LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 1. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

KAZALO 1 ŠTEVILA... 1 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA... 1 1.1.1 Naravna števila... 1 1.1.2 Naravna števila VAJE... 2 1.1.3 Cela števila... 2 1.1.4 Cela števila VAJE... 3 1.1.5 Urejenost celih števil... 3 1.1.6 Urejenost celih števil VAJE... 4 1.1.7 Večkratniki... 4 1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti... 4 1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti VAJE... 4 1.1.10 Algebrski izrazi... 5 1.1.11 Algebrski izrazi VAJE... 6 1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL... 7 1.2.1 Kriteriji deljivosti... 8 1.2.2 Praštevila in sestavljena števila... 8 1.2.3 Osnovni izrek o deljenju... 9 1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik... 9 1.2.5 Deljivost naravnih števil VAJE... 11 1.3 RACIONALNA ŠTEVILA... 11 1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov... 12 1.3.2 Urejenost racionalnih števil... 12 1.3.3 Računske operacije z ulomki... 13 1.3.4 Ulomki vaje... 13 1.3.5 Potence s celimi eksponenti... 16 1.3.6 Potence s celimi eksponenti VAJE... 16 1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil... 16 1.3.8 Periodična decimalna števila... 17 1.3.9 Decimalna števila VAJE... 18 1.3.10 Sklepni račun... 18 i

1.3.11 Sklepni račun VAJE... 19 1.3.12 Procentni račun... 19 1.3.13 Procentni račun VAJE... 20 1.4 REALNA ŠTEVILA... 20 1.4.1 Kvadratni in kubični koren... 20 1.4.2 Kvadratni in kubični koren VAJE... 22 1.4.3 Interval... 22 1.4.4 Interval VAJE... 23 1.4.5 Absolutna vrednost... 23 1.4.6 Absolutna vrednost VAJE... 24 1.4.7 Približki in napake... 24 1.4.8 Zaokroževanje VAJE... 25 1.4.9 Koreni višjih stopenj... 25 1.4.10 Koreni višjih stopenj VAJE... 26 1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti... 26 1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE... 27 2 GEOMETRIJA V RAVNINI... 27 2.1 OSNOVNI POJMI... 27 2.1.1 Osnovni pojmi VAJE... 30 2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV... 31 2.2.1 Merjenje kotov VAJE... 32 2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST... 32 2.3.1 Toge preslikave... 33 2.3.2 Vaje... 34 2.4 GEOMETRIJSKI LIKI... 34 2.4.1 Trikotnik... 34 2.4.2 Trikotnik VAJE... 35 2.4.3 Krog in krožnica... 36 2.4.4 Krog in krožnica VAJE... 37 2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik... 37 2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik VAJE... 39 2.5 Podobnost... 40 ii

2.5.1 Podobnost VAJE... 41 2.6 Kotne funkcije ostrih kotov... 41 2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov VAJE... 43 2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI... 44 2.7.1 Ploščina in obseg... 44 2.7.2 Ploščina in obseg VAJE... 46 2.7.3 Razreševanje trikotnika... 48 2.7.4 Razreševanje trikotnika VAJE... 48 2.7.5 Krog... 49 2.7.6 Krog VAJE... 49 3 FUNKCIJE IN ENAČBE... 50 3.1 Pravokotni koordinatni sistem... 50 3.1.1 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini... 50 3.1.2 Pravokotni koordinatni sistem v ravnini VAJE... 51 3.1.3 Razdalja med dvema točkama v ravnini... 51 3.1.4 Razdalja med točkama VAJE... 52 3.1.5 Obseg in ploščina trikotnika v koordinatnem sistemu... 52 3.1.6 Obseg in ploščina trikotnika VAJE... 52 3.2 Realna funkcija... 53 3.2.1 Graf funkcije... 54 3.2.2 Lastnosti funkcij... 54 3.2.3 Lastnosti funkcij VAJE... 56 3.3 LINEARNA FUNKCIJA IN LINEARNA ENAČBA... 58 3.3.1 Linearna funkcija... 58 3.3.2 Enačba premice v ravnini... 59 3.3.3 Linearna funkcija VAJE... 59 3.3.4 Linearna enačba... 60 3.3.5 Linearna enačba VAJE... 61 3.3.6 Linearna neenačba... 61 3.3.7 Linearna neenačba VAJE... 61 3.3.8 Sistem linearnih enačb... 62 3.3.9 Sistem linearnih enačb - VAJE... 63 iii

3.4 Potenčna funkcija... 63 3.4.1 Premiki in raztegi funkcij... 65 3.4.2 Potenčna funkcija VAJE... 66 3.5 Kvadratna funkcija... 66 3.5.1 Ničle kvadratne funkcije... 67 3.5.2 Graf kvadratne funkcije... 67 3.5.3 Kvadratna funkcija VAJE... 68 3.5.4 Kvadratna enačba... 69 3.5.5 Kvadratna enačba VAJE... 69 3.5.6 Kvadratna neenačba... 69 3.5.7 Kvadratna neenačba VAJE... 69 iv

ŠTEVILA 1 ŠTEVILA 1.1 NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1.1.1 Naravna števila 1. Naravna števila so števila, s katerimi štejemo = {1, 2, 3, 4, } 2. Najmanjše naravno število je 1. 3. Vsako naravno število n ima natanko enega naslednika n+1, zato največjega naravnega števila ni. 4. Številska premica Naravna števila ponazorimo geometrijsko s premico p na kateri izberemo točko O, ki jo imenujemo izhodišče. Desno od točke O izberemo točko E, ki predstavlja število 1. Razdalja med točkama O in E predstavlja enoto. Z nanašanjem daljice OE v desno dobimo slike naravnih števil. 5. V množici naravnih števil sta definirani operaciji seštevanje in množenje. 6. Računski zakoni Zakon o zamenjavi členov (komutativnost seštevanje) Zakon o zamenjavi faktorjev (komutativnost množenja) Zakon o poljubnem združevanju členov (asociativnost seštevanja) Zakon o poljubnem združevanju faktorjev (asociativnost množenja) Zakon o razčlenjevanju (distributivnost) Obstaja nevtralni element za množenje a + b = b + a a b = b a ( a + b) + c = a + ( b + c ) ( a b) c = a ( b c ) a ( b + c ) = a b + a c 1 = 1 = 7. Reševanje številskih izrazov: a. Izraze rešujemo od leve proti desni, pri čemer najprej množimo, potem seštevamo, razen če oklepaji ne narekujejo drugače. b. Če imamo izraz z oklepaji, najprej razrešimo notranje oklepaje. 1

ŠTEVILA 1.1.2 Naravna števila VAJE 1. Izračunaj a. 2 + 3 4 + 5 = b. 2 3 + 4 5 = c. (2 + 3) 4 + 5 = 2. Izračunaj a. (3 + 4) 7 + 2 (5 + 1) = b. (8 + (2 3+1) 4) 10 = c. (3 5 + 1) + (4 + 2 3) + 5 6 + 7 8 = d. (5 3 + 4 + 1) 6 + 10 10 = e. 2 + (3 + 7 2) 5 + 1 6 4 = d. 2(3 + 4 5) = e. (5 + 1)(2 + 3) = 1.1.3 Cela števila 1. Množico celih števil dobimo tako, da naravnim številom dodamo število 0 in nasprotne vrednosti naravnih števil. = {, -2, -1, 0, 1, 2, } = - 0 + + = 2. Računske operacije v množici celih števil: seštevanje, množenje in odštevanje. 3. Računski zakoni Veljajo vsi računski zakoni, ki veljajo za računanje z naravnimi števili. Obstaja nevtralni element za seštevanje + 0 = 0 + = Vsakemu celemu številu a pripada celo število a, tako da velja + ( ) = 0 Število a imenujemo nasprotno število števila a. 4. Absolutna vrednost celega števila Absolutna vrednost števila a pomeni oddaljenost števila a od izhodišča. Absolutna vrednost števila je pozitivno število ali pa število 0. Absolutno vrednost števila a označimo z. 4 = 4 4 = 4 5. Računanje s celimi števili: Seštevanje če imata seštevanca različna predznaka, odštejemo manjšo absolutno vrednost od večje absolutne vrednosti in rezultat opremimo s predznakom seštevanca, ki ima večjo absolutno vrednost 3 + ( 7) = 4 2

ŠTEVILA ( 3) + 7 = 4 če imata seštevanca enaka predznaka, predznak prepišemo, absolutni vrednosti števil pa seštejemo ( 3) + ( 7) = 10 3 + 7 = 10 Odštevanje: Odšteti neko število je enako kot prišteto njegovo nasprotno vrednost. = + ( ) 3 7 = 3 + ( 7) Množenje: če je število negativnih faktorjev sodo, je produkt pozitivno število če je število negativnih faktorjev liho, je produkt negativno število (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + (+) (+) = + 1.1.4 Cela števila VAJE 1. Izračunaj a. ( 5) + ( 2) ( 4) (+7) = b. (+5) + ( 8) + ( 6) + (+4) = c. 2( 5) 4( 3) + ( 3)(+7) = d. ( 3) + (+7)( 5) + ( 2) = e. 3 + 5 (4 + 3 2)(1 3) = f. ( 7) ( 5)(+6) (+3)( 4)(4 6) = g. 4( 5) + 6 ( 3)( 1) 9( 5) (9 10) = 1.1.5 Urejenost celih števil Številska množica je urejena, če lahko po velikosti primerjamo poljubna dva elementa. Za poljubni celi števili a in b velja natanko ena od možnosti: a > b (a je večji od b) a < b (a je manjši od b) a = b 3

ŠTEVILA 1.1.6 Urejenost celih števil VAJE 1. Števila 3, -2, 5, -1, 0, -7, 6, -6 uredi po velikosti. 2. Nariši števila na številsko premico in jih uredi po velikosti. a. 5, -2, 1, 0, -4, 3 b. 4, -4, 3, -3, 2, -2 1.1.7 Večkratniki Naj bo a celo število. Če seštejemo k takih števil, dobimo spet celo število, ki ga imenujemo večkratnik števila a. + + + + = 1.1.8 Potence z naravnimi eksponenti Krajši zapis produkta n enakih faktorjev = imenujemo potenca in preberemo a na n. Številu a pravimo osnova, številu n pa eksponent. Pravila za računanje s potencami 1. Množenje potenc z enako osnovo Dve potenci z enakima osnovama zmnožimo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa seštejemo = 2. Potenciranje produkta Produkt dveh ali več števil potenciramo tako, da potenciramo posamezne faktorje ( ) = 3. Potenciranje potenc Potenco potenciramo tako, da osnovo ohranimo, eksponenta pa zmnožimo ( ) = 4. Negativna osnova ( ) = ( ) = 1.1.9 Potence z naravnimi eksponenti VAJE 1. Izračunaj a. ( 3) + (9 ( 2) + 4) 3 6 ( 2) + 2 13 = b. 2 3 5 2 + 10 = 4

ŠTEVILA 2. Poenostavi a. = b. 4 3 = c. ( 2) (+7 ) = d. 3 5 = e. 5 6 = f. 4 ( 7 ) = g. ( ) ( ) ( ) = h. ( ) ( ) = i. ( 3 ) = j. (3 ) ( 2 ) = 1.1.10 Algebrski izrazi Številski izraz je smiselni računski zapis števil, računskih operacij in oklepajev. Algebrski izraz je oznaka za računski izraz, v katerem nastopajo tudi spremenljivke. Številski izraz Algebrski izraz Ime 3 + 4 + + vsota 5 1 razlika 3 4 produkt 2 potenca Izraze poimenujemo tudi po številu členov, ki jih sestavljajo Ime enočlenik dvočlenik tričlenik Algebrski izraz 2 + + Računanje z izrazi je v glavnem dveh vrst: 1. Razširjanje izrazov: računanje potenc dvočlenikov ali veččlenikov, računanje vrednosti izraza, 2. Poenostavljanje izrazov: faktorizacija (zapis izraza kot produkt več faktorjev), Vietovo pravilo, izpostavljanje skupnega faktorja, Kvadrat dvočlenika Kvadrat dvočlenika je tričlenik, ki ga sestavljajo: kvadrat prvega člena, dvakratni produkt prvega in drugega člena in kvadrat drugega člena. ( ± ) = ± 2 + 5

ŠTEVILA Kub dvočlenika Kub dvočlenika je štiričlenik, ki ga sestavljajo: kub prvega člena, trikratni produkt kvadrata prvega člena in drugega člena, trikatni produkt prvega člena in kvadrata drugega člena in kub drugega člena. ( + ) = + 3 + 3 + ( ) = 3 + 3 Produkt vsote in razlike istih dveh členov ( + )( ) = Razcep razlike dveh kvadratov = ( + )( ) Razcep vsote in razlike dveh kubov + = ( + )( + ) = ( )( + + ) Izpostavljanje skupnega faktorja Po distributivnostnem zakonu lahko v veččleniku izpostavimo skupni faktor, ki je lahko tudi algebrski izraz. 2 + 4 = 2( + 2) Viètovo pravilo Pravilo za razcep kvadratnega tričlenika z vodilnim koeficientom 1. + + = ( + )( + ); č + = = 1.1.11 Algebrski izrazi VAJE 1. Kvadriraj a. ( + 3) = b. ( 3) = 2. Kubiraj a. ( + 1) = b. ( 2) = 3. Zmnoži izraze a. ( + 2)( 2) = b. ( + 3)( 3) = c. (2 7)(2 + 7) = d. (5 + 1)(5 1) = e. ( + 1)( + 1) = c. (2 + 5) = d. (3 2) = c. (2 + 1) = d. (2 5) = f. ( + 3)( + 5) = g. ( 7)( + 4) = h. ( 10)( 3) = i. ( + 7)( + 4) = j. ( + )( 3) = 6

ŠTEVILA 4. Izpostavi skupni faktor a. 5 10 = b. 2 4 = c. + = d. 4 + 6 = 5. Razstavi izraze a. 2 18 = b. 3 108 = c. + 8 + 12 = d. 3 10 = 6. Razstavi a. + + 3 + 3 = b. + 2 2 4 = c. 4 3 + 12 = d. 6 + 6 = e. 2 16 + 30 = 7. Skrči izraze in rezultate razstavi a. ( + 3)( 1) + 2( 4)( + 4) 2 = b. (2 5) (3 4)(3 + 4) + 6( + 3) 44 = c. (3 5)(3 + 5) (2 3) (12 ) + 10 = e. 4 = f. 10 5 + 10 = g. + = e. + 27 = f. 8 = g. + 2 15 = h. 9 + 20 = f. 3 + 2 = g. + 14 + 13 = h. 8 = i. 27 = j. 4 32 = 1.2 DELJIVOST NARAVNIH ŠTEVIL Naravno število a je delitelj naravnega števila b, če obstaja naravno število k, da velja: = Trditve: Število a je delitelj samega sebe in vseh svojih večkratnikov. 1 je delitelj vsakega naravnega števila. Če d deli naravni števili n in m, n>m, potem d deli tudi vsoto in razliko števil n in m. Če število a deli število b, potem sta števili a in b v relaciji deljivosti. Zapišemo (a deli b) = Lastnosti relacije deljivosti: 1. Je refleksivna, ker je = 1 2. Je antisimetrična če in, potem je = 3. Je tranzitivna če in, potem 7

ŠTEVILA 1.2.1 Kriteriji deljivosti Kriteriji deljivosti so pravila, s katerimi si pomagamo pri ugotavljanju, ali je dano število deljivo z izbranimi števili. 1. Deljivost z 2, 5 in 10 Število je deljivo z 2, če je zadnja števka soda ali 0. Število je deljivo s 5, če je zadnja števka 5 ali 0. Število je deljivo z 10, če je zadnja števka 0. 2. Deljivost s 3 in 9 Število je deljivo s 3 oz. z 9, če je vsota njegovih števk deljiva s 3 oz. 9. 3. Deljivost s 6 Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in s 3. 4. Deljivost z 10 Število je deljivo z 10, če je zadnjih n mest enakih 0. 1.2.2 Praštevila in sestavljena števila Vsa naravna števila lahko, glede na število deliteljev, razdelimo na 3 skupine: 1. V prvi skupini je samo število 1, ki ima samo enega delitelja samega sebe. 2. V drugi skupini so števila, ki imajo natanko dva delitelja: 1 in samega sebe. To so praštevila. 3. V tretji skupini so števila, ki imajo več kot dva delitelja. To so sestavljena števila. Osnovni izrek aritmetike: Vsako naravno število lahko na en sam način zapišemo kot produkt potenc s praštevilskimi osnovami. Primer: Razstavimo število 2520 na prafaktorje 2520 2 1260 2 630 2 315 3 105 3 35 5 7 7 1 2520 = 2 3 5 7 8

