1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι η µ τον άξονα. ω. Συντλστής διύθυνσης ή κλίση υθίας : Προσοχή λ = φω 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = α + β α) Είναι υθία µ ξίσωση = α + β β) Τέµνι τον άξονα στο σηµίο Β(0, β) γ) Έχι συντλστή διύθυνσης α = φω δ) ν α > 0, τότ 0 ο < ω < 90 ο ν α < 0, τότ 90 ο < ω < 180 ο Β(0, β) ω ν α = 0, τότ ω = 0 ο και η ξίσωση της γίνται = β (σταθρή) 4. Ο συντλστής διύθυνσης υθίας από δύο σηµία της ( 1, 1 ), B(, ) µ 1 : α = 1 1
5. Ειδική πρίπτωση = α ( β = 0) Η υθία διέρχται από την αρχή των αξόνων. ν πί πλέον ίναι i) α = 0, η ξίσωση της γίνται = 0 και η υθία ίναι ο άξονας ii) α = 1, η ξίσωση της γίνται = και η υθία ίναι η διχοτόµος 1 ης 3 ης γωνίας των αξόνων iii) α = 1, η ξίσωση της γίνται = και η υθία ίναι η διχοτόµος ης 4 ης γωνίας των αξόνων 6. Σχτικές θέσις δύο υθιών 1 β i) 1 // α 1= α και β1 ii) 1, ταυτίζονται α 1= α και β 1= β iii) 1, τέµνονται α1 α : = α1 + β 1, : = α + β 7. Η συνάρτηση f() =, αν < 0 f() =, αν 0
3 ΣΧΟΛΙ - ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Η γωνία ω που σχηµατίζι υθία µ τον άξονα. ω οξία ω αµβλία ω ω ω ορθή ω µηδνική. Σηµίωση Η οποιαδήποτ συνάρτηση της µορφής f() = α + β παριστάνι υθία, όχι κατακόρυφη. Και αντίστροφα, η οποιαδήποτ όχι κατακόρυφη υθία έχι ξίσωση της µορφής f() = α + β. Η κατακόρυφη υθία θα µλτηθί στο Κφάλαιο 6 3. Η σηµασία των α, β στην υθία f() = α + β i) Ισχύι α = φω, άρα ο συντλστής α του κφράζι το πόσο πλάγια ή οριζόντια ίναι η υθία. ii) Για = 0 ίναι f(0) = β, άρα ο β κφράζι την τταγµένη του σηµίου τοµής της υθίας µ τον άξονα. 4. Η υθία σα γωµτρικός τόπος σηµίων Κάθ µη κατακόρυφη υθία ίναι ο γωµτρικός τόπος των σηµίων Μ(, ) που έχουν την ιδιότητα = α + β Άµση συνέπια : Μ(, ) = α + β
4 5. Ευθύγραµµο τµήµα - ηµιυθία Προκύπτι από συνάρτηση διαφορτικό του R. f() = α + β µ πδίο ορισµού διάστηµα 6. Μέθοδος Για να χαράξουµ τη γραφική παράσταση υθίας = α + β, βρίσκουµ τις συντταγµένς δύο σηµίων της, δίνοντας δύο τιµές στο. 7. Μέθοδος Για να βρούµ την ξίσωση υθίας, θωρούµ ότι η ζητούµνη ίναι της µορφής = α + β και υπολογίζουµ τα α, β από τα δδοµένα του προβλήµατος 8. Μέθοδος Για να βρούµ το σηµίο τοµής δύο υθιών, λύνουµ το σύστηµα των ξισώσών τους. 9. Η παραλληλία : 1 // α 1= α 10. Υπνθύµιση Ρίξ µια µατιά στα σχόλια µέθοδοι της παραγράφου 4..
5 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η υθία : = + 5. Να απαντήστ, τι κφράζι στη γραφική παράσταση ο συντλστής του και τι ο σταθρός 5. πάντηση Ο α κφράζι την κλίση της ως προς τον άξονα και Σχόλιο 3 ο 5 κφράζι την τταγµένη του σηµίου τοµής της µ τον άξονα.. ίνται η υθία : = 3 4. Να βρίτ i) Το σηµίο τοµής της µ τον άξονα ii) Το σηµίο τοµής της µ τον άξονα iii) Τη γωνία ω που σχηµατίζι η µ τον άξονα πάντηση i) Για = 0 η ξίσωση δίνι 0 = 3 4 3 = 4 ii) Β(0, β) = Β(0, 4) iii) φω = α = 3 ω = 60 ο Σχόλιο 9 Σχόλιο 3 = 43 = 4 3 3 Άρα 4 3, 0 3
6 3. ίνται η συνάρτηση f() = 3 + i) Να βρίτ την τταγµένη του σηµίου της C f που έχι ττµηµένη 1. ii) Να βρίτ την ττµηµένη του σηµίου Β της C f που έχι τταγµένη 7. iii) Να σχδιάστ τη γραφική παράσταση C f iv) Ποις ίναι οι αποστάσις του σηµίου Β από τους άξονς; i) Έστω (1, µ) C f µ = 3 1 + µ = 1. Άρα (1, 1) ii) Σχόλιο 4 Έστω Β(ν, 7) Β C f 7 = 3ν + 3ν = 9 ν = 3. Άρα Β(3, 7) iii) 5 Τοποθτούµ τα σηµία, Β στο Σχόλιο 6 Καρτσιανό πίπδο και φέρουµ την υθία Β. iv) d(β, ) = B = 7 = 7 d(β, ) = B = 3 = 3 Ο -5 Β 4. ίνονται οι υθίς 1 : = 3 6, : = +, 3 : = 4 + 8 i) Να βρίτ το σηµίο τοµής των υθιών 1 : = 3 6, : = + ii) Να αποδίξτ ότι οι τρις υθίς διέρχονται από το ίδιο σηµίο. i) = 3 6 + = 3 6 = + = + 4= 8 = = + = + Άρα το σηµίο τοµής των 1, ίναι το Κ(, 0) Σχόλιο 8 = = + = 0 ii) ρκί να αποδίξουµ ότι οι συντταγµένς του Κ παληθύουν την ξίσωση της 3, δηλαδή ότι 0 = 4 + 8 Σχόλιο 4 0 = 8 + 8 που ισχύι.
7 5. Να βρίτ την ξίσωση υθίας, η οποία διέρχται από τα σηµία (1, 1), Β(3, 5) Έστω : = α + β η ζητούµνη υθία. 1 = α 1 + β α + β = 1 (1) Β 5 = α 3 + β 3α + β = 5 () Λύνουµ το σύστηµα των (1), () α+β= 1 3 α+β= 5 β = 1 α 3 α+β = 5 Σχόλιο 7 β = 1 α 3 α+ 1 α = 5 β = 1 α α = 4 β = 1 α α = β = 1 = 1 α = Άρα, η ξίσωση της ίναι = 1 6. Να βρίτ την ξίσωση του υθυγράµµου τµήµατος Β, όπου (1, 1), Β(3, 5) Βρίσκουµ την ξίσωση της υθίας Β (άσκηση 4), = 1. Πριορίζουµ τις τιµές του µταξύ των ττµηµένων των άκρων, Β, δηλαδή 1 3. Οπότ η ξίσωση του τµήµατος Β ίναι Β : = 1 µ 1 3 Σχόλιο 5 6 4 - A 1 3 B 5
8 7. Να βρίτ την ξίσωση ηµιυθίας που να έχι αρχή το σηµίο (1, 1) και να διέρχται από το Β(3, 5) σηµίο Β(3, 5). 4 Βρίσκουµ την ξίσωση της υθίας Β (άσκηση 4), = 1. Σχόλιο 5 Πριορίζουµ τις τιµές του στο διάστηµα [1, + ) Ο (1, 1) 5 8. Να βρίτ την ξίσωση υθίας, που διέρχται από το σηµίο (1, ) και έχι 1 συντλστή διύθυνσης 3 Έστω : = α + β η ζητούµνη υθία. Θα ίναι α = 1 3 Σχόλιο 7 = α 1 + β = 1 3 + β β = 1 3 β = 7 3 Άρα : = 1 3 7 3 9. Να βρίτ την ξίσωση υθίας, που διέρχται από το σηµίο (1, ) και ίναι παράλληλη στην υθία η : = 3 + 4 Έστω : = α + β η ζητούµνη υθία. η α = α η α = 3 = α 1 + β = 3 + β β = 1 Άρα : = 3 + 1 Σχόλιο 9
9 10. Θωρούµ τη συνάρτηση = f() = + µ, µ R. i) Να απαντήστ τι παριστάνι η f στο Καρτσιανό Επίπδο για τις διάφορς τιµές του µ R. ii) Να βρίτ κίνη την f η οποία διέρχται από το σηµίο (1, 6) i) Για κάθ συγκκριµένη τιµή του µ η ξίσωση = + µ παριστάνι µία συγκκριµένη υθία. Άρα, για τις διάφορς τιµές του µ, παριστάνι διάφορς υθίς. Όλς αυτές οι υθίς έχουν ίδιο συντλστή διύθυνσης α =, άρα ίναι µταξύ τους παράλληλς. ii) Cf 6 = 1 + µ µ = 8 Σχόλιο 4 Άρα η ζητούµνη f ίναι f() = + 8 11. ίνονται οι συναρτήσις: f() = 1, g() = 1 + 4 i) Να αποδίξτ ότι οι C f, C g έχουν κοινό σηµίο και βρίτ τις συντταγµένς του. ii) Ποια ίναι η ξίσωση της υθίας που διέρχται από το σηµίο Κ(, 3) και ίναι παράλληλη στη διχοτόµο δ της 1 ης 3 ης γωνίας των αξόνων; i) f() = g() 1 = 1 + 4 4 = + 8 5 = 10 = f() = 1 = 3. Άρα κοινό σηµίο των C f, C g ίναι το Κ(, 3) ii) Έστω : = α + β η ζητούµνη υθία. πό τη θωρία γνωρίζουµ ότι δ : =. Άρα λ δ = 1 // δ λ = λ δ α = 1 Οπότ η ζητούµνη υθία γίνται : = + β. Κ 3 = + β β = 1 Εποµένως : = + 1 Σχόλιο 4
10 1. Θωρούµ τις συναρτήσις: f() = (µ 1), g() = + 3 όπου µ 0. µ Να βρίτ τις τιµές του µ για τις οποίς οι C f, C g ίναι παράλληλς υθίς C f // C g α 1= α και β1 β µ 1 = µ και 3 µ µ = µ µ = 0 = 1 + 8 = 9, µ = 1 ± 9 = 1 ± 3 = ή 1 13. Να παραστήστ γραφικά τη συνάρτηση f() = + + Λύση Πδίο ορισµού A =R f Εκφράζουµ τον τύπο της συνάρτησης χωρίς απόλυτς τιµές. Όταν < Τότ f() = ( ) +[ ( + )] = + = Όταν < Τότ f() = ( ) + + = + + + = 4 Όταν Τότ f() = + + = f() =, αν < 4, αν <, αν 1 ος κλάδος: f() = µ < Για = 3 = 6 Σηµίο ( 3, 6) Για = 4 = 8 Σηµίο Β ( 4, 8) ος κλάδος: f() = 4 µ < Για = = 4 Σηµίο Γ (, 4) Για = 1 = 4 Σηµίο (1, 4) 3 ος κλάδος: f() = µ Για = = 4 Σηµίο Ε (, 4) Για = 3 = 6 Σηµίο Ζ (3, 6) = - B A Γ - = 4 Ο Ε Ζ =