Mgr. Jana Fraasová, Višňová 41, 900 45 Malinovo Minister školstva, vedy, výskumu a športu SR Doc. PhDr. Dušan Čaplovič, DrSc. Stromová 1 813 30 Bratislava VEC: Sťažnosť k učebnici matematiky pre 9. ročník ZŠ od autorky Viery Kolbaskej Vážený pán minister, v decembri 2012 dorazila do škôl nová reformná učebnica matematiky pre 9. ročník ZŠ a 4. ročník gymnázií s osemročným štúdiom od autorky Viery Kolbaskej. Ako recenzentka učebníc matematiky pre 5. 8. ročník ZŠ zo zoznamu recenzentov MŠ SR a súčasne učiteľka z praxe som si ju so záujmom preštudovala. Nakoľko som bola členka konkurznej komisie, ktorá vyberala a hodnotila prihlásené návrhy do konkurzu, vyjadrila som už počas konkurzu značné pochybnosti o kvalite návrhu Viery Kolbaskej (SPN). Keďže mi záleží na tom, z akých učebníc sa žiaci matematiku učia a v súčasnosti je do škôl distribuovaná pre každý predmet len jedna učebnica (neexistujú alternatívy), myslím si, že učebnice majú spĺňať nie len základné, ale aj vysoké odborné kritériá. Od učebnice pre 9. ročník som očakávala dokončenie koncepcie učiva 2. stupňa, dobratie učiva určeného Štátnym vzdelávacím programom pre ISCED 2, ktoré nebolo v učebniciach pre 5. 8. ročník a nadviazanie na predchádzajúce ročníky. Po prečítaní som ostala veľmi prekvapená, podľa môjho názoru nízkou úrovňou spracovania a množstvom chýb, ktoré sa v učebnici nachádzajú. Okrem drobných preklepov, ktoré sa iste nachádzajú v každom texte a sú záležitosťou redakcie, sa v učebnici, žiaľ, nachádzajú aj zjavné matematické nepravdy, nepresnosti a zavádzajúce tvrdenia, ktoré uvádzam aj s opisom v ďalšej časti a žiadam o odborné stanovisko k nim. Pri študovaní učebnice som vychádzala z verzie učebnice, ktorá bola zverejnená na portáli www.eaktovka.sk na začiatku decembra 2012. Nasleduje zoznam nesprávnych tvrdení a nepresností v učebnici pre 9. ročník ZŠ: 1. Definícia je tvrdenie, ktoré sa nedokazuje, zväčša sa ním definujú nové pojmy, názvy a podobne. Veta je tvrdenie, ktoré sa dokazuje, vyplýva z už dokázaných tvrdení. Autorka 1
má v celej učebnici zjavný problém s rozlíšením definície a vety. V učebnici na str. 4 uvádza, že definície sú označené znakom paragraf. Ukážka definícií podľa autorky: 2 Druhé mocniny opačných čísel sa rovnajú. Platí: ( ) 2 a = a. Čísla a, a sú opačné čísla. (str. 7) Ide o vetu, nie o definíciu. Párna mocnina kladného aj záporného čísla je kladné číslo. (str. 16) Ide o vetu, nie o definíciu. Mocniny s rovnakým základom a mocniteľom môžeme sčítať aj odčítať. (str. 20) Ide o vetu, nie o definíciu. Ako je možné, že v učebnici matematiky sú matematické vety označené ako definície, keď nimi nie sú? Ako sa majú žiaci naučiť rozlišovať definíciu a matematickú vetu, keď to v učebnici autorka označuje nesprávne? Toto nepresné pomenovanie spôsobí problémy v nadväzujúcom stredoškolskom a vysokoškolskom matematickom štúdiu, kde bude nutné tieto chyby naprávať. 2. Na strane 10 v úlohe 20 je zadanie:...niektoré čísla nie sú druhými mocninami.... V skutočnosti sú však všetky nezáporné čísla druhými mocninami. Autorka podľa riešenia napríklad tvrdí, že číslo 72 nie je druhou mocninou žiadneho čísla, čo nie je pravda. Na stranách 14 a 18 autorka sama pripúšťa, že základ mocniny môže byť ľubovoľné číslo. 3. Autorka používa značky, ktoré žiaci nepoznajú ani z nižších ročníkov, ani z učebnice pre 9. ročník ZŠ. Tieto značky nie sú uvedené ani v Štátnom vzdelávacom programe. Ide napr. o znaky: na str. 16 a na str. 45. Ako je možné, že autorka nevysvetľuje tieto doteraz nepoužité značky? Prečo na ne neupozorní žiakov? Ako im majú žiaci rozumieť? 4. Na str. 18 je uvedené matematicky nepravdivé tvrdenie 0 0 = 1, ktoré si majú žiaci zapamätať. Z mnohých teoretických dôvodov vyplýva, že výraz 0 0 nie je definovaný a teda sa nerovná číslu 1. Pritom až na str. 23 sa píše: Nehovorili sme ešte o mocnine s mocniteľom 0. Ako majú žiaci na strane 18 chápať výraz 0 0, keď až na str. 23 sa nachádza nultá mocnina? 2
5. Na str. 22 je nepresné vyjadrenie: Sčítame a odčítame len mocniny s rovnakým základom a mocniteľom. Sčítať sa predsa dajú aj iné mocniny, napr. 2 3 + 3 2 = 17 (pozri napr. úlohu 18 na s. 10, úlohy 11 a 12 na s. 17). Autorka mala na mysli pravdepodobne niečo iné, čo si učiteľ asi domyslí, ale žiak iste nie. Aj na tomto nepresnom vyjadrení autorky je vidieť, že nie je jednoduché správne sformulovať presné a pravdivé tvrdenie. 6. Od strany 23 (úloha 1) autorka namiesto pojmu rozklad čísla používa nesprávne pojem desiatková pozičná sústava. 7. Na str. 24 uvádza autorka, že americký názov veľkých čísel je milion, bilion, trilion, kvadrilion. Správne má byť buď milión, bilión, trilión, kvadrilión, ak chcela autorka napísať slová po slovensky, alebo million, billion, trillion, kvadrillion, ak chcela autorka použiť americké názvy. 8. V Poznámke na strane 26 (pomôcka na premenu jednotiek) sú ukážkové príklady prinajmenšom zavádzajúce, pretože vzbudzujú dojem, že veľkosť násobku závisí od predpony jednej z použitých jednotiek. To však platí iba pri prevode medzi základnou jednotkou a jej časťami, teda napr. medzi m a cm, nie však napr. pri prevode medzi cm a dm. 9. V kapitole 1.4 autorka používa záporné exponenty mocnín pri zápise malých čísel, pričom v nadpise aj v definícii uvádza, že exponent je prirodzené číslo. 10. Riešenie úlohy 5b) uvedené na s. 35 je v rozpore so štandardne používaným postupom pri práci s približnými číslami. Ak sme už jedného z činiteľov (v tomto prípade 0,25) zaokrúhlili na jednu platnú cifru, nemá zmysel zvyšné činitele (v tomto prípade 2,81) zaokrúhľovať na vyšší počet platných cifier, pretože v súčine možno očakávať iba jednu platnú cifru. 11. Otázka na strane 38: Akú dĺžku má záhrada? je nezmyselná, nakoľko dĺžka štvorca neexistuje. 12. Na str. 40 je nesprávne slovne definovaná druhá odmocnina: Hovoríme, že druhá odmocnina z a je také číslo b, ktorého druhá mocnina je a. Správne má byť Hovoríme, 3
že druhá odmocnina z nezáporného čísla a je také nezáporné číslo b, ktorého druhá mocnina je a. Pod týmto matematicky nesprávnym zápisom sa nachádza aj nesprávna definícia pomocou značiek, kde sa namiesto druhej odmocniny chybne použil znak tretej odmocniny. 13. Na strane 41 v texte riešenia úlohy 15c) nie je jasné, akou úvahou z informácie, že výsledok leží medzi 3 a 4, autorka dospela k odhadu 3,2. Ako majú k takémuto odhadu 3,2 v podobnej úlohe dospieť žiaci? Prečo nie je odhad v strede medzi 3 a 4, teda 3,5? 14. Na str. 42 autorka vysvetľuje tretiu odmocninu pomocou tretej odmocniny z čísla 27. Keďže 3 27 = 3, je číslo 27 veľmi nevhodné na takéto vysvetlenie, pretože nie je jasné, či výsledok číslo 3 súvisí s tým, že počítame tretiu odmocninu. 15. Na strane 42 v riešení úlohy 20 autorka nijako nevyužíva údaj zo zadania, že riešením môže byť iba jedno z čísel 3 alebo 9 alebo 13,5, ale úlohu rieši bez tejto informácie. Načo je v zadaní táto informácia? Prečo ju autorka nevyužila pri riešení? Stačilo predsa overiť, ktorý zo súčinov 3. 3. 3, 9. 9. 9 alebo 13,5. 13,5. 13,5 sa rovná 27. 