ŠTEVILA 1.2.3 Osnovni izrek o deljenju Za poljubni naravni števili a in b (a večji ali enak b) obstajata natanko določeni števili k in r iz 0, da velja = + 0 < Število a je deljenec, število b je delitelj, število k je količnik in število r je ostanek, ki je manjši od delitelja b ali je enak 0. Če je ostanek enak 0, potem je število a večkratnik števila b. Primer: Delimo število 23 s 7. 23 = 3 7 + 2 Količnik je 3 in ostanek je 2. 1.2.4 Največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik Skupni delitelj dveh števil a in b je število d, ki deli obe števili. Dve števili imata vsaj en skupni delitelj 1. Največji skupni delitelj števil a in b je največje število od tistih, ki delijo števili a in b. Označimo ga z D(a,b). Primer: Delitelji števila 8: {1, 2, 4, 8} Delitelji števila 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12} Skupni delitelji obeh števil: {1, 2, 4} Največji skupni delitelj D(8, 12) = 4 Najmanjši skupni večkratnik števil a in b je najmanjše število od tistih, ki so deljiva s številoma a in b. Označimo ga z v(a,b). Primer: Večkratniki števila 8: {8, 16, 24, 31, 40, 48, 56, } Večkratniki števila 6: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, } Skupni večkratniki obeh števil: {24, 48, } Najmanjši skupni večkratnik v(6, 8) = 24 Iskanje D(a, b): 1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil 2. Poiščemo tista praštevila, ki so v obeh številih, za eksponent vzamemo najmanjšega od eksponentov tega praštevila 3. Produkt teh praštevil je največji skupni delitelj 9

ŠTEVILA Iskanje v(a, b): 1. Števili a in b zapišemo kot produkt praštevil 2. Za vsako praštevilo, ki se pojavi v številu a ali b, poiščemo največji eksponent 3. Produkt teh praštevil je najmanjši skupni večkratnik Primer Poiščimo največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik števil 240 in 186. 240 2 186 2 120 2 93 3 60 2 31 31 30 2 1 15 3 5 5 1 240 = 2 3 5 186 = 2 3 31 (240, 186) = 2 3 = 6 (240, 186) = 2 3 5 31 = 7440 Evklidov algoritem Je računski postopek, s katerim določimo največji skupni delitelj dveh števil. Uporabimo ga tedaj, ko sta števili a in b veliki ali pa ju ne znamo razcepiti na prafaktorje. Temelji na osnovnem izreku o deljenju. Poiščimo največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 z Evklidovim algoritmom. Večje število delimo z manjšim. 6300 = 3 1815 + 855 Uporabimo osnovni izrek o deljenju. Prejšnji delitelj delimo z ostankom 1815 = 2 855 + 105 Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 855 = 8 105 + 15 Ponovimo postopek iz prejšnje vrstice 105 = 7 15 + 0 Evklidov algoritem se zaključi, ko dobimo ostanek 0. Največji skupni delitelj števil 6300 in 1815 je zadnji od 0 različni ostanek. (6300, 1815) = 15 Pravilo Produkt najmanjšega skupnega večkratnika in največjega skupnega delitelja dveh števil je enak produktu obeh števil. (, ) (, ) = 10

ŠTEVILA 1.2.5 Deljivost naravnih števil VAJE 1. Za števila 24, 45, 65, 84, 120, 158, 252, 360, 765, 928, 4781 ugotovi ali so deljiva s katerim od števil 2, 3, 5, 6, 9 ali 10. 2. Zapiši števko a tako, da bo število 124a79 deljivo z 9. 3. Ugotovi za kateri števki a je število 3676a deljivo s 6. 4. Razstavi števila na prafaktorje a. 72 b. 96 c. 116 d. 147 e. 180 f. 765 g. 828 h. 1485 5. Števila 15, 21, 37, 64, 95 deli s številom 5. Zapiši račune v obliki osnovnega izreka o deljenju naravnih števil. 6. Poišči prvih osem skupnih deliteljev števil 180 in 450. 7. Poišči največji skupni delitelj parov števil a. 15, 24 b. 36, 56 8. Poišči najmanjši skupni večkratnik parov števil a. 6, 16 b. 20, 33 c. 136, 204 d. 1242, 1224 c. 48, 84 d. 124, 174 9. Z Evklidovim algoritmom poišči največji skupni delitelj naslednjih parov števil a. 96, 78 c. 357, 453 b. 237, 431 10. Za dane pare števil poišči največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik a. 76, 44 b. 153, 68 c. 369, 551 d. 4350, 9450 11. Zapiši največji skupni delitelj in najmanjši skupni večkratnik izrazov a. 4, 6 b. 9, 6 + 9 1.3 RACIONALNA ŠTEVILA c. 8, + 6 d. 2 4, 8 Pri deljenju dveh celih števil rezultat ni vedno celo število. Cela števila bomo dopolnili z ulomki. a števec, b imenovalec Deljenje z 0 nima pomena zato imenovalec ne sme biti enak 0. Racionalna števila so števila, ki jih lahko zapišemo v obliki ulomka, pri čemer sta a in b poljubni celi števili ( 0). Množico racionalnih števil označimo s črko. 11

ŠTEVILA = ;,, 0 Nasprotna vrednost ulomka je ulomek. Vsota danega in njemu nasprotnega ulomka je enaka 0. + = 0 Obratna vrednost ulomka je ulomek, katerega števec in imenovalec sta med seboj zamenjana. = ; 0 Vrednost ulomka je enaka nič, če je števec enak nič: 0 = 0 1.3.1 Razširjanje in krajšanje ulomkov Ulomek razširimo tako, da števec in imenovalec pomnožimo z istim neničelnim številom. Pri tem se vrednost ulomka ne spremeni. 1 3 = 1 2 3 2 = 2 6 Ulomek krajšamo tako, da števec in imenovalec delimo z istim neničelnim številom. Pri tem se vrednost ulomka ne spremeni. 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 Če je negativen samo števec ali samo imenovalec, je celoten ulomek negativen. Če sta negativna števec in imenovalec, je celoten ulomek pozitiven. 1.3.2 Urejenost racionalnih števil Racionalna števila lahko ponazorimo na številski premici. Vsakemu racionalnemu številu pripada natanko ena točka na številski premici. Slike pozitivnih ulomkov ležijo desno, slike negativnih ulomkov pa levo od koordinatnega izhodišča. Pri dveh ulomkih in imamo tri možnosti: 1. prvi ulomek je večji od drugega > 12

ŠTEVILA 2. drugi ulomek je večji od prvega < 3. ulomka sta enaka = Ulomka in sta enaka, če velja = Kako uredimo ulomke po velikosti? 1. razširimo ulomke na skupni imenovalec 2. primerjamo števce razširjenih ulomkov 1.3.3 Računske operacije z ulomki Seštevanje in odštevanje ulomkov Vsoto oziroma razliko ulomkov dobimo tako, da ulomke razširimo na skupni imenovalec (to je najmanjši skupni večkratnik) in seštejemo oziroma odštejemo števce. ± = ± ± = Množenje ulomkov Ulomka množimo tako, da števec pomnožimo s števcem, imenovalec pa z imenovalcem. = Deljenje ulomkov Ulomek delimo z neničelnim ulomkom tako, da ulomek množimo z obratno vrednostjo ulomka. : = = = Dvojni ulomek: = : = = 1.3.4 Ulomki vaje 1. Številom,, 3,, 2 poišči nasprotna števila. 2. Ulomka in predstavi s točkama na številski premici. 13

ŠTEVILA 3. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec: a., b.,, 4. Ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec a., c.,,, 3 c., b., d.,, 5. Spodnje ulomke razširi na najmanjši skupni imenovalec a., c. b., 6. Dane ulomke zapiši z okrajšanimi ulomki a. b. 7. Okrajšaj ulomke a. b. c. 8. Okrajšaj ulomke a. b. c. 9. Ali so dani ulomki enaki? a., b., 10. Uredi po velikosti števila a.,, 11. Izračunaj a. + = b. + = c. = d. 5 + 2 = e. 3 1 = f. + = d. c. d.,,, 2 d. e. f. d. e. f. c., d., b. 5,,,,, 6, g. = h. 2 + 4 2 = i. j. + = + = k. + = 14

