I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih s ploskvmi. Brez integrirnj npr. ne bi mogli reševti diferenilnih enčb (glej zdnji rzdelek), veliko fiziklnih količin je podnih v integrlski obliki itd. Osnovni pojmi Isknje nedoločeneg integrl neke funkije je obrten problem kot isknje odvod: Dn je (zvezn) funkij f, iščemo tko odvedljivo funkijo F, d je F () = f() z vsk. Tej funkiji rečemo primitivn funkij li nedoločeni integrl (dne funkije f). Nedoločeni integrl ni enolično določen, funkiji F lhko prištejemo kterokoli konstnto, sj velj (F()+C) = F ()+C = f(). Poleg teg se poljubn dv nedoločen integrl z isto funkijo f n dnem intervlu I lhko rzlikujet le z ditivno konstnto. Res, če je G () = F () z I, je (G() F()) = in zto G() = F() + C po posledii Lgrngeveg izrek. Nedoločeni integrl zpišemo z integrlskim znkom: F() = f(). Zpis izhj iz Leibnizove pisve odvod y = dy dy. Če je = f(), je dy = f() in y = f(). Funkijo, ki jo integrirmo, imenujemo n krtko integrnd. ZGLED. 2 = 2 + C, os = sin + C. Tu je C poljubn konstnt. Opomb. Če z dn integrl F in G velj F () = G () z vsk [,b] rzen z (,b), je njun rzlik F() G() konstnt, ki p je n posmeznih podintervlih [,) in (,b] lhko rzličn. Zgled st npr. funkiji F() = rtg + in G() = rtg, ko je F () = = G () z, vendr p je F() G() = π/4 z < in + 2 F() G() = 3π/4 z > (glej sliko ). ( y) F G ( ) Slik Z preproste funkije lhko njihov integrl kr ugnemo in g zpišemo v tbelo.

2 Tbel elementrnih integrlov n = n+ + C, n n + = ln + C e = e + C = ln + C, > sin = os + C os = sin + C os 2 = tg + C sin 2 = tg + C = rsin + C 2 + 2 = rtg + C 2 + = ln( + 2 + ) + C, V zdnjem primeru lhko z odvjnjem nkndno preverimo, d je dobljen funkij res nedoločen integrl dne funkije. Pri nekterih integrndih z ugibnjem ne gre. Potrebno je poznti nekter splošn prvil z integrirnje. Oglejmo si tri osnovne metode. Metod dekompoziije Integrnd skušmo preoblikovti, njvečkrt prevesti n vsoto li rzliko znnih integrlov. Pri tem upoštevmo, d velj: ) (u() + v()) = u() + v() 2) kf() = k f(). Ti dve prvili preverimo z odvjnjem (upoštevmo, d podobno velj z odvode). ZGLEDI. () ((2 ) 2 + 3 2 ) = (7 2 4 + ) = 7 2 4 + = 7 3 /3 2 2 + + C 2 + 4 (b) 2 + = + 3 Metod substituije 2 + = + 3rtg + C Uvedemo novo integrijsko spremenljivko t, tko d je = (t) odvedljiv funkij. Pri tem se spremeni tudi diferenil = (t)dt in s tem eloten integrnd: f() = f((t)) (t)dt Če smo substituijo = (t) izbrli pmetno, je novi integrl preprostejši od prejšnjeg in g znmo rešiti direktno. ZGLEDI. () 2 = dt 2 t = 2 ln t + C = ln 2 + C; uvedli smo substituijo = 2 t + ozirom 2 = t. N sploh je 2 f( + b) = F( + b), če je f() = F() in. dt (b) tg = = ln t + C = ln os + C. Zdj je dobr izbir = ros t t ozirom os = t, sj je sin = dt. 3 2 dt () 3 + = = 2 t + C = 2 3 + + C. Tu smo izbrli 3 + = t in dobili t 3 2 = dt. Še bolje bi bilo izbrti 3 + = t 2. S tem bi hkrti odprvili tudi kvdrtni koren iz drugeg integrl in dobili še bolj preprost integrl.

3 Metod integrije po delih (per prtes) Formul z integrijo per prtes je udv = uv vdu, kjer st u in v funkiji spremenljivke. Izpeljemo jo iz dejstv, d je uv = d(uv) = (udv + vdu) = udv + vdu. Integrirnje po delih uporbljmo, kdr je integrnd produkt dveh rznorodnih funkij, npr. produkt polinom in eksponentne (logritemske, trigonometrične) funkije li produkt eksponentne in trigonometrične funkije. ZGLEDI. () in dv =. (b) 2 e = 2 e 2 ln = 2 2 ln 2 = 2 2 e = 2 e 2(e ln 2 4 + C. Izbrli smo u = ln e ) = 2 e 2e + 2e + C = ( 2 2 + 2)e + C. Zdj smo morli dvkrt integrirti per prtes. Prvič smo izbrli u = 2, drugič u =, obkrt p dv = e. Pri nekterih tipih integrlov, npr. pri integrirnju rionlnih funkij, li pri integrlih, kjer nstopjo kvdrtni koreni iz kvdrtnih izrzov, so potrebni posebni prijemi. V teorijo integrirnj tkih funkij se tu ne bomo resneje spuščli, podli p bomo nekj preprostih npotkov in zgledov. Metode z integrirnje rionlnih funkij Rionln funkij je kvoient dveh polinomov: f() = p()/q(). Če je stopnj štev večj li enk stopnji imenovl, ob polinom njprej med seboj delimo, d dobimo eli del in ostnek: p()/q() = s() + r()/q(). Polinom znmo integrirti (členom), preostlo rionlno funkijo p po potrebi rzstvimo n ti. prilne ulomke, nto p integrirmo vsk prilni ulomek posebej. (Uporbimo torej neko vrinto metode dekompoziije.) ZGLED. Zrdi 2 = 2 ( + ) je 2 = ( ) 2 = + ln 2 + + C. V tem primeru je bil rzčlenitev n prilne ulomke zelo enostvn. Imenovle p im v splošnem večkrtne linerne in večkrtne v relnem nerzepne kvdrtne fktorje, npr. q() = q ( ) k ( 2 ) k 2...( m ) km ( 2 +p +q ) l ( 2 +p 2 +q 2 ) l 2...( 2 +p n +q n ) ln Rzčlenitev n prilne ulomke je zdj oblike: r() q() = A + A 2 ( ) 2 +... + A k ( ) k + A 2 + A 22 2 ( 2 ) 2 +... + A 2k 2 ( 2 ) k +... 2 A m + A m2 m ( m ) 2 +... + A mk m ( m ) + km B + C 2 + B 2 + C 2 + p + q ( 2 + p + q ) 2 +... + B l + C l ( 2 + p + q ) l + B 2 + C 2 2 + B 22 + C 22 + p 2 + q 2 ( 2 + p 2 + q 2 ) 2 +... + B 2l 2 + C 2l2 ( 2 + p 2 + q 2 ) l +... 2 + B n + C n 2 + B 2n + C 2n + p n + q n ( 2 + p n + q n ) 2 +... + B nl n + C nln ( 2 + p n + q n ). ln Koefiiente mormo še določiti z odprvljnjem ulomkov.

4 Člen oblike A/( ) k je enostvno integrirti; dobimo Aln, če je k =, in (A/( k))/( ) k, če je k >. Člen (B+C)/(2 +p+q) z nerzepnim imenovlem zpišemo v obliki (B+C)/( 2 +p+q) = (B/2)(2+p)/( 2 +p+q)+d/( 2 +p+q), kjer je D = C Bp/2. Integrl prveg člen se izrž z (B/2)ln( 2 + p + q). Imenovle drugeg člen p preoblikujemo v popolni kvdrt: 2 +p+q = 4 ((2+p)2 +(4q p 2 )) = 4q p 2 4 ( + ( 2+p )2 ), sj je 4q p 2 >, in uvedemo novo spremenljivko t = 2+p. 4q p 2 4q p 2 Rezultt integrirnj je potem 2D rtg 2+p. Če p nstopjo nerzepni fktorji 4q p 2 4q p 2 tudi n višjo poteno l, so integrli poleg teh dveh oblik tudi oblike h()/( 2 + p+q) l, kjer je h polinom stopnje 2l 3. Njbolje je torej z integrl splošne rionlne funkije p()/q(), kjer je stopnj imenovl vsj tolikšn kot stopnj štev in je imenovle rzstvljen v zgornji obliki, vzeti nstvek: p() p() = q() q() + A ln + A 2 ln 2 +... + A m ln m + B ln( 2 + p + q ) + B 2 ln( 2 + p 2 + q 2 ) +... + B 2n ln( 2 + p n + q n )+ 2C rtg 2 + p 2C + 2 rtg 2 + p 2 2C +...+ n rtg 2 + p n, 4q p 2 4q p 2 4q2 p 2 2 4q2 p 2 2 4qn p 2 n 4qn p 2 n kjer je q() polinom z istimi linernimi in kvdrtnimi fktorji, kot so večkrtni fktorji v q(), vendr nstop vsk n poteno, ki je z en mnj kot pri polinomu q(), polinom p() p nj im stopnjo z eno mnjšo kot polinom q(). Koefiiente potem določimo tko, d obe strni njprej odvjmo, nto p odprvimo ulomke in primerjmo dobljene koefiiente pri rzličnih potenh spremenljivke n obeh strneh enbe. Kdr tko rvnmo, rečemo, d smo integrl izrčunli z metodo nedoločenih koefiientov. ZGLED. Integrl I = ( ) 2 ( 2 + + ) uženemo z zgornjim nstvkom I = Aln + B ln( 2 + + ) + 2C 3 rtg 2 + 3 + D. Njprej določimo A,B,C in D iz primerjve odvjne leve in desne strni. Po odprvi ulomkov dobimo = (A + 2B) 3 + ( 3B + C D) 2 (2C + D) + ( A + B + C D), rešimo ustrezen sistem linernih enčb in njdemo A = B =, C = D = /3. Končni rezultt integrirnj je potem I = 3( ) 2 3 3 rtg2 + + C, kjer je C poljubn 3 konstnt. Metode z integrirnje korenskih funkij Njprej si oglejmo primer, ko pod korenom nstop linern li lomljen linern funkij. Lhko so rzlični koreni, le rdiknd mor biti vedno isti. Če je npr. pod korenom izrz + b + b pišemo + d + d = tp, kjer je p tk poten, d po zmenjvi spremenljivke odpdejo vsi koreni. Problem prevedemo n integrijo rionlnih funkij, kr že poznmo (je p z integrijo lhko še veliko del). ZGLED. S substituijo + = t3 ozirom = t3, od koder je = 6t2 dt, dobimo +t 3 (+t 3 ) 2 3 t 3 dt = 6 + ( + t 3 ) 2, ki jo lhko potem integrirmo po metodh z integrirnje rionlnih funkij. Nslednji primer, ko se d integrl popopolnom izrčunti, je primer, ko nstop pod kvdrtnim korenom kvdrtni trinom 2 + b +,. Oznčimo y = 2 + b +,