3 16. Na str. 44 v časti Zapamätajte si je v tabuľke opäť nesprávne uvedené, že b = a práve vtedy, keď 2 a = b. 17. Napriek tomu, že autorka definíciou pripúšťa aj tretiu odmocninu zo záporných čísel, ani v jednom z príkladov v učebnici tretia odmocnina zo záporného čísla nie je. Autorka sa tomuto problému vôbec nevenuje. 18. Na str. 45 je uvedený názov kapitoly Pytagorova veta definícia. Na str. 64 je Pytagorova veta uvedená s piktogramom Definícia. Autorka teda dokonca tvrdí, že aj Pytagorova veta je definícia. To je absurdné. Autorka asi myslela: Pytagorova veta jej zavedenie, ale to si len domýšľam. Napísané je tam však definícia. 19. Na strane 45 v riešení úlohy 1 sú nesprávne uvedené veľkosti obidvoch ostrých uhlov trojuholníka ABC. Tie sú v skutočnosti 36,869... a 53,130... (s presnosťou na stupne 4
teda 37 a 53 ). Ak malo ísť o nepresnosť pri rysovaní, bolo by vhodné na to žiakov upozorniť. V texte to však vyzerá ako matematicky presné konštatovanie, to však nie je pravda. 20. Namiesto objavenia, odvodenia Pytagorovej vety je v učebnici na str. 47 napísané, aby žiaci dôkaz našli sami v iných učebniciach. Myslím, že ide o prvú učebnicu matematiky, kde sa pri dôkaze Pytagorovej vety autor odvoláva na inú učebnicu. Navyše, na Slovensku neexistuje iná schválená učebnica pre 9. ročník. Kde si majú žiaci tento dôkaz naštudovať? 21. Na strane 48 v úlohe 5 autorka vôbec nezdôrazňuje súvis medzi nepresnosťou merania a rysovania a overovaním, či je trojuholník pravouhlý podľa Pytagorovej vety. 22. Na str. 48 je uvedené ako pomôcka nezmyselné tvrdenie: Čo je to výška trojuholníka? Jednoducho povedané: výška je vzdialenosť a leží na kolmici. Totiž: ak je výška vzdialenosť, neleží na kolmici, lebo vzdialenosť nemôže niekde ležať. Ak je výška úsečka, leží na kolmici, ale nie je to vzdialenosť, lebo je to úsečka. Bolo by asi vhodné, keby sa autorka dohodla sama so sebou, ktorý pojem výška má na mysli: či výška ako vzdialenosť, výška ako úsečka alebo výška ako priamka. Napr. na strane 53 sa výška spomína ako kolmá na stranu..., tu teda ide určite o úsečku a nie o vzdialenosť, teda číslo. 23. Na strane 49 úvaha v riešení úlohy 7 znie: Trojuholník je rovnoramenný. Pravdepodobne v ňom Pytagorova veta nebude platiť. Táto úvaha je obsahovo zavádzajúca a nesprávna, nakoľko existujú aj rovnoramenné pravouhlé trojuholníky. Tú istú nesprávnu vetu autorka opakuje v riešení úlohy 8 na s. 50. Ešte vážnejšia je chybnosť takejto formulácie z hľadiska logiky. Pravdivé matematické vety platia vždy. Pytagorova veta (správne formulovaná) samozrejme platí v každom trojuholníku. (Pokiaľ trojuholník nie je pravouhlý, súčet obsahov štvorcov nad odvesnami sa podľa nej nerovná obsahu štvorca nad preponou.) Informácia, že matematické vety niekedy platia a niekedy nie, je zásadne zavádzajúca a neskôr pravdepodobne spôsobí problémy pri budovaní pojmov výrokového počtu a aparátu matematickej logiky. 5
24. Na str. 49 je úloha, v ktorej je daná ťažnica trojuholníka. Pojem ťažnica trojuholníka sa dovtedy v učebniciach nevyskytoval. Pomôcka, čo je ťažnica, je uvedená až na konci riešenia úlohy, čo je dosť neskoro. 25. Počítanie na dve desatinné miesta, ktoré autorka v učebnici zavádza, je iba špeciálnou formou zaokrúhlenia (v prípade kladných čísel ide o zaokrúhlenie nadol). Toto zaokrúhľovanie je v prípade uvádzania dĺžok neprirodzené (štandardný postup je uvádzať dĺžku zaokrúhlenú aritmeticky na príslušný počet miest). V školskej matematike sa výpočet na daný počet desatinných miest používal pri ručnom delení alebo odmocňovaní, kedy sa vo výsledku postupne počítali jednotlivé desatinné miesta a pokyn určoval, ktorým miestom za desatinnou čiarkou výpočet ukončiť. V súvislosti s určovaním dĺžok je takýto pokyn nesprávny. Navyše, autorka ho požaduje pri výpočte odmocniny NA KALKULAČKE, kedy nie je problém zistiť ďalšie desatinné miesta vo výsledku. K tomu pristupuje ešte skutočnosť, že vo väčšine prípadov, kedy autorka tento pokyn využíva, by bolo vecne správne zaokrúhľovať výsledok nahor (kým podľa jej pokynu sa výsledok zaokrúhli nadol). 26. Desiatky úloh v učebnici sú počítané s vyššie uvedenou presnosťou na dve desatinné miesta, ani jedna nie je počítaná napr. na jedno alebo tri desatinné miesta. V učebnici je potrebné striedať počet miest, s akou presnosťou počítame, aby si žiaci zvykli na rôzne presnosti. 27. Na strane 58 v riešení úlohy 39 autorka používa nesprávne poradie výpočtov: najprv medzivýsledok (polomer kružnice) zaokrúhli (navyše nevhodne nadol), potom výsledok zaokrúhlenia násobí dvoma. Z numerického hľadiska správny postup je medzivýsledky nezaokrúhľovať. Postup autorky je teda nesprávny. 28. V súvislosti s výpočtami súvisiacimi s kruhom a kružnicou autorka využíva pri výpočtoch kalkulačku, ktorá umožňuje výpočty s pomerne veľkou presnosťou. Sama však vo výpočtoch používa približnú hodnotu π 3,14 napriek tomu, že na kalkulačke je k dispozícii oveľa presnejšia hodnota tejto konštanty. 29. Na str. 58 je nesprávny pojem strana kocky. Správne má byť hrana kocky. 6
30. Na str. 61 je nesprávne napísané, že odvesny pravouhlého trojuholníka tvoria strany pravého uhla. Keďže odvesny sú úsečky a ramená uhla sú polpriamky, správne má byť, že odvesny ležia na ramenách pravého uhla a nie, že ho tvoria. 31. Na strane 61 v cvičení 2 sú dve správne odpovede (E aj G) napriek tomu, že má byť podľa zadania iba jedna. 32. Na str. 67 autorka píše o ekvivalentných úpravách, pričom nevysvetľuje, o čo ide a z čoho pochádza ich názov. Keďže ich názov pochádza zo stredoškolského učiva (Logika: Ekvivalencia), asi by sa jej to ani nepodarilo. Zároveň však v rámci ukážok autorka na str. 74 v časti Zapamätajte si nesprávne uvádza, že ekvivalentnou úpravou rovnice je pričítanie aj odčítanie ľubovoľného čísla alebo výrazu a koreň rovnice sa nezmení. 1 1 1 Podľa autorky je teda napr. v rovnici x + = odčítanie výrazu ekvivalentnou x x x úpravou, čo zrejme nie je. 33. Na strane 67 paragrafom označený rámik obsahuje nepravdivé tvrdenie: číslo x = b/a je totiž iba koreňom rovnice ax = b (pre a 0), nemusí však byť koreňom pôvodnej rovnice. Táto chyba je dôsledkom nevhodnej terminológie, ktorú autorka používa: podľa nej je lineárnou rovnicou každá rovnica, ktorú možno previesť na tvar ax = b, teda napr. aj rovnica 2 x + x = 4 + x, nakoľko sa dá upraviť na rovnicu 2x = 4, ktorej riešením je číslo -2, ktoré však nie je riešením pôvodnej rovnice. Tú istú nesprávnu formuláciu autorka opakuje na s. 74. 1 34. Na str. 68 je riešením rovnice číslo, pričom autorka nesprávne uvádza, že 3 periodické desatinné číslo -0,3333... by bolo len približným riešením rovnice a skúška by nevyšla. Okrem toho, že periodické desatinné číslo neexistuje, nakoľko desatinné čísla sú čísla s konečným desatinným rozvojom a periodické číslo je číslo s nekonečným desatinným rozvojom, periodické číslo je rovnako dobrým a správnym riešením ako zlomok. Iba jeho približná hodnota, napr. -0,333 by nebola riešením a skúška by nevyšla. 7