ŠTEVILA 12. Izračunaj a. + = b. + = c. + = d. + = e. + = f. + + = g. = h. i. 13. Izračunaj + = + = a. = b. = c. = d. ( 8) = e. = f. = 14. Izračunaj a. 15. Izračunaj a. : = b. 8: = = c. 4 : 7 = d. : = 16. Dan je izraz +. a. Poenostavi izraz. b. Za = 4 izračunaj vrednost izraza. c. Ali ima izraz za = 3 in za = 3 smisel? 17. Izračunaj a. b. c. 2 = : : = + = j. k. l. = + + = m. + = n. + o. p. q. = = + g. = h. = i. = = j. 7 b. = = + = e. : = f. : = g. : = h. : = = 15

ŠTEVILA 1.3.5 Potence s celimi eksponenti Potenca z eksponentom 0 = 1; 0 Potenca z negativnim eksponentom = 1 ; 0 Za računanje s potencami veljajo naslednja pravila: enaki osnovi enaka eksponenta množenje = = () deljenje potenciranje = ( ) = = 1.3.6 Potence s celimi eksponenti VAJE 1. Zapiši kot celo število ali z okrajšanim ulomkom a. 5, 5, 2, 2, 4, 17 b. 10, 10, 10, 10, ( 10), ( 10) 2. Izračunaj a. 2 2 = b. 3 : 3 = c. 5 : 5 = 3. Izračunaj a. = b. : = c. ( ) ( ) = d. ( ) : ( ) = 4. Poenostavi izraze a. (2 ) (2 ) = b. ( ) ( ) ( ) = d. (2 ) = e. ( ) : ( ) = f. (2) (3) = g. (4 ) : (2 ) = c. (5 ): (5 ) = d. ( ) ( ): ( ) = 1.3.7 Decimalni zapis racionalnih števil Desetiški ulomki so tisti številski ulomki, katerih imenovalec lahko razširimo do potence števila 10. Vsak desetiški ulomek se da zapisati v obliki končnega decimalnega števila. 3 5 = 6 10 = 0,6 16

ŠTEVILA Racionalno število, ki je zapisano v decimalni obliki, zapišemo v obliki ulomka tako, da število najprej zapišemo kot desetiški ulomek, nato pa dobljeni ulomek še krajšamo. 17,45 = 17 45 100 = 17 9 20 Računanje z decimalnimi števili 1. seštevanje in odštevanje: decimalna števila napišemo drugo pod drugo, tako da je decimalna vejica pod decimalno vejico, in nato računamo kot običajno. 4, 7 6 + 3, 7 8 5 4, 5 4 5 2. množenje: decimalno število z m decimalkami in decimalno število z n decimalkami pomnožimo tako kot cela števila, v rezultat pa postavimo decimalno vejico tako, da je za njo n+m decimalk. 3,785 4,76 =? 3785 476 = 1801660 3,785 4,76 = 18,01660 = 18,0166 3. deljenje: pri deljenju decimalnih števil pomnožimo deljenec in delitelj s tako potenco števila 10, da postane delitelj celo število. 1,55: 0,625 = = 1550: 625 = 2,48 1.3.8 Periodična decimalna števila Racionalno število ( 0) spremenimo v decimalno število tako, da izračunamo vrednost a : b. Vsi ulomki niso desetiški. Tak ulomek je. Če bi ga hoteli zapisati kot decimalno število, bi morali zapisati neskončno decimalk: 1 3 = 0,3333 Decimalne številke, pri katerih se decimalke ponavljajo, imenujemo periodična decimalna števila. V našem primeru se ponavlja 3, zato je perioda 3. Označimo jo z vodoravno črto nad števko. 17

ŠTEVILA 1 3 = 1, 3 Vsako racionalno število lahko zapišemo kot končno decimalno število ali kot neskončno periodično decimalno število. 1.3.9 Decimalna števila VAJE 1. Zapiši z decimalnim številom a.,, b.,, 2. Zapiši z okrajšanim ulomkom a. 2,5 b. 0,3 c. 1,75 3. Uredi po velikosti 1 8 ; 0,025; 5 22 ; 1 50 ;7 6 4. Izračunaj a. 4,5 12,3 7,33 = b. 1,152: 7,2 + 12,97 = c. 3,8 13,05 0,05 18,12 = 5. Zapiši v decimalnem zapisu ; 0,227; 1,16; 3 20 c.,, d. 0,09 e. 1,375 f. 1,68 a. b. 6. Zapiši z okrajšanim ulomkom a. 2, 3 b. 0, 48 c. 1, 18 7. Izračunaj c. d. d. 0,07 e. 0,013 f. 2,023 a. 0, 3 0,4 = b. 0,2 0,83 1,75: = 1.3.10 Sklepni račun Razmerje je primerjanje dveh istovrstnih količin med sabo. Razmerje med številoma a in b zapišemo : (a proti b). Števili a in b sta člena razmerja. Sorazmerje je enakost dveh razmerij. : = : = 18

ŠTEVILA Produkt zunanjih členov sorazmerja je enak produktu njegovih notranjih členov. Premo sorazmerje Dve količini sta premo sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat, tudi druga količina poveča natančno 2-krat, 3-krat Obratno sorazmerje Dve količini sta obratno sorazmerni, če se zaradi povečanja ene količine 2-krat, 3-krat, druga količina natančno 2-krat, 3-krat zmanjša. Naloge, v katerih nastopajo premo in obratno sorazmerne količine, rešujemo s sklepanjem (s sklepnim računom). 1.3.11 Sklepni račun VAJE 1. Izračunaj neznani člen sorazmerja a. : 7 = 3: 5 b. 3: = 6: 5 2. En liter bencina tehta 0,7 kg. Koliko tehta 54 litrov bencina? 3. 20 metrov visoko drevo ima 8 metrov dolgo senco. Kako dolgo senco ima ob istem času mali Žan, ki meri točno 1 m? 4. Pet delavcev naredi v eni uri 1200 izdelkov. Koliko izdelkov naredi v eni uri 20 delavcev? 5. Šest pleskarjev je prebarvalo tovarniško dvorano v 21 urah. V kolikšnem času bi isto delo opravil en sam pleskar? 6. Z zalogo hrane bi 15 ljudi shajalo 32 dni. Koliko časa bi shajalo z isto zalogo hrane 12 ljudi? 1.3.12 Procentni račun Večkrat želimo povedati, kako velik del celote, rečemo ji tudi osnove, pomeni določen delež. To naredimo tako, da izračunamo količnik med deležem in osnovo. Rezultat imenujemo relativni delež. Osnovo označimo z o, delež z d in relativni delež z r. = Relativni delež lahko zapišemo v obliki ulomka, decimalnega zapisa ali odstotka. 1% = 1 100 1 = 1 1000 19

ŠTEVILA Splošen obrazec za procentni račun (s p označimo število procentov): 100 = 1.3.13 Procentni račun VAJE 1. Zapiši z ulomkom: a. 5% b. 7,5% c. 40% 2. Zapiši v procentih: a. b. d. 5 e. 8 3. Od 520 prijavljenih tekmovalcev se jih je 494 udeležilo tekme. Koliko procentov prijavljenih se je udeležilo tekmovanja? Kolikšen procent prijavljenih se tekme ni udeležil? 4. V podjetju je 1 200 zaposlenih. Od tega je 47% moških in 53% žensk. Koliko je zaposlenih žensk in koliko moških? 5. Avtomobil, ki je stal 19 700 se je pocenil za 8,5%. Kolikšna je nova nižja cena avtomobila? c. d. 1.4 REALNA ŠTEVILA Množica realnih števil je množica vseh takih števil, ki se dajo zapisati z neskončnim decimalnim zapisom. Sestavljajo jo racionalna in iracionalna števila. Racionalna števila imajo končen ali neskončen ponavljajoč (periodičen) decimalni zapis, iracionalna števila pa imajo neskončen neponavljajoč (neperiodičen) decimalni zapis in jih ne moremo zapisati v obliki ulomka. Številske množice so povezane tako: 1.4.1 Kvadratni in kubični koren korenski eksponent korenski znak korenjenec Poiskati kvadratni koren danega števila a ( 0) pomeni poiskati tako nenegativno število x, da je =. Poiskati kubični koren danega števila a pomeni poiskati tako število x, da je =. 20