integrnd p nj bo rionln funkij spremenljivk in y, torej R(,y) = P(,y) Q(,y) = P () + P 2 ()y Q () + Q 2 ()y, kjer so P,P 2,Q,Q 2 polinomi v. Odprvmo koren iz imenovl, p immo R(,y) = P ()Q () P 2 ()Q 2 ()y 2 Q () 2 Q 2 () 2 y 2 + P 2()Q () P ()Q 2 () Q () 2 Q 2 () 2 y 2 y. Prvi člen je rionln funkij, ki jo znmo integrirti, drugi p je produkt rionlne funkije in koren y ozirom rionln funkij, deljen s korenom y, torej oblike H(X) G()y = F() + R() y G()y, če polinom G in H po potrebi med sebj še delimo. F() F() Oglejmo si njprej, kko izrčunmo integrl I = = y 2 + b +. Z metodo nedoločenih koefiientov (odvjnje obeh strni in primerjnje ulomkov) ugotovimo, d lhko vedno zpišemo F() 2 + b + = F () 2 + b + + K 2 + b +, kjer je F () polinom, stopnje z eno mnjše od stopnje polinom F, in K nek konstnt. Odtod vidimo, d je treb znti izrčunti smo zdnji člen. V t nmen zpišimo kvdrtni trinom v drugi obliki: 4( 2 + b + ) = (2 + b) 2 D, kjer je D = b 2 4 njegov diskriminnt. Pri izrčunu ustrezneg integrl uvedemo novo integrijsko spremenljivko t = 2 + b, dt = 2, upoštevti p mormo tri možnosti: () D, >, (b) D >, < (možnost D <, <, ne pride v poštev, ker mor biti 2 +b+ > ) in () D =. V prvem primeru je I = dt t 2 D = ln(t + t 2 D) + C ozirom izrženo s strimi spremenljivkmi I = ln(2 + b + 2 ( 2 + b + )) + C. V drugem primeru je I = spremenljivkmi I = rsin 2 + b b 2 4 + C. dt = rsin t + C ozirom s strimi D t 2 D V tretjem primeru je pod korenom popolni kvdrt, zto dobimo I = 5 dt t 2 = dt t = ln t z t < in I = ln t z t >, torej I = ln 2 + b z 2 + b < in I = ln 2 + b z 2 + b >. ZGLEDI. () (b) = 2 2 = 2 +2 dt t 2 dt t 2 2 = ln(t+ t 2 2)+C = ln(++ 2 + 2 )+C. = rsin t + = rsin( ) + C. () I = 2 2 = 2 2 2 2 = (A + B) 2 2 + C (nstvek); odv- 2 2 jmo in primerjmo koefiiente, d dobimo A = /2, B = in C = 2 /2, torej je I = 2 2 = 2 2 2 + 2 2 = 2 2 2 2 + 2 rsin + C. R() Preostne še izrčun integrl oblike G(). Polinom G() rzčlenimo 2 + b + n sme linerne fktorje (predpostvimo, d to gre), ulomek R()/G() p n prilne ulomke. Potem je treb izrčunti integrle oblike I = ( e) k 2 + b +.

6 V t integrl vpeljemo substituijo e = /t, tko d je = dt/t 2 in dobimo t k dt I =, se prvi integrl tke vrste, kkršno smo že (e 2 + be + )t 2 + (2e + b)t + obrvnvli. ZGLED. 2 = dt t 2 = rsin t + C = rsin + C. Kdr so pred korenom tudi nerzepni kvdrtni, je integrij težj. Vendr je vedno možno nprviti ustrezno substituijo, s ktero integrl s korenom prevedemo n integrl rionlne funkije. () Če je >, pišemo 2 + b + = ( + t) in dobimo = t2 b 2t ; = bt + 2t2 (b 2t) 2 dt ter y = 2 + b + = t2 bt +. b 2t (b) Če je <, mor imeti enčb 2 + b + = dv rzličn reln koren in 2, sier bi bil izrz pod kvdrtnim korenom vedno negtiven lii nič. V tem primeru lhko pišemo 2 + b + = ( )( 2 ) = ( )t in dobimo = t 2 + 2 t 2 + ; = 2( 2 )tdt (t 2 + ) 2 dt ter y = 2 + b + = ( 2 )t t 2. + Opomb. Kdr nstop pod kvdrtnim korenom polinom tretje li četrte stopnje, govorimo o eliptičnih integrlih. V splošnem se jih ne d elementrno izrčunti, tj. izrziti z elementrnimi funkijmi, pč p jih lhko z ustrezno trnsformijo vedno prevedemo n eno od nslednjih osnovnih treh oblik (,k konstnti, < k < ): ( 2 )( k 2 2 ), k 2 2 2, ( ) ( 2 )( k 2 2 ). Integrli trnsendentnih funkij Med trnsendentne funkije spdjo eksponent in logritemsk funkij, trigonometrične in iklometrične funkije. Rionlne li korenske izrze, v kterih nstop en od teh funkij, včsih integrirmo tko, d se s primerno substituijo teh funkij znebimo in prevedemo postopek n integrijo rionlnih funkij. ZGLEDI. () e + = dt t(t + ) = t ln t + + C = ln e e + + C. ln 2 (b) = t 2 dt = t 3 /3 + C = (ln ) 3 /3 + C. () tg = ( t )dt = ln t ln t + + C = t + tdt + t 2 = 2 ln( + t2 ) + C = 2 ln os2 + C = ln os + C. Z trigonometrične funkije substituij t = tg(/2) vedno privede do integrl rionlne funkije, sj je tedj = 2rtg t in = 2dt 2t + t2, poleg teg p je tedj tudi sin = + t 2 in os = t2 + t2. Je p t substituij preej dolgovezn, pogosto pridemo do rezultt hitreje s kkšno drugo zmenjvo. Če je npr. integrnd oblike R(os 2 )os, kjer je R rionln funkij, je uspešn substituij t = sin. Če je integrnd oblike R(os 2 ) li R(sin 2 ), p pomg substituij t = tg.

os ZGLEDI. () + os 2 = dt 2 t 2 = 2 2 ln 2 + t 2 t + C = 2 2 ln 2 + sin 2 sin + C. (b) I = sin 2 + bos 2 = os 2 (tg 2 + b) = dt t 2 + b. Če imt konstnti,b isti predznk, je I = du b + u 2 = rtg u + C = rtg(t /b) + C = b b rtg( tg ) + C. Če p imt konstnti,b nsproten predznk, dobimo b b I = du b u 2 = 2 u + ln b u + C = 2 t b + b ln b t b b + C = 2 (tg ) b + b ln b (tg ) b b + C. 7 Sode potene sinusne in kosinusne funkije li njihove produkte integrirmo tko, d uvedemo dvojne kote. 8 ZGLED. sin 4 = 4 ( os 2) 2 = 4 ( 2os 2+os 2 2) = 4 ( sin 2)+ ( + os 4) = 3 8 4 sin 2 + 32 sin 4 + C. Produkte rzličnih trigonometričnih funkij (pri rzličnih rgumentih) preoblikujemo njprej z uporbo diijskih izrekov v vsote li rzlike. ZGLED. Nj bo ±b. Potem je sinsin b = (os( b) os( + b)) = 2 sin( b) 2( b) sin( + b) 2( + b) + C. Včsih nstop trnsendentn funkij kot fktor v produktu s polinomom li rionlno funkijo. Tedj je potrebno uporbiti metodo integrirnj po delih (per prtes). ZGLEDI. () 2 e = 2 e 2 e = 2 e 2(e e ) = 2 e 2e +2e + C = ( 2 2 + 2)e + C. (b) ln = 2 2 ln 2 = 2 2 ln 4 2 + C. () 2 sin = 2 os + 2 os = 2 os + 2(sin sin ) = 2 os + 2sin + 2os ) + C = (2 2 )os + 2sin + C. (d) rtg = rtg + 2 = rtg 2 ln( + 2 ) + C. (e) e sin = e sin e os = e sin (e os + e sin ) in odtod e sin = e (sin os )/2 + C. 2. Določeni integrl Rdi bi (z proksimijo) rčunli tudi ploščine krivočrtnih likov, tj. likov, ki jih omejujejo krivulje. Kko bi npr. poiskli ploščino množie A = {(,y); b, y f()}, kjer je f > zvezn pozitivn funkij, definirn n intervlu [,b]? Če je f konstntn li linern funkij, bi še nekko šlo, sier p bi morli funkijo f (po koščkih) proksimirti z odsekom konstntnimi li odsekom linernimi funkijmi.

8 Riemnnove vsote in definiij Riemnnoveg integrl. Postopek z poljubno relno funkijo f, definirno n omejenem zprtem intervlu [, b], je nslednji. Izberemo delitev intervl [, b], < b, n n podintervlov z n vmesnimi točkmi: = < <... < n = b. Delitev je torej podn z urejenim nborom točk, zto jo oznčimo z D = {,,..., n }. Dolžin k-teg podintervl [ k, k ] nj bo k = k k, mksimlno dolžino oznčimo z D, torej D = m k n k in ji reimo norm rzdelitve. N vskem podintervlu si izberimo poljubno točko t k [ k, k ]; množio tko izbrnih točk oznčimo s T D, sj je podrejen delitvi D. Nj bo f reln funkij, definirn n omejenem zprtem intervlu [,b]. Z vsk pr (D,T D ), kjer je D delitev intervl [,b] in T D podrejen množi točk, sestvimo t.i. integrlsko li Riemnnovo vsoto funkije f s predpisom (glej sliko 4): S(f;D,T D ) = f(t k ) k f( t ) f( t 2 ) f( t3) f( t 4 ) t t 2 2 = t 3 3 t 4 4=b Slik 2 DEFINICIJA. Število I imenujemo določeni li Riemnnov integrl relne funkije f n omejenem zprtem intervlu [,b], če velj I = lim f(t k ) k. D Ntnčneje t limit pomeni, d z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z poljubno delitev D, z ktero velj D < δ in z poljubno podrejeno množio izbrnih točk T D velj I S(f;D,T D ) < ǫ. Zgornj limit ne obstj vedno. Kdr obstj, rečemo, d je funkij f n intervlu [, b] Riemnnovo integrbiln, limito, se prvi določeni (Riemnnov) integrl funkije f n intervlu [,b] p oznčimo z I = f(). Opomb. T oznk ns spomni, d izhj določeni integrl v limiti iz integrlskih vsot S(f;D,T D ) = k f(t k) k, in tudi sm integrlski znk je modifiirn črk S, zčetn črk ltinske besede summ (vsot). ZGLED. () Izrčunjmo po definiiji določeni integrl. Ker vnprej vemo, d je funkij f() = Riemnnvo integrbiln (glej zgornjo opombo), lhko pri poljubni delitvi z izbrno točko n podintervlu [ k, k ] izberemo krkoli, npr. ritmetično sredino podintervl, tj. ξ k = ( k + k )/2. Dobimo S(f;D,T D ) = k + k ( k k ) = 2 2 ( 2 k 2 k ) = b2 2 = (b )( + b)/2 2

in zto tudi = (b )( + b)/2. Ker smo n t nčin dobili ploščino trpez pod linerno funkijo f() = n intervlu [,b], če je < < b, vidimo, d je vsj v tem primeru rezultt prvilen. Če je < b <, dobimo ploščino ustrezneg trpez; če p je < < b, p rzliko ploščine dveh trikotnikov (nd in pod bsisno osjo), t.i. predznčeno ploščino. Izrčun je bil v tem primeru dokj enostven, ker je bil integrnd preprost. V bolj zpletenih primerih to ne bi delovlo. (b) Izrčunjmo še integrl 2. Zdj p njprej izberimo posebno (enkomerno) delitev intervl [,b] z delilnimi točkmi k = + k(b )/n, k =,,2,...,n, z izbrne točke p vzemimo kr desn krjišč podintervlov t k = k, k =,2,...,n. Potem je S(f;D,T D ) = (+k(b )/n) 2 (b )/n = (b )( 2 2(b ) + n 2 V limiti (n ) dobimo (b )2 k+ n 3 (b )( 2 + (b )( /n) + 3 (b )2 ( + /n)( + /2n)). 2 = 3 (b )(b2 + b + 2 )/3 = b3 3. 3 TRDITEV. Vsk n [,b] Riemnnovo integrbiln reln funkij je omejen. 9 k 2 ) = Dokz. Denimo, d funkij f n intervlu [, b] ni omejen. Potem z poljubno konstnto M > in z vsko delitev D = {,,..., n } intervl [,b] s podrejeno množio točk T D = {t,t 2,...,t n } obstj tk k in tk točk s k [ k, k ], d velj f(t k ) f(s k ) M/ k. V nsprotnem primeru, če bi z vsk k in vsk [ k, k ] veljl nsprotn neenkost f(t k ) f() < M/ k, bi tkoj ugotovili, d je funkij f omejen n [,b], sj bi z vsk k in vsk [ k, k ] veljlo f() f(t k ) + f(t k ) f() < f(t k ) + M/ k ozirom f() m k ( f(t k ) + M/ k ) z vsk [,b]. Izberimo delitvi D podrejeno podmnožio točk T D = {t,t 2,...,t n }, kjer je t j = t j z j k in t k = s k. Potem je S(f;D,T D ) S(f;D,T D ) = f(t k) f(s k ) k M/ k. To p že pomeni, d funkij f ni Riemnnovo integrbiln, sier bi obstjl Riemnnov integrl I in bi bil rzlik S(f;D,T D ) S(f;D,T D ) S(f;D,T D) I + I S(f;D,T D ) pri dovolj drobni delitvi D poljubno mjhn. Smo omejene relne funkije so torej lhko integrbilne. V bodoče bomo večinom integrirli smo preproste funkije. Ker je vsk elementrn funkij zvezn n vskem intervlu, n kterem je definirn, z zvezne funkije p bomo posebej dokzli, d so Riemnnovo inegrbilne, bodo prktično vse nše funkije integrbilne. Zgornje in spodnje Drbouove vsote Imejmo dno poljubno delitev D = {,,..., n } intervl [,b]. Posebn izbir točke t k [ k, k ] je pri zvezni funkiji f tist, kjer doseže funkij n tem podintervlu svoj mksimum M k li svoj minimum m k. Pri nezvezni omejeni funkiji nmesto teg vzmemo M k = sup{f(); [ k, k ]} in m k = inf{f(); [ k, k ]}. V prvem primeru imenujemo ustrezno vsoto zgornjo Drbouovo vsoto in jo oznčimo z S(f;D), v drugem primeru p spodnjo Drbouovo vsoto in jo oznčimo z s(f; D). Torej S(f;D) = M k k, s(f;d) = m k k. Opomb. Te vsote se imenujejo po G. Drbouu, ki je t pristop prvi uporbil in z njimi definirl svoj integrl. Včsih p jih njdemo tudi pod imenom zgornje in spodnje Riemnnove vsote.

S(f;D) S(f;D,T ) D s(f;d) = 3 =b 2 4 Slik 3 Očitno z poljubno delitev D s podrejeno množio točk T D velj s(f;d) S(f;D,T D ) S(f;D). Rekli bomo, d je D = {,,..., m } finejš delitev intervl [,b], kot je delitev D = {,,..., n }, če je D D. Dve poljubni delitvi D in D 2 isteg intervl [,b] imt vedno skupno finejšo delitev D = D D 2 ). TRDITEV. Če je D finejš delitev intervl [,b] kot delitev D, velj s(f;d) s(f;d ) S(f;D ) S(f;D). i k k- i k+ j k k Slik 4 Dokz. Podintervl [ k, k ], ki pripd delitvi D lhko s točkmi finejše delitve D rzdelimo nprej: k = i k <... < j k = k. Količinm M k = M k (D) in m k = m k (D) glede n delitev D in indeks k ustrezjo glede n finejšo delitev D in indeks l količine M l in m l. Če upoštevmo, d je infimum, vzet po mnjši množii, večji, supremum p mnjši, immo z vsk indeks l, i k + l j k, neenkosti in Torej je m k = inf{f(); [ k, k ]} inf{f( ); [ l, l ]} = m l M l = sup{f( ); [ l, l ]} sup{f(); [ k, k ]} = M k. m k k j k l=i k + m l l in j k l=i k + M l l M k k. Če seštejemo vse te neenkosti po indeksu k od do n (po vseh podintervlih v delitvi D), dobimo iskno neenkost. POSLEDICA. Z poljubni delitvi D in D 2 intervl [,b] velj s(f;d ) S(f;D 2 ). Dokz. Nj bo D skupn finejš delitev z D in D 2. Potem je po zgornji trditvi s(f;d ) s(f;d) S(f;D) S(f;D 2 ).

Drbouov integrbilnost Odtod vidimo, d je (neprzn) množi {s(f;d )} vseh spodnjih Drbouovih vsot glede n delitev D omejen nvzgor s poljubno zgornjo Drbouovo vsoto glede n (kterokoli drugo) delitev D 2, se prvi d obstj supremum s(f) = sup D {s(f;d )} in d velj s(f) S(f;D 2 ). Tod to hkrti pomeni, d je tudi (neprzn) množi {S(f;D 2 )} vseh zgornjih Drbouovih vsot glede n delitev D 2 omejen nvzdol, d obstj infimum S(f) = inf D2 S(f;D 2 ) in d velj s(f) S(f). TRDITEV 2. Z omejeno funkijo f n intervlu [,b] so pri zgornjih oznkh ekvivlentne nslednje trditve: (i) s(f) = S(f), (ii) Z vsk ǫ > obstj tk delitev D intervl [, b], d velj S(f; D) s(f; D) < ǫ. (iii) Z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z vsko delitev D intervl [,b] z lstnostjo D < δ velj S(f;D) s(f;d) < ǫ. Dokz. Očitno iz točke (iii) sledi točk (ii). Nj bo zdj D tk delitev, d pri dnem ǫ > velj točk (ii). Potem zrdi oene s(f;d) s(f) S(f) S(f;D) velj S(f) s(f) S(f;D) s(f;d) < ǫ. To pomeni, d je s(f) = S(f) in velj točk (i). Predpostvimo, d je izpolnjen točk (i), torej s(f) = S(f) = I, in nj bo ǫ >. Potem obstjt tki delitvi D,D 2 intervl [,b], d je S(f;D) < I + ǫ/4 in s(f;d) > I ǫ/4. Nj bo D = D D 2 skupn finejš delitev intervl [,b] n n podintervlov. Po trditvi je zto tudi I ǫ/4 < s(f;d ) S(f;D ) < I +ǫ/4. Definirjmo še M = sup{ f() ; [,b]} in δ = ǫ/(8nm). Nj bo zdj D poljubn drug delitev intervl [,b] z lstnostjo D < δ in nj bo D = D D skupn finejš delitev. Po trditvi velj tudi I ǫ/4 < s(f;d ) S(f;D ) < I + ǫ/4. Ker je vmesnih točk delitve D rvno n, je njveč n podintervlov, pripdjočih rzdelitvi D še nprej rzdeljenih s točkmi iz D. Torej se v vsoth s(f;d ) in s(f;d) ujemjo vsi členi rzen tistih n teh njveč n intervlih. Rzliko vsot lhko potem oenimo z s(f;d ) s(f;d) (n )(2M) D < 2nMǫ/(8nM) = ǫ/4. Odtod vidimo, d je s(f;d) > s(f;d ) ǫ/4 > I ǫ/2. Podobno spoznmo, d je S(f;D) < I + ǫ/2, tko d immo končno S(f;D) s(f;d) < ǫ in velj točk (iii). Opomb. Kdr je izpolnjen točk (i) zgornje trditve (in s tem tudi vsk drug točk), tj. kdr velj s(f) = S(f), rečemo, d je omejen funkij f n intervlu [,b] Drbouovo integrbiln. Vendr t integrbilnost ni v resnii nič drugčn od dosednje, Riemnnove integrbilnosti, kot pove nslednji izrek. IZREK. Omejen reln funkij f, definirn n intervlu [, b], je Riemnnovo integrbiln ntnko tkrt, ko je Drbouovo integrbiln. Dokz. Riemnnov integrbilnost pomeni, d lhko njdemo tko število I R, d z vsk ǫ > obstj δ >, tko d z vsko delitev D = {,,..., n } intervl [,b] z lstnostjo δ D < δ in z vsko izbiro podrejene množie točk T D = {t,t 2,...,t n }, t k [ k, k ], velj I S(f;D,T D ) < ǫ/4. Vemo tudi, d je vsk Riemnnovo integrbiln funkij omejen. Izberimo tko delitev D = {,,..., n } z lstnostjo D < δ, d je hkrti s(f) ǫ/8 < s(f;d) in S(f;D) < S(f) + ǫ/8. To lhko storimo, če po potrebi preidemo n finejšo delitev. Z vsk k nj bo m k = inf{f(); [ k, k ]}, M k = sup{f(); [ k, k ]} ter t k,t k [ k, k ] tki točki, d je f(t k ) < m k + ǫ/8(b ) in f(t k ) > M m ǫ/8(b ).

2 Mk M - k ( b-) m k + ( b-) m k k- t k t k k Slik 5 Nj bo T D = {t,t 2,...,t n } in T D = {t,t 2,...,t n}. Potem je s(f;d) = m k k f(t k ) k = S(f;D,T D ) < (m k + ǫ/8(b )) k = s(f;d) + ǫ/8, S(f;D) ǫ/8 = (M k ǫ/8(b )) k < S(f;D,T D ) = f(t k ) k M k k = S(f;D). To pomeni, d je S(f;D,T D ) s(f;d) < ǫ/8, zto tudi S(f;D,T D ) s(f) < ǫ/4, in S(f;D,T D ) S(f;D) < ǫ/8, zto tudi S(f;D,T D ) S(f) < ǫ/4. Odtod skupj z I S(f;D,T D ) < ǫ/4 in I S(f;D,T D ) < ǫ/4 dobimo I s(f) < ǫ/2 in S(f) I < ǫ/2, se prvi S(f) s(f) < ǫ. Po trditvi 2 to pomeni S(f) = s(f). Obrtno, nj bo funkij f Drbouovo integrbiln, se prvi, nj velj S(f) = s(f) = I. Po trditvi 2 z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z vsko delitev D intervl [,b] z lstnostjo D < δ velj S(f;D) s(f;d) < ǫ. Potem p z vsko tej delitvi D podrejeno množio točk T D velj s(f;d) S(f;D,T D ) S(f;D) < s(f;d) + ǫ. Seved velj tudi s(f;d) I S(f;D) < s(f;d) + ǫ, tko d immo skupj I S(f;D,T D ) < ǫ. To pomeni, d je funkij f Riemnnovo integrbiln in d je njen integrl enk f() = I = s(f) = S(f). Izrek nm zgotvlj učinkovit kriterij, kdj je funkij n dnem intervlu Riemnnovo integrbiln, sj je enkost s(f) = S(f) dostikrt preprosto preveriti, upoštevjoč, d je po trditvi 2 z vsk ǫ > dovolj njti delitev D z lstnostjo S(f;D) s(f;d) < ǫ. Nmesto o Riemnnovi li Drbouovi integrbilnosti omejene funkije bomo odslej govorili kr o njeni integrbilnosti. Primeri integrbilnih funkij IZREK 2. Vsk monoton funkij n intervlu [,b] je integrbiln. Dokz. Vsk monoton funkij je n omejenem zprtem intervlu [, b] omejen. Privzemimo, d je funkij f nrščjoč, in si izberimo enkomerno delitev intervl [,b] s točkmi k = + k(b )/n, k =,,2,...,n. Zrdi nrščnj funkije f je m k = f( k ) in M k = f( k ), tko d immo S(f;D) s(f;d) = f( k )(b )/n f( k )(b )/n = (b )(f(b) f())/n.

Z vsk ǫ > lhko izberemo dovolj velik n tko, d je desn strn mnjš od ǫ. Po trditvi 2 je potem s(f) = S(f) in po izreku je funkij f integrbiln. IZREK 3. Vsk zvezn funkij n intervlu [,b] je integrbiln. Dokz. Vsk zvezn funkij je n intervlu [,b] omejen. Ker je po izreku iz nlize zvezn funkij n kompktnem intervlu [, b] tudi enkomerno zvezn (glej 3. rzdelek v 2. poglvju), z vsk ǫ > obstj tk δ >, d z poljubni dve točki s,t [,b] z lstnostjo s t < δ velj f(s) f(t) < ǫ/(b ). Nj bo D delitev intervl [,b] z lstnostjo D < δ, tko d z poljubni točki s,t [ k, k ] velj f(s) f(t) < ǫ/(b ). Torej je tudi M k m k ǫ/(b ), zto immo oeno (ki tkoj impliir integrbilnost funkije f) S(f;D) s(f;d) = (M k m k ) k ǫ. ZGLEDI. () Obstjjo omejene (nezvezne) funkije, ki niso integrbilne; tk je npr. krkterističn funkij f = χ Q množie rionlnih števil Q, definirn n intervlu [,b] s predpisom {, Q f() =, / Q. Tu je m k = in M k = z vsko delitev D in vsk k, torej je s(f;d) = in S(f;D) = b ozirom tudi s(f) = in S(f) = b, tko d funkij f ni inegrbiln. (b) Po drugi strni obstjjo omejene nezvezne funkije, ki p so integrbilne. Zgled so nezvezne monotone funkije, npr. {, [,/2] f() =., (/2,] (b) Nezveznost omejenih integrbilnih funkij je lhko še hujš. Z zgled si vzemimo dobro znno funkijo f, kjer je { sin(/), (,] f() =., = Vemo, d t funkij v točki nim limite. Pokžimo, d je kljub temu integrbiln. Z vsk ǫ > si izberimo delitev D z lstnostjo, d je prv deliln točk enk = ǫ/4. Ker je f zvezn n intervlu [ǫ/4,], je tm integrbiln in obstj tk delitev D intervl [ǫ/4,], d je S(f [,];D ) s(f [,];D ) < ǫ/2. Zdj nj bo D = { } D delitev intervl [,]. Ker je m = in M =, immo s(f;d) = + s(f [,];D ) = ǫ/4 + s(f [,];D ) in S(f;D) = + S(f [,];D ) = ǫ/4 + S(f [,];D ). Torej je funkij f integrbiln, sj je S(f;D) s(f;d) = ǫ/2 + S(f [,];D ) s(f [,];D ) < ǫ. Zdnji zgled je poseben primer bolj splošne zkonitosti. TRDITEV 3. Če je funkij f omejen n [,b] in zvezn n (,b), je n zprtem intervlu [, b] integrbiln. Dokz. Nj bo m f M n [,b] in nj bo ǫ >. Izberimo tko delitev D = {,,..., n, n } intervl [,b], d je () = < ǫ/4(m m) in n = n n < ǫ/4(m m); (2) delitev {, 2,..., n } intervl [, n ], n kterem je zvezn funkij f integrbiln, tk, d je rzlik med zgornjo in spodnjo Drbouovo vsoto n k=2 (M k m k ) k < ǫ/2. Potem p je tudi z eloten intervl S(f;D) s(f;d) = (M m ) + (M n m n ) n + n k=2 (M k m k ) k < ǫ. Po trditvi 2 in izreku to pomeni, d je funkij f n intervlu [,b] integrbiln. 3

