. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος. Σύστη νφοράς Σύστη νφοράς είνι έν σύστη συντετγένων που χρησιοποιείτι γι τον προσδιορισό της θέσης των ντικειένων, δηλδή είνι έν σύστη πρκολούθησης της κίνησης.. Κίνηση κι κινησί Έν σώ κινείτι ότν λλάζει θέση ως προς έν σύστη νφοράς που το θεωρούε υθίρετ κίνητο. Διφορετικά το σώ ηρεεί (θεωρείτι κίνητο). 3. Υλικό σηείο ή σηεικό ντικείενο Υλικό σηείο ή σηεικό ντικείενο ονοάζετι κάθε ντικείενο το οποίο σε σχέση ε το περιβάλλον του έχει τόσο ικρές διστάσεις, ώστε ν πορούε ν τις θεωρήσουε σήντες. 4. Θέση του κινητού Η θέση ενός υλικού σηείου (κινητό) οποιδήποτε χρονική στιγή πορεί ν προσδιοριστεί ε δύο τρόπους :. Με το διάνυσ θέσης r : Είνι το διάνυσ που έχει ρχή την ρχή των ξόνων Ο κι τέλος την θέση του κινητού. y O r Μ x Ο r Μ x Διάνυσ θέσης στο επίπεδο Διάνυσ θέσης σε άξον β. Με τις συντετγένες θέσης : Σηεικό ντικείενο πάνω σε ί ευθεί : Η ευθεί είνι προσντολισένη ν ί πό τις δύο κτευθύνσεις Ο Μ x την θεωρήσουε υθίρετ σν θετική. Το σηείο Μ που είνι η x συντετγένη θέσης του κινητού, ονοάζετι θέση του κινητού κι συβολίζετι ε το γρά x. Το x θ είνι θετικό ν το κινητό βρίσκετι στο θετικό τή της ευθείς κι ρνητικό ν το κινητό βρίσκετι στο ρνητικό τή ευθείς.
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος Σηεικό ντικείενο πάνω σε έν επίπεδο : Οι δύο κάθετοι άξονες ποτελούν έν ορθογώνιο κρτεσινό σύστη νφοράς. Το x ονοάζετι τετηένη του Μ κι το y τετγένη του Μ. Το ζεύγος τιών (x ο, y ο ) που προσδιορίζουν τη θέση του Μ στο επίπεδο ονοάζοντι κρτεσινές συντετγένες του Μ. Γενικότερ γράφουε Μ (x, y). Οι δύο άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερ τετρτηόρι. y y o Μ (x,y ) x O x Σηεικό ντικείενο στο χώρο : x x z O z M y M y Οι τρεις κάθετοι ετξύ τους άξονες ποτελούν έν τρισορθογώνιο κρτεσινό σύστη συντετγένων. Σ υτό η προβολή του σηείου Μ στο επίπεδο των ξόνων x κι y είνι το σηείο Μ. Η προβολή του Μ στους άξονες x, y δίνει τις συντετγένες x κι y (τετηένη κι τετγένη ντίστοιχ). Η προβολή του Μ στον άξον z είνι η τρίτη συντετγένη z που λέγετι κτηγένη. Άρ οι συντετγένες του σηείου Μ στον χώρο είνι στην γενική περίπτωση Μ (x,y,z). 5. Χρονική στιγή t κι χρονική διάρκει ( ή χρονικό διάστη) Χρονική στιγή t είνι η έτρηση του χρόνου κι δείχνει πότε συβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει (ή χρονικό διάστη) είνι η διφορά δύο χρονικών στιγών t, t (t > t ) δηλδή = t - t. Η χρονική διάρκει (ή χρονικό διάστη) δείχνει πόσο διρκεί έν γεγονός. Συνήθως θεωρούε t = κι t = t άρ = t 6. Τροχιά κινητού Τροχιά ενός κινητού (υλικού σηείου) ως προς κάποιο σύστη νφοράς ονοάζετι η συνεχής (νοητή) γρή που ποτελεί το σύνολο των θέσεων του κινητού κτά την κίνησή του. Η ορφή της τροχιάς δίνει κι το όνο στην κίνηση. Αν η τροχιά είνι ευθεί έχουε ευθύγρη κίνηση. Αν η τροχιά είνι κπύλη έχουε κπυλόγρη κίνηση. Ειδική περίπτωση της κπυλόγρης κίνησης είνι η κυκλική κίνηση ν η τροχιά είνι κύκλος. 7. Μεττόπιση Δx Μεττόπιση ενός κινητού ονοάζετι το διάνυσ Δx που έχει ρχή την ρχική θέση του κινητού κι τέλος την τελική θέση. Ο Μ (t ) Δx Μ (t ) Ο Μ (t ) Δx Μ (t ) x Εικόν x x x Εικόν Η λγεβρική τιή της εττόπισης είνι : Δx = x x Πρτήρηση : Η λγεβρική τιή της εττόπισης είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς την θετική κτεύθυνση του άξον (όχι υποχρεωτικά στο θετικό τή) όπως στην εικόν κι ρνητική ότν το κινητό κινείτι προς την ρνητική κτεύθυνση του άξον (όχι υποχρεωτικά στο ρνητικό τή) όπως στην εικόν. 8. Διάστη s ή Δs Διάστη s ονοάζετι το ήκος της τροχιάς του κινητού. Αν το κινητό κάνει ευθύγρη κίνηση κι δεν έχει λλάξει φορά κίνησης είνι s = Δx
. Ευθύγρη κίνηση - 3 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πρτήρηση : Αν το κινητό λλάξει φορά κίνησης τότε το διάστη που έχει δινύσει είνι εγλύτερο πό το έτρο της εττόπισης, άρ s > Δx. Το διάστη τότε υπολογίζετι πό το άθροισ των επιέρους διστηάτων που ντιστοιχούν σε s = s + s +.. = Δx + Δx +.. 9. Εξίσωση κίνησης εττοπίσεις χωρίς λλγή κτεύθυνσης, δηλ Είνι η θητική σχέση που δίνει την θέση ενός κινητού σν συνάρτηση του χρόνου κίνησης, δηλδή σχέση της ορφής : x = f(t), y = f(t).. Εξίσωση τροχιάς Είνι η θητική σχέση που συνδέει τις συντετγένες θέσης ενός κινητού, δηλδή σχέση της ορφής : y = f(x). Τχύτητ Η τχύτητ είνι δινυστικό έγεθος. Το έτρο της ς δείχνει πόσο γρήγορ κινείτι έν σώ. Η κτεύθυνση της τχύτητς ς δείχνει προς τ που εττοπίστηκε το σώ. Μονάδ τχύτητς στο σύστη ονάδων S.I. είνι το m/s. Χρησιοποιείτι κι η ονάδ km/h ( χιλιόετρ νά ώρ ). km m m m Ισχύει = = =.7 h 36 s 36 s s km m 36 km km Ισχύει = = = 3,6 s h h h 36. Μέση δινυστική τχύτητ υ : Είνι το πηλίκο της εττόπισης Δx προς τον ντίστοιχο χρόνο. Δx Άρ υ =. Γι το έτρο υ = x t x t. Η κτεύθυνση συπίπτει ε την κτεύθυνση της εττόπισης Δx. β. Μέση ριθητική τχύτητ υ : Είνι το πηλίκο του διστήτος s που δινύει το κινητό σε χρόνο s προς τον χρόνο υτό. Άρ υ=. Η έση ριθητική τχύτητ είνι ονόετρο έγεθος. γ. Στιγιί τχύτητ υ : Είνι η τιή στην οποί τείνει το πηλίκο Δx ηδέν. Είνι διάνυσ κι έχει την κτεύθυνση της εττόπισης. Δx Η λγεβρική τιή της είνι υ = lim. ότν η διάρκει τείνει στο. Ευθύγρη ολή κίνηση. Ορισός : Ευθύγρη ολή κίνηση είνι η κίνηση που γίνετι σε ευθεί γρή κι στην οποί η στιγιί τχύτητ είνι χρονικά στθερή. β. Νόοι της ευθύγρης ολής κίνησης : Νόος της τχύτητς : υ = στθερή. Η λγεβρική τιή της τχύτητς είνι Δx υ=.
. Ευθύγρη κίνηση - 4 - Ππθεοδώρου Γιώργος Η τχύτητ είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς τ θετικά του άξον νεξάρτητ πό τη θέση του ή ρνητική ν το κινητό κινείτι προς τ ρνητικά του άξον. Η τχύτητ είνι στθερή κι υ > Η τχύτητ είνι στθερή κι υ < Η τχύτητ είνι ηδέν (κίνητο σώ) Εξίσωση κίνησης (ή εξίσωση της εττόπισης) : x = x + υ(t - t ) Απόδειξη Από τον ορισό της έσης τχύτητς ν χρησιοποιήσουε την λγεβρική τιή θ είνι Δx υ= άρ x - x υ = ή x - x = υ(t - t ) άρ x = x + υ(t - t ). t - t Αν θεωρήσουε ότι t = κι x = η εξίσωση πίρνει την πιο πλή ορφή x = υt x = υt x = x + υ(t-t ) x t x x = x + υt x x = x (στθερό) Η τχύτητ είνι στθερή κι υ > Η τχύτητ είνι στθερή κι υ > Η τχύτητ είνι στθερή κι υ < Η τχύτητ είνι ηδέν (κίνητο σώ) Η εττόπιση πό διάγρ τχύτητς χρόνου υ Ε t t Από την γρφική πράστση της τχύτητς σε συνάρτηση ε τον χρόνο πρτηρούε ότι το γινόενο υ είνι ριθητικά ίσο ε το εβδόν Ε δηλδή : Το εβδόν ετξύ της κπύλης τχύτητς χρόνου, του άξον των χρόνων κι των κθέτων στις χρονικές στιγές t κι t είνι ριθητικά ίσο ε την εττόπιση Δx του σώτος που ντιστοιχεί στη χρονική διάρκει (πό t έως t ) Αυτό ισχύει γενικότερ, όποι ορφή κι ν έχει η κπύλη τχύτητς χρόνου. 3. Επιτάχυνση Η επιτάχυνση είνι δινυστικό έγεθος. Το έτρο της ς δείχνει πόσο γρήγορ ετβάλλετι η τχύτητ ενός σώτος. Η κτεύθυνση της ετβολής της τχύτητς είνι η κτεύθυνση της. Μονάδ επιτάχυνσης στο σύστη ονάδων S.I. είνι το m/s.. Μέση επιτάχυνση : Είνι το πηλίκο της ετβολής της τχύτητς Δυ προς την χρονική διάρκει Δυ στην οποί έγινε η ετβολή, άρ =. Είνι διάνυσ κι έχει την κτεύθυνση της ετβολής της τχύτητς.
. Ευθύγρη κίνηση - 5 - Ππθεοδώρου Γιώργος β. Στιγιί επιτάχυνση : Είνι η ορική τιή του πηλίκου Δυ Η λγεβρική τιή της επιτάχυνσης είνι Δυ = lim : ότν ο χρόνος τείνει στο ηδέν. Η επιτάχυνση είνι διάνυσ κι η κτεύθυνσή της είνι ίδι ε την κτεύθυνση του Δυ. Πρτήρηση : ν η επιτάχυνση προκύψει ε ρνητικό πρόσηο τότε ονοάζετι επιβράδυνση κι προκλεί είωση της τχύτητς. 4. Ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση. Ορισός : Είνι η κίνηση που γίνετι σε ευθεί γρή κι σε ίσ χρονικά διστήτ συβίνουν ίσες ετβολές της τχύτητς. Άρ η επιτάχυνση είνι στθερή κι η στιγιί επιτάχυνση συπίπτει ε την έση επιτάχυνση. β. Νόοι της ευθύγρης ολά επιτχυνόενης κίνησης : Νόος επιτάχυνσης : = στθερή. Η λγεβρική τιή της επιτάχυνσης είνι Δυ =. (m/s ) (m/s ) Η επιτάχυνση είνι στθερή κι > Η επιτάχυνση είνι στθερή κι < Νόος της τχύτητς : υ = υ + (t - t ) Απόδειξη υ - υ Αν τις χρονικές στιγές t κι t έν κινητό έχει τχύτητες υ κι υ ντίστοιχ ισχύει : = = άρ t - t υ - υ = (t - t ) εποένως υ = υ + (t - t ). Αν δεχτούε ότι t = τότε έχουε : υ = υ + t υ t υ = υ + (t - t ) Η επιτάχυνση είνι στθερή κι > υ υ = υ + t Η επιτάχυνση είνι στθερή κι > Αν έν κινητό ξεκινάει πό την ηρεί κι κάνει ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση τότε ο νόος της τχύτητς γίνετι : υ = t. Εξίσωση κίνησης ( ή εξίσωση της εττόπισης ) : Δx = υ + Απόδειξη Αν θεωρήσουε το διάγρ τχύτητς χρόνου τότε γι ικρή χρονική διάρκει η τχύτητ πορεί ν θεωρηθεί στθερή κι το έντον ( ) γροσκισένο εβδόν είνι Δx = υ, δηλδή ριθητικά ίσο ε την εττόπιση Δx. Άρ γενικότερ το εβδόν του τρπεζίου του διγράτος ( ) θ είνι ριθητικά ίσο ε την εττόπιση Δx. Αν θεωρήσουε ότι t = τότε = t. υ υ υ t
. Ευθύγρη κίνηση - 6 - Ππθεοδώρου Γιώργος (υ + υ) t Άρ θ έχουε : Δx = ( Εβδόν τρπεζίου ) δηλδή Δx =. (υ + υ + t) t Αλλά γι την τχύτητ υ ισχύει υ = υ + t άρ ν ντικτστήσουε είνι Δx = άρ (υ + t) t υt + t Δx = ή Δx = άρ Δx = υ t + t. Αυτή είνι η εξίσωση κίνησης γι την ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση. Γενικότερ η εξίσωση γράφετι : Δx = υ +. Αν το κινητό τη χρονική στιγή t = βρισκότν στην θέση x τότε η εξίσωση κίνησης γράφετι : κι στη γενική ορφή x = x + υ +. Η γρφική πράστση της σχέσης x = x + υ t + t είνι : > < x=υ t + t x=υ t + t γ. Σχέση τχύτητς κι εττόπισης στην ευθύγρη ολά ετβλλόενη κίνηση : Η τχύτητ του κινητού δίνετι πό την σχέση υ = υ +. Αν λύσουε υτή την σχέση ως προς την χρονική διάρκει έχουε : υ - υ = Η εττόπιση του κινητού δίνετι πό την σχέση Δx = υ +. Αν σ υτή ντικτστήσουε την υ - υ έχουε : Δx = υ + υ - υ εποένως Δx = Δx = υ υ υ + υ υ υ + Η σχέση υτή γράφετι κι στη ορφή : υ ή Δx = υ - υ - υ Δx =. υυ - υ υ εποένως υ = + υ - υυ + υ υ + Δx. άρ
. Ευθύγρη κίνηση - 7 - Ππθεοδώρου Γιώργος Α. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής Στις πρκάτω ερωτήσεις βάλτε σε κύκλο το γρά που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Μί κίνηση χρκτηρίζετι σν ευθύγρη ολή ότν :. Το διάνυσ της τχύτητς πρένει στθερό β. Το διάνυσ της επιτάχυνσης πρένει στθερό γ. Το έτρο της τχύτητς πρένει στθερό δ. Το έτρο της επιτάχυνσης πρένει στθερό. Στην ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση :. Η τχύτητ είνι στθερή β. Ο ρυθός ετβολής της τχύτητς είνι στθερός γ. Ο ρυθός ετβολής του διστήτος είνι στθερός δ. Το διάστη είνι νάλογο του χρόνου 3. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το :. Πόσο γρήγορ υξάνετι το διάστη β. Πηλίκο του διστήτος δι του χρόνου γ. Πόσο γρήγορ ετβάλλετι η τχύτητ δ. Πόσο γρήγορ κινείτι το κινητό 4. Μι διφορά ετξύ τχύτητς κι επιτάχυνσης είνι ότι :. Το έν είνι έγεθος ονόετρο κι το άλλο δινυστικό β. Έχουν πάντ διφορετική φορά γ. Το έν εκφράζει το πόσο γρήγορ λλάζει η εττόπιση, ενώ το άλλο, πόσο γρήγορ λλάζει η τχύτητ δ. Η τχύτητ είνι δύνη ενώ η επιτάχυνση δεν είνι 5. Η θέση ενός κινητού που κινείτι ευθύγρ ετβάλλετι πό x = m σε x = 5 m σε χρονική διάρκει 5 s. Γι το έτρο της τχύτητάς του κι την κτεύθυνση της κίνησής του ισχύει :. υ = 3 m/s προς τ ρνητικά του άξον. β. υ = m/s προς τ θετικά του άξον. γ. υ = m/s προς τ ρνητικά του άξον. δ. υ = 3 m/s προς τ θετικά του άξον. 6. Η τχύτητ ενός κινητού που κάνει ευθύγρη κίνηση ελττώνετι έχρι ν ηδενιστεί. Μετά το κινητό συνεχίζει την κίνησή του σε ντίθετη κτεύθυνση.. Το διάστη που δινύει το κινητό συνέχει υξάνετι. β. Το διάστη που δινύει το κινητό συνέχει υξάνετι κι ότν γυρίσει προς τ πίσω συνέχει ειώνετι. γ. Η εττόπιση του κινητού συνέχει υξάνετι. δ. Το διάστη που δινύει το κινητό συνέχει ειώνετι. B. Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους 7. Έν κινητό κινείτι ευθύγρ. Ν χρκτηρίσετε ε Σ γι Σωστό κι Λ γι Λάθος τις προτάσεις.. Αν το διάστη που δινύει έν κινητό είνι ηδέν τότε κι η εττόπιση είνι ηδέν. β. Αν η εττόπιση είνι ηδέν τότε το κινητό είνι κίνητο. γ. Αν η εττόπιση ενός κινητού είνι ηδέν κι το διάστη είνι ηδέν. δ. Το διάστη είνι πάντ εγλύτερο ή ίσο ε το έτρο της εττόπισης ενός κινητού. ε. Αν το διάστη είνι ηδέν τότε το κινητό είνι κίνητο.
