RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
|
|
|
- Γεννάδιος Αλαβάνος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LIMES NIZOVA LIMES MONOTONIH NIZOVA GEOMETRIJSKOG REDA LIMES FUNKCIJA 1
2 2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA Definicija limesa i konvergentnog niza Riješeni zadaci Teoremi o limesima-operacije sa limesima Neki značajni limesi Riješeni zadaci Limes geometrijskog niza Zadaci 2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA Monotoni nizovi Riješeni zadaci Omeđeni nizovi Riješeni zadaci Limes monotonih nizova Riješeni zadaci Baza prirodnog logaritma broj e 2.6. GEOMETRIJSKI RED Definicija reda Geometrijski red 2
3 DEFINICIJA LIMESA I KONVERGENTNOG NIZA Limes je temelj matematičke analize. Za niz brojeva a 1, a 2, a 3,, a n, kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n 0 = N = N ( tako da za svaki n > n 0 ili n > N vrijedi: Broj a zove se tada limes ili granica (broja) niza (a n )- DEFINICIJA LIMESA NIZA: Broj a nazivamo limes niza a 1, a 2,,a n, :i pišemo ako je svaki postoji također broj N = N ( da je N ovisi o unaprijed po volji zadanom malom pozitivnom broju Ako niz konvergira prema nekom određenom broju a, kažemo da je KONVERGENTAN 1, a u svakom drugom slučaju je DIVERGENTAN. 1 Latinski: konvergen-lat. težiti prema nečemu 3
4 Riješeni zadaci Primjer 1: Niz: n=3 Kako dobiti treći član n=3? Kako dobiti? Oduzeti drugi član od prvog ili treći član od drugog. Niz konvergira prema broju 2 jer je limes toga niza broj n n n n ε Sl. Ako je pozitivan broj (n = 10) tada za možemo uzeti broj 1 jer je, za svaki Ako je pozitivan broj (n= 100) tada za možemo uzeti broj 101 jer je, 4
5 za svaki OPĆENITO: Ako je ma kako malen zadan pozitivan broj. Nejednakost vrijedi za svaki, gdje je bilo koji prirodan broj veći od ( ). Što je manji, to je veći! Primjer 2: Pokažimo da je: Prema definiciji: Uvrštavanjem vrijednosti za a n i a dobivamo: 5
6 Ocijenivši tu diferenciju prema apsolutnoj vrijednosti dobivamo: (2) Prema tome, za svaki pozitivni broj postoji takav broj da za n>n vrijedi nejednadžba (2). Iz toga slijedi da je broj 2 limes niza, a zadana formula (1) je ispravna. 6
7 2.4.2 TEOREMI O LIMESIMA-OPERACIJE SA LIMESIMA Neka su zadana dva konvergentna niza a n i b n s limesima a i b tada vrijedi: A) TEOREM O LIMESU ZBROJA (RAZLIKE) ZBROJ (RAZLIKA) LIMESA I KONSTANTE (KONSTANTNI NIZ svi članovi niza jednaki istom realnom broju c) B) TEOREM O LIMESU UMNOŠKA 7
8 UMNOŽAK KONSTANTE I LIMESA (KONSTANTNI NIZ-svi članovi niza jednaki istom realnom broju c) EOREM O LIMESU KVOCIJENTA C) TEOREM O LIMESU POTENCIJE Ako je onda je: LIMES m-tog KORIJENA 8
9 D) TEOREM MONOTONOST LIMESA Ako je ili za svaki n, onda je: NEKI ZNAČAJNI LIMESI 1) Nul niza je onda i samo onda kada niz apsolutnih vrijednosti teži nuli. Apsolutna vrijednost člana niza je udaljenost koja po volji može biti malena Primjeri nul-nizova:,, Ako je onda vrijedi 9
10 Općenito: 2) 3) 4) Broj e-baza sistema prirodnog logaritma 10
11 Broj C-Eulerova konstanta (niz minus funkcija) Riješeni zadaci Vježbe: 1) Zadan je složeni niz limes nije jednostavno izračunati po definiciji nego koristimo teoreme o limesima i nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,B i D). 11
12 12
13 3) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,C). za brojnik: za nazivnik: 13
14 4) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,C). I način: 14
15 II način: 15
16 5) 16
17 6) 7) 17
18 18
19 8) 19
20 Zadaci: 1. Odredi limes niza čiji je opći član: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 20
21 7) 8) 9) 10) 2. Odredi: a) b) Ako a = b, onda je limes jednak a. 21
22 c) Ako je a > b, onda je, u tom slučaju brojnik i nazivnik podijeliti sa. Limes je a. d) Ako je a < b, brojnik i nazivnik podijeliti sa. Limes je b. 22
23 b) c) d) e) 23
24 f) 24
25 3. Odredite limese nizova: 1. a) R: 0 b) R: 1 c) Uputa: R: 2 d) R: 25
26 2. R: 1 3. R: 1 4. R: 5. R: 8 26
27 2.4.4 LIMES GEOMETRIJSKOG NIZA e) za q > 1 f) za q = 1 g) za -1 < q < 1 h) za q 27
28 2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA Monotoni nizovi Riješeni zadaci Omeđeni nizovi Riješeni zadaci Limes monotonih nizova Riješeni zadaci Baza prirodnog logaritma broj e 2.6. GEOMETRIJSKI RED Definicija reda Geometrijski red Riješeni zadaci 28