4 Lstnosti integrbilnih funkij in integrl TRDITEV 4. Konstntn funkij f() = z vsk [,b] je integrbiln in velj f() = = (b ). Dokz. Riemnnov vsot je n f(t k) k = n k = (b ), isto v limiti. TRDITEV 5. Nj bost f in g integrbilni funkiji n intervlu [,b] in α,β R poljubni konstnti. Potem je n [, b] integrbiln tudi funkij αf + βg in velj (αf + βg)() = α f() + β g(). Dokz. Poljubno Riemnnovo vsoto z funkijo αf + βg lhko zpišemo v obliki S(αf + βg;d,t D ) = αs(f;d,t D ) + βs(g;d,t D ). Pri dovolj drobni delitvi lev strn dobro proksimir integrl (αf + βg)(), desn strn p α f() + β g(). Opomb. Rečemo, d je določeni integrl lineren funkionl n prostoru integrbilnih funkij n intervlu [,b]. TRDITEV 6. Nj bo funkij f omejen n intervlu [,b], in nj velj < < b. Funkij f je integrbiln n intervlu [, b] ntnko tkrt, ko je integrbiln n podintervlih [,] in [,b]. Poleg teg velj f() = f() + f(). Dokz. Če je f integrbiln n [,b] lhko z vsk ǫ > njdemo tko delitev D intervl [, b], d velj S(f; D) s(f; D) < ǫ. Lhko privzmemo, d je en od delilnih točk (sier jo dodmo, rzlik med zgornjo in spodnjo vsoto se pri tem le zmnjš). Potem p lhko zpišemo S(f;D) s(f;d) = k (M k m k ) k + k (M k m k ) k, kjer ustrez prv vsot delitvi podintervl [, ] in drug delitvi podintervl [, b]. Ker st vsoti nenegtivni, st obe mnjši od ǫ, kr pomeni integrbilnost n vskem podintervlu posebej. Obrtno je še lžje: delitvi podintervlov, ki dst mjhno rzliko med zgornjo in spodnjo vsoto, združimo v delitev intervl [,b], in dobimo k (M k m k ) k = k (M k m k ) k + k (M k m k ) k < ǫ/2 + ǫ/2 = ǫ. Zdj ko vemo, d je funkij integrbiln tudi n podintervlih, lhko po definiiji izbirmo vedno bolj drobne delitve intervl [, b], pri čemer ves čs ohrnjmo kot eno izned delilnih točk. Ker Riemnnov integrlsk vsot rzpde v dve integrlski vsoti S(f;D,T D ) = k f(t k) k = k f(t k) k + k f(t k) k = S(f [,] ;D,T D ) + S(f [,b] ;D,T D ), dobimo v limiti, d je integrl funkije f po vsem intervlu [,b] enk vsoti integrlov funkije f po obeh podintervlih [,] in [,b]. Opomb. Doslej smo zhtevli, d je spodnj mej integrl f() mnjš od zgornje meje b. P nj bo b <. V tem primeru definirjmo f() = b f(). Dodtno definirjmo z vsk R še f() =. Potem lhko uporbljmo formulo iz trditve 4 ne glede n to, kje leži točk, se prvi tudi zunj intervl [,b], d je le funkij definirn n mksimlnem intervlu (od min{, b, } do m{, b, }). Če je npr. < b <, immo po formuli iz trditve 4 relijo f() = f() + b f() ozirom f() = f() b f() = f() + f().

Zrdi te lstnosti prvimo, d je določeni integrl ditivn funkij integrijskeg območj. DEFINICIJA 2. Rečemo, d je funkij f odsekom zvezn n intervlu [, b], če obstj tk števil i, i =,,2,...,r, d je = < < 2 <... < r = b in d je f zvezn funkij n vskem odprtem podintervlu ( i, i ), i =,2,...,r. Kot posledio zdnjih dveh trditev immo nslednji rezultt. 5 = 3 =b 2 4 Slik 6 TRDITEV 7. Vsk n [,b] omejen in odsekom zvezn funkij f je integrbiln. Dokz. Po trditvi 3 je f integrbiln n vskem podintervlu [ i, i ], iz trditve 6 p potem sledi (s preprosto indukijo), d je integrbiln tudi n elotnem intervlu [,b]. Opomb. Odsekom zvezn funkij im po definiiji končno mnogo točk nezveznosti. Trditev 7 potemtkem pove, d je vsk omejen funkij, ki im kvečjemu končno mnogo točk nezveznosti, integrbiln. Kot znimivost povejmo, d velj isto tudi z omejene funkije, ki imjo kvečjemu števno mnogo točk nezveznosti (zto je npr. integrbiln tudi Thomejev funkij). Še več, pokzti se d, d je omejen funkij integrbiln ntnko tkrt, ko im množi njenih točk nezveznosti mero nič. (Rečemo, d im podmnoži A R mero nič, če z vsk ǫ > obstj tk števn - končn li neskončn - družin odprtih intervlov {( n,d n ); n }, d je A n ( n,d n ) in d je njihov skupn dolžin n (d n n ) < ǫ.) Vsk števn množi im mero nič. IZREK 4. Nj bo f omejen integrbiln funkij n [,b] in g zvezn funkij n intervlu [m,m], kjer je m = inf{f(); [,b]} in M = sup{f(); [,b]}. Potem je tudi kompozitum h = g f integrbiln funkij n intervlu [, b]. Dokz. Če je M = m, je funkij f konstntn, zto je konstntn tudi funkij h in po trditvi 4 integrbiln. Nj bo M m in ǫ > poljubno pozitivno število. Oznčimo A = inf g in B = supg n intervlu [m,m] in K = b + B A >. Zrdi enkomerne zveznosti funkije g n intervlu [m,m] obstj tk δ >, d iz u,u [m,m] in u u < δ sledi g(u) g(u ) < ǫ/k. Ker je f integrbiln n [, b], obstj tk delitev D, d je S(f; D) s(f; D) < δǫ/k. Zpišimo S(f;D) s(f;d) = k (M k m k ) k + k (M k m k ) k, kjer se prv vsot k nnš n tiste delilne intervle, z ktere je M k m k < δ, drug vsot k p n ostle. Ker je torej k δ k k (M k m k ) k S(f;D) s(f;d) < δǫ/k, dobimo k k < ǫ/k. Oznčimo še h k = inf h in H k = suph n k-tem podintervlu delitve D. Če je t podintervl prve vrste (tko d je M k m k < δ), je z poljubn, iz teg intervl in z u = f(), u = f( ) res u u = f() f( ) M k m k < δ, zto h() h( ) = g(u) g(u ) < ǫ/k in potem tudi H k h k ǫ/k ozirom tudi k (H k h k ) k (ǫ/k) k k = (b )ǫ/k.

6 Če p je k-ti podintervl druge vrste (tko d je M k m k δ), velj H k h k B A in zto tudi k (H k h k ) k (B A) k k (B A)ǫ/K. Z vsk ǫ > smo torej nšli tko delitev D, d je S(h;D) s(h;d) = k (H k h k ) k + k (H k h k ) k (b )ǫ/k + (B A)ǫ/K = ǫ, kr pomeni, d je funkij h integrbiln n intervlu [,b]. POSLEDICA. Če st f in g integrbilni funkiji n intervlu [,b], so n [,b] integrbilne tudi funkije f, f n z vsk n N in fg, kjer je f () = f(), f n () = f() n in (fg)() = f()g() z vsk [,b]. Dokz. Funkiji u u in u u n (z n N)) st zvezni, tko d lhko uporbimo izrek 4. Poleg teg je fg = [(f + g) 2 f 2 g 2 ]/2 in zrdi trditve 5 je potem integrbiln tudi funkij fg. Opomb. Obrt posledie ne velj: nj bo npr. f = g = χ Q, krkterističn funkij množie rionlnih števil. Vemo, d t funkij ni integrbiln n nobenem intervlu, njen bsolutn vrednost in njen kvdrt p st integrbilni funkiji, sj st obe enki konstntni funkiji. TRDITEV 8. Če st f in g integrbilni funkiji n intervlu [,b] in velj f() g() z vsk [,b], velj tudi f() g(). Dokz. T neenkost velj z poljubno Riemnnovo vsoto S(f;D,T D ) = n f(t k) k n g(t k) k = S(g;D,T D ), torej tudi v limiti. Rečemo, d je določeni integrl monotoni funkionl. POSLEDICA. Če je < b, velj f() f(). Če je > b, p velj f() f(). Dokz. Tkoj sledi iz trditve 8 ob upoštevnju opombe z trditvijo 6. POSLEDICA 2. Iz m f() M n [,b] sledi m b Dokz. Tudi to dobimo iz trditve 8. f() M. b Slik 7 DEFINICIJA 3. Izrz µ = b f() imenujemo povprečn vrednost integrbilne funkije f n intervlu [,b]. Vidimo, d leži µ med m = inf{f(); b} in M = sup{f; b}. Omenimo še pomembno posledio točke 8.

TRDITEV 9. Če je f zvezn funkij n intervlu [,b], obstj tk točk [,b], d velj f() = f(). b Dokz. Povprečn vredost µ funkije f zdošč po posledii 2 pogoju m µ M. Potem p rezultt sledi iz znneg dejstv, d zvzme zvezn funkij n zprtem in omejenem intervlu vsko vrednost med njmnjšo in njvečjo. IZREK 5 (Prvi izrek o povprečni vrednosti). Nj bost funkiji f, g integrbilni n intervlu [,b] in nj z vsk [,b] velj m f() M. Poleg teg nj bo n intervlu [, b] funkij g povsod isteg predznk. Tedj obstj tko število µ [m, M], d velj f()g() = µ g(). 7 Dokz. Nj bo npr. g() z vsk [,b]. Iz m f() M dobimo mg() f()g() M g() z vsk [, b] in zto tudi m g() f()g() M g(). Če je g() =, je tudi f()g() = in vsk µ je dober. Če p je g(), je m f()g()/ g() M. Srednji ulomek oznčimo z µ, p immo m µ M in hkrti f()g() = µ g(). Podobno, smo z obrnjenimi neenčji, dokžemo izrek, če je g() z vsk [,b]. POSLEDICA. Če je funkij f zvezn in funkij g integrbiln in povsod isteg predznk n intervlu [,b], obstj tko število [,b], d je f()g() = f() g(). Dokz. Vemo, d zvzme zvezn funkij n kompktnem intervlu [,b] vsko vrednost med m = inf{f(); b} in M = m{f(); b}, torej tudi vrednost µ = f()g()/ g() iz dokz prejšnjeg izrek. Zvez med določenim in nedoločenim integrlom Rčunnje določeneg integrl po definiiji je zelo kompliirno, tudi v primeru, ko integrirmo zvezno funkijo, zto je ugodno poznti še druge nčine. Izpeljimo osnovno povezvo med določenim in nedoločenim integrlom. IZREK 6. Nj bo f omejen integrbiln funkij n intervlu [, b]. Definirjmo G() = f(t)dt, [,b]. Tedj je G: () zvezn funkij zgornje meje n intervlu [,b]; (b) odvedljiv funkij zgornje meje v vski točki, v kteri je f zvezn funkij, in velj G () = f(). Dokz. () Hitro se lhko prepričmo, d je G( + h) G() = +h f(t)dt, torej po posledii trditve 7 G( + h) G() +h f(t) dt M h, kjer je M f(t) z vsk t [,b]. Odtod tkoj sledi, d je G zvezn funkij v vski točki [,b].

8 +h G( + h) G() (b) Izrčunjmo f() = (f(t) f()). Ker je funkij f h h zvezn v točki, z vsk ǫ > obstj tk δ >, d velj f(t) f() < ǫ, čim je t < δ. Zto lhko oenimo G( + h) G() f() h h +h f(t) f() < ǫ z vsk h < δ. To pomeni, d je limit diferenčneg kvoient funkije G (ko h ) enk f(). Torej je funkij G odvedljiv v točki in njen odvod enk G () = f(). POSLEDICA. Če je f zvezn funkij n intervlu [,b], je funkij G, definirn s predpisom G() = f(t)dt, [,b], povsod n [,b] odvedljiv in velj G () = f() z vsk [,b]. Torej je G je nedoločeni integrl (primitivn funkij) zvezne funkije f. Če je F poljuben drug nedoločeni integrl funkije f, je kot znno, F() = f(t)dt + C. Ker je F() = C, velj F() F() = f(t)dt. Vstvimo točko = b, p dobimo osnovno formulo integrlskeg rčun: f(t)dt = F(b) F(). To formulo imenujemo tudi Leibnizov formul. Včsih zpišemo krjše f(t)dt = F() b, kjer pomeni F() b = F(b) F(). To pomeni, d določeni integrl izrčunmo tko, d njprej poiščemo nedoločeni integrl (primitivno funkijo) F, če le-t obstj, vnjo vstvimo njprej zgornjo mejo b, nto spodnjo mejo in oboje odštejemo. V zgornji posledii smo videli, d primitivn funkij obstj z vsko zvezno funkijo f. Z zvezne funkije torej osnovn formul velj in njvečkrt bo to dejstvo z nše izrčune zdoščlo. Velj p z vsko integrbilno funkijo, z ktero obstj primitivn funkij (tj. odvedljiv funkij F z lstnostjo F = f). IZREK 7 (Osnovni izrek integrlskeg rčun). Nj bo f tk integrbiln funkij n intervlu [,b], ki im n [,b] primitivno funkijo F. Tedj velj f() = F(b) F(). Dokz. Z poljubno delitev D = {,,..., n } intervl [,b] lhko po Lgrngevem izreku poiščemo n odprtih intervlih ( k, k ) tke točke t k, d velj F( k ) F( k ) = F (t k )( k k ) = f(t k ) k. Seštejmo obe strni teh enkosti po k od do n, p dobimo F( n ) F( ) = n f(t k) k ozirom F(b) F() = S(f;D,T D ). To velj z vsko delitev D in ustrezno izbiro podrejene množie T D. Ker vemo, d je funkij f Riemnnovo integrbiln, konvergirjo desne strni proti integrlu f(), kkor hitro konvergir D = m k k proti nič. V limiti torej dobimo F(b) F() = f(). Metode z rčunnje določeneg integrl. Uporb osnovne (Leibnizove) formule. Njprej izrčunmo nedoločeni integrl, nto p vstvimo meje. ZGLED. () π sin = os π = ( os π) ( os ) = 2. (b) 2 + = ln(2 + ) = ln 3.

2. Metod zmenjve spremenljivke (substituij). Če je f zvezn funkij n intervlu [, b], ni problem. Izberemo (ne nujno monotono) zvezno odvedljivo funkijo = (t), ki preslik intervl [α,β] n intervl [,b], tko d je (α) =, (β) = b. Dobimo f() = β α f((t)) (t)dt. Dokz. Ker je f zvezn funkij n [, b], obstj po osnovnem izreku integrlskeg rčun primitivn funkij F, tko d je F(b) F() = f(). Definirjmo funkijo G(t) = F((t)) z vsk t [α,β]. Ker je F () = f() z vsk [,b], je po verižnem prvilu tudi G (t) = f((t)) (t) z vsk t [α,β]. Torej je β α f((t)) (t)dt = G(β) G(α) = F((β)) F((α)) = F(b) F() = f(). Iz postopk vidimo nslednje: ko ndomestimo s funkijo = (t), ndomestimo tudi diferenil z = (t)dt, tko d je f() = f((t)) (t)dt. ZGLED: () V integrl + uvedemo substituijo + = t ozirom = t 2. Dobimo = 2tdt, integrl p je enk 2 2 t 2 dt = 2(2 2 )/3. (b) Če v integrl I = e in / = dt, dobimo I = () Z integrlu I = 3π 2+ = ln(2 + ) ln 2 uvedemo substituijo = et, t, ozirom ln = t t2 dt = /3. sin t dt 2+os t = ln 3. postvimo = os t, = sin t dt in njdemo I = Če je substituijsk funkij = (t) monoton (nrščjoč li pdjoč), velj enk formul z izrčun integrl z zmenjvo spremenljivk tudi v splošnejšem primeru. IZREK 8 (o zmenjvi integrijske spremenljivke). Nj bo zvezno odvedljiv = (t) nrščjoč funkij n intervlu [α,β] in nj preslik intervl [α,β] surjektivno n intervl [,b]. Potem je z poljubno relno funkijo f, definirno n intervlu [,b], funkij g(t) = f((t)) (t) integrbiln n [α,β] ntnko tkrt, ko je f integrbiln n [, b], in tedj velj f() = β α f((t)) (t)dt. Dokz. Izberimo poljubno delitev D t = {t,t,...,t n } intervl [α,β] in nj bo k = (t k ) z k =,,...,n. Potem definir množi D = {,,..., n } zrdi nrščnj funkije = (t) delitev intervl [,b] (nektere zporedne točke k lhko sovpdjo, tod to smo pomeni, d so v ustrezni Riemnnovi vsoti nekteri členi lhko enki nič). Riemnnov vsot z funkijo g je enk S(g;D t,t t ) = n f((τ k)) (τ k ) t k, kjer je τ k [t k,t k ] (in zto ξ k = (τ k ) [ k, k ]) z vsk k. Potem p po Lgrngevem izreku z vsk k obstj tk τ k (t k,t k ), d je (t k ) (t k ) = (τ k ) t k in immo tudi S(f;D,T ) = f(ξ k ) k = f(ξ k )((t k ) (t k ) = f((τ k )) (τ k ) t k. Nj bo f integrbiln funkij n [,b]; torej je f omejen n [,b] in nj velj M = sup{ f() ; [,b]}. Če odštejemo obe Riemnnovi vsoti med seboj in upoštevmo, d je funkij = (t) n intervlu [α,β] enkomerno zvezn, tko d z vsk ǫ > obstj δ > z lstnostjo (τ) (τ ) < ǫ/(2m(β α)), če τ τ < δ, dobimo (z dovolj fino delitev D t ) pri pogoju D t < δ oeno S(g;D t,t t ) S(f;D,T ) f((τ k )) (τ k ) (τ k ) t k < ǫ/2. 9

2 Ker je odvod = (t) zvezn in zto omejen funkij n intervlu [α,β], immo pri dovolj mjhnem δ > tudi D = m k k = m k ((t k) (t k ) = m k (τ k ) t k m (τ k ) D t k tko mjhen, d velj zrdi integrbilnosti funkije f tudi S(f;D,T ) f() < ǫ/2. Torej je pri tkem δ veljvn neenkost S(g;D t,t t ) f() < ǫ, kr pomeni, d je tudi funkij g integrbiln n intervlu [α,β] in d velj f() = β α g(t)dt = β α f((t)) (t)dt. Iz integrbilnosti funkije f n [, b] smo dokzli integrbilnost funkije g n [α, β]. Obrtno pokžemo n enk nčin in izrek je dokzn. Podobno velj v primeru, ko je = (t) zvezno odvedljiv pdjoč funkij n [α, β] z zlogo vrednosti [, b]. 3. Metod integrije po delih (per prtes). Formul z integrijo po delih je podobn kot pri nedoločenem integrlu, le d upoštevmo tudi meje: udv = uv b vdu. Poglejmo, pri kšnih pogjih n u in v velj t formul. IZREK 9. Nj bost funkiji u in v odvedljivi n intervlu [,b] in nj imt integrbiln odvod u in v. Potem st tudi funkiji uv in u v intgrbilni n [,b] in velj u()v () = u()v() b v()u (). Dokz. Ker st funkiji u in v povsod odvedljivi, st zvezni in zto tudi integrbilni n [,b]. Njun odvod u in v st po predpostvki integrbilni funkiji, zto st integrbiln tudi produkt uv in u v. Ker je (uv) = u v + uv je po osnovni formuli integrlskeg rčun (u()v () + v()u ()) = (uv) () = u()v() b, od koder sledi zrdi ditivnosti integrl zgornj formul. ZGLED. () π sin = ( os )π + π os = π + sin π = π. (b) 2 ln = ln 2 2 = 2ln 2. Kot zgled z uporbo itegrije po delih izpeljimo nslednji pomembni izrek o povprečni vrednosti. IZREK (Drugi izrek o povprečni vrednosti). Nj bo f odvedljiv monoton funkij z integrbilnim odvodom f in g poljubn zvezn funkij n [,b]. Potem je produkt fg integrbiln funkij n [,b] in obstj tk točk [,b], d velj f()g() = f() g() + f(b) g(). Dokz. Ker je funkij f odvedljiv povsod n intervlu [, b], je tm zvezn, tko d je produkt fg z zvezno funkijo g tudi zvezen in zto integrbilen n [,b]. Nj bo G() = g(t)dt, tko d je G () = g() z vsk [,b]. Po formuli z integrijo per prtes (z funkiji u = f in v = G) immo f()g() = f()g() b f ()G() = f(b)g(b) f ()G(). Ker je v zdnjem integrlu funkij f () integrbiln in povsod isteg predznk, G p zvezn funkij, obstj po posledii izrek 5 tk točk [,b], d velj formul f ()G() = G() f (). Seved je f () = f(b) f(), tko d immo

2 f ()G() = (f(b) f())g() ozirom iskno zvezo: f()g() = f(b)g(b) (f(b) f())g() = f()g() + f(b)(g(b) G()). POSLEDICA. Nj bo funkij f nenegtivn in odvedljiv z integrbilnim odvodom, funkij g p zvezn povsod n intervlu [,b]. () Če je f pdjoč n [,b], obstj tk točk d [,b], d velj f()g() = f() d g(). (b) Če je f nrščjoč n [,b], obstj tk točk d [,b], d velj f()g() = f(b) d g(). Dokz. () V dokzu izrek smo videli, d z neko točko [,b] velj f()g() = f(b)g(b) (f(b) f())g() = f(b)g(b) + (f() f(b))g(). Nj bo m = ming() in M = mg() n intervlu [,b]. Potem je zrdi zdnje enkosti mf() f()g() Mf(). Če je f() =, je zrdi nenegtivnosti in pdnj funkije f tudi f(b) =, tko d je f()g() = in iskn formul velj z poljuben d. Če p je f() >, je m f() f()g() M in zrdi zveznosti funkije G obstj tk točk d [,b], d je G(d) = f() f()g() ozirom f()g() = f() d g() (točk ()). Z dokz točke (b) rvnmo enko, le nmesto G() = g(t)dt vzmemo kot primitivno funkijo z g funkijo G() = b g(t)dt. ZGLED. Nj bo < < b, p >, f() = / p in g() = sin. Tedj je po točki () zgornje posledie z neko število d [,b] se prvi, d velj oen sin p = p d sin p 2 p. Numerično rčunnje določenih integrlov sin = p(os os d), Ogledli si bomo dve osnovni metodi z numerično (približno) rčunnje določenih integrlov. Osnovn idej je pri obeh metodh ist: integrnd proksimirmo s funkijo, ktere integrl je preprosto izrčunti. f( ) k- f( ) k k- k b Slik 8

22 (A) Trpezn metod. Rzdelimo intervl [, b] n n enkih delov, tko d je dolžin vskeg od njih enk h = (b )/n. Delilne točke so k = + kh, k =,,2,...,n, pri čemer je = in n = b. N vskem podintervlu [ k, k ] proksimirjmo integrbilno funkijo f z linerno funkijo f k () = f( k ) + (f( k ) f( k ))( k )/h, integrl k k f() p z integrlom (linerne funkije) k k f k () = h(f( k ) + f( k ))/2 (z f( k ),f( k ) > je to ploščin trpez, odtod ime metode). Približek z integrl po elotnem intervlu [,b] dobimo potem kot vsoto integrlov po posmeznih podintervlih: f() h(f( k +f( k ))/2 = h 2 (f( )+2f( )+2f( 2 )+...+2f( n )+f( n )) ozirom, če rje pišemo y k = f( k ) z k =,,2,...,n f() h(y k + y k )/2 = h 2 (y + 2y + 2y 2 +... + 2y n + y n ). Zgornjo formulo imenujemo trpezn formul; spd med njbolj preproste formule z numerično integrirnje funkij, ki jim skupnim izrzom rečemo kvdrturne formule. Izpeljimo še oeno npke, ki jo nredimo pri uporbi trpezne formule z dovolj gldko funkijo. IZREK. Nj bo f dvkrt zvezno odvedljiv funkij n intervlu [,b] in A n = h 2 (f( )+ 2f( ) + 2f( 2 ) +... + 2f( n ) + f( n )) desn strn trpezne formule pri enkomerni rzdelitvi intervl [,b] n n enkih delov, tko d je h = (b )/n. Potem velj oen: A n f() h2 (b ) 2 m f (b )3 () = b 2n 2 m f (). b Dokz. Nj bo F() = f(t)dt z vsk [,b] ter B k = h(f( k ) + f( k ))/2 F( k ) + F( k ) in k = ( k + k )/2 z vsk k =,2,...,n. Definirjmo funkijo G k (t) = t(f( k + t) + f( k t)) F( k + t) + F( k t) 8B k t 3 /h 3. Opzimo, d je G k () = in G k (h/2) = h(f( k )+f( k ))/2 F( k )+F( k ) B k =. Po Rolleovem izreku obstj tk točk d k (,h/2), d je G k (d k) =. Ker je G k (t) = t(f ( k + t) f ( k t)) 24B k t 2 /h 3, immo = G k (d k) = d k (f ( k + d k ) f ( k d k )) 24B k d 2 k /h3. Odtod lhko izrzimo B k in z upoštevnjem Lgrngeveg izrek obstj tk točk t k ( k d k, k + d k ), d je B k = h3 2d k ((f ( k + d k ) f ( k d k )) = h3 2 f (t k ) in zto B k h 3 m b f () /2. Ker je A n f() = (h/2) n (f( k ) + f( k )) n k k f() = n (h(f( k) + f( k ))/2 F( k ) + F( k ) = n B k, velj oen A n f() B k nh3 2 m f () = h2 (b ) m b 2 f () = b (b ) 3 2n 2 m f (). b

23 ZGLED. Izrčunjmo npr. po trpezni metodi približno vrednost integrl + = ln 2 n dve deimlki ntnčno. Ker je sedj f () = 2/( + ) 3 in m b f () = 2, mormo zrdi oene npke A n (b )3 f() m 2n 2 b f () = /6n 2 vzeti n 6, če želimo, d je npk pod.5. Pri n = 6 immo =, = /6, 2 = /3, 3 = /2, 4 = 2/3, 5 = 5/6 in 6 = ter y =, y = 6/7 =.857, y 2 = 3/4 =.75, y 3 = 2/3 =.6667, y 4 = 3/5 =.6, y 5 = 6/ =.5455 in y 6 = /2 =.5. Trpezn formul z n = 6 nm torej d približek A 6 = (.+.742+.5+.3334+.2+.9+.5)/2 = 8.3386/2 =.6949. Prv vrednost je.693, npk p mnjš od.2. (B) Simpsonov metod. Tudi zdj rzdelimo intervl [, b] n enke podintervle, vendr jih mor biti 2n (sodo mnogo) in so dolžine h/2, kjer je kot prej h = (b )/n. Pri tej metodi proksimirmo n vskem pru sosednjih podintervlov funkijo f s kvdrtno funkijo f k () = α k ( 2k 2 ) 2 +β k ( 2k 2 )+γ k, kjer koefiiente α k, β k in γ k določimo tko, d je f k ( 2k 2 ) = f( 2k 2 ) = y 2k 2, f k ( 2k ) = f( 2k ) = y 2k ) in f k ( 2k ) = f( 2k ) = y 2k. Ti trije pogoji pomenijo, d je y 2k 2 = γ k, 4y 2k = α k h 2 + 2β k h + 4γ k in y 2k = α k h 2 + β k h + γ k ; z njimi so koefiienti α k, β k in γ k enolično določeni. Integrl k k f() se pri tem proksimir z integrlom kvdrtne funkije 2k 2k f k () = h (α k t 2 + β k t + γ k )dt = α k h 3 /3 + β k h 2 /2 + γ k h = h 6 (2α kh 2 + 3β k h + 6γ k ) = h 6 (y 2k 2 + 4y 2k + y 2k ). Če to storimo z vsk k =,2,...,n in vse skupj seštejemo, dobimo proksimijo integrl funkije f n vsem intervlu [,b]: f() h(y 2k 2 + 4 2k + y 2k )/6 = h 6 (y + 4y + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +... + 2y 2n 2 + 4y 2n + y 2n ). To je t.i. Simpsonov kvdrturn formul. Je zelo ntnčn in že pri mjhnih vrednostih z n dje dobre približke. Brez dokz povejmo, d velj z npko R n oen R n (b )5 288n 4 m b f(4) (). ZGLED. Pri rčunnju prejšnjeg integrl + = ln 2 po Simpsonovi formuli zdošč vzeti n = 2, sj je po zgornji oeni npk mnjš od 2/(288 6).4. Po Simpsonu dobimo + h 2 (y + 4y + 2y 2 + 4y 3 + y 4 ) = ( + 6/5 + 4/3 + 6/7 + /2)/2.6932. Opomb. Numerično sier rčunmo integrle, ki se jih ne d izrziti z elementrnimi funkijmi, npr. I = e 2 /2. Po trpezni formuli dobimo pri n = 5 približek I.8536, Simpsonov formul p nm d že pri n = 2 približek I.8557. Prv vrednost je I =.8556 (glej [?]).

24 3. Uporb določeneg integrl v geometriji Integrirnje funkij je zelo uporbno v nrvoslovju, tehniki, ekonomiji in tudi drugje, kjer se uporbljjo moderne mtemtične metode. Večine zhtevnejših fiziklnih količin in izrekov npr. ni mogoče niti formulirti niti obrvnvti brez integrlov. Tu se v uporbo integrl v drugih vedh ne bomo spuščli, ogledli si bomo le nekj bolj preprostih geometrijskih plikij. (A) Rčunnje ploščin likov. Vemo že, d je določeni integrl tesno povezn s ploščino krivočrtnih likov. Če je npr. f() n [,b], je ploščin lik, ki g n intervlu [,b] oklepjo krivulj y = f(), bsisn os in obe ordinti v krjiščih (slik 9), enk p = f(). f f p p g b b p = Slik 9 Če je f() g() n [,b] (slik 29b), je ploščin med njim n [,b] enk (f() g()). Nekoliko bolj zpleten situij nstopi, če se obe krivulji preplett. Tedj mormo izrčunti del ploščine med njim n posmeznih odsekih in potem te posmezne prispevke sešteti. ZGLED. () Ploščino (polovie) krog izrčunmo z integrlom p = 4 Uvedemo substituijo = sin t. Torej je = os tdt in π/2 π/2 p = 4 2 os 2 tdt = 2 2 ( + os 2t)dt = 2 π. 2 2. (b) Ploščino med sinusom in kosinusom n intervlu [,2π] izrčunmo z vsoto integrlov π/4 (os sin ) + 5π/4 π/4 (sin os ) + 2π 5π/4 (os sin ) = 4 2. Včsih lhko n t nčin izrčunmo tudi ploščino lik, ki g omejuje prmetrično podn krivulj. ZGLED. Ploščino pod enim lokom ikloide izrčunmo z p = 2π y = 2π ( os t)( os t)dt = 2π π/2 2 ( 2os t + os 2 t)dt = 4 2 ( + os 2 t)dt = 3 2 π. Upoštevli smo, d je y = ( os t) in = ( os t)dt.

Oglejmo si nekoliko podrobneje rčunnje ploščin pri prmetrično podnih krivuljh. Če je y(t) in je tudi ẋ(t) > (in zto nršč) z α < t < β (tko kot pri zdnjem zgledu), je ploščin enk p = β α y(t)ẋ(t)dt. To velj, tudi če ẋ nim stlneg predznk n intervlu [α,β]. Kjer je ẋ >, potuje točk (,y) po krivulji v desno in prispevek k ploščini pod krivuljo je pozitiven. Kjer p je ẋ <, potuje točk (, y) po krivulji v levo in prispevek k ploščini pod krivuljo je negtiven (slik ). 25 + p b + + + + Slik Prmetrizij rvninske krivulje je dn s prom zvezno odvedljivih preslikv = (t), y = y(t), α t β, li kr z eno vektorsko funkijo F : [α,β] R 2, kjer je F (t) = ((t), y(t)). Vektorsko funkijo odvjmo po komponenth: Ḟ(t) = (ẋ(t), ẏ(t)) z vsk t. Tej funkiji F rečemo pot (točke (,y) po rvnini R 2 ), njeni zlogi vrednosti {F (t); α t β} p krivulj v rvnini (li lok krivulje v rvnini). Seved imt dve rzlični funkiji lhko isto zlogo vrednosti, torej im dn krivulj n sploh rzlične prmetrizije. Če je npr. φ : [γ, δ] [α, β] poljubn drug zvezno odvedljiv funkij, ki preslik intervl [γ,δ] surjektivno n intervl [α,β], je F φ drug prmetrizij iste krivulje. D se pokzti, d lhko poljubno drugo prmetrizijo dne krivulje dobimo n t nčin. Kritične so točke t, kjer je ẋ(t) = in ẏ(t) = ; v njih smer ni določen, (pri ikloidi so npr. tke točke t = ±2kπ, k Z, kjer nstopi ost). D se temu izognemo, zhtevmo, d je prmetrizij povsod regulrn. DEFINICIJA. Rečemo, d je prmetrizij F dne krivulje je v točki t regulrn, če je Ḟ(t) (,). Če je to res z vsk t [α,β], rečemo, d je prmetrizij F regulrn povsod. Regulrn prmetrizij določ usmerjenost krivulje, podn je s smerjo potovnj točke F (t) po krivulji. Pogosto tvorijo krivulje zključeno znko (pot se vrne v zčetno točko), ki omejuje nek lik. Tedj rečemo, d je usmerjenost pozitivn, če je t lik pri potovnju po krivulji n levi strni. DEFINICIJA 2. Gldk enostvno sklenjen krivulj je krivulj z regulrno prmetrizijo F : [α,β] R 2, z ktero velj: (i) Ḟ(α) = Ḟ (β) (gldkost); (ii) F(α) = F(β) (sklenjenost); (iii) F(s) F(t) z s,t [α,β), s t (enostvnost). Zdnj točk (iii) pove, d je funkij F n intervlu [α,β) injektivn; torej se točk n krivulji F(t) z noben t < β ne vrne v nobeno prejšnjo točko, mpk se to zgodi šele pri t = β (ii). Izpeljli bomo formulo z izrčun ustrezne ploščine. TRDITEV. Ploščin območj, ki g omejuje gldk enostvno sklenjen krivulj z regulrno prmetrizijo in s pozitivno usmerjenostjo, je enk p = β α (t)ẏ(t)dt = β α y(t)ẋ(t)dt = 2 β α ((t)ẏ(t) y(t)ẋ(t))dt.