ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα ψηφιακής επεξεργασίας έχει αναπτυχθεί ιδιαίτερα τις τελευταίες δεκαετίες. Το µάθηµα ΨΕΣ που παρουσιάζουµε εδώ έχει στόχο να κάνει γνωστές τις στοιχειώδης από την Γενική Θεωρία Ψηφιακής Επεξεργασίας Σήµατος και να εστιάσει ιδιαίτερα σε εφαρµογές αυτής που χρησιµοποιούνται στις τηλεπικοινωνίες sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Laplace (LT) Ο Μετασχηµατισµός Laplace χρησιµοποιείται για να µετατρέψει προβλήµατα µε γραµµικές διαφορικές εξισώσεις ή Ολοκληρωτικές Εξισώσεις σε Προβλήµατα που λύνονται µε επίλυση αλγεβρικών Εξισώσεων. Με τον LT γίνεται άνετη η απόκτηση της λύσης της µη σταθερής αρχικής κατάστασης (Not Steady State Solution). Επίσης µε αυτόν µπορεί να προσδιοριστεί η ευστάθεια ενός αναλογικού συστήµατος Μετασχηµατισµός Laplace (LT) Ορισµός Για τη συνάρτηση f(t) ορίζεται η µιγαδική συνάρτηση µε µιγαδική µεταβλητή s=σ+ σ+jf η F(s): s Για Παράδειγµα: t ( ) = s ( n L t ) L( cos( ωt) ) = L e s + ω = n! n s + L ( δ ( t) ) = sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Laplace (LT). Γραµµικότητα. Αντιστοιχία ένα προς ένα: Ιδιότητες 3. Εφαρµογή Κλίµακας στον Χρόνο: s g( t) = f ( at) G( s) = F a a 3. Πολλαπλασιασµός µε εκθετική Ολισθηση στο LT: ( ) = at ( ) ( ) = ( ) g t e f t G s F s a Μετασχηµατισµός Laplace (LT) Ιδιότητες 4. Ολίσθηση στο χρόνο πολπλ.. Με εκθετική < t < T st g( t) = G s = e F s f ( t T) T t 5. ιαφόριση στο χρόνο: πολλαπλασιασµός µε s { ( )} ( ) L f ' t = sf s + f () 6. Ολοκλήρωση στο χρόνο διαίρεση µε s L t { f ( t) } = ( ) F s s ( ) ( ) sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Laplace (LT) Ιδιότητες 7. Συνέλιξη στο χρόνο πολπλ.. Στο LT { ( )* ( )} = ( ) ( ) L f t h t F s H s sagri@di.uoa.gr 5
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Fourier (FT) Μπορεί να οριστεί ως γενίκευση της σειράς Fourier που εφαρµόζεται σε ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο άπειρη. Μπορείτε επίσης να τον θεωρήσετε ως ειδική περίπτωση του Μετασχηµατισµού Laplace όπου το s=jf (σ=) sagri@di.uoa.gr 6
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Για ένα ενεργειακό σήµα, x(t) ορίζεται ο Μετασχηµατισµός Fourier, X(f)=F{x(t)} + jπ ft X ( f ) F{ x( t)} x( t) e dt = = Όταν διαθέτουµε τον Μετασχηµατισµό Fourier X(f) µπορούµε να δηµιουργήσουµε το x(t) από τον Αντίστροφο Μετασχηµατισµό Fourier : + x( t) F { X ( f )} X ( f ) e j π ft df = = x( t) X ( f ) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER. Μέσω του FT προσδιορίζουµε την Ενεργειακή Κατανοµή ενός ενεργειακού σήµατος στις διάφορες συχνότητες. Συγκεκριµένα η Ενεργειακή Κατανοµή συναρτήσει της συχνότητας ενός Σήµατος x(t) δίνεται από τον τύπο Χ(f). O FT χρησιµοποιείται ως µαθηµατικό εργαλείο. Κάποιες αποδείξεις που δύσκολα γίνονται στο πεδίο του χρόνου πιθανόν προκύπτουν ταχύτερα στο πεδίο των συχνοτήτων, sagri@di.uoa.gr 7
