Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Μάθηµα 4 Αναλυτική σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου Με συνθήκη µόνιµου σφάλµατος Με συνθήκη επιθυµητών πόλων Με επιθυµητό πρότυπο Καλλιγερόπουλος 4 1
Αναλυτική Σύνθεση συστηµάτων αυτοµάτου ελέγχου Η έννοια της σύνθεσης Ορισµός Σύνθεση ythei ή σχεδίαση deig) ενός κλειστού συστήµατος ελέγχου ονοµάζουµε την επιλογή του κατάλληλου ελεγκτή, τον καθορισµό των κατάλληλων στοιχείων ελέγχου, καθώς και τον προσδιορισµό των παραµέτρων τους, έτσι ώστε το ολικό κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει επιθυµητή συµπεριφορά uitable performace), δηλαδή να εκπληρώνει τις γενικές ποιοτικές απαιτήσεις του ελέγχου, να παρουσιάζει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά, να τηρεί τις δεδοµένες ποσοτικές προδιαγραφές για την ελεγχόµενη έξοδο 4
Η τοποθέτηση του προβλήµατος της σύνθεσης ιαθέτουµε ένα δεδοµένο σύστηµα plat) µε G, του οποίου την έξοδο θέλουµε να ελέγξουµε γνωστή συνάρτηση µεταφοράς Επιδιώκουµε να επιλεγεί ο κατάλληλος ελεγκτής µε συνάρτηση µεταφοράς έτσι ώστε το συνολικό σύστηµα ελέγχου: α) να εκπληρώνει τις ποιοτικές απαιτήσεις του ελέγχου, δηλαδή: το κλειστό σύστηµα ελέγχου να είναι ευσταθές, η επίδραση θορύβου ή µεταβολών των παραµέτρων να είναι µικρή, η έξοδος y t) να ακολουθεί χωρίς µεγάλες αποκλίσεις, µε ταχύτητα και ακρίβεια την είσοδο αναφοράς r t) και β) να τηρεί συγκεκριµένες ποσοτικές προδιαγραφές, όπως: για την ποιότητα του ελέγχου: το όριο της υπερύψωσης υ, για τη ταχύτητα του ελέγχου: το όριο του χρόνου αποκατάστασηςt, για την ακρίβεια του ελέγχου: το όριο του µόνιµου σφάλµατος e, είτε γ) να διαθέτει ένα ζεύγος επιθυµητών πόλων p 1, p που προκύπτει από τις δεδοµένες µεταβατικές προδιαγραφές ποιότητας και ταχύτητας ελέγχου και να πληροί παράλληλα την τρίτη µόνιµη προδιαγραφή ακρίβειας ελέγχου τηρώντας το όριο του µόνιµου σφάλµατος, δηλαδή επιθυµητή ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος ή επιθυµητή ενίσχυση κλειστού συστήµατος 1+ Επιθυµητά χαρακτηριστικά ελέγχου Χρονικές προδιαγραφές επιθυµητού συστήµατος Χρονικοί συντελεστές επιθυµητού συστήµατος Μιγαδικά µεγέθη επιθυµητού συστήµατος Συνάρτηση µεταφοράς επιθυµητού συστήµατος Ποιότητα Υπερύψωση υ Ταχύτητα Χρόνος αποκατάστασης T ζ Συντελεστής απόσβεσης lυ l υ + π Επιθυµητοί πόλοι: Φυσική συχνότητα ω p 1, 4 ζt ζω + jω 1 ζ G + ω ζω + ω Ακρίβεια Μόνιµο σφάλµα e Ενίσχυση αν συστ για a 1 ) 1 Ενίσχυση αν συστ e 1 1+ e 4 3
Η αναλυτική µέθοδος σύνθεσης ίνεται σύστηµα µε γνωστή συνάρτηση µεταφοράς: πολυώνυµα P, G, άρα γνωστά Ζητείται ελεγκτής: P µε άγνωστα πολυώνυµα P,, δηλαδή άγνωστος είναι: τόσο ο τύπος του ελεγκτή όσο και οι συντελεστές των πολυωνύµων ίνεται επίσης συνθήκη coditio) την οποία πρέπει να πληροί το κλειστό σύστηµα ελέγχου Η συνθήκη αυτή καθορίζει τη λύση του προβλήµατος της σύνθεσης και µπορεί να είναι γενικά: επιθυµητή συµπεριφορά uitable performace) ή επιθυµητές χρονικές προδιαγραφές uitable time pecificatio Ειδικότερα: Επιθυµητή ακρίβεια ελέγχου cotrol accuracy), δηλαδή