Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je"

Αταλάντη Γιάνναρης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom formulom f (x)dx = F(b) F() Tu je F primitivn funkcij funkcije f Primitivn se funkcij (neodre - deni integrl) ne može uvijek odrediti, ili je pk postupk integrcije složen Stog se u mnogim situcijm neodre - deni integrl rčun numeričkim metodm Svkko je njpozntij formul numeričke integrcijetrpezn formul kod koje se podintegrln funkcij zmjenjuje po dijelovim linernom funkcijom, p tko elementi površineimju oblik trpez Pročelje crkve Svetog Križ u zgrebčkom Sigetu, s nslovniceovogbroj, svkogće mtemtičr socirti uprvo n tu formulu Ako je f neprekinut funkcij, definirn n intervlu,b, td postoji brem jedn točk ξ,b z koju je f (x)dx =(b )f (ξ) Više će nm od formlnog dokz ove tvrdnje pomoći sličic: Površin ispod grf funkcije f jednk je površini prvokutnik kojemu je jedn strnic intervl, b duljin druge jedn-, 000 7

2 k vrijednosti funkcije f (ξ) unekojtočki ξ tog intervl Kd bismo znli odrediti točku ξ, problem integrcije funkcije f biobivrlojednostvn To, dkko, općenito nije moguće nčiniti Integrlne sume Podijelimo intervl,b n n dijelov, točkm = x 0 < x < < x n = b N svkom od njih odberimo ξ i x i,x i Tko ćemo dobiti približnu formulu z rčunnje integrl: f (x)dx n f (ξ i )(x i x i ) i= Podintervle možemo odbrti tko d imju jednku duljinu Nek je h n =(b )/n i x i x i = h n z svki i Ond dobivmo: f (x)dx h n f (ξ )++ f (ξ n ) Ako je f integrbiln, ond osnovni teorem integrlnog rčun govori d će se smnjivnjem duljine h n sum s desne strne približvti stvrnoj vrijednosti integrl Kd bismo znli dobro odbrti brojeve ξ i (npr one iz teorem srednje vrijednosti z svki od podintervl x i,x i ), td bi sum s desne strne dl točnu vrijednost integrl Nžlost, općenito ne postoji lgoritm z odre - divnje tkvih brojev ξ i (niti g se može pronći) Zto se opredjeljujemo d unprijed odredimo te brojeve, n jedn od sljedećih nčin: Stvimo li ξ i = x i, time birmo lijevi krj intervl idobivmo tzv lijevu sumu koju ćemo oznčiti s L n f (x)dx L n := h n y y n Odberemo li ξ i = x i, time birmo desni krj intervl i dobivmo tzv desnu sumu koju ćemo oznčiti s D n f (x)dx D n := h n y + + y n Odberemo li ξ i = x i = (x i + x i ), time birmo polovište intervl i dobivmo tzv srednju sumu koju ćemo oznčiti s P n f (x)dx P n := h n y + + y n Koj je od ovih formul bolj? O tome ne možemo općenito ništ reći Ipk, slike pokzujud će z rstuće funkcije lijev sum predstvljti donju me - du, desn sum gornju me - du z trženi integrl, dok će srednj sum bolje proksimirti integrl Slično će vrijediti i z pdjuću funkciju 8, 000

3 Primjer Nek nm z primjer posluži funkcij f (x) = x 4 +,promtrnn intervlu 0, Površin ispod grf te funkcije jednk je x 4 dx = (sve su znmenke točne) Rčun nije jednostvn Što će dti gore nvedene formule? Rčunt ćemo z n = 5in = 0: x i f (x i ) x i f (x i ) Tko dobivmo L 5 = 096, D 5 = 086, P 5 = Funkcij je pdjuć, p je L 5 gornj, D 5 donj ogrd z integrl Možemo zto pokušti z bolju vrijednost integrl uzeti njihovu ritmetičku sredinu! Stvimo T 5 = L 5 + D 5 = 0866 Općenitoće biti T n = (L n + D n ) = h n (y y n )+(y + + y n ) y0 = h n + y + + y n + y n Dobili smo pozntu trpeznu formulu I sljedećsličicpredstvljgrfičkuinterpretciju trpezne formule: Poprvljnje trpezne formule Prilikom primjene trpezne formule njteže je odgovoriti n pitnje: koliko se dobiveni rezultt rzlikuje od točne vrijednosti? Dkko d postoje ocjene z pogrešku integrcije, li one su složenei ne bismo htjeli procjenu rditi n tj nčin U prksi je mnogo korisniji sljedeći postupk: nkon što smo izrčunli trpeznom formulom vrijednostintegrl,povećmobrojtočk iizrčunmo ponovo isti integrl Ako se dobivene vrijednosti ne rzlikuju mnogo, td smo blizu točnog rezultt Imlismislpovećti broj točk s 5 n, recimo, 6? Ne! U tom bismo slučju morli ponovo rčunti vrijednost funkcije u svih 6 točk Umjesto tog, mi ćemo broj točk udvostručiti Tkoće se u novoj podjeli nći isvestretočke! Moći ćemo iskoristiti već prije izrčunte rezultte, novi će rezultt imti većutočnost Povećmoli broj čvorov z dvostruko, vrijedit će formul: T n = T n + P n Tko u gornjem primjeru dobivmo T 0 = T 5 + P 5 = Pogrešk je mnj od 0%, 000 9

4 Simpsonov formul Kd rčunmo trpeznom formulom, grffunkcijezmjenjujemoodsječcimprvc Pokušmo li zmijeniti grf funkcije ne dijelovim prvc već prbole, očekujemo d ćemo dobiti precizniju formulu Nek su zdne vrijednosti funkcije y 0, y n krjevim intervl duljine h,tey u sredini tog intervl Kolik je površinispodluk prbole koj prolzi tim točkm? Površin ispod grf ove funkcije je: h ydx= h y 0 + 4y + y h Podijelimo sd intervl, b n n dijelov (n je prn broj) Stvimo h n =(b )/n N svk susjedn dv dijel zmijenimo integrl ovom formulom Dobit ćemo Simpsonovu formulu S n = h n y 0 + 4(y + + y n ) + (y + + y n )+y n Još komplicirnije formule Možemo pretpostviti d se rdi o intervlu h, h, jer izbor intervl ne mijenj iznos površine Polinom drugog stupnj f (x) =x + bx + c čiji grf prolzi točkm ( h,y 0 ), (0,y ), (h,y ) nziv se interpolcijski polinom Njegovu jedndžbu možemo odrediti i elementrnim rčunom: Odvde slijedi h bh + c = y 0, c = y, h + bh + c = y = h (y 0 y + y ), b = h (y y 0 ), c = y p je tržen jedndžb y = h (y 0 y +y )x + h (y y 0 )x+y Ako umjesto prbole koristimo polinome višeg stupnj, dobit ćemo još točnije i, dkko, još komplicirnije formule Tko n primjer, podijelimo li intervl n tri dijel, ond se kroz četiri točke može provući točno jedn polinom trećeg stupnj Njegovu jedndžbunećemo odredivti, - niti integrirti Zvršn formul glsi: I = h y 0 + y + y + y Z ns će interesntn slučj biti uzmemo li polinom četvrtog stupnj! Intervl je potrebno podijeliti n četiri jednk dijel Nek je h 4 =(b )/4, y 0,,y 4 vrijednosti funkcije u djelišnim točkm Td dobivmo sljedeću Newtonovu formulu: 7y 0 + y + y + y + 7y 4 I = h 4 45 On će svkko dti bolje rezultte Ali, im li smisl pmtiti formule s tko groznim koeficijentim? Nem! Pokzt ćemo d je dovoljno poznvti smo trpeznu formulu, jer se ove složenije formule mogu dobiti iz nje jednostvnim postupkom! 0, 000

5 Od trpezne formule prem složenijim Kko rčunti? Podijelimo intervl, b n četiri dijel, stvimo h = h 4 =(b )/4 Prve dvije formule z dv i četiri čvor glse ovko: T = h y 0 + y + y 4 = hy 0 + y + y 4, T 4 = h y 0 + y + y + y + y 4 Izrčunjmo sd izrz: 4T 4 T = h y 0 + y + y + y + y 4 h y 0 + y + y 4 = h y 0 + 4y + y + 4y + y 4 Dobili smo Simpsonovu formulu! Iz trpezne formule, uvijek možemoizvesti Sipmsonovu, prem općenitoj formuli: S n = 4 T n T n ipremjošsloženijim Izrčunjmo sd 6S 4 S = 6h y 0 + 4y + y + 4y + y h y 0 + 4y + y 4 45 = h 7y 0 + y + y + y + 7y 4 45 Dobili smo Newtonovu formulu! Općenitoće biti N n = 6 S n S n 5 Sljedeći je postupk vrlo prktičn: Podijelimo intervl n 8 dijelov Ztim rčunmo redom (i zpisujemo rezultte) T = b T 4 = T + P = T + b 4 T 8 = T 4 + P 4 = T 4 + b 8 y 0 + y 4 + y 8 y + y 6 y + y + y 5 + y 7 S 4 = 4T 4 T, S 8 = 4T 8 T 4 N 8 = 5 6S 8 S 4 Rezultte zpisujemo u obliku tblice: T T 4 T 8 S 4 S 8 N 8 Z približnu vrijednost integrl uzim se broj N 8 Ovj se nčin rčunnj nziv Rombergov lgoritm On dje njbolji nčin z numeričko integrirnje funkcije Gornj se tblic može i poopćiti Možemo krenuti od nekog drugog broj n većeg od : T n T n T 4n S n S 4n N 4n Pri ručnom rčunu posebno je pogodno uzeti n = 5 Korisno je u rčunnju koristiti džepnorčunlo koje može pmtiti oblik funkcije, tko d se njezin vrijednost može dobiti pritiskom n jednu tipku Dkko d svi ovi lgoritmi postju neusporedivo efiksniji ko se rbi rčunlo Formule su vrlo jednostvne nrvi i lko je npisti progrm z njihovo korištenje, 000

6 Primjer Izrčunjmo površinu koju od hiperbole x y = odsijec okomit tetiv koj prolzi njezinim žrištem ćemo prbolu dobiti i zrcljenjem oko prvc y = x Zto se njezin jedndžb dobiv tko d se zmijene imen vrijblm: y x = = y = x + je Os pscis prepolvlj tu površinu Zto P = (x ) dx Točnvrijednostovogintegrl dde se odrediti, li metode integrirnj izlze izvn okvir koji se uči u srednjoj školi: I = (x ) dx = r c h x = chu dx = sh udu = sh udu 0 r c h = sht t 0 = rch = (neki korci u rčunu su preskočeni) Pokušjmo rčunti prem gornjem lgoritmu, z n =, 4, 8 Zpist ćemo smo brojeve u zvršnoj tblici: Pogrešk u rčunu je smo 04% Trpeznformul možeučiniti i bolje! Zmislimo istu hiperbolu zrotirnu z 90 Ond su joj žrišt n y-osi Zprvo, tu Izrčunjmo površinu ispod grf ove funkcije, nd intervlom 0, Dobivenibroj mormo oduzetiod 6,d dobijemo vrijednost koju smo rčunli u gornjem primjeru: Dobivmo: = 85948, rezultt čij je svk znmenk točn! Integrirnje bez integrirnj Simpsonov formul dje točne rezultte ko je podintegrln funkcij polinom stupnj! Newtonov je točn z polinome stupnj 5 To možemo iskoristiti z rčunnje nekih površin elementrnim metodm Primjer Kolik je površin koju od prbole y = x x + odsijec prvc y = x? Prbol i prvc se sijeku u točkm (, ) i (,) Trebmo izrčunti površinu ispod funkcije f (x)=(x ) (x x + ) = x + 4x, 000

7 nd intervlom, Tujey 0 = f ()=0, y = f ()=, y = f ()=0pjepovršin jednk P = h y 0 + 4y + y = 4 Primjer 4 Koliku površinuztvr grf funkcije y = x(x ) s osi pscis, izme - du njegovih dviju nultočk? Nultočke su 0 i, vrijednosti funkcije y 0 = f (0) =0, y = f () =, y = f ()=0 Ponovo dobivmo P = h y 0 + 4y + y = 4 Primjer 5 Volumen bčve Bčv je rotcijsko tijelo čiji se volumen dobiv formulom h V = π y (x)dx h Ovdje je y(x) nepoznt funkcij koj opisuje oblik dužice bčve Z tu funkciju znmo smo vrijednosti: y 0 = y( h) =m, y = y(0)=m, y 4 = y(h)=m Pretpostvimo d dužic im oblik kružnog luk! Td je y (x) polinom drugog stupnj Sjetite se jedndžbe krug koji prolzi kroz tri zdne točke Tu jedndžbu nećemo trebti izvoditi! Simpsonov formul dt će točnu vrijednost integrl i bez odredivnj - točnog izrz z funkciju y (x): V = π h m + 4M + m = hπ M + m Pretpostvimo sd d dužic im oblik luk prbole Jedndžb tog luk je y(x)=m M m h x Td je y polinom četvrtog stupnj i Newtonovformuldtćetočnrezulttintegrcije Trebmo izrčunti smo y = y = y( h )= 4 M + 4 m Prem Newtonovoj formuli je (uvžvjući y 0 = y 4 i y = y ): V = hπ 4y y + y = hπ 8M + 4Mm+ m 5 Ukojubčvustneviše? Lkose dobiv V V = 4πh 5 (M m) Dkle, u kružnu bčvu uvijek stne više vin Z odredivnje - kvlitete smog vin niti trpezn formul neće pomoći, tu treb ipk koristiti trdicionlne metode, 000

Σχετικά έγγραφα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine