ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 1 ΕΠΙΠΕΔΟ (κοχή Σπτμβρίου 014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσις για τη βλτίωση των σημιώσων υπρόσκτς)
Στην Παραστατική μ προβολές σ 1 πίπο, θωρούμ ένα σταθρό πίπο π το οποίο ονομάζουμ πίπο προβολής, και που πάνω του παριστάνουμ τα ιάφορα σχήματα του χώρου. Αυτό συνήθως το πίπο του χαρτιού μας, η οθόνη νός υπολογιστή, το οριζόντιο έαφος κτλ. Παρότι οι παραστάσις μα (τα σχέιά μας) θα γίνονται σ μια πριορισμένη πριοχή του π υπό κλίμακα, οι κλίμακς ν θα μας νιαφέρουν και θα σημιώνουμ τις αληθινές αποστάσις πάνω στις παραστάσις μας. Για μάς το π θα ίναι το χαρτί μας, κι όταν θα υπάρχι λόγος να αναφρθούμ σ αληθινές αποστάσις πάνω σ αυτό, κατά σύμβαση αυτή θα ίναι το 1 κατοστό. Παράσταση σημίου και υθίας. Σχήμα 1 Την απόσταση υ M νός σημίου Μ του χώρου από οσμένο πίπο π τη θωρούμ προσημασμένη και την ονομάζουμ υψόμτρο του Μ. Κατά σύμβαση, όλα τα σημία του ίιου ημιχώρου ως προς το π έχουν ομόσημα υψόμτρα, και ο ημιχώρος μ θτικά υψόμτρα ίναι θέμα πιλογής μας (στο σχήμα 1, αυτός ίναι ο ημιχώρος «πάνω από» το π ) και σ αυτόν θα θωρούμ πως βρισκόμαστ και μίς. Την προβολή του Μ στο π θα τη συμβολίζουμ Μ '. Τότ το ΜΜ ' θα νοίται ως προσημασμένο μήκος και θα ισχύι ΜΜ ' = υm. Το M ' μαζί μ το υψόμτρο υ M αρκούν για τον καθορισμό της θέσης του Μ στο χώρο, οπότ θα τα ονομάζουμ παράσταση του Μ πάνω στο π, την οποία θα σημιώνουμ ως Μ '( υ ). Καθώς συμβαίνι πολλά σημία του χώρου να προβάλλονται στο ίιο σημίο του πιπέου προβολής π, η αναγραφή του υψομέτρου για καθένα από αυτά ίναι απαραίτητη για να το ιακρίνουμ από τα υπόλοιπα. Μ την υκαιρία, ένα σημίο του πιπέου π ίναι φυσικά υνατό να ονομαστί στο ίιο σχέιο μ πρισσότρους από έναν τρόπους, π.χ. ως Μ '( υ M ) και ταυτοχρόνως ως K '( υ K ). 1
Σχήμα Η προβολή ' τυχαίας υθίας που ν ίναι κάθτη στο π, ίναι υθία. Αν η ν ίναι ούτ παράλληλη στο π, τότ η ' γίνται άξονας μ αλγβρική τιμή σ κάθ σημίο το υψόμτρο του αντίστοιχου σημίου της που προβάλλται σ αυτό. Τον άξονα αυτό τον συμβολίζουμ [ '] και τον ονομάζουμ κλίμακα ή παράσταση της πάνω στο π. Πραγματικά, η γνώση της [ '] αρκί για την τοποθέτηση της στο χώρο, οπότ αποτλί παράσταση της. Η απόσταση ύο σημίων της ' που οι αλγβρικές τους τιμές έχουν ιαφορά 1 (π.χ. ύο σημίων μ ιαοχικά ακέραια υψόμτρα), ίναι σταθρή και ονομάζται βήμα της ή της κλίμακας [ '] και συμβολίζται ως β. Π.χ. στο σχήμα 1, το βήμα β της ισούται μ την απόσταση των σημίων Ο' Μ 1 ' ή των Μ ' Μ 3 '. Προσοχή, αυτό ν σημαίνι πως β= Ο' Μ ' = 1, αλλά πως β= Ο' Μ ' = υm υo, ηλαή πως η υψομτρική ιαφορά του M από το O (που ίναι σημία της ) ίναι ίση μ 1. Η πραγματική απόσταση Ο' Μ ' των Ο', Μ ' που ίναι οι προβολές των Ο, Μ ισούται μ σφθ, όπου θ η γωνία της μ το π (ηλαή η γωνία των αλγβρική τιμή 1 του σημίου Μ ' πάνω στον άξονα [ '] ίχνι αληθινή απόσταση 1 του, ' ). Δηλαή η Μ ' από την αρχή Ο ' του άξονα, παρά ίχνι πως το Μ της που προβάλλται στο Μ ' έχι πραγματικό υψόμτρο κατά 1 μγαλύτρο από το υψόμτρο του Ο της που προβάλλται στο Ο '. Για το βήμα ισχύι γνικότρα Α' Β' β= σφθ= υ υ B A, όπου A' B ' η αλγβρική τιμή τυχαίου τμήματος των σημίων A, B της «πάνω από» (ηλαή που προβάλλοντα στα) Α', Β '. A' B ' του άξονα [ '], και υ, υ τα υψόμτρα Όταν η υθία ίναι παράλληλη στο π τότ όλα τα σημία της έχουν το ίιο υψόμτρο υ, οπότ παράστασή της αποτλί η προβολής της ' μ την πληροφορία του υψομέτρου υ, και μπορούμ να γράψουμ [ ']( υ ). Φυσικά αυτή η παράσταση ιαφέρι από τις προηγούμνς, καθώς ν αποτλί πραγματική κλίμακα. Τέλος, όταν η υθία ίναι κάθτη στο π, η προβολή της ' ίναι ττριμμένη αποτλούμνη από ένα μοναικό σημίο, το οποίο ίναι αρκτό για να γνωρίζουμ τη θέση της σο χώρο. Μπορούμ και σ αυτή την πρίπτωση να γράψουμ [ '] για την παράσταση της. Αλλά φυσικά και πάλι αυτή ν αποτλί κλίμακα όπως ορίστηκ προηγουμένως. Επίσης, ας παρατηρήσουμ πως μια υθία κ του πιπέου π ίναι φυσικά υνατό να ονομαστί στο ίιο σχέιο μ πρισσότρους από έναν τρόπους, π.χ. ως ' και ταυτοχρόνως ως ζ ', αφού αποτλί προβολή οποιαήποτ υθίας που βρίσκται στο κάθτο πίπο του π που ιέρχται από την κ. Για ιακκριμένς, ζ, θα ίναι φυσικά [ '] [ ζ ']. Οι ακόλουθς παρατηρήσις ίναι χρήσιμς (όταν οι υθίς έχουν ιική θέση ως προς το π λέγξτ σίς το τι αλλάζι κάθ φορά): (1) Δύο παράλληλς υθίς 1,, έχουν παράλληλς προβολές 1 ', ' και τα βήματα των 1, ίναι ίσα, αυξάνοντας προς τον ίιο ημιχώρο του π. Οι κλίμακς [ 1],[ ] των 1, θα ονομάζονται παράλληλς. Ενώνοντας σημία των [ 1],[ ] του ίιου υψομέτρου ημιουργούμ υθίς πάνω στο π που ίναι παράλληλς μταξύ τους, όλς τους παράλληλς στην υθία των ιχνών των 1,. A B
() Αν 1, ίναι ύο υθίς τμνόμνς, τότ νώνοντας σημία των [ 1],[ ] του ίιου υψομέτρου ημιουργούμ υθίς πάνω στο π που ίναι παράλληλς μταξύ τους, όλς τους παράλληλς στην υθία των ιχνών των 1,. (3) Όταν οι 1, ίναι ασύμβατς, τότ νώνοντας σημία των [ 1],[ ] του ίιου υψομέτρου ημιουργούμ υθίς πάνω στο π που καμιά ν ίναι παράλληλη σ καμία άλλη. (4) Ένα σημίο Μ του χώρου ανήκι σ μια υθία του χώρου, αν και μόνο αν η προβολή Μ ' ανήκι στην προβολή ' και το υψόμτρο υ ίναι ίσο μ το υψόμτρο M υ K του σημίου Κ που προβάλλται στο Μ ' (ηλαή Κ ' = Μ ' ), οπότ το Μ ταυτίζται μ το Κ της. Παράσταση πιπέου. Η κοινή υθία νός πιπέου σ μ το π ονομάζται ίχνος του σ πάνω στο π. Όλς οι υθίς του σ οι παράλληλς στο ίχνος του ονομάζονται ιχνοπαράλληλές του, νώ όλς οι υθίς του σ οι κάθτς στο ίχνος του ονομάζονται ιχνοκάθτές του. Η γνώση ύο οποιονήποτ υθιών του σ ίναι αρκτές για τη γνώση του ίιου του πιπέου. Έτσι η γνώση των παραστάσων ύο υθιών του σ μπορί να θωρηθί παράσταση του ίιου του σ. Όμως το κπληκτικό ίναι πως μας αρκί η παράσταση μονάχα κάποιας (μιας οποιασήποτ) ιχνοκαθέτου για να γνωρίζουμ τη θέση ολόκληρου του πιπέου σ στο χώρο. Έτσι, ονομάζουμ παράσταση του σ πάνω στο π, την παράσταση [ i '] οποιασήποτ ιχνοκαθέτου του i! Το βήμα της i το ονομάζουμ βήμα του σ, και αυτό ισούται μ τη σφθ, όπου θ η γωνία που ημιουργί το σ μ το π. Για να ξχωρίζουμ την απλή παράσταση της i από αυτή ολόκληρου του πιπέου σ, γράφουμ σ[ i ']. Γνωρίζοντας την παράσταση [ i '] της ιχνοκαθέτου i, η θέση στο χώρο όλων των σημίων του σ νός οσμένου υψομέτρου, έστω υ, ηλαή της ιχνοπαραλλήλου του σ μ προσημασμένη απόσταση υ από το πίπο προβολής π, καθορίζται ως ξής: στο σημίο μ αλγβρική τιμή υ πάνω στον άξονα [ i '] χαράσσουμ υθία ' του π κάθτη στην i ', και κατόπιν θωρούμ το πίπο το κάθτο στο π που ιέρχται από την '. Επάνω στο κάθτο αυτό πίπο και στον ημιχώρο μ υψόμτρα ομόσημα του υ βρίσκται η υθία παράλληλη στην ' και σ απόσταση υ από αυτή (ηλαή μ προσημασμένη απόσταση υ από το π. Τα πίπα τα παράλληλα στο π ν τα παριστάνουμ, νώ τα κάθτα στο π μπορούμ να τα παριστάνουμ μ το ίχνος τους i 0 γράφοντας σ[ i 0 ] χωρίς φυσικά αυτό να έχι την έννοια της κλίμακας που αναπτύξαμ πιο πάνω. Σχήμα 3 Οι ακόλουθς παρατηρήσις ίναι χρήσιμς (όταν τα πίπα έχουν ιική θέση ως προς το π λέγξτ σίς το τι αλλάζι κάθ φορά): 3
(α) Δύο παράλληλα πίπα σ1, σ παριστάνονται από ιχνοκάθτές τους i1, i οι οποίς έχουν κλίμακς παράλληλς. (β) Οποιαήποτ ιχνοκάθτη του πιπέου σ μπορί να χρησιμοποιηθί για την παράστασή του (ξηγήστ). (γ) Τυχαία ιχνοπαράλληλη ζ του πιπέου σ προβάλλται πάνω στο π, σ υθία ζ ' παράλληλη στο ίχνος του σ (οπότ όλς οι ζ ' ίναι παράλληλς μταξύ τους). Η προβολή ιχνοκαθέτου i του σ (οπότ όλς οι i ' ίναι παράλληλς μταξύ τους). Η αλγβρική τιμή το υψόμτρο υ των σημίων της ζ. ζ ' ίναι κάθτη στην προβολή i ' οποιασήποτ ζ ' τέμνι κάθ άξονα [ i '] στο σημίο μ () Μια υθία του χώρου ανήκι σ ένα πίπο σ, αν και μόνο αν για κάθ (αρκί μία) ιχνοκάθτη i του σ, νώνοντας σημία (αρκούν ύο) των [ '],[ i '] του ίιου υψομέτρου ημιουργούμ παράλληλς υθίς. Σχήμα 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Στο πόμνο Σχήμα παριστάνονται πίπα σ[ '], τ[ ζ '] και ίνται η γραφική ύρση της παράστασης [ η '] της τομής τους η. Παρατηρήστ πως όταν τα βήματα των ύο πιπέων ίναι ίσα, η υθία η ' ιέρχται από το σημίο τομής των ', ζ ' και ιχοτομί τις γωνίς που ημιουργούνται από τις προβολές ύο ιχνοπαραλλήλων των ύο πιπέων του ίιου υψομέτρου (και που πριέχουν το σημίο τομής των ', ζ ' ). Σχήμα 5 Το ίιο πρόβλημα για την πρίπτωση που τα οσμένα πίπα έχουν παράλληλς ιχνοπαράλληλς πιλύται ως ξής: Παριστάνουμ μια ιχνοκάθτη για το κάθ πίπο (ιακκριμένς προβολές), έστω [ ι 1 '],[ ι '], και χαράσσουμ 4
ύο υθίς 1, μ την 1 να ιέρχται από τα σημία υψομέτρου α των[ ι 1 '],[ ι '], και την 1 να ιέρχται από τα σημία υψομέτρου β των [ ι 1 '],[ ι '] για τυχαίως πιλγμένα α, β R (α β ). Η ζητούμνη προβολή η ' της τομής η των οσμένων πιπέων ίναι η υθία η παράλληλη στις ', ζ ' και ιρχόμνη από το σημίο τομής των 1,. Η υθία η ίναι παράλληλη στο πίπο προβολής, οπότ ν υπάρχι κλίμακα για την παράστασή της [ η ']. Όλα τα σημία η ίναι ισοϋψή, και το κοινό τους υψόμτρο ίναι αυτό που αναγράφται στο κοινό σημίο των ι ', ι '. Δικαιολογήστ τις προηγούμνς παρατηρήσις μ σκέψις τόσο υκλίιας γωμτρίας του χώρου, όσο και 1 πί νός παραστατικού σχήματος, και κτιμήστ τα πλονκτήματα της κάθ μθόου. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Στο πόμνο Σχήμα παριστάνται πίπο σ[ '] μ τη βοήθια μιας ιχνοκάθτής του, και πίσης παριστάνται ένα σημίο Μ του σ. Ζητίται να παρασταθούν οι υθίς 1, του σ που ιέρχονται από το Μ 1 και ημιουργούν γωνία θ μ το πίπο προβολής ώστ σφθ=. Για τη γραφική πίλυση του προβλήματος (ξί Σχήμα), ίνται και το μοναιαίο τμήμα μέτρησης των μηκών. Σχήμα 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Στο πόμνο Σχήμα παριστάνται υθία και ζητίται να παρασταθούν τα πίπα σ1, σ που 1 ιέρχονται από την και ημιουργούν γωνία θ μ το πίπο προβολής ώστ σφθ=. Για τη γραφική πίλυση 5 του προβλήματος (ξί Σχήμα) ίνται και το μοναιαίο τμήμα μέτρησης των μηκών. 5
Σχήμα 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Στο πόμνο χωρικό Σχήμα ίνονται ύο πίπα π 1,π μ παράλληλα ίχνη σ 1,σ στο οριζόντιο πίπο π. Τα π 1,π οφίλουν τότ να έχουν τομή μια υθία παράλληλη σ 1,σ και συνπώς παράλληλη στο οριζόντιο πίπο. Αυτή η υθία θα έχι λοιπόν όλα τα σημία της στο ίιο υψόμτρο και ν θα υπάρχι κλίμακα για αυτή μ τη συνηθισμένη έννοια. Όμως η προβολή της στο π ίναι συγκκριμένη υθία ', και το υψόμτρό της υ ως προς το π συγκκριμένο. Στο σχήμα ίνονται οι πληροφορίς για το πώς βρίσκουμ την ' και το υ, χρησιμοποιώντας ύο τομές των π 1,π μ οριζόντια πίπα π.χ. υψομέτρων 1 και, καθώς και ύο ιχνοκάθτς i 1 του π 1 και i του π. Συμπληρώστ τις λπτομέρις. Το ξί μέρος του σχήματος μας ίνι την κατασκυή στο παραστατικό μας ομένων των ιχνοκαθέτων i 1,i ως παριστάμνων υθιών μέσω των κλιμάκων [ i 1'],[ i ']. Οι κόκκινς γραμμές που πρέπι να κατασκυάσουμ ίναι οι υθίς που νώνουν τα σημία ίιων υψομέτρων των [ i 1'],[ i ']. Όλς αυτές οι υθίς ιέρχονται από το ίιο σημίο, έστω A' που ίναι προβολή νός κοινού σημίου Α των π 1,π, ηλαή σημίου της. Η θαλασσί γραμμή που πρέπι να κατασκυάσουμ και που ίναι η ζητούμνη προβολή ', ίναι η γραμμή που ιέρχται από το Α ' και ίναι κάθτη στις [ i 1'],[ i ']. Το ζητούμνο ύψος υ της ως προς το π, ίναι η τιμή της κλίμακας [ i 1'] στο κοινό σημίο της μ την ' (και ομοίως ίναι η τιμή της κλίμακας [ i '] στο κοινό σημίο της μ την ' ). Σχήμα 8 6
ΧΩΜΑΤΟΥΡΓΙΚΑ Δίνται κάτοψη (παράσταση σ προβολές σ ένα πίπο μ υψόμτρα) άφους, κτηρίων και ρόμων, και ζητίται η κατασκυή των πρανών των κτηρίων και των ρόμων. Συνοπτικά: Βρίσκουμ σ ποια τμήματα του πριγράμματος των κτηρίων και των ρόμων έχουμ πιχωματώσις και σ ποια κχωματώσις. Για κάθ τμήμα κατασκυάζουμ το πρανές ως ένα κλιστό πολύγωνο που έχι το τμήμα αυτό ως μια πλυρά του. Το πολύγωνο κατασκυάζται ως ξής: Τέμνουμ το πίπο της κχωμάτωσης ήπιχωμάτωσης που αντιστοιχί στο τμήμα, μ αυτά των ιπλανών τμημάτων καθώς και μ τα πίπα του άφους. Η κάθ μια από τις τομές ίναι μια υθία. Οι υθίς αυτές μαζί μ το αρχικό μας τμήμα για το οποίο ργαζόμαστ μας ίνι ένα "σωτρικότρο" πολύγωνο μταξύ άλλων που νχομένως να σχηματίζονται, που ίναι το ζητούμνο πρανές για το τμήμα. Οφίλουμ να λέγξουμ και για πιθανές τομές «μακρυνών» (μη ιαοχικών) πρανών. Σχτικά μ την έννοια του πρανούς και του πρανούς πιπέου: Το πόμνο σχήμα φανρώνι έκηλα την έννοια των πρανών πιπέων. Τα πρανή αποτλούν τα χωρία πάνω στα πρανή πίπα που προκύπτουν από την τομή ιπλανών (ορισμένς φορές και μακρινών) πρανών πιπέων μταξύ τους και μ το έαφος. Σχήμα 9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Το έαφος μιας πριοχής προσομοιάζται από τα πίπα σ, τ (των οποίων οι ιχνοπαράλληλς Σχήμα 10 7
υψομέτρων 3 και 5 ίνονται στο Σχήμα 10) και από το οριζόντιο πίπο π υψομέτρου 0. Σ υψόμτρο 4 πρόκιται να κατασκυαστί πολυγωνική πλατία ΑΒΓ ΕΖ καθώς και κκλιμένος ρόμος αρχίζοντας από το τμήμα ΑΗ της πλατίας και καταλήγοντας στο π μ προβολές πλυρών τις οσμένς στο σχήμα. Να βρθί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκυαστούν τα πρανή των πιχωματώσων και κχωματώσων του ρόμου και της πλατίας όταν βήμα πιχωματώσων=10χστ, βήμα κχωματώσων= 5χστ, βήμα ρόμου= 0χστ. Λύση. Σ γνικές γραμμές ακολουθούμ την ξής ιαικασία για την κατασκυή των πρανών: - Κατασκυάζουμ το πίπο του ρόμου (κάποις ιχνοπαράλληλές του) έως και το οριζόντιο έαφος. Έτσι πλέον θωρούμ το σύνολο πλατία-ρόμος ως ένα νιαίο κτίσμα, πλήρως τοποθτημένο στο παραστατικό σχέιο. Αν τυχόν υπήρχ έαφος κατακορύφως πάνω από μέρη του κτίσματος, θωρούμ πως έχι αφαιρθί. - Εντοπίζουμ ποια μέρη του συνόρου του νιαίου κτίσματος πλατίας-ρόμου βρίσκονται ντός και ποια κτός του φυσικού άφους. Δημιουργούνται έτσι τμήματα πάνω στα αρχικά σύνορα της πλατίας ή του ρόμου, από καθένα από τα οποία θα ξκινήσι και ένα πρανές πιχωμάτωσης ή κχωμάτωσης. Ορισμένα άλλα τμήματα (όπως π.χ. ώ το ΑΗ ) ν θα φιλοξνήσουν κανένα πρανές. - Για κάθ ένα από τα παραπάνω συνοριακά τμήματα της πλατίας-ρόμου κατασκυάζουμ το πρανές πίπό του (ιχνοπαράλληλς). Στην ορολογία ιαφοροποιούμ το "πρανές πίπο" από το "πρανές". - Τέμνουμ κάθ πρανές πίπο μ όποιο ιπλανό πρανές πίπο χριάζται, καθώς και μ κάθ πίπο του φυσικού άφους πάνω από ή ντός του οποίου βρίσκται το τμήμα από όπου ξκινά το πρανές. - Ελέγχουμ αν μακρινά (μη ιπλανά) πρανή τέμνονται, και ιορθώνουμ τα σύνορά τους. Σημίωση: Αν θωρήσουμ πως πρώτα κατασκυάζται η πλατία μαζί μ τα πρανή της και κατόπιν ο ρόμος μ τα πρανή του, τότ το τλικό αποτέλσμα συχνά ιαφέρι λαφρώς από το παραπάνω. Ο λόγος ίναι πως στην πρίπτωση που ο ρόμος ξκινάι από τμήμα μ κάποιο άκρο του σ κορυφή του πριγράμματος της πλατίας, τότ μ τον νέο τρόπο κατασκυής, τα πρανή του ρόμου από τη μριά της κορυφής αυτής συναντούν μέρη πρανών της πλατίας που στην κατασκυή που πριγράψαμ πιο πάνω ν υπάρχουν! Ακολουθούν οι λπτομέρις της κατασκυής για το παράιγμα 4. Τμήματα πιχωματώσων και κχωματώσων στην πλατία και το ρόμο. Τέλος του ρόμου. (1) Χαράσσουμ τις ιχνοπαράλληλς υψομέτρου 0 των σ, τ (ώ οι κόκκινς υθίς). Αυτές συντρέχουν μ την κοινή υθία των σ, τ (ώ η μπλ υθία) και χωρίζουν το σχέιο σ τρία χωρία (ώ χ1, χ, χ 3 ). Πάνω από το κάθ μέρος υπάρχι ακριβώς ένα από τα τρία πίπα σ, τ, π του φυσικού άφους της πριοχής (ώ πάνω από τα χ1, χ, χ 3 βρίσκονται αντιστοίχως τα σ, τ, π ). () Χαράσσουμ τις ιχνοπαράλληλς των σ, τ του υψομέτρου της πλατίας (ώ 4 ). (3) Βρίσκουμ τις τομές των παραπάνω ιχνοπαραλλήλων μ το πρίγραμμα της πλατίας (ώ τα σημία Κ ', Λ' ) και αποφασίζουμ για τα τμήματα της πλατίας όπου θα έχουμ κχωματώσις (ώ οι πλυρές της πολυγωνικής γραμμής Κ ' Β ' Γ ' ΤΛ ' ) ή πιχωματώσις (ώ οι πλυρές της πολυγωνικής γραμμής Λ' ' Ε ' Ζ ' Η ' και το τμήμα Α' Κ ' ). (4) Χαράσσουμ μρικές ιχνοπαράλληλς ακραίων υψομέτρων του ρόμου (ώ 4,3,,1,0) ο ρόμος ανήκι σ ένα πίπο! Βρίσκουμ τα σημία τομής των ιχνοπαραλλήλων αυτών μ τις ακμές του ρόμου και ημιουργούμ το τμήμα μταξύ των σημίων για κάθ υψόμτρο (ώ τα τμήματα t4, t3, t, t1, t 0 ). Το τμήμα που νώνι τα σημία υψομέτρου 0 ίναι το ζητούμνο τέλος του ρόμου (ώ το t 0 = Μ ' Ν ' ). (5) Αποφασίζουμ πάνω από ποια χωρία του σχίου έχι σημία ο ρόμος (ώ πάνω από τα χ, χ 3 ). Βρίσκουμ την τομή του πιπέου του ρόμου μ καθένα από τα πίπα του φυσικού άφους πάνω από τα χωρία αυτά (ώ οι υθίς l,t0 ) και αποφασίζουμ σ ποια τμήματα κάθ ακμής-πλυράς του ρόμου έχουμ πιχωματώσις (ώ παντού, ηλαή στα τμήματα Α' Μ ', Η ' Ν ' ) ή κχωματώσις (ώ πουθνά). Πρανή πίπα Από κάθ τμήμα της πλατίας ή του άφους ιέρχται ένα πρανές πίπο πιχωμάτωσης ή κχωμάτωσης. (6) Για κάθ πίπο πιχωμάτωση ή κχωμάτωση της πλατίας ή του ρόμου χαράσσουμ μρικές ιχνοπαραλλήλους (ώ οι ιάστικτς υθίς) μ ακέραια υψόμτρα. 8
Σχήμα 11 Προσοχή: τα τμήματα της πλατίας ίναι οριζόντια, οπότ οι ζητούμνς ιχνοπαράλληλς για τις πιχωματώσις ή κχωματώσις που ξκινούν από αυτά ίναι παράλληλές τους υθίς. Όμως οι ακμές του ρόμου ν ίναι οριζόντις, και για τη χάραξη των ιχνοπαραλλήλων του πρανούς που τους αντιστοιχί απαιτίται η γνωστή μέθοος του Παραίγματος 3 (ώ χρήση των σημιωμένων κύκλων). Στο σχήμα τα αναλόγως), και κάθ ιχνοπαράλληλος συνούται από το υψόμτρό της (ώ 0,1,,3,4 ή 5 αναλόγως). Σχήμα 1 9
Τομές πρανών πιπέων μταξύ τους και μ το έαφος. (7) Για κάθ τμήμα της πλατίας ή του ρόμου χαράσσουμ την κοινή υθία του πρανούς πιπέου του μ το πίπο του άφους πάνω από το οποίο βρίσκται το τμήμα. Επίσης, για κάθ ύο ιπλανά τμήματα της πλατίας ή του ρόμου για τα οποία τα πρανή πίπά τους ίναι αμφότρα πιχωματώσις ή κχωματώσις χαράσσουμ την κοινή υθία των πρανών πιπέων τους. (Εώ οι παραπάνω τομές ίναι οι μωβ υθίς και για ορισμένς σημιώνονται τα πίπα που τις έχουν ως τομές.) - Μ τον παραπάνω τρόπο, για κάθ άκρο οποιουήποτ τμήματος της πλατίας ή του ρόμου κατασκυάζται ακριβώς μία υθία που ιέρχται από το άκρο αυτό. Ορισμένς από τις υθίς που κατασκυάζονται ιέρχονται από άκρα τμημάτων της πλατίας ή του ρόμου. Και ορισμένς ακόμη υθίς που θα χριαστούν στη συνέχια, ν έχουν ακόμη κατασκυαστί. - Για πίπα μ μη παράλληλς ιχνοπαράλληλς, η κοινή τους υθία ίναι αυτή που ιέρχται από τα σημία τομής ύο ζυγών ιχνοπαραλλήλων τους κοινού υψομέτρου, π.χ. του υψομέτρου της πλατίας και του υψομέτρου της πλατίας + 1 ή 1. - Για πίπα μ παράλληλς ιχνοπαράλληλς, η κοινή τους υθία ίναι παράλληλη στην κοινή ιύθυνση των ιχνοπαραλλήλων τους, και ιέρχται από το σημίο τομής ύο ζυγών ιχνοπαραλλήλων τους κοινού υψομέτρου, π.χ. του υψομέτρου της πλατίας και του υψομέτρου της πλατίας + 1 ή 1. Σχήμα 13 Πρανή (ή πρανή πολύγωνα) και κατασκυή τους. Το πρανές ή πρανές πολύγωνο του κάθ τμήματος της πλατίας ή του ρόμου ίναι ένα πολύγωνο μια πλυρά του οποίου ίναι το ίιο το τμήμα και οι υπόλοιπς πλυρές ίναι τμήματα των τομών του πρανούς πιπέου που πριέχι το τμήμα μ ένα από τα ιπλανά πρανή πίπα ή μ το έαφος. Για την κατασκυή του πρανούς νός τμήματος της πλατίας ή του ρόμου, θωρούμ πως το τμήμα έχις σημία ξολοκλήρου πάνω από ένα μόνο χωρίο κ τωνχ 1, χ, χ 3, ιάλλως το ιαμρίζουμ σ μικρότρα τμήματα ώστ αυτό να συμβαίνι (ώ π.χ. το τμήμα Β' Γ ' ιαμρίζται στα Β' Σ ', Σ ' Γ ' ) και νργούμ ως ξής: (8) Έστω = Χ ' Υ' ένα τμήμα της πλατίας ή του ρόμου. Ας συμβολίσουμ (i) πρ το πρανές πίπο του, (ii) X, Y τις υθίς του πρ που κατασκυάζονται στο βήμα (7) και ιέρχονται από τα άκρα Χ, Υ 10
αντιστοίχως, (iii) την τομή του πρ μ το έαφος πάνω από το τμήμα που κατασκυάζται στο βήμα (7) (η μπορί να ταυτίζται μ κάποια από τις X, Y ), (iv) χ το χωρίο του άφους που βρίσκται πάνω από το. Αν το πολύγωνο χ τότ το Αν όμως το pol που ορίζουν τα, Χ Υ και τα σημία τομής των,, βρίσκται ντός του χωρίου pol ίναι το ζητούμνο πρανές του. (Εώ, αυτό συμβαίνι π.χ. για το πρανές του X Y Γ ' Λ '.) pol ισέρχται σ χωρίο χ i ιαφορτικό χ, τότ χαράσσουμ την υθία τομής 1 του το πίπο του άφους που αντιστοιχί στο χ i. Στη θέση του pol, θωρούμ πλέον το 1 τα Χ, Υ και τα σημία τομής των X, Y,, 1 και λέγχουμ αν αυτό ανήκι στην ένωση των χωρίων πρ μ pol που ορίζουν χ, χ i. Αν όντως ανήκι, τότ αυτό το πολύγωνο pol 1 ίναι το ζητούμνο πρανές του. (Εώ, αυτό συμβαίνι π.χ. για το πρανές του Β' Γ '.) Αν το pol 1 ισέρχται σ χωρίο χ j ιαφορτικό των χωρία χ1, χ, χ 3, τότ χαράσσουμ και την υθία τομής του αντιστοιχί στο χ j και το ζητούμνο πρανές του ίναι το πολύγωνο σημία τομής των X, Y,, 1,. (Εώ, αυτό συμβαίνι π.χ. για το πρανές του χ, i χ, ηλαή στο τλυταίο από τα τρία αρχικά πρ μ το πίπο του άφους που pol που ορίζουν τα Χ, Υ και τα Ε ' Ζ '.) - Παραμένι μια μικρή πριπλοκή στην πρίπτωση που «μακρινά» πρανή τέμνονται μτά την κατασκυή τους (Θα μπορούσ π.χ. τα σχιασμένα πρανή των Η ' Ν ', Ε ' Ζ ' να τέμνονται!) Στην πρίπτωση αυτή πρέπι να λάβουμ υπόψην την τομή τους για την αναμόρφωση του συνόρου τους μ τον προφανή τρόπο. Είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμ πως: - Όταν ύο ιπλανή πρανή τέμνονται, τα αντίστοιχα πρανή πολύγωνα μοιράζονται ολόκληρη κοινή πλυρά. - Τρία πίπα σ γνική θέση τέμνονται σ ένα σημίο. Έτσι π.χ. αν ένα πίπο του φυσικού άφους τέμνι από κοινού ύο τμνόμνα ιπλανά πρανή, τότ τα τέμνι και σ μια κοινή κορυφή των πολυγώνων τους. Επίσης, αν ένα πρανές τέμνι από κοινού το οριζόντιο πίπο και ένα από τα πλάγια πίπα του φυσικού άφους, τότ τα τέμνι και σ μια κορυφή του πολυγώνου του. Συχνά στην πράξη συντομύουμ ή παραλλάσουμ τα βήματα (1)-(8). Σχήμα 14 11
Το πρανές του Ε ' ' ν έχι ολοκληρωθί ιότι έχι σημία και πάνω από το π, νώ το πρανές του Ε ' Ζ ' έχι πίσης σημία τόσο πάνω από το π, όσο και από το τ. Οι τομές των πρανών των ' Ε ', Ε ' Ζ ' μ το π ίναι υθίς παράλληλς στα ' Ε ', Ε ' Ζ ' από τα σημίο α,, αντιστοίχως (όπου η τομή της Έ ' από το α. Δικαιολογήστ). Έτσι, τλικά τα ζητούμνα πρανή ίνονται στο πόμνο Σχήμα: Ε' β μ την παράλληλη προς το Συνοπτικά (χωρίς τους συμβολισμούς που ισαγάγαμ καθοόν): Σχήμα 15 Σχήμα 16 1
ΣΤΕΓΕΣ Δίνται η κάτοψη (προβολή σ ένα πίπο μ υψόμτρα) του πριγράμματος μιας στέγης και ζητίται η κάτοψη των πίπων ρών (πολυγώνων) της στέγης. Συνοπτικά: Πρώτα βρίσκουμ τα σημία τομής των ιαοχικών ιχοτόμων του οσμένου πριγράμματος και πιλέγουμ το καταλληλότρο από αυτά για να αρχίσουμ ένα νέο σωτρικό πρίγραμμα "παράλληλο" στο πρώτο. Καταλληλότρο ίναι αυτό του μικρότρου υψομέτρου. Για στέγς ισοκλινών πιπέων, αυτό ίναι το σημίο που βρίσκται πιο κοντά στην «αντίστοιχη» πλυρά του. Ενχομένως να χαράξουμ αρκτά ιαοχικά σωτρικά πριγράμματα ώσπου να τλιώσι η ιαικασία. Η τλική μας απάντηση αποτλίται από τα τμήματα των ιχοτόμων μταξύ ύο οποιονήποτ ιαοχικών πριγραμμάτων, καθώς πίσης και από τα τμήματα των νέων πριγραμμάτων που τα ιαβαίνουμ ύο φορές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Στην πλατία του Παραίγματος 5 (Σχήμα 10, που αναπαράγουμ ώ ως Σχήμα 17) πρόκιται να κατασκυάσουμ στέγη οριζόντιου πριγράμματος μ προβολή το c0 = Α' Β' Γ ' ' Ε ' Ζ ', και ισοκλινίς έρς ως προς το έαφος. Να παραστήστ τη στέγη. Σχήμα 17 Η έννοια της παράστασης και παρατηρήσις: Από κάθ πλυρά του πριγράμματος ιέρχται ένα πίπο της στέγης και ορισμένα από αυτά τα πίπα τέμνονται μταξύ τους ημιουργώντας μια πολυρική πιφάνια μ μοναικό σύνορο το οσμένο πρίγραμμα. Η πιφάνια αυτή ίναι η στέγη, και η ζητούμνη παράστασή της ίναι η προβολή στο οσμένο πίπο-χαρτί των ακμών της ως πολυρικής πιφάνιας. Δηλαή παράσταση της στέγης ίναι η προβολή των πλυρών των ιαφόρων πιπέων πολυγώνων που την αποτλούν. Πρόκιται ηλαή για τα υθύγραμμα τμήματα του αρχικού πριγράμματος, καθώς και για ορισμένα τμήματα πάνω σ κάποις τομές των ιαφόρων πιπέων της στέγης που ίναι πίπα που ιέρχονται από τις πλυρές του πριγράμματος. Οπωσήποτ θα υπάρχουν τμήματα που ανήκουν στην τομή των πιπέων που ιέρχονται από τα πίπα ύο ιπλανών πλυρών του αρχικού πριγράμματος. Αυτά έχουν το ένα τους άκρο στην κοινή κορυφή των ύο πλυρών του πριγράμματος και η προβολή τους ανήκι στη ιχοτόμο της σωτρικής γωνίας του πριγράμματος που ημιουργίται από τις ύο πλυρές. Ο λόγος ίναι πως τα αντίστοιχα πίπα των ύο πλυρών ίνται πως ίναι ισοκλινή ως προς το οριζόντιο πίπο (ηλαή το πίπο των προβολών ή μ άλλα λόγια το πίπο της παράστασης). Ξκινώντας από αυτή την παρατήρηση, θα κατασκυάσουμ την παράσταση της στέγης σα να «χτίζουμ» λίγο-λίγο σ ζώνς γύρω από το αρχικό πρίγραμμα όπως όταν π.χ. σ μια πραγματική στέγη τοποθτούμ σιρές από κραμίια τη μία πάνω από την άλλη ολόγυρα. Οι ζώνς αυτές θα αρχίζουν από το παλιό πρίγραμμα και θα τλιώνουν σ ένα νέο πρίγραμμα, όλα τα σημία του οποίου θα βρίσκονται στο ίιο υψόμτρο, γγονός που θα κφράζται στην παράσταση από μια νέα κλιστή πολυγωνική γραμμή στο σωτρικό του παλιού πριγράμματος μ ίιο πλήθος πλυρών μ αυτές του αρχικού, και πλυρές μία προς μία παράλληλς και μ την ίια σιρά προς αυτές το παλιού. Το νέο στοιχίο του νέου σωτρικού πριγράμματος θα ίναι πως ορισμένς από τις πλυρές του θα ίναι ττριμμένς μηνικού μήκους ή θα πριέχονται σ άλλς, οπότ το νέο πρίγραμμα-πολύγωνο μπορί να θωρηθί πως έχι λιγότρς «χρήσιμς» πλυρές από το αρχικό. Το φαινόμνο αυτό συμβαίνι ιότι καθώς συνχίζουμ το χτίσιμο μ σιρές κραμιιών και υψώνουμ όλο και πρισσότρο τη στέγη, αρχίζουν κάποια στιγμή και τέμνονται και πιο «απομακρυσμένα» πίπά της κτός των οποιοήποτ ύο αρχικών «ιπλανών». Πλυρά μηνικού μήκους μφανίζται όταν π.χ. τρία «συνχόμνα» πίπα τέμνονται από κοινού, νώ η μία πλυρά του νέου πριγράμματος πριέχται σ μια άλλη όταν π.χ. τέμνονται μη συνχόμνα πίπα που ιέρχονται από πλυρές του αρχικού πριγράμματος που ίναι μταξύ τους παράλληλς. Η ιαικασία αυτή του χτισίματος έως κάποιο ύψος ίναι ιαισθητικά φανρό πως κάποια στιγμή θα σταματήσι καθώς τα 13
πίπα της στέγης έχουν κλίση προς το σωτρικό του πριγράμματος, οπότ κάποια στιγμή θα έχουμ καλύψι ολόκληρο το σωτρικό (ηλαή κατακόρυφα πάνω από κάθ σημίο του σωτρικού θα έχι «απλωθί» κάποιο από τα αρχικά πίπα). Μαθηματικώς ίμαστ σίγουροι πως η ιαικασία αυτή κάποτ θα τλιώσι, πιή το κάθ νέο σωτρικό πρίγραμμα υπολίπται από το προηγούμνο κατά μία τουλάχιστον πλυρά. Το σχέιο για την κατασκυή: μ βάση τα παραπάνω, θα κατασκυάσουμ την παράσταση της στέγης κτλώντας παναληπτικά τρία βήματα. (1) Στο πρώτο βήμα βρίσκουμ σημίο κκίνησης στο σωτρικό του κάστοτ πριγράμματος στο οποίο τέμνονται τρία ιαοχικά πίπα. Αυτό σημαίνι πως θα βρίσκουμ τα σημία τομής όλων των ιαοχικών ιχοτόμων των γωνιών του πριγράμματος, και από αυτά θα πιλέγουμ το κατάλληλο. Τα σημία τομής που βρίσκονται κτός πριγράμματος φυσικά ν ίναι κατάλληλα. Από τα υπόλοιπα, το κατάλληλο ίναι αυτό που το αληθινό σημίο των πιπέων κατακορύφως ακριβώς από πάνω του, βρίσκται στο χαμηλότρο υνατό υψόμτρο σ σχέση μ τα υπόλοιπα. Ο λόγος ίναι πως ως αυτό το σημίο μπορούμ ανμπόιστα να χτίσουμ-υψώσουμ τη στέγη μ τον τρόπο που αναφέραμ, ηλαή σιρά μτά τη σιρά τα κραμίια. Στο σχέιό μας το σημίο αυτό ντοπίζται σχτικά ύκολα, καθώς ίναι κίνο μταξύ των τομών των ζυγών των ιαοχικών ιχοτόμων που βρίσκται πιο κοντά στην αντίστοιχη πλυρά του ηλαή την πλυρά του πριγράμματος μ άκρα τα σημία από όπου ξκινούν οι υθίς-ιχοτόμοι που ορίζουν το σημίο ως τομή τους. Η πιλογή μας θα ίναι η σωστή ιότι οι αποστάσις των σημίων αυτών από τις αντίστοιχς πλυρές τους ίχνουν τα υψόμτρα των αληθινών σημίων των πιπέων της στέγης ακριβώς από πάνω τους. Όταν το αρχικό πρίγραμμα αποτλίται από γωνίς ίσς μ μία ή τρις ορθές όπως στο παράιγμά μας, ν ίναι αναγκαίο να συγκρίνουμ τις αποστάσις των σημίων από τις αντίστοιχς πλυρές τους για την ύρση του κατάλληλου σημίου κκίνησης. Αρκί να πιλέγουμ το σημίο του οποίου η αντίστοιχη πλυρά ίναι η μικρότρη. Ο λόγος ίναι πως για αυτά τα πριγράμματα τα τρίγωνα που ημιουργούν τα σημία μ τις αντίστοιχς πλυρές του ίναι όλα όμοια μταξύ τους (όλα τους ισοσκλή και ορθογώνια στην κορυφή του σημίου). Τέλος, ας παρατηρήσουμ πως μπορούν να υπάρξουν πρισσότρα από ένα κατάλληλα σημία κκίνησης ταυτόχρονα. Αυτό ν ίναι παράξνο. Σ απομακρυσμένς πριοχές της αληθινής στέγης, μπορούν κάλλιστα να υπάρξουν στο ίιο ύψος σημία του ίιου υψομέτρου που αποτλούν το καθένα τους τομές τριών ιαοχικών πιπέων της. Όπως θα ούμ στο πόμνο βήμα, το φαινόμνο αυτό ν αποτλί ούτ και πρόβλημα. () Στο ύτρο βήμα, κατασκυάζουμ νέο σωτρικό πρίγραμμα, ως πολύγωνο μ παράλληλς πλυρές στο κάστοτ αρχικό πρίγραμμα. Για τούτο, θωρούμ πως το σημίο κκίνησης