BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva s matematikom u svakog su c ovjeka vezana uz brojeve i rac unanje. A jos ne tako davno, prvos kolski su se udz benici iz matematike zvali Rac unice. Kada su ljudi poc eli rabiti brojeve? Na ovo pitanje nemoguc e je dati odgovor. Brojevi i njihovo zapisivanje nastajali su i razvijali se u dugotrajnom povijesnom procesu. U ovom poglavlju dat c emo pregled skupova brojeva koje smo do sada upoznali... Prirodni i cijeli brojevi Prirodni brojevi su brojevi,, 3, 4, 5... Njima se sluz imo pri brojenju ili prebrajanju. Prirodnim brojem iskazujemo brojnost nekog skupa, odgovaramo na pitanje koliko je u skupu c lanova. Postoji najmanji prirodni broj, to je broj. Ne postoji najvec i prirodni broj. Iza ma kako velikog prirodnog broja n slijedi vec i ( n + ) s to znac i da je skup prirodnih brojeva beskonac an. Skup prirodnih brojeva Skup prirodnih brojeva oznac avamo s N. N = {,, 3, 4, 5,..., n...}. Istraz ite PROSTI BROJEVI Prirodni broj koji osim samoga sebe i broja nema drugih djelitelja zove se prost ili primbroj. Evo svih prostih brojeva koji su manji od 00:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97 Nastavi ovaj niz ispisujuc i sve proste brojeve manje od 00. S to mislis, ima li tom ispisivanju kraja? Je li skup prostih brojeva beskonac an? Starogrc ki matematic ar i fizic ar Eratosten pronalazio je proste brojeve postupkom prosijavanja. Istraz i o kakvom je postupku rijec. Posjeti u svrhu traganja za odgovorom http://element.hr/plus/autosieve/medium. Vidjeti prezentaciju O podrijetlu brojeva, www.element.hr/plus (Matematika plus).
PRIRODNI I CIJELI BROJEVI. Povijesni kutak KAKO SU BROJEVE ZAPISIVALI NAS I PREDCI? Tijekom ljudske povijesti u raznim drus tvenim zajednicama razvili su se razlic iti zapisi prirodnih brojeva. Razlikujemo pozicijski i nepozicijski sustav zapisa. U nepozicijskom svaka znamenka nosi istu brojevnu vrijednost bez obzira na njezino mjesto (poziciju) u zapisu broja. Jedan je takav primjer i rimski zapis. Primjerice, CCXXIX znac i broj 00 + 00 + 0 + 0 + (0 ) = 9. Znak C uvijek nosi brojevnu vrijednost 00, a znak X vrijednost 0. U pozicijskim sustavima, kakav je i ovaj nas suvremeni, upravo je obrnuto. Znamenke nose brojevne vrijednosti koje ovise o njihovu poloz aju (poziciji) u zapisu. Tako primjerice, 333 znac i 3 00 + 3 0 + 3. Dakle, prva trojka znac i 300, druga 30, a trec a 3 jedinice. Druga bitna karakteristika zapisa prirodnog broja jest njegova osnovica ili baza. Danas se u cijelom svijetu rabi dekadski brojevni sustav kojemu je osnovica 0. Vjerojatni razlog je taj s to c ovjek na obje ruke ima ukupno 0 prstiju. Postoje i brojevni sustavi s drugim osnovicama, primjerice binarni na kojem poc iva rad elektronic kih rac unala. Pri zapisivanju brojeva nerijetko su se uzimala slova pisma. Tako je primjerice u rimskom i grc kom zapisivanju, ali i u staroslavenskoj glagoljici koja se u hrvatskim krajevima zadrz ala gotovo 0 stoljec a. Istraz ite:. Kako su brojeve zapisivali i s njima rac unali stari Rimljani?. Kako su nas i predci zapisivali brojeve koristec i se glagoljicom? 3. Navedite jos neki primjer nedekadskog brojevnog sustava. Moz ete li opisati osnovne znac ajke binarnog brojevnog sustava? Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodan broj. Kaz emo da je skup prirodnih brojeva zatvoren s obzirom na zbrajanje. A je li zatvoren s obzirom na oduzimanje? Drugim rijec ima, je li razlika m n dvaju prirodnih brojeva uvijek prirodni broj? Ne, razlika dvaju prirodnih brojeva od kojih je prvi manji nije prirodan broj. To je razlog za pros irenje skupa N negativnim cijelim brojevima i nulom. Negativni cijeli brojevi su se udomac ili u nas oj svakodnevnici. Njima zapisujemo temperaturu ispod nis tice, visinu vodostaja rijeke koja je manja od one iskazane nulom, dubinu mora, stanje na tekuc em ili nekom drugom bankovnom rac unu itd. Prirodni brojevi zajedno s negativnim cijelim brojevima i nulom c ine skup cijelih brojeva. Skup cijelih brojeva Skup cijelih brojeva oznac avamo sa Z : Z = {... 3,,, 0,,, 3...} 3
BROJEVI Zadatak. Nadmorska visina Mrtvo more je jezero povrs ine 600 km. Nadmorska visina njegove povrs ine iznosi 48 m. Dno jezera dosez e 794 m. The Challenger Deep najniz a je toc ka na Zemlji, a nalazi se u Tihom oceanu na juz nom dijelu Marijanske brazde na nadmorskoj visini 0 97 m. Najvis a toc ka iznad razine mora je Mount Everest na granici Tibeta i Nepala. Njezina je nadmorska visina 8848 m. Planinski vrh Chimborazo u Ekvadoru je najudaljenija toc ka od sredis ta Zemlje. Ta udaljenost iznosi 6384.4 km s to je za oko km udaljenije nego Mount Everest. Posljedica je c injenice da Zemlja nije sfera vec je spljos tena na polovima, a Chimborazo je u blizini ekvatora. ) Kolika je najvec a dubina Mrtvog mora? - nadmorskih visina najniz e i najvis e toc ke na Zemlji? ) Kolika je razlika izmedu 3) Kolika je udaljenost Mount Everesta od sredis ta Zemlje? Za radoznale PRIC A O NULI Nula, naoko nis ta neobic no, broj kao i svaki drugi! Je li uistinu tako? Pogledajmo ove jednakosti: a + 0 = a, a 0 = 0, a a = 0, a0 =. S nulom se ne smije dijeliti, uc imo jos u osnovnoj s koli. A zas to? Iz a = b slijedi a = b 0, 0 pa imamo ove dvije moguc nosti: () ako je a = 0, onda je 0 = b 0 i ta je jednakost ispunjena za svaki broj b. Dakle, dijeljenje je tada neodredeno. Rezultat dijeljenja je bilo koji broj b ; () ako je a = 0, jednakost a = b 0 nije ispunjena niti za jedan broj b. Naime, s njezine lijeve strane je broj razlic it od nule, a s desne nula. U ovom sluc aju dijeljenje nije definirano, ono nije moguc e. Nula je cijeli broj. Ona nije prirodni broj po definiciji. Prema nekim povjesnic arima matematike nulu su uveli Kinezi. Neki drugi pripisuju njezinu pojavu indijskim matematic arima iz 6. st., od kojih potjec e i njezina suvremena oznaka. Njezin je naziv latinskog podrijetla (lat. nullus = nijedan). 4
PRIRODNI I CIJELI BROJEVI. Kutak plus GAUSSOVA DOSJETKA Danas, kad gotovo u svakom džepu imamo kalkulator (ne zaboravite da ga imate i na svojem mobilnom telefonu) manje je važno računanje napamet, ali su dosjetke i snalažljivost u računanju vještine koje će uvijek biti na cijeni. Jedna je takva, osobito popularna dosjetka vezana uz ime njemačkog matematičara Carla Friedricha Gaussa (777. 855.), često nazivanog princeps mathematicorum (lat. princem svih matematičara). Kad je Gauss bio prvoškolac, njegov je učitelj zadao učenicima da izračunaju zbroj prvih 00 prirodnih brojeva. Želio ih je zaposliti na neko vrijeme kako bi imao malomira, alise nemalo iznenadio jerjeveć nakon minutu-dvije Gauss dojavio da ima rješenje. Dobio ga je združivši brojeve u parove, prvi s posljednjim ( + 00 ), drugi s pretposljednjim ( + 99 ), treći s pretpretposljednjim ( 3 + 98 ) itd. Takvih parova je 50, a zbroj dvaju pribrojnika u svakom paru je isti, iznosi 0. Konačan je rezultat 50 0 = 5050. Gauss kao osmogodišnji dječak Opisani se Gaussov postupak može proširiti na zbroj ma koliko prvih prirodnih brojeva te se tako dobije: S(n) = + + 3 +...+ n = Provjeri ovu jednakost za neke brojeve n. n(n + ). Na isti način možemo računati i zbroj prvih n parnih brojeva. No kad već imamo izvedenu formulu za zbroj prvih n prirodnih brojeva, S(n),možemo postupiti i na ovaj način: Riješi zadatke: + 4 + 6 +...+ n = ( + + 3 +...+ n) = n(n + ). Izračunaj zbroj prvih n neparnih prirodnih brojeva.. Koliko je + 4 + 7 +...+ 00? 3. Koliki je zbroj svih troznamenkastih brojeva koji pri dijeljenju s 5 daju ostatak 3? 4. Zbroj prvih n prirodnih brojeva jednak je 3003. Koliki je n? = n(n + ). n(n + ) 5. Broj je prirodan broj za svaki prirodni broj n. Zašto? Kojom znamenkom može taj broj završavati? Postojilitakav n za koji je + + 3 +...+ n = 5555? Bez riječi Sljedeće sličice ilustriraju Gaussovu dosjetku u geometrijskoj izvedbi. Možete li je protumačiti? Želite li se potanje pozabaviti ovom temom, upućujemo vas na www.element.hr/plus. 5
BROJEVI Zadatci... ) Zapiši prirodni broj koji neposredno slijedi iza prirodnog broja n. ) Zapiši prirodni broj koji neposredno prethodi prirodnom broju n. Kad zadatak ima rješenje? 3) Zapiši broj koji je za veći od zbroja brojeva m i n. 4) Zapiši broj koji je dvostruko veći od razlike brojeva a i b. 5) Zapiši broj koji je tri puta manji od umnoška brojeva a i b.. Ispiši: ) sve cijele brojeve koji su izme - du cijelih brojeva k ik + 5; ) sve neparne cijele brojeve koji su veći od k i manji od k + 7, gdje je k cijeli broj; 3) sve parne cijele brojeve veće od k 5imanje od k +, gdje je k cijeli broj. 3. Marko je dvostruko stariji od Filipa, a Filip je 3 godine stariji od Luke. Ako je Luki n godina, koliko ukupno godina imaju sva trojica? 4. Zamisli neki broj. Dodaj mu pa zbroj pomnoži s 4. Zatim oduzmi 4 pa dobiveni rezultat podijeli s 4. Koji je broj rezultat? Ponovi ovaj postupak nekoliko puta. Što primjećuješ? Obrazloži! 5. Neka je d dan, a m mjesec ro - denja tvojeg prijatelja. Evo kako ćeš odrediti koji je dan njegov ro - dendan. Zadaj mu neka provede sljedeći račun: Podvostruči broj d. Pomnoži dobiveni rezultat s 0. Dodaj 73. Pomnoži s 5. Dodaj broj m. Neka ti sada prijatelj kaže rezultat koji je dobio. Oduzmi krišom od tog rezultata broj 365 i dobit ćeš datum njegovog ro - denja. Obrazloži matematičku pozadinu ovog općeg rješenja. 6. Neka tvoj prijatelj broj svojih godina starosti pomnoži s 4. Tom broju neka doda 0 pa rezultat pomnoži s 5. Neka potom od dobivenog rezultata oduzme broj dana u neprestupnoj godini. Konačno, neka razlici doda iznos sitniša u lipama koji ima u svojem džepu (svakako neka je manji od 00). Nakon ovog računa zahtijevajte da vam kaže rezultat. Dodat ćemo tom rezultatu 5 i očitati: prve dvije znamenke su godine, a sljedeće dvije iznos sitniša u džepu vašeg prijatelja. Možete li razobličiti ovu čaroliju? 7. Na polici se nalazi šest svezaka Opće enciklopedije, poredanih slijeva udesno, jedan do drugog. Svaki svezak ima 55 stranica ne računajući korice. ) Koliko ukupno stranica ima Opća enciklopedija? ) Koliko stranica ima izme - du 33. stranice drugog sveska i 7. stranice petog? 3) Brojimo li stranice enciklopedije redom te izbrojimo 784, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 4) Brojimo li stranice enciklopedije redom, ali otraga prema naprijed te se zaustavimo na broju 3000, u kojem svesku i na kojoj stranici smo se zaustavili? 8. Me - du brojevima,, 3,..., 9 odaberi dva me - dusobno različita broja. Ispiši sve dvoznamenkaste brojeve kojima su znamenke ti brojevi, te ih zbroji. Taj je zbroj uvijek djeljiv s. Zbog čega? Obrazloži! Možeš li provesti analogno zaključivanje za tri odabrana broja? Napomena: Dvoznamenkast broj xy zapisujemo u obliku 0x + y. Jednako je tako xyz = 00x + 0y + z. 9. Broj 00 zapiši povezujući računskim operacijama ) četiri jedinice; ) četiri trojke; 3) četiri petice. 0. Ispiširedombrojeve3456789. Poveži te brojeve znakovima + i (koristeći ih ukupno triput) tako da dobiješ 00.. Zapiši broj 00 uporabom svih 0 znamenki i uporabom četiriju osnovnih računskih operacija.. Riješi rebus: O H O H O + A H A H A A H A H A H 6
PRIRODNI I CIJELI BROJEVI. 3. Odredi četiri uzastopna prirodna broja kojima je zbroj jednak 58. 4. Zbroj pet uzastopnih parnih prirodnih brojeva jednak je 6 080. Koji su to brojevi? 5. Zbroj sedam uzastopnih neparnih prirodnih brojeva jednak je 58. Koliki je zbroj sedam narednih neparnih prirodnih brojeva? 6. Umnožak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 4080. Koliki je zbroj tih triju brojeva? 7. Koja je posljednja znamenka umnoška 3 5 7... 99? 8. S koliko nula završava umnožak 3 4... 33? 9. Koja je posljednja znamenkaumnoška prvih stotinu prostih brojeva? 0. Ukvadratiće upiši broj tako da dobiještočne jednakosti: ) + = 4 ; ) ( 45) =3 ; 3) 3 + = ; 4) +( 7) = 34 ; 5) 33 ( 44) = ; 6) 75 8 = ; 7) 6 + = 77 ; 8) ( ) = 05.. Izračunaj: ) 5 ( ) 4 (3 ) ; ) ( 3) 4 ( 5)+( 6) ( 7) ; 3) ( ) ( ) ( 0) ( 5) ; 4) ( 3) 5 4.. Računamo: + 3 4 + 5 6 + 7 8 +... Ako imamo konačan broj pribrojnika, recimo n, koliki je rezultat ovog zbrajanja? 3. Najviša ikad izmjerena temperatura zraka na Zemlji zabilježena je u Libiji 3.9.9. Iznosila je 57.8 C ili 36 F. Najniža je izmjerena na Antarktici (Vostok Station)..983., kada je termometar pokazivao 89. C ili 8.6 F. Kolika je razlika izmedu - najniže i najviše temperature ikad izmjerene na Zemlji? U Hrvatskoj je do sada najviša izmjerena temperatura iznosila 4.8 C ili 09 F, a izmjerena je 5.8.998. u Pločama. Najniža temperatura izmjerena je u Čakovcu 3..99., a bilo je 35.5 C ili 3.5 F. Kolika je razlika izmedu - najviše i najniže izmjerene temperature u Hrvatskoj? 4. Arhimed je živio od 87. g. pr. Kr. do. g. pr. Kr. To bismo jednostavnije mogli zapisati: Arhimed je živio od 87. do. g. Koliko je godina poživio Arhimemed? Odgovori na isto pitanje za sljedeće matematičare: Tales je živio od 60. do 540. godine. Vitruvije je živio od 75. do 5. godine. Heron je živio od 0. do 70. godine. Iz zabavne matematike LEWIS CARROLL Lewis Carroll, čuven po svojim knjigama o Alisi, pseudonim je Charlesa Dodgsona, engleskog matematičara, profesora na Christ Churchu, najvećem koledžu Sveučilišta u Oxfordu. Carroll je rado zabavljao svoje prijatelje raznim igrama s brojevima. Evo jedne od njih: Igru igraju dva igrača. Polazeći od broja oni naizmjence dodaju prirodne brojeve po volji, ali svaki puta ne veći od 0. Pobjednik je onaj koji prvi dosegne broj 00. Kako treba igrati neki igrač kako bi pobijedio u ovoj igri? 7
BROJEVI.. Racionalni brojevi Zbroj i razlika svakih dvaju cijelih brojeva cijeli je broj. I umnožak svakih dvaju cijelih brojeva je cijeli broj. No količnik dvaju cijelih brojeva općenito nije cijeli broj. Skup cijelih brojeva nije zatvoren s obzirom na dijeljenje. Ta činjenica nameće potrebu za proširenjem skupa cijelih brojeva. Tako dobivamo skup racionalnih brojeva. Racionalni su brojevi količnici cijelih brojeva. Možemo ih zapisivati u obliku razlomaka. Evo nekoliko primjera racionalnih brojeva: := 3, 3 :4=, : 5 = 4 5, 7:( 33) = 7 33. Dijeljenje s nulom nije izvedivo pa u nazivniku razlomka ne smije biti nula. Svaki je cijeli broj ujedno i racionalan. Obrazloži! Skup racionalnih brojeva Količnik m : n dvaju cijelih brojeva m i n ( n 0) jest racionalan broj. Racionalan broj m : n zapisujemo u obliku razlomka m n.broj m je brojnik, a broj n nazivnik razlomka. Skup racionalnih brojeva označavamo s Q. 8 Provedemo li razlomkom zadano dijeljenje cijelih brojeva, dobit ćemo racionalan broj zapisan u decimalnom obliku. Tako je primjerice 3 0 = 0.3, 7 =.5, 8 35 3 = 9.84375, 7 5 = 0.68. Svi navedeni primjeri konačni su decimalni brojevi. Postoje i beskonačni decimalni racionalni brojevi: 3 = 3:7= 0.4857485748574857... 7 = :3= 0.3333333333333333333333333333333333... 3 0 = 0 : = 0.90909090909090909090909090... Valja uočiti kako se u decimalnom zapisu svakog od triju navedenih brojeva uzastopce ponavlja skupina znamenki. U prvom primjeru to su znamenke 4857, u drugom je to znamenka 3, a u trećem su to znamenke 90. Kažemo da su ovakvi brojevi periodički. Skupinu znamenki koja se uzastopce ponavlja zovemo period. Ovakve brojeve zapisujemo tako da navedemo sve znamenke jednog perioda, a nad prvu i posljednju znamenku stavimo točku. To je, naravno, više načelno
RACIONALNI BROJEVI. nego praktično izvedivo rješenje jer period može ponekad biti toliko velik da ga nema smisla navoditi. Brojeve koji su odabrani za primjere zapisujemo: 0. 4857, 0. 3, 0. 9 0. Zbog čega pri decimalnom zapisu racionalnog broja dolazi do ponavljanja skupine znamenki? Odgovor na ovo pitanje bit će sasvim jasan provedete li pisano dijeljenje (ne dijeljenje džepnim računalom ili bilo kakvim sličnim pomagalom) brojnika i nazivnika u danom razlomku: 6 : = 0.34 60 380 470 6 U ovom trenutku došli smo do početne pozicije. Ako nastavimo dijeljenje, u količniku će se ponavljati niz znamenki 34. Bez obzira je li decimalni zapis nekog racionalnog broja konačan ili beskonačan, taj je zapis potpuno poznat imože se odrediti bilo koja njegova znamenka. Primjer. Koja je znamenka na 00. mjestu iza decimalne točke u decimalnom zapisu broja 3 7? Vidjeli smo da je 3 7 = 0. 4857, tj. uzastopce se ponavlja skupina od 6 znamenki. Podijelimo li 00 sa 6, dobit ćemo količnik 66 i ostatak 5. Stoga će se skupina od 6 navedenih znamenki izredati 66 puta i potom će slijediti još pet znamenki. Zaključujemo da je 00. po redu znamenka 7. Zadatak. Koja je znamenka u broju 0.34567890345... na 77. mjestu iza decimalne točke? Je li taj broj racionalan? Obrazloži! 9
BROJEVI Jednakost racionalnih brojeva Prirodno se nameće pitanje: Kad su dva racionalna broja (razlomka) jednaka? Jednakost racionalnih brojeva a Racionalni brojevi (razlomci) b i c d umnožak a d jednak umnošku b c : a b = c d a d = b c jednaki su ako i samo ako je Primjer. Obrazložimo jednakosti: ) 3 = 6 9 ; ) 45 08 = 5 ; 3) 4 7 = 0 35. ) ) 3) 3 = 6,jerje 9 = 3 6. 9 45 08 = 5,jerje 45 = 5 ( 08). 4 7 = 0 35 jer je ( 4) 35 =( 0) 7. Zadatak. Odredi broj x tako da vrijedi: ) 5 x = 35 4 ; ) 5 = 0 x + ; 3) 3 8 = x. Primijetimo da vrijedi 5 = jer je ( ) ( 5) =5. Obabroja,i 5 5 i 5 zapisujemo kao, te su takvi brojevi negativni racionalni brojevi: 5 5 = 5 = 5. 0
RACIONALNI BROJEVI. Kraćenje i proširivanje razlomaka Za svaki racionalni broj a b i svaki broj m različit od nule vrijedi: a m b m = a b. Ovu jednakost lako je provjeriti. Ona izravno slijedi iz definicije jednakosti razlomaka i svojstava množenja cijelih brojeva: (a m) b = a (b m). Proširivanje i kraćenje razlomka proširivanje a m b m = a b kraćenje Istaknutu jednakost možemo čitati dvostrano. Čitamo li je zdesna u lijevo, tada je riječ oproširivanju razlomka, ačitamo li je slijeva u desno, tada govorimo o kraćenju razlomka. Primjer 3. Svakiseracionalnibrojmože kraćenjem dovesti na oblik u kojem brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih djelitelja. 4 6 = 3 = 3, 8 = 3 7 4 7 = 3 4. Od dvaju razlomaka, čiji su nazivnici jednaki prirodni brojevi, veći je onaj koji ima veći brojnik. Tako se proširivanje razlomaka može koristiti i za usporedbu razlomaka. Primjer 4. Koji je broj veći, x = 3 8 ili y = 4? Da bismo ih mogli usporediti, brojeve svodimo na zajednički nazivnik: x = 3 8 = 3 8 = 33 88, y = 4 = 4 8 8 = 3 88. Vidimo da je x > y. Zadatak 3. Poredaj po veličini brojeve: 4 5, 4 5, 5 6, 3, 7 0, 3 30.
BROJEVI Operacije s racionalnim brojevima Pri zbrajanju racionalnih brojeva razlomke svodimo na zajednički nazivnik. U tu svrhu možemo uzeti umnožak nazivnika kao zajednički nazivnik: a b + c d = a d b d + b c ad + bc =. b d bd Računajući ovako uvijek ćemo dobiti ispravan rezultat, ali brojnik i nazivnik dobivenog razlomka vrlo često će se moći skratiti: 5 6 + 3 8 = 5 8 + 3 6 = 58 6 8 48 = 9 4. Jednostavniji se račun dobiva ako za zajednički nazivnik odaberemo najmanji zajednički višekratnik nazivnika. U ovom primjeru za zajednički nazivnik možemo uzeti V(6, 8) =4 : 5 6 + 3 8 = 5 4 + 3 3 = 9 4 4. Oduzimanje racionalnih brojeva vršimo na analogan način. Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva a b + c d ad + bc =, bd a b c ad bc = d bd Prisjetimose još definicije umnoška ikoličnika racionalnih brojeva: a b c d = ac bd. Posebno, primijetimo da vrijedi a b b a = a b b a =. Broj b a nazivamo recipročnim brojem broja a b ioznačavamo s b a = ( ) a. b Dakle, recipročni broj zadanog racionalnog broja ima zamijenjen brojnik i nazivnik. Primijetimo da je b a = :a b. Dijeljenje racionalnih brojeva zato se svodi na množenje recipročnim brojem: a b : c d = a b d c = ad bc.
RACIONALNI BROJEVI. Mnoz enje i dijeljenje racionalnih brojeva a c ac =, b d bd a c a d ad : = = b d b c bc Kolic nik dvaju razlomaka moz e se zapisati u obliku dvojnog razlomka: a a c ad b : = c =. b d bc d Pritom a i d nazivamo vanjskim, a b i c unutarnjim c lanovima dvojnog razlomka. Ovo pamtimo kao pravilo: razlomci se dijele tako da se prvi razlomak pomnoz i reciproc nim razlomkom drugog. Povijesni kutak ARITHMETIKA HORVATSZKA prvi udz benik matematike na hrvatskom jeziku - pod Arithmetika horvatszka, svec enika Mihalja S iloboda-bols ic a (Podgrade Okic em 74. Sv. Nedelja 787.) mali je priruc nik pisan kajkavskim narjec jem i tiskan u Zagrebu 758. g. Od c etiriju vec ih dijelova, prva tri se bave brojevima i operacijama s njima dok c etvrti sadrz i praktic ne rac une vezane uz trgovinu, dugovanja, tros kove i sl. Knjiz ica je u puku bila vrlo popularna pa se u ono doba nevjez i u rac unanju govorilo neka se primi S iloboda, a ako je netko bio vjes t u rac unu pohvalili bi ga da rac una kao S ilobod. Knjiz ica je sadrz avala i nekoliko zagonetki. Jednu od njih, u izvornom obliku vidite na slici dolje. Tu je odmah dano i rjes enje. Pokus ajte ovu zagonetku proc itati s razumijevanjem. Dodajmo jos kako je godine 766. franjevac Mate Zoric ic, objavio svoju Aritmetiku, knjiz icu vrlo slic nu S ilobodovoj. Obje aritmetike namijenjene su s irokom puku koji je u rac unu bio potpuno neuk s to je, kako pis e Zoric ic, glavno zlo i uzrok siromas tva i bijede u narodu. 3
BROJEVI Zadatci... Razlomke 5, 5 4, 3 8, 5 prikaži u obliku decimalnog broja. 6. Brojeve 0.5, 0.5, 0.5, 0.75, 0.65 prikaži u obliku razlomka. 3. Poredaj po veličini brojeve: 0. 6. 4. Ako je 3 = 0. 3, koliko je 30? Ako je 7 = 0. 857 4, koliko je 6 7?, 66 %, 0.666, 3 5. Odredi period u decimalnom zapisu racionalnog broja: ) 5 6 ; ) 3 ; 3) 5 3 ; 4) 6 7. 6. Koja se znamenka nalazi na 0. mjestu iza decimalne točke u decimalnom zapisu svakog od četiriju brojeva iz prethodnog zadatka? 7. Odredi 303. znamenku u dec. zapisu broja 5 37. 8. Odredi 777. znamenku u dec. zapisu broja. 9. Odredi 500. znamenku u dec. zapisu broja 3 3. 0. Za koje su cijele brojeve a brojevi a, a + a(a 3), a a 0, a + a 4 racionalni?. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak 6 cijeli broj. n + 6. Za koje je cijele brojeve n razlomak n cijeli broj? 3. Odredi sve cijele brojeve n za koje je razlomak n + cijeli broj. n 4. Odrediprirodnibroj x tako da vrijede jednakosti: x ) = 3 ; ) 4 x = 5 ; 3) 3 7 = x. 5. Za koji cijeli broj x vrijedi: ) 5 = x 0 ; ) x 6 = 3 ; 3) x 4 = 5 6? 6. Za koji je broj x ispunjena jednakost 9+x 5+x = 3? 7. Za koji je broj x ispunjena jednakost 3 x 0+x = 5 9? 8. Ako od brojnika i nazivnika razlomka 5 3 oduzmemo isti broj x, dobit ćemo razlomak 4.Koliki je x? 9. Ako brojniku razlomka 3 dodamo neki broj, a isti taj broj oduzmemo od nazivnika, dobit ćemo razlomak. O kojem se broju radi? 3 0. Skrati razlomke: ) 05 68 ; ) 55 5775 ; 3) 6 930 870 ; 4) 3 333 333 5 555 555 ; 5) 35 35 34 34.. Poredaj po veličini brojeve: ) 3 4,, 9 4, 7 8, 67 7 ; ) 3 4,0. 7, 3 6,0.7, 9 3 ; 3) 3 4,, 9 4, 7 8, 67 7.. Ako je a = 0. 3, b = 0.5, koliko je a, a, a a + b, a b, b? 3. Ako je a + b =, b + c =, c + a = 5, koliko je a + b + c? 4. Primjenjujući jednakost n n + = n (n + ) izračunaj: + 3 + 3 4 +...+ 99 00. 4
RACIONALNI BROJEVI. 5. Izračunaj: ( ).6 3 ) 5 ( 4 ) ) 5.8 : ) ( 0. : 4 ) ; 4 5 ( 4 ) ( + 0. 5 ) ; 5 9 ( 3) [ 3 ( + ) ] [ ( : 0.75 ) 3 3 3 4) [ 3 ( 5. + ) ] : 6. Izračunaj: ) 3 4 5 + 0.59 ( 3 ) ; ) 4 0.5 :4 7. Izračunaj: ) 0.75 : 3. ) 0.875 3. : 3 3 +.4 3 + 3 4. ] :.5 ; [ (.5 ) : 7 ] 5 8 3. 7 :0.5 + 3.5 4. 3 0.5 3 3 ; 4 3 +. 4 8. Izračunaj x iz sljedećih jednakosti, primjenjujući svojstva osnovnih računskih operacija s racionalnim brojevima: ) (5 0.) : (3.3 x) = ; ) (84+x): 3 5 =(x 48):.4; 3) : (3 4 ) 5 0.8x = 55 : (x + 4) ; 4). (0.8 + x) = 3.6; 5). (5x + 5.5) =.; 6) (0. x) =.44 ; 7). (0.3 + x) = 3.6; 0 8) [(8x + 4) :5]:4+ 6 = ; [ 9) 08 : (00 3x) 4 ] = ; 3 0) ) ) (x.875) : 5 8 8 0.65 5 = ; [ 5 ] (45 4x):5 +4 :5= 5; 9 3 4 5 (5.5 + x) : 3 7 3 8 = 5.65. 9. Ako je a : b : c = : : 4, koliko je a + b 3c 3a b + c? 30. Broj 35 podijeli na dva dijela koji su u omjeru 7:8. 3. Ako je 3x :5y = 7 :, koliko je x : y? 3. Ako su veličine kutova u trokutu u omjeru :3:4,kolikijenajveći kut trokuta? 33. Mjere unutarnjih kutova četverokuta u omjeru su : : 3 : 4. Kolika je mjera najmanjeg kuta ovog četverokuta? 34. Ako su a, b i c duljine stranica trokuta i ako je a : b = 5:4,a : c = 3 : 5, a opseg trokuta iznosi 56 cm, kolika je duljina najkraće stranice ovog trokuta? 35. Broj 400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3:5:8. 36. Broj 697 podijeli na tri dijela, a, b i c tako da je a : b = 3:4ib : c = 3:5. 37. Opseg oranice iznosi 800 metara. Kolike su duljina i širina oranice ako su u omjeru 5 : 9? 38. Za.5 sat napuni se 0.3 obujma bazena. Koliko treba vremena da bi se napunilo 0.9 obujma bazena? 39. Nakon minuta gorenja duljina svijeće smanji ses30cmna5cm. Nakonkolikoće vremena svijeća dogorjeti? 40. Akosuod70proizvoda3sgreškom, koliko se proizvodas greškom može očekivati u 840? 4. U jednom razredu na pismenom ispitu iz matematike / 3 učenika nije riješila jedan zadatak, / 4 nije riješila podvazadatka, / 6popo trizadatka, a/8svačetiri zadatka. Koliko je učenika točno riješilo sve zadatke ako je u razredu manje od 30 učenika? 5
BROJEVI Točno-netočno pitalice Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne? Odgovori i odgovor obrazloži.. Za bilo koji cijeli broj n brojevi n +, n + 4in + 6 su tri uzastopna parna cijela broja.. Zbroj neparno mnogo neparnih cijelih brojeva je neparan broj, a zbroj parno mnogo neparnih cijelih brojeva je paran broj. 3. Broj n omjer je dvostrukog zbroja i umnoška brojeva a i b.tomožemo (a + b) zapisati u obliku n =. ab 4. Postoji ukupno 0 cijelih brojeva za koje je razlomak 5 n + 5. Za svaki broj a 0broj0:a nije definiran, a vrijedi a :0= 0. 6. Brojevi a = 4 i b = 0. 3 6 suprotni su brojevi. 7. Brojevi m = 40 i n = 0.5 me - dusobno su recipročni. cijeli broj. 8. Zbroj svih znamenki u jednom periodu decimalnog zapisa broja jednak je. 9. U decimalnom zapisu razlomak + + je konačan decimalni broj. + 0. Zbroj triju uzastopnih prirodnih brojeva djeljivih s 3 jednak je 333. Najveći od tih brojeva je.. Umnožak triju uzastopnih prirodnih brojeva jednak je 30. Zbroj tih brojeva jednak je 33.. Broj n pri dijeljenju sa 7 daje količnik i ostatak 3. Zbroj znamenki broja n je 6. 6
REALNI BROJEVI.3.3. Realni brojevi Iracionalni brojevi Postoje brojevi koji nisu racionalni, koje nije moguće predočiti kao količnik dvaju cijelih brojeva. Takvi se brojevi zovu iracionalni brojevi. Brojevi, 3, 5iπ primjeri su iracionalnih brojeva. Povijest iracionalnih brojeva seže do pred kraj staroga vijeka. Pitagora i njegovi učenici suočili su se s činjenicom da racionalni brojevi ne mogu dati odgovor na neka pitanja što se pojavljuju u geometrijskim problemima. Tako primjerice nisu imali odgovor na jednostavno pitanje: kolika je točno duljina dijagonale kvadrata sa stranicom duljine? Danas znamo odgovor. Zapisujemo ga kao i zovemo drugi korijen od. Sama pomisao da postoje brojevi koji nisu racionalni u ono bi doba bila bogohulna i uzdrmala bi temelje Pitagorina učenja. Legenda kaže da je jednog Pitagorina učenika samo naslućivanje kako postoje neracionalni brojevi koštalo glave jer su ga bogovi kaznili morskom olujom tijekom koje je potonuo zajedno sa svojom barkom i svojom idejom. U praktičnim računima iracionalne brojeve mijenjamo njihovim približnim vrijednostima, dakle racionalnim brojevima. Kolika bi bila duljina dijagonale kvadrata s prethodne slike? Najčešće uzimamo.4, džepno računalo daje.44356, a mogli bismo po potrebi odrediti i veći broj decimala. Osobito je zanimljiv iracionalan broj π. O njemu će još biti podosta govora, a sada samo spomenimo kako pri računanju opsega ( o = rπ ) ili površine ( P = r π ) kruga s polumjerom r uzimamo π = 3.4, a zapravo bi bilo ispravnije pisati π 3.4, jer se radi o približnoj vrijednost tog broja. Džepna računala pružaju znatno precizniju vrijednost. Matematičarima je poseban izazov pronaći razlomak koji je što bliži ovom čudesnom broju. Vrlo je poznato jednostavno rješenje koje se pripisuje Arhimedu: = 3.4857... 7 U tom prikazu prve dvije su decimale iste kao prve dvije decimale broja π.evo još jednog rješenja koje bi nakon dijeljenja brojeva u brojniku i nazivniku dalo decimalni broj u kojem se prvih 5 decimala podudara s prvih 5 decimala broja π 09 54 486 099 46 = 3.45965358979338466433787996... 34 5 540 03 945 7
BROJEVI Kutak plus KORIJEN IZ NIJE RACIONALAN BROJ Broj nije racionalan. Dokažimo ovu tvrdnju. Kad bi bio racionalan broj, mogli bismo ga zapisati u obliku količnika dvaju prirodnih brojeva. Pa uzmimo da on to jest, da ga možemo zapisati u obliku razlomka m n, gdje su m i n prirodni brojevi (jer je pozitivan broj). Takoder - možemo pretpostaviti da m i n nisu oba parna. Kad bi oni bili takvi, kratili bismo ih sve dok to možemo, dok barem jedan od njih ne bude neparan. m Kvadriramo jednakost n = i dobijemo = m n, odnosno m = n. Zaključujemo da je m paran broj. No, onda je i m paran. (Zašto?) Dakle, n je neparan. Zapišimo m = k pa je 4k = n, odnosno n = k. Slijedi n je paran broj, pa je time i n paran. No prirodni je broj n ili paran ili neparan; ne može biti jedno i drugo. Do ovog proturječnog zaključka dovela nas je pretpostavka da je racionalan broj. Stoga je ta pretpostavka kriva, tj. nije racionalan broj. RACIONALNI BROJEVI BLISKI KORIJENU IZ Broj rješenje je jednadžbe x =, koju možemo napisati kao (x )(x + ) = ili x = x + x = + + x. Odavde slijedi x = + + x = + + = +... + + x + + x Time dobivamo izraze +, + +, + +, +... + + + + pa je Napiši ih u obliku racionalnog broja i usporedi njihove vrijednosti u odnosu na. Izračunaj još nekoliko sljedećih brojeva dobivenih po istom principu. KAKO SE KORIJEN BROJA RAČUNA S POMOĆU DŽEPNOG RAČUNALA? Svako džepno računalo ima tipku za računanje drugog korijena. Kojim se postupkom taj korijen odreduje? - Uvjerimo se da se jednadžba x = C može napisati u obliku x = x + C «. Odaberimo ovdje C =, no možemo račun x napraviti i za bilo koji drugi C. Krenimo od x = što ćemo uvrstiti zdesna: x = + «=.5. Ponovimo li postupak s ovom vrijednošću za x, pa onda ponovno s novoizračunatima, dobit ćemo x =.5 + «=.4 6, x =.4 6 + «=.445686....5.4 6 Izračunaj sljedeću vrijednost i usporedi je s decimalnim prikazom broja. 8
REALNI BROJEVI.3 Realni brojevi Svaki je prirodni broj ujedno i cijeli broj. Kažemo da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva. Svaki je cijeli broj racionalan pa kažemo da je skup cijelih brojeva podskup skupa racionalnih brojeva. Dakako, i svaki je prirodni broj (jer je cijeli) racionalan. Udruženi u jedan skup, racionalni i iracionalni brojevi čine skup realnih brojeva. Skup realnih brojeva označavamo s R. Q R I Me - dusobni odnosi skupova brojeva mogu se zorno prikazati dijagramom u kojem je skup zapisan na nižoj razini podskup skupa što je na višoj razini i s kojim je povezan crtom. Pozorno razmotrite sliku iprotumačite je. Z N Skup realnih brojeva Skup realnih brojeva R sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva. Svaki realni broj a možemo prikazati u (konačnom ili beskonačnom) decimalnom prikazu: a = a 0.a a a 3... pri čemu je a 0 cijeli broj, a a, a, a 3... neke od znamenki 0,,,...,9. Operacije s realnim brojevima Četiri su temeljne operacije s realnim brojevima: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Opišimo osnovna svojstva koja imaju te operacije. Posebno ćemo obratiti pozornost na svojstva operacija zbrajanja i množenja. Prvo svojstvo, komutativnost, kaže da se dva broja mogu zbrojiti ili pomnožiti u bilo kojem poretku. Za bilo koja dva realna broja a i b vrijedi a + b = b + a, ab = ba. Svojstvo asocijativnosti govori o zbrajanju ili množenju triju brojeva. Tri se broja mogu zbrojiti ili pomnožiti, ne mijenjajući im poredak, na dva različita načina. Rezultat će biti isti. Dakle, za bilo koja tri realna broja a, b i c vrijedi (a + b)+c = a +(b + c), (ab)c = a(bc). 9
BROJEVI Primjer. Zbog svojstava asocijativnosti i komutativnosti dozvoljeno je zbrojeve i umnoške od triju (ili više) članova pisati bez zagrada i računati bilo kojim poretkom! Utvrdi koja smo svojstva i koji poredak koristili u ovom računu: 7 + 49 + 3 = 7 + 3 + 49 = 30 + 49 = 79; 44 + 373 + 56 = 44 + 56 + 373 = 300 + 373 = 673; 45 7 = 45 7 = 90 7 = 630. Sljedeća svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva tiču se dvaju istaknutih brojeva, 0 (nule) i (jedinice). Za bilo koji realan broj a vrijedi a + 0 = a, a = a. Kažemo da je 0 neutralni element za zbrajanje, a jedinica je neutralni element za množenje. Zbroj brojeva i jednak je nuli. Općenito, za svaki broj a postoji realni broj, koji označavamo s a, takav da zbrojen s a daje nulu: a +( a) =0. Broj a nazivamo suprotni broj broju a. Suprotan broj broju 0 je opet 0, dakle 0 = 0. 0 je jedini broj s tim svojstvom: ako za neki realni broj a vrijedi a = a, onda mora biti a = 0. Ne smijemo brkati suprotni broj s negativnim brojem! Ako je a negativan realni broj, onda je njemu suprotan broj a pozitivan! Primjerice, ako je a = 3, onda je a = ( 3) = 3. Općenito je za bilo koji broj a ispunjeno ( a) =a. Za radoznale Je li broj a pozitivan ili negativan? Ovo pitanje povlači novo pitanje: reci mi kakav je a pa ću ti odgovoriti kakav je a. Ako je a pozitivan, a je negativan, a ako je a negativan, onda je a pozitivan 0
REALNI BROJEVI.3 Oduzimanje realnih brojeva je isto što i zbrajanje sa suprotnim brojem: a b = a +( b). Primjer. Vrijedi (a + b) = a b.u to ćemo se uvjeriti tako da zbrojimo broj a + b s a b : a + b +( a b) =a +( a)+b +( b) =0. Dakle, a b je suprotni broj za a + b, pa vrijedi (a + b) = a b. Za svaki broj a različit od nule postoji realni broj, koji ćemo označiti s a,za koji vrijedi a a =. Broj a nazivamo inverzni ili recipročni broj broju a, a 0. Kako je a =, zaključujemo da je recipročni broj jednak a a = a. Dijeljenje realnih brojeva svodi se na množenje recipročnim brojem. Ako su a i b realni brojevi, b 0, onda je a : b = a b. Svojstvo distributivnosti povezuje operacije zbrajanja i množenja. Za sve realne brojeve a, b i c vrijedi: a(b + c) =ab + ac. Primjer 3. U sljedećim jednakostima koristili smo svojstvo distributivnosti: 9 7 + 7 7 =(9 + 7) 7 = 00 7 = 700, 4 37 + 33 37 + 5 37 =(4 + 33 + 5) 37 = 00 37 = 3700.
BROJEVI Svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva Operacije zbrajanja i množenja realnih brojeva imaju sljedeća svojstva:. Komutativnost: a + b = b + a, a b = b a.. Asocijativnost: (a + b)+c = a +(b + c), (a b) c = a (b c). 3. Distributivnost (obostrana) množenja prema zbrajanju: a (b + c) =a b + a c, (a + b) c = a c + b c. 4. Postojanje neutralnih elemenata, 0 (nule) za zbrajanje i (jedinice) za množenje: x + 0 = x, x = x. 5. Postojanje suprotnog broja i inverznog broja: a +( a) =0, a = (a 0). a Zadatak. Primjenjujući svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva, izračunaj na što učinkovitiji način: ).73 + 3.65 + 5.7 ; ) 0.5 33 4; 3) 3 4 0.4 4 6 ; 4) 4.4 0.3 + 5.6 0.3; 5) 0.76 4. + 0.4 4. + 4.. Računanje s realnim brojevima Govorili smo o svojstvima računskih operacija s realnim brojevima. No ako su realni brojevi beskonačni decimalni brojevi, osobito ako su iracionalni, kako s njima računati? Evo jednog primjera: Primjer 4. Kolika je površina kružnog odsječka ako je duljina polumjera kruga 6 cm, asredišnji kut iznosi 0? Površina odsječka jednaka je razlici površina kružnog isječka i površine trokuta ABS. Isječku pripada središnji kut od 0, pa je njegova površina jednaka trećini površine kruga: P i = π cm. A 60 S B
REALNI BROJEVI.3 Apovršina trokuta ABS jednaka je površini jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine r = 6cm: P = 9 3cm. Tada je površina odsječka jednaka P o = P i P =(π 9 3) cm. I zadatak je riješen. No rezultat, premda sasvim točan, ne daje jasnu sliku o veličini površine kružnog odsječka. Zato ćemo brojeve π i 3 zamijeniti njihovim približnim vrijednostima. Te približne vrijednosti ovise o tome koliku točnost želimo postići. U ovom primjeru razumno je procijeniti da je dovoljno računati s približnim vrijednostima π 3.4 i 3.73. Tada je P o = π 9 3 37.68 5.57 =. cm. Pri računanju s realnim brojevima u pravilu računamo s njihovim približnim vrijednostima. Valja biti svjestan da tako radimo i kad pri računu rabimo džepno računalo, samo što se onda brojevi uzimaju s boljim približnim vrijednostima. Uzmimo naš prethodni primjer. Uz pomoć džepnog računala račun bi izgledao ovako: P o = π 9 3 3.459654 9.73050808 = 37.69984 5.5884577 =.065457 cm. Usporedimo li ovaj s prethodno dobivenim rezultatom, vidimo da i nema velike razlike. Brojevni pravac Cijele brojeve možemo slikovito prikazati na brojevnom pravcu. Taj prikaz nalikuje na prikaz ljestvice termometra. Povucimo horizontalni pravac i odaberimo na njemu jednu istaknutu točku O kojoj pridružimo broj 0. Nekoj točki E desno od nje pridružimo broj. Dužina OE naziva se jedinična dužina, njezina je duljina jedinica mjere. Nanošenjem jedinične dužine desno od točke E odredit ćemo položaj prirodnih brojeva. Ako tu istu dužinu nanosimo lijevo od točke O, odredit ćemo položaj negativnih cijelih brojeva. Tako je udaljenost izmedu - svakih dvaju uzastopnih cijelih brojeva jednaka jediničnoj duljini. O - - 0 E 3 3
BROJEVI Ako je temperatura u nekom trenutku bila 0 C, pa je narasla na C, tada je živautermometruume - duvremenu poprimila sve vrijednosti izme - du točaka označenih s 0 i. Kojim brojevima odgovaraju te točke? Pokušajmo odgovoriti na ovo pitanje. Tako se, npr., na polovini udaljenosti izme- -du 0 i nalazi broj. Podijelimo li jediničnu dužinu na pet jednakih dijelova, tada djelišnim točkama odgovaraju brojevi 5, 5, 3 5 i 4 5. O 5 5 3 4 5 5 E - 0 3 Gdje se na brojevnom pravcu nalaze racionalni brojevi? Ako su brojevi m i n prirodni, onda ćemo m smjestiti ovako: jediničnu dužinu podijelimo na n n jednakih dijelova, i zatim nanesemo m takvih dužina udesno, počevši od broja 0. Ako je m negativan, onda dužine nanosimo lijevo od broja 0. m n 5 3-0 n m n Hoćemo li racionalnim brojevima ispuniti cijeli brojevni pravac? Konstruirajmo dužine s duljinama i 3. Nanesemo li te dužine na brojevni pravac, dobit ćemo točke koje ne odgovaraju racionalnom broju, jer i 3 nisu racionalni. Na slici vidimo jednu praktičnu konstrukciju kojom na brojevni pravac smještamo brojeve oblika n, n N. 0 3 5 Svakom realnom broju odgovara jedna točka na brojevnom pravcu. Isto tako, svakoj točki brojevnog pravca odgovara jedan realni broj. Zato možemo poistovjetiti točke brojevnog pravca s realnim brojevima. Tako i cijeli brojevni pravac nazivamo još realni pravac ili realna os. 4
REALNI BROJEVI.3 Povijesni kutak BROJEVI Prirodni brojevi nastali su iz praktic ne potrebe za prebrajanjem kolic inskom opisivanjem i vrednovanjem konac nih skupova. Taj je proces trajao tisuc ljec ima, gotovo tijekom c itave ljudske povijesti. U davno doba prebrajanje se provodilo pridruz ivanjem i usporedivanjem broja elemenata nekog skupa sa skupom kamenc ic a ili sitnih predmeta izradenih od gline. Zanimljivo je primijetiti kako se vis a matematika, ona koja se uc i na prvim godinama studija, u engleskom govornom podruc ju zove Calculus, s to potjec e od latinskog calculus kamenc ic. Sustav zapisivanja kolic ina tijekom vremena se unaprjedivao pa su se primjerice nekoliko tisuc ljec a prije Krista na Bliskom istoku u tu svrhu rabili mali glineni predmeti raznih oblika i velic ine. Koliko je ovaj sustav bio sloz en govori i podatak da se krajem 4. tisuc ljec a pr. Kr. rabilo 300 razlic itih figurica. Jos se jedan nac in prebrajanja razvijao tijekom povijesti, a sastojao se u pridruz ivanju elemenata nekog skupa i ureza na z ivotinjskoj kosti ili drvenom prutu. Najstariji arheolos ki nalazi koji to potkrepljuju jesu majmunske kosti nadene u jami Border Cave u planini Lemombo na granici Svazija i Juz noafric ke Republike. S to je na njima biljez eno, danas nije moguc e znati. Vjeruje se da su te kosti stare pribliz no 37 000 godina. Slic ne kosti stare oko 30 000 godina nas ao je 937. godine u srednjoj C es koj arheolog Karl Absolom. Spomenimo jos i kosti (na slici) koje je u Ishangu na granici Ugande i Konga, svega petnaestak kilometara od ekvatora 960. godine pronas ao belgijski istraz ivac De Braucourt, a starost im je 0 000 godina. Primijetimo kako se ovakvo zapisivanje rabi jos i dandanas pa se takve zabiljes ke provode pri nekim kartas kim igrama, glasovanjima i sl. Kako to izgleda, vidimo na zidu jedne pivnice. U odnosu na dug put do prirodnih brojeva cijeli, racionalni i iracionalni brojevi relativno su brzo nastali. C ini se kako su negativne cijele brojeve i nulu uveli Kinezi i to iz praktic ne potrebe trgovac kog poslovanja. No njihovo sustavno uvodenje u matematiku uslijedilo je znatno kasnije, tek na poc etku 7. stoljec a. Pratilo ih je ponekad i z estoko osporavanje, c ak i tako velikih matematic ara kao s to su bili Descartes i Pascal (Ne postoji ma- kojima Leibniz i Newton, nje od nule). Mnogi drugi, medu spremno su ih prihvac ali. Racionalni brojevi su znatno stariji od cijelih. Tako je rac unanje s razlomcima bilo vrlo sustavno razradeno jos u Egiptu, u 4. tisuc ljec u prije Krista. Da postoje brojevi koji nisu racionalni, spoznali su pitagorejci i to je otkric e za njih bilo vrlo neugodno jer se nije uklapalo u njihovo uc enje o savrs enosti brojeva. Legenda kaz e kako su bogovi jednog Pitagorina sljedbenika koji se drznuo i pomisliti da postoje jos neki brojevi, ne samo racionalni, kaznili stradavanjem u velikoj oluji na moru. 5
BROJEVI Aritmetička sredina Primjer 5. Marina je na kraju školske godine iz 8 predmeta imala zaključenu ocjenu odličan, iz 5 predmeta vrlo dobar te iz predmeta dobar. S kojim općim uspjehom je Marina završila razred? Mogla je imati i bolji uspjeh. Kako? Da bismo odredili Marinin opći uspjeh moramo izračunati srednju ocjenu svih 5 predmeta. Zbrojit ćemo sve ocjene pa zbroj podijeliti s brojem predmeta: 8 5 + 5 4 + 3 = 66 5 5 = 4.4. Rezultat 4.4 znači da je Marinin opći uspjeh vrlo dobar. Da bi prošla s odličnim, potreban je najmanji prosjek 4.5, a to znači da ukupan zbroj njezinih ocjena mora biti jednak najmanje 5 4.5 = 67.5, odnosno barem 68. Kako je to Marina mogla postići? Aritmetička sredina Prosjek ili aritmetička sredina skupa brojeva a, a, a 3,...,a n je broj A = a + a + a 3 +...+ a n. n Dakle, ako je dan neki skup brojčanih podataka, tada je njegova aritmetička sredina broj koji dobijemo dijeljenjem zbroja svih podataka s brojem podataka. Zadatak. U nekoj nogometnoj momčadi od igrača petorica imaju po 5 godina, trojica po 3, dvojica po 9 i jedan igrač ima 8 godina. ) Kolika je prosječna starost igrača ove momčadi? ) Ako se tijekom igre umjesto jednog devetnaestogodišnjeg igrača uvede zamjena, prosječna starost momčadi je tada 3 godine. Koliko godina ima igrač uvedenu igru? 6
REALNI BROJEVI.3 Postotak i promil U svakodnevnom životu vrlo sečesto susrećemo s postotcima. Postotcima se izražava povećanje životnih troškova, popust u trgovini, kamate na kredite ili štednju, nagib ceste, stopa gospodarskog rasta itd. Dopunite ovaj niz s još nekoliko svojih primjera. A što je postotak? Postotak Postotak je razlomak s nazivnikom 00. Pišemo p 00 = p%. Ako je dan neki iznos x,tadaje p% odx jednako x p 00. Primjer 6. Količina krvi u ljudskom tijelu iznosi 7% tjelesne mase. ) Izračunaj količinu krvi u svojem tijelu. ) Ako je masa krvi u tijelu tvojeg prijatelja jednaka 3.64 kg, kolika je njegova tjelesna masa? 3) Pretpostavimo da tvoja tjelesna masa poraste za kg. Za koliko se poveća količina krvi u tvojem tijelu? Izrazi to povećanje i u postotcima. Što znači podatak da je količina krvi u ljudskom tijelu 7% tjelesne mase? To znači da na svakih 00 jedinica tjelesne mase imamo 7 jedinica krvi (sedam po sto ili sedam posto ili 7 %). U tijelu mase m (kg) količina krvi (izražena u kg) jednaka je 7 m = 0.07m kg. 00 Dakle, radi se o proporcionalnosti s koeficijentom 7 00 = 0.07. Ako je tjelesna masa neke osobe 60 kg, u njezinom organizmu je količina 7 krvi jednaka 60 = 60 0.07 = 4. kg. Količina krvi osobe čija je 00 tjelesna masa 48 kg iznosi 48 0.07 = 3.36 kg. 7
BROJEVI Riječ postotak sama za sebe govori o čemu je riječ. Ona je doslovan prijevod strane riječi procent koja se i u hrvatskom jeziku povremeno rabi. No, uz postotke često se može čuti i za promile. Promil Promil je razlomak s nazivnikom 000. p 000 = p Ako je dan neki iznos x,tadaje p odx jednako x p 000. Obrazložite sljedeći niz jednakosti: = = 0.00 = 0.%. 000 Primjer 7. Jedno od važnih svojstava morske vode jest slanost ili salinitet. Iskazuje se u promilima mase pa tako salinitet od značidajeukgmorske vode sadržan gram soli. Prosječna slanost svjetskih mora jednaka je 35. Crveno more ima slanost 40, Baltičko more jedva 6. Slanost Jadranskog mora veća je od prosjeka i jednaka je 38. Sol se iz morske vode dobiva prirodnim putem, isparavanjem u velikim i plitkim bazenima. Proces započinje u proljeće, a završava u jesen berbom soli. UHrvatskojsu solane na otoku Pagu, u Stonu te u Ninu. Solana na Pagu zauzima površinu od 58 ha i godišnje proizvede 0 000 t soli što je 80 % ukupne domaće proizvodnje soli. Odgovori na sljedeća pitanja: ) Koliko je soli u 0 litara vode u Jadranskom moru? ) Koliko nam litara jadranske morske vode treba za gram soli? 3) Kolika je ukupna proizvodnja soli u trima hrvatskim solanama? 8
REALNI BROJEVI.3 Zadatci.3.. Koji su od sljedećih brojeva racionalni: 5, π 7,,,5, 5 5, 444?. Izme - du kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalaze sljedeći brojevi: 7, 55, 5π 3, 77, 777, 5π? 3. Poredaj po veličini brojeve: 3.4, 7, π, 355 3, 9.9. 4. Je li broj 0.3333... racionalan ili iracionalan? Obrazloži! 5. Postupajući kao u Kutku plus dokaži da broj 3 nije racionalan broj. 6. Dokaži da je broj + 3 iracionalan. Uputa: zapiši + 3 = a, gdje je a racionalan broj. 7. Odredi šest brojeva čija je aritmetička sredina jednaka 3, a svaki je sljedeći od prethodnog veći za 0.4. 8. Srednja vrijednost 5 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 4. Koji je najmanji, a koji je najveći od tih brojeva? 9. Prosječna težina dječaka u razredu je 55 kg, a prosječna težina djevojčica 47 kg. Koliki je omjer broja djevojčica i broja dječaka ako je prosječna težina svih učenika tog razreda 49 kg? 0. Koji je od brojeva 8, 30, 6, 37 i 9 aritmetička sredina ostalih četiriju?. Odredi sedam brojeva čija je aritmetička sredina 6.6, a svaki je sljedeći broj od prethodnog manji za 0... Prosječna starost igrača jedne nogometne momčadi, njih jedanaestorice, je 5.5 godina. Ako je iz igre isključen igrač star 0.5 godina, kolika je prosječna starost igrača koji su ostali u igri? 3. U nekom razredu s 30 učenika prosječna ocjena općeg uspjeha je 3.85. S prosjekom 5.0 razred je završilo6učenika. Kolika je prosječna ocjena ostalih 4 učenika? 4. Unekojješkoli svih učenika završila razred s 6 odličnim uspjehom, 3 s vrlo dobrim, 8 s dobrim. S dovoljnim nije završio niti jedan učenik, a 3 učenika upućeno je na popravni ispit. Kolika je srednja ocjena učenika koji su uspješno završili školsku godinu? 5. Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 64 cm, a dječaka 7 cm. Ako je prosječna visina svih u razredu 67 cm, koliki je omjer broja djevojčica i broja dječaka u tom razredu? 6. Hotel Plavi Jadran, čiji je kapacitet 80 postelja, u 7. i 8. mjesecu bio je popunjen 95 %, u 6. i 9. popunjenost je bila 75 %. U trima zimskim mjesecima hotel je bio zatvoren, a u ostalim mjesecima popunjenost je bila 45 %. Koliki je bio prosječan mjesečni broj gostiju tog hotela u vremenu kada je hotel bio otvoren? 5 7. Odredi aritmetičku sredinu brojeva i 7 5. Uvjeri se da je taj broj veći od manjeg, a manji od većeg od tih dvaju brojeva. 8. Koristeći se svojstvom aritmetičkesredineodredi pet brojeva koji su veći od 5 6,amanjiod 8 9. 9. Za neku je gradnju potrebno 00 000 komada opeke. Ako je otpad zbog loma 4.5% koliko komada treba nabaviti? 0. Kava pri prženju gubi % mase. Koliko treba sirove kave da bi se prženjem dobilo 0 kg pržene?. Netko za prijevoz robe plati 600 kn što čini.5% njezine vrijednosti. Koliko vrijedi roba?. Unekojškoli 55% svih učenika su djevojčice. Ostalo su dječaci i njih je za 60 manje nego djevojčica. Koliko je učenika u toj školi? 3. Učenici triju razreda skupljali su stari papir. Razred A skupio je za 0% veću količinu od razreda B, a razred B za 0% manje od razreda C. Ako je ukupno skupljeno 759 kg papira, koliko je skupio pojedini razred? 9
BROJEVI 4. U predizbornoj kampanji jedan je političar obećao kako će za vrijeme svojeg četverogodišnjeg mandata ukinuti PDV na knjige koji sada iznosi 0%itotakodaće ga svake godine umanjiti za 5% u odnosu na prethodnu godinu. Može li taj političar, bude li izabran, ispuniti svoje obećanje? 5. Novine obavještavaju kako je porast cijene automobilskog goriva tijekom posljednje 3 godine bio redom za 4%, 5% i 8% Tako je u te 3 godine cijena porasla za ukupno 7%, zaključuje novinar. No ta je računica pogrešna. Izračunajte koliko je porasla cijena goriva u posljednje tri godine. 6. Odgovori na sljedeća pitanja: ) Koliko je učenika u tvojem razredu završilo osmi razred s općim uspjehom vrlo dobar? Izrazi taj broj u postotcima. ) Na pismenom ispitu iz matematike u tvojem razredu 3% učenika ocijenjeno je odličnom ocjenom. Koliki je to broj učenika? 7. U morskojje vodi 0.3 % soli. Koliko kilograma soli ima u jednom hektolitru morske vode? 8. Od neke svote odbije se 8 % na troškove, a ostatak se podijeli na 5 osoba. Koliko je iznosila cijela svota ako je svaka osoba dobila po 930 kn? Točno-netočno pitalice. Svaki je iracionalan broj ujedno i realan.. Svaki je racionalan broj ujedno i cijeli broj. 3. Broj 0.000000000000000...je racionalan broj. 4. Broj 3.459 je iracionalan broj. 5. Zbroj svaka dva iracionalna broja iracionalan je broj. 6. Ako je x y=3, onda je 3x 6y+3=. 7. Ako je 5% nekog broja jednako 75, tada je 80% tog istog broja jednako 50. 8. Ako je od x jednako, onda je % od x jednako 0. 9. Ako je % od y jednako, onda je od y jednako.. 0. Aritmetička sredina 5 uzastopnih prirodnih brojeva jednaka je 0. Najmanji od tih brojeva je broj 3. Istražite ALKOHOL U KRVI VOZAČA Alkohol u krvi vozača najčešći je uzrok pogubnih prometnih nesreća. Prometna policija osobito je stroga u provjerama alkoholiziranosti vozača uz blagdane kakav je primjerice Martinje. Godine 00. na taj je dan samo na jednoj kontrolnoj točki kod Duge Rese 3 vozač ostao bez vozačke dozvole. Rekorder pri toj provjeri bio je vozač u čijoj je krvi izmjereno 3.4 alkohola. Štoznači taj podatak? Koncentracija alkohola, iskazana u promilima, u krvi vozača računa se prema formuli: C = A p 0.79 00 m k U toj je formuli A količina popijenog alkohola izražena u ml, p jakost alkohola izražena u postotcima, 0.79 je specifična težina etilnog alkhola, m tjelesna masa osobe (u kg), a k je koeficijent redukcije koji je za muškarce 0.68, za žene 0.6. Primjerice, ako muškarac mase 70 kg popije litru piva jačine 6 %, koncentracija alkohola u njegovoj krvi iznosit 000 6 0.79 će C =. Tolika količina alkohola u krvi neke osobe izaziva osjećaj zbunjenosti i slabije 00 70 0.68 orijentacije. Istražite podrobnije kako alkohol utječe na sposobnost vozača. Proučite propise o dopuštenoj količini alkohola u krvi vozača. 30