ŠTEVILA Računanje s koreni 1. Seštevanje korenov Seštevamo in odštevamo lahko le korene z istim korenskim eksponentom in istim korenjenencem. + = 2 + = 2 2. Množenje korenov Množimo lahko korene z istim korenskim eksponentom. = = 3. Deljenje korenov Delimo lahko korene z istim korenskim eksponentom. : = = : = = Pri računanju s koreni veljajo tudi naslednja pravila = = = = () = () = = = Delno korenjenje kvadratnega korena Pri delnem korenjenju število razcepimo na produkt dveh faktorjev, od katerih je en faktor popoln kvadrat. Ker lahko ta faktor korenimo, drugega pa ne, pravimo temu delno korenjenje 12 = 3 4 = 3 4 = 23 Racionalizacija imenovalca Racionalizacija imenovalca je postopek s katerim odpravimo koren iz imenovalca ulomka. = = ; 0 21

ŠTEVILA 40 7 40 7 = 7 7 = 407 7 1.4.2 Kvadratni in kubični koren VAJE 1. Izračunaj spodnje korene a. 81 b. 225 c. 10000 d. 2. Poenostavi a. 36 b. 3. Delno koreni a. 8 b. 50 4. Natančno izračunaj e. f. 27 g. 64 h. c. c. 80 a. 20 + 45 b. 32 72 + 398 5. Racionaliziraj a. d. b. c. e. f. 1.4.3 Interval Dani sta dve realni števili a in b tako, da je <. Množico vseh realnih števil med a in b imenujemo interval. Števili a in b sta krajišči intervala. Zaprti interval vključuje poleg vseh števil med a in b tudi obe krajišči, odprti interval je brez krajišč, polodprti oziroma polzaprti interval pa vključuje levo ali desno krajišče. zaprti interval 0 a b, = ; odprti interval 0 a b 22, = ; < <

ŠTEVILA na levo odprti in na desno zaprti interval a b 0 na desno odprti in na levo zaprti interval a b 0, = ; <, = ; < Zapis podmnožic realnih števil s simbolom intervala: = (0, ) = 0, ) = (, 0) = (, 0 = (, ) 1.4.4 Interval VAJE 1. Na številski premici predstavi interval a. 2, 5 c. ( 3,1 b. 0,4) d. ( 2, 2) 2. Množice zapiši z intervali in jih predstavi na številski premici a. ; 2 < < 5 b. ; 2 2 c. ; 3 < 4 d. ; 5 < 0 1.4.5 Absolutna vrednost Geometrijsko pomeni absolutna vrednost števila a njegovo oddaljenost na številski premici od števila 0. Absolutna vrednost števila a je enaka a, če je število a nenegativno, če pa je število a negativno, je enaka : Lastnosti absolutne vrednosti: 1. 0 2. = 0 = 0 3. = 4. = 5. + + ; 0 = ; < 0 Razdalja med številoma a in b na številski premici je enaka. 23

ŠTEVILA 1.4.6 Absolutna vrednost VAJE 1. Izračunaj absolutno vrednost števila a. 4 d. 0 b. 3 e. c. 5 2. Izračunaj a. 3 + 2 b. 11 4 c. 3 4 + 2 d. 8 4 3 e. 3 2 4 3 2 5 f. 3 + 1 2 4 1 17 8 4 9 3. Izračunaj razdaljo med danima številoma na številski premici a. 3, 7 b. 2, 4 c. 5, 2 d. 3, 7 1.4.7 Približki in napake Označimo z a točno vrednost izmerjene količine, z A pa njen približek. Pri merjenju smo storili napako, ki je enaka. Imenujemo jo absolutna napaka. Če z označimo največjo možno vrednost za absolutno napako, potem je točna vrednost omejena z < < + Pogosto nas pri ocenjevanju napak bolj kot velikost napake zanima njeno razmerje s točno vrednostjo. Dobljeno razmerje imenujemo relativna napaka in je enaka. Relativno napako običajno izrazimo v odstotkih. Zaokroževanje Rezultat lahko zaokrožimo na dva načina: na n mest natančno (rezultat je zapisan z n števkami) na n decimalnih mest natančno (za decimalno vejico je n števk) Kako zaokrožujemo? Če je prva odvržena števka 0, 1, 2, 3 ali 4, obdržane števke ostanejo nespremenjene. Če je prva odvržena števka 5, 6, 7, 8 ali 9, zadnjo obdržano števko povečamo za 1. Če je zadnja obdržana števka 9, povečamo za 1 tudi prejšnjo števko. 24

ŠTEVILA 1.4.8 Zaokroževanje VAJE 1. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 3 decimalna mesta natančno a. 2 + 5 b. 6 + 2 c. 3,5 d. 2. Izračunaj s kalkulatorjem in rezultat zaokroži na 4 mesta natančno a. 2 13 b. 3,2 3 2,2 4 1.4.9 Koreni višjih stopenj Število b je n-ti koren iz a natanko takrat, ko je =. = = Za sodi korenski eksponent je korenjenec a lahko le pozitivno realno število. Za lihi korenski eksponent je število a lahko pozitivno ali negativno realno število. Velja: 1 = 1 0 = 0 = = Računanje s koreni 1. Seštevanje korenov + = 2 2. Potenca korena = 3. Krajšanje in razširjanje korenskega in potenčnega eksponenta: = : = : 4. Množenje korenov = 0 0 25

ŠTEVILA 6. Deljenje korenov = 7. Koren korena = 1.4.10 Koreni višjih stopenj VAJE 1. Izračunaj a. 121 b. 81 2. Poenostavi a. b. 3. Poenostavi a. b. c. d. 4. Poenostavi a. 8 b. c. c. 32 d. 64 c. d. e. f. d. 1.4.11 Potence z racionalnimi eksponenti Za poljubno naravno število n, celo število m in nenegativno realno število a je definirana potenca z racionalnim eksponentom = Za računanje s tako definiranimi potencami veljajo enaka pravila kot za računanje s potencami s celimi eksponenti. 26

GEOMETRIJA V RAVNINI 1.4.12 Potence z racionalnimi eksponenti - VAJE 1. Zapiši kot koren a. 17 b. 15 c. 22 2. Zapiši kot potenco a. 31 b. 68 3. Izračunaj a. 169 b. 81 4. Poenostavi a. b. c. d. : 5. Natančno izračunaj a. 3 3 d. e. 7 c. 142 d. 73 c. 8 d. 27 e. : f. g. c. 2 ( ) b. 27 3 + 10 2 2 GEOMETRIJA V RAVNINI 2.1 OSNOVNI POJMI Aksiom je temeljna in nazorna resnica, s katero se vsi strinjamo. Aksiom je resnica, ki je ne dokazujemo, ampak verjamemo, da je pravilna. Izreki so bolj ali manj razumljive trditve, katerih resničnost pa ni očitna. O resničnosti posameznih izrekov se matematik prepriča z natančnim sklepanjem. Definicije so opisi novih pojmov in določenih lastnosti. Definicija je natančen dogovor, o čem govorimo, ko omenimo nek pojem. Osnovni geometrijski pojmi so točka, premica in ravnina. Točko narišemo s krožcem ali križcem in označimo z veliko črko A, B, C, 27

GEOMETRIJA V RAVNINI Premico narišemo z ravno črto, označimo pa z malo črko p, q, s, t, Ravnino narišemo kot paralelogram, ki predstavlja samo del ravnine, označimo pa z velikimi grškimi črkami Φ, Π, Ω, Aksiom: Dve različni točki določata natanko eno premico. Točke,,, ki ležijo na isti premici, so kolinearne, če ne ležijo na isti premico, pa so nekolinearne. Aksiom: Tri nekolinearne točke določajo natanko eno ravnino. Točke,,,,ki ležijo na isti ravnini, so komplanarne, če ne ležijo na isti ravnini, pa so nekomplanarne. Aksiom: Če imata premica in ravnina dve skupni točki, leži vsa premica na tej ravnini. Dve različni premici imata lahko največ eno skupno točko. Premici, ki imata natanko eno skupno točko, se sekata. Skupno točko imenujemo presečišče premic. Premici, ki ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke ali ki sovpadata, sta vzporedni. Premici, ki ne ležita na isti ravnini in nimata nobene skupne točke, sta mimobežni. Ravnina je enolično določena s premico in točko, ki ne leži na tej premici s premicama, ki se sekata z dvema vzporednicama, ki ne sovpadata Ravnini, ki nimata nobene skupne točke ali pa imata vse točke skupne, sta vzporedni. Premica, ki ima z ravnino natanko eno skupno točko, ravnino prebada. Skupno točko imenujemo prebodišče P. Aksiom: Če so tri različne točke kolinearne, ena vedno leži med drugima dvema. 28

GEOMETRIJA V RAVNINI Aksiom: Če sta A in B dve različni točki premice p, potem na premici p ležita vsaj še dve točki C in D, in sicer C leži med A in B, D pa tako, da C leži med A in D. Med dvema različnima točkama premice je neskončno mnogo točk. Za poljubni dve točki A in B je definirana razdalja (, ) med točkama A in B, za katero velja: 1. (, ) 0 2. (, ) = 0 natanko takrat, ko je = 3. (, ) (, ) + (, ) za poljubno točko C (trikotniška neenakost) Če za dve različni točki A, B in točko C velja (, ) = (, ) + (, ), potem točka C leži na premici, ki poteka skozi točki A in B, in sicer med točkama A in B. Množica točk premice, ki ležijo med različnima točkama A in B, vključno z A in B, je daljica AB. Točki A in B sta njeni krajišči. Dolžina daljice je razdalja med točkama A in B. Poljubna točka O razdeli premico na dva poltraka, ki imata točko O za izhodišče. Premica na kateri leži daljica oz. poltrak je nosilka daljice oz. poltraka. Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene za pozitivno število r, je krožnica s središčem S in polmerom (radiem) r. Množica vseh točk, ki so od točke S oddaljene manj ali enako r, je krog s središčem S in polmerom r. Vsaka premica p razdeli ravnino na dve polravnini. Premica p je rob polravnine. Točki A in B ležita na isti polravnini, če daljica AB ne seka roba polravnine. Enostavni lik je množica točk v ravnini, katero omejuje sklenjena krivulja, ki sama sebe ne seka. Množica točk v ravnini je konveksna, če za poljubni točki A in B iz te množice velja, da je daljica AB njena podmnožica. Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata dva kota. Če poltraka ne ležita na isti premici, je eden od kotov konveksen, drugi pa nekonveksen. 29

GEOMETRIJA V RAVNINI Če poltraka ležita na isti premici, vendar na različnih straneh izhodišča, določata dva enaka konveksna iztegnjena kota. Če se poltraka na isti premici pokrivata, določata polni kot ali ničelni kot. Kota, ki imata en skupen krak, presek njunih notranjosti pa je prazen, sta sosedna kota. Sosedna kota, katerih kraka, ki nista skupna, ležita na isti premici, sta sokota. Označevanje kotov (h, ); s poltrakoma h in k, ki določata kot ; s točko A na enem poltraku, vrhom V in točko B na drugem poltraku,,, ; z grškimi črkami Tri nekolinearne točke A, B in C določajo trikotnik ABC. Točke A, B in C so oglišča trikotnika, daljice AB, AC in BC so njegove stranice. Koti,, so notranji koti trikotnika ABC. Sokoti notranjih kotov so zunanji koti trikotnika. γ C b a A α c β B Trikotnik ABC je pozitivno orientiran, če si njegova oglišča sledijo v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če si sledijo v smeri vrtenja urinega kazalca, je negativno orientiran. Točke,, v ravnini, od katerih nobene zaporedne tri ne ležijo na isti premici, določajo n-kotnik. Točke,, so oglišča n-kotnika; daljice, ki povezujejo sosedni oglišči, so stranice n-kotnika; daljice, ki povezujejo dve nesosedni oglišči, pa diagonale n- kotnika. Število diagonal n-kotnika je enako ( 3) 2 Če za vsako nosilko stranice n-kotnika velja, da preostala oglišča ležijo na isti polravnini te nosilke, je n-kotnik konveksen. 2.1.1 Osnovni pojmi VAJE 1. V ravnini nariši tri različne premice p, q in r. Koliko presečišč lahko določajo? Nariši vse različne primere. 30

GEOMETRIJA V RAVNINI 2. Nariši tri nekolinearne točke A, B in C. a. Nariši vse različne daljice, ki jih določajo te točke. Kaj lahko poveš o presekih teh daljic? b. Nariši poltrake, ki imajo eno od danih točk za izhodišče ter potekajo skozi eno od drugih dveh točk. 3. Izračunaj število diagonal 8-kotnika, 13-kotnika in 20-kotnika. 4. Točka A leži med točkama B in C. Kolikšna je razdalja med točkama B in C, če je: a. (, ) = 4cm, (, ) = 8 cm b. (, ) = 3m, (, ) = 7 m 5. Dana je točka A. Nariši množico vseh točk, ki so od točke A oddaljene a. 3 cm b. 2 cm 6. Dana je točka T. Nariši množico vseh točk, ki so od točke T oddaljene za največ c. 3 cm d. 2,7 cm 2.2 SKLADNOST IN MERJENJE KOTOV Dva lika in sta skladna, če lahko lik prenesemo na lik tako, da se popolnoma prekrijeta. Znak za skladnost je. Daljici sta skladni natanko takrat, ko sta enako dolgi. Trikotnika sta skladna, če se ujemata: v vseh treh stranicah v dveh stranicah in kotu med njima v dveh stranicah in kotu, ki leži nasproti daljše os obeh stranic ali v eni stranici in njej priležnih kotih. Orientacija kota je pozitivna, če si kraka sledita v nasprotni smeri vrtenja urinega kazalca, če si sledita v smeri vrtenja urinega kazalca, pa je orientacija negativna. Osnovna enota za merjenje kotov je kotna stopinja. Kot velikosti 1 je 360. del polnega kota. Poznamo še kotno minuto (1 =60') in kotno sekundo (1'=60''). Kota sta skladna natanko takrat, ko sta enako velika. Kot je oster, če je 0 < < 90, in top, če je 90 < < 180. Če je = 90, je pravi kot. 31

GEOMETRIJA V RAVNINI Kota in sta suplementarna, če je njuna vsota 180 : + = 180. Kota in sta komplementarna, če je njuna vsota 90 : + = 90. Sokota sta suplementarna. Kota sta sovršna, če se njuna kraka dopolnjujeta v premico. Sovršna kota sta skladna. Kot med (sekajočima) premicama je manjši izmed kotov, ki jih določata. Naj premica r seka premico p pod kotom, premico q pa pod kotom. Premici p in q sta vzporedni natanko takrat, ko je =. 2.2.1 Merjenje kotov VAJE 1. Dane kote zapiši na minuto natančno a. = 15 13 10 c. = 81 3 31 b. = 47 35 54 2. Kota in sta suplementarna. Koliko meri, če je = a. 80 b. 115 c. 35 25' d. 14 23'37'' 3. Kota in sta komplementarna. Koliko meri, če je = a. 27 b. 28,7 c. 19 16' d. 89 18'' 2.3 VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST Aksiom o vzporednici: Skozi izbrano točko, ki ne leži na premici, lahko tej premici narišemo natanko eno vzporednico. Če vzporednici sekamo s premico, dobimo dve presečišči, ob njiju pa pare kotov z vzporednimi kraki: 1. pari kotov (, ), (, ), (, ), (, ) imajo oba kraka vzporedna v isto smer 2. pari kotov (, ), (, ), (, ), (, ) imajo oba kraka vzporedna v nasprotno smer, imenujemo jih tudi sovršni koti 3. pari kotov (, ), (, ), (, ), (, ) imajo en krak vzporeden v isto smer, drug krak pa vzporeden v nasprotno smer. 32

