Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb
|
|
- Ζεφύρα Γεννάδιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava plime i oseke itd. Elektrokardiogram (EKG) ili encefalograf (EKG) su grafički zapisi funkcija srca, odnosno mozga, i već sam pogled na njih stvara intuitivan dojam o pojmu periodičnost. U ovom članku bavit ćemo se periodičnošću nekih elementarnih realnih funkcija. Povremeno ćemo pritom rabiti grafičko džepno računalo koje će nam poslužiti za postavljanje određenih pretpostavki, zapotvrdu nekih rezultata ili pak kao ilustracija pojedinih primjera. Za preciznije crtanje grafova realnih funkcija ovakvo džepno računalo zbog niske rezolucije, baš i nije podobno pa se u tu svrhu možemo koristiti jednim od jednostavnih računalnih programa, ovdje će to biti GeoGebra. 1 Prije same definicije periodičnosti funkcije, a nakon uvoda u kojem se mogu navesti primjeri s početka članka, dobro je obraditi primjer neke jednostavne periodične funkcije. Tu baš i nemamo nekakav izbor jer se u prvim dvjema godinama srednje škole obrađuju funkcije koje nemaju svojstvo periodičnosti: linearni i kvadratni polinom te eksponencijalna i logaritamska funkcija. Jedini, ali zato vrlo upečatljiv primjer jest jednostavna funkcija f (x) = {x}, poznata pod nazivom decimalni 1 grč. periodos obilaženje 203
2 metodika dio realnog broja x. Opišimo je: Svaki se realan broj x može prikazati u obliku x = x +{x}, pri čemu je x Z prvi od x manji (prvi lijevi) cijeli broj, a {x} [0,1 je decimalni dio broja x. Za svaki cijeli broj n je {n}= 0. Za svaki x [n, n + 1, gdje je n cijeli broj vrijedi: {x}= x x. Što opažamo? Translacijom grafa duž osi x za bilo koji paran cijeli broj, dobit će se isti graf. Zadatak 1. Prikaži grafički funkciju: f(x) = { x 2n, 2n x < 2n+1 x + n + 2, 2n 1 x < 2n Periodične funkcije Definicija Realna funkcija f definirana na skupu D f je periodična ako postoji realan broj P > 0 takav da za svaki x D f vrijedi: f (x + P) = f (x). (*) Broj P zove se period funkcije f. Najmanji pozitivan broj P 0 za koji je ispunjen uvjet (*) jest osnovni ili temeljni period funkcije f. Primijetimo da vrijedi sljedeći poučak: Na slici je prikazan graf ove funkcije. Ukažimo na jednostavnu i zornu činjenicu da translacijom ovog grafa duž osi x za bilo koji cijeli broj dobivamo isti graf. Na istoj zamisli mogli bismo i sami konstruirati slične funkcije. U sljedećem primjeru to je i učinjeno. Primjer 1. Za paran cijeli broj n i za n = 0 definirajmo realnu funkciju f na sljedeći način: f (x) = { x n, n x < n + 1 x + n + 2, n + 1 x < n + 2 Na slici prikazan je graf ove funkcije. Ako je P period funkcije f, onda je i np period iste funkcije, pri čemu je n bilo koji prirodan broj. Ovu očiglednu tvrdnju dokazujemo matematičkom indukcijom. Pravi primjeri periodičnih funkcija u srednjoj školi jesu trigonometrijske funkcije. Te su funkcije vrlo važne u raznim primjenama matematike pa izučavanje njihovih svojstava treba biti glavni sadržaj njihove obrade. Nažalost, to najčešće nije tako, već se obrada trigonometrijskih funkcija svede na puko računanje. U nastavku ćemo se baviti periodičnošću trigonometrijskih funkcija. Pritom ćemo obradu nekih problema, čije se rješenje može naći u svakom udžbeniku trigonometrije, prepustiti čitatelju. Primjer 2. Trigonometrijske funkcije f (x)=sin x i f (x)=cos x su periodične s temeljnim periodom P 0 = 2π. Da su ove dvije funkcije periodične, proizlazi iz same njihove definicije, odnosno iz svojstva smještanja realnih brojeva na jediničnu kružnicu. Tu činjenicu je svakako dobro istaknuti. No formalno je možemo provjeriti na sljedeći način. 204 broj 45 / godina 9. / 2008.
3 Prema definiciji periodičnosti, mora biti ispunjen uvjet sin (x + P) = sin x. Ta jednakost mora vrijediti za svaki realan broj x, pa i za x = 0. Tako dobivamo jednostavnu jednadžbu sin P = 0 čije je rješenje x = k π, k Z, k 0. Funkcija f je periodična i njezin temeljni period valja potražiti u skupu brojeva k π. Lako se ustvrdi da je P 0 = 2π. Period funkcije sinus je svaki broj oblika k 2π, k Z, k 0. Na potpuno analogan način pokazuje se da je i funkcija cos x periodična s temeljnim periodom 2π. Ovaj primjer ujedno ilustrira kako se načelno, na temelju definicije, provjerava periodičnost i određuje temeljni period neke trigonometrijske funkcije. Zadatak 2. Dokažite da su funkcije f (x) = tg x i f (x) = ctg x periodične i da je njihov temeljni period P 0 = π. Zadatak 3. Dokažite da su funkcije f (x) = sin nx i g(x) = cos nx, gdje je n racionalan broj i n 0 periodične i da je njihov temeljni period P 0 = 2π n. *** Primijetimo ovdje kako vrijedi općenito: Ako je P period funkcije f, tada je period funkcije f (ax), gdje je a od nule različit racionalni broj, jednak P a. Provjerimo ovu tvrdnju: f ( a ( x + P a ) ) = f (ax+p) = f (ax). A što ako su f i g periodične funkcije s različitim osnovnim periodom? Pogledajmo primjere: Primjer 3. Je li funkcija f (x) = sin 3x + tg 2x periodična? Funkcija sin 3x je periodična s temeljnim periodom 2π. Skup perioda te funkcije jest skup 3..., 2π, 4π 3, 2π 3, 2π 3, 4π 8π 3, 2π, 3, _ 10π 3, 4π,... Periodi funkcije tg 2x su svi brojevi oblika k π 2, odnosno, to je skup brojeva:..., 2π, 3π π 2, π, 2, π 2, π, 3π 5π 2, 2π, 2, 6π... Jasno se može uočiti kako su brojevi oblika k 2π, k Z, k 0 u presjeku ova dva skupa pa su onda i periodi funkcije f. Zaista, to se pokazuje točnim: f (x + k 2π) = sin 3 (x + k 2π) + tg 2 (x + k 2π) = sin 3x + tg 2x = f (x). Najmanji pozitivan među brojevima k 2π jest broj 2π i on je temeljni period funkcije f. Zgodno je pogledati na kraju i graf funkcije f. To ćemo, uz pomoć GeoGebre, odmah učiniti i samo potkrijepiti prethodni rezultat. Jedno od pitanja koje se prirodno nameće jest: Ako su f i g periodične funkcije, jesu li periodične funkcije f ± g, f g i f / g? Ako su funkcije f i g periodične s istim temeljnim periodom P, tada je lako vidjeti da su njihov zbroj, razlika, umnožak i količnik periodične funkcije s istim temeljnim periodom. Periodične su stoga funkcije sin x + cos x, sin x cos x, sin 2 x, cos sin x x, sin 2 x cos x itd. 205
4 metodika Primjer 4. Dokažimo da je funkcija f (x) = sin 3 4 x 2 cos 2 3 x periodična. Odredimo i njezin temeljni period. Valja provjeriti postoji li realan broj P 0 takav da za svaki realan broj x vrijedi: f (x) = sin 3 4 (x + P) 2 cos 2 3 (x + P) = sin 3 4 x 2 cos 2 3 x. Kako ova jednakost mora vrijediti za svaki realan broj x, onda ona mora vrijediti i za x = 0 i za x = P. Uvrštavanjem tih dviju vrijednosti dobivamo dvije jednadžbe koje čine sustav: sin 3 4 P 2 cos 2 3 P = 2 sin 3 4 P 2 cos 2 3 P = 2. Jedno rješenje tog sustava je cos 2 3 P = 1, odnosno P = k 3π. Očito f je periodična, a njezin temeljni period valja tražiti među brojevima k 3π, k Z, k 0. Postupnom provjerom nalazimo da je P 0 = 24π. Graf funkcije f nacrtan pomoću GeoGebre zorno prikazuje ovu funkciju. *** Nakon što smo riješili dva prethodna problema, intuitivno nam se nameće sljedeća pretpostavka: Neka funkcije f 1 i f 2 imaju isto područje definicije i neka su P 1, odnosno P 2 periodi jedne, odnosno druge funkcije. Nadalje, neka su brojevi P 1 i P 2 sumjerljivi, tj. vrijedi P 2 P = m 1 n, m, n N i D (m,n) = 1. Tada je funkcija f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) periodična s periodom P = n P 2 = m P 1. Tvrdnju je lako dokazati: U primjeru 3. je P 1 = 2π 3, P 2 = 2π 3. Dalje je P 2 = 3 P1 4 te je P = 4 P 2 = 3 P 1 = 2π. U primjeru 4. imamo: P 1 = 8π 3, P 2 = 3π te je P 2 P 1 = 9 8. I konačno, P = 8 P 2 = 9 P 1 = 24π. Pri rješavanju problema vezanih uz periodične funkcije možemo se koristiti nekim njihovim jednostavnim svojstvima. To podiže učinkovitost i racionalnost postupaka. Primjerice, svojstvo f (x + np) = f (x), n Z, n 0 poručuje da periodična funkcija svaku svoju vrijednost postiže u beskonačno mnogo točaka. Zaključujemo onda da monotono rastuća ili monotono padajuća funkcija ne može biti periodična. Primjerice, eksponencijalna funkcija f (x) = a x, jer je monotona na cijelom svojem području definicije, nije periodična funkcija. Nadalje, područje definicije periodične funkcije mora biti simetrično s obzirom na nulu. Drugim riječima, ako je P D f, gdje je P period, onda mora bitii P D f. Ovo je obrazloženje zašto ne može biti periodična logaritamska funkcija ili funkcija x. U nekoliko narednih primjera primijenit ćemo određene postupke koji u sebi implicitno sadrže definiciju periodične funkcije. Primjer 5. Je li funkcija f (x) = x 2 + sin x periodična? Kad na zaslonu grafičkog džepnog računala pogledamo graf funkcije f, čini nam se kako ta funkcija nije periodična. No, je li to točno? Na zaslonu je samo manji dio grafa te funkcije pa valja provesti strožu provjeru. f (x) = f 1 (x) + f 2 (x) = f 1 (x + m P 1 ) + f 2 (x + n P 2 ) = f 1 (x + P) + f 2 (x + P) = f (x + P). 206 broj 45 / godina 9. / 2008.
5 Primijetimo da je f (0) = 0. Moralo bi biti i f (0 + np) = f (np) = 0, za n Z, n 0, a to lako vidimo da nije moguće. Naime, funkcija sinus je omeđena, prima vrijednosti između 1 i 1, a vrijednosti kvadratne funkcije x 2 su veće od 1 za sve x > 1. Zbroj dvije funkcije od kojih jedna jest, a druga nije periodična funkcija općenito nije periodična funkcija. Ali niti zbroj dviju periodičnih funkcija nije općenito periodična funkcija. Primjer 7. _ Je li funkcija f (x) = sin x periodična? Područje definicije ove funkcije je skup realnih brojeva. Pogledajmo za trenutak na zaslonu grafičkog džepnog računala graf dane funkcije. Pogledajmo primjer: Primjer 6. Funkcija f 1 (x) = {x} periodična je funkcija s temeljnim periodom 1. Funkcija f 2 (x) = sin x periodična je funkcija s temeljnim periodom 2π. Je li funkcija f(x) = {x} + sin x periodična? Poslužimo li se GeoGebrom, dobit ćemo graf funkcije f i uočiti da ona nije periodična. Ipak, provjerimo to: Pretpostavimo da f jest periodična i da je P njezin period. Tada za svaki realni broj x vrijedi jednakost: {x + P} + sin (x + P) = {x} + sin x. Za x = 0 je {P} + sin P=0, za x = P je { P} sin P = 0. Zbrojimo dvije jednakosti i dobijemo {P} + { P} = 0. No {x} 0, za svaki realni broj x pa slijedi da je {P} = { P} = 0. Ovo je pak ispunjeno za svaki cijeli broj P. S druge strane, ako je {P}=0 onda iz {P}+sin P = 0 slijedi sin P = 0, a odatle P = k π. No taj je broj cijeli samo ako je k = 0. Tada je i P = 0. Zaključujemo da f nije periodična funkcija. Čini se kako ona nije periodična. Kako to provje-riti? Promotrimo skup svih nultočaka funkcije f, odnosno, skup svih rješenja jednadžbe _ f (x) = sin x = 0. Slijedi _ x = n π, n Z, a zatim i x = n 2 π 2 te konačno x = ± n 2 π 2, n= 0, 1, 2,... Razmak između dvije susjedne nultočke jednak je (n + 1) 2 π 2 n 2 π 2 = (2n + 1) π 2. Taj razmak raste od nultočke do nultočke što znači da funkcija nije periodična. Primjer 8. Je li periodična funkcija f (x) = sin x? Uzmimo da je f periodična i neka je P njezin period. 207
6 metodika Zbog f ( π 2 ) = 1 vrijedi f ( π 2 + P ) = 1. Odatle slijedi P = k 2π, k Z. No trebalo bi biti i f ( π 2 + P ) = f ( π 2 ) = 1, ali nije. Vrijedi naime: f ( π 2 + k 2π ) = sin k 2π π 2 = sin ( k 2π π 2 ) = 1. Funkcija f (x) = sin x nije periodična. Primjer 9. Je li funkcija f (x) = sin x + cos 2x periodična? Odmah se uočava da je 2π period ove funkcije. Za x = 0 imamo sin P = 0 i odatle P = k 2π. _ Za x = P imamo sin 2P = 0 i odatle _ 2P = n 2π. Pritom su k i n prirodni brojevi. Podijelimo li te dvije jednakosti, dobit ćemo 2 = n k što je, kao što znamo, netočno. Time je pogrešna i polazna pretpostavka da je f periodična funkcija. Graf funkcije f vidimo na zaslonu grafičkog džepnog računala. Pokažimo da je to ujedno i najmanji pozitivan period. Kad bi postojao manji, recimo P, bilo bi: f ( P 2 ) = f ( π 2 + P ) = f ( P 2 ). Naime sin ( P 2 ) i sin ( P 2 ) suprotni su brojevi, a cos ( P 2 ) = cos ( P 2 ) pa je sin ( P 2 ) + cos ( 2 P 2 ) sin ( P 2 ) + cos ( 2 P 2 ). Zadatak 4. Je li periodična funkcija f (x) = sin 2 x + cos x? Zadatak 5. Provjerite periodičnost funkcije f (x) = sin 2x. Primjer 10. Je li periodična funkcija f (x) = sin x? Pretpostavimo da je f periodična i da je P njezin period. Tada za svaki broj x iz područja definicije funkcije f vrijedi: _ sin x + P = sin x. *** Sljedeća činjenica je također jednostavna ali vrlo vrijedna: Ako su f i g periodične funkcije s istim periodom P, tada su i zbroj, razlika, umnožak i količnik periodične funkcije s istim periodom. To bi značilo: Funkcije f (x) = sin x i f (x) = cos x su periodične pa su periodične i sljedeće funkcije sin x + cos x, sin x cos x, sin 2 x,... Pri rješavanju zadataka u kojima treba provesti provjere periodičnosti nekih trigonometrijskih funkcija možemo, primijenjujući trigonometrijske identitete, zadane funkcije transformirati na jednostavniji oblik iz kojega je lakše izvesti zaključak. Evo dva primjera: Primjer 11. Dokažimo da je funkcija f (x) = cos 2 x periodična. Jednostavno je pokazati da je π period funkcije f. Vrijedi: cos 2 (x + π) = ( cos x) 2 = cos 2 x. A kako je cos 2 0 = cos 2 π = 1 i cos 2 x < 1 za svaki x 0, π, slijedi da je π najmanji period funkcije f. 1 + cos 2x No mogli smo zapisati f (x) = cos 2x = 2 i odmah vidjeti da je f periodična s temeljnim periodom π. 208 broj 45 / godina 9. / 2008.
7 *** Slično imamo i u sljedećem primjeru: Primjer 12. džepnom računalu. Te će sličice možda pomoći pri iznalaženju rješenja. 1. f (x) = sin 2x + cos 3x. Provjeri da je funkcija f (x) = cos 4 x periodična. Odredi joj temeljni period. Primijenom osnovnih trigonometrijskih identiteta imamo: f (x) = cos cos 2x x = ( 2 ) 2 = 1 4 (1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) = cos 4x 4 ( cos 2x + 2 ) = cos 2x cos 4x. Očito, f je periodična, a njezin je najmanji period P 0 = π 2. *** I na kraju recimo nešto općenito o periodičnosti složenih funkcija. Vrijedi naime sljedeći poučak: Ako je f perodična funkcija, a g bilo koja funkcija definirana na skupu vrijednosti funkcije f, tada je i funkcija g f periodična. Provjerimo: Neka je f periodična s periodom P, a g neka je funkcija definirana na skupu vrijednosti funkcije f. Tada vrijedi g f (x + P) = g (f (x + P)) = g ( f (x)), pa vidimo da je iskazana tvrdnja točna. Ovaj poučak daje odgovor na mnoga pitanja. Zadaci Za svaku od navedenih funkcija provjeri njezinu periodičnost. Uz pojedinu funkciju dan je i njezin graf, onako kako ga se može vidjeti na grafičkom 2. f (x) = cos ( x 2 ). 3 f (x) = sin ( x 2 ). 4. f (x) = sin 2x. 5. f (x) = sin 3 x. 6. f (x) = cos x 2 cos (x 2 ). 209
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραx + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότερα1. Skup kompleksnih brojeva
1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva... 2 2. Skup kompleksnih brojeva................................. 5 3. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 8 4. Kompleksno konjugirani
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Διαβάστε περισσότερα3.1 Elementarne funkcije
3. Elementarne funkcije 3.. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραREKURZIVNE FUNKCIJE PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad. Voditelj rada: Doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Brigita Švec REKURZIVNE FUNKCIJE Diplomski rad Voditelj rada: Doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, Rujan, 2014. Ovaj diplomski
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella
Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...
Διαβάστε περισσότερα