35. Na strane 69 sa v druhom riadku pravého stĺpca nachádza formulácia: upravíme desatinné čísla na celé čísla, ktorá je nezmyselná taká úprava totiž neexistuje. V skutočnosti mala veta asi znieť: Vynásobíme rovnicu číslom 10. 36. Na strane 69 je nevhodná formulácia riešením je zmiešané číslo 3 1/3 v riešení úlohy 6. Vhodnejším zápisom riešenia je: Riešením je číslo 10/3, ktoré možno zapísať aj v tvare zmiešaného čísla 3 1/3. 37. Na strane 71 vôbec nedáva zmysel pomôcka: Ak je pred zlomkom znamienko mínus, po ekvivalentnej úprave píšeme čitateľa v zátvorke. 2 Napríklad: k obidvom stranám rovnice x + 1= 2 pripočítam číslo -2 (to je 3 ekvivalentná úprava). Podľa pomôcky mám teraz rovnicu napísať v tvare ( 2) x 1= 0? 3 Autorka touto formuláciou asi myslela niečo iné: konkrétnu ekvivalentnú úpravu vynásobenie rovnice menovateľom. Napísala to však nesprávne. 38. Na strane 71 v riešení úlohy 14 je nepravdivá formulácia Riešenie rovnice si vyžaduje skúšku správnosti riešenia. Ak sa pri riešení použili výhradne ekvivalentné úpravy, nie je skúška potrebná. Rovnakú nepravdivú formuláciu autorka uvádza v riešení úlohy 16 na s. 72. 39. Na strane 72 v Pomôcke je zavádzajúca formulácia. Vzbudzuje dojem, že základný tvar zlomku získame, kedykoľvek čitateľa aj menovateľa delíme tým istým nenulovým číslom. To však nie je pravda. 40. Na strane 78 je nepravdivé tvrdenie: K obom stranám nerovnice môžeme pričítať ľubovoľné číslo alebo výraz a korene nerovnice sa nezmenia. To isté sa vzťahuje na nasledujúce tvrdenie o odčítaní výrazu od obidvoch strán nerovnice. Tieto nesprávne tvrdenia autorka opakuje na s. 88. 41. Text na strane 79: Ak nemáme určené, aké čísla majú byť riešením nerovnice, (...), tak riešením môžu byť reálne čísla, rovnako ako jeho pokračovanie: reálnych čísel je nekonečne veľa, takže riešenie vyznačíme na číselnej osi, je zavádzajúci. Autorka spája 8
do jednej vety dve nesúvisiace tvrdenia: Ako súvisí mohutnosť reálnych čísel s vyznačovaním na číselnej osi? Číselné množiny s inou mohutnosťou, napr. konečné, nemôžeme zaznačiť na číselnej osi? Alebo čo tým autorka chcela povedať (a zjavne nepovedala)? 42. Formulácia na strane 81: Číslo 4 je prvé číslo z riešení nerovnice, je z matematického hľadiska nesprávna. Čo by potom bolo druhé číslo, tretie číslo, atď.? 43. Formulácia na strane 82: -4 je... najbližšie číslo k číslu -5 z riešení nerovnice, je v tejto podobe nesprávna. Jednak najbližšie z riešení nerovnice k číslu -5 je samo číslo -5 (pretože je tiež riešením nerovnice), jednak z riešení nerovnice rôznych od -5 (to je prípad, ktorý mala autorka asi na mysli) NEEXISTUJE najbližšie k číslu -5. Číslo -4 je iba najbližšie CELÉ spomedzi týchto čísel. 44. V úlohe 16 na strane 84 autorka na základe overenia jedného čísla konštatuje, že celé riešenie úlohy môžeme považovať za správne. Na tej istej strane v úlohe 18 tvrdí, že každé riešenie nerovnice by sa malo overiť. 45. Na str. 82 autorka píše, že ak delíme nerovnicu číslom (-1), zmeníme znak nerovnosti na opačný, čo je pravda. Nevysvetľuje však prečo, iba na základe iného riešenia nerovnice konštatuje, že to tak je. Pritom možno stačilo uviesť príklad 2 < 5 a súčasne 2 > 5 a pomôcť si číselnou osou. 46. Na strane 90 je matematicky nesprávny opis: Lineárna rovnica s neznámou x v menovateli je rovnica, ktorá obsahuje zlomok a dá sa upraviť na tvar a. x = b. Podľa 2 neho, a teda podľa autorky aj rovnica + x = 4 je lineárna rovnica s neznámou 3 v menovateli, lebo obsahuje zlomok. To však zjavne nie je. Opäť si má žiak domyslieť, ako to v skutočnosti autorka asi myslela? 47. Na strane 90 v riešení úlohy 3 a potom aj na ďalších miestach autorka používa termín podmienka pre zlomok, ktorý predtým nezaviedla ani nevysvetlila. 9
