Αόριστο ολοκλήρωμα Αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f() ορισμένης σε ένα διάστημα [α,β] λέγεται κάθε συνάρτηση F() που επαληθεύει την ισότητα F( ) f ( ) F( ) c επαληθεύει την παραπάνω ισότητα. Αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f() ονομάζεται το σύνολο των αντιπαραγώγων της f ( ) d F( ) c
d f ( ) d d F( ) c F( ) c ' d F '( ) d f ( ) d d f ( ) d d f( ) ( ) '( ) ( ) df F d F c
Βασικό Τυπολόγιο Ολοκλήρωσης kd k c d c, { } d l c e d e c cos( ) d si( ) c t cos ( ) d c si( ) d cos c cot( ) si ( ) d c d rcsi( ) c d rc t( ) c cosh( ) d sih( ) c 3
Γραμμικότητα Ολοκληρώματος c f ( ) c h( ) d c f ( ) d c h( ) d 4
Ολοκλήρωση με αντικατάσταση u( ) f ( ) d f ( u) du f ( u) u '( ) d ή εναλλακτικά du du u u( ) du u'( ) d d d u'( ) u' uu( ) f ( u( )) d f( u) u' du 5
Ο Ο Ο 3 k k f( ) f ( ) f '( ) d c k f '( ) d l f ( ) c f( ) f ( ) f ( ) e f '( ) d e c Ο 5 Ο 6 Ο 7 si f ( ) f '( ) d cos( f ( )) c f '( ) d l f ( ) c f( ) f '( ) f( ) d rct f ( ) c Ο 4 cos f ( ) f '( ) d si( f ( )) c Ο 8 f '( ) f( ) d rcsi f ( ) c 6
Ρητές συναρτήσεις ειδικής μορφής I p ( ) d q ( ) k Όπου p( ), q( ) πολυώνυμα για τα οποία ισχύει p( ) q'( ) και k. Η αντικατάσταση που κάνουμε είναι u q( ) και οδηγούμαστε σε ολοκλήρωμα τύπου Ο. π.χ. 5 56 d 7
Pητή συνάρτηση με αριθμητή ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού και παρονομαστή ένα πολυώνυμο ου βαθμού το οποίο δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε δεν παραγοντοποιείται. π.χ. 8 4 5 d 8 4 ( ) 4 d 8
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με μορφή du d f ( e ) d u e e du e d d du e π.χ. e e d 9
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με τη χρήση τριγωνομετρικών τύπων και αντικαταστάσεων. du u si( ) cos( ) du cos( ) d d du u cos( ) si( ) du si( ) d d π.χ. cos si d ucos( ) cos d si usi 8
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με μορφή f (, ) d u u d u u d du du π.χ. d
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με μορφή f (, ) d θέτουμε d si( u) οπότε cos( u) d cos( u) du ή du θέτουμε d cos( u) οπότε si( u) d si( u) du. du π.χ. d si u u rcsi( )
Ολοκλήρωση συναρτήσεων με μορφή f (, ) d d du θέτουμε t( u) οπότε d. du cos ( u) cos ( u) f (, ) d θέτουμε cos( u) οπότε d si( u) si( u) d du. du cos ( u) cos ( u)
Κανόνας παραγοντικής ολοκλήρωσης f ( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d f ( ) g( ) ' f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ' f ( ) g( ) f '( ) g( ) d f ( ) g( ) ' d f ( ) g( ) d f '( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g '( ) d 3
Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων I p ( ) d q ( ) Στην περίπτωση που ο αριθμητής έχει βαθμό μεγαλύτερο από τον παρονομαστή: p ( ) f p q q ( ) deg deg p ( ) f A p q q ( ) ( ) deg deg p ( ) p ( ) q( ) q( ) A( ) d A( ) d d 4
Περίπτωση που ο αριθμητής έχει βαθμό μικρότερο από τον παρονομαστή: f A A A deg deg d, ( ) d( ) i j ( )( c) A B C c 5
Περίπτωση που ο αριθμητής έχει βαθμό μικρότερο από τον παρονομαστή: f( ) p ( ) ( ) ( ) ( ) k m l A A A B B k k B deg( p( )) k m k k C C C l l l k k 6
Περίπτωση που ο αριθμητής έχει βαθμό μικρότερο από τον παρονομαστή: f( ) p ( ) ( ) k ( c) A A A B C B C B C c k deg( p( )) k k c c 7
Ορισμένο ολοκλήρωμα f() συνεχής ορισμένη στο [,]. ωρίζουμε το [,] σε υποδιαστήματα επιλέγοντας σημεία < < < - < P{,,, -, } διαμέριση του [,] f( ) c, f ( c ) k k c, f ( c ) c c k ck k k c c, f ( c ) c, f ( c ) [, ], [, ],, [ -, ] με πλάτη Δ, Δ,..., Δ. Δ k k - k-
f( ) c, f ( c ) c, f ( c ) k k c c k ck k k c c, f ( c ) c, f ( c ) Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων προσεγγίζουν το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης και του άξονα. Καθένα από αυτά τα εμβαδά ισούται με f(c k ). Δ k όπου το (c k,f(c k )) είναι σημείο της καμπύλης το οποίο ανήκει στο διάστημα [ k-, k ]. Άθροισμα Riem) της συνάρτησης f() στο διάστημα [,]: s f ( c ) k k k
f( ) c, f ( c ) c, f ( c ) k k c c k ck k k c c, f ( c ) c, f ( c ) Όσο το μεγαλώνει και πυκνώνει η διαμέριση, τα ορθογώνια γίνονται περισσότερα και πιο λεπτά και το άθροισμα των εμβαδών τους προσεγγίζει όλο και καλύτερα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης f() και του άξονα. Εάν υπάρχει το όριο I lim s lim f ( c ) k k k ανεξάρτητα του τρόπου επιλογής της διαμέρισης P και των c k τότε λέμε ότι η συνάρτηση f() είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα και το Ι είναι το ορισμένο ολοκλήρωμά της στο διάστημα [,] αυτό. I f ( ) d 3
Κάθε συνεχής σε ένα διάστημα [,] είναι ολοκληρώσιμη σε αυτό. Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων: f ( ) d f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c cf ( ) d c f ( ) d f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d f ( ) g ( ) f ( ) d g ( ) d 4
Θεώρημα Μέσης τιμής για τα ορισμένα ολοκληρώματα. y f( ) f ( ) Αν f( ) είναι συνεχής σε ένα διάστημα [,] τότε f ( )( ) f ( ) d κάποιο [, ]. για 5
Πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αν η f( ) είναι συνεχής στο διάστημα [,, ] τότε η συνάρτηση F( ) f ( t) dt είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και ισχύει: df d d d f ( t) dt f ( ) Δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού. Αν η f( ) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ] και F είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα της f( ), τότε f ( ) d F ( ) F ( ) Αν η f( ) είναι ολοκληρώσιμη στο διάστημα [, ] τιμή της στο διάστημα την ποσότητα: Μέση Τιμή Συνάρτησης v( f ) f ( ) d τότε ορίζουμε ως μέση 6
Παραγoντική Ολοκλήρωση f ( ) g( ) d f ( ) g( ) g( ) f '( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) g( ) f '( ) d Ολοκλήρωση με αντικατάσταση g( ) f ( g( )) g '( ) d f ( u) du g( ) 7
Ολοκληρώματα σε άρτιες και σε περιττές συναρτήσεις Συνάρτηση ορισμένη σε [-α,α] άρτια εφόσον f(-)f() συμμετρία ως προς τον άξονα yy. περιττή εφόσον f(-)-f() συμμετρία ως προς αρχή των αξόνων..5.5-6 -4-4 6-6 -4-4 6 -.5 -.5 - άρτια άρτια άρτια περιττή περιττή περιττή άρτια περιττή? άρτια άρτια άρτια περιττή περιττή άρτια άρτια περιττή περιττή - f ( )d f ( )d f ( )d περιττή άρτια 8
Κάθε σειρά Tylor ολοκληρώνεται όρο προς όρο στο διάστημα σύγκλισης της. f ( ) e f ( ) d f ( ) e, f () f '( ) e e, f '() σειρά Tylor της f() με κέντρο f ( ) () () f ( ) e e, f () (3) (3) f ( ) 3 e e, f () 3 (4) (4) f ( ) 4 e e, f () 4 f ()! ( ) () (3) f '() f () f () 3 e f () ( ) ( ) ( )...!! 3! 3 4 3 3 4 4......!! 3! 4! 6 e 3 9
