ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων των προαγωγικών εξετάσεων στη Β τάξη του Γενικού Λυκείου αποτελεί συνέχεια παρόμοιας προσπάθειας που έγινε κατά τα προηγούμενα δύο σχολικά έτη. Τα θέματα προέρχονται από Λύκεια του Νομού Δωδεκανήσου.Τα θέματα επιλέχθηκαν αφενός με βάση το τεχνικό κριτήριο της δυνατότητας επεξεργασίας και αφετέρου το κριτήριο της λιγότερης παρέμβασης. Όμως φέτος τα θέματα που παραθέτουμε έχουν υποστεί, στο μέτρο του δυνατού, αξιολόγηση ως προς: Α. Το υφιστάμενο νομικό πλαίσιο επιλογής και διάρθρωσης των θεμάτων, Β. Το περιεχόμενο τους καθώς και την επιστημονική τους ορθότητα, Γ. Την διαβαθμισμένη δυσκολία τους, Δ. Την αισθητική τους καθώς και την ηλεκτρονική τους σελιδοπόιηση, Ε. Την φιλολογική τους επιμέλεια. Έτσι, πολλά από τα θέματα που ακολουθούν, έχουν υποστεί κάποιας μορφής «παρέμβαση», χωρίς ωστόσο να αλλοιωθεί ο χαρακτήρας και η δομή τους. Παραδίδουμε λοιπόν στους αγαπητούς μαθητές μας και στους αξιόμαχους συναδέλφους μας μαθηματικούς, αλλά και σε όποιον ενδιαφέρεται για την μαθηματική εκπαίδευση, το υλικό που ακολουθεί και ελπίζουμε να τους βοηθήσει. Μάρτιος 2015 Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου Μαθηματικός Περιηγητής 2
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a a... a 0, με ακέραιους συντελεστές. v v1 1 1 0 Αν ο ακέραιος 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε να δειχθεί ότι ο είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0. (Μονάδες 9 ) Β. Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης του διπλανού πίνακα με τις λύσεις της που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα. Στήλη 1 η Στήλη 2 η ΕΞΙΣΩΣΗ ΛΥΣΕΙΣ α) ημ=ημθ 1) 2, β) συν=συνθ 2 2) 2 γ) εφ=εφθ 3) 2 2 (Μονάδες 6) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. β. Η συνάρτηση ημίτονο είναι περιοδική με περίοδο. γ. Ένα πολυώνυμο δ. Η συνάρτηση P έχει παράγοντα το αν και μόνο αν P 0. f a με 1 a είναι γνησίως φθίνουσα. ε. Αν a 0 με a 1, τότε για οποιαδήποτε 1, 2 0 ισχύει: (Μονάδες 52=10) log log log a 1 2 a 1 a 2 Μαθηματικός Περιηγητής 3
ΘΕΜΑ 2ο 3 Αν και, τότε: 5 2 Α. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. (Μονάδες 8) Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 10 12 K. 5 (Μονάδες 4) Γ. Να λύσετε την εξίσωση : (. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 6, όπου a, 3 2 P a Α. Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του P και Β. Αν 0 και 7, να λύσετε την ανίσωση P 0. (Μονάδες 15) P3 12, να αποδείξετε ότι 0 και 7. ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f ln 3 5. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) Β. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. (Μονάδες 12) Μαθηματικός Περιηγητής 4
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω πολυώνυμο 1 P 1 1 0 με 0, 1,, R και R. Πότε λέμε ότι ο πραγματικός αριθμός είναι ρίζα του (Μονάδες 5) P ; Β. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου τιμή του πολυώνυμου για. Είναι δηλαδή P. P με το είναι iσο με την Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η συνάρτηση f 2 T. με, 0 έχει μέγιστο, ελάχιστο και περίοδο β. Αν, τότε ισχύει η ισοδυναμία: 2,. γ. Αν 0 1 f τότε η συνάρτηση δ. Αν 0 τότε 0. ε. Σε οποιοδήποτε πολυώνυμο P η αριθμητική τιμή πολυωνύμου (Μονάδες 25=10) είναι γνησίως φθίνουσα στο. P 0 είναι ο σταθερός όρος του ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται η συνάρτηση f 3 με 0 που έχει περίοδο T 4 Α. Να βρεθεί ο αριθμός καθώς και η ελάχιστη τιμή της f Β. Να λυθεί η εξίσωση (Μονάδες 15) f 3 2 Μαθηματικός Περιηγητής 5
ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P k 2 με k Α. Αν το πολυώνυμο P έχει ρίζα τον 2 να βρεθεί ο k (Μονάδες 6) Β. Αν k 1 Β1. Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P: 1 και να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης. Β2. Να λυθεί η εξίσωση P 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 ο Η γραφική παράσταση της συνάρτησης M 3, 4 Α. Να βρείτε την τιμή του (Μονάδες 9) Β. Να λύσετε την ανίσωση f 0 f 1 4 8 διέρχεται από το σημείο (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση (Μονάδες 7) 2 5 e e f 5 0 2 Μαθηματικός Περιηγητής 6
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P με το πολυώνυμο είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για, δηλαδή είναι P. Β. Αν, με 0, 0 και 1, να ορίσετε το log. (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει ln e 1 β. Αν τότε 2 ή 2,. γ. Η συνάρτηση 2 f,, έχει περίοδο T. δ. Το μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. ε. Η συνάρτηση, 1 2 (Μονάδες 52=10) f με είναι γνησίως αύξουσα. ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται το πολυώνυμο, και,. 3 2 P 2 2, Α. Αν το P έχει παράγοντα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης 1 είναι 2, να δείξετε ότι 3 και 3. (Μονάδες 13) Β. Αν κ = 3 και λ = 3 να λύσετε την ανίσωση P 0. (Μονάδες 12) P με το ΘΕΜΑ 3 ο 3 2 Δίνεται η γωνία, με, για την οποία ισχύει 15 4 12 0. 2 Μαθηματικός Περιηγητής 7
Α. Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7) 3. 5 Β. Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. (Μονάδες 8) Γ. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 15 17 2 11 17 3 4 2 2 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να λύσετε την εξίσωση: 4 172 16 0 (Μονάδες 8) Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) ln 4. (Μονάδες 8) 1 2 f ( ) ln 2 16. Μαθηματικός Περιηγητής 8
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για. Είναι δηλαδή P Β. Να συμπληρώσετε, τα κενά στις επόμενες ισότητες, ώστε να είναι αληθείς : α. 1 2 log... (, 1, 2 0 και 1) 1 2 β. a... ( 1, 2 ) γ.... (Μονάδες 33=9) P με το είναι Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση 4 2 3 3 1 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. β. Η περίοδος της συνάρτησης f είναι 3π. γ. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α λέγεται άρτια, όταν για κάθε A ισχύει : A (Μονάδες 32=6) και f f ΘΕΜΑ 2 Ο Να λύσετε τις εξισώσεις : Α. 1 0 (Μονάδες 12) Β. 1 (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P 1 όπου a, πραγματικοί αριθμοί. Α. Να βρείτε τις τιμές των a,, ώστε το P να έχει παράγοντα το 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το 1να είναι ίσο με το 6 Μαθηματικός Περιηγητής 9
(Μονάδες 12) Β. Αν 2 και 2 να λύσετε την ανίσωση P 0. (Μονάδες 13) ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Δίνεται η συνάρτηση f log 6 log 1 Α1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (Μονάδες 5) Α2. Να λύσετε την εξίσωση: Β. Να λύσετε την ανίσωση : log 6 log 1 3log 2 2 2 2 10 1 1 4 2 Μαθηματικός Περιηγητής 10
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ΘΕΜΑ 1o Α. Αν 0 με 1,τότε για οποιαδήποτε 1, 2 0, να αποδείξετε ότι: (Μονάδες 12) log log log 1 2 1 2 Β. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για 0, 1 και 0 ισχύει log β. Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει 2 γ. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. δ. Η συνάρτηση (Μονάδες 24=8) f a με 0 a 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο. ΘΕΜΑ 2o Δίνεται τo πολυώνυμο P a 3 2 2 6, όπου πραγματικός αριθμός. Α. Αν η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P για 3 είναι ίση με 30 και το 1είναι παράγοντας του (Μονάδες 13) P, να αποδείξετε ότι a 1 και 7. Β. Κατόπιν αφού αντικαταστήσετε τα a, που βρήκατε στο ερώτημα (Α), να λύσετε την ανίσωση P 0 (Μονάδες 12) Μαθηματικός Περιηγητής 11
ΘΕΜΑ 3o Δίνεται η συνάρτηση f a lne 2 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f (Μονάδες 8), όπου a πραγματικός αριθμός. Β. Να βρείτε το a ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A ln 3, 1 (Μονάδες 9) Γ. Για a 1, να λύσετε την εξίσωση f 0 (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 4o P, όπου 4 3 2 2 Δίνεται το πολυώνυμο 0, Α. Αν το P έχει ρίζα το 1, να βρείτε το. (Μονάδες 12) Β. Αν, να λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 13) 1 P 3, για 3 Μαθηματικός Περιηγητής 12
ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 Α. Να αποδείξετε ότι αν 0 με a 1, τότε για οποιοδήποτε 0 και ισχύει: log log Β. Έστω μία μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο του ; (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. 0 α. Για κάθε γωνία ισχύει ότι 90 β. Η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο π γ. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 1. 1 2 δ. Αν 0 a 1 ισχύει πάντα η ισοδυναμία a a 1 2 ε. Αν 0 τότε για κάθε ισχύει η ισοδυναμία ln e (Μονάδες 25= 10) ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται το πολυώνυμο Α. Να αποδείξετε ότι a 2. (Μονάδες 6) 3 2 P a 5 3a Β. Να λύσετε τη εξίσωση P 0 (Μονάδες 9) P Γ. Να λυθεί η ανίσωση 6 1, το οποίο έχει ρίζα το 1. Μαθηματικός Περιηγητής 13
ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η παράσταση: a 9 3 5 2 (1) και η εξίσωση: 2 2 1 a (2) Α. Αν 3 με 5 2 Α1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνω και σφω (Μονάδες 6) Α2. Να υπολογισετε την τιμή της παράστασης α. (Μονάδες 7) Β. Αν α= -4, να λύσετε την εξίσωση (2) (Μονάδες 12) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι συναρτήσεις 1 f ln και g log9 3 Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. Β. Nα λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 7) Γ. Nα λύσετε την ανίσωση: (Μονάδες 8) f ln 3ln 2 g g 1 log 2 Μαθηματικός Περιηγητής 14
ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Α. Να διατυπώσετε τον ορισμό του λογαρίθμου του 0 ως προς βάση το. (Μονάδες 7) Β. Να αποδείξετε ότι : Αν ένα πολυώνυμο P έχει παράγοντα το τότε το είναι ρίζα του P. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει log a ( 1 2) loga 1 loga 2 ( 0 1 και 1, 2 0 ) β. Ισχύει (log ) log (0 1 και 0 ) a a γ. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P με το χ-ρ είναι δ. Η συνάρτηση εφαπτομένη είναι περιοδική με περίοδο π. (Μονάδες 24= 8) P. ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται το πολυώνυμο P 3 ( ) 3 2 Α. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης με το 1. (Mονάδες 7). Β. Να λύσετε την εξίσωση P( ) 0. (Mονάδες 9) Γ. Να λύσετε την ανίσωση P( ) 0. (Mονάδες 9) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το σύστημα: Α. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D, D 2 5y 5 2 y 5 y Μαθηματικός Περιηγητής 15
(Mονάδες 6) Β. Να λύσετε το σύστημα. (Mονάδες 14) Γ. Αν o, o A y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να αποδείξετε ότι το Α βρίσκεται στην ευθεία y (Mονάδες 5). ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις 2 f ( ) ln( e 2e 1) και g( ) ln( e 1) Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. (Mονάδες 7) Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g. (Mονάδες 3) Γ. Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln 2 g (Mονάδες 7). Δ. Να λύσετε την ανίσωση f ( ) ln 2 g (Mονάδες 8) Μαθηματικός Περιηγητής 16
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Στον παρακάτω πίνακα η πρώτη γραμμή περιέχει κάποιες γνωστές συναρτήσεις και η δεύτερη γραμμή τις γραφικές τους παραστάσεις σχεδιασμένες με τη βοήθεια λογισμικού. Να αντιστοιχίσετε (στο τετράδιό σας) τις συναρτήσεις της 1 ης γραμμής με τις αντίστοιχες γραφικές τους παραστάσεις από τη 2 η γραμμή. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. ημ Β. συν Γ. εφ Δ. e Ε. e - II. ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ I. III. IV. V. (Μονάδες 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων έχει πάντα μοναδική λύση. β. Η συνάρτηση είναι περιοδική συνάρτηση. γ. Οι λύσεις της εξίσωσης, όπου R, είναι, με Z. δ. Ρίζα ενός πολυωνύμου P( ) ονομάζεται κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου του. c t ε. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής εκφράζεται από τη σχέση Q( t) Q0 e. (Μονάδες 52=10) Μαθηματικός Περιηγητής 17
ΘΕΜΑ 2 ο 7 Δίνεται ότι 51. Με τη βοήθεια αυτού να βρείτε στο σύνολο των πραγματικών 9 αριθμών όλες τις λύσεις της εξίσωσης 9 7. (Μονάδες 25) ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται το πολυώνυμο 3 P( ) 19 30. A. Να υπολογίσετε την τιμή P (0). (Μονάδες 5) B. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 5 είναι ρίζα του πολυωνύμου P( ). (Μονάδες 5) Γ. Να λύσετε την εξίσωση P( ) 0. Δ. Τι πρόσημο έχει το πολυώνυμο P( ) στο διάστημα ( 5, 2) ; (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 4 ο Η τροχιά ενός αστεροειδούς στο διάστημα (δείτε το επόμενο σχήμα) προσεγγίζεται από τη σχέση 2 2 2 y y 5 4y 3. Ένα ραδιοτηλεσκόπιο, αναζητώντας αστεροειδείς, εκπέμπει σήματα πάνω στην ευθεία y, όπου είναι ένας πραγματικός αριθμός. Μαθηματικός Περιηγητής 18
Α. Αν η θέση του ραδιοτηλεσκοπίου είναι ( 1, 0), να αποδείξετε ότι 1. (Μονάδες 7) Β. Για 1, να βρείτε τις θέσεις (, y ) του αστεροειδούς στις οποίες θα γίνεται αντιληπτός από το ραδιοτηλεσκόπιο. (Μονάδες 18) Μαθηματικός Περιηγητής 19
ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Α. Aν 0 1 και 1, 2 0, να αποδείξετε ότι ισχύει: (Μονάδες 15) log log log a 1 2 a 1 a 2 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν σ' ένα γραμμικό σύστημα η ορίζουσα του συστήματος D ισούται με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. 2 2 β. Για κάθε γωνία ισχύει 1. γ. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο. δ. Το πηλίκο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου πολυωνύμου για. P με το είναι ίσο με την τιμή του ε. Αν 0 1, τότε για κάθε ισχύει log a a (Μονάδες 52=10) ΘΕΜΑ 2o Δίνεται το σύστημα: 5 y 1 1 0 2 4 2 1 y 5 1 3 2 A. Να φέρετε το παραπάνω σύστημα στη μορφή: a y y (Μονάδες 13) Β. Να λύσετε το παραπάνω συστημα. (Μονάδες 12) Μαθηματικός Περιηγητής 20
ΘΕΜΑ 3o Δίνεται το πολυώνυμο P 3 2 2 5 2 A. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 είναι ρίζα του πολυωνύμου P. (Μονάδες 7) B. Να λύσετε την εξίσωση P 0. (Μονάδες 9) Γ. Να λύσετε την εξίσωση: 3 2 2 5 2 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4o A. Να δείξετε ότι: B. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 15) 3 log2 3 8 3 3 2log2 log2 log2 3 3 23 8 0 Μαθηματικός Περιηγητής 21
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 ΘΕΜΑ 1 ο Α.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε 1, 2 Δ με 1 2 ισχύει f ( 1) f ( 2). β. Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον. γ. Αν 0 με 1, τότε ισχύει log 1. δ. Η εξίσωση συν = α, με α > 1 έχει άπειρες λύσεις στο R. ε. Η συνάρτηση (Μονάδες 25 = 10) f () με 0 και 1, έχει σύνολο τιμών το (0, ). Β. Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το ρ, τότε το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P(). (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται η συνάρτηση f() = αημ(β) με α, β 0, η οποία έχει ελάχιστο το - 4 και περίοδο Τ = π. A. Να αποδείξετε ότι a 4 και 2. B. Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες 15) f() - 2 3 0. ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε το πολυώνυμο: 2 4 3 2 P() ( 1) ( 1) (4 1) 6, με, R. Μαθηματικός Περιηγητής 22
Δίνεται επίσης ότι το πολυώνυμο P() είναι 3 ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το 1 είναι - 4: A. Να υπολογίσετε τα a,. B. Για a 1 και 3, να λύσετε την ανίσωση P() 0. (Μονάδες 15) ΘΕΜΑ 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις f () log(5 4 2 25 ) και 2 1 g() 2 5 25 2 5. Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g. (Μονάδες 8) B. Να λύσετε την εξίσωση f () 10 g(). Γ. Να αποδείξετε ότι f ( 1) f(0) log g(1) log13 3. (Μονάδες 7) Μαθηματικός Περιηγητής 23