48. Na strane 91 v postupe uvedenom v úvode riešenia úlohy 5: najprv rovnicu vyriešime, urobíme skúšku správnosti a až potom určíme podmienku pre neznámu, je posledný krok určenie podmienky zbytočný. Pri takomto postupe sa totiž dosadením overí, či dané číslo spĺňa alebo nespĺňa podmienku pre neznámu. Autorka nijako nevysvetľuje žiakom súvis medzi jednotlivými časťami riešenia (riešenie rovnice, podmienky pre neznámu, skúška správnosti), ktoré by im umožnili uvedomiť si, kedy nie je potrebná skúška správnosti a kedy nie je potrebné hľadať podmienky pre neznámu. Znovu a explicitne túto chybu opakuje napr. v zadaní úlohy 17 na s. 95: Rieš rovnice a urob skúšku správnosti. Nezabudni na podmienky riešenia rovnice. 49. Formulácia na strane 96: Rovnica môže obsahovať rôzne neznáme, napr. x, t, y, a... je nevhodná, vzbudzuje dojem, že v jednej rovnici takéhoto typu sa môže vyskytovať viacero rôznych neznámych. V skutočnosti autorka asi chcela povedať, že na označenie neznámej v rovnici môžeme používať rôzne písmená, ale to je potrebné si opäť domyslieť. 50. Na strane 98 je nesprávna formulácia: Keďže vzorec je rovnosť dvoch výrazov (rovnica). Pokladať vzorec za rovnicu je obsahovo aj terminologicky nesprávne. Žiaci sa majú práve naučiť rozdiel medzi rovnosťou a rovnicou, pričom sama autorka im podsúva, že ide o to isté! 51. Na strane 98 pokyn: Skúšku správnosti urobte tak, že úlohu vyriešite bez vyjadrenia neznámej zo vzorca, je jednak nejasný (autorka pravdepodobne chcela povedať, že namiesto rovnice v tvare o = 4a budeme riešiť rovnicu v tvare 12,8 = 4a, ale to si opäť len domýšľam), jednak v rozpore s terminológiou, ktorú autorka zaviedla pri riešení rovníc. 52. Na strane 99 je nesprávna informácia: odmocňovanie je opačná operácia umocňovania. Toto tvrdenie platí len za istých dodatočných predpokladov (o znamienku umocňovaného výrazu, o koľkú odmocninu ide atď.). 53. Na strane 100 v riešení úlohy 6 autorka viackrát za skúšku správnosti pokladá nové riešenie tej istej rovnice. Takýto postup je vo všeobecnosti nesprávny (napr. pri použití neekvivalentných úprav pri riešení rovnice) a odporuje autorkinej vlastnej terminológii (skúška správnosti je dosadenie nájdeného čísla do pôvodnej rovnice). 10
54. Na strane 101 v riešení úloh 8 a 9 autorka mlčky predpokladá, že žiaci budú počítať s hodnotou π 3,14. Túto informáciu však v zadaní neuviedla. Navyše treba poznamenať, že v súčasnej dobe kalkulačiek a tabuľkových kalkulátorov začína byť používanie tejto približnej hodnoty anachronizmom. V prípadoch, ako sú tieto, ho možno zdôvodniť len snahou o jednoduché výsledky úloh. 55. Text Viete, že... na strane 103 je úplne zavádzajúci a vzbudzuje dojem, že použitie písmena x na označenie neznámej nejako súvisí s cudzími slovami. 56. Úloha 11 na strane 106 je typická zlá školská úloha odporujúca skúsenostiam žiakov. Riešenie predpokladá, že obidva vlaky idú po celú dobu konštantnou rýchlosťou a nezastavujú (čo je v prípade osobného vlaku zo zadania zrejmá nepravda). Z hľadiska didaktiky matematiky ide o tzv. pseudoreálny kontext, ktorému je vhodné sa vyhýbať. 57. Na strane 110 v úlohe 20 skladník, samozrejme, nemusí nič počítať: v sklade predsa vidí, ktorých bicyklov ubudlo viacej. 58. Na strane 111 je správne riešenie o 2,20 eura menšie ako uvádza autorka. 59. Na str. 117 je pravdepodobne nedokončená definícia, inak si neviem vysvetliť vety s tromi bodkami: Kedy budú útvary osovo súmerné? Keď budú mať os súmernosti... keď ich budeme môcť rozdeliť na dve rovnaké polovice. Alebo autorka nevie korektne definovať osovú súmernosť? V týchto vetách sa navyše skrýva niekoľko nezmyslov. Ide o definíciu do kruhu: osovo súmerné sú vtedy, keď majú os súmernosti. A os súmernosti je priamka, podľa ktorej sú osovo súmerné. To, že viem útvar rozdeliť na dve rovnaké polovice, neznamená, že je útvar osovo súmerný. 60. Na str. 117 je projektová úloha o pravej a nepravej osovej súmernosti, ktoré podľa môjho názoru neexistujú. Autorka mala pravdepodobne na mysli priamu a nepriamu zhodnosť. 11
61. Rozdelenie na polovice nesúvisí s osovou súmernosťou. Pekne je tento nezmysel vidieť hneď na kosodĺžniku v úlohe 117: kosodĺžnik je tam rozdelený na dve rovnaké polovice, ale nie je osovo súmerný. Autorka teda najskôr niečo tvrdí, neskôr na príklade sama ukáže, že to nie je pravda. Navyše, uvádzať tieto nepresné a nesprávne vyjadrenia v položke definície spolu s tvrdením, ako sa označuje os súmernosti, je zavádzajúce, nakoľko žiak potom nevie, čo je presné vyjadrenie a čo vysvetľujúci opis. 62. Okrem toho os súmernosti môže mať akékoľvek označenie, nielen o, takže aj ďalšia veta o tom, že os súmernosti označujeme o, je tiež nepravdivé. Autorka zjavne túto nepravdu považuje za dôležitú, nakoľko na strane 125 opäť nesprávne píše: Osová súmernosť je určená priamkou, ktorú nazývame os súmernosti o namiesto správneho: Osová súmernosť je určená priamkou, ktorú nazývame os súmernosti. Podobne aj so stredom súmernosti. 63. Na strane 118 v úlohe 2 autorka neuviedla, že osovo súmerný môže byť aj pravouhlý trojuholník v prípade, že je rovnoramenný. 64. Na strane 118 v úlohe 3 je nesprávne uvedené, že prostredná mandala má 4 osi súmernosti. V skutočnosti totiž nie je osovo súmerná. 65. Úloha 6 na strane 119 má nekonečne veľa riešení (jedným z nich sú aj samotné útvary zo zadania). Autorka svojím riešením vzbudzuje veľmi nesprávny dojem, že osou súmernosti môže byť iba niektorá z priamok, na ktorých ležia strany trojuholníkov v zadaní. 66. Na strane 120 v zadaní úlohy 10 autorka používa pojem obraz v osovej súmernosti, ktorý predtým nikde nevysvetlila. Podobne v riešení používa nový pojem samodružný bod, ktorý potom vysvetľuje až na strane 125. 67. Úloha 6 na str. 121 má nekonečne veľa riešení, bolo by azda vhodné to v riešeniach nejako naznačiť. Inak to zvádza na jediné správne riešenie. 68. Na str. 121 v úlohe 19 v častiach a), c) a d) nie sú uvedené všetky riešenia (v každom prípade chýba os kolmá na uvedenú). 12
69. Na strane 122 používa autorka na zavedenie stredovej súmernosti opis: stred súmernosti je bod, od ktorého majú stredovo súmerné body, napríklad vrcholy útvarov rovnakú vzdialenosť. Z tohto opisu žiak nemá najmenšiu nádej zistiť, čo je to stredovo súmerný útvar. 70. Podobne nejasný je aj nasledujúci text na s. 122, v ktorom sa autorka pýta, či trojuholník patrí k stredovo súmerným útvarom poznamenajme, že odpoveď je NIE, a v nasledujúcej vete uvedie: Stredovo súmerné sú AJ tieto útvary... To, že učebnica vznikala pravdepodobne v časovom strese, dokumentujú aj tieto dve menej závažné pripomienky: 71. Autorka žiakom tyká, sama o tom píše aj v záverečnej poznámke autorky. Na druhej strane v texte používa formulácie: Viete, že...? Zapamätajte si, Vyskúšajte sa. Na viacerých miestach sa vyskytuje vykanie aj v úlohách, najmä v projektových. 72. Na str. 126 autorka píše:...podobné úlohy, ako sa riešia v Monitore. Autorka pravdepodobne nepostrehla, že testovanie žiakov 9. ročníkov sa od roku 2008, teda už 5 rokov, nevolá Monitor, ale Testovanie 9. 73. Okrem týchto vecných a vážnych chýb by ma zaujímal aj názor kompetentných na grafické spracovanie učebnice, nakoľko niektoré ilustračné obrázky vyvolali prekvapenie nielen u mňa, ale aj u mojich žiakov, ktorým by mala byť učebnica určená. 74. Autorka na viacerých miestach žiakov navádza na zisťovanie informácií z numerológie, veštenia a ďalších ezoterických oblastí (na str. 69: "Viete, že existuje veda o číslach, ktorá sa nevolá matematika, a číslo jeden je podľa nej číslom Slnka? Zistite, aká je to veda." Na str. 62 a 63 sa hovorí o Abecede symbolov. Zadanie pre žiakov je overiť, čo v nej znamená štvorec a rovnostranný trojuholník. Abeceda symbolov sa zvykne spomínať v súvislosti s veštením. Na str. 118 je úloha o spracovaní prezentácie o mandalách, ktoré súvisia podľa mojich informácií tiež s rôznymi transcendentnými a ezoterickými pseudovedami. Považujem to v učebnici matematiky za krajne nevhodné. 13
75. V neposlednom rade by ma zaujímalo, keďže má ísť o reformnú učebnicu, aké skutočné reformné prvky do výučby matematiky prináša. Nejde mi o proklamované zásady v úvode učebnice, ale o ich skutočnú realizáciu. Napríklad Projekty, ktoré autorka uvádza v učebnici, zväčša nie sú projekty, ale námety na referát alebo vyhľadávanie na internete. Projekt je z hľadiska metodického a didaktického úplne iný typ zadania. V závere by som Vás, vážený pán minister, rada požiadala aj o odpoveď na nasledovné otázky: 1. Je podľa Vás vhodné vyberať štátom určenú učebnicu podľa najnižšej ceny? Ako chce štát zabrániť tomu, aby boli do škôl distribuované učebnice s množstvom faktických chýb, ktoré uvádzam vyššie? (Nehovorím o preklepoch a iných drobných chybách.) 2. Ako je možné, že taká náročná činnosť, ako je tvorba učebnice, je zverená jednej autorke a dvom recenzentom? Pri učebniciach pre 5. 8. ročník boli dvaja autori a päť recenzentov. Aj na tom, že v týchto učebniciach sa nevyskytovali faktické chyby, je vidieť, že širší kolektív je nevyhnutný. Polemika pri týchto učebniciach sa viedla len ohľadom metodického spracovania, ktoré je v každej učebnici iné a nie každému učiteľovi musí vyhovovať. Vo vyššie uvedenom sa však metodickým výhradám prakticky nevenujem, píšem o závažných odborných matematických chybách. 3. Chápem, že autorka neodovzdáva rukopis kompletný a úplne bez chýb, nakoľko to pri rozsahu učebnice asi nie je možné. Presne z tohto dôvodu majú byť pri tvorbe učebnice recenzenti. Ako zvládli úlohu recenzenti tejto učebnice matematiky pre 9. ročník PaedDr. Dagmar Andová a RNDr. Marcel Tkáč? Ako to, že neodhalili chyby, ktoré opisujem vyššie? Veď v tom spočíva práca recenzenta. Sú podľa Vás štátom určené kritéria na recenzenta učebníc dostačujúce? Iba málo z chýb, o ktorých píšem vyššie, je ľahko odstrániteľných. Väčšina z nich sú principiálne nedostatky, ktorých odstránenie by znamenalo prepísanie celého rukopisu učebnice a jej znovuvydanie. Preto mi nie je jasné, akým spôsobom chce Ministerstvo školstva zjednať nápravu. V učebniciach pre 5. 8. ročník ZŠ sa takéto matematické chyby nenachádzali. To, že učebnice pre 5. 8. ročník od autorov Žabka, Černek priviali 14
pozitívny reformný vzduch do škôl, preukázali aj viaceré odborné diskusie a vyjadrenia učiteľov. Vopred ďakujem za odpovede. S pozdravom Mgr. Jana Fraasová Na vedomie: Prof. RNDr. Roman Nedela, DrSc., predseda výboru Slovenskej matematickej spoločnosti Prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc., Katedra matematiky FPV UMB, Tajovského 40, 974 01 Banská Bystrica Doc. RNDr. Milan Kalina, CSc., predseda Ústredného výboru Jednoty slovenských matematikov a fyzikov, SF STU, Bratislava Doc. RNDr. Zbyněk Kubáček, CSc., predseda Ústrednej predmetovej komisie matematiky pri Štátnom pedagogickom ústave Marie Stracenská, TV Markíza 15