ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Ταξινόμηση τν Σημάτν και τν Συστημάτν Ο όρος "σήμα" χρησιμοποιείται κυρίς στις Τηλεπικοιννίες για την περιγραφή μιας "πληροφορίας", η οποία μεταδίδεται από ένα σημείο σε κάποιο άλλο. Γενικότερα, ς σήμα θερείται κάθε συνάρτηση του χρόνου ή άλλης μεταβλητής, που αντιπροσπεύει κάποια φυσική ποσότητα, η οποία εμφανίζει ενδιαφέρον. Έτσι, σήμα είναι η ανθρώπινη ομιλία, μια εικόνα, κάποιο ηλεκτρικό μέγεθος (τάση, ρεύμα, κ.λ.π), η θερμοκρασία ενός πλανήτη, η ηχώ του radar ή του soar, το εξαγόμενο ενός εγκεφαλογράφου, κ.λ.π. Τέτοια σήματα εμφανίζονται συνήθς σε συνδυασμό με κάποιο σύστημα, όπου ς σύστημα μπορεί να οριστεί ένας "νόμος", με τη βοήθεια του οποίου συνδέεται η έξοδός του (απόκριση) με την είσοδό του (διέγερση). Στην πιο απλή μορφή ένα σύστημα είναι όπς αυτό του Σχήματος., όπου το σήμα εισόδου x() μπορεί να αντιπροσπεύει κάποιο μήνυμα, το σύστημα μπορεί να είναι η συσκευή μέτρησης και το y() να είναι η μέτρηση του x(). Σχήμα.. Απεικόνιση συστήματος υπό μορφή "block". Αν R είναι ο νόμος, που συνδέει την διέγερση με την απόκριση, τότε: y() = R[x()] (.) Γραμμικό είναι το σύστημα, για το οποίο ισχύει η αρχή της επαλληλίας, δηλαδή αν y () = R[x ()] και y () = R[x ()], τότε: R[α x () + α x ()] = α y () + α y () (.)
όπου α και α είναι σταθερές ανεξάρτητες του χρόνου. Κάθε σύστημα, το οποίο δεν ικανοποιεί την παραπάν προϋπόθεση, είναι μη γραμμικό. Ως χρονικά αμετάβλητο ή σταθερό χαρακτηρίζεται ένα σύστημα, στο οποίο μια χρονική καθυστέρηση στη διέγερση καταλήγει σε αντίστοιχη χρονική καθυστέρηση στην απόκριση: y( ) = R[x( )] για κάθε = σταθερό (.3) Είναι προφανές ότι η έξοδος ενός χρονικά αμετάβλητου συστήματος εξαρτάται από τις χρονικές διαφορές και όχι από τις απόλυτες τιμές του χρόνου. Κάθε σύστημα, που δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση αυτή, ονομάζεται χρονικά μεταβαλλόμενο. Αιτιατό λέγεται ένα σύστημα, το οποίο δεν έχει απόκριση πριν εφαρμοστεί σ αυτό διέγερση. Ισοδύναμα, η απόκριση ενός αιτιατού συστήματος σε κάποια χρονική στιγμή = εξαρτάται από τις τιμές της διέγερσης για. Ένα αιτιατό σύστημα, στο οποίο ο νόμος R είναι φυσικά ή τεχνικά υλοποιήσιμος, λέγεται υλοποιήσιμο. Παράδειγμα ενός μη υλοποιήσιμου συστήματος είναι το y() = ix(), όπου i είναι η φανταστική μονάδα. Δυναμικό λέγεται το σύστημα, του οποίου η απόκριση y() σε κάποια χρονική στιγμή = εξαρτάται από τη διέγερσή του x() για, ενώ λέγεται και σύστημα με μνήμη. Στις τηλεπικοιννίες μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα συστήματα, για τα οποία οι ιδιότητες της γραμμικότητας και της χρονικής σταθερότητας ισχύουν ταυτόχρονα. Μια σπουδαία ιδιότητα τν συστημάτν αυτών είναι ότι η είσοδος και η έξοδος συνδέονται μεταξύ τους μέσ μιας γραμμικής διαφορικής εξίσσης με σταθερούς συντελεστές της μορφής: dy() d y() α y α α bx b dx () b d x () () + +... + d = () + +... + d d m m (.4) d Μάλιστα, στην περίπτση κατά την οποία η διέγερση είναι αρμονικής μορφής, π.χ. x() = exp(i), τότε η απόκριση του συστήματος στη μόνιμη κατάσταση είναι της μορφής y() = H()exp(i), όπου η συνάρτηση Η() λέγεται συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος και δίνεται από τη σχέση: m
H( ) m k = = k= b k ( i ) k α ( i) k k (.5) Η φυσική σημασία τν προηγουμένν είναι ότι η απόκριση ενός γραμμικού χρονικά σταθερού συστήματος σε αρμονική διέγερση είναι αρμονική και της ίδιας συχνότητας () με τη διέγερση. Δοθέντος ότι η συνάρτηση μεταφοράς Η() είναι γενικά μια μιγαδική συνάρτηση αυτή μπορεί να γραφεί: Η() = Η() exp[iθ()] (.6) όπου η συνάρτηση Η() ονομάζεται απόκριση πλάτους του συστήματος και η θ() ολίσθηση φάσης ή απλά φάση του συστήματος. Στη συνέχεια, θα γίνει η ταξινόμηση τν σημάτν. Έχοντας υπόψη ότι κάποιο σήμα x() είναι μια συνάρτηση του χρόνου, ένας τρόπος διαίρεσης τν σημάτν μπορεί να γίνει με τον καθορισμό του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών της συνάρτησης x(). Με βάση τα παραπάν τα σήματα μπορούν να διαιρεθούν σε δύο γενικές κατηγορίες... Σήματα συνεχούς χρόνου Στα σήματα αυτά, η ανεξάρτητη μεταβλητή (χρόνος) παίρνει συνεχείς τιμές. Ανάλογα με το πεδίο τιμών τα συστήματα αυτά μπορούν να διαιρεθούν σε δύο είδη: α) Αναλογικά σήματα Είναι τα σήματα εκείνα τν οποίν η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει κι αυτή συνεχείς τιμές. Παράδειγμα τέτοιου σήματος είναι το x() = 3. β) Διακριτά σήματα συνεχούς χρόνου Είναι σήματα συνεχούς χρόνου, τν οποίν η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει διακριτές, τιμές. Παράδειγμα τέτοιου σήματος είναι το x ()=, <., <, > 3
.. Σήματα διακριτού χρόνου Στα σήματα αυτά ο χρόνος παίρνει μόνο διακριτές τιμές, οπότε τα σήματα αυτά συμβολίζονται σαν ακολουθίες. Φυσικά κι αυτά μπορούν να διαιρεθούν σε δύο κατηγορίες, ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή: α) Αναλογικά σήματα διακριτού χρόνου Στα σήματα αυτά η εξαρτημένη μεταβλητή περιγράφεται από μια συνεχή συνάρτηση και ένα τέτοιο σήμα είναι το x() = Aexp( ), όπου παίρνει ακέραιες τιμές. β) Ψηφιακά σήματα διακριτού χρόνου Στα σήματα αυτά η εξαρτημένη μεταβλητή δεν περιγράφεται από μια συνεχή συνάρτηση και ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το σήμα: x ()= +,, αρτιος ακεραιος περιττος ακεραιος Ένας άλλος τρόπος κατάταξης τν σημάτν, πιο γενικός από τον προηγούμενο, βασίζεται στο είδος τν μαθηματικών τους μοντέλν. Έτσι, τα σήματα διακρίνονται σε απλά (ή ντετερμινιστικά) και σε στοχαστικά. Τα απλά σήματα χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι σχεδόν πάντα μπορούν να περιγραφούν με απλές μαθηματικές εκφράσεις, ενώ παράλληλα δεν υπάρχει καμία αβεβαιότητα για τη φύση τους προτού να "συμβούν". Αντίθετα, στοχαστικά είναι τα σήματα, τα οποία δεν μπορούν να καθοριστούν ή να προβλεφθούν πριν να "συμβούν", οπότε δεν είναι δυνατή η περιγραφή τους με αναλυτικές μαθηματικές εκφράσεις. Στην πραγματικότητα ένα στοχαστικό σήμα είναι μια οικογένεια από απλά σήματα με κοινά πιθανοτικά χαρακτηριστικά. Σημειώνεται ότι τόσο τα απλά όσο και τα στοχαστικά σήματα μπορούν να συνδυαστούν με τις προαναφερθείσες κατηγορίες (π.χ. στοχαστικό διακριτό σήμα συνεχούς χρόνου κ.λ.π.). Στη συνέχεια, θα αναφερθούν ορισμένες κατηγορίες ή ειδικές μορφές σημάτν, τις οποίες είναι βέβαιο ότι ο αναγνώστης έχει συναντήσει αρκετές φορές στο παρελθόν. Ο λόγος, για τον οποίο γίνεται η επανάληψη αυτή, είναι η δημιουργία μιας κοινής βάσης μεταξύ τν συγγραφέν και του αναγνώστη, η οποία θα διευκολύνει την παρουσίαση της ύλης. Αξίζει να σημειθεί ότι, χρίς βλάβη της γενικότητας, θα γίνει 4
αναφορά μόνο σε αναλογικά σήματα, ενώ η επέκταση στους διάφορους άλλους τύπους σημάτν κρίνεται τετριμμένη και γι αυτό έχει παραλειφθεί...3 Περιοδικά σήματα Ένα αναλογικό σήμα x() καλείται περιοδικό, αν υπάρχει κάποια σταθερά Τ, έτσι ώστε να ισχύει: x() = x( + ) για κάθε (.7) Φυσικά ισχύει και η πιο γενική έκφραση x() = x( + κτ) (κ ακέραιος). Η σταθερά Τ ονομάζεται περίοδος, ενώ το αντίστροφο της /Τ ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα...4 Εκθετικά σήματα Τα σήματα αυτά αποτελούν μια πολύ σημαντική κατηγορία σημάτν και έχουν γενικά τη μορφή: x() = c α s (.8) όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός, που τις περισσότερες φορές ισούται με e =.783... Λαμβάνοντας υπόψη ότι η σταθερά s μπορεί να έχει τιμές πραγματικές (θετικές ή αρνητικές) ή μιγαδικές, διακρίνονται οι παρακάτ περιπτώσεις: α) s αρνητικός και πραγματικός Σχήμα..α. Εκθετικό σήμα με s = /. 5
Αν s = / ( > ), τότε x() = c exp( /) και το σήμα έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα.α. Η σταθερά Τ ονομάζεται σταθερά χρόνου και δίνει το ρυθμό ελάττσης του σήματος. Συγκεκριμένα, x() =.368c, ενώ x(5τ) =.67c, οπότε κάποιος μπορεί να εκτιμήσει ότι μετά από χρόνο = 5Τ το σήμα είναι αμελητέο. β) s θετικός και πραγματικός Σχήμα..β. Εκθετικό σήμα με s = /. Αν s = /, τότε x() = c exp(/) και το σήμα έχει τη μορφή του Σχήματος.β και τα συμπεράσματα είναι ανάλογα με αυτά της προηγούμενης περίπτσης. γ) s μιγαδικός Αν s = i, τότε x() = c exp(i) = c(cos + isi) και το σήμα αυτό είναι στην ουσία ένα "μιγαδικό ημιτονοειδές σήμα" με περίοδο Τ = π/. Είναι προφανές ότι το μέτρο του x() είναι ίσο με c...5 Ημιτονοειδή σήματα Τα σήματα αυτά παίζουν πρταρχικό ρόλο στις Τηλεπικοιννίες, αφού με τη βοήθεια τους παριστάνονται ραδιοκύματα, εναλλασσόμενα ηλεκτρικά μεγέθη, ηχητικά κύματα κ.λ.π. Επίσης, κάτ από ορισμένες προϋποθέσεις, όλα τα περιοδικά σήματα μπορούν να 6
περιγραφούν με τη βοήθεια τν σειρών Fourier, όπς θα φανεί παρακάτ. Το γενικό ημιτονοειδές σήμα (Σχήμα.3) εκφράζεται ς: x() = Acos( + φ) = Asi( + φ + π/) (.9) όπου οι σταθερές Α,, φ και Τ = π/ είναι το πλάτος, η γνιακή συχνότητα, η φάση και η περίοδος, αντίστοιχα, ενώ το όρισμα ( + φ) ονομάζεται γνία. Σχήμα.3. Το ημιτονοειδές σήμα...6 Η συνάρτηση δέλτα Μια από τις πιο σημαντικές κατηγορίες σημάτν είναι τα λεγόμενα στικά ή κρουστικά σήματα, ο σημαντικότερος εκπρόσπος τν οποίν είναι η συνάρτηση δέλτα, που συνήθς συμβολίζεται με δ(). Ένας τρόπος για να εκφράσει (και όχι να ορίσει) κανείς τη συνάρτηση δ() είναι ο ακόλουθος: δ() = για (.) + δ() d= δ() d= (.) ενώ η τιμή της στο σημείο = είναι απροσδιόριστη. Σημειώνεται ότι αν η συνάρτηση αυτή μετατοπιστεί στο =, τότε η αντίστοιχη έκφρασή της είναι: δ( ) = για (.) + δ( ) d = δ( ) d = (.3) 7
Βέβαια, ένας απλός τρόπος για να αποκτήσει κανείς μια εποπτική εικόνα για τη δ() είναι να τη θερήσει ς το όριο ενός παλμού διάρκειας ε (ε ) (Σχήμα.4). Σχήμα.4. Εποπτικός τρόπος παρουσίασης της συνάρτησης δ(). Η δ() μπορεί να οριστεί και μέσ της θερίας τν Κατανομών με τον ακόλουθο τρόπο: Έστ, μια συνάρτηση φ(), η οποία ονομάζεται συνάρτηση δοκιμής, που είναι συνεχής στο σημείο = και μηδενίζεται έξ από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Τότε η δ() ορίζεται μέσ του ολοκληρώματος: δ() ϕ() d = ϕ( ) (.4) Με βάση τον παραπάν ορισμό μπορούν να αποδειχτούν οι ακόλουθες ιδιότητες της συνάρτησης δ(): α) δ( ) ϕ() d = δ() ϕ( + ) d = ϕ( ) (Ιδιότητα της μετατόπισης) (.5) g ( ), < < β) δ( ) g( ) d = < >, ή για κάθε συνάρτηση g() συνεχή στο =. ( > ) (.6) γ) δα ( ) ϕ ( ) α δ ϕ α d = () (/ ) d = α ϕ ( ) (Ιδιότητα της κλιμάκσης) (.7) b δ) Αν α < b, τότε δ( ) d = α, α <, < α ή > b 8 < b (.8)
ε) f()δ() = f()δ(), όπου f() είναι μια συνάρτηση συνεχής στο =, (.9) στ) δα ( ) = α δ (), α R (.) Εδώ αξίζει να σημειθεί ότι αν α =, τότε η σχέση (.) δηλώνει ότι η δ() είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή δ() = δ( ). ( ) ζ) Η δ() έχει παραγώγους. Συμβολίζοντας με d δ()/ d = δ () τη οστή παράγγο της δ(), δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: ( ) ( ) δ () ϕ() d = ( ) ϕ ( ) (.) ( όπου ϕ ) ( ) = d ϕ() d =..7 Η βηματική συνάρτηση Η συνάρτηση αυτή συμβολίζεται με u() [αρκετά συχνά συμβολίζεται και με ϑ()]. Από το Σχήμα.5 γίνεται φανερό ότι η συνάρτηση u() δίνεται από τη σχέση:, > u ()=, <?, = (.) όπου ο συμβολισμός "?" δηλώνει ότι η συνάρτηση u() είναι απροσδιόριστη στο =. Σχήμα.5. Η βηματική συνάρτηση u(). 9
Θερώντας, όπς και για τη συνάρτηση δ(), ότι η u() είναι μια συνάρτηση κατανομής μπορεί να δοθεί ο ακόλουθος ορισμός: u () ϕ() d= ϕ() d (.3) Μια πολύ σημαντική ιδιότητα της βηματικής συνάρτησης είναι ότι η πρώτη παράγγός της είναι ίση με τη συνάρτηση δ(): du() d = δ () (.4)..8 Το τραίνο ώσεν Το σήμα αυτό δίνεται από τη σχέση: f() = I δ( κ ), όπου κ ακέραιος (.5) κ = Στο Σχήμα.6 έχουν σχεδιαστεί η συνάρτηση δ() και το τραίνο ώσεν. Σχήμα.6. (α) Η συνάρτηση δ() και (β) το τραίνο ώσεν...9 Σήματα παλμών Το σήμα σχήματος παλμού (Σχήμα.7α) δίνεται από την εξίσση: A f()=, < α /, > α / (.6)
Στην περίπτση του τραίνου παλμών, η συνάρτηση f() επαναλαμβάνεται περιοδικά με περίοδο Τ, όπς φαίνεται στο Σχήμα.7β. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση σχήματος παλμού f() της εξίσσης (.6) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με τη βοήθεια της βηματικής συνάρτησης ς: α α f() = A[( u + ) u( )] (.7) Με τον ίδιο τρόπο, αλλά σαν άπειρη σειρά, μπορεί να γραφεί και το τραίνο ώσεν. Σχήμα.7. (α) Το σήμα σχήματος παλμού και (β) το τραίνο παλμών... Η συνάρτηση δειγματοληψίας Μια συνάρτηση με ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας, η οποία συνήθς συμβολίζεται με Sa() και ορίζεται από τη σχέση: si si( α) Sa() =, ή πιο γενικά Sa( α) = (.8) α και η μορφή της δίνεται στο Σχήμα.8. Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sa() είναι άρτια συνάρτηση, με απόλυτη μέγιστη τιμή στο μηδέν Sa() =, ενώ μηδενίζεται στα σημεία = ±π ( =,,...). Τέλος, τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης δειγματοληψίας παρουσιάζονται στο μέσο περίπου τν αποστάσεν μεταξύ τν σημείν μηδενισμού, δηλαδή στα σημεία ±(+/)π, για τα οποία ισχύει si =. Η προσέγγιση αυτή γίνεται ακριβέστερη καθώς το απομακρύνεται από το μηδέν, ενώ οι τιμές της συνάρτησης στις θέσεις τν τοπικών ακρότατν δίνονται προσεγγιστικά από τη σχέση:
