ω,ω 0 ÔÔÖÓÔÖ Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ò q [1, ]º Ï ÒØÖÓ Ù Ø Û Ú ¹ ÖÓÒØ
Déformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
:$3. This is the Internet version of the user's guide. Print only for private use. :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\
ù ù ø ³ ò :$3 û :$3 ù ñ 6,0 ù" :HE 6RQ\(UL VVRQ GH ODUDWLRQRI RQIRUPLW\ ñ û " 6RQ\(UL VVRQ7 *60 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% ô6rq\(ul VVRQ 0RELOH&RPPXQL DWLRQV$% 6RQ\(UL VVRQ0RELOH&RPPXQL DWLRQV$%
Μονοδιάσ τατοιπίνακες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ ¾º½ Μονοδιάστατοιπίνακες Οιπίνακεςείναιδομέςδεδομένωνπουδιαθέτουνέναπλήθοςαπόστοιχείατουίδιου τύπουº Γιαπαράδειγμαηβαθμολογίασεέναμάθημααποθηκεύτεταισεπίνακαº Κάθεστοιχείοτουπίνακααντιπροσωπεύειτηνβαθμολογίαενόςσπουδαστήστο
Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
ca t = β 1z t 1(q t γ)+β 2z t 1(q t >γ)+ε t z t = g(x t,π)+u t
Ì Ö ÓÐ ÅÓ Ð Ó Ø ÍË ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ ÊÓ ÖØÓ ÙÒ Ò ÇØÓ Ö ½ ¾¼½ ØÖ Ø Ï Ø Ö Ú ÍË ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ Ñ Ð Ò Á Ø Ö ÓÐ Ú Ò Ø Ø Ø Ú ÓÖ Ó Ø ÙÖÖ ÒØ ÓÙÒØ Ö ÒØ ÙÖ Ò Ø Ò ÙÖÔÐÙ ÓÖ Ø Ø Ø Þ Ó Ø Ñ¹ Ð Ò Ñ ØØ Ö Á Ø Ö Ø Ö ÓÐ Ö Ð Ø ÓÒ Ô