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 3. Μέσω του FT προσδιορίζουµε την Κατανοµή Ισχύος ενός σήµατος ισχύος. (Προηγείται ο υπολογισµός της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης)στις διάφορες συχνότητες. 4. Μέσω του FT προσδιορίζουµε η µόνιµη (Standard State) απόκριση ενός Γραµµικού Συστήµατος, H(f) ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ο Μετασχηµατισµός Fourier ορίζεται µε τη χρήση ορίων επίσης και για µερικά σήµατα ισχύος: x t f t X f f f f f ( ) = cos( π ), ( ) = δ ( ) + δ ( + ) c c c x t f t X f f f f f j ( ) = sin( π ), ( ) = δ ( ) + δ ( + ) c c c ( ) =, ( ) = δ ( ) x( t) = δ ( t), X ( f ) = x t X f f sagri@di.uoa.gr 8
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER ( π ft) t sin F Π = T = Tsinc ft T π ft ( ) t Π T x(t)= Re[Χ(f)] T -Τ/ Τ/ t /T /T f Im[Χ(f)]= f ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER. ( πwt) sin f F = Π πwt W W x(t) /W Re[X(f)].5/W t -W W f Im[Χ(f)]= sagri@di.uoa.gr 9
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER. ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ { } F c x ( t) + c x ( t) = c X ( f ) + c X ( f ). ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗ { } F x( t t ) = X ( f ) exp( j π ft ) 3. ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ { ( )} F x( t) exp j π f t = X ( f f ) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Παράδειγµα Χρονικής Ολίσθησης Π x(t)= t t T -Τ/ Τ/ t Re[X(f)] - -3 - - 3 Im[X(f)] - -3 - - 3 X(f) -3 - - 3 f sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Παράδειγµα Αλλαγής Συχνότητας Re[x(t)]. 5 -. 5 t x( t) = Π exp j ft T - - 6-4 - 4 6. 5 ( π ) Im[x(t)] -. 5 f = - - 6-4 - 4 6. 5 Re[X(f)] t. 5 sin X ( f ) = T -. 5-3 - - 3. 5 -. 5 ( πt ( f f )) πt ( f f ) Im[X(f)] - - 3 - - 3 f Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ F{ x( t) cos( π ft) } = X ( f f) + X ( f + f) 5. ΣΥΝΕΛΙΞΗ { } { } F x( t) y( t) = X ( f ) Y ( f ) F x( t) y( t) = X ( f ) Y ( f ) 6. ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ ( Θεώρηµα Parseval) x t dt = X f df ( ) ( ) sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Πίνακας Μετασχηµατισµών Fourier Για Μερικές Χρήσιµες Συναρτήσεις Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Η Συνάρτηση Χ(f)του Μετάσχ. Fourier ενός πραγµατικού σήµατος x(t) παρουσιάζει Hermitian Συµµετρία, δηλαδή:. Χ(f)=X*(-f) Ισοδύναµα «Άρτια συµµετρία στο πραγ. και περιττή στη φαντασ.!» Re{X(f)}=Re{X(-f)} και Im{X(f)}=-Im{X(-f)} Ή αλλιώς «Άρτια συµµετρία στο µέτρο και περιττή στη φάση!» Χ(f) = Χ(-f) και φάση{χ(f)}=-φάση{χ(-f)} sagri@di.uoa.gr