ανήκι σ μία από τις ύο ιχοτόμους που το ορίζι και πιλέγοντας φορά κίνησης γύρω από το αρχικό πρίγραμμα ορίζουμ σημία στις ιαοχικές ιχοτόμους που συναντούμ ώστ κάθ τμήμα μταξύ ύο ιχοτόμων να ανήκι σ υθία παράλληλη στην αντίστοιχη πλυρά ηλαή την πλυρά μ άκρα τις κορυφές από όπου ιέρχονται οι ύο ιχοτόμοι. Η ιαικασία κατασκυής του νέου πριγράμματος-πολυγώνου ολοκληρώνται όταν πιστρέψουμ στο αρχικό σημίο. Αυτό συμβαίνι οπωσήποτ και αποτλί ττριμμένη Άσκηση για τον νιαφρόμνο. Το νέο πρίγραμμα-πολύγωνο αποτλί ουσιαστικά την αποτύπωση στο σχέιό μας της προβολής όλων των σημίων της αληθινής στέγης μ υψόμτρο όσο και το σημίο κκίνησης, ηλαή όσο και το σημίο κίνο μέχρι το οποίο ν υπάρχουν μπόια για το χτίσιμο της στέγης μ ιαοχικές σιρές κραμιιών. Οπότ η γραμμή αυτή πριέχι όλα τα υνατά σημία κκίνησης, που μπορί να ίναι πρισσότρα του νός. Έτσι το βήμα () κτλίται ίχως να μας νιαφέρι το συγκκριμένο πιλγμένο σημίο κκίνησης μταξύ όλων των υνατών που προέκυψαν από το βήμα (1). Ας παρατηρήσουμ πως καθώς το σημίο κκίνησης αποτλί ττριμμένη πλυρά μηνικού μήκους του νέου σωτρικού πριγράμματος, το νέο αυτό πρίγραμμα έχι μία τουλάχιστον λιγότρη πλυρά από το προηγούμνο. Όπως ήη αναφέραμ προηγουμένως, το γγονός αυτό ιασφαλίζι πως η όλη ιαικασία θα τρματιστί μτά από ππρασμένο πλήθος παναλήψων. (3) Στο τρίτο βήμα σημιώνουμ στο σχέιό μας όλα τα υθύγραμμα τμήματα που προέκυψαν από τα προηγούμνα ύο βήματα ως νέα τμήματα της παράστασης της στέγης. Αυτά ίναι (α) τα τμήματα πάνω στις ιχοτόμους του παλιού πριγράμματος που νώνουν αντίστοιχς κορυφές των ύο πριγραμμάτων, (β) Τα τμήματα του νέου πριγράμματος που ανήκουν σ άλλα μγαλύτρα (ή ίσα τους, ηλαή ταυτίζονται μταξύ τους). Τα (α) τμήματα του σχίου αντιστοιχούν στα τμήματα στην αληθινή στέγη κατά τα οποία υψώθηκαν μταξύ των ύο πριγραμμάτων τα κοινά σημία των ιαοχικών πιπέων μέχρι να συναντηθί το πρώτο μπόιο, ηλαή η τομή τριών ιαοχικών πιπέων. Σημιωτέον πως ιαοχικά πίπα για κάποιο σωτρικό πρίγραμμα μπορί να μην ίναι ιαοχικά για κάποιο προηγούμνο! Τα (β) τμήματα του σχίου αντιστοιχούν στα σημία της αληθινής στέγης που προκύπτουν ως τομές πιπέων ιρχόμνων από παράλληλς πλυρές του πριγράμματος για τις οποίς υπάρχι άλλη μία μοναική πλυρά του πριγράμματος που τις συνέι. Κοντολογίς, αντιστοιχούν στους λγόμνους οριζόντιους καβαλάρης ή κορφιάτς της στέγης. Πρόκιται για τμήματα οριζόντια, ηλαή σημίων 14
του αυτού υψομέτρου πάνω στα οποία συναντώνται ύο παραιπλανά πίπα της στέγης. Προσοχή, παραιπλανά πίπα για κάποιο σωτρικό πρίγραμμα μπορί να μην ίναι παραιπλανά για τα προηγούμνα! Τούτων λχθέντων, ας σημιώσουμ πως ορισμένς φορές παρουσιάζται η πριπλοκή κάποιο νέο σωτρικό πρίγραμμα να ίναι αυτοτμνόμνο πολύγωνο. Υπάρχι τρόπος να χιριστούμ κι αυτή την πρίπτωση, αλλά ν θα πκταθούμ ώ. Τέλος, στην πρίπτωση των μη πολυγωνικών πριγραμμάτων, μπορί κανίς να φαρμόσι την παρούσα μέθοο, αφού προσγγίσι πρώτα το πρίγραμμα από κάποιο πολύγωνο μ πιθυμητό μέγιστο μήκος πλυράς. Λύση. Οι κόκκινς γραμμές αποτλούν μέρος της παράστασης της στέγης, και τα κόκκινα σημία ίναι τα σημία κκίνησης. Σχήμα 18 Σχήμα 19 Σχήμα 0 15
Σχήμα 1 Σχήμα Σχήμα 3 16
Τοπογραφικό (χάραξη σήραγγας σ λόφο) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Στο τοπογραφικό του πόμνου σχήματος να σημιώστ την προβολή του μέρους του ρόμου (υθίας) όπου πρέπι να κατασκυαστί σήραγγα ντός του λόφου. Σχήμα 4 Λύση: Τοποθτούμ στο σχέιο ένα οποιοήποτ πίπο p που ιέρχται από την. Αυτό π.χ. σημαίνι να χαράξουμ σ όποια ιύθυνση πιθυμούμ τις ιχνοπαράλληλς του πιπέου, ώστ αυτές υψομέτρου 500,510, 50 κτλ να ιέρχονται από τα αντίστοιχα σημία του ίιου υψομέτρου της. Στο σχήμα μας, χαράξαμ την i' τυχαίως, και κατόπιν από τα 500,510,50, της ' χαράξαμ κάθτς (οι ιακκομμένς υθίς) προς την i'. Οι ιακκομμένς ίχνουν τις προβολές των ιχνοπαραλλήλων του p μ τα αντίστοιχα υψόμτρα. Η κόκκινη γραμμή νώνι "κοντινά" σημία τομής των υψομτρικών του p μ τις αντίστοιχς ισοϋψίς του λόφου του ίιου υψομέτρου. Η γραμμή αυτή ίχνι πως "ακριβώς από πάνω" της (κατακορύφως ηλαή) βρίσκονται τα κοινά σημία του πιπέου μ το λόφο. Τα σημία A',B' ίναι οι τομές της ' μ την κόκκινη γραμμή. Ακριβώς πάνω από τα A',B' βρίσκονται τα κοινά σημία A,B της υθίας μ το λόφο. Το τμήμα A',B' ίχνι πως το μέρος της ακριβώς από πάνω του, βρίσκται ντός του λόφου και κί θα πρέπι να κατασκυάσουμ σήραγγα. Η ζητούμνη προβολή λοιπόν ίναι το τμήμα Α' Β '. Σχήμα 5 17
Τοπογραφικό (ορατότητα σ λόφο) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Στο τοπογραφικό του πόμνου σχήματος παριστάνονται ύο σημία Α, Β του χώρου υψομέτρου 100 µ και 103 µ αντιστοίχως. Ελέγξτ αν υπάρχι ορατότητα μταξύ τους. Σχήμα 6 Λύση: Κατακλίνουμ το κατακόρυφο πίπο p που ιέρχται από την υθία AB σημιώνοντας τις κατακλίσις των σημίων τομής A,K,Λ,Μ,Ν, B του p μ τις ισοϋψίς του τοπογραφικού. Το σωτρικό του πολυγώνου A0 K0 Λ0 Μ 0Ν0 B0 (σημιωμένο μ γκρι χρώμα στο σχήμα) αποτλί την καλύτρη υνατή προσέγγιση της κατάκλισης του άφους. Τα A,B έχουν ορατότητα μταξύ τους αν και μόνο αν το τμήμα AB ν τέμνι την πολυγωνική γραμμή A0 K0 Λ0 Μ 0Ν0 B0 ή το σωτρικό του σ σημία άλλα των A 0,B 0. Στο σχήμα μας την τέμνι, οπότ τα A,B ν έχουν ορατότητα. Για την κατάκλιση του κατακόρυφου πιπέου πιτρέπται να χρησιμοποιήσουμ αυθαίρτο μοναιαίο τμήμα πάνω στο πίπο σχίασης (ώ το οριζόντιο τμήμα κάτω από το τοπογραφικό, το σημιωμένο μ 1 ), και μπορούμ να πιλέξουμ να κατακλίνουμ από ένα υψόμτρο και πάνω (ώ από το υψόμτρο 99 µ και πάνω), μ την κατάκλιση να σημιώνται στο πίπο σχίασης του τοπογραφικού. Σχήμα 7 18
Άσκηση 1. Το έαφος μιας πριοχής προσομοιάζται από τα πίπα σ, τ μη αρνητικών υψομέτρων (των οποίων οι ιχνοπαράλληλς υψομέτρων 0 και 1 ίνονται στο πόμνο σχήμα) και από το οριζόντιο πίπο π υψομέτρου 0. Σ υψόμτρο 4 πρόκιται να κατασκυαστί πολυγωνική πλατία ΑΒΓ... Η καθώς και ύο κκλιμένος ρόμοι αρχίζοντας από τα τμήματα Ε, ΖΗ και καταλήγοντας στο φυσικό έαφος. Να βρθί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκυαστούν τα πρανή των πιχωματώσων και κχωματώσων του ρόμου και της πλατίας όταν βήμα πιχωματώσων=10χστ, κλίση κχωματώσων= 0% (και μονάα μέτρησης το 1 χστ ), βήμα ρόμου=15χστ. Σχήμα 8 19
Άσκηση. Το έαφος μιας πριοχής προσομοιάζται από τα κκλιμένα πίπα σ, τ και από το οριζόντιο πίπο π υψομέτρου 0. Δίνονται οι ιχνοπαράλληλς υψομέτρου,3,4 του σ, η ιχνοπαράλληλος υψομέτρου 3 του τ και η κοινή υθία των σ, τ. Σ υψόμτρο 3 πρόκιται να κατασκυαστί πολυγωνική πλατία ΑΒΓ ΕΖΗ καθώς και κκλιμένος ρόμος αρχίζοντας από τo τμήμα Η της πλατίας και καταλήγοντας στο φυσικό έαφος. Να βρθί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκυαστούν τα πρανή των πιχωματώσων και κχωματώσων του ρόμου και της πλατίας όταν βήμα πιχωματώσων=10χστ, βήμα κχωματώσων=5χστ, βήμα ρόμου= 0χστ. Σχήμα 9 0
Άσκηση 3. Το έαφος μιας πριοχής προσομοιάζται από τα κκλιμένα πίπα σ, τ (των οποίων οι ιχνοπαράλληλς υψομέτρων 0 και 4 ίνονται στο ακόλουθο σχήμα) και από το οριζόντιο πίπο π υψομέτρου 0. Σ υψόμτρο 4 πρόκιται να κατασκυαστί πλατία σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓ, καθώς και κκλιμένος ρόμος που αρχίζι από τo τμήμα ΓΕ της πλατίας και καταλήγι στο φυσικό έαφος. Να βρθί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκυαστούν τα πρανή των πιχωματώσων και κχωματώσων του ρόμου και της πλατίας όταν κλίση πιχωματώσων=10%, κλίση κχωματώσων= 0%, βήμα ρόμου= 0χστ, και μονάα μέτρησης το 1 χστ. Σχήμα 30 1
Άσκηση 4. Το έαφος μιας πριοχής προσομοιάζται από τα κκλιμένα πίπα σ, τ (των οποίων οι ιχνοπαράλληλς υψομέτρων 3,4,5 ίνονται στο πόμνο σχήμα) και από το οριζόντιο πίπο π υψομέτρου 0. Σ υψόμτρο 4 πρόκιται να κατασκυαστί πολυγωνική πλατία ΑΒΓ ΕΖ, καθώς και κκλιμένος ρόμος που αρχίζι από τo τμήμα ΖΗ της πλατίας και καταλήγι στο φυσικό έαφος. Να βρθί η κατάληξη του ρόμου και να κατασκυαστούν τα πρανή των πιχωματώσων και κχωματώσων του ρόμου και της πλατίας όταν βήμα πιχωματώσων=10χστ, βήμα κχωματώσων=5χστ, βήμα ρόμου= 0χστ. Σχήμα 31
Άσκηση 5. Στην πλατία της Άσκησης 1 πρόκιται να κατασκυάσουμ στέγη οριζόντιου πριγράμματος μ προβολή το c0 = Α' Β' Γ ' ', και ισοκλινίς έρς ως προς το έαφος. Να παραστήστ τη στέγη. Σχήμα 3 Άσκηση 6. Στην πλατία της Άσκησης 3 (Σχήμα 9) πρόκιται να κατασκυάσουμ στέγη οριζόντιου πριγράμματος μ προβολή το c0 = Α' Β' Γ ' ' Ε' Ζ ', και ισοκλινίς έρς ως προς το έαφος. Να παραστήστ τη στέγη. Σχήμα 33 Άσκηση 7. Πρόκιται να κατασκυάσουμ στέγη μ προβολή πριγράμματος το πολύγωνο c 0, και ισοκλινίς έρς ως προς το πίπο του πριγράμματος. Να παραστήστ τη στέγη. Σχήμα 34 3
Άσκηση 8. Στο τοπογραφικό του προηγούμνου σχήματος να σημιώστ μ ικανοποιητική προσέγγιση την προβολή των ιαστημάτων στα οποία ο υθύγραμμος κκλιμένος αγωγός νρού θα ιέλθι από το σωτρικό του λόφου. Δίνονται οι υψομτρικές του λόφου ανά 5 μέτρα ξκινώντας από τα 400 µ, καθώς και μέρος πληροφορίς για την κλίμακα της. Σχήμα 35 Άσκηση 9. Στο τοπογραφικό του πόμνου σχήματος να σημιώστ την προβολή του μέρους της υθίας όπου πρέπι να κατασκυαστί σήραγγα ντός του λόφου. Σχήμα 36 4
Άσκηση 10. Στο τοπογραφικό του σχήματος που ακολουθί παριστάνονται ύο σημία Α, Β του χώρου. Ελέγξτ αν υπάρχι ορατότητα μταξύ τους. Σχήμα 37 Άσκηση 11. Στο τοπογραφικό του πόμνου σχήματος λέγξτ αν τα σημία Α, Β του έχουν ορατότητα μταξύ τους. Σχήμα 38 5