29 2.5.1 Monotoni nizovi Niz realnih brojeva-beskonačan. oznaka za sam niz oznaka za opći ili n-ti član niza Monotoni nizovi su jedini nizovi koji su: rastući ili padajući Niz je monotono rastući ili uzlazan ako za svaki n vrijedi: Niz je monotono padajući ili silazan: Kako dokazati da je zadani niz monoton? 1. Ispitati da li je niz rastući ili padajući Slijedeći član niza je veći ili manji od prethodnog. 29
30 Primjer 1: Ispitajte nizove: a) 1, 2, 3,, n, Niz je monotono rastući. Provjera: 1, 2, 3,, n, Niz je monotono rastući. 30
31 b) Niz je monotono rastući. Provjera: Niz je monotono rastući. 31
32 c) Niz je monotono padajući ili silazan Provjera: 32
33 Niz je monotono padajući ili silazan. d) Niz je monotono rastući. Provjera: Niz je monotono rastući. 33
34 e) Niz je monotono padajući ili silazan. Provjera: Niz je monotono padajući. 34
35 f) Niz je monotono padajući jer je. Niz je monotono padajući jer je. 35
36 g) Svi članovi niza monotono ne padaju niti monotono ne rastu prva dva člana rastu, a druga dva padaju (ponavlja se). Zaključujemo da niz nije monoton. Provjera: 36
37 Niz nije monoton. h) Zaključak: Niz nije monoton. Zašto? 37
38 Niz nije monoton. i) Zaključak: Niz nije monoton. Zašto? 38
39 Niz nije monotono. 39
40 Primjer 2: Dokažite da je niz (a n ), padajući. Niz je monotono padajući ili silazan: 40
41 Niz (a n ), je padajući kada je n 1. 41
42 Zadci 2.5 : 2. Je li niz monoton? Monoton niz jedini je od nizova rastući ili padajući. 1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili padajući? Da, ali moramo prvo srediti zadani n-ti član niza. U n-tom članu niza uočavamo minus i n u nazivniku pa je, a niz je monotono rastući. 2. Koji je najmanji član niza? za n = 1 vrijedi: 42
43 5. Koji su od sljedećih nizova monotoni: 1) Rješenje: 1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili padajući? Da, niz je monoton odnosno monotono rastući. Provjera za n = 1: Za n=2: 43
44 0 <. 1) Rješenje: Da, niz je monoton odnosno monotono rastući. Provjera za n = 1: Za n=2 1.5 <
45 5) Rješenje: Da, niz je monoton odnosno monotono padajući. Provjera za n = 1: Za n=2: 45
46 1 > 0.5 6) Rješenje: Niz nije monoton jer je u brojniku potencija od negativnog broja. Napravite provjeru: 46
47 1. Od kojeg je član niza, ispunjena nejednakost? Rješenje: Riješite samostalno! Kako ste zaključili da je nejednakost ispunjena od člana? Provjera: Za : Za Za Za Za Za 47
48 Za 48
49 2.5.2 Omeđeni nizovi Kod omeđenih nizova postoji donja i gornja međa granica odnosno realan broj m i M tako da za svaki član niza n vrijedi: donja međa ili dolje ograđen donja međa ili dolje ograđen Primjer 1: Dokaži da je niz omeđen i odredite donju i gornju među. Rješenje: U brojniku n-u pribrajamo jedinicu (n+1),a nakon provedenog množenja broja 2 s svakim članom u zagradi dobivamo: S kojim brojem moramo izraz 2n + 2 u brojniku na desnoj strani zbrojiti ili oduzeti kako bi odgovarao brojniku na lijevoj strani? 49
50 Za svaki prirodni n vrijedi: 1. Određivanje gornje međe M=?: M = 2 gornja međa zadanog niza 2. Određivanje donje međe m=?: Za vrijedi: 50
51 donja međa zadanog niza Zadaci Koji su od sljedećih nizova omeđeni? Za svaki omeđeni niz navedi interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza 1) Opći član niza: Za svaki prirodni n vrijedi: 1. Određivanje gornje međe M=?: M = 1 gornja međa zadanog niza 1. Određivanje donje međe m=?: Za vrijedi: 51
52 donja međa zadanog niza Interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza je: [0, 1 3) Rješenje: Nije omeđen. 4) Rješenje: Da omeđen je i svi se članovi niza nalaze unutar intervala: 52
53 6) Rješenje: Nije monoton ali je određen. 53
54 2.5.3 Limes monotonih nizova Monotoni nizovi 2 ponašaju se na dva način: 1. Kada niz NIJE OMEĐEN tada neograničeno raste ili pada vrijedi: 2. Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno infimumu niza. Limes rastućeg monotonog niza jednak je supremumu skupa Limes padajućeg monotonog niza jednak je infimumu skupa Za bilo koji L je najmanja gornja međa. Broj L nije gornja međa skupa S. Postoji član niza a koje vrijedi: 2 Jedini nizovi koji su rastući i padajući. 54
55 -okolina Gornje međe a n0 a n a n - L = L - a n < L - an 0 < L M najmanja gornja međa-limes slika 1 Iz dviju činjenica da je niz rastući za svaki i omeđen, a gornja granica je L pa je za svaki n i izvodimo zaključak da se za svaki članovi niza nalaze se unutar (uklopnjeni) su između i L za koje vrijedi: Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju 3 niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (a n ) (vidimo iz slike 1). 3 Za niz brojeva a 1, a 2, a 3,, a n, kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n 0 = N = N ( tako da za svaki n > n 0 ili n > N vrijedi: 55
56 Zadci 2.5 : 9. Nađi najmanji i najveći član niza. Za n = 1 vrijedi: 1. Do kada niz pada i zašto? Niz pada sve dok je u općem članu 3n - 19 = 0 3n = Koji je to član niza i koliko iznosi? Šesti član niza. 56
57 1. Što se zbiva s nizom kada je 2. Koliko iznosi prvi veći član koji zadovoljava gornji uvjet n > 6 i ispitajte da li niz dalje pada? 3. Koliko iznose slijedeći članovi niza kada je n > 6 i prema čemu teži zadani niz? Pošto je nazivnik pozitivan niz dalje pada i teži prema 1. Najmanji član niza je: 57
58 Najveći član niza je: 15. Niz je monoton i omeđen. Dokaži to! Odredi prirodni broj takav da je za sve, ako 1) 2) 3) Rješenje: 1) 2) 3) 17. Dokaži da je niz omeđen ako je: Rješenje: Niz je monotono padajući. Rješenje: Uputa: Prvo treba provesti racionalizaciju. Rješenja: 58
59 59
60 2.5.4 Baza prirodnog logaritma broj e Niz ima široku primjenu u različitim primjenama. Niz je rastući 4, omeđen 5. i konvergira 6. Limes niza definira bazu prirodnog logaritma broja e. e- iracionalni broj čija je vrijednost Za svaki realni broj a vrijedi: 4 monotono rastući. 5 Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno infimumu niza. 6 Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (a n ) 60
61 2.6. GEOMETRIJSKI RED Definicija reda Red nastaje zbrajanjem članova niza parcijalnih suma - zbrajanje se nastavlja u beskonačnosti. Označava se: odnosno red je niz Kako nastaje red (postupak)? Zbrajanjem članova niza dobivamo niz parcijalnih suma Postupak zbrajanja nastavlja se u beskonačnosti: n-ta parcijalna suma: Red je KONVERGENTAN kada je niz parcijalnih suma konvergentan. Limes niza parcijalnih suma je SUMA KONVERGENTNOG REDA. 61
62 2.6.1 Geometrijski red Geometrijski red ima oblik: zadani realni brojevi različiti su od nule. Količnik ili kvocijent geometrijskog niza Opći član geometrijskog niza n-ta parcijalna SUMA GEOMETRIJSKOG NIZA: Limes geometrijskog niza ne postoji limes niza jer geometrijski niz ne konvergira-nego je divergentan nije omeđen. Limes niza: 62
63 2. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan- red divergira, zapisujemo ga u obliku: Limes niza ne postoji. 3. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan-red divergira, a red zapisujemo u obliku: Limes niza ne postoji. Niz parcijalnih suma konstantnog geometrijskog niza: 4. Postoji limes niza koji je jednak nuli. Limes niza: 63
64 Zadaci 2.6.: 1. Odredi zbroj članova beskonačnog niza: 1) Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: ili Suma geometrijskog niza: 64
65 5) Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: 65
66 Suma geometrijskog niza: 66
67 4. Zapiši u obliku razlomka: 1) Beskonačni decimalni prikaz racionalnog broja pomoću geometrijskog reda pretvaramo u standardni prikaz u obliku razlomka. Dobili smo geometrijski red : prvi član je kvocijent je. Suma konvergentnog geometrijskog reda: 67
68 Dobili smo geometrijski red prvi član je kvocijent je Suma geometrijskog reda: 3) Rješenje: 2 68
69 21. Nad polovinom dijagonale kvadrata kao stranicom konstruiran je kvadrat, nad polovinom dijagonale ovoga ponovno se konstruira kvadrat itd. Koliki je zbroj površina svih tako konstruiranih kvadrata ako je stranica prvog kvadrata duljine a? Količnik ili kvocijent geometrijskog niza: Suma geometrijskog reda: Dalje samostalno riješite! Rješenje: 69
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA Dokaži dajebroj djeljivs Dokažidajebroj djeljiv Dokaži dajebroj djeljiv
3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.. djeljivost 65. Dokaži da je produkt tri uzastopna broja, od kojih je srednji kub prirodnog broja, djeljiv s 504. 652. Ako su a, b cijeli brojevi, dokaži da je broj ab(a
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.
1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
x n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1
Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A
1. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi
. Nizovi - definicija i osnovni pojmovi Definicija i osnovni pojmovi Definicija... Svako preslikavanje a : N R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler
Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.
Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija