ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει: Re + = Re ( ), ( ) β Αν Re( ), τότε: 4 i Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w= + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4 ii Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών c= + + 4i γ Για το προηγούμενο ερώτημα, να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο του c δ Αν οι μιγαδικοί, και ικανοποιούν την σχέση () και δεν είναι φανταστικοί, να αποδείξετε ότι + + = + + ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) Αν ισχύει η σχέση + ( ) i = 4( + ), C () : α Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή των αξόνων β Να βρείτε την μέγιστη τιμή του καθώς και τον μιγαδικό με το μέγιστο μέτρο γ Να προσδιορίσετε τα βγ, R,ώστε ο μιγαδικός να είναι λύση της εξίσωση δ Αν για τον μιγαδικό που ικανοποιεί την σχέση (), ισχύει 4+ i w 5i + + γ = 4 β 5, 5 = w i, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Λ (,5) και ακτίνας ρ =
ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Ιωάννου) Έστω C, με = και + = a, όπου a R Να αποδείξετε ότι : α a β γ δ a Re( ) = + = a a + a 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 (από pito) Έστω οι μιγαδικοί wμε, τις ιδιότητες α Να δείξετε ότι + w = w, w w + = + = β Να δείξετε ότι οι εικόνες των και w ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων, των οποίων να βρείτε και την ακτίνα γ Να βρείτε την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών και w δ Να δείξετε ότι οι εικόνες των wκαι, η αρχή των αξόνων είναι συνευθειακά σημεία ΑΣΚΗΣΗ 5 (από dennys) Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού α οι ρίζες, και ο γεωμετρικός τόπους αυτών β το μέγιστο του γ το μέγιστο του + (cos t ) (5 4sin t), t [, π ] + = Να βρεθούν : ΑΣΚΗΣΗ 6 (από dennys) Δίνεται = t+ ( t ) it, [,] Να βρεθούν α ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του β το ελάχιστο Αν w ( k ) ( k ) ik, = + +, Να βρεθούν : γ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w δ το ελάχιστο w ε το ελάχιστο w στ οι μέγιστες τιμές των w και w όταν k [, 4]
ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Δημήτρη Κατσίποδα) α Να λυθεί η εξίσωση w β Έστω οι μιγαδικοί, με + w+ = i Να αποδείξετε ότι: = + + = ii Να αποδείξετε ότι: + = = * ν ν iii Για ν N και +, να αποδείξετε ότι ο u = Πηγή: ΚΡεκούμης- ΚΛαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο) ν ν ν ν + είναι φανταστικός ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνονται οι μιγαδικοί,, με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία ABΓ,,, για τους οποίους ισχύει: + = και = =, = α Να δείξετε ότι Re( ) = β i Να δείξετε ότι = + ii Να δείξετε ότι το τρίγωνο OAB είναι ορθογώνιο γ Να υπολογίσετε Re( ) καθώς και Re( ) δ i Να δείξετε ότι τα σημεία ABΓ,, είναι συνευθειακά ii Να υπολογίσετε τις αποστάσεις AΓ και BΓ Πηγή: ΧΠατήλας (εκδόσεις Κωστόγιαννος) ΑΣΚΗΣΗ 9 (από Γιάννη Σταματογιάννη) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί = a + bi, = c + di όπου abcd,,, θετικοί αριθμοί ώστε = = Έστω η εξίσωση + = που έχει ρίζες, Να δείξετε ότι : α Οι ρίζες, δεν είναι πραγματικές β Ισχύει = = γ Ισχύει + 4 = 8 δ Ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και να βρείτε τη μικρότερη τιμή του
ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Θεωρούμε τον μιγαδικό ( ) ( ) α Να βρείτε το 6 8i = 6+ συν πt + 8 + ηµ π t i, µε t β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του γ Να βρείτε την μικρότερη και την μεγαλύτερη απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων δ Να εξετάσετε αν υπάρχει t, ώστε η εικόνα του να βρίσκεται στην διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων λ ε Για t = να βρείτε τον λ R, ώστε ο w= + + να είναι πραγματικός + ΑΣΚΗΣΗ (από Κώστα Τηλέγραφο) ( + y)( + i) Δίνεται ο μιγαδικός = με + yi α Να δείξετε ότι Re( ) + y + y = + y *, y R και Im( ) = y + y για κάθε β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο κινείται η εικόνα του γ Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού δ Να βρείτε τον μιγαδικό με το μέγιστο μέτρο ΑΣΚΗΣΗ (από pito) *,y Για τους μιγαδικούς ισχύει = 9+ και έστω ότι 4 = λλ, > α Να δείξετε ότι : i ii + = + 6 λ 4 + + = ( λ ) (5λ )( ) 5λ iii β Να βρείτε που κινείται η εικόνα του γ Να βρείτε το ελάχιστο μέτρο του ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Ιωάννου) Έστω w, C με (i + 4) + 5i =, w (4+ i) + 5iw = α Να αποδείξετε ότι + w (4 + i) + 5 i( + w) = β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του q αν q = +
ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Δημήτρη Ιωάννου) Έστω w, C με w = Αν abcdr,,, με a + b + c d > και a( + ) + ib( ) + c( ) + d( + ) =, να αποδείξετε ότι: α Η εικόνα του διαγράφει κύκλο ή ευθεία β Αν η εικόνα του διαγράφει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, τότε η εικόνα του w διαγράφει ευθεία γ Αν η εικόνα του διαγράφει ευθεία που δεν περνάει από την αρχή των αξόνων, τότε η εικόνα του w διαγράφει κύκλο ο οποίος περνάει από την αρχή των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ 5 (από pito) Έστω a, β C* και, είναι οι ρίζες της εξίσωσης α Αν a = β = τότε και + a + β = Να δείξετε ότι: β Αν =, τότε ο αριθμός a είναι πραγματικός β a γ Αν R β, και ο δεν είναι πραγματικός, να δείξετε ότι = ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η εξίσωση C α Να βρεθούν οι ρίζες και της () * = ( ), () v v β Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες τιμές του v, για τις οποίες ισχύει η σχέση + = γ Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί και y, που επαληθεύουν την ισότητα ( i) i + yi 6 + = + + δ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει ε Να βρεθεί ο μιγαδικός που έχει το μικρότερο μέτρο στ Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του + 7 i = 4
ΑΣΚΗΣΗ 7 (από dennys) Δίνεται ο μιγαδικός = ( k ηµ t) + ( k συνti ) με t R και k > α Να βρείτε πού κινείται ο 5 β Αν ο μιγαδικός w κινείται στην ευθεία y = ( k ), να βρείτε το k ώστε το w min = γ Για το k του (β) ερωτήματος βρείτε πού κινείται ο και το ελάχιστο και μέγιστο του δ Για το k του (β) ερωτήματος βρείτε το w + 4 i min ε Αν ο μιγαδικός u με u= ( + mηµ t) + ( + mσυνti ), να βρείτε για ποιά τιμή του m ο γεωμετρικός τόπος του u περνά από την αρχή των αξόνων στ Για τα km, του (β) και (ε) ερωτήματος, να βρείτε το ελάχιστο και μέγιστο του u ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Κώστα Τηλέγραφο) Έστω οι μιγαδικοί, w με τις ιδιότητες 4 w =, w w = α Να δείξετε ότι w = β Να δείξετε ότι οι εικόνες των και w ανήκουν σε κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων, των οποίων να βρείτε και την ακτίνα γ Να βρείτε το 6 + w δ Να βρείτε την μεγίστη και την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών και w ΑΣΚΗΣΗ 9 (από pito) Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και f( ) = i α Να βρείτε για ποιους μιγαδικούς ορίζεται ο f( ) β Να δείξετε ότι f( ) γ Αν f( ) = i, τότε: i Nα δείξετε ότι + Re( ) = ii Να βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές το Re( ) iii Να βρείτε που κινείται η εικόνα του, όπου ο είναι μιγαδικός που επαληθεύει την εξίσωση του ερωτήματος γi ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) α Να κάνετε τις πράξεις ( + + i)( 4 + i) β Να λύσετε την εξίσωση i i ( ) 4 + = () γ Έστω, οι ρίζες της () με Re( ) > και ABΓ,, οι εικόνες των, και = + i αντίστοιχα Να δείξετε ότι το τρίγωνο ABΓ είναι ορθογώνιο δ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M( ) που είναι εικόνες των μιγαδικών και ικανοποιούν την σχέση ( MA) + ( MB) = ( M Γ ) +
ΑΣΚΗΣΗ (από pito) Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί, ώστε αν α Να βρείτε τον μιγαδικό β Να βρείτε κάθε ν N * ώστε να ισχύει = να ισχύει = ν ν + =, Im( ) 95 94 γ Να δείξετε ότι + + + + = δ Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται πάνω στην ευθεία y = +, να δείξετε ότι η εικόνα του κινείται σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση ε Να δείξετε ότι το τρίγωνο OAB είναι ισοσκελές, όπου OABείναι,, οι εικόνες των μιγαδικών,, αντίστοιχα στ Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου OAB του (ε) ερωτήματος ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται ο μιγαδικός C { i} και η συνάρτηση α Για i, να δείξετε ότι f i β Να βρείτε το f( + i) ( ) = + 4 f( ) = + 8i i γ Να λύσετε την εξίσωση f i ( ) = + 4 δ Να λύσετε την εξίσωση f ( ) = i + 6 ε Αν =, να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών f( ) είναι σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας ρ = 7 ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) 5 8 Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει ( ) ( ) α Να βρείτε το β Να αποδείξετε ότι = γ Να λύσετε την εξίσωση () δ Έστω μιγαδικός με ( ) = Im >, που είναι λύση της εξίσωσης () και ο μιγαδικός i Να εκφράσετε το w ως συνάρτηση του λ ii Να βρείτε το λ, ώστε ο w να έχει μέγιστο μέτρο λ + w = με λ R λ
ΑΣΚΗΣΗ 4 (από pito) Έστω οι μιγαδικοί, με Im( ) > ώστε + = 4() και = 5() α Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών και β Να βρείτε το μιγαδικό w= i, ο οποίος έχει ελάχιστο μέτρο ν ν γ Έστω ν N * και ο μιγαδικός = Να δείξετε ότι υπάρχουν μιγαδικοί, ώστε ο να είναι φανταστικός ΑΣΚΗΣΗ 5 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Έστω η εξίσωση + + = που έχει ρίζες τις = και i α β, αβ, R α Να βρείτε τους αβ, R και την ρίζα v v β Να βρείτε το v R, ώστε = 6i γ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει η σχέση 6 + = () δ Αν για τον μιγαδικό ισχύει η (), να βρείτε την ελάχιστη τιμή του 4 4i ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Κώστα Τηλέγραφο) Δίνονται οι μιγαδικοί w, αν w + w = α Να δείξετε ο μιγαδικός είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός w β Να δείξετε ότι η διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών, w τέμνονται κάθετα γ Να δείξετε ότι w = + w w δ Αν επιπλέον + = i w i Να βρείτε την απόσταση της εικόνας του μιγαδικού w από το σημείο Α (, ) ii Να βρείτε τον μιγαδικό w ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Μπάμπη Στεργίου) Δίνονται οι μιγαδικοί με την ιδιότητα : α Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγματικός β Να αποδείξετε ότι ( + + ) + ( ) = + = + + +
γ Να αποδείξετε ότι + + = δ Να βρείτε όλους τους μιγαδικούς με τη δοσμένη ιδιότητα καθώς και το μέτρο τους ε Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Δημήτρη Κατσίποδα) A 4 = + + Έστω ο μιγαδικός με i και η συνάρτηση α Να βρείτε το Im( f( + i)) f( ) = + 4 i β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει f( ) R γ Να δείξετε ότι f( ) = + i δ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει f( 5 i) + f( + i) = () ε Για τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την (), να βρείτε τους μιγαδικούς με το μέγιστο μέτρο στ Αν οι μιγαδικοί και ικανοποιούν την (), να δείξετε ότι 8 () ΑΣΚΗΣΗ 9 (από Ηλία Καμπέλη) Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης α+9=, α R και, R α Να βρείτε τις δυνατές τιμές του πραγματικού α + R 7 7 β Να αποδείξετε ότι ( ) γ Να βρείτε τα, δ Αν + = να βρείτε το α ε Για = α και ( ) Im > να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ισχύει = 4+ ΑΣΚΗΣΗ (από Στρατή Αντωνέα) α Να λύσετε, στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση : + 4 = β Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: + 4 = + και + =
ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνάρτηση f, που είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ab, ], με a > και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό ( ab, ) Έστω επιπλέον και οι μιγαδικοί: = a + if ( a) και = b + if ( b) + =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ( ab), ώστε ( ) α Αν ισχύει, f = β Έστω οι πραγματικοί αριθμοί A και B, με A B, ώστε: A + B = Να αποδείξετε ότι: i Ο μιγαδικός είναι πραγματικός ii Ισχύει ( ) f ( b) f a a = iii Υπάρχει ( ab, ), ώστε f ( ) o iv Υπάρχει εφαπτομένη της b = o f ( ) o o C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : [ αβ, ] R με f ( α) > α > τέτοια ώστε, ο μιγαδικός αριθμός β + if ( β) = να είναι φανταστικός Να αποδείξετε ότι: α if ( α) α Η εξίσωση f( ) = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο ( αβ, ) β Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( ) < γ Αν η εξίσωση f( ) υπάρχει εφαπτομένη της = έχει λύσεις στο διάστημα (, ) C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων αβ τους αριθμούς, με <, τότε ΑΣΚΗΣΗ (από Χρήστο Κανάβη) Έστω η συνάρτηση f( ) = ( + ), όπου = ρ > το μέτρο του μιγαδικού α i Να βρεθεί ο θετικός αριθμός ρ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να εφάπτεται στο γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού, καθώς και ii το σημείο επαφής β Να βρεθεί το διάστημα που ανήκει ο αριθμός ρ ώστε να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolano για τη συνάρτηση f στο [, ] γ Έστω ο μιγαδικός ( ) w= f + ( + ) i, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w
ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Χρήστο Τσιφάκη) Im( ) Αν για τον μιγαδικό = + yi, ισχύει + + i = : α Να δειχθεί ότι η εικόνα My (, ) του διαγράφει κύκλο του οποίου να προσδιοριστεί το κέντρο και η ακτίνα β Ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μεγαλύτερο πραγματικό μέρος ; γ Αν είναι κάποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς, να δειχθεί ότι Im( ) < ΑΣΚΗΣΗ 5 (από Κώστα Τηλέγραφο) Δίνεται η f συνεχής στο R, f ( ) R με α Να δειχτεί ότι f( ) > β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των γ Να βρείτε το όριο lim ( ) ( ) + + + f ( ) d = και f() = δ Αν το εμβαδόν της f με ' από τη = μέχρι τη = είναι μικρότερο του +, να δειχτεί ότι η εξίσωση f t dt () = + 6 6έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,) ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Χρήστο Κανάβη) Δίνεται η συνεχής στο διάστημα [ αβ, ] συνάρτηση f και οι μιγαδικοί αριθμοί α if ( α) w = β if ( β) με αβ και f ( α) f ( β) Υποθέτουμε ότι w+ < w και f ( α) < f ( γ) < f ( β) Να δειχθεί ότι α υπάρχει ( αβ) ώστε f ( ) =, β υπάρχει ( αβ) ώστε f ( ) = f ( γ ), = + και ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Χρήστο Κανάβη) α Δίνονται οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει + Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w= f ( ) β Δίνονται οι μιγαδικοί = + iα και = + f ( ) + i που ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος ( ) (α) και f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με f ( ) = και ( ) Να δειχθεί ότι < α < f
γ Αν για τη συνάρτηση g με τύπο g ( ) = Im( ) ισχύει το θεώρημα Rolle στο [, ] e e f f ( γ ) ( δ ) + f ( δ ) =, f ( γ ) + f ( γ ) γδ να δείξετε ότι ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής και η γραφική παράστασή της διέρχεται από το σημείο A(, ) Δίνονται ακόμα οι μιγαδικοί αριθμοί = f( ) + f( ) i και α Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f = με = ( e + ) w f( ) f ( i ) β Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για κάθε R γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) = Re( w ) δεν έχει ακρότατα ΑΣΚΗΣΗ 9 (από pito) Δίνεται η συνάρτηση f : R R συνεχής και C έτσι ώστε να ισχύουν f ( ) + ηµ = f ( ) f( ) για κάθε πραγματικό και lim = ll, = α Να δείξετε ότι: i = ii Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο f( ηµ ) β Να βρείτε το lim γ Να δείξετε ότι η συνάρτηση g ( ) = f( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (,) και (, + ) δ Να βρείτε όλους τους δυνατούς τύπους της f ε Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 4 i 5) + + = + έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [, ] ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Απόστολο Τιντινίδη) = + + +, όπου [, π ) Θεωρούμε το μιγαδικό ( συν ) ( ηµ ) i α Να αποδείξετε ότι η εικόνα M του κινείται σε κύκλο ( C) του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β Να βρείτε για ποια τιμή του το γίνεται ελάχιστο και για ποια μέγιστο Να υπολογίσετε και την ελάχιστη και μέγιστη τιμή του
γ Έστω, οι τιμές του για τις οποίες το παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του και έστω M, M οι αντίστοιχες εικόνες του Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία M, M Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ' ένα τουλάχιστον σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου ( C ) Πρότειναν οι: Απόστολος Τιντινίδης Γιάννης Σταματογιάννης Δημήτρης Ιωάννου Δημήτρης Κατσίποδας Ηλίας Καμπέλης Κώστας Τηλέγραφος Μπάμπης Στεργίου Περικλής Παντούλας Στρατής Αντωνέας Χρήστος Κανάβης Χρήστος Τσιφάκης dennys pito (*)http://wwwmathematicagr/forum/viewtopicphp?f=5&t=7