επιθυµητό µόνιµο σφάλµα του κλειστού συστήµατος Επιθυµητή ποιότητα quality) και ταχύτητα rapidity) ελέγχου, δηλαδή επιθυµητοί πόλοι ή επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο του κλειστού συστήµατος Επιθυµητή συνολική συµπεριφορά, δηλαδή επιθυµητή ακρίβεια, ποιότητα και ταχύτητα ελέγχου ή επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος Στην περίπτωση αυτή µιλάµε για σύνθεση µε βάση ένα επιθυµητό πρότυπο uitable patter) 4 4
Αναλυτική σύνθεση µε συνθήκη µόνιµου σφάλµατος Έστω ότι δίνεται σύστηµα G µε γνωστή ενίσχυση Ζητείται ελεγκτής, έτσι ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει: επιθυµητό µόνιµο σφάλµα e ή επιθυµητή ολική ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος εάν πρόκειται για έλεγχο ταχύτητας) Συνήθως επιλέγεται 1 e Ελεγκτής αναλογίας K ή ελεγκτής Lag + z µε + p z K, p έτσι ώστε να ισχύει: K, δηλαδή K Παράδειγµα ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: G και + 5) + ) επιθυµητή προδιαγραφή οριακού µόνιµου σφάλµατος ταχύτητας: e 1% 1 ή επιθυµητή ενίσχυση: 1 e Επιλέγεται ελεγκτής αναλογίας K, οπότε η πραγµατική ολική συνάρτηση K µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος είναι: G + 5) + ) K µε πραγµατική ενίσχυση: K 5 Πρέπει ή K 1 Άρα K 5 Με έναν ελεγκτή αναλογίας 5 εξασφαλίζεται λοιπόν η επιθυµητή προδιαγραφή 4 5
Αναλυτική σύνθεση µε συνθήκη επιθυµητών πόλων Έστω ότι δίνεται σύστηµα G µε γνωστά πολυώνυµα P, ζητείται ελεγκτής P, έτσι ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει δεδοµένες προδιαγραφές ζ, ω, ή δεδοµένους επιθυµητούς πόλους p1, ζω ± jω 1 ζ σ ± jω ή γνωστό επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο + ζω + ω + σ ) + ω Το πραγµατικό χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι: + P ) Η αναλυτική λύση του προβλήµατος γίνεται µε τη σύγκριση των δύο χαρακτηριστικών πολυωνύµων, πραγµατικού και επιθυµητού: Η σχέση αυτή, ως ταυτότητα για κάθε, µπορεί να µην είναι συµβατή λόγω διαφοράς βαθµών των πολυωνύµων Πρέπει λοιπόν να προστεθεί ένας τρίτος άγνωστος παράγοντας, ένα διορθωτικό πολυώνυµο q ) που επιτυγχάνει την εξίσωση των βαθµών των πολυωνύµων Έτσι η πολυωνυµική εξίσωση γίνεται: + P q ) 4 6
Παράδειγµα ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: G και + 5) + ) επιθυµητές προδιαγραφές ποιότητας και ταχύτητας: υ 3%, T 7ec που αντιστοιχούν σε συντελεστές: ζ 35 και ω 16, δηλαδή επιθυµητούς πόλους : p ζω ± jω 1 ζ 56 15 και επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο: 1, ± j + ζω + ω + 11 56 + Επιλέγεται ελεγκτής αναλογίας-διαφόρισης µε K + z) Οπότε το κλειστό σύστηµα έχει πραγµατική χαρακτηριστική εξίσωση: 3 + 5) + ) + K + z) + 5 + 1 + K) + Kz Πρέπει: ) Επιλέγεται διορθωτικός παράγοντας: q + a Έτσι η επιθυµητή χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι της µορφής: q 3 + ζω + ω ) + a) + 11 + a) Από τη σύγκριση των δύο σχέσεων προκύπτει: + 11 + 56) + a) + 56 + 11a) + 56a 5 11 + a 1 + K 56 + 11 a Kz 56a ή a 13 8 K 155 z 114 Έτσι ο ελεγκτής που εξασφαλίζει την τήρηση των δύο προδιαγραφών είναι: 155 + 114) 4 7
Αναλυτική σύνθεση µε επιθυµητό πρότυπο Έστω ότι δίνεται σύστηµα G µε γνωστά πολυώνυµα P, ζητείται ελεγκτής P, µε άγνωστα πολυώνυµα P και, ώστε το κλειστό σύστηµα ελέγχου να έχει τη συµπεριφορά επιθυµητού προτύπου, να έχει δηλαδή: δεδοµένες προδιαγραφές ζ, ω, ή 1+ ή επιθυµητούς πόλους p 1, p και επιθυµητή ολική ενίσχυση ή συνολικά επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς: ω P G + ζω + ω Η πραγµατική ολική συνάρτηση µεταφοράς του κλειστού συστήµατος είναι: G G P 1+ G + P Η σύγκριση της µε την επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς επιβάλλει τη σχέση: G G ) ή τις ταυτότητες των πολυωνύµων: + P ) και P P P ) Η εξίσωση των βαθµών των πολυωνύµων απαιτεί την προσθήκη διορθωτικών πολυωνύµων q ) και p ) p Έτσι, µε την προσθήκη της διορθωτικής συνάρτησης µεταφοράς g, q η σχέση της αναλυτικής λύσης του προβλήµατος της σύνθεσης γίνεται: G G g Οι εξισώσεις για την αναλυτική λύση του προβλήµατος της σύνθεσης γίνονται: + P q και P P p, για κάθε, µε γνωστά τα πολυώνυµα: P,, P ), ) και άγνωστα τα πολυώνυµα: P,, p ) και q ) 4 8
Παράδειγµα ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: G + 5) + ) και πλήρεις επιθυµητές προδιαγραφές ποιότητας, ταχύτητας και ακρίβειας για το κλειστό σύστηµα ελέγχου: υ 3%, T 7ec και e 1%, Οι µεταβατικές προδιαγραφές υ,t αντιστοιχούν σε οριακούς συντελεστές: ζ 35, ω 16, δηλαδή σε επιθυµητούς πόλους: p 56 ± 15 1, j και επιθυµητή συνάρτηση µεταφοράς: ω G + ζω + ω 56 + 11 + 56 Η µόνιµη προδιαγραφή επιθυµητού µόνιµου σφάλµατος ταχύτητας e 1 αντιστοιχεί σε επιθυµητή ενίσχυση: 1 Οι επιθυµητές µεταβατικές προδιαγραφές ικανοποιούνται, όπως είδαµε, µε επιλογή ελεγκτή αναλογίας-διαφόρισης: K + z) 155 + 114) Με τον ελεγκτή αυτόν η ολική συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού συστήµατος γίνεται: 155 + 114) G + 5) + ) 155 114 µε ενίσχυση 35, δηλαδή το ένα τρίτο της επιθυµητής 5 προδιαγραφής: 1 Για να αυξήσουµε την ενίσχυση µε τον επιθυµητό συντελεστή λ 3 + z επιλέγουµε στοιχείο Lag: και p 1, οπότε z λ p 3 + p + 3 και + 1 Άρα ο ολικός ελεγκτής που ικανοποιεί και τις τρεις προδιαγραφές είναι: + 3 155 + 114) + 1 4 9
Αναλυτική σύνθεση Σύνοψη ίνεται σύστηµα G και επιθυµητές προδιαγραφές για το κλειστό σύστηµα: Μόνιµη προδιαγραφή: e Μεταβατικές προδιαγραφές: υ, T Ολικές προδιαγραφές: e και υ, T που αντιστοιχούν σε: Επιθυµητή ενίσχυση ανοιχτού συστήµατος: 1 e άρα επιθυµητή ενίσχυση κλειστού συστήµατος: 1+ lυ 4 Επιθυµητούς συντελεστές: ζ, ω l υ + π ζt ή επιθυµητούς πόλους: p 1, ζω ± jω 1 ζ και χαρακτηριστική εξίσωση: ω Ολικό πρότυπο: G + ζω + ω Αναλυτική σύνθεση ζω + ω + Συνθήκη µόνιµου σφάλµατος: Σύγκριση ενισχύσεων + z Επιλέγεται ελεγκτής K ή Lag) + p Συνθήκη επιθυµητών πόλων: Σύγκριση χαρακτηριστικών πολυωνύµων + z q ) Ελεγκτής: K + z) ή K Lead) + p Συνθήκη επιθυµητού προτύπου: Σύγκριση συναρτήσεων µεταφοράς G G g ) ή υπολογισµός ελεγκτή για την εξασφάλιση των µεταβατικών προδιαγραφών και διόρθωσή του µε ελεγκτή Lag και z λ p για την ικανοποίηση της µόνιµης προδιαγραφής 4 1