Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για τις Συνεχείς Κατανομές Τυπολόγιο Κατανομών Αν Χ τυχαία μεταβλητή (διακριτή ή συνεχής) με πυκνότητα πιθανότητας f() και συνάρτηση κατανομής F() F()()() P X f t για διακριτή ή ()()() F P X f t dt για συνεχή t Μέση τιμή του Χ : E()() f ή E()() f d κ-ροπή του Χ : f () ή () E f d κ-κεντρική ροπή του Χ : '() f ή '() Διασπορά του Χ : ()() Vr E E Αν X N(0,)()() F P X E f d, P()()() X b F b F, F() () F P T t P T t n, n, n 0 : t z, t t z z n, n, n, n, n, n, n, n, n, P X P X P F F P F F F n, n, F n, n, www.glos.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88, 0, & Αν X N Y Αν έχω πολλές τότε το άθροισμά τους (η τέτοιων) ακολουθεί την X Αν X N(0,), Y X n T tn Y / n X / n Αν X n, Y n F F n, n Y / n X n Κατανομή Σύμβολο Τύπος P() Μέσος διασπορά Παρ Bernoulli Β(,p) n p q p pq q=-p Δυωνυμική B(n,p) n n p q np npq q=-p Γεωμετρική pq 4 Υπεργεωμετρική m n r q p mr m n q p mnr() m n r m n m n 5 Poisson P(λ) λ λ λ>0 e! 6 Ομοιόμορφη U(,b) b () b α<β b 7 Αρνητ.Εκθετική e λ>0 8 Κανονική(Guss) N(μ,σ ) μ σ e 9 Τυπική κανονική N(0,) 0 e 0 Γάμμα Κατανομή Γ(α,β) () f () 0. ύ e, 0 q=-p α,β>0 www.glos.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Αν σ.π.π. τότε f () 0,() f d Σ.κ.π. (αθροιστική) F()() f t dt, F(0) 0,() F Μέση τιμή E()() Διασπορά ()() f d V E E P()() b f d b P f () d Με γεωμετρική ερμηνεία σ.π.π. : το σχήμα είναι πάνω από τον οριζόντιο άξονα και το εμβαδό του χωρίου μεταξύ της f, ' είναι Με γεωμετρική ερμηνεία σ.κ.π. : το εμβαδό του χωρίου μεταξύ f, ', ό έ Διάμεσο το m :() F m Επικρατούσα το χ : στο μέγιστο της σ.π.π. Ροπή περί την αρχή των αξόνων : m E Κεντρική ροπή : E Συνάρτηση συχνότητας Θυμίζω : V () m m g() g()...() f g() d 4 Συντελεστής ασυμμετρίας : Συντελεστής κύρτωσης : 4 Ασκήσεις :. Δίνεται f (),0 σ.π.π., να βρεις το κ, τη σ.κ.π., μέση τιμή και διασπορά και να γίνει γεωμετρική ερμηνεία των σ.π.π., σ.κ.π.. Δίνεται η γραφική σ.π.π. συνεχής, σταθερή με τιμή α από 0 έως 4 και γνησίως φθίνουσα από 4 έως 6 όπου τέμνει οριζόντιο άξονα στο χ=6.να βρεις το α, την σ.π.π., σ.κ.π., μέση τιμή και διασπορά, διάμεσο. Αν σ.π.π. f () ύ,0, 0,,να βρεις P,(), F, C f C F www.glos.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 4 4. Αν σ.π.π. f (), ύ ; 9 0, 0 5. Αν σ.κ.π. F() ( ),0, ;,(), f P,,() m V, 6. Αν έχω συνάρτηση συχνότητας g() 7 e,0, να τη μετατρέψεις σε σ.π.π. 7. Αν f (), (),( F ),( P 4),(),() P E V 4 8. Αν f () e, 0(),() E; V 9. Αν τ.μ. χ με σ.π.π. 0. Σε τ.μ. χ με σ.π.π.. Σε τ.μ. χ με σ.κ.π. c,0 0, f () ύ c ;, P ; 4, f (), ;,( P ),( P 4) 0, ύ F() 0, 0 cos,0,, να βρεις την σ.π.π. και την πιθανότητα χ>π/. Σε τ.μ. με σ.π.π,04 0, ύ f () C, ;,() F;,0. Σε τ.μ. με f ()...;,() F;,(),(), E V ά, 0, ύ 0, 0 4. Σε τ.μ. με σ.κ.π. F() (),0 ;,() f ;,() ; P, 5. Σε τ.μ. με σ.κ.π. e ()() ;,() ;,(),0 F ; f E V 0, ύ f Αν σ.π.π. τότε f () 0,(,) f dd Σ.κ.π. F(,)( ', ') ' f ' d d Μέση τιμή E()(,) Διασπορά ()() V E E f dd P ( b,)( c,) d f dd (,) P f dd Περιθώρια της χ : f ()(,) f d b c d f f d Περιθώρια της : (,) 4 www.glos.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Δεσμευμένη f /, Δεσμευμένη f /, f (,) f () f (,) f (), ανεξάρτητες : f (,)()() f f συνδυακύμανση : cov(,)()()() E E E, με συντελεστή συσχέτισης : Cov(,)>0 Cov(,)<0 Cov(,)=0 cov(,) p Θετική συσχέτιση Αρνητική συσχέτιση Ασυσχέτιστες, p ρ= Τέλεια θετική συσχέτιση ρ=- Τέλεια αρνητική συσχέτιση ρ=0 Ασυσχέτιστες,0,0 6. Έστω τ.μ. με σ.π.π. (,) c f 0, ύ c;,( P 0.5),( P0.),( 0.5, P 0.) =; 7. Έστω τ.μ. με σ.π.π. 8. Αν σ.π.π. c,0,0 f (,) 0, ύ c;, P0,,( P ) ; c (6),0, 4 0, ύ f (,) c;, ώ, έ,(),cov( E,), 0.5 P 9. Αν f (,),, 0, 0, να βρεις τις περιθώριες και τη συνδυακύμανση 0. Αν (,) 6 f e, 0, 0(),(),(),(),() E E; V V E, να εξετάσεις αν είναι ασυσχέτιστες και ανεξάρτητες οι μεταβλητές,. c(),0,0. Αν σ.π.π. με f (,) 0, ύ c;,cov(,), έ ;. Αν σ.π.π. με c,0,0 f (,) 0, ύ c;,cov(,), ώ ;,0,0. Αν σ.π.π. με (,) ce f 0, ύ c;,( F,), ώ, ά ; Υπόδ.: για τηνf(,) πάρε περιπτώσεις :<0,<0 &<0,>0 &>0,<0 &>0,>0 c,0,0 4. Αν σ.π.π. με f (,) 0, ύ c;, ώ ; Υπόδ. : Αρκετά δύσκολη λόγω των περιθώριων κατανομών, χρειάζεται σχήμα Ομοιόμορφη Κατανομή U(,b), b b...:() f E() 0, ύ b V () () b α<β 5 www.glos.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 5. Αν τ.μ. χ ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή με 0 6, να βρεις τη σ.κ.π. και τις πιθανότητες, 4 P P 6. Αν τ.μ. χ ακολουθεί ομοιόμορφη με μέση τιμή 6 και P P 5 0.4 8 ; 7. Αν τ.μ. χ ακολουθεί την ομοιόμορφη στο διάστημα [0,6], να βρεις σ.π.π., σ.κ.π., μέση τιμή, διασπορά και τις P, P 4 8. Προιόν βιομηχανίας συσκευάζεται σε πακέτα όπου το βάρος τους σε κιλά, ακολουθεί τ.μ. χ με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα 8 έως. Το κόστος παραγωγής Υ μετριέται σε ευρώ με τον τύπο Υ=0,χ+00. Αν το βάρος είναι πάνω από 9 κιλά η τιμή πώλησης είναι 50 ευρώ, ενώ αν είναι κάτω από 9 κιλά είναι 8- ευρώ. Ποια η μέση τιμή του κέρδους για κάθε πακέτο ; Αρνητ.Εκθετική Κατανομή Ε(λ) e, 0 f () 0, ύ E() V () λ>0 9. Αν τ.μ.χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή, να βρεις τη σ.π.π., σ.κ.π., τις πιθανότητες P( ),( P ). P c 0.95 c ; 0. Η διάρκεια ζωής μιας μηχανής ακολουθεί την Ε(α), με μέση διάρκεια ζωής 00 ώρες. Να βρεις την πιθανότητα να πάθει βλάβη η μηχανή μέσα σε 00 ώρες. Το χρόνο κ ώστε η πιθανότητα να υπερβεί η διάρκεια ζωής τις κ ώρες να είναι 0, Γάμμα Κατανομή Γ(α,β) () f () 0. ύ e, 0 α,β>0 Στην κατανομή Γ(α,β) πρέπει να δώσεις ιδιαίτερη προσοχή όταν α= γιατί τότε η χ ακολουθεί την εκθετική E b πχ. : (,) E 5, X Αν β= τότε η τ.μ. ακολουθεί την χ τετράγωνο με ν=α πχ. : 0 6 www.glos.gr