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Χρησιµοποιείστε τις ιδιότητες του Μετ. Fourier Γραµµικότητα και Αλλαγή Συχνότητας και αποδείξτε ότι ισχύει η ιδιότητα ιαµόρφωση. Απάντηση Γραµµικότητα Αλλαγή Συχνότητας F{ cx ( t) + c x ( t) } = c X( f ) + cx ( f ) F{ x( t) exp( j π ft) } = X ( f f) ιαµόρφωση F{ x( t)cos( π ft) } = X ( f f) + X ( f + f) ( jφ) + exp( jφ) exp cos( φ) = x( t)exp( j π f t) x( t)exp( jπ f t) F{ x( t)cos( π ft) } F F = X ( f f) + X ( f + f) = + = Ορισµός Μετασχηµατισµός Ζ Θεωρείστε ακολουθία {x(n)}. Ο Ζ-Μετασχηµατισµός της {x(n)} ορίζεται ως: µε z=re -jπf r>. n ( ) x( n) z X z = n Ο ορισµός ισχύει µόνο αν υπάρχει περιοχη των µιγαδικών αριθµών για την οποία το άθροισµα συγκλίνει. sagri@di.uoa.gr 3
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Ζ Η περιοχή σύγκλισης στη βιβλιογραφία συµβολίζεται ως ROC (Region of Convergence) O Μετασχηµατισµός Ζ χρησιµοποιείται:. Στην Επίλυση Εξισώσεων ιαφορών. Ως Μαθηµατικό Εργαλείο. 3. Για τον υπολογισµό της Συνάρτησης Μεταφοράς (Transfer Function) ενός ιακριτού Συστήµατος. Μετασχηµατισµός Ζ Παράδειγµα: ακολουθία ( ) { x n } {..., a =, a,, a, a } n n Ο Ζ-Μετασχηµατισµός X ( z) a z = n= εν ορίζεται επειδή δεν υπάρχει ROC (περιοχή σύγκλισης ) sagri@di.uoa.gr 4
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Ζ n { } = Παράδειγµα: ακολουθία ( ) {u n } unit step sequence x n a u n Ο Ζ-Μετασχηµατισµός n n n X ( z) = a unz = ( az ) = az n= n= Im a Re H ROC είναι όλο το z επίπεδο εκτός του κύκλου ακτίνας α Μετασχηµατισµός Ζ Ιδιότητες sagri@di.uoa.gr 5
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ Μετασχηµατισµός Ζ ειγµατοληψία Σήµατος Έστω το συνεχές σήµα x C (t) µε µετασχηµατισµό Fourier Χ C (Ω). 8 6 4 x C (t) - -4-6 -8-4 6 8 4 6 8 t sagri@di.uoa.gr 6
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ 7 6 5 4 X C (ω) 3 - - -6-4 - 4 6 8 ω Το εύρος ζώνης του σήµατος είναι πεπερασµένο και στο συγκεκριµένο παράδειγµα ισχύει ω max =3 rad/sec. x δ (t) x s (t).5.5 -.5-8 6 4 - -4-6 -8 4 6 8 4 6 8 t - 4 6 8 4 6 8 t ειγµατοληπτούµε το σήµα x C (t) χρησιµοποιώντας την ακολουθία των delta x δ (t) του σχήµατος. ( ) = δ( t nt ) x t δ n= Λαµβάνεται το σήµα ( ) = δ( ) x t x t nt S C S n= S sagri@di.uoa.gr 7
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ x t x t δ t nt x nt δ t nt x n δ t nt ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) S C S C S S S n= n= n= ( ) x ( nt ) x n Ο Μετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος x S (t) υπολογίζεται: π nπ XS ( ω) = F{ xs ( t) } = F{ xc ( t) } F δ ( t nt S) = XC ( ω) δ ω π n = π TS n= TS nπ nπ XS ( ω) = XC ( ω) δ ω = XC ω TS n= TS TS n= TS π XS ( ω) = XC ( ω nω S), ωs = T T S n= C S S X C (ω) 7 6 5 4 3 XC( ω) - - -6-4 - 4 6 8 ω XS ( ω) 8 X s (ω) 6 4 - - -5 - -5 5 5 ω Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =6 rad/sec sagri@di.uoa.gr 8
ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ X s (ω) X s (ω) 8 6 4 - - -5 - -5 5 5 ω 8 6 4 - -5 - -5 - -5 5 5 5 ω X S ( ω) Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =8 rad/sec XS ( ω) Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S = rad/sec 7 6 5 XS ( ω) X s (ω) 4 3 - - - -8-6 -4-4 6 8 ω Για κυκλική συχνότητα δειγµατοληψίας ω S =5 rad/sec sagri@di.uoa.gr 9