5. DETL SSEPNN OMDUSED 66 5. DETL SSEPNN OMDUSED 5.. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt Tugevusanalüüsi oluline küsimus: Kas detaili ristlõike kuju ja mõõtmed on optimaalsed? ek Jäme varras on tugevam, kui peenike varras milline jämedus on piisav? Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist Ristlõike vastupanuvõime koormuste toimele on erinevate sisejõudude mõjudes erinev (Joon. 5.) ning sõltub: tõmbel, survel ja lõikel pindalast, [m ] väändel polaar-inertsimomendist, [m ] ning ümarvarraste korral polaar-tugevusmomendist W, [m ]. Tõmme ja surve (pike) Tugevustingimus Ristlõike tugevuse näitaja Ristlõige σ epüür N σ [ σ ] Pindala Dimensioon [m ] F D σ Kui D korda, siis tugevus korda Lõige F D Lõikepind τ epüür τ Tugevustingimus Q τ [] τ Ristlõike tugevuse näitaja Pindala Dimensioon [m ] Kui D korda, siis tugevus korda Vääne Tugevustingimus Ristlõike tugevuse näitaja Ristlõige τ epüür M τ max T W [] τ Polaar-tugevusmoment W Dimensioon [m ] D τ max Kui D korda, siis tugevus 8 korda Joonis 5. Paindeülesanne (Joon 5.) ristlõike tugevust näitavad telg-tugevusmomendid (telginertsimomendid) ristlõike pinnakeset läbiva peateljestiku sutes. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 67 Painutatud varras Varda ristlõike pinnakese ja kesk-peateljed Pinnakese Varda telg on kõverdunud m Kesk-peateljed Joonis 5. Painutatud varda ristlõike geomeetria analüüs (Joon. 5.) õlmab kolme ülesannet. Painutatud varda ristlõike analüüs Määrata ristlõike pinnakeskme asukot Määrata keskpeateljestiku asend rvutada keskpeainertsimomendid Joonis 5. Kujundi iga sümmeetriatelg kesk-peatelg (see on alati nii) Enamlevinud litsamate ristlõigete jaoks (ring, ellips ruut, ristkülik, -profiil, jt.) on pinnakeskme asukot (sümmeetriatelgede ristumispunkt) ja kesk-peatelgede asend (ristuvad sümmeetriateljed) teada ja visuaalselt määratav. 5.. Tasandkujundi omadused Detaili ristlõige tasapinnaline geomeetriline kujund Ristlõike tunnussuuruste määramine tasandigeomeetria ülesanne Geomeetrilise tasandkujundi olulised parameetrid tugevusanalüüsis (sõltuvalt tugevusanalüüsi ülesandest): ristlõike pindala, pinnamomendid, pinnakeskme asukot, kesk-peateljestiku asend. Pinnamomendid arvutatakse ristlõike geomeetriliste parameetrite (Joon. 5.) järgi. Pinnamomentide väärtusi kasutatakse detaili ristlõike pinnakeskme asukoa ning tugevuse määratlemiseks. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 68 Tasandkujundi geomeetria parameetrid d Pinnaelement Kontuur Rist-teljestik ρ Pindala Tasandkujundi pinnamomendid on: esimese astme momendid ek staatilised momendid [m ]: teise astme momendid ek inertsimomendid [m ]: Joonis 5. S d staatiline moment telje sutes d staatiline moment telje sutes d telg - inertsimoment telje sutes d telg - inertsimoment telje sutes d tsentrifugaal - inertsimoment teljestiku sutes d polaar - inertsimoment mingi pooluse sutes ρ kus: S staatiline moment, [m ] inertsimoment, [m ] d lõpmatult väike pinnaelement, [m ] kujundi pindala, [m ] ρ pinnaelemendi d kaugus koordinaatide alguspunktist (polaarkoordinaat), [m], pinnaelemendi d ristkoordinaadid, [m]. Pinnamomendid on arvutatud alati mingi telje või teljestiku sutes!!! 5.. Staatilised momendid 5... Kujundi staatilised momendid ja pinnakese Tasapindkujundi staatiliste momentide S ja S väärtused sõltuvad -teljestiku asendist kujundi sutes (Joon. 5.5) ning need väärtused võivad olla nii positiivsed, negatiivsed, kui ka võrdsed -ga. Nende telgede ristumispunkt, millede sutes staatiliste momentide väärtused S, ongi kujundi pinnakese. ga sümmeetriatelje sutes S. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 69 ga rist-teljestik, mille sutes keskteljestik S Pinnakese keskteljestiku alguspunkt (sümmeetriatelgede lõikumispunkt) S Mitte-keskteljestik Kujundi pinnakese ja keskteljestik Keskteljestik S Pinnakese S d d Joonis 5.5 Keskteljestikke on lõpmatult palju (iga teljestik läbi pinnakeskme on keskteljestik) 5... Kujundi pinnakeskme asukot ja litkujundi staatiline moment Pinnakeskme määramise ülesanne leida -teljestik, mille sutes S PROBLEEM: Teada on kujundi mõõtmed ja paiknemine mingi (vabalt valitud) teljestiku sutes. Vaja on arvutada kujundi pinnakeskme koordinaadid (selles teljestikus). Kujundile on näiteks määratud kaks paralleelset teljestikku: ja (Joon. 5.6.): -telje koordinaat -teljestikus on a ning -telje koordinaat -teljestikus on b kujundi staatilised momendid nende teljestike sutes on seotud (vastavalt definitsioonidele) valemitega: ( b) d d d bd S b S S a kui -teljestik oleks keskteljestik (telgede ristumispunkt on pinnakese), siis: a ning pinnakeskme koordinaadid saaks S b Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 S S Kujundi pinnakeskme koordinaadid vabalt valitud teljestikus: ja kus:, kujundi pinnakeskme koordinaadid antud teljestikus (teada), [m] S, S kujundi staatilised momendid telgede ja sutes, [m ]., Kujund ja kaks paralleelset teljestikku Kujundi pinnakeskme asukot d a b Pinnakese Joonis 5.6 Litkujund ( ring, rõngas, ristkülik,ruut, kolmnurk, jne. ) kujund, mille pinnakeskme asukot on teada pindala on õlpsasti arvutatav pindintegraalid on õlpsasti arvutatavad Litkujundi staatilised momendid (pinnakeskme asukoa ja pindala järgi): S S kus: ja litkujundi pinnakeskme koordinaadid (mingis teljestikus), [m] litkujundi pindala, [m ]. 5... Liitkujundi pinnakeskme asukot Liitkujund kujund, mille pinnakeskme asukot ei ole teada pindala ei ole õlpsasti arvutatav pindintegraalide arvutamine on keerukas saab jaotada litkujunditeks Liitkujund koosneb litkujunditest (Joon. 5.7): liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks: ± ± liitkujundi staatilise momendi avaldis -teljestikus tuleb: () () () S d d ± d ± d ±... S ± S ± S ±... () () () () i S S ± S ± S ±... S ± K. S () i Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Liitkujundi staatiline moment (mingi telje sutes) osakujundite staatiliste momentide summa (sama telje sutes) Liitkujund Osakujundite staatilised momendid (). Ristkülik: () S ( ). Ristkülik: ( ) S ( ). Ristkülik: ( ) S Liitkujundi pindala Liitkujundi staatilised momendid Kujundi pinnakese + + ( ) ( ) ( ) S S + S + S S () ( ) ( ) S S + S + S S i, i osakujundite pinnakeskmete koordinaadid -teljestikus, [m] () i () i S, S osakujundite staatilised momendid -teljestiku sutes, [m ] i osakujundite pindalad, [m ] Joonis 5.7 i osakujundi number. Osakujundid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed : positiivne osakujund materiaalne osakujund ek kujundi tegelik osa negatiivne osakujund mittemateriaalne osakujund ek kujundist välja lõigatud osa (pindala ja pinnamomentide väärtused on - märgiga). gat liitkujundit saab tavaliselt kirjeldada mitmel viisil koosnevana erinevatest positiivsetest ja/või negatiivsetest osakujunditest 5.. nertsimomendid 5... Mõnede litkujundite inertsimomendid Litkujundite pindintegraalid on õlpsasti avaldatavad (Joon. 5.8) ning inertsimomentide, pindalade ja pinnakeskme koordinaatide valemid on toodud käsiraamatutes. Litkujunditena käsitletakse ka nn. profiilmaterjalide ristlõikeid, milledest levinumad on erineva geomeetriaga nurk-, karp- ja -profiilid, nelikant-torud, aga ka keerukama ristlõikekujuga alumiiniumist materjalid. Nende materjalide ristlõikepindade omadused on mõnikord toodud tootespetsifikatsioonides. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Ristkülik Telg-inertsimomendid d bd d b b b d b d b Tsentrifugaalinertsimoment: d D Kolmnurk b d sd d s / b b b Ring ρ dρ d d πρdρ d b Telg-inertsimomendid b d 9 ( b + b b b ) b + 6 b b 6 b b b 8 b 7 Tsentrifugaalinertsimoment: d ( b b ) Polaarinertsimoment D ρ D πd ρ d π ρ dρ π ek ( + ) d d + d + Telginertsimomendid πd 6 Tsentrifugaalinertsimoment d Joonis 5.8 5... nertsimomendid rööpsete telgede sutes PROBLEEM: Teada on (on õlpsasti arvuatavad) kujundi inertsimomendid mingi teljestiku sutes. Vaja on kujundi inertsimomente keskteljestiku sutes (mis on esimesega rööpne). Selline vajadus tekib tavaliselt: NB! Või vastupidi. siis, kui litkujundi inertsimomendi avaldist on õlpsam integreerida telje sutes, mis ei ole kesktelg (üldjuul on vaja arvutada inertsimomente just keskteljestike sutes) liitkujundi summaarsete inertsimomentide arvutamisel Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 keerulise kujuga kujundi inertsimomentide arvutamisel. Kujundile olgu näiteks antud kaks rööpset teljestikku: keskteljestik ja (Joon. 5.9.): pinnakeskme koordinaadid -teljestikus on a ja b kujundi telginertsimomendid -teljestikus tulevad: + as ( + b) d d d + b d + b d + a kujundi tsentrifugaal-inertsimoment -teljestikus tuleb: ( + a)( + b) + bs + as + ab + bs + b d d d + b d + a d + ab d kuna on keskteljestik, mille sutes S, siis + b + a. + ab Kujund ja kaks rööpset teljestikku Keskteljestik a d Mitte-keskteljestik b Joonis 5.9 Telginertsimomendid rööpsete telgede sutes: M K + e ning Tsentrifugaal-inertsimoment rööpsete teljestike sutes: MM KK + ee kus: e kujundi kesktelje koordinaat mittekeskteljestikus (+/- märgiga), [m] M kujundi inertsimoment mittekesktelje sutes, [m ] MM kujundi inertsimoment mittekeskteljestiku sutes, [m ] K kujundi inertsimoment kesktelje sutes, [m ] KK kujundi inertsimoment keskteljestiku sutes, [m ] 5... Kolmnurga inertsimoment aluse sutes Kolmnurga alusega on pandud ütima -telg, mis on paralleelne kolmnurga keskteljega (Joon. 5.): Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 7 Kolmnurga inertsimoment aluse sutes Kesktelg e b b b M K + e + 6 b Joonis 5. nende rööpsete telgede vaekaugus on: e, kolmnurga pindala: b b inertsimoment kesktelje sutes: K 6 inertsimoment aluse sutes saadakse rööpsete telgede seost kasutades. 5... Liitkujundi inertsimomendid PROBLEEM: Teada on iga osakujundi inertsimomendid nende oma keskteljestike sutes. Vaja on määrata liitkujundi inertsimomendid liitkujundi keskteljestiku sutes. Liitkujundi inertsimoment (mingi telje sutes) osakujundite inertsimomentide summa (sama telje sutes) Liitkujund koosneb (positiivsestest ja negatiivsetest) litkujunditest (Joon. 5.): liitkujund jaotatakse sobivateks osakujunditeks ± ± ± K e e e Liitkujund Osakujundite inertsimomendid e e () () + e. Ristkülik: () () + e ( ) ( ) + e. Ristkülik: ( ) ( ) + e ( ) ( ) + e. Ristkülik: ( ) ( ) + e ( ) ( ) e e + ( ) ( ) e e + ( ) ( ) e e. + Liitkujundi inertsimomendid ( ) ( ) ( ) + + () ( ) () + + () ( ) ( ) + + e Joonis 5. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 75 liitkujundi inertsimomentide avaldised keskteljestikus tulevad: d d ± d ± d ±... ± ± ±... () ( ) () () i ± ± ±... ± ± ± ± ± ± d d d d K K osakujundite inertsimomendid liitkujundi -keskteljestikus teada () ( ) () () i () ( ) () () i () i ja () i ei ole i i osakujundite inertsimomendid oma i i -keskteljestike sutes i ja i on teada kui kõik osakujundite valitud keskteljestikud i i on rööpsed -teljestikuga, siis: () i () i ( i ) ( i) ( i) ( i) [ i + ei i ], [ i + ei i ] ja [ ii + e iei i ]. () () 5... Keeruka kujundi inertsimomendid Keerukas kujund kujund, mis ei ole litkujund ega ka vaadeldav liitkujundina Keerukas kujund jaotatakse õukesteks ristkülikukujulisteks ribadeks (Joon. 5.): ribade paksus võetakse selle telje rist-siis, mille sutes inertsimomenti arvutatakse kujundi inertsimoment tuleb liitkujundi (koosneb paljudest sama paksusega ristkülikutest) inertsimomendi metoodikale vastavalt võttes ribade paksuse küllalt väikese δ <<, saab ribade omainertsimomendid jätta arvestamata arvutuse tulemus on ligikaudne (seda täpsem, mida rokem on ribasid). Keerukas kujund nertsimoment kesktelje sutes δ Keerukas kujund liitkujund i bi n i biδ või + e i δbi e i n i e δ b (kui δ << ) i i kujundi inertsimoment kesktelje sutes, [m ] e i i-nda riba keskme kaugus -teljest, [m] kujundi mõõde kesktelje ristsiis, [m] n sama paksusega ribade arv b i i-nda riba laius, [m] δ ribade paksus (kõigil üesugune), [m]. Joonis 5.. Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 76 5..5. nertsimomendid pööratud telgede sutes PROBLEEM: Teada on kujundi inertsimomendid suvalise -teljestiku sutes. Vaja on määrata kujundi inertsimomendid selle sutes pööratud teljestiku sutes Kujundile on antud -teljestik ning selle sutes pööratud (sama alguspunktiga) - teljestik (Joon. 5..): teljestikevaeline pöördenurk on α kujundi telg-inertsimomendid - ( ) teljestikus tulevad seostest: d cosα sinα d d ( cosα + sinα ) d cos α + d sin α d sinα cosαd ek cos α d + sin α d + sinα cosαd kujundi tsentrifugaal-inertsimomendid -teljestikus tulevad seostest: ( cosα + sinα )( cosα sinα ) d d Kujund ja pööratud teljestikud Geomeetrilised teisendused F d OD O + E cosα + sinα DF EF ED cosα sinα nertsimomendid pööratud teljestikus α cos α + sin sin α + cos α α + sin α sin α D E α sin α + cosα Telginertsimomentide liitmisel selgub, et: Joonis 5. Telg-inertsimomentide summa mistaes ristteljestiku sutes on invariantne telgede pööramise sutes (on alati sama sõltumatult pöördenurgast) ( sin α + cos α ) + ( sin α + ) + cos α + Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 77 5.5. Kesk-peateljestik ja selle asukot 5.5.. Peateljed ja peainertsimomendid Peateljed teljed, mille sutes kujundi tsentrifugaalmoment võrdub nulliga Peainertsimomendid kujundi telginertsimomendid peatelgede sutes Telg-inertsimomendid peatelgede sutes on ekstremaalsed (Joon. 5.): max (või vastupidi) min Kesk-peateljestik kujundi peateljestik (rist-teljestik), mille algus on pinnakeskmes (ja siit ka kesk-peainertsimomendid) NB! Tugevusanalüüsis väga oluline Kujund ja selle teljestikud S Mitte-keskteljestik S Kesk-peateljestik min max Keskteljestik S Joonis 5. 5.5.. Kesk-peateljestiku määramine. Näide Sümmeetriline kujund: üks kesk-peatelg on sümmeetriatelg, teine kesk-peatelg on esimesega risti ja läbib pinnakeset. Rokem, kui kae sümmeetriateljega kujund (korrapärased ulknurgad, ring): kõik keskteljepaarid on ka peateljestikud, inertsimomendid kõigi peatelgede sutes on võrdsed. Mittesümmeetriline kujund: esmalt määratakse pinnakeskme koordinaadid eelnevalt valitud (valitakse nii, et oleks õlbus arvutada) teljestiku sutes, siis arvutatakse antud ülesandes vajalikud inertsimomendid, ja vabalt valitud keskteljestiku (asend valitakse nii, et oleks õlbus arvutada) sutes, Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 78 siis leitakse sobiva seose abil selline pööratud keskteljestik, mille sutes tsentrifugaalinertsimoment (see teljestik ongi kujundi keskpeateljestik): arctan ( ), kuiα arcsin arcsin kus: α kesk-peateljestiku pöördenurk keskteljestiku sutes, [rad]. PROBLEEM: Kumba keskpeatelje sutes on inertsimoment suurim? (Visuaalse kontrolli võimalus) REEGEL: Suurim on inertsimoment selle keskpeatelje sutes, millest pinnaelemendid paiknevad suteliselt kaugemal. Kujundi kesk-peateljestik selline kujundi pinnakeskmes algav ristteljestik, mille sutes arvutatud: telginertsimomendid on ekstremaalsed (üks on suurima ja teine väima väärtusega) tsentrifugaalinertsimomendi väärtus on null. Painde tugevusarvutused teakse varda kesk-peatasandites ek Selleks, et paindetugevust analüüsida, peab olema teada ristlõike kesk-peatelgede asend. 