Κάθε δυναµοσειρά παραγωγίζεται και ολοκληρώνεται όρο προς όρο στο διάστηµα σύγκλισης της. 4 )! ( ) ( )! ( ) ( 4!! cos τότε ( ) 3 4 )! ( ) ( )! ( ) ( 3! )! ( ) ( 4!! si cos d d d d Επίσης ( ) ( ) ( ) 4 4 )! ( ) ( )! ( ) ( 4!! cos 4 4 9 5 4 8 4 ) )!(4 ( ) ( ) )!(4 ( ) ( 4!9!5 )! ( ) ( 4!! cos t t t t dt t t t dt t 3
Υπολογισμοί Εμβαδών y A f ( ) d f ( ) d y A f ( ) d f ( ) d Το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπύλων για τις οποίες ισχύει f( ) f( ) για ισούται με E f ( ) f ( ) d
Υπολογισμοί Εμβαδών Το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπύλων για τις οποίες ισχύει f( ) f( ) για ισούται με E f ( ) f ( ) d Το εμβαδόν μεταξύ δύο καμπύλων για τις οποίες ισχύει f( y) f( y) για y ισούται με E f ( y) f ( y) dy
Υπολογισμοί όγκων Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα στερεό, όπως φαίνεται στη σχήμα, για το οποίο γνωρίζουμε το εμβαδό E(z) κάθε διατομής του από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα των z. z z Ez () V z z E() z dz z O y V E( ) d V y y E( y) dy
y Έστω ο κλάδος της υπερβολής για τον οποίο y >. Εάν περιστρέψουμε τον κλάδο περί τον άξονα των y δημιουργούμε ένα κωνικό κέλυφος που μοιάζει με ποτήρι. Πόσος όγκος νερού χρειάζεται για να γεμίσουμε το ποτήρι μέχρι το ύψος y A; Εννοείται πως A > α. y A y O y y 3
Υπολογισμοί όγκων εκ περιστροφής Εάν το στερεό προέρχεται από την περιστροφή της επίπεδης καμπύλης f(z) του επιπέδου z γύρω από τον άξονα z, τότε ο όγκος του στερεού από περιστροφή δίνεται από το ολοκλήρωμα z f () z z f () z z V f () z dz z z y O V f ( ) d y V f ( y) dy y 4
Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού V που δημιουργείται λόγω περιστροφής του γραφήματος της συνάρτησης f si cos των, για το διάστημα,. γύρω από τον άξονα 5
Στην περίπτωση που θέλουμε να υπολογίσουμε τον όγκο στερεού που προέρχεται από την περιστροφή του χωρίου που βρίσκεται μεταξύ δύο καμπυλών yf () και yf () γύρω από τον άξονα των ο όγκος ισούται με: V ( f ( ) f ( )) d f ( ) f ( ) V ( f ( y) f ( y)) dy 6
Να βρεθεί ο όγκος εκ περιστροφής, γύρω από τον άξονα των, του χωρίου που περιέχεται μεταξύ του τόξου του κύκλου y 4. y 6 και της ευθείας y 4 y 6 y 4 O 4 7
α) στο διάστημα [, ) τότε Γενικευμένα ολοκληρώματα α είδους άπειρα όρια ολοκλήρωσης β) στο διάστημα (, ] τότε γ) στο διάστημα (, ) τότε f ( ) d lim f ( ) d f ( ) d lim f ( ) d c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c Αν το όριο (ή και τα δύο όρια στην περίπτωση γ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα υπάρχει ή συγκλίνει. Αν το όριο δεν υπάρχει ή απειρίζεται τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. 8
Γενικευμένα ολοκληρώματα β είδους απειρία σε κάποιο σημείο εντός του διαστήματος ολοκλήρωσης α) στο διάστημα ( τότε, ] β) στο διάστημα [, ) τότε f ( ) d lim f ( ) d c c γ) στο διάστημα [, c) ( c, ] τότε f ( ) d lim f ( ) d c c f ( ) d f ( ) d f ( ) d c c Αν το όριο (ή και τα δύο όρια στην περίπτωση γ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα υπάρχει ή συγκλίνει. Αν το όριο δεν υπάρχει ή απειρίζεται τότε λέμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει. 9
Γενικευμένα ολοκληρώματα γ είδους Ολοκληρώματα συναρτήσεων τα οποία μπορούν να χαρακτηριστούν συγχρόνως ως α και β είδους.
