- 33 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο o = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση o = ηµ συν, f() = είναι παραγωγίσιµη, = f() = e, < είναι παραγωγίσιµη στο συν, 3 Nα εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο o η συνάρτηση f µε τύπο: α) f() = +, στο = β) f() = 3, στο = γ) f() = + 3+ 5, στο = 4 Nα εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο o η συνάρτηση f µε τύπο: 3 συν 3 3, α) f(), + =, =, β ) f() =, ηµ 3, >, = o = 5 Nα εξετάσετε αν είναι παραγωγίσιµη στο o = η συνάρτηση f µε τύπο: ηµ e, < f() =, = 3 e, > 6 Mία συνάρτηση f:r R είναι παραγωγίσιµη στο o = και ισχύει: f 3 ()-f ()+ f()= ηµ, για κάθε R Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της C f στο σηµείο της Α(, f()) (ψ= ) α + β γ, < 7 ίνεται η συνάρτηση f() = + Nα βρεθούν οι α α, πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ ώστε, η f να παραγωγίζεται στο o =- (α=-, β=3, γ=-) 8 Mία συνάρτηση f:r R είναι συνεχής στο o = και έχει την ιδιότητα f 3 ()+f()+= 3, για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο o = και να βρείτε την παράγωγό της β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της C f στο σηµείο Α(, f))) (α f ()=3, β ψ=3) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 34 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 9 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία υποθέτουµε ότι η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει: f ( ) + 4 f() lim = 4 είξτε ότι f ()=- ίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο o = και η f( ), συνάρτηση g( ) = Να αποδείξετε ότι η κλίση της g στο είναι f( ), > διπλάσια της κλίσης της f στο ίδιο σηµείο α) είξτε ότι αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο o του πεδίου ορισµού της, τότε: f( + αh) f( ) f( ) f( αh) i) f ( o )= lim, ii) f ( ) = lim h αh h αh β) ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία υποθέτουµε ότι είναι f(+ 3h) f( 5h) παραγωγίσιµη στο µε f ()=3 Να βρείτε το όριο: lim h f( + 6h) f( h) () Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, η γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισχύει: f( + ψ ) f() + f( ψ ) + ψ για κάθε, ψ R, να αποδείξετε ότι f () = + f (), για κάθε R 3 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f(+ψ)=f()+f(ψ)+ψ, για κάθε, ψ R Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο κ R µε f (κ)=+κ, να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται στο R και ισχύει f ()=+, για κάθε, ψ R 4 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο o =, f()-g()= και ισχύει: f() g() + για κάθε R, να αποδείξετε ότι f ()-g ()= 5 ίνεται η συνάρτηση f:r R για την οποία υποθέτουµε ότι είναι συνεχής στο f(+ 3h) o = και lim = 5 Να βρεθούν: h h α) Η τιµή της f στο, β) η παράγωγος τα f στο ( α f()=, β f ()=5/) 3+ 6 ίνεται η συνάρτηση f() = + α) Να βρεθεί παράγωγος της f β) Να βρεθεί το πρόσηµο της f 7 Να βρεθεί πολυώνυµο P() για το οποίο ισχύει: Ρ()=4 και 8Ρ()=( P ( ) ) P ( ) για κάθε R (Ρ()= -4+4) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 35 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 8 α) Να αποδείξετε ότι µια πολυωνυµική συνάρτηση Ρ() έχει παράγοντα το (-ρ), αν και µόνον αν ο ρ είναι ρίζα του Ρ() και της παραγώγου του β) Να βρεθούν τα α και β R ώστε το πολυώνυµο Ρ()=α +β+, να έχει παράγοντα το (-) (β α=, β=-3) 9 Με χρήση του κανόνα παραγώγισης συνθέτων συναρτήσεων και της σχέσης β β lnα α = e, να αποδείξετε ότι: α = α α, α R και, + α) ( ) ( ) α = α α α > και R β) ( ) ln, ln =, R γ) ( ) * ίνεται η συνάρτηση f :(,+ ) R η οποία είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της και ισχύει: ( ψ) = ψ + ψ + α για κάθε ψ > Να αποδείξετε ότι: α) f()=α f() ln β) f () = + f (), > Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: f f() ln f( ) ln, 3 7 3 ( ) ( ) + α) f( ) = 5 + 9, β ) f() = ln ηµ + e, γ = συν ηµ δ = + 3 3 ) f() ( ), ) f( ) ln (ln 4) ίνεται η συνάρτηση ηµ + συν, < f() = + +, Να βρεθεί η f () 3 Nα βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων: ηµ f(),, ) ( ),, α) = e > β g = ( π) ηµ συν, 4 ίνεται η συνάρτηση f() =, = α) Να βρείτε την παράγωγο της f f() β) Αν g()=, να βρείτε την g () γ) Αν h()=ηµ(f 3 ()), να βρείτε την h () 3 3 3 3 a f () = ηµ συν + συν συν + ηµ ηµ, f () =, β g () =, γ, h () = ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 36 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ f(+ h) 5 ίνεται η συνεχής συνάρτηση στο = για την οποία ισχύει: lim = 3 h h α) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο µε f ()=3 f ( ) f() + β) Να βρείτε τα όρια: i) lim, ii) f 4 limηµ + + 3 i, ii 4 6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()=e - -ln στο o = (ψ=-+3) 7 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() = ( ) ln, η οποία σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία 35 (ψ= -+) 8 ίνεται η συνάρτηση f()= +λ+ και η ευθεία ε: ψ= -+λ Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η ευθεία ε εφάπτεται στην C f (λ= ή 7) 9 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R και η συνάρτηση g( ) = f + f( ) Αν η ευθεία ε: ψ=+ εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f στο σηµείο Α(, f()), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C g στο σηµείο Β(-, g(-)) (ψ=7+3) 3 ίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία ικανοποιεί την σχέση: 3f(+ ) f( ) = + 4 5, R α) Να βρεθεί ο τύπος της f β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες προς την C f, οι οποίες άγονται από το σηµείο Α,, είναι κάθετες 4 3 ίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία ικανοποιεί την σχέση: f( ) 3+ f( 3) + 4, R Έστω µεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το σηµείο Μ, και τέµνει την C f σε δύο διαφορετικά σηµεία Α και Β α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες της f στα Α και Β τέµνονται κάθετα (f()= +) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 37 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3 Aν η ευθεία ε: ψ=+ εφάπτεται της C f στο σηµείο Α(-, f(-)), να βρείτε το f ( ) όριο lim + (-4 ) f() + 33 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύει: lim = 5, α) να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο o = β) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Μ(, f()) 9 5 β ψ = 4 34 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o = - και ισχύει: lim αποδείξετε ότι : α) η f είναι παραγωγίσιµη στο o = - µε f (-)=-3 β) η ευθεία ψ= -3+5 εφάπτεται της C f στο σηµείο Α(-, f(-)) f() + 3 5 =, + να 35 ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση g() για την οποία ισχύει g( ) + 3+ lim 5 = Αν η γραφική παράσταση της g τέµνει τον άξονα ψ ψ στο + + 3 και η εφαπτοµένη της C g στο σηµείο Α(, g()) είναι κάθετη στην ευθεία ε: -ψ+=, να βρείτε τον τύπο της g (g()=5 -+3) 36 ίνεται η συνάρτηση f()= -ln Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 3 σηµείο ξ, στο οποίο η εφαπτοµένη της C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων 37 ίνεται η συνάρτηση f()= 3-5 +4 Nα αποδείξετε ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σηµείο ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f, να είναι κάθετη στην ευθεία ε: -ψ+4= 38 ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση f: (, + ) R για την οποία ισχύει: f 3 ()+ 3 =f(), για κάθε > Nα αποδείξετε ότι η ευθεία ε: +ψ-= εφάπτεται της C f 39 ίνονται οι συναρτήσεις f και g µε f()= g Aν η ευθεία ε: ψ= εφάπτεται της C g στο o =- να βρείτε την εφαπτοµένη της C f στο = (ψ=4-6) 4 Anν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και για κάθε, ψ R ισχύει f(+ψ)=f()-f(ψ), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο Α(, f()) (ψ=) ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 38 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Aσκήσεις τύπου «Σωστό- Λάθος» Αν η f είναι συνεχής στο o, τότε είναι παραγωγίσιµη στο o Αν η f δεν είναι συνεχής στο o, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη στο o 3 Aν υπάρχει το όριο lim f() f( ), τότε η f είναι παραγωγίσιµη στο o 4 Aν f ( o )>, τότε f() f( ) > για κάθε κοντά στο o 5 Aν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο Α µε g(), τότε f() f() g () f ( ) g( ) = g() g( ) ( ) 6 Αν lim h f(3 h) f(3) h = 5 τότε f (3)=-5 7 Η συνάρτηση f()= είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της 8 Αν f(κ)=ακ 3, τότε f (κ)= 9 Αν f(κ)=ακ 3 3, τότε f (α)= 3 α Ο άξονας χ χ εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= 3 H συνάρτηση f(), < 3 3 = 3, είναι παραγωγίσιµη στο o = 3 Aν f(3)=5 και η f είναι παραγωγίσιµη στο o =3, τότε f (3)= ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 39 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3 Αν η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιµη στο o, τότε f+ g ( ) = f ( ) + g ( ) ( ) 4 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο o, τότε και η f+g f+ g ( ) = f ( ) + g ( ) είναι παραγωγίσιµη στο o µε ( ) 5 Αν g παραγωγίσιµη συνάρτηση, τότε α g ( ) = g( ) ( ) ( g ) 6 Αν f()=ηµ και g()=ηµ, τότε f ()=g () συν 7 Aν f() = e, τότε η C f έχει στο σηµείο Α(π, f(π)), οριζόντια εφαπτόµενη 8 Αν ισχύουν : f(α)=g(α) και f (α)=g (α), τότε οι C f και C g έχουν στο κοινό τους σηµείο Α(α,f(α)) κοινή εφαπτοµένη 9 Ισχύει: ( ) f() = f() Αν η C f έχει στο o οριζόντια εφαπτοµένη, τότε f ( o )= Aν η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει: f( ηµ ) = e συν, για κάθε R, τότε, η εφαπτοµένη της C f στο o =, σχηµατίζει µε τον άξονα χ χ γωνία 45 ο Είναι ( ) ln = 3 Αν για τις παραγωγίσιµες στο R συναρτήσεις f και g ισχύουν: f()=3, g 6 g()=-, f ()= και g ()=5, τότε: () = f 9 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο o, αν: f( ) f( ) f( + h) f( ) Α lim =+ ή, Β lim R, h Γ h h f() f( ) f() f( ) f() = f( ), = lim lim lim + Κλήση της παραγωγίσιµης συνάρτησης στο o, λέγεται ο αριθµός: Α f( o ), B f( o ), Γ f ( o ), f( ) 3 Αν η f παραγωγίζεται στο o, τότε η εφαπτοµένη της C f στο o είναι η ευθεία µε εξίσωση: Α = o, B ψ-f ( o )=f( o )(- o ), Γ: ψ=f ( o )+f( o )- o f ( o ), ψ=f( o ), E Άλλη 4 Αν η f παραγωγίζεται στο και η C f διέρχεται από το σηµείο Α(,5), τότε: Α f()=5, B f ()=5, Γ εν ορίζεται εφαπτοµένη της C f στο Α, f() = 5 lim f + h) 5 Αν η f είναι συνεχής στο και lim = 3, τότε: h h Α f()=3, B: f ()=, Γ: f(3)=-, f ()=-3, E: η f δεν παραγωγίζεται στο o = 6 Aν η ευθεία µε εξίσωση ψ=3+ είναι εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(,f()), τότε η τιµή της f στο είναι ίση µε: Α 7, Β 4, Γ,, Ε 7 Aν η ευθεία µε εξίσωση ψ=3+ είναι εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(,f()), τότε η κλίση της f στο είναι: Α, Β:3, Γ:, : -, Ε: 8 Αν για µία συνάρτηση f ισχύει: f() f( ) f() f( ) lim = l και lim = l, l, l R µε l l, τότε: + Α f ( o )= l, B: f ( o )= l, Γ: η f είναι παραγωγίσιµη στο o, η f είναι συνεχής στο o 9 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο o = και η κάθετη στην εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()) έχει εξίσωση ψ = 3 (+ 3), τότε η κλίση της f στο είναι ίση µε: Α 3 3 3, Β : 3, Γ :, :, Ε : 3 3 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667
- 4 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο o = και η κάθετη στην εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(, f()) έχει εξίσωση ψ = 3 (+ 3), τότε η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της C f στο Α µε τον άξονα χ χ είναι ίση µε: 5 Α π, Β : π, Γ : π, : π, Ε : π 6 3 3 6 f() Αν για την συνάρτηση f ισχύει ότι f()=, lim = 6 και f(+ h) lim =, τότε: h 3h Α f ()=-6, Β: f ()=6, Γ: f ()=, : f ()=- Αν f()=συν -ηµ, τότε: Α f ()=-ηµ, B: f ()=ηµ, Γ: f ()=συν, : f ()= 3 Η παράγωγος της συνάρτησης f g h είναι: f g h Α f g h, Β : f g h+ fg h + f gh, Γ : + +, g h f f gh+ fg h+ fgh 4 Η ευθεία ψ=6+λ είναι εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()=(-) 3, όταν το λ είναι ίσο µε: Α ή, Β ή 5, Γ:, : ή 5, Ε: ή 5 Αν f()=e, τότε: Α f ( ) = e και ( f( ) ) = ( f ( ) ) f ( ) = e και f( ) = e Β ( ) Γ ( ) f ( ) = f() και f( ) = 4 f() 6 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R, τότε ( ) Α f (+), B: f ( +), Γ: f ( ) ( ) ( ) f + = + +, : f[( +) ] *********** ******* **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ (ΙΩΛΚΟΥ 45 ΒΟΛΟΣ, ΤΗΛ 69733667