. Ευθύγρη κίνηση - 8 - Ππθεοδώρου Γιώργος Γ. Ερωτήσεις συπλήρωσης Συπληρώστε τ κενά στις πρκάτω προτάσεις 8. Η επιτάχυνση ενός κινητού εκφράζει το πόσο ετβάλλετι το. της τχύτητς. 9. Έν σώ εκτοξεύετι πό το έδφος κτκόρυφ προς τ πάνω, φτάνει σε ύψος m κι επιστρέφει στο έδφος.. Η εττόπιση του σώτος κτά την άνοδο είνι.. β. Το διάστη που δινύει το σώ κτά την άνοδο είνι γ. Η ολική εττόπιση του σώτος είνι δ. Το ολικό διάστη που δινύει το σώ είνι. Η έση τχύτητ ενός κινητού εκφράζει το πόσο. κινείτι.. Στην ολά επιτχυνόενη κίνηση το διάνυσ της τχύτητς κι της επιτάχυνσης είνι εγέθη.. ενώ στην ολά επιβρδυνόενη κίνηση το διάνυσ της τχύτητς κι της επιτάχυνσης είνι εγέθη... Η κίνηση ενός υτοκινήτου περιγράφετι πό την γρφική πράστση τχύτητς - χρόνου:. Το είδος της κίνησης είνι... β. Η ρχική τχύτητ του υτοκινήτου είνι... γ. Η κλίση της ευθείς εκφράζει... υ (m/s) t (s) Δ. Ερωτήσεις συνδυσού νοικτού κι κλειστού τύπου 3. Με βάση τον διπλνό πίνκ ετρήσεων :. Ν γίνει η γρφική πράστση τχύτητς - χρόνου β. Η κίνηση είνι : Ευθύγρη ολή. Ολά επιτχυνόενη. Δικιολογήστε την πάντησή σς. γ. Η ρχική τχύτητ τον κινητού είνι... m/s 4. Έν υτοκίνητο Χ κινείτι ευθύγρ κι ε στθερή τχύτητ 5 Km/h ως προς τη Γη πό έν σηείο Α προς έν σηείο Β.. Αν επιλέξω ως σύστη νφοράς έν άλλο υτοκίνητο Y που κινείτι πό το Α προς το Β ε τχύτητ 6km/h ως προς τη Γη, τότε : (Χρκτηρίστε ε Σ τις πρκάτω προτάσεις, ν είνι σωστές, κι ε Λ ν είνι λνθσένες ). Το υτοκίνητο Χ είνι κίνητο Το υτοκίνητο Χ έχει τχύτητ ε έτρο km/h Το υτοκίνητο Χ έχει τχύτητ ε έτρο km/h β. Αν επιλέξω ως σύστη νφοράς έν άλλο υτοκίνητο Υ, που κινείτι πό το Β προς το Α ε τχύτητ 3 km/h ως προς τη Γη, ν υπολογισθεί το έτρο της τχύτητς τον υτοκινήτου Χ. 5. Με βάση την διπλνή γρφική πράστση πόστσης - χρόνου σε ευθύγρη κίνηση ν πντήσετε στις πρκάτω ερωτήσεις :. Ποι είνι η έση τχύτητ τον κινητού σε όλη τη διδροή ; β. Το κινητό κινήθηκε πιο γρήγορ κτά το χρονικό διάστη : -h -3 h 6-7 h γ. Η στιγιί τχύτητά του τη χρονική στιγή.3 s είνι : 5 m/s /5 km/h 5 km/h τίποτ πό τ πρπάνω 5 5 t ( s ) υ (m/s ) 4.9 5 3. 4 x(km) 3 4 5 6 7 8 t(h)
. Ευθύγρη κίνηση - 9 - Ππθεοδώρου Γιώργος 6. Δύο υτοκίνητ Α κι Β πέχουν 8 m κι κινούντι ε ντίθετη φορά στην ίδι ευθεί. Το Α κινείτι ε στθερή τχύτητ 3 m/s κι το Β ξεκινά πό την ηρεί ε στθερή επιτάχυνση m/s.. Τι είδους κίνηση εκτελεί το κάθε υτοκίνητο ; β. Το άθροισ των διστηάτων των δύο υτοκινήτων είνι ίσο ε... m γ. Ο χρόνος συνάντησης των δύο υτοκινήτων είνι: 6,6 s 8 s 4 s s δ. Ν υπολογισθεί το σηείο συνάντησης των δύο υτοκινήτων. 7. Αυτοκίνητο ξεκινά πό την ηρεί κι κινείτι ε ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση. Στο τρικοστό δευτερόλεπτο της κίνησής του ο οδηγός διπιστώνει ότι η τχύτητά του είνι 7 km/h κι διτηρεί την τχύτητ του υτοκινήτου στθερή γι τ επόεν δύο λεπτά, ότν ντιλβάνετι κάποιο επόδιο κι επιβρδύνει ολά το υτοκίνητο, που σττάει ετά πό 5 s.. Πόσ κι ποι είδη κινήσεων εκτέλεσε το υτοκίνητο; Ν δικιολογήσετε τις πντήσεις σς. β. Ν βρεθεί η συνολική εττόπιση του υτοκινήτου. γ. Ν γίνουν, γι ολόκληρη την κίνηση, οι γρφικές πρστάσεις εττόπισης χρόνου, τχύτητς - χρόνου κι επιτάχυνσης - χρόνου.. Ευθύγρη ολή κίνηση Πράδειγ. Μεττόπιση κι διάστη Έν κινητό ξεκινάει πό τη θέση x = (σηείο Ο) κι κινείτι κτά ήκος του άξον x έχρι τη θέση x = 3 m (σηείο Α) κι συνεχίζει έχρι τη θέση x = 4 m (σηείο Β). Στη συνέχει κινείτι στην ντίθετη κτεύθυνση έχρι τη θέση x 3 = m (σηείο Γ). Ν υπολογιστεί η εττόπιση κι το διάστη στις ετκινήσεις :. ΑΒ, β. ΒΓ, γ. ΑΒΓ, δ. ΟΒΟ.. Κίνηση ΑΒ Μεττόπιση : Δx = x x = 4 m 3 m = m Διάστη : s = ήκος τροχιάς (ΑΒ) = m Ισχύει Δx = s ( συνεχώς θετική φορά ) β. Κίνηση BΓ Μεττόπιση : Δx = x 3 x = m 4 m = 6 m Διάστη : s = ήκος τροχιάς (ΒΓ) = 6 m Ισχύει Δx = s ( συνεχώς ρνητική φορά ) γ. Κίνηση ΑΒΓ Μεττόπιση : Δx 3 = x 3 x = m 3 m = 5 m Διάστη : s 3 = ήκος τροχιάς (ΑΒΓ) = (ΑΒ) + (ΒΓ) = m + 6 m = 7 m Ισχύει Δx 3 < s 3 ( έχουε λλγή φοράς ) δ. Κίνηση ΟΒΟ Μεττόπιση : Δx 4 = x x = = Διάστη : s 4 = ήκος τροχιάς (ΟΒΟ) = (ΟΒ) + (ΒΟ) = 4 m + 4 m = 8 m Ισχύει Δx 4 < s 4 ( έχουε λλγή φοράς ) Δx Γ Ο Α Β Δx - Δ 3 4 x 3 x
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ. Μέση τχύτητ Έν κινητό κινείτι κτά ήκος του άξον x. Το κινητό βρίσκετι στις θέσεις που φίνοντι στον πίνκ τις ντίστοιχες χρονικές στιγές. Θέση O A B O Γ x ( m ) 4-6 t ( s ) 4 8 Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ στη χρονική διάρκει :. Από έως s, β. πό s έως 4 s, γ. πό έως 8 s, δ. πό s έως s. Χρονική διάρκει πό t = έως t = s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x = 4 m x - x 4 m - 4 m m Άρ υ = υ = υ = υ = t - t s - s s β. Χρονική διάρκει πό t = s έως t = 4 s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = 4 m κι x = m x - x m - 4 m 6 m m Άρ υ = υ = υ = υ = 3 t - t 4 s - s s s γ. Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x 3 = x - x 3 - Άρ υ = υ = υ = υ = t - t 8 s - 8 s 3 δ. Χρονική διάρκει πό t = s έως t 4 = s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = 4 m κι x 4 = 6 m x - x 4-6 m - 4 m - m Άρ υ = υ = υ = t - t s - s s 4 m υ = - s Πρτήρηση : Ο υπολογισός φορά στη δινυστική έση τχύτητ. Συνήθως χρησιοποιούε την ριθητική έση τχύτητ. Πράδειγ 3. Μέση τχύτητ Έν κινητό κινείτι κτά ήκος του άξον x. Το κινητό έχει εξίσωση κίνησης Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ στη χρονική διάρκει :. Από έως s, β. πό s έως 5 s.. Χρονική διάρκει πό t = έως t = s Από την εξίσωση κίνησης γι t = έχουε x = - + x = - + x = - m. x - x Άρ υ = t - t - m - - m υ = s - β. Χρονική διάρκει πό t = s έως t = 5 s 8 m m υ = υ = 4 s s Από την εξίσωση κίνησης γι t = s έχουε x = - + x = - + 5 x = 3 m. x = - + t (t σε s, x σε m). x = - m κι γι t = s έχουε x = - m κι γι t = 5 s έχουε
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος x - x 3 m - - m 4 m m Άρ υ = υ = υ = υ = 4 t - t 5 s - s 3 s s Πρτήρηση : Ο υπολογισός φορά στη δινυστική έση τχύτητ. Συνήθως χρησιοποιούε την ριθητική έση τχύτητ. Πράδειγ 4. Μέση τχύτητ Έν υτοκίνητο κινείτι ευθύγρ κι δινύει ορισένη εττόπιση σε ορισένη χρονική διάρκει. Στο πρώτο ισό της συνολικής διάρκεις κινείτι ε τχύτητ υ = 4 m/s κι στο δεύτερο ισό ε τχύτητ υ = 6 m/s. Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ γι ολόκληρη τη διδροή. Θεωρούε ότι Δx είνι η συνολική εττόπιση του κινητού στη συνολική χρονική διάρκει κι Δx, Δx οι εττοπίσεις του κινητού στο πρώτο ισό / κι στο δεύτερο ισό / ντίστοιχ. υ Είνι Δx = υ / Δx = κι Δx υ = υ / Δx = υ υ Η ολική εττόπιση είνι Δx = Δx + Δx Δx = + Δx Η έση τχύτητ είνι υ = υ = 4 m / s + 6 m / s Άρ υ = υ = 5 m/s. Πράδειγ 5. Μέση τχύτητ υ + υ υ + υ υ = υ + υ Δx = Δx = υ + υ υ =. υ + υ Έν υτοκίνητο κινείτι ευθύγρ κι δινύει δύο ίσες διδοχικές εττοπίσεις ε τχύτητες υ = 4 m/s κι υ = 6 m/s ντίστοιχ ε την ίδι φορά. Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ γι ολόκληρη τη διδροή. Θεωρούε ότι Δx είνι η συνολική εττόπιση του κινητού στη συνολική χρονική διάρκει κι Δx/, Δx/ οι εττοπίσεις του κινητού στην πρώτη χρονική διάρκει κι στην δεύτερη χρονική διάρκει ντίστοιχ. Δx Δx, Είνι Δx/ = υ = υ υ υ Δx κι Δx/ = υ = υ Η ολική χρονική διάρκει είνι = + Δx Η έση τχύτητ είνι υ = υ = Δx υ + υ 4 m / s 6 m / s Άρ υ = υ = 48 m/s. 4 m / s + 6 m / s υ υ Δx Δx = + υ υ Δx υ + Δx υ = υυ Δx Δxυ υ υυ υ = υ =. υ + υ Δx υ + υ υ Δx, / Δx/, Δx, t Δx, / Δx/, υ + υ = υ υυ Δx
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 6. Διγράτ Το διάγρ της θέσης ενός σώτος που κινείτι πάνω στον άξον x, σε συνάρτηση ε το χρόνο, φίνετι στο διπλνό σχή. Ν σχεδιστεί το ντίστοιχο διάγρ τχύτητς χρόνου. t (s) Από το διάγρ θέσης χρόνου βλέπουε ότι το σώ εκτελεί τρεις διδοχικές κινήσεις. 4 8 Η πρώτη κίνηση είνι ευθύγρη ολή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t = s = s. Η εττόπιση σ υτή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m Δx = m. Δx m Άρ η έση τχύτητ είνι υ = υ = s υ = m/s Στην δεύτερη φάση το σώ πρένει κίνητο. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t = 4 s s = s. Η εττόπιση σ υτή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m m Δx =. Δx Άρ η έση τχύτητ είνι υ = υ = υ =. s Η τρίτη κίνηση είνι ευθύγρη ολή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι 3 = t 3 t 3 = 8 s 4 s 3 = 4 s. Η εττόπιση σ υτή τη χρονική διάρκει είνι Δx 3 = x 3 x εποένως Δx 3 = m Δx 3 = m. Δx3 - m Άρ η έση τχύτητ είνι υ = 3 υ = υ 3 3 = 5 m/s. 4 s 3 Το ντίστοιχο διάγρ τχύτητς χρόνου φίνετι στο διπλνό σχή. -5 x (m) 4 8 t (s) Πράδειγ 7. Διγράτ Σώ κινείτι πάνω στον άξον x. Η τχύτητά του σε συνάρτηση ε τον χρόνο δίνετι πό το διάγρ του διπλνού σχήτος. Τη χρονική στιγή t = το σώ βρίσκετι στη θέση x =. Α. Ν κτσκευστεί το ντίστοιχο διάγρ θέσης χρόνου. Β. Ν υπολογιστεί η εττόπιση του σώτος πό έως 8 s. Γ. Ν υπολογιστεί το διάστη πό έως 8 s. Δ. Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ στις χρονικές διάρκειες έως 8 s κι έως 4 s. Α. Το εβδόν που περικλείετι ετξύ της γρφικής πράστσης υ t κι του άξον t είνι ριθητικά ίσο ε την ντίστοιχη εττόπιση Δx. Η θέση του σώτος σε οποιδήποτε χρονική στιγή δίνετι πό τη σχέση Δx = x x x = x + Δx. Χρονική διάρκει πό t = έως t = s : Δx = Εβδόν Δx = ( 3 m/s )( s ) Δx = 6 m Άρ x = x + Δx x = + 6 m x = 6 m Χρονική διάρκει πό t = s έως t = 4 s : Δx = Εβδόν Δx = ( 4 s s ) Δx = Άρ x = x + Δx x = 6 m + x = 6 m 3 - t (s) 4 8
. Ευθύγρη κίνηση - 3 - Ππθεοδώρου Γιώργος Χρονική διάρκει πό t = 4 s έως t 3 = 8 s : Δx 3 = Εβδόν Δx 3 = ( m/s )( 8 s 4 s ) Δx 3 = 8 m Άρ x 3 = x + Δx 3 x 3 = 6 m + ( 8 m ) x 3 = m Από τις θέσεις που προσδιορίσε κτσκευάζουε τον πίνκ θέσης χρόνου κι πό υτόν το διάγρ θέσης χρόνου Χρόνος t ( s ) 4 8 Θέση x ( m ) 6 6-6 - t (s) 4 7 8 B. Από τον πρπάνω πίνκ πρτηρούε ότι τις χρονικές στιγές t = κι t 3 = 8 s οι ντίστοιχες θέσεις του σώτος είνι x = κι x 3 = m. Άρ η εττόπιση είνι Δx = x 3 x Δx = m Δx = m. Γ. Το διάστη s είνι ίσο ε το ήκος της τροχιάς που διγράφει το σώ. Θ το υπολογίσουε πό τη σχέση s = Δx + Δx + Δx. Άρ s = 6 m + + - 8 m s = 6 m + + 8 m s = 4 m. 3 Δx Δ. Η έση τχύτητ είνι υ = Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s : = t 3 t = 8 s = 8 s κι Δx = x 3 x Δx = m Δx = m Δx - m m Άρ υ = υ = υ = -,5 8 s s Χρονική διάρκει πό t = έως t = 4 s : = t t = 4 s = 4 s κι Δx = x x Δx = 6 m Δx = 6 m Δx 6 m m Άρ υ = υ = υ = 5 4 s s Πράδειγ 8. Συνάντηση κινητών Δύο πεζοπόροι κινούντι στον ίδιο ευθύγρο δρόο ε στθερές τχύτητες που έχουν έτρ υ = 5 m/s κι υ = 3 m/s ντίστοιχ. Σε κάποι στιγή περνούν πό τις d θέσεις Ο κι Α ντίστοιχ που πέχουν πόστση d = m. υ υ Οι δύο πεζοπόροι κινούντι στην ίδι κτεύθυνση ( Ο Α ). Β Α. Πότε κι που θ συνντηθούν οι δύο πεζοπόροι. Ο Δx Α Β. Ν γίνει κοινό διάγρ πόστσης πό το Ο χρόνου. Δx Α. Θεωρούε σν ρχή του άξον x το σηείο Ο κι ρχή έτρησης χρόνου ότν οι πεζοπόροι είνι στ σηεί Ο κι Α. Οι πεζοπόροι συνντώντι στο σηείο Β τη χρονική στιγή t. Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = ( σηείο O ). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σηείο Β ( θέση x ) κι η εττόπισή του είνι Δx = υ t Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = d ( σηείο A ). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σηείο Β ( θέση x ) κι η εττόπισή του είνι Δx = υ t Αλλά πό το σχή είνι Δx Δx = d κι ε τις σχέσεις κι έχουε : υ t υ t = d ( υ υ )t = d d t = υ - υ m t = 5 m / s - 3 m / s m t = m / s t = 6 s. Από την σχέση έχουε Δx = υ t Δx = ( 5 m/s )6 s Δx = 3 m. Β. Από τ στοιχεί γι την κίνηση των δύο πεζοπόρων κτσκευάζουε το κοινό διάγρ θέσης χρόνου. 3 x (m) ος ος 6 t (s)
. Ευθύγρη κίνηση - 4 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 9. Συνάντηση κινητών Πεζοπόρος νχωρεί πό σηείο Ο ε στθερή τχύτητ υ = 3,6 Km/h κι κτευθύνετι προς σηείο Β. Μετά πό χρόνο τ = 4 s νχωρεί πό το σηείο Β δεύτερος πεζοπόρος κινούενος προς το Ο ε στθερή τχύτητ υ = 5,4 Km/h. Ν υπολογιστούν : Α. Η χρονική στιγή που θ γίνει η συνάντηση κι η πόστση πό το σηείο Ο που θ συνντηθούν οι δύο πεζοπόροι ν η πόστση των δύο σηείων είνι d = 94 m, Β. Ν γίνουν τ διγράτ x = f ( t ) των δύο κινητών σε κοινούς άξονες. Α. Μεττρέπουε τις ονάδες στο σύστη S.I. : υ = 3,6 Km/h = m/s, υ = 5,4 Km/h =,5 m/s Θεωρούε το σηείο Ο σν ρχή του άξον x. Το σηείο Β βρίσκετι στη θέση x = d. Οι πεζοπόροι θ συνντηθούν στο σηείο A που βρίσκετι στη θέση x (πέχει πό το σηείο Ο κτά x), ετά πό χρόνο t πό την νχώρηση του πεζοπόρου Α. Γι τον πεζοπόρο Α ισχύει : Δx = υ t Ο πεζοπόρος Β ξεκινάει ε κθυστέρηση τ πό τη θέση x άρ σε χρόνο (t τ) βρίσκετι στη θέση x, κινούενος ε τχύτητ υ άρ Δx = υ (t τ) Από το σχή είνι Δx + Δx = d κι ε τις σχέσεις κι έχουε : υ t + υ (t τ) = d υ t + υ t υ τ = d d + υt 94 +,5 4 υ t + υ t = d + υ τ t ( υ + υ ) = d + υ τ t = t = t = 4 s. υ + υ +,5 Δx = m/s4 s x = 4 m. Β. Γι τους δύο πεζοπόρους έχουε τ δεδοέν του πρκάτω πίνκ. t ( s ) 4 4 ος x ( m ) 4 ος x ( m ) 94 94 4 Από τον πίνκ κτσκευάζουε το διάγρ θέσης χρόνου γι τους δύο πεζοπόρους Πράδειγ. Κίνηση ενός σώτος Αξοστοιχί ε ήκος χρειάζετι χρόνο t = 5 s γι ν περάσει προστά πό κίνητο πρτηρητή κι χρόνο t = 5 s γι ν περάσει έσ πό τούνελ ήκους = 4 m. Ν υπολογιστούν : Α. Η στθερή τχύτητ ε την οποί κινείτι η ξοστοιχί Β. Το ήκος της. Α. Έστω υ η τχύτητ της ξοστοιχίς. Ο χρόνος που χρειάζετι γι ν περάσει προστά πό τον πρτηρητή Ο x = υ Δx Δx 94 4 A x = ; d x (m) 4 Β Α υ B x =94m 4 t (s) είνι t = = υ t υ + Γι ν περάσει η ξοστοιχί πό το τούνελ χρειάζετι χρόνο t, οπότε έχει εττοπιστεί κτά Δx = +, όπως φίνετι κι στο σχή. Δx + Άρ έχουε : t = t = υ υ
. Ευθύγρη κίνηση - 5 - Ππθεοδώρου Γιώργος Από τις σχέσεις, έχουε : 4 m υ = 5 s - 5 s υ = m/s υ t + t = υ υt = υt + υt - υt = υ = t - t Β. Από την σχέση = m/s5 s = m. Ευθύγρη ολά ετβλλόενη κίνηση Πράδειγ. Κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ Έν κινητό ξεκινάει τη χρονική στιγή t = χωρίς ρχική τχύτητ κι κινείτι σε ευθύγρο δρόο ε επιτάχυνση = 4 m/s. Α. Ν βρεθεί η θέση κι η τχύτητ του κινητού τη χρονική στιγή t = 4 s. Β. Που θ βρίσκετι το κινητό τη στιγή που η τχύτητά του είνι υ = m/s. Θεωρούε σν ρχή του άξον το σηείο πό το οποίο ξεκινάει το κινητό. Την χρονική στιγή t = είνι x = κι υ =. O Α. Η θέση του κινητού δίνετι πό την x = t x = 4 m / s 4 s x = 3 m. Η τχύτητ του κινητού δίνετι πό τη σχέση υ = t υ = (4 m/s )(4 s) υ = 6 m/s. υ m / s Β. Από την σχέση υ = t t = t = t = 5 s. Η θέση του κινητού δίνετι πό την 4 m / s x = x = 5 m. 4 m / s 5 s x = t x Πράδειγ. Κίνηση ε ρχική τχύτητ Έν κινητό κινείτι σε ευθύ δρόο ε επιτάχυνση = m/s. Τη χρονική στιγή t = περνάει προστά πό τη θέση x = ε τχύτητ υ = 6 m/s. Α. Ν βρεθεί η θέση κι η τχύτητ του κινητού τη χρονική στιγή t = 5 s. Β. Ν βρεθεί η τχύτητ του κινητού ότν βρίσκετι στη θέση x = 6 m. Θεωρούε σν ρχή του άξον το σηείο πό το οποίο περνάει το κινητό την χρονική στιγή t =. Είνι x = κι υ = 6 m/s. Α. Η θέση του κινητού δίνετι πό την x = υ t + t x = 6 m / s5 s + m / s 5 s x = 55 m. Η τχύτητ του κινητού είνι : υ = υ + t υ = 6 m/s + ( m/s )(5 s) υ = 6 m/s. Β. Από την εξίσωση x = υ t + t ντικθιστώντς έχουε 6 = 6t + t t + 6t 6 =. Η εξίσωση είνι δευτέρου βθού. Οι λύσεις της είνι : t = - 6 ± 6-4 - 6-6 ± t = - 6 ± t = t = s ή t = 8 s. Η λύση t = 8 s πορρίπτετι. Άρ t = s. Αν ντικτστήσουε στην εξίσωση της τχύτητς έχουε υ = υ + t υ = 6 m/s + ( m/s )( s) υ = m/s.
. Ευθύγρη κίνηση - 6 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 3. Επιβρδυνόενη κίνηση Έν υτοκίνητο κινείτι σε ευθύ δρόο. Τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = ε τχύτητ υ = m/s κι στθερή επιτάχυνση = 5 m/s. Α. Ν υπολογιστεί σε ποι χρονική στιγή θ ηδενιστεί η τχύτητά του. Β. Ν υπολογιστεί σε ποι θέση θ ηδενιστεί η τχύτητά του. Την χρονική στιγή t = είνι x = κι υ = m/s. Α. Η τχύτητ του υτοκινήτου δίνετι πό την σχέση υ = υ + t. Ότν το υτοκίνητο σττήσει η τχύτητά του είνι ίση ε ηδέν ( υ = ). Από την εξίσωση υ = υ + t γι υ = έχουε = υ + t υ t = υ t = -. m / s Η ριθητική εφρογή δίνει t = - t = 4 s. - 5 m / s Β. Η θέση του υτοκινήτου δίνετι πό την σχέση x = υ t + t. Αντικθιστώντς την τιή χρόνου υ υ x = - + υ υ x = - + υ x = -. υ t = - m / s Η ριθητική εφρογή δίνει x = - - 5 m / s Πρτήρηση Οι σχέσεις υ t = - κι έχουε 4 m / s x = - - m / s υ υ x = υ - + - x = 4 m υ υ x = - + υ x = - δίνουν την χρονική στιγή κι την θέση ενός σώτος που εκτελεί ευθύγρη ολά επιβρδυνόενη κίνηση την στιγή που ηδενίζετι η τχύτητά του. Ν χρησιοποιούντι πάντ φού πρώτ τις ποδείξετε. Αν χρησιοποιήσουε την πόλυτη τιή της επιτάχυνσης οι σχέσεις πορούν ν γρφούν : υ t = κι υ x =. Πράδειγ 4. Επιτχυνόενη κίνηση Κινητό κινείτι ευθύγρ ε επιτάχυνση = 5 m/s κι περνάει πό έν σηείο Ο της τροχιάς του ε τχύτητ υ = m/s. Μετά πό πόσο χρόνο κι σε ποι πόστση πό το σηείο Ο η τχύτητ του κινητού θ έχει πεντπλσιστεί. Θεωρούε σν ρχή του άξον x = το σηείο πό το οποίο περνάει το κινητό την χρονική στιγή t = ε υ. Σε χρόνο t η τχύτητ του κινητού θ είνι υ = 5υ υ = 5 m/s υ = m/s. Είνι υ = υ + t t = υ - υ Η θέση του κινητού είνι : x = υ υ - υ t = t + t m / s - m / s t = 5 m / s t = 6 s. x = 96 m. x = m / s 6 s + 5 m / s 6 s Ο υ υ = 5υ x
. Ευθύγρη κίνηση - 7 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 5. Πολλές κινήσεις Έν λεωφορείο ξεκινάει πό κάποιο στθό πό την ηρεί κι επιτχύνετι ε στθερή επιτάχυνση = m/s γι χρόνο = s. Στη συνέχει κινείτι ε την τχύτητ που πέκτησε γι χρόνο = s κι ετά επιβρδύνετι ε επιτάχυνση 3 = 4 m/s έχρι ν σττήσει στον επόενο στθό. Α. Ν υπολογιστεί η διάρκει της κίνησης του λεωφορείου. Β. Ν υπολογιστεί η ολική πόστση που κάλυψε το λεωφορείο. Γ. Ν γίνουν τ διγράτ επιτάχυνσης χρόνου, τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου. Α. Κίνηση ευθύγρη ολά επιτχυνόενη : Θεωρούε ότι το λεωφορείο ξεκινάει την χρονική στιγή t = πό την θέση x =. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t t = t + t = + s t = s. Η τχύτητ που έχει το κινητό στο τέλος του δέκτου δευτερολέπτου είνι υ = υ + υ = + ( m/s )( s) υ = m/s. Η εττόπιση είνι : Δx = υ + x - x = υ + x = x + υ + x = + s + m / s s x = m. Κίνηση ευθύγρη ολή : Το λεωφορείο κινείτι ε την τχύτητ υ που πέκτησε. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t t = t + t = s + s t = s. Η εττόπιση είνι Δx = υ x x = υ x = x + υ x = m + ( m/s)( s) x = 3 m (To x είνι η θέση του κινητού). Κίνηση ευθύγρη ολά επιβρδυνόενη : Το λεωφορείο έχει τχύτητ υ = m/s κι την χρονική στιγή t = s βρίσκετι στην θέση x = 3 m κι ρχίζει ν επιβρδύνετι ε στθερή επιβράδυνση 3 = 4 m/s. υ Η χρονική διάρκει γι ν σττήσει δίνετι πό την σχέση = - (πράδειγ 3) άρ 3 m / s = - 3-4 m / s 3 = 5 s. Η χρονική στιγή που σττάει υπολογίζετι πό την 3 = t 3 t t 3 = t + 3 t 3 = s + 5 s t 3 = 5 s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι ολ = t 3 t ολ = 5 s ολ = 5 s. Β. Η εττόπιση είνι : Δx = υ + x - x = υ + x = x + υ + 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x = 3 m + m / s5 s + - 4 m / s 5 s x 3 3 = 35 m. Η ολική πόστση που κάλυψε το λεωφορείο είνι ίση ε την ολική εττόπιση φού δεν έχουε λλγή στην κτεύθυνση της κίνησης, άρ s = Δx ολ s = x 3 x s = 35 m s = 35 m Γ. Από τ ποτελέστ γι τις διάφορες χρονικές στιγές έχουε τ πρκάτω διγράτ -4 (m/s ) 5 Διάγρ - t 5 Διάγρ υ - t 35 3 5 Διάγρ x - t
. Ευθύγρη κίνηση - 8 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 6. Πολλές κινήσεις Δροές των m πορεί ν νπτύξει έγιστη επιτάχυνση = 5 m/s κι έγιστη τχύτητ υ = m/s. Αν η επιτάχυνση θεωρηθεί στθερή έχρι ν ποκτήσει ο δροές την έγιστη τχύτητ, ν υπολογιστεί το ρεκόρ του δροέ. Ο δροές θ κινηθεί ε την στθερή επιτάχυνση έχρι ν ποκτήσει την έγιστη τχύτητ υ. Μέχρι τότε θ έχει εττοπιστεί κτά Δx. Την υπόλοιπη εττόπιση ( Δx Δx ) θ την δινύσει ε την έγιστη τχύτητ υ. Α Β υ Γ Γι το πρώτο τή της κίνησης ισχύει : υ = υ m / s = =,4 s κι 5 m / s Δx = 5 m / s,4 s Δx = m. = Δx = Άρ δινύει s = Δx Δx = m m = 98 m ε στθερή τχύτητ υ = m/s. Ισχύει s = υ = υ 98 m = = 9,8 s. m / s Ο χρόνος κίνησης είνι : = + =.4 s + 9.8 s =, s. Πράδειγ 7. Χρόνος ντίδρσης οδηγού Ο χρόνος ντίδρσης ενός οδηγού είνι t =,7 s (ο χρόνος ντίδρσης είνι η χρονική διάρκει που εσολβεί πό την χρονική στιγή που θ ντιληφθούε έν επόδιο, έχρι τη χρονική στιγή που θ πτήσουε το φρένο). Αν η ρχική τχύτητ του υτοκινήτου είνι υ = m/s κι η επιτάχυνση που ποκτά ε το φρένο είνι = 5 m/s : A. Ν υπολογιστεί η ολική πόστση που θ δινύσει το υτοκίνητο έχρι ν σττήσει. B. Ν γίνει το διάγρ τχύτητς χρόνου. Δx Δx Δx Δx = m A. Η κίνηση του υτοκινήτου γίνετι σε δύο φάσεις. Στην πρώτη το υτοκίνητο εκτελεί ευθύγρη ολή κίνηση κι στην δεύτερη ευθύγρη ολά επιβρδυνόενη έχρι ν σττήσει. ευθύγρη ολή κίνηση Γι χρόνο t =,7 s ( χρόνος ντίδρσης ) το υτοκίνητο κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = m/s κι εττοπίζετι κτά Δx = υ t Δx = ( m/s )(,7 s ) Δx = 4 m. ευθύγρη ολά επιβρδυνόενη κίνηση Το υτοκίνητο κάνει ευθύγρη ολά επιβρδυνόενη κίνηση έχρι ν σττήσει. Σύφων ε το πράδειγ 3 ο χρόνος γι ν σττήσει το υτοκίνητο υ m / s είνι : t = - t = - t - 5 m / s = 4 s. Το υτοκίνητο στο χρόνο υτό εττοπίζετι κτά Δx = υ t + t Δx = m / s 4 s + - 5 m / s 4s Δx = 8 m 4 m Δx = 4 m. Άρ η συνολική εττόπιση του υτοκινήτου είνι Δx = Δx + Δx Δx = 4 m + 4 m Δx = 54 m. s B. Ο συνολικός χρόνος κίνησης είνι t = t + t t =,7 s + 4 s t = 4,7 s Από τ προηγούεν ποτελέστ κτσκευάζουε το διπλνό διάγρ τχύτητς χρόνου,7 4,7
. Ευθύγρη κίνηση - 9 - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 8. Διγράτ Έν υτοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Το διάγρ της επιτάχυνσης του υτοκινήτου σε συνάρτηση ε τον χρόνο είνι στο διπλνό σχή. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράτ τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου ν την χρονική στιγή t = είνι υ = 4 m/s κι x = 4 m. Δικρίνουε τρεις φάσεις στην κίνηση του σώτος. Κίνηση ε στθερή επιτάχυνση 3 m/s Το κινητό τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = 4 m κι έχει τχύτητ υ = 4 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t = 4 s = 4 s. Η επιτάχυνση είνι = 3 m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγή t = 4 s είνι υ = υ + υ = 4 m/s + ( 3 m/s )( 4 s ) υ = 6 m/s. Η εττόπιση του σώτος δίνετι πό την σχέση Δx = υ + Δx = 4 m / s4 s + 3 m / s 4 s Δx = 4 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 4 m + 4 m x = 8 m. Κίνηση χωρίς επιτάχυνση Το κινητό τη χρονική στιγή t = 4 s βρίσκετι στη θέση x = 8 m κι έχει στθερή τχύτητ υ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι = t t = 8 s 4 s = 4 s. Η εττόπιση του σώτος δίνετι πό την σχέση Δx = υ Δx = 6 m / s 4 s Δx = 64 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 8 m + 64 m x = 44 m. Κίνηση ε στθερή επιτάχυνση m/s Το κινητό τη χρονική στιγή t = 8 s βρίσκετι στη θέση x = 44 m κι έχει τχύτητ υ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι 3 = t 3 t 3 = 6 s 8 s 3 = 8 s. Η επιτάχυνση είνι 3 = m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγή t 3 = 6 s είνι υ 3 = υ + 3 3 υ 3 = 6 m/s + ( m/s )( 8 s ) υ 3 =. Η εττόπιση του σώτος δίνετι πό την σχέση Δx = υ + 3 3 3 3 Δx = 6 m / s8 s + - m / s 8 s Δx 3 3 = 64 m. Είνι Δx 3 = x 3 x x 3 = x + Δx 3 x 3 = 44 m + 64 m x 3 = 8 m. Από τ ποτελέστ υτά έχουε τον πρκάτω πίνκ (m/s ) Χρόνος t = t = 4 s t = 8 s t 3 = 6 s Τχύτητ υ = 4 m/s υ = 6 m/s υ = 6 m/s υ 3 = Θέση x = 4 m x = 8 m x = 44 m x 3 = 8 m 3-4 8 6 Από τον πίνκ κτσκευάζουε τ διγράτ 6 4 4 8 6 Διάγρ υ - t 8 44 8 4 4 8 6 Διάγρ x - t
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος Πράδειγ 9. Διγράτ Κινητό κινείτι ευθύγρ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σε συνάρτηση ε το χρόνο φίνετι στο σχή. Ν γίνουν τ ντίστοιχ διγράτ της επιτάχυνσης κι της θέσης ε το χρόνο. Την χρονική στιγή t = η ρχική θέση του κινητού είνι x = κι η ρχική τχύτητ υ = 5 m/s. Από το διάγρ προκύπτει ότι το κινητό εκτελεί : Από t = έως t = s ευθύγρ ολά επιτχυνόενη κίνηση ε ρχική τχύτητ υ = 5 m/s κι τελική υ = m/s. Δυ υ - υ m / s - 5 m / s Είνι = = = =,5 m/s. t - t s - m m Η εττόπιση του κινητού είνι Δx = υ + Δx = 5 s +,5 s Δx = 5 m. s s Είνι Δx = x x x = x + Δx x = + 5 m x = 5 m. Από t = s έως t = 6 s ευθύγρ ολά επιβρδυνόενη κίνηση ε ρχική τχύτητ υ = m/s κι τελική υ =. Δυ υ - υ - m / s Είνι = = = = -,5 m/s. t - t 6 s - s Η εττόπιση του κινητού είνι : Δx = υ + Δx = m / s 4 s + -,5 m / s 4 s Δx = 4 m m Δx = m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 5 m + m x = 35 m. Η επιτάχυνση πό έως s είνι στθερή ίση ε =,5 m/s, ενώ πό s έως 6 s είνι στθερή ίση ε = -,5 m/s. Οι θέσεις του κινητού είνι : Την t = είνι x =, την t = s είνι x = 5 m την t = 6 s είνι x = 35 m. Τ ντίστοιχ διγράτ επιτάχυνσης χρόνου κι θέσης χρόνου είνι : 5 6,5 (m/s ) 35 -,5 6 5 6 Πράδειγ. Συνάντηση κινητών Μοτοσικλετιστής είνι σττηένος προστά σε κόκκινο σητοδότη. Ότν ο σητοδότης γίνει πράσινος ο οτοσικλετιστής ξεκινάει ε επιτάχυνση = 5 m/s, ενώ τυτόχρον έν υτοκίνητο περνάει προστά πό τον σητοδότη κινούενο ε στθερή τχύτητ υ = m/s. Ν υπολογιστούν : A. Μετά πό πόσο χρόνο ο οτοσικλετιστής θ φτάσει το υτοκίνητο, B. Σε πόση πόστση πό το σητοδότη θ γίνει η συνάντηση, Γ. Ποι τχύτητ θ έχει τότε ο οτοσικλετιστής. Α. Τη χρονική στιγή t = τ κινητά βρίσκοντι στη θέση x =. Έστω ότι η συνάντηση θ γίνει τη χρονική στιγή t στη θέση x (δηλδή σε πόστση x πό το σητοδότη). Γι το υτοκίνητο (το οποίο
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος κάνει ευθύγρη ολή κίνηση ) ισχύει : x = υt Γι τον οτοσικλετιστή (ο οποίος κάνει ευθύγρη ολά επιτχυνόενη κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ ) ισχύει : x = t Εξισώνοντς τις σχέσεις κι έχουε : t = υ t t = ή υ υ m / s t =. Η λύση t = είνι η ρχική θέση, άρ t = t = 5 m / s Β. Γι την πόστση x πό τη σχέση x = m/s8 s x = 6 m. Γ. Η τχύτητ του οτοσικλετιστή δίνετι πό την σχέση : υ = t υ = (5 m/s )(8 s) υ = 4 m/s. t = 8 s. πρτήρηση : Ότν ο οτοσικλετιστής φτάνει το υτοκίνητο έχει τχύτητ υ = υ. υ υ Ο χρόνος συνάντησης είνι t =. Η τχύτητ του οτοσικλετιστή είνι υ = t ή υ = υ x, t υ = υ. Πράδειγ. Συνάντηση κινητών Μι οτοσυκλέτ κι έν υτοκίνητο βρίσκοντι σε ρχική πόστση d = 5 m πάνω σε ευθύγρο δρόο κι ρχικά ηρεούν. Τ οχήτ ξεκινούν τυτόχρον κι κινούντι στην ίδι κτεύθυνση. Η οτοσυκλέτ έχει επιτάχυνση = 4 m/s κι το υτοκίνητο = m/s. Ποι χρονική στιγή κι σε ποι θέση η οτοσυκλέτ θ φθάσει το υτοκίνητο. Θεωρούε σν ρχή του άξον x την θέση της οτοσυκλέτς την χρονική στιγή t =. Μοτοσυκλέτ Τη χρονική στιγή t = η οτοσυκλέτ είνι στη θέση x = ε τχύτητ υ = κι επιτάχυνση = 4 m/s. Η θέση της οτοσυκλέτς δίνετι πό τη σχέση Δx = t. Αυτοκίνητο Τη χρονική στιγή t = το υτοκίνητο βρίσκετι στη θέση x = d ε τχύτητ υ = κι επιτάχυνση = m/s. Η εττόπιση του υτοκινήτου δίνετι πό τη σχέση Δx = t. Τη στιγή t της συνάντησης είνι Δx Δx = d t t = d - t = d d t = - t = Γι τη θέση έχουε Δx = t d - 5 m t = 4 m / s - m / s t = s. x - x = 4 m / s s Πράδειγ. Κίνηση σε κάποιο δευτερόλεπτο ε x = άρ x = m. Έν υτοκίνητο κινείτι σε ευθύ δρόο ε στθερή επιτάχυνση = m/s. Τη χρονική στιγή t = το υτοκίνητο έχει ρχική τχύτητ υ = m/s. Πόση πόστση δινύει το υτοκίνητο στη διάρκει του έκτου δευτερόλεπτου της κίνησής του. Το έκτο δευτερόλεπτο της κίνησης είνι η χρονική διάρκει πό t = 5 s έως t = 6 s. d Δx Δx x
. Ευθύγρη κίνηση - - Ππθεοδώρου Γιώργος Η εττόπιση του υτοκινήτου δίνετι πό τη σχέση Δx = υ t + t άρ Δx = υ t + t Δx = m / s5 s + m / s 5 s Δx = 75 m. Δx = υ t + t Δx = m / s6 s + m / s 6 s Δx = 96 m. Άρ Δx = Δx Δx Δx = 96 m 75 m Δx = m.. Ευθύγρη ολή κίνηση.. Έν κινητό κινείτι κτά ήκος του άξον x κι έχει τις πρκάτω θέσεις σε διάφορες χρονικές στιγές t ( s ) 5 5 x( m ) 4 Ν υπολογιστεί η τιή της έσης δινυστικής τχύτητς :. Από έως 5 s, β. πό 5 έως s, γ. πό έως 5 s, δ. πό έως s. [ Απάντηση :. υ = 6 m/s, β. υ = 4 m/s, γ. υ =, δ. υ =,5 m/s ].. Έν υτοκίνητο κινείτι σε ευθύγρο δρόο κι δινύει ορισένη εττόπιση σε ορισένο χρόνο. Κτά τη διάρκει του ισού χρόνου κίνησης το υτοκίνητο κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = 6 Km/h κι κτά τη διάρκει του υπόλοιπου ισού χρόνου κίνησης κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = Km/h. Αν η συνολική διάρκει της κίνησης είνι t = 4 h, ν υπολογιστούν :. Οι εττοπίσεις του υτοκινήτου σε κάθε κίνηση β. Η συνολική εττόπιση του υτοκινήτου γ. Η έση τχύτητ σε όλη τη διδροή. [ Απάντηση :. x = Km, x = Km, β. x = 3 Km, γ. υ = 8 Km/h ] 3.. Έν υτοκίνητο κινείτι σε ευθύγρο δρόο κι δινύει ορισένη εττόπιση. Το υτοκίνητο δινύει τη ισή εττόπιση ε στθερή τχύτητ υ = m/s τη δε υπόλοιπη εττόπιση ε στθερή τχύτητ υ = 3 m/s. Αν η συνολική εττόπιση είνι Δx = m, ν υπολογιστούν :. Οι χρόνοι κίνησης του υτοκινήτου σε κάθε κίνηση β. Η έση τχύτητ σε όλη τη διδροή. [ Απάντηση :. t = 3 s, t = s, β. υ = 4 m/s ] 4.. Έν κινητό κινείτι στον άξον x. Η εξίσωση κίνησης του σώτος είνι : x = t + t (S.I.). Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ του σώτος στη χρονική διάρκει πό s έως 3 s. [ Απάντηση : υ = 6 m/s ] 5.. Ν βρείτε σε κάθε περίπτωση τη έση δινυστική τχύτητ :. Έν πιδί τρέχει σε ευθύγρο δρόο γι t = min ε τχύτητ υ = 5 m/s κι στη συνέχει περπτάει γι t = min σε ντίθετη φορά ε τχύτητ υ = m/s. β. Έν πιδί τρέχει σε ευθύγρο δρόο κι εττοπίζετι κτά Δx = m ε τχύτητ υ = 5 m/s κι στη συνέχει περπτάει κι εττοπίζετι κτά Δx = 4 m σε ντίθετη φορά ε τχύτητ υ = m/s. γ. Έν πιδί τρέχει σε ευθύγρο δρόο κτά ήκος του άξον x κι εττοπίζετι κτά Δx = m ε τχύτητ υ = 4 m/s κι στη συνέχει επιστρέφει στην ρχική θέση περπτώντς ε τχύτητ υ = m/s. [ Απάντηση :. υ = 3 m/s, β. υ = m/s, γ. υ = ]
. Ευθύγρη κίνηση - 3 - Ππθεοδώρου Γιώργος 6.. Έν υτοκίνητο πρέπει ν δινύσει εττόπιση Δx = 4 Km σε χρόνο = 5 h. Αρχικά εττοπίζετι κτά Δx = Km ε τχύτητ υ = 5 Km/h. Με ποι τχύτητ πρέπει ν δινύσει την υπόλοιπη εττόπιση. [ Απάντηση : υ = Km/h ] 7.. Έν κινητό δινύει την ισή εττόπιση ε τχύτητ υ = 6 Km/h κι την άλλη ισή εττόπιση ε τχύτητ υ = 4 Km/h. Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ του κινητού γι ολόκληρη την εττόπιση. [ Απάντηση : υ = 48 Km/h ] 8.. Αυτοκίνητο κινείτι σε ευθύγρο δρόο ε τχύτητ υ = m/s κι εττοπίζετι κτά Δx = m κι στη συνέχει ε τχύτητ υ = m/s εττοπίζετι κτά Δx. Αν ο χρόνος κίνησης του υτοκίνητου γι ολόκληρη την διδροή είνι = 5 s ν υπολογιστούν :. Οι χρόνοι κίνησης του υτοκινήτου σε κάθε κίνηση β. Η εττόπιση Δx γ. Η έση τχύτητ του υτοκίνητου. [ Απάντηση :. = s, = 4 s, β. Δx = 4 m, γ. υ = m/s ] 9.. Το διάγρ x t δείχνει την κίνηση ενός σώτος πάνω σε ι ευθεί.. Ποι είνι η έση τχύτητ σε κάθε φάση της διδροής. β. Ποι είνι η έση τχύτητ πό : Ι) έως 8 s, ΙΙ) έως 6 s. γ. Ποι είνι η στιγιί τχύτητ τις χρονικές στιγές : t =,5 s, t =,5 s, t 3 = 3 s κι t 4 = 7 s. δ. Ν κτσκευστεί το ντίστοιχο διάγρ υ t. ε. Σε ποι χρονικά διστήτ το σώ : Ι) είνι κίνητο, ΙΙ) κινείτι προς τ δεξιά, ΙΙΙ) κινείτι προς τ ριστερά. στ. Σε ποιες χρονικές στιγές περνάει πό την ρχή του άξον κι σε ποι χρονικά διστήτ βρίσκετι στον θετικό κι σε ποι στον ρνητικό ηιάξον. [ Απάντηση :. υ = 4 m/s, υ =, υ 3 = m/s, υ 4 =, υ 5 = m/s ] 4-4 5 6 8.. Η θέση δύο σωάτων Α κι Β που κινούντι πάνω στον άξον x σε συνάρτηση ε τον χρόνο φίνετι στο σχή.. Ποιο σώ κινείτι προς τ δεξιά κι ποιο προς τ ριστερά. β. Ποιο πό τ δύο σώτ έχει τχύτητ εγλύτερου έτρου. γ. Ποι χρονική στιγή τ δύο σώτ διστυρώνοντι κι σε ποι θέση. δ. Ποι χρονική στιγή το σώ Β περνάει πό την ρχή του άξον x. ε. Ποι είνι η εξίσωση κίνησης του κάθε σώτος. [ Απάντηση : ε. x = t, x = t το t σε s κι το x σε m ] 4 B A 4 6.. Το διάγρ της θέσης ενός σώτος που κινείτι πάνω στον άξον x σε συνάρτηση ε τον χρόνο φίνετι στο σχή.. Ν σχεδιστεί το ντίστοιχο διάγρ τχύτητς χρόνου. β. Ποι είνι η εττόπιση του σώτος πό t = έως t = 4 s. γ. Ποι είνι η εττόπιση του σώτος πό t = έως t = s. δ. Ποι είνι η έση δινυστική τχύτητ κι ποι η έση ριθητική τχύτητ του σώτος γι τη χρονική διάρκει πό t = έως t = s. 8-4 4 5 8.. Έν κινητό κινείτι σε ευθύγρο δρόο όπως φίνετι στο σχή.. Σε ποι χρονικά διστήτ το κινητό : Ι) ηρεεί, ΙΙ) κινείτι ε θετική φορά, ΙΙΙ) κινείτι ε ρνητική φορά. β. Ν υπολογιστεί η συνολική εττόπιση κι το συνολικό διάστη. γ. Ποι είνι η έση τχύτητ στη χρονική διάρκει έως 8 s. 4-4 6 8 t (s)
. Ευθύγρη κίνηση - 4 - Ππθεοδώρου Γιώργος δ. Αν τη χρονική στιγή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x = 4 m, ν βρεθεί η θέση του κινητού τη χρονική στιγή t = 7 s. ε. Ν σχεδιστεί το ντίστοιχο διάγρ θέσης χρόνου. [ Απάντηση : β. Δx = 4 m, s = m, γ. υ =,5 m/s, δ. x = m ] 3.. Κινητό εκτελεί ευθύγρη κίνηση στην οποί το διάγρ θέσης σε συνάρτηση ε τον χρόνο φίνετι στο σχή.. Σε ποιους χρόνους το κινητό κινείτι κτά τη θετική φορά του άξον κι σε ποιους κτά την ρνητική φορά β. Ν βρεθεί η εττόπιση του κινητού γ. Ν βρεθεί το διάστη που διήνυσε το κινητό. [ Απάντηση : Δx =, s = m ] 4.. Κινητό εκτελεί ευθύγρη κίνηση στην οποί το διάγρ της τχύτητς σε συνάρτηση ε το χρόνο φίνετι στο σχή.. Ν γίνει το διάγρ της θέσης σε συνάρτηση ε το χρόνο ν την t = είνι x = m. β. Ν υπολογιστεί η εττόπιση κι το διάστη που διάνυσε το κινητό γ. Ν υπολογιστεί η έση τχύτητ του κινητού πό έως 4 s. [ Απάντηση : β. Δx =, s = 4 m, γ. υ = 5 m/s ] 5.. Στο διάγρ του σχήτος φίνετι η γρφική πράστση x = f(t) γι έν κινητό που κινείτι ευθύγρ.. Ποι είνι η τιή της τχύτητς τις χρονικές στιγές t = 5 s κι t = 8 s. β. Ν βρεθεί η εττόπιση του κινητού πό την t = s έως την t = s γ. Ν γίνει το ντίστοιχο διάγρ υ = f(t). [ Απάντηση :. υ =, υ = m/s, β. Δx = m ] 6.. Μοτοσικλετιστής κινείτι σε ευθύγρο δρόο ε στθερή τχύτητ έτρου υ Μ = m/s. Έν περιπολικό ρχίζει ν κτδιώκει ε τχύτητ έτρου υ π = 3 m/s το οτοσικλετιστή τη στιγή t = που βρίσκετι σε πόστση d = 5 m πίσω πό το οτοσικλετιστή.. Σε ποι χρονική στιγή κι σε ποι πόστση πό την ρχική του θέση το περιπολικό θ φθάσει τον οτοσικλετιστή. β. Ν σχεδιστεί το διάγρ θέσης χρόνου γι τ δύο σώτ. [ Απάντηση :. t = 5 s, x = 5 m ] 7.. Δυο κινητά νχωρούν τυτόχρον πό δυο σηεί Α κι Γ ις ευθείς ε στθερές τχύτητες υ = 4 m/s κι υ = 6 m/s ντίστοιχ. Το τή ΑΓ έχει ήκος ΑΓ = 8 m. Ν βρεθεί σε πόσο χρόνο κι που θ συνντηθούν τ κινητά ν :. κινούντι οόρροπ στην κτεύθυνση Α Γ β. κινούντι ντίρροπ πλησιάζοντς το έν το άλλο. [ Απάντηση :. t = s, x = 4 m κι β. t = s, x = 48 m ] 8.. Δυο υτοκίνητ νχωρούν τυτόχρον πό τις πόλεις Α κι Β κι κινούντι το έν προς το άλλο ε τχύτητες υ = 7 Km/h κι υ = 8 Km/h ντίστοιχ. Αν η συνάντηση τους γίνει σε σηείο Γ που πέχει πό την πόλη Α πόστση x = Km ν υπολογιστούν :. Ο χρόνος συνάντησης των δυο υτοκίνητων κι β. Η πόστση d των δυο πόλεων. [ Απάντηση :. t = s, β. d = 5 Km ] 9.. Δυο κινητά βρίσκοντι στ σηεί Α κι Β ις ευθείς κι πέχουν πόστση d = m. Τ δυο κινητά ξεκινούν τυτόχρον κι κινούντι οόρροπ ε στθερές τχύτητες υ = 4 m/s κι υ = m/s ντίστοιχ. Σε πόσο χρόνο τ δυο κινητά. θ συνντηθούν 5-5 4-5 3 4 5 4 8 t (s) 4 6
. Ευθύγρη κίνηση - 5 - Ππθεοδώρου Γιώργος β. θ πέχουν πάλι πόστση d. [ Απάντηση:. t = 4 s, β. t = 8 s ].. Ένς πεζοπόρος ξεκινάει τη χρονική στιγή t = πό ι πόλη Α κι κινείτι ε στθερή τχύτητ έτρου υ = 4,5 Km/h. Την ίδι χρονική στιγή ξεκινάει ένς δεύτερος πεζοπόρος πό ι άλλη πόλη Β κι κινείτι ε στθερή τχύτητ έτρου υ =,5 Km/h. Οι πεζοπόροι κινούντι ο ένς προς τον άλλο. Οι πόλεις πέχουν d = 4 Km.. Πότε κι σε ποι πόστση πό την πόλη Α θ συνντηθούν. β. Ν σχεδιστεί διάγρ θέσης χρόνου γι τους δύο πεζοπόρους. [ Απάντηση :. t = h, x = 9 Km ].. Ένς πεζοπόρος ξεκινάει τη χρονική στιγή t = πό ι πόλη Α κι κινείτι ε στθερή τχύτητ έτρου υ = 4 Km/h. Ένς δεύτερος πεζοπόρος ξεκινάει πό ι άλλη πόλη Β ισή ώρ ετά το ξεκίνη του πρώτου πεζοπόρου κι κινείτι ε στθερή τχύτητ έτρου υ = 6 Km/h. Οι πεζοπόροι κινούντι ο ένς προς τον άλλο. Οι πόλεις πέχουν d = Km.. Πότε κι σε ποι πόστση πό την πόλη Α θ συνντηθούν. β. Ν σχεδιστεί διάγρ θέσης χρόνου γι τους δύο πεζοπόρους. [ Απάντηση :. t =,5 h, x = Km ]. Ευθύγρη ολά ετβλλόενη κίνηση.. Τέσσερ κινητά Α, Β, Γ, Δ κινούντι πάνω στον άξον x. Τις χρονικές στιγές t = s κι t = 4 s οι τχύτητες των κινητών είνι : Κινητό Α : υ = m/s, υ = 4 m/s, κινητό Β : υ = 4 m/s, υ = m/s, κινητό Γ : υ = m/s, υ = 5 m/s κι κινητό Δ : υ = 5 m/s, υ = m/s. Ν βρεθεί η έση επιτάχυνση κάθε κινητού. [ Απάντηση : = m/s, = m/s, 3 = m/s, 4 = m/s ] 3.. Η τχύτητ ενός ντικειένου σε συνάρτηση ε τον χρόνο δίνετι πό την σχέση υ = + βt (S.I.), όπου = m/s κι β = m/s 3. Ν βρεθεί η έση επιτάχυνση του ντικειένου πό έως 4 s. [ Απάντηση : = 8 m/s ] 4.. Έν υτοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεί. Τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x =. Τη χρονική στιγή t = s έχει τχύτητ υ = 5 m/s. Ν υπολογιστεί η επιτάχυνση κι η θέση του υτοκινήτου τη χρονική στιγή t = s. [ Απάντηση : =,5 m/s, x = 5 m ] 5.. Έν εροπλάνο ετκινήθηκε κτά Δx = 8 m στο διάδροο πριν πογειωθεί. Αν ξεκίνησε πό την ηρεί, κινήθηκε ε στθερή επιτάχυνση κι πογειώθηκε σε χρόνο t = s ν υπολογιστούν :. Η επιτάχυνση β. Η τχύτητ τη στιγή της πογείωσης. [ Απάντηση :. = 4 m/s, β. υ = 8 m/s ] 6.. Έν σώ κινείτι ε στθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = κι έχει τχύτητ υ =. Τη χρονική στιγή που βρίσκετι στη θέση x = 3 m έχει τχύτητ υ = 8 m/s. Ν υπολογιστούν :. Η επιτάχυνση β. Η χρονική στιγή στην οποί βρίσκετι στη θέση x = 3 m [ Απάντηση :. = m/s, β. t = 8 s] 7.. Έν σώ κινείτι ε στθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ υ = 3 m/s. Τη χρονική στιγή t = 6 s βρίσκετι στη θέση x = m. Ν υπολογιστούν :. Η επιτάχυνση β. Η θέση του τη χρονική στιγή t = 4 s
. Ευθύγρη κίνηση - 6 - Ππθεοδώρου Γιώργος [ Απάντηση :. = 5 m/s, β. x = 9 m ] 8.. Έν σώ κινείτι ε στθερή επιτάχυνση = 3 m/s. Τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = ε τχύτητ υ = m/s. Σε ποι χρονική στιγή θ βρίσκετι στη θέση x = 56 m κι ποι τχύτητ θ έχει τότε. [ Απάντηση : t = 4 s, υ = 8 m/s ή t = 8 3 s, υ = 8 m/s ] 9.. Αυτοκίνητο κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = 3 m/s σε ευθύγρο δρόο. Τη στιγή που το υτοκίνητο βρίσκετι σε πόστση d = 7 m πό έν επόδιο ο οδηγός πτάει φρένο κι το υτοκίνητο ποκτά στθερή ρνητική επιτάχυνση. Σε χρόνο = 4 s το υτοκίνητο πέφτει πάνω στο επόδιο. Ν βρεθούν :. Η επιτάχυνση του υτοκινήτου β. Η τχύτητ του υτοκινήτου τη στιγή της σύγκρουσης. [ Απάντηση :. = 6 m/s, β. υ = 6 m/s ] 3.. Ένς δροές των m ξεκινάει πό την ηρεί κι κινείτι ε επιτάχυνση = 5 m/s έχρι ν ποκτήσει τχύτητ υ = m/s. Στη συνέχει κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = m/s.. Ν υπολογιστεί η χρονική διάρκει της κίνησης. β. Ν σχεδιστούν τ διγράτ τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου. [ Απάντηση :. = s ] 3.. Αυτοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεί κι κινείτι σε ευθύγρο δρόο ε στθερή επιτάχυνση = m/s γι χρονική διάρκει = s. Στη συνέχει κινείτι ε στθερή τχύτητ γι χρονική διάρκει = 6 s κι ετά ε επιτάχυνση 3 = 5 m/s έχρι ν σττήσει. Ν υπολογιστούν :. Η ολική διάρκει της κίνησης β. Η συνολική εττόπιση του υτοκινήτου γ. Ν σχεδιστούν τ διγράτ επιτάχυνσης χρόνου, τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου ν γι t = είνι x =. [ Απάντηση :. t ολ = s, β. Δx ολ = 6 m ] 3.. Ο χρόνος που χρειάζετι γι ν ντιδράσει ένς οδηγός πό την στιγή που θ ντιληφθεί τον κίνδυνο έχρι ν πτήσει φρένο είνι,7 s. Το υτοκίνητο ποκτά στθερή επιτάχυνση = 5 m/s.. Ν βρεθεί η ολική εττόπιση του υτοκινήτου έχρι ν σττήσει ν η ρχική του τχύτητ είνι υ = m/s. β. Ν σχεδιστούν τ διγράτ: επιτάχυνσης χρόνου, τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου. [ Απάντηση :. Δx ολ = 54 m ] 33.. Κινητό ξεκινάει πό την ηρεί κι κινείτι ευθύγρ ε στθερή επιτάχυνση = 5 m/s. Το κινητό περνάει πό δυο σηεί που πέχουν πόστση d = m ε διάφορ χρόνου = 4 s. Ν υπολογιστεί η θέση του δεύτερου σηείου πό την ρχή της κίνησης. [ Απάντηση : x =,5 m ] 34.. Κινητό κινείτι ευθύγρ κι η γρφική πράστση της τχύτητς συνρτήσει του χρόνου φίνετι στο σχή. Τη χρονική στιγή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =.. Ν υπολογιστεί η ολική εττόπιση κι το ολικό διάστη, β. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράτ: επιτάχυνσης χρόνου κι θέσης χρόνου. [ Απάντηση : Δx = 5 m, s = 7 m ] 35.. Κινητό ξεκινάει πό την ηρεί την t = πό τη θέση x = κι κινείτι ευθύγρ ε στθερή επιτάχυνση = 5 m/s γι χρονικό διάστη = 4 s. Στην συνεχεί κινείτι ε την τχύτητ που πέκτησε γι χρονικό διάστη = 6 s. Μετά κινείτι ε στθερή επιβράδυνση κι σττάει ετά πό χρονικό διάστη 3 = s. -5 4 6 4
. Ευθύγρη κίνηση - 7 - Ππθεοδώρου Γιώργος. Ν σχεδιστούν τ διγράτ: τχύτητς χρόνου, επιτάχυνσης χρόνου κι θέσης χρόνου. β. Ποι είνι η θέση του κινητού την χρονική στιγή t = 5 s. [ Απάντηση β. x = 35 m ] 36.. Κινητό κινείτι ευθύγρ κι η γρφική πράστση της τχύτητς συνρτήσει του χρόνου φίνετι στο σχή. Τη χρονική στιγή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =.. Ν υπολογιστεί η ολική εττόπιση κι το ολικό διάστη, β. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράτ: επιτάχυνσης χρόνου κι θέσης χρόνου. γ. Σε ποι θέση βρίσκετι το κινητό τη χρονική στιγή t = 4 s. [ Απάντηση :. Δx =, s = 6 m, γ. x = 8 m ] 4-4 4 6 7 37.. Έν υτοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Στο διπλνό σχή φίνετι το διάγρ επιτάχυνσης χρόνου του υτοκινήτου. Το υτοκίνητο τη χρονική στιγή t = βρίσκετι στη θέση x = 4 m κι έχει τχύτητ υ = 4 m/s.. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράτ τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου. β. Ποι είνι η τχύτητ του υτοκινήτου τη χρονική στιγή t = 3 s; γ. Ποι είνι η θέση του υτοκινήτου τη χρονική στιγή t = 3 s; 4 - (m/s ) 4 6 t (s) 38.. Μοτοσικλετιστής κινείτι ε στθερή τχύτητ υ = m/s σε ευθύγρο δρόο. Τη στιγή που ο οτοσικλετιστής περνάει προστά πό κίνητο τροχονόο, ο τροχονόος ρχίζει ν τον κτδιώκει ε στθερή επιτάχυνση = 4 m/s.. Μετά πό πόσο χρόνο κι σε ποι πόστση πό την ρχική του θέση κι ε ποι τχύτητ θ φθάσει ο τροχονόος τον οτοσικλετιστή. β. Ν σχεδιστούν τ διγράτ τχύτητς χρόνου κι θέσης χρόνου γι τ δύο οχήτ. γ. Αν ο τροχονόος είχε τη ισή επιτάχυνση θ έφτνε τον οτοσικλετιστή; Αν νι, ετά πό πόσο χρόνο, σε ποι πόστση κι ε ποι τχύτητ. [ Απ :. t = s, x = m, υ = 4 m/s, γ. t = s, x = 4 m, υ = 4 m/s] 39.. Δυο κινητά Α κι Β ξεκινούν τυτόχρον πό την ηρεί κι πό το ίδιο σηείο κι κινούντι ευθύγρ σε ντίθετες κτευθύνσεις ε ντίστοιχες επιτχύνσεις = 5 m/s κι = 4 m/s. Ν υπολογιστούν :. Η χρονική στιγή που τ δυο κινητά θ πέχουν πόστση d = 45 m β. Η τχύτητ του κάθε κινητού τότε γ. Το διάστη που θ έχει δινύσει το κάθε κινητό τότε. [ Απάντ :. t = s, β. υ = 5 m/s, υ = 4 m/s, γ. s = 5 m, s = m ] 4.. Μι οτοσυκλέτ κινείτι ε στθερή επιτάχυνση = m/s κι τη χρονική στιγή t = έχει τχύτητ υ = m/s. Την ίδι στιγή έν υτοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεί πό έν σηείο που βρίσκετι σε πόστση d = 8 m προστά πό τη οτοσυκλέτ. Η επιτάχυνση του υτοκινήτου είνι = 3 m/s κι κινείτι στην ίδι κτεύθυνση ε την οτοσυκλέτ. Ν δείξετε ότι τη χρονική στιγή t = s η οτοσυκλέτ θ προσπεράσει το υτοκίνητο κι τη χρονική στιγή t = 8 s το υτοκίνητο θ προσπεράσει τη οτοσυκλέτ. 4.. Έν υτοκίνητο κι ί οτοσυκλέτ ξεκινούν πό την ηρεί πό το ίδιο σηείο ενός ευθύγρου δρόου. Το υτοκίνητο ξεκινάει πρώτο τη χρονική στιγή t = κι κινείτι ε επιτάχυνση =,6 m/s. Η οτοσυκλέτ ξεκινάει την χρονική στιγή t = s κι κινείτι ε επιτάχυνση =,5 m/s.. Ποι χρονική στιγή η οτοσυκλέτ θ φθάσει το υτοκίνητο. β. Πόσο θ έχει εττοπιστεί η οτοσυκλέτ τότε. γ. Ποιες είνι οι τχύτητες των δύο οχηάτων τότε.