( ) Sa[ ± ( + / ) π ] = ( + ) π (.9) Σχήμα.8. Η συνάρτηση δειγματοληψίας Sa(). Κλείνοντας την ενότητα αυτή, θα ήταν σκόπιμο να τονιστεί ότι τα σήματα τν ειδικών μορφών (ημιτονοειδή, κρουστικά, κ.λ.π.), που παρουσιάστηκαν παραπάν, αν και φαίνονται άσχετα μεταξύ τους, παρόλα αυτά έχουν πολύ μεγάλη συγγένεια (ανά ορισμένα ζεύγη φυσικά) στο πεδίο της συχνότητας (π.χ. ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας). Πριν ολοκληρθεί η παράγραφος της ταξινόμησης τν σημάτν και τν συστημάτν, θα δοθούν οι ορισμοί τν μέσν και ενεργών τιμών καθώς και της ενέργειας και της ισχύος τν σημάτν. Οι ορισμοί αυτοί θα οδηγήσουν σε μια ακόμη διαίρεση τν σημάτν, στα σήματα ενέργειας και στα σήματα ισχύος... Μέσες και ενεργές τιμές σημάτν Η μέση τιμή ενός σήματος f() σε κάποιο διάστημα [, ], η οποία συμβολίζεται με f(), ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο: f() = f() d (.3) Είναι φανερό ότι για ένα περιοδικό σήμα η μέση τιμή είναι σκόπιμο να οριστεί για μια περίοδο Τ:
f() = f () d (.3) Φυσικά η μέση τιμή ενός ημιτονοειδούς σήματος είναι μηδέν, όταν για χρονικό διάστημα ληφθεί μια περίοδος, ενώ για ένα σταθερό σήμα (f() = c) η μέση τιμή του είναι ίση με c. Στο Σχήμα.9 δίνονται δύο σήματα, το f () και το f (), που έχουν την ίδια μέση τιμή Α, από όπου γίνεται φανερό το όνομα DC, που συναντά κανείς στην Ηλεκτρονική, για τη μέση τιμή. Σχήμα.9. Δύο σήματα f () και f () με ίδια μέση τιμή. εξίσση: Η ενεργός τιμή (Roo Mea Squared ή RMS) ενός σήματος f() δίνεται από την f() = f () d RMS (.3) ενώ για ημιτονοειδή σήματα ισχύει η σχέση f() = A, όπου Α είναι το πλάτος του ημιτονοειδούς σήματος. RMS.. Ενέργεια και ισχύς σημάτν Όπς είναι γνστό για ηλεκτρικά σήματα x(), όπου το x() παριστάνει είτε μια διαφορά δυναμικού (τάση) U() είτε ένα ηλεκτρικό ρεύμα i(), η στιγμιαία ισχύς, που καταναλώνεται σε μια αντίσταση R, είναι P() = U() /R = i() R. Αν η αντίσταση είναι μοναδιαία (R = Ω), η στιγμιαία ισχύς εξαρτάται με τον ίδιο τρόπο από την τάση ή το ρεύμα, P() = U () = i (), όπου η τελευταία σχέση ισχύει βέβαια μόνο για 3
πραγματικές συναρτήσεις. Γενικεύοντας, μπορεί να οριστεί ς στιγμιαία ισχύ ενός σήματος x() το τετράγνο του x(): P() = x () (.33) Η παραπάν σχέση καθώς και οι παραστάσεις, που έχει κανείς από τον Ηλεκτρισμό (ενέργεια που καταναλώνεται σε μοναδιαία αντίσταση), μπορούν να οδηγήσουν στον ορισμό της ενέργειας E, σε χρονικό διάστημα [, ]: E = Pd () = x() d (.34), Όμοια, η μέση ισχύς P () στο διάστημα [, ] του σήματος x() ορίζεται ς εξής: P () = Pd () = x () d = x () RMS (.35) Με βάση τα παραπάν δίνονται οι ακόλουθοι ορισμοί: Σήμα ισχύος είναι ένα σήμα, το οποίο έχει πεπερασμένη μέση ισχύ, όταν το διάστημα τείνει στο άπειρο, ενώ σήμα ενέργειας είναι ένα σήμα, το οποίο έχει πεπερασμένη ενέργεια, όταν το διάστημα τείνει στο άπειρο. Παραδείγματα σημάτν ισχύος και σημάτν ενέργειας φαίνονται στο Σχήμα.. Σήματα ισχύος είναι τα περιοδικά σήματα και αρκετά μη περιοδικά (π.χ. η συνάρτηση δέλτα, η σταθερά, κ.λ.π.), ενώ σήματα ενέργειας είναι οι παλμοί (τριγνικοί, τετραγνικοί, Gauss κ.λ.π.), το διπλό εκθετικό x() = exp( α ) κ.λ.π.. Σειρές Fourier και Φάσματα Περιοδικών Σημάτν Ένα από τα κυριότερα προβλήματα που συναντώνται στις Τηλεπικοιννίες αλλά και στους περισσότερους κλάδους τν θετικών επιστημών, είναι η εύρεση τρόπν προσδιορισμού ή περιγραφής ενός σήματος. Η πλέον συνήθης τεχνική είναι η επέκταση του σήματος σε γραμμική σειρά άλλν σημάτν. Με τον τρόπο αυτό, ακόμα και σήματα, τν οποίν η αναλυτική έκφραση δεν είναι γνστή, μπορούν να προσδιοριστούν με τη γνώση λίγν μόνο συντελεστών της σειράς. Το μαθηματικό 4
υπόβαθρο όλν τν επεκτάσεν σε σειρά (Fourier, Bessel, Laguerre, Whiaker κ.λ.π.) είναι η θερία διανυσματικών χώρν με εστερικό γινόμενο. Αποφεύγοντας την αυστηρή μαθηματική γλώσσα και θεμελίση θα δοθεί προσοχή στο πρόβλημα της επέκτασης ενός σήματος σε γραμμική σειρά. Αξίζει στο σημείο αυτό να δοθούν οι ακόλουθοι ορισμοί, που είναι πολύ πιθανό ότι ο αναγνώστης έχει ξανασυναντήσει σε βασικά πανεπιστημιακά μαθήματα. ο παλμός Gauss περιοδικό σήμα το σήμα exp( )u() συνημιτονικός παλμός (α) (β) Σχήμα.. (α) Σήματα ισχύος και (β) σήματα ενέργειας. 5
Έστ δύο σήματα f() και g(), τα οποία γενικά θερούνται μιγαδικές συναρτήσεις, ορισμένες σε κάποιο διάστημα [, ]. Το εστερικό γινόμενο τους, ο οποίος είναι κάποιος αριθμός, ορίζεται ς εξής: ( f( ), g( )) = f( ) g ( ) d (.36) όπου το σύμβολο "*" σημαίνει μιγαδικός συζυγής. Αξίζει να σημειθεί η ομοιότητα του ορισμού της εξίσσης (.36) με τον ορισμό του εστερικού γινομένου στον Ευκλείδειο χώρο, όπου όταν f = f i + f j+ f k 3 3 = f g = ( f, g) = f g και g = g i + g j+ g k, τότε 3. Όταν ισχύει (f, g) = στο διάστημα [, ], τότε τα σήματα ονομάζονται ορθογώνια στο διάστημα αυτό. Η απόσταση μεταξύ τν παραπάν δύο σημάτν μπορεί να οριστεί με τη βοήθεια του μέτρου ή νόρμας (orm). Λαμβάνοντας υπόψη ότι το μέτρο της συνάρτησης f() ορίζεται ς: f( ) = ( f( ), f( )) = f( ) d (.37) μπορεί να οριστεί η απόσταση d(f, g) μεταξύ τν f() και g() με τον ακόλουθο τρόπο: d( f, g) = f() g() = f() g() d (.38) Από τις εξισώσεις (.37) και (.38) είναι φανερή η ομοιότητα τν ορισμών αυτών με εκείνους, που ισχύουν στον Ευκλείδειο χώρο, όπου το μέτρο του διανύσματος f και η απόσταση μεταξύ τν διανυσμάτν f και g δίνονται από τις σχέσεις f = f 3 = 3 = και f g = ( f g ), αντίστοιχα. Έστ, τέλος, τα σήματα φ () ( =,,..., Ν) για τα οποία ισχύει: 6
, ( ϕ, ϕ ) = m κ R, m =m (.39) Είναι φανερό ότι κάθε σήμα μέλος του συνόλου {φ ()} είναι ορθογώνιο με όλα τα άλλα σήματα μέλη του. Αν, επιπλέον, ισχύει ότι κ = για κάθε, τότε το σύστημα τν συναρτήσεν φ () ονομάζεται ορθοκανονικό ή βάση ή σύστημα συντεταγμένν. Επανερχόμενοι στο αρχικό πρόβλημα της προσέγγισης του σήματος x() με κάποιο γραμμικό συνδυασμό άλλν σημάτν φ () δίνονται χρίς απόδειξη τα ακόλουθα θερήματα. ο Θεώρημα (Επέκταση σε σειρά) Έστ ότι το σήμα x() προσεγγίζεται από το σήμα x (), όπου με x () συμβολίζεται ο γραμμικός συνδυασμός τν σημάτν φ (), δηλαδή: N x () x () = cϕ () = (.4) Για να είναι η απόσταση μεταξύ τν x() και x () ελάχιστη, πρέπει οι συντελεστές c της επέκτασης να δίνονται από τη σχέση: c = (x(),φ ()) (.4) Σημειώνεται ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή, αν c = (x(), φ ()), τότε η διαφορά τν x() και x () είναι ελάχιστη. ο Θεώρημα (Ορθογνιακή αρχή) Αν οι συντελεστές c καθιστούν ελάχιστο το μέτρο του σφάλματος ε της επέκτασης ( ε = ( ) x x ( ) ), τότε το σήμα του σφάλματος x() x () είναι ορθογώνιο σε όλα τα φ (). Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή, αν το σήμα σφάλματος είναι ορθογώνιο στα φ (), τότε τα c είναι τέτοια, ώστε το ε να είναι ελάχιστο. 7
Από τα παραπάν γίνεται φανερό ότι για την επέκταση ενός σήματος x() σε γραμμικό συνδυασμό κάποιν σημάτν φ (), πρέπει να διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: α) Αν τα φ () αποτελούν βάση, τότε τα c βρίσκονται με το πρώτο θεώρημα [εξίσση (.4)]. β) Αν τα φ () δεν αποτελούν βάση, τότε τα c προκύπτουν από τη λύση του συστήματος Ν εξισώσεν: N [ x ( ) cϕ ( )] ϕ d= (.4) = Είναι προφανές ότι η εύρεση βάσεν αποτελεί ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η ανάπτυξη ενός σήματος σε σειρές ημιτονοειδών σημάτν, δηλαδή σε σειρές Fourier, οι οποίες παρουσιάζουν το μεγάλο πλεονέκτημα σε σχέση με άλλες εναλλακτικές σειρές ότι οδηγούν στην έννοια τν φασμάτν, τα οποία είναι απαραίτητα στην παρακολούθηση τν πληροφοριών, που μεταφέρουν τα σήματα. Μάλιστα, απαραίτητη προϋπόθεση για ένα σήμα f() να αναπτύσσεται σε σειρά Fourier είναι να ικανοποιεί τις λεγόμενες συνθήκες Dirichle, οι οποίες είναι: i) Η συνάρτηση f() να είναι μονοσήμαντη στο διάστημα [, ]. ii) Να έχει πεπερασμένο αριθμό μεγίστν και ελαχίστν στο διάστημα [, ]. iii) Να έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών πεπερασμένου μεγέθους στο διάστημα [, ]. iv) Να είναι απολύτς ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ], δηλαδή f( ) d <. Σημειώνεται ότι, αν η f() είναι περιοδική συνάρτηση, η επέκταση της σε σειρά Fourier ισχύει για όλο το πεδίο ορισμού της (η περίοδος Τ = ). Ακόμα, πρέπει να υπογραμμιστεί ότι οι συνθήκες Dirichle ισχύουν για όλα τα φυσικά σήματα. Ανάλογα, με τη βάση φ () που χρησιμοποιείται, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθες επεκτάσεις. 8
.. Τριγνομετρική σειρά Fourier μορφής Α Η βάση αποτελείται από τα σήματα: ϕ () = cos( ), ϕ () = si( ), ϕ = (.43) Τ όπου = π/( ) = π/τ. Εύκολα μπορεί να αποδειχτεί ότι τα σήματα αυτά αποτελούν βάση, οπότε το σήμα f() γράφεται: f ( ) = c ϕ + ( c ϕ + c ϕ ) (.44) = Κάνοντας χρήση τν ορισμών (.4) για τον υπολογισμό τν συντελεστών μπορεί να βρεθεί ότι: f ( ) = α + [ α cos( ) + b si( )] = (.45) όπου α = f() d, α = f d Τ ()cos( ) και b Οι συντελεστές α, α και b ονομάζονται συντελεστές Fourier. = f()si( ) d (.46).. Τριγνομετρική σειρά Fourier μορφής Β Θέτοντας A = a + b και = a ( b / a ) φ (.47) η εξίσση (.45) δίνει f () = a + A cos( + φ ) (.48) =..3 Εκθετική σειρά Fourier i Παίρνοντας ς βάση τα σήματα ϕ ()= e, με =, ±, ±,... και = π/τ, μπορεί ν αποδειχτεί ότι: 9
όπου F f()= = F e i (.49) c =, ενώ τα c δίνονται από τη σχέση: c = ( f( ), ϕ ( )) = f( ) e d i (.5) Επίσης, μπορεί εύκολα ν αποδειχτεί ότι: F = a ib ( ) και F = α (.5) Οι τρεις προαναφερθείσες μορφές της σειράς Fourier συνοψίζονται στον Πίνακα. (σελίδα 53). Αξίζει να τονιστεί ότι η επέκταση σε σειρά Fourier ισχύει ανεξάρτητα αν η συνάρτηση f() είναι περιοδική ή όχι. Η διαφορά είναι ότι, αν η σειρά ορίζεται στο διάστημα =, τότε η επέκταση ισχύει μόνο στο διάστημα Τ, ενώ αν η f() είναι περιοδική με περίοδο Τ η επέκταση ισχύει για όλα τα. Επιπρόσθετα, όταν η συνάρτηση f() είναι άρτια ή περιττή, τότε ο υπολογισμός της τριγνομετρικής σειράς μορφής Α είναι ευκολότερος. Έτσι: α) Αν η f() έχει μηδενική μέση τιμή, τότε a = f() =. β) Αν η f() είναι άρτια, τότε b = για κάθε. γ) Αν η f() είναι περιττή, τότε α = για κάθε. δ) Αν f() = f( + Τ/), τότε α = b = για κάθε. ε) Αν f() = f( + Τ/), τότε α + = b + = για κάθε. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Όταν η είσοδος του κυκλώματος διπλής ανόρθσης (Σχήμα.α) είναι της μορφής si(π), τότε, όπς είναι γνστό από την Ηλεκτρονική, η έξοδος f() έχει τη μορφή του Σχήματος.β, δηλαδή: f() = si(π), (.5) Ζητείται το σήμα αυτό να επεκταθεί σε σειρά Fourier.
(α) (β) Σχήμα.. (α) Κύκλμα διπλής ανόρθσης και (β) πλήρς ανορθμένο σήμα. Απάντηση Αρχικά είναι = π/τ = π, αφού Τ =. Ο συντελεστής α της τριγνομετρικής μορφής Α υπολογίζεται ς: a Τ Τ f d A d A = () = si( π ) = π (.53α) ενώ οι συντελεστές α είναι a = f ( )cos( ) d = Asi( π)cos( π ) d A δηλαδή a = 4 π( 4 ) ενώ φυσικά A a = 4 π( 4 ) (.53β) Είναι προφανές ότι η συνάρτηση f() είναι άρτια, οπότε οι συντελεστές b είναι: b = (.53γ) Συνεπώς, η τριγνομετρική σειρά Α είναι: A A f() = + 4 ( 4 ) cos( π π π ) (.53δ) = Με τη βοήθεια τν τύπν αλλαγής του Πίνακα., εύκολα προκύπτει ότι: 4A A = a + b = a = π( 4 ) φ = a ( b a ) = π (.54α) (.54β) Επομένς, η τριγνομετρική μορφή Β δίνεται από τη σχέση:
A A f() = + 4 ( ) cos( π + π π π 4 ) (.54γ) = και είναι φυσικά ισοδύναμη με την τριγνομετρική μορφή Α. Τέλος, όσον αφορά την εκθετική μορφή, οι συντελεστές αυτής με χρήση του Πίνακα. είναι: A F = ( a ib ) = a = π( 4 ) (.55α) Συνεπώς, η εκθετική μορφή δίνεται από τη σχέση: A f e i ()= π 4 = π (.55β) Το προαναφερθέν παράδειγμα προσφέρεται για την εισαγγή στην έννοια τν φασμάτν. Οι συντελεστές Α της μορφής Β αποτελούν τις φασματικές συνιστώσες πλάτους, γιατί όπς φαίνεται από την εξίσση (.54α), τα Α αποτελούν τα πλάτη τν φασματικών συνιστσών. Αναφερόμενοι στο προηγούμενο παράδειγμα, το Σχήμα. αποτελεί το φάσμα πλάτους μονής πλευράς του σήματος f(), όπου έχουν σχεδιαστεί οι συντελεστές Α (πολλαπλασιασμένοι επί τον παράγοντα π/α) σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα. Οι γραμμές του σχήματος, που φανερώνουν την ένταση κάθε φασματικής συνιστώσας, απέχουν μεταξύ τους κατά (θεμελιώδης συχνότητα). Το άπειρο πλήθος τν συχνοτήτν, οι οποίες εμφανίζονται, δίνουν μια αίσθηση του αρμονικού περιεχομένου του σήματος, αλλά η συνεισφορά τν αντέρν αρμονικών, με > 4, είναι φανερό ότι μπορεί με βάση κάποιο "κριτήριο" να θερηθεί αμελητέα. Το κριτήριο αυτό είναι κατά πόσο οι συχνότητες αυτές συνεισφέρουν στη μέση ισχύ του σήματος, όπς αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Parseval, το οποίο θα παρουσιαστεί παρακάτ. Στην περίπτση, που το σήμα f() δίνεται από την εκθετική σειρά Fourier, το φάσμα πλάτους πρέπει να δίνεται από τους συντελεστές F. Επειδή, όμς, οι συντελεστές F =.5(α ib ) και F =.5(α + ib ) είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, στο φάσμα πλάτους η εξαρτημένη μεταβλητή θα είναι το μέτρο F. Λαμβάνοντας υπόψη [εξίσση (.55β)] ότι το άθροισμα είναι τώρα από = ές = καθώς και ότι F = F, το φάσμα στην περίπτση αυτή θα εκτείνεται και για αρνητικά
έχοντας άρτια συμμετρία. Το φάσμα αυτό, F = F (), ονομάζεται φάσμα πλάτους διπλής πλευράς και για το προηγούμενο παράδειγμα έχει σχεδιαστεί στο Σχήμα.3. Σχήμα.. Φάσμα πλάτους μονής πλευράς του σήματος f(). Σχήμα.3. Φάσμα πλάτους διπλής πλευράς του σήματος f(). Στην περίπτση, που το σήμα f() είναι αναπτυγμένο σε τριγνομετρική σειρά μορφής Β, το σχεδιάγραμμα φ = φ ( ) λέγεται φάσμα φάσης του f(). Στο Σχήμα.4 δίνεται το φάσμα φάσης του σήματος f() του προηγούμενου παραδείγματος. Σχήμα.4. Φάσμα φάσης του σήματος f() (τριγνομετρικής μορφής Β). 3
Όταν το σήμα f() εκφράζεται από την εκθετική σειρά Fourier, τότε: iφ F = 5.( a ib ) = 5. a + b e με φ = a ( b / a ) Για τους λόγους, που προαναφέρθηκαν για τα φάσματα πλάτους διπλής πλευράς, το άθροισμα είναι από = ές =, και λαμβάνοντας υπόψη ότι φ = φ (δηλαδή το φάσμα έχει περιττή συμμετρία), είναι φανερό ότι το φάσμα φάσης του σήματος f() του προηγούμενου παραδείγματος θα έχει τη μορφή του Σχήματος.5. Σχήμα.5. Φάσμα φάσης του σήματος f() (εκθετικής μορφής). Ένα άλλο είδος φάσματος, το οποίο είναι πολύ χρήσιμο, είναι το λεγόμενο φάσμα ισχύος F = F (), δηλαδή το σχεδιάγραμμα τν συντελεστών F () σε συνάρτηση με τη συχνότητα. Η σπουδαιότητα του φάσματος ισχύος έγκειται στο γεγονός ότι, μέσ του φάσματος αυτού, είναι δυνατός ο υπολογισμός της μέσης ισχύος ενός περιοδικού σήματος (ή της μέσης ισχύος ενός μη περιοδικού σήματος, που έχει επεκταθεί σε σειρά Fourier στο διάστημα [, Τ]) με τη βοήθεια του θερήματος του Parseval, το οποίο διατυπώνεται μέσ της επόμενης εξίσσης: P = f () d = F (.56) = Η αξία του θερήματος αυτού είναι ότι πέρα από ένα εναλλακτικό τρόπο υπολογισμού της μέσης ισχύος οδηγεί στον υπολογισμό της συνεισφοράς τν διαφόρν αρμονικών στη μέση ισχύ. Έτσι, για παράδειγμα, αν έχει υπολογιστεί η μέση ισχύς με τη βοήθεια 4
της εξίσσης (.56), τότε η συνεισφορά της οστής αρμονικής είναι P = F + F = F ( ) ή σαν ποσοστό: P F Ισχύς % της οστής αρμονικής = = P P (.57) Για να δοθεί ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, έστ το σήμα f(), που δίνεται από την εξίσση (.5). Το ερώτημα, που τίθεται, είναι πόση ισχύς υπάρχει στη συνεχή (DC) συνιστώσα. Είναι φανερό ότι για = ισχύει F = 4A /π, ενώ η ισχύς, η οποία υπάρχει στη θεμελιώδη συχνότητα, ισούται με P = F + F = F = 8A /9π. Από την άλλη μεριά η μέση ισχύς στο διάστημα [, ] είναι: P= f () d= Asi( π d ) = A (.58) Έτσι, το ποσοστό της ισχύος για παράδειγμα της DC συνιστώσας είναι: P P F A = 4 P = / π A / 8 % (.59) δηλαδή το 8% της μέσης ισχύος περιέχεται στη συνεχή συνιστώσα. Είναι λοιπόν φυσικό το σήμα αυτό να χαρακτηριστεί ς σήμα "φτχού αρμονικού περιεχομένου" ή σήμα χαμηλής συχνότητας, με την έννοια ότι μόνο οι χαμηλές συχνότητες έχουν σημαντική συνεισφορά στη μέση ισχύ του σήματος.. Να βρεθεί το φάσμα πλάτους διπλής πλευράς του σήματος: a Ee, < < ( + ) f() =, =,,,..., a ( ) 5a Ee, ( + ) < < ( + ) Απάντηση Η περίοδος του σήματος είναι Τ = Τ. Άρα: F π π a ( ) i π i E f e d e a e i d E = () = e e d 5
= ( a + iπ ) iπ a iπ E( e ) Ee ( e ) E( e ) a iπ = ( e ) a + iπ a + iπ a + iπ, a = E( + e ), a + iπ αρτιο E, αφού περιττο a + iπ 5a είναι exp( a ). Άρα, F = E E = ( a ) + ( π) ( a ) + ( ) για περιττό, αφού = π/τ = π/τ και = π/τ = π/τ. 3. Να προσδιοριστούν οι συντελεστές Fourier για το περιοδικό σήμα f() του παρακάτ σχήματος. Απάντηση Είναι φανερό ότι αν ένα σήμα x() έχει μέση τιμή α, τότε οι συντελεστές Fourier α και b της συνάρτησης x() α θα είναι οι ίδιοι με εκείνους της συνάρτησης x(), δηλαδή τα δύο αναπτύγματα θα διαφέρουν μόνο κατά τη συνεχή (DC) συνιστώσα. Συνεπώς, αντί να υπολογιστούν οι συντελεστές Fourier του f(), θα υπολογιστούν εκείνοι του 6
σήματος f () = f() A/. Είναι φανερό ότι το σήμα f () έχει περιττή συμμετρία και μάλιστα συμμετρία μισού κύματος [f () = f( + /)]. Με βάση τις παραπάν παρατηρήσεις έπεται ότι θα υπάρχουν μόνο ημιτονικοί όροι στο ανάπτυγμα, και, μάλιστα, θα εμφανίζονται μόνο οι περιττές αρμονικές σ αυτό. Άρα, α = και b 4 8 4A π 8A = ( )si( ) d = ( ) si( π π ), =,3,... 4. Να βρεθεί η ανάπτυξη Fourier του τραίνου ώσεν (Σχήμα.6β) f() = I δ( κτ ) κ = Απάντηση Είναι γνστό ότι: a Τ I I = δ( d ) = και a Τ Τ I π I = δ()cos( ) d =, ενώ b I π = δ()si( ) d = λόγ της άρτιας συμμετρίας του f(). Επιπρόσθετα F I = I I π I και φ =, επομένς f() = + cos( ) = = = e π i 5. Να βρεθεί το φάσμα ισχύος του τραίνου παλμών (Σχήμα.7β), το οποίο σε μια περίοδο Τ δίνεται από τη σχέση f() = A, για < α/ (α < Τ). Απάντηση Οι συντελεστές F του σήματος f() είναι: F α i A iα iα = Ae d = e e Τ ( ) i α 7
α A α αa si( ) = = αa = Τ Τ Sa α si( ) ( ) α δηλαδή οι συντελεστές F είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση δειγματοληψίας με τη διαφορά ότι οι συντελεστές αυτοί λαμβάνουν διακριτές τιμές. Επιλέγοντας α =.5 (sec), Τ =.5 (sec) και Α =, το φάσμα πλάτους διπλής πλευράς F = F () φαίνεται στο παρακάτ σχήμα, όπου = 8π και επομένς A F Τ Sa Sa = α ( α ) = ( π ), ενώ το φάσμα ισχύος είναι [ ( )] 5 5 F Sa π =, 5 5 που σχεδιάζεται εύκολα με τη βοήθεια του παρακάτ σχήματος. Αξίζει να σημειθεί ότι αν τεθεί α = /, Α = (όπς πριν), αλλά Τ =.5, δηλαδή διατηρηθεί ίδιο το πλάτος και η διάρκεια του παλμού, αλλά διπλασιαστεί η περίοδος, η "πυκνότητα" τν φασματικών γραμμών θα διπλασιαστεί. Όταν το Τ, δηλαδή λαμβάνεται υπόψη μόνο ένας παλμός, τότε το φάσμα γίνεται συνεχές. Στην περίπτση αυτή, όπς θα αποδειχτεί στο επόμενο κεφάλαιο, ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος παλμού είναι η συνάρτηση δειγματοληψίας..3 Μετασχηματισμός Fourier και Φάσματα μη Περιοδικών Σημάτν Τα φάσματα πλάτους, φάσης και ισχύος, που ορίστηκαν στην προηγούμενη ενότητα για περιοδικά σήματα, είναι πολύ σημαντικά, αφού παρέχουν την δυνατότητα της 8
παρακολούθησης ενός πληροφοριακού σήματος στο πεδίο της συχνότητας καθώς αυτό διέρχεται από διάφορα συστήματα. Βασικός στόχος της ενότητας αυτής είναι η επέκταση τν εννοιών τν φασμάτν και για μη περιοδικά σήματα, η οποία γίνεται με τη βοήθεια του Μετασχηματισμού ή Ολοκληρώματος Fourier. Το "πέρασμα" από τη σειρά στο ολοκλήρμα Fourier μπορεί να γίνει εύκολα (όπς θ αποδειχτεί αμέσς μετά) για τα σήματα ενέργειας, δηλαδή για σήματα f() που ικανοποιούν την εξίσση: f ( ) d < (.6) Υπενθυμίζεται ότι τέτοια σήματα είναι εκείνα, που είτε μηδενίζονται έξ από ένα πεπερασμένο διάστημα (π.χ. ο τετραγνικός παλμός), είτε είναι όσο μικρά (κατ απόλυτη τιμή) απαιτείται έξ από ένα πεπερασμένο διάστημα (π.χ. παλμός Gauss). Έστ, λοιπόν, ένα τέτοιο σήμα, το οποίο ορίζεται στο διάστημα [ Τ/, Τ/] και θερείται μηδενικό ή αμελητέο έξ απ αυτό. Το σήμα αυτό, μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Fourier περιόδου Τ = π/. Η επέκταση, φυσικά, ισούται ακριβώς με το σήμα, μόνο μέσα στο διάστημα που θερήθηκε (εφόσον η f() δεν είναι περιοδική). Έτσι, προκύπτει η εξίσση: f()= = F e i για Τ/ Τ/ (.6) όπου F = f() e i d (.6) Η θεμελιώδης συχνότητα = π/τ είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών αρμονικών του φάσματος πλάτους, το οποίο αποτελείται από διακριτές φασματικές γραμμές. Αντικαθιστώντας την εξίσση (.6) στην (.6) η τελευταία γράφεται: Τ i i f() = e f() e d = π Τ (.63) Έστ ότι Τ, τότε το = π/τ θα τείνει στο d. Αυτό σημαίνει ότι η απόσταση μεταξύ τν αρμονικών γίνεται απειροστά μικρή (d) και ο αριθμός τν αρμονικών συνιστσών τείνει στο άπειρο ( ). Παράλληλα, η συχνότητα της οστής αρμονικής θα παίρνει στο όριο συνεχείς τιμές, οπότε θα συμβολίζεται με. Σύμφνα 9
με τα παραπάν, στο όριο το άθροισμα της εξίσσης (.63) θα γίνεται ολοκλήρμα, δηλαδή: d i i f() = e f() e d] π ή f e i i () = f() e d d π (.64) Η εξίσση (.64) είναι το ολοκλήρμα Fourier και το εστερικό ολοκλήρμα είναι μια μιγαδική συνάρτηση του, η οποία ονομάζεται Μετασχηματισμός Fourier της f() και συμβολίζεται με F(). Συνεπώς: i i F( ) = f( ) e d και f() = F( ) e d π (.65) Σημειώνεται ότι στο ζεύγος μετασχηματισμών τν εξισώσεν (.65) συνηθίζεται και ο συμβολισμός F() = I[f()] και f() = I [F()]. Η απόδειξη, η οποία δόθηκε για το Μ/Σ Fourier, μπορεί να μην είναι αυστηρή από μαθηματικής πλευράς, ισχύει όμς όταν ικανοποιείται ο περιορισμός της εξίσσης (.6). Πράγματι, η συνθήκη αυτή αναγκάζει την εξίσση (.65α) να συγκλίνει, έτσι ώστε να υπάρχει το F() και στη συνέχεια το f() να δίνεται από την (.65β). Επιπλέον, σημειώνεται ότι το σήμα f() πρέπει να ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichle, οι οποίες δόθηκαν σε προηγούμενη παράγραφο. Οι περιορισμοί αυτοί είναι ικανοί, αλλά όχι αναγκαίοι, για την ύπαρξη του ζεύγους τν εξισώσεν (.65). Το σημαντικό όμς είναι ότι εφόσον υπάρχει ο Μ/Σ Fourier, τότε αυτός είναι ένας και μοναδικός και αντίστροφα. Τέλος, να σημειθεί ότι για σήματα ισχύος δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις (.65) για τον υπολογισμό του Μ/Σ Fourier. Το θέμα αυτό θ αναλυθεί εκτενέστερα στη συνέχεια. Πριν αναλυθούν οι ιδιότητες του Μ/Σ Fourier, κρίνεται σκόπιμο ν αναφερθούν τα φάσματα. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη ότι αυτός είναι γενικά μια μιγαδική συνάρτηση του τότε ισχύει: F() = F() exp[iθ()] (.66) Σε πλήρη αντιστοιχία με τα όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα, η συνάρτηση F() δίνει το φάσμα πλάτους και η συνάρτηση θ() το φάσμα φάσης του σήματος f(). 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Να βρεθούν τα φάσματα πλάτους και φάσης του σήματος f() = exp( 3)u(). Σύμφνα με τον ορισμό του Μ/Σ Fourier ισχύει: 3 i 3 i F( ) = e u( ) e d = e e d = 3 + i Συνεπώς, είναι φανερό ότι τα δύο φάσματα θα δίνονται από τις σχέσεις: Φάσμα πλάτους: F( ) = 9+ και φάσμα φάσης: θ ( ) = a ( ) 3.4 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier.4. Γραμμική ιδιότητα Αν οι Μ/Σ Fourier τν συναρτήσεν f() και g() είναι F() και G(), αντίστοιχα, τότε: αf() + bg() αf() + bg() (.67).4. Συμμετρική ιδιότητα Αν ο Μ/Σ Fourier του f() είναι F(), τότε για το σήμα F() είναι: F() πf( ) (.68).4.3 Μετατόπιση στο χρόνο Αν f() F(), τότε για το μετατοπισμένο κατά σήμα θα ισχύει: f( ) F()exp( i ) (.69) Φυσικά, το φάσμα πλάτους του σήματος f( ) παραμένει το ίδιο, γιατί I[f( )] = F()exp( i ) = F(). Αυτό σημαίνει ότι μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου συνεπάγεται αλλαγή μόνο του φάσματος φάσης του σήματος. 3
.4.4 Μετατόπιση στη συχνότητα Αν f() F(), τότε πολλαπλασιασμός του σήματος f() με κάποιο σήμα συχνότητας συνεπάγεται μετατόπιση τν φασμάτν κατά την ίδια συχνότητα, δηλαδή: f()exp( i ) F( ) (.7α) i i Σημειώνεται ότι, επειδή cos( ) = ( e + e i i )/ και si( ) = ( e e ) /( i), η ιδιότητα (.7α) μπορεί να γραφεί και ς: f()cos( ) [F( ) + F( + )]/ (.7β) ή f()si( ) [F( ) F( + )]/i (.7γ) Η ιδιότητα αυτή έχει μεγάλη εφαρμογή στα συστήματα τηλεπικοιννιών και ιδιαίτερα στη διαμόρφση, γιατί δείχνει τον τρόπο με τον οποίο το φάσμα ενός σήματος μπορεί να μετατοπιστεί στο πεδίο συχνοτήτν. Έτσι, για παράδειγμα, αν ο Μ/Σ Fourier ενός σήματος f() δίνεται στο Σχήμα.6α, τότε ο Μ/Σ Fourier του διαμορφμένου κατά AM σήματος, δηλαδή του σήματος f()cos( c ), δίνεται στο Σχήμα.6β. Σχήμα.6. Μετασχηματισμός Fourier τν (α) f() και (β) f()cos( c )..4.5 Ιδιότητα κλιμάκσης Η αλλαγή της κλίμακας του χρόνου επηρεάζει αντιστρόφς ανάλογα την έκταση του Μ/Σ Fourier. Έτσι, αν f() F(), τότε: f( a) a F ( ) (.7) a 3
Η ιδιότητα αυτή δείχνει ότι μπορεί κανείς να στενεύει ή να πλατύνει τα φάσματα ενός σήματος με πλάτυνση ή στένεμα του χρόνου, κάνοντας χρήση βέβαια της κατάλληλης κλίμακας. Το γεγονός ότι το πλάτος του f() είναι αντιστρόφς ανάλογο του πλάτους του F() μπορεί να οδηγήσει σε συμπεράσματα ανάλογα με τη γνστή αρχή της αβεβαιότητας στην Κβαντομηχανική. Περισσότερες λεπτομέρειες για το θέμα αυτό μπορεί να βρει ο αναγνώστης στο Παράδειγμα 8..4.6 Ιδιότητα αντιστροφής Αν στην εξίσση (.7) τεθεί α =, τότε έπεται ότι όταν f() F(), τότε: f( ) F( ) (.7).4.7 Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Προτού αναφερθεί η ιδιότητα αυτή, κρίνεται απαραίτητο να δοθεί ο ορισμός της συνέλιξης (covoluio) δύο συναρτήσεν. Η συνέλιξη δύο συναρτήσεν f () και f (), η οποία συμβολίζεται με f () f (), ορίζεται ς: f() f() f( τ) f( τ) dτ (.73) Η πράξη της συνέλιξης είναι πολύ σημαντική γιατί μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή τν σχέσεν εισόδου εξόδου σε γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα (σταθερά) συστήματα. Αξίζει να σημειθεί ότι η συνέλιξη έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: α) Αντιμεταθετική : f () f () = f () f () β) Προσεταιριστική : [f () f ()] f 3 () = f () [f () f 3 ()] γ) Επιμεριστική : f () [f ()+f 3 ()] = [f () f ()]+[f () f 3 ()] δ) Συνέλιξη με δ() : f() δ() = f() Ένα πρακτικό παράδειγμα για τον τρόπο, με τον οποίο χρησιμοποιεί κανείς τον ορισμό (.73), για να υπολογίσει τη συνέλιξη δύο σημάτν αποτελεί το Παράδειγμα 9. Επιστρέφοντας στις ιδιότητες του Μ/Σ Fourier δίνεται η παρακάτ ιδιότητα: 33
f () f () F ()F () (.74) η οποία δηλώνει ότι η πράξη της συνέλιξης στο πεδίο του χρόνου είναι ισοδύναμη με την πράξη του πολλαπλασιασμού στο χώρο της συχνότητας. Μάλιστα, αν εξαιρέσει κανείς ένα σταθερό πολλαπλασιαστικό παράγοντα, η επόμενη ιδιότητα δείχνει ότι ισχύει και το αντίστροφο..4.8 Συνέλιξη στο πεδίο της συχνότητας Αν f () F () και f () F (), τότε πf ()f () F () F () (.75) Όπς έχει προαναφερθεί, η συνθήκη (.6) είναι μόνο ικανή και όχι αναγκαία για την ύπαρξη του Μ/Σ Fourier. Έτσι, τα σήματα ισχύος, για τα οποία δεν ισχύει η (.6), αλλά η μέση ισχύς τους είναι πεπερασμένη, δηλαδή lim f ( ) d <, έχουν και αυτά Μ/Σ Fourier, ο οποίος υπολογίζεται με τη Θερία τν Κατανομών. Στη συνέχεια, δίνονται (χρίς απόδειξη) οι Μ/Σ Fourier ορισμένν σημάτν ισχύος, οι οποίοι θα είναι χρήσιμοι στις επόμενες παραγράφους. i) Για τη σταθερή συνάρτηση: f() = A F() = πaδ(). Φυσικά, λόγ της (.7α), ισχύει: Ae i π A δ ( ). ii) Για τη συνάρτηση δ(): δ() και γενικά A Ae i δ( ) iii) Για την περιοδική συνάρτηση f(): F ( ) = F ( ) δ ( ), όπου = F ( ) είναι ο Μ/Σ Fourier μιας περιόδου Τ της f(). Έτσι, για παράδειγμα, ο Μ/Σ Fourier του τραίνου ώσεν είναι:. = π δ( ) δ ( ) Τ = (.76) δηλαδή το τραίνο ώσεν στο πεδίο του χρόνου μετασχηματίζεται σε τραίνο ώσεν στο πεδίο της συχνότητας. 34
Τελειώνοντας την ανάλυση τν Μ/Σ Fourier δίνονται οι ιδιότητες καθώς και οι μετασχηματισμοί τν πιο συνηθισμένν σημάτν (ενέργειας και ισχύος) στους Πίνακες. και.3 (σελίδες 54 και 55). Στην επόμενη παράγραφο, και σε αντιστοιχία με τα όσα προηγήθηκαν για τα περιοδικά σήματα, θα εισαχθούν οι έννοιες της φασματικής πυκνότητας ενέργειας και ισχύος και θα δοθούν οι αντίστοιχες εκδοχές του Θερήματος του Parseval για τα μη περιοδικά σήματα..5 Φασματικές Πυκνότητες Ενέργειας και Ισχύος Λαμβάνοντας υπόψη το θεώρημα Parseval για τα περιοδικά σήματα, όπς αυτό διατυπώθηκε στην εξίσση (.56), μπορεί να βρεθεί ότι η ενέργεια Ε ενός σήματος ενέργειας f() δίνεται από τη σχέση: E = f () d = F( ) d (.77) π όπου ο όρος S() = F() ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας. Φυσικά, η S() είναι άρτια συνάρτηση, οπότε ο υπολογισμός της ενέργειας E ( στο διάστημα, ) [, ] μπορεί να γίνει ς εξής: E = S( ) d + S( ) d S( ) d (, ) π = π (.78) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Να βρεθεί η ενέργεια του σήματος f() = exp( )u() στη ζώνη αρμονικών από = (DC) ς = π καθώς και το ποσοστό της ενέργειας στη ζώνη αυτή. Απάντηση Είναι εύκολο να βρεθεί ότι F( ) =, οπότε το S() είναι S( ) = + i +. Συνεπώς, η ζητούμενη ενέργεια είναι: E = π d (, π ) π + 6. 8 = a = a 6. 8 π π. 35
Από την άλλη μεριά, η ενέργεια Ε του σήματος είναι: E = [ e u( )] d = e d = Επομένς, το ζητούμενο ποσοστό είναι % E = 95%, δηλαδή το σήμα (, π ). αυτό είναι "χαμηλού αρμονικού περιεχομένου" με την έννοια που δόθηκε στον όρο αυτό στην προηγούμενη ενότητα. Για τα σήματα ισχύος η εκδοχή του θερήματος Parseval αναφέρεται στην ισχύ και όχι στην ενέργεια, η οποία στη συγκεκριμένη περίπτση απειρίζεται, και δίνεται από τη σχέση: P = f d = F lim ( ) lim d ( ) (.79) όπου F Τ () είναι ο Μ/Σ Fourier του σήματος f (), το οποίο ορίζεται από τη σχέση: f / f () () =,, > / Στην περίπτση, κατά την οποία το f() είναι περιοδικό, ο F () είναι ο Μ/Σ Fourier μιας περιόδου Τ του f() και η συνάρτηση S( ) lim F = ( ) (.8) ορίζεται ς φασματική πυκνότητα ισχύος και μπορεί να βοηθήσει σε υπολογισμούς ανάλογους με εκείνους τν σημάτν ενέργειας. Στην πράξη, όμς, τα πράγματα δεν είναι και τόσο απλά, γιατί η εξίσση (.8) δημιουργεί προβλήματα. Έτσι, αν το σήμα είναι περιοδικό, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσση (.56), η οποία σχετίζει την ισχύ με τους συντελεστές Fourier F. Αντίθετα, αν το σήμα δεν είναι περιοδικό, τότε μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει το θεώρημα Wieer Khichie, το οποίο δίνεται στη Θερία Συσχέτισης. Η ενότητα αυτή θα ολοκληρθεί με την παράθεση ορισμένν βασικών αρχών για την απόκριση γραμμικών και χρονικά σταθερών συστημάτν καθώς και με την εισαγγή της έννοιας τν φίλτρν. 36
.6 Απόκριση Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητν Συστημάτν Φίλτρα Όπς έχει ήδη αναφερθεί στη παράγραφο., μια βασική ιδιότητα τν γραμμικών και χρονικά σταθερών συστημάτν είναι η δυνατότητά τους να περιγραφούν με τη βοήθεια μιας μιγαδικής συνάρτησης Η(), που ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς. Πράγματι, αν x() είναι η είσοδος ενός τέτοιου συστήματος και h() είναι η συνάρτηση μεταφοράς εκφρασμένη στο πεδίο του χρόνου, δηλαδή Η() = I[h()], τότε η έξοδος του συστήματος y() είναι: y () = h () x () = h( τ)( x τ) dτ (.8) δηλαδή η έξοδος του συστήματος είναι η συνέλιξη της εισόδου με τη συνάρτηση μεταφοράς. Είναι φανερό ότι, λόγ της (.75), η εξίσση (.8) μπορεί να γραφεί στο πεδίο της συχνότητας ς εξής: Y() = H()X() (.8) όπου Y() = I[y()] και X() = I[x()]. Σημειώνεται ότι η εξίσση (.8) δίνει: Y() = H() X() S Y () = H() S X () Y()= H()+ X() (.83α) (.83β) με S Y () και S X () είναι οι φασματικές πυκνότητες (ενέργειας και ισχύος) τν x() και y(), αντίστοιχα, ενώ το σύμβολο f αναπαριστά τη γνία της συνάρτησης f. Η φυσική σημασία της Η() είναι η εξής: Έστ ότι η είσοδος του συστήματος είναι η συνάρτηση δέλτα, δηλαδή x() = δ(). Τότε η έξοδος του είναι y() = h() x() = h() δ() = h(), όπου η τελευταία ισότητα δείχνει ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι ο Μ/Σ Fourier της απόκρισής του σε κρουστική διέγερση. Έστ, λοιπόν, ένα σύστημα για το οποίο h() = δ(), τότε η έξοδός του είναι y() = h() x() = x(), δηλαδή η έξοδος του είναι πιστό αντίγραφο της εισόδου. Ένα τέτοιο σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς Η() = για κάθε, δηλαδή ουσιαστικά το σύστημα αυτό μπορεί να θερηθεί σαν ένα ιδανικό φίλτρο με την έννοια ότι επιτρέπει τη διέλευση οποιασδήποτε συχνότητας μέσα σ αυτό. Φυσικά τέτοιο σύστημα δεν υπάρχει στην πράξη και δεν μπορεί να υλοποιηθεί ούτε κατά προσέγγιση. Για να διευκολυνθούν 37
λοιπόν τα πράγματα, μπορεί κανείς να "σπάσει" αυτό το ιδανικό φίλτρο σε τρία άλλα "ιδανικά" φίλτρα, που μπορούν να προσεγγιστούν στην πράξη..6. Χαμηλοπερατό φίλτρο (Low Pass Filer, LPF) Το φίλτρο αυτό επιτρέπει τη διέλευση συχνοτήτν από μηδέν μέχρι κάποια συχνότητα. Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς του Η() καθώς κι ένα σύστημα, το οποίο το προσεγγίζει στην πράξη, δίνονται στο Σχήμα.7. (α) (β) Σχήμα.7. (α)το χαμηλοπερατό φίλτρο και (β) η προσομοίσή του με κύκλμα RC..6. Ζνοπερατό φίλτρο (Bad Pass Filer, BPF) Το φίλτρο αυτό επιτρέπει τη διέλευση μιας ζώνης συχνοτήτν από ς. Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς του Η() καθώς και ένα κύκλμα, που το προσομοιώνει στην πράξη, δίνονται στο Σχήμα.8. (α) (β) Σχήμα.8. (α) Το ζνοπερατό φίλτρο και (β) η προσομοίσή του με κύκλμα RLC. 38
.6.3 Υψιπερατό φίλτρο (High Pass Filer, HPF) Αυτό επιτρέπει τη διέλευση συχνοτήτν από μια συχνότητα και πάν. Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς του Η() καθώς και ένα κύκλμα, που το προσομοιώνει στην πράξη, δίνονται στο Σχήμα.9. (α) (β) Σχήμα.9. (α) Το υψιπερατό φίλτρο και (β) η προσομοίσή του με κύκλμα RC. Οι ιδέες, που εισήχθησαν με τη συζήτηση περί φίλτρν, διευκολύνουν την εισαγγή της έννοιας του εύρους ζώνης σημάτν και συστημάτν. Έτσι, ς εύρος ζώνης ενός σήματος (συστήματος) μπορεί να οριστεί το διάστημα συχνοτήτν που διέρχονται στον θετικό ημιάξονα τν συχνοτήτν της συνάρτησης F() ( Η() ). Έτσι, το χαμηλοπερατό φίλτρο (LPF) έχει εύρος ζώνης, το ζνοπερατό και το υψιπερατό άπειρο εύρος ζώνης. Σημειώνεται ότι ο ορισμός, που δόθηκε παραπάν, ουσιαστικά προϋποθέτει ότι το εύρος ζώνης μετρείται εκεί που το F() (ή το Η() ) παραμένει σταθερό. Στην πράξη, το εύρος ζώνης πρέπει να μετρείται εκεί που το F() (ή το Η() ) παραμένει περίπου σταθερό, όπς φαίνεται στο Σχήμα.. Εδώ το εύρος ζώνης είναι ίσο με Β =, όπου οι συχνότητες αυτές είναι τα σημεία στα οποία η μέγιστη τιμή Α του F() (ή του Η() ) "πέφτει" στο.77α (δηλαδή κατά 3 db από τη μέγιστη τιμή του). Από την εξίσση (.7) είναι γνστό ότι το "πλάτος" του Μ/Σ Fourier και το "πλάτος" του σήματος στο πεδίο του χρόνου συνδέονται αντίστροφα. Άρα, όσο πιο μεγάλο είναι το εύρος ζώνης, τόσο πιο μικρής χρονικής διάρκειας είναι το σήμα και αντίστροφα. 39
Σχήμα.. Ορισμός του εύρους ζώνης του σήματος f() ή του συστήματος h(). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 8. Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τη χρονική διάρκεια με το εύρος ζώνης. Απάντηση Από τις σχέσεις (.65) προκύπτει: F( ) = f( ) d και f( ) = F( ) d. Διαίρεση π κατά μέλη τν δύο παραπάν σχέσεν δίνει f() d F( ) d = π. Οι δύο f ( ) F( ) παράγοντες του αριστερού μέλους της τελευταίας εξίσσης είναι ουσιαστικά το εμβαδόν της συνάρτησης (χρόνου ή συχνότητας) προς την τεταγμένη της αρχής και μπορούν να θερηθούν σαν ισοδύναμη χρονική διάρκεια και ισοδύναμο εύρος ζώνης. Αξίζει να σημειθεί ότι, ενώ το κέντρο συμμετρίας της F() είναι το μηδέν, δεν είναι σίγουρο ότι συμβαίνει το ίδιο για την f(). Έτσι, αν είναι το κέντρο συμμετρίας της f(), από την τελευταία εξίσση προκύπτει: f() d f( ) i F( ) e d = π. Η σχέση F( ) αυτή δείχνει ότι όταν τα ισοδύναμα πλάτη υπάρχουν (f( ), F() ), τότε το γινόμενο τους είναι σταθερό και ίσο με π. Άρα, αύξηση του ενός παράγοντα συνεπάγεται τη μείση του άλλου. Αυτό το συμπέρασμα θυμίζει την αρχή της αβεβαιότητας στην 4
Κβαντομηχανική, όπου ς γνστόν ισχύει: [ xp, ] = xp p x= i, όπου x, x x x p και x x, p x, είναι οι τελεστές της θέσης, της ορμής και η σταθερά του Plack, αντίστοιχα. 9. Να υπολογιστεί η συνέλιξη τν σημάτν f () και f () του παρακάτ σχήματος. Απάντηση Οι αναλυτικές εκφράσεις τν σημάτν f () και f () είναι: f () = ( )[u() u( )] και f () = u() u( ) και επομένς, η συνέλιξη αυτών γράφεται στη μορφή f() f () = ( τ)[( uτ) u( τ )][( u τ) u ( τ)] dτ. Σημειώνεται ότι στην τελευταία σχέση το ολοκλήρμα πρέπει να υπολογιστεί για κάθε τιμή του. i) Όταν <, τότε f f =, γιατί δεν υπάρχει κοινό μέρος στις δύο συναρτήσεις (καμπύλη (α)). ii) Όταν, τότε f f = ( τ) dτ = (καμπύλη (β)). iii) Όταν, τότε f f = ( τ) dτ = (καμπύλη (γ)). v) Όταν 3, τότε f f =, (καμπύλη (ε)). 4 iv) Όταν 3, τότε f f = ( τ) dτ = 9 6 (καμπύλη (δ)).
(α) (β) (γ) (δ) (ε). Να βρεθεί ο Μ/Σ Fourier του σήματος f() = cos( ). Από τον ορισμό του Μ/Σ Fourier προκύπτει: i i i i i F( ) = cos( ) e d = e e d+ e e d Με χρήση της ιδιότητας Ae i π A δ ( ) τα ολοκληρώματα της τελευταίας i( ) σχέσης γράφονται e d = πδ( ) Άρα, cos( ) π[δ( ) + δ( + )]. i( + ) και e d = πδ ( + ).. Σε χαμηλοπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής = khz εισάγεται το σήμα x() = cos(5) + cos(5). Να βρεθεί το σήμα της εξόδου του φίλτρου y(). Απάντηση Αρχικά, το φίλτρο έχει τη συνάρτηση μεταφοράς, η οποία δίνεται στη καμπύλη (α) του παρακάτ σχήματος, όπου για διευκόλυνση της ανάλυσης έχει τεθεί Η() =, 4
. Από την άλλη μεριά, ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος εισόδου είναι F() = π[δ( 5) + δ( + 5) + δ( 5) + δ( + 5)] και το πλάτος του F() δίνεται στη καμπύλη (β) του παρακάτ σχήματος. Η έξοδος του φίλτρου θα δίνεται από τη σχέση Y() = Η() Χ(), δηλαδή από το γινόμενο τν δύο σχημάτν. Είναι προφανές ότι το αποτέλεσμα είναι Υ() = π[δ( 5) + δ( + 5)], δηλαδή y() = cos(5). Το φίλτρο λοιπόν "έκοψε" την "υψηλή" συχνότητα τν.5 khz και επέτρεψε τη διέλευση μόνο της χαμηλής συχνότητας τν.5 khz. (α) (β).7 Θερία Συσχέτισης Στην ενότητα αυτή θα συζητηθεί ο τρόπος, με τον οποίο μπορεί να βρεθεί η τυχόν ομοιότητα (συσχέτιση) μεταξύ δύο σημάτν. Αυτό το πρόβλημα έχει μεγάλο αριθμό πρακτικών εφαρμογών, π.χ. η σύγκριση δύο σημάτν που οδηγεί στην ανίχνευση ανμαλιών στους ηλεκτροκαρδιογράφους ή στους ηλεκτρο εγκεφαλογράφους.επίσης, στα συστήματα radar και στα soar η απόφαση της ύπαρξης ενός αντικειμένου βασίζεται στη σύγκριση του σήματος, το οποίο εστάλη, με εκείνο που ελήφθη. Τέλος, στις τηλεπικοιννίες η Θερία Συσχέτισης, μεταξύ τν άλλν, χρησιμοποιείται και στην ανίχνευση πληροφοριακών σημάτν παρουσία προσθετικού θορύβου. Το μαθηματικό πρόβλημα της εύρεσης μιας έκφρασης, η οποία να δίνει κάποιο αριθμό με τη βοήθεια του οποίου να μπορεί κανείς να συσχετίσει δύο σήματα, μπορεί να τεθεί ς εξής: όταν ο αριθμός είναι μεγάλος, τότε η ομοιότητα είναι μεγάλη, ενώ όταν ο αριθμός είναι μικρός (ή μηδέν), τότε η ομοιότητα είναι μικρή (ή μηδενική). Μια πρώτη σκέψη για τη ζητούμενη μαθηματική έκφραση με τις παραπάν ιδιότητες οδηγεί στο εστερικό γινόμενο δύο σημάτν: 43
( f ( ), f ( )) = f ( ) f ( ) d (.84) Αν σκεφτεί κανείς την αντιστοιχία με τον Ευκλείδειο χώρο, τα σήματα (διανύσματα) θα μοιάζουν πολύ (παράλληλα), όταν το εστερικό τους γινόμενο μεγιστοποιείται, ενώ δεν θα μοιάζουν καθόλου (κάθετα), όταν το εστερικό τους γινόμενο μηδενίζεται. Παρόλα αυτά όμς η έκφραση (.84) δεν είναι αρκετή και αυτό γίνεται κατανοητό με τη βοήθεια τν σημάτν f () και f () του Σχήματος.. Σχήμα.. Δύο όμοια σήματα που έχουν εστερικό γινόμενο μηδέν. Τα σήματα αυτά, αν και ικανοποιούν τη σχέση f () = f ( ), δηλαδή είναι πολύ όμοια μεταξύ τους, με βάση το κριτήριο της σχέσης (.84) είναι άσχετα μεταξύ τους. Είναι φανερό αμέσς ότι δημιουργείται ένα σοβαρό πρόβλημα: αν σκεφτεί κανείς ότι το f () είναι το σήμα, που στέλνει ο πομπός ενός radar τη στιγμή = και το f () είναι το σήμα που επιστρέφει από ανάκλαση, η απόφαση για την ύπαρξη του αντικειμένου θα είναι εντελώς εσφαλμένη με βάση την (.84). Με βάση τα παραπάν, είναι λογικό η εξίσση (.84) να χρειάζεται κάποια τροποποίηση, ώστε να λαμβάνει υπόψη τις τυχόν μετατοπίσεις του ενός σήματος σε σχέση με το άλλο. Έτσι, προτείνεται η χρονική συνάρτηση ετεροσυσχέτισης τν f () και f (), η οποία ορίζεται με την ακόλουθη σχέση: Φ ( τ ) = f ( ) f ( τ ) d = f ( + τ ) f ( ) d (.85) όπου το τ αντιπροσπεύει τη μετατόπιση και όπς θα γίνει φανερό στη συνέχεια η συνάρτηση αυτή έχει όλες τις απαιτούμενες ιδιότητες. 44