5.5... Näide. Liitkujundi kesk-peainertsimomentide arvutus Määrata kujundi (Joon. 5.5) kesk-peatelgede asend ning arvutada keskpeainertsimomendid! Laenduskäik: kujund koosneb kolmest lit-osakujundist: () - poolring, () kolmnurk ja () ristkülik, mille pinnakeskmete asukoad, keskteljestike asendid, pindalad ning oma inertsimomendid on teada: () osakujund poolring: R pinnakeskme asukot: a.7.7mm π π πr π pindala:.7 mm telginertsimomendid: () πr π 8.8 mm.8cm 8 8 ().98R.98 88.9 mm 8.9cm Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 79 Kujund ja tema geomeetria Jaotus lit-osakujunditeks 8 R Poolringi omadused Kolmnurga omadused Ristküliku omadused a a R R a π πr 8.98R a a b b b 7 a b 6 b 6 a a b a b a b b Joonis 5.5 () osakujund täisnurkne kolmnurk: a..mm pinnakeskme asukot: b 6 a mm b 6 pindala: mm telginertsimomendid: ( ) b 6 mm cm 6 6 ( ) b 6 6.6 mm.7cm 6 6 Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 tsentrifugaal-inertsimoment: ( ) b 6 8 mm 8cm 7 7 () osakujund ristkülik: 8 a mm pinnakeskme asukot: b a mm pindala: b 8 mm telginertsimomendid: ( ) b 8 6.6 mm.7cm ( ) b 8 76 mm 7cm määratakse kindlaks kujundi pinnakeskme asukot (see on otsitava keskpeateljestiku alguspunkt): pinnakeskme koordinaadid arvutatakse vabalt valitud abiteljestiku sutes (mis on samaaegselt ka () osakujundi kesk-peateljestik, s.o. ristsümmeetriateljestik) osakujundite pinnakeskmete koordinaadid selles abiteljestikus on: () osakujund ( a + a ) ( +.7) 5.7mm poolring: ( a + R) ( + ) 5mm () osakujund ( a a ) (.) 6.7mm kolmnurk: ( a + a ) ( + ) mm () osakujund ristkülik: ja pinnakese -teljestikus on määratud koordinaatidega (Joon. 5.6): i i i 5.7 + ( 6.7) + 8. 8.mm + + i i i 5 + ( ) +..mm + + läbi pinnakeskme määratletakse keskteljestik ning läbi osakujundite pinnakeskmete määratletakse keskteljestikud i i selliselt, kõik need oleksid rööpsed rööpsete telgede teoreemi kasutades arvutatakse kujundi inertsimomendid keskteljestiku -sutes: osakujundite pinnakeskmete koordinaadid keskteljestikus on: () osakujund poolring: e ( a + a ) ( +.7 8.).mm e ( a + R ) ( +.) 9.6mm () osakujund kolmnurk: e ( a a ) (. 8.) 8.mm e ( a + a ) ( +.) 9.6mm Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 () osakujund ristkülik: Kujundi pinnakese e e 8.mm.mm Rööpsed keskteljestikud e 8 e 8. e e. e R e Joonis 5.6 osakujundite inertsimomendid keskteljestikus on: () osakujund poolring: () () + e.8 + (.96). 55.6 56cm () () + + ( ) e 8.9.. 76. 76cm () () + ee + (.) (.96)..9 cm () osakujund kolmnurk: ( ) ( ) + e + (.96) 7.9 7.cm ( ) ( ) + + ( ) e.7.8 9.6 9.cm ( ) ( ) + ee 8 + (.8) (.96).756.8cm () osakujund ristkülik: ( ) ( ) + e.7 +. 75.8 76cm ( ) ( ) + e 7+.8 78. 78cm ( ) ( ) + ee +.8. 9. 9cm kujundi inertsimomendid on osakujundite inertsimomentide summad (samade telgede ja teljestike sutes): () ( ) ( ) + + 56 + 7.+ 76. cm () ( ) ( ) + + 76 + 9. + 78 7. 7cm () ( ) ( ) + + +.8 + 9 7.8 75cm kesk-peateljestik YZ läbib pinnakeset ning on keskteljestiku sutes nurga a võrra pööratud (Joon. 5.7): Priit Põdra,
5. DETL SSEPNN OMDUSED 8 75 arctan o α arctan.7.7rad 7 5 7 kujundi kesk-peainertsimomendid (telginertsimomendid kesk-peatelgede Y ja Z sutes) saab nüüd määrata: cos α + sin α sin α Y cos.7 + 7 sin.7 75 sin sin α + cos α + sin α Z sin.7 + 7 cos.7 + 75 sin (.7) 6. 6cm (.7) 7.7 75cm Z Kujundi kesk-peateljestik 8 Y 7 5 Vastus: Kujundi kesk-peateljestik on orisondi sutes 7 5 kaldu ning keskpeainertsimomendid on: Y 6cm. Z 75cm 8.. R Joonis 5.7 Priit Põdra,