Γενικευµένο ολοκλήρωµα α είδους d f ) ( ή d f ) ( Παράδειγµα. lim d d Γενικευµένο ολοκλήρωµα β είδους d f ) ( ή d f ) ( d d lim
π.χ. f ( ) d ή f ( ) d συγχρόνως α και β είδους d d d lim lim lim lim Προσοχή στα σηµεία ασυνέχειας (κλάσµατα). d d lim Γενικευµένο ολοκλήρωµα γ είδους [ l ] l l ΛΑΘΟΣ lim d lim d [ l ] lim [ l ]
- Σειρές και μετασχηματισμός Fourier f() είναι περιοδική με περίοδο T όταν ισχύει f(t)f() ya si(ω) ω (γωνιακή ή κυκλική) συχνότητα Α το πλάτος..5 T π ω.5-6 -4-4 6-6 -4-4 6 si( ) -.5 si(3 ) - - si( ).5 -.5-6 -4-4 6 -.5
si( ) 3 4 5 6 - - Μετατοπίζεται κατά θ (αριστερά εάν το θ είναι αρνητικό, δεξιά σε αντίθετη περίπτωση).5 -.5 - π 3 si( ) si( θ ) φάση θ 3 4 5 6 π si( ) 3 si( )
Je Bptiste Fourier (768-83) κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άπειρο άθροισμα ημιτονοειδών f( ) A A si( ω φ ) A si( ω φ )... A si( ω φ )... A Asi( ω φ) Προσέγγιση: f( ) A A si( ω φ ) A si( ω φ )... A si( ω φ ) πρώτη αρμονική δεύτερη αρμονική νιοστή αρμονική y si( ) si( ) si(5 ) 3 5.5.5.5.5 - - 3 4 5 6 -.5 - -.5 3 4 5 6 3 4 5 6 -.5 - -.5 3
y si( ) si(3 ).3si( ) y si( ) si(3 ) 4
f( ) A Asi( ω φ) si( ω φ ) si( φ )cos( ω) cos( φ )si( ω) [ φ ω φ ω ] f ( ) A A si( )cos( ) cos( )si( ) A A si( φ ), A cos( φ ) π π f () [ cos( ) si( )] T T T π ω T T f ( d ) T π f()cos( )d T T T π f()si( )d T T, A A, φ rct 5
f( ) A A cos( ω ϑ ) A cos( ω ϑ )... A cos( ω ϑ )... A A cos( ω ϑ ) cos( ω ϑ ) cos( ϑ )cos( ω) si( ϑ )si( ω) [ ϑ ω ϑ ω ] f ( ) A A cos( )cos( ) si( )si( ) A A cos( ϑ ), A si( ϑ ) π π f ( ) [ cos( ) si( )] T T A, ϑ rct ϑ ϕ π T π ω 6
Σύγκλιση της σειράς Fourier επιτυγχάνεται στα σημεία που είναι συνεχής μία περιοδική συνάρτηση f() εάν ισχύουν οι συνθήκες Dirichlet Η f() είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη σε μία περίοδο Ο αριθμός των μεγίστων και ελαχίστων του f() είναι πεπερασμένος στο διάστημα της περιόδου. Η f() είναι τμηματικά συνεχής με πεπερασμένο αριθμό ασυνέχειας στο διάστημα της περιόδου. f( ) d Στα σημεία ασυνέχειας η σειρά Fourier συγκλίνει στο ημιάθροισμα των πλευρικών ορίων f ( ) f ( ) Εάν μας ζητείται να αναπτύξουμε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση και όχι απλά να τη βρούμε θα πρέπει να βρούμε στα σημεία ασυνέχειας το που συγκλίνει η σειρά. 7 <
f() π, -π<<π f ( ) π si si( ) si( 3 ) si( 4 ) si( 5 )... 3 4 5 8
Αναπτύγματα Fourier σε άρτιες και σε περιττές συναρτήσεις Συνάρτηση ορισμένη σε [-α,α] άρτια εφόσον f(-)f() συμμετρία ως προς τον άξονα yy. περιττή εφόσον f(-)-f() συμμετρία ως προς αρχή των αξόνων..5.5-6 -4-4 6-6 -4-4 6 -.5 -.5 - άρτια άρτια άρτια περιττή περιττή περιττή άρτια περιττή? άρτια άρτια άρτια περιττή περιττή άρτια άρτια περιττή περιττή - f()d f()d f ()d περιττή άρτια 9
όταν [,T] είναι της συμμετρικής μορφής [-Τ/,Τ/] f() άρτια T π f()si( )d T T ολοκλήρωμα άρτιας επί περιττής δηλαδή περιττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα T f( ) d T ολοκλήρωμα περιττής f() περιττή T π f ( )cos( )d T T ολοκλήρωμα περιττής επί άρτιας δηλαδή περιττής σε συμμετρικής μορφής διάστημα