GEOMETRIJA V RAVNINI p1 ' V ' ' U ' Para kotov z vzporednimi kraki sta ali skladna ali suplementarna. Pravokotnica je premica, ki dano premico seka pod pravim kotom. V ravnini je na dano premico mogoče skozi izbrano točko narisati natanko eno pravokotnico. Pravokotna projekcija točke T na premico p je točka, ki leži na presečišču premice p in pravokotnice skozi točko T na premico p. To je točki T najbližja točka premice p, označimo jo s T'. Razdalja točke T od premice p: (, ) = (, ) =, kjer je T' projekcija točke T na premico p. Pravokotna projekcija daljice AB na premico je daljica A'B' njeni krajišči sta pravokotni projekciji točk A in B. 2.3.1 Toge preslikave Preslikave v ravnini, ki ohranjajo razdalje, so toge preslikave. Toga preslikava preslika lik v skladen lik. Vzporedni premik za dano usmerjeno daljico preslika trikotnik ABC v skladen trikotnik A'B'C'. Orientacija se pri tem ohranja. Vrtenje trikotnika ABC okoli točke O za dani kot. Orientacija trikotnika se ohranja. Zrcaljenje trikotnika ABC čez premico p (orientacija se obrne) in čez točko Z (orientacija se ohrani). Množica je simetrična glede na dano premico, če se pri zrcaljenju čez to premico preslika vase. Tej premici rečemo simetrijska os, somernica ali simetrala. Množica je središčno simetrična, če obstaja točka, čez katero se množica preslika vase. 33

GEOMETRIJA V RAVNINI 2.3.2 Vaje 1. Dana je premica p in na njej točka T. Nariši premico q, ki je pravokotna na premico p in poteka skozi točko T. 2. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je pravokotna na premico p in poteka skozi točko T. 3. Dana je premica p in točka T, ki ne leži na premici. Nariši premico q, ki je vzporedna premici p in poteka skozi točko T. 4. Dana je premica p. Nariši množico točk, ki so od premice p oddaljene a. 2 cm b. 2,5 cm 5. Dan je kot = 60 s krakoma k in h. V kotu določi točko T, ki je od kraka k oddaljena 3 cm, od kraka h pa 2 cm. 6. Izberi dve različni točki A in B. Zavrti točko B okrog dane točke A za kot: a. 180 c. 45 b. 60 7. Nariši premico p in točko A izven premice. Prezrcali točko A čez premico p. 8. Nariši trikotnik s podatki = 5 cm, = 6 cm, = 45. Prezrcali ga čez nosilko stranice c. 9. Nariši simetralo daljice AB z dolžino 6 cm. 10. Konstruiraj kote 60, 90, 45 in 30. 2.4 GEOMETRIJSKI LIKI 2.4.1 Trikotnik C A,, so notranji koti trikotnika ABC, sokoti notranjih kotov trikotnika pa so zunanji koti tega trikotnika. Vsota notranjih kotov trikotnika je 180. Vsota zunanjih kotov trikotnika je 360. Zunanji kot v trikotniku je enak vsoti notranjih nepriležnih kotov. B V trikotniku leži nasproti daljše stranice večji kot in obratno, nasproti večjega kota leži daljša stranica. Vsota dolžin poljubnih dveh stranic trikotnika je večja od dolžine tretje stranice. Višina na stranico trikotnika je daljica, ki povezuje oglišče z nosilko nasprotne stranice in je pravokotna nanjo. Njena dolžina je razdalja oglišča od nasprotne stranice. 34

GEOMETRIJA V RAVNINI Nosilke vseh treh višin na stranice trikotnika se sekajo v eni točki, ki jo imenujemo višinska točka in je ena od znamenitih točk trikotnika. C b V a A c B Težiščnica na stranico v trikotniku je daljica, ki povezuje oglišče z razpoloviščem nasproti ležeče stranice. Težiščnice na vse tri stranice poljubnega trikotnika se sekajo v isti točki, ki se imenuje težišče trikotnika in je ena od znamenitih točk trikotnika. Težišče deli težiščnico v razmerju 2:1. C b a T A c B Trikotnik v katerem sta dve stranici enako dolgi, imenujemo enakokrak trikotnik. Enako dolgi stranici sta kraka, tretja stranica pa je osnovnica. Simetrala kota nasproti osnovnice je hkrati simetrala osnovnice, torej jo razpolavlja pod pravim kotom. 2.4.2 Trikotnik VAJE 1. Izračunaj tretji notranji kot trikotnika a. = 40, = 80 b. = 23 25, = 71 11 2. Izračunaj preostale notranje in zunanje kote trikotnika a. = 50, = 100 b. = 95 20, = 14 15 3. Koliko merijo notranji koti, če so v razmerju 2:7:9? 4. Katera stranica trikotnika ABC je najdaljša, če merita dva izmed njegovih kotov: a. = 42, = 71 b. = 76 45, = 26 31 5. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo višinsko točko a. = 5 cm, = 4 cm, = 45 b. = 3 cm, = 5 cm, = 120 6. Nariši trikotnik z danimi podatki in določi njegovo težišče a. = 5,5 cm, = 6 cm, = 5 cm b. = 4 cm, = 7 cm, = 4 cm 7. Nariši trikotnik s podatki a. = 4,8 cm, = 60, = 45 b. = 5 cm, = 4 cm, = 30 c. = 6 cm, = 5 cm, = 75 d. = 5 cm, = 4 cm, = 60 35

GEOMETRIJA V RAVNINI 2.4.3 Krog in krožnica Krožnica je množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od izbrane točke. Izbrana točka je središče krožnice, razdalja od središča do poljubne točke na krožnici pa polmer ali radij krožnice. s E A D r S t d B F t: tangenta s: sekanta : tetiva : lok točki A in B določata lok in tetivo r: polmer = 2: premer ali diameter E in F: diametralni točki Naj bosta A in B točki na krožnici. Obodni kot nad lokom je kot, ki ima vrh na krožnici, kraka pa gresta skozi točki A in B. Središčni kot nad lokom je kot, katerega vrh je središče krožnice, kraka pa gresta skozi točki A in B. T S S A B A B Nad istim lokom meri obodni kot polovico središčnega kota: = 2 T S A B Vsi obodni koti nad istim lokom so enaki. 36

GEOMETRIJA V RAVNINI Talesov izrek o kotu v polkrogu: Če je osnovnica trikotnika premer kroga in tretje oglišče leži na krožnici, je trikotnik pravokoten. Trikotniku lahko vedno očrtamo in včrtamo krožnico. Središče trikotniku očrtane krožnice je presečišče simetral stranic, središče trikotniku včrtane krožnice pa je presečišče simetral kotov. Obe točki sta znameniti točki trikotnika. C C So Sv A B A B 2.4.4 Krog in krožnica VAJE 1. Koliko meri obodni kot nad lokom, nad katerim meri središčni kot: a. 82 b. 123 32' c. 126 d. 95 17' 2. Obodni kot je za 65 manjši od središčnega kota nad istim lokom. Koliko merita oba kota? 3. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu očrtaj krog a. = 5,5 cm, = 5 cm, = 6 cm b. = 3 cm, = 30, = 120 4. Nariši trikotnik z danimi podatki in mu včrtaj krog a. = 4 cm, = 5 cm, = 45 b. = = 6 cm, = 75 2.4.5 Štirikotnik in pravilni n-kotnik Štirikotnike delimo glede na število parov vzporednih stranic v tri skupine: paralelograme, ki imajo dva para vzporednih stranic trapeze, ki imajo en par vzporednih stranic trapezoide, ki nimajo nobenega para vzporednih stranic. Vsak štirikotnik ima dve diagonali. Diagonala e povezuje oglišči A in C, diagonala f pa oglišči B in D. Vsota notranjih kotov štirikotnika je 360. 37

GEOMETRIJA V RAVNINI Paralelogram D f S e b C a, b: stranici A, B, C, D: oglišča =, = : diagonali, : notranja kota S: presečišče diagonal A a B Paralelogram je štirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic. Prav tako velja, da je štirikotnik paralelogram, če izpolnjuje enega od naslednjih pogojev: poljubni nasprotni stranici sta skladni poljubna nasprotna kota sta skladna poljubna sosedna kota sta suplementarna diagonali se razpolavljata Romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge. Diagonali se sekata pod pravim kotom in razpolavljata notranje kote. D a C a a A a B Pravokotnik je paralelogram, ki ima vse notranje kote prave. Diagonali sta enako dolgi. D a C d d b b A a B Kvadrat je pravokotnik, ki ima vse stranice enako dolge. Je hkrati tudi romb. D a C a a A a B 38

GEOMETRIJA V RAVNINI Trapez A E d D e a c f C b F B, : osnovnici, : kraka =, = : diagonali : srednica trapeza povezuje razpolovišči krakov in je vzporedna osnovnicama Dolžina srednice je aritmetična sredina obeh osnovnic + = 2 Enakokraki trapez ima enako dolga kraka in enako dolgi diagonali. Kota ob osnovnici sta skladna. Lahko mu očrtamo krog. Deltoid Deltoid ima dva para enako dolgih stranic. Diagonali sta pravokotni, ena diagonala razpolavlja drugo. Kota pri A in C sta skladna. Deltoid ima eno simetrijsko os. A a D f e a C, : stranici, : diagonali,,, : notranji koti b b B Pravilni n-kotnik Pravilni n-kotnik ima vse stranice enake in enake notranje kote. Vsota njegovih notranjih kotov je ( 2) 180, velikost notranjega kota pa je n-ti del vsote. 2.4.6 Štirikotnik in pravilni n-kotnik VAJE 1. Nariši paralelogram s podatki a. = 5 cm, = 4,5 cm, = 60 b. = 5 cm, = 3 cm, = 7 cm c. = 5,5 cm, = 4,5 cm, = 4 cm 39

GEOMETRIJA V RAVNINI 2. Nariši pravokotnik s podatki a. = 5,5 cm, = 7 cm b. = 6 cm, (, ) = 30 3. Nariši kvadrat katerega a. stranica meri 6 cm b. diagonala meri 8 cm 4. Nariši romb s podatki a. = 5 cm, = 75 c. = 8 cm, = 5 cm b. = 5 cm, = 8 cm 5. Nariši trapez s podatki a. = 6 cm, = 5 cm, = 3 cm, = 7 cm b. = 7 cm, = 5 cm, = 4 cm, = 75 c. = 10 cm, = 5 cm, = 60, = 75 d. = 7 cm, = 5 cm, = 2 cm, = 3 cm 6. Nariši enakokraki trapez s podatki = 6 cm, = 5 cm, = 7 cm. 2.5 PODOBNOST Podobnostna preslikava P s faktorjem > 0 je preslikava točk v ravnini, ki dve točki preslika tako, da je razdalja njunih slik s številom k pomnožena razdalja točk A in B. () = () = = Talesov izrek o sorazmerjih: Če množico premic, ki se sekajo v eni točki sekamo z množico vzporednic, je razmerje odsekov na eni premici šopa enako razmerju enakoležnih odsekov na katerikoli premici istega šopa. A2 B2 : = : ali : = : V A1 B1 Trikotnika in sta podobna, če imata enaka razmerja vseh stranic in enake vse notranje kote. : : = : :, =, =, = ~ Dva trikotnika sta si podobna, če se ujemata 1. v razmerju dveh enakoležnih stranic: : = : = : = 40

GEOMETRIJA V RAVNINI 2. v dveh kotih, npr. =, = 3. v razmerju dveh stranic in v vmesnem kotu, npr. : = :, = Izreki v pravokotnem trikotniku C b v a A b1 c N a1 B Višinski izrek Kvadrat višine v pravokotnem trikotniku je enak produktu pravokotnih projekcij katet na hipotenuzo. = Evklidov izrek Kvadrat katete v pravokotnem trikotniku je enak produktu hipotenuze in pravokotne projekcije te katete na hipotenuzo. = = Pitagorov izrek Kvadrat hipotenuzo v pravokotnem trikotniku je enak vsoti kvadratov obeh katet. = + 2.5.1 Podobnost VAJE 1. Razdeli daljico AB dolžine 5,8 cm na: a. 4 enake dele b. 7 enakih delov 2. Stranice trikotnika ABC merijo: = 4 cm, = 5 cm, = 9 cm. Določi preostali stranici trikotniku ABC podobnega trikotnika A'B'C', če je a. = 12 cm b. = 2,5 cm 3. Natančno izračunaj neznane količine v pravokotnem trikotniku a. = 15 cm, = 20 cm, =?, =?, =?, =? b. = 45 cm, = 27 cm, =?, =?, =?, =? 2.6 KOTNE FUNKCIJE OSTRIH KOTOV Naj bo ostri kot v pravokotnem trikotniku. Sinus kota je količnik med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo. Kosinus kota je količnik med kotu priležno kateto in hipotenuzo. 41

GEOMETRIJA V RAVNINI Tangens kota je količnik med kotu nasprotno kateto in priležno kateto. Kotangens kota je količnik med kotu priležno kateto in nasprotno kateto. B a c C b A sin = cos = tan = cot = Zveze med kotnimi funkcijami sin tan = cos cos cot = sin tan cot = 1 + = 1 Velikost kotnih funkcij lahko ponazorimo v enotskem krogu, katerega polmer je enak 1. y 1 T(x,y) -1 0 1 x -1 Ker smo se omejili le na ostre kote, potrebujemo le del krožnice v I. kvadrantu. V njem si izberimo poljuben poltrak z začetkom v koordinatnem izhodišču, ki s pozitivnim delom abscisne osi določa kot. Iz presečišča poltraka s krožnico narišemo pravokotnico na abscisno os in tako dobimo pravokotni trikotnik. Njegovi kateti sta koordinati točke (, ), hipotenuza pa je polmer enotske krožnice. Razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo je y, zato nam velikost ordinate predstavlja velikost kotne funkcije sin. Podobno nam velikost abscise točke (, ) na enotskem krogu grafično predstavlja velikost kotne funkcije cos. (, ) = (cos, sin ) 42

GEOMETRIJA V RAVNINI y 1 1 sin 0 1 cos x Če se kot veča od 0 do 90, se ordinata točke na enotski krožnici veča od 0 do 1. Funkcija sin torej za ostre kote od 0 do 90 raste. Pri enaki rasti kota pa se abscisa točke (, ) manjša od 1 do 0. Zato funkcija cos za ostre kote pada. Natančne vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote: sin 0 cos 1 tan 0 0 30 45 60 90 1 2 3 2 3 3 2 2 2 2 cot 3 1 3 2 1 2 1 0 1 3 Za izračun kotnih funkcij preostalih kotov uporabimo kalkulator. 3 3 0 Sinus kota je enak kosinusu komplementarnega kota in obratno, pa tudi tangens kota je enak kotangensu komplementarnega kota in obratno. sin = cos(90 ) cos = sin(90 ) tan = cot(90 ) 2.6.1 Kotne funkcije ostrih kotov VAJE 1. Določi vrednost vseh kotnih funkcij za oba ostra kota v pravokotnem trikotniku s katetama: a. = 6 cm, = 8cm b. = 36 cm, = 15cm 2. Brez uporabe kalkulatorja izračunaj a. sin 30 + cos 60 b. 4 sin 45 + 2 cos 45 43 c. tan 30 cot 30 d. sin 30 tan 45 cos 60

GEOMETRIJA V RAVNINI 3. Natančno izračunaj dolžini preostalih stranic v pravokotnem trikotniku s podatki: a. = 20 cm, = 30 b. = 24 cm, = 60 4. Na štiri mesta natančno izračunaj a. sin 69 c. tan 43,2 b. cos 32 d. cos 84 15 5. Na mm natančno izračunaj dolžini preostalih stranic pravokotnega trikotnika s podatki: a. = 7 cm, = 37 b. = 6,5 cm, = 41,5 6. Nariši tak kot, da je a. sin = b. cos = 0,8 7. Na stotinko stopinje natančno izračunaj kot, če je: a. sin = b. sin = 0,1234 c. cos = d. tan = 2 8. Na minuti natančno izračunaj kota in v pravokotnem trikotniku s stranicama: a. = 4 cm, = 5 cm b. = 9,9 cm, = 10,1 cm 2.7 METRIČNA GEOMETRIJA V RAVNINI 2.7.1 Ploščina in obseg Obseg je dolžina krivulje, ki določa lik. Označimo ga s črko o. Ploščina je del ravnine, ki jo pokriva lik. Označimo jo s črko S. = 2( + ) = = + (diagonala) Pravokotnik Kvadrat = 4 = = 2 Paralelogram A D v A1 B C B1 = = sin = = sin = 2( + ) = o: osnovnica v: višina 44

GEOMETRIJA V RAVNINI Romb = 2 = 4 Trikotnik C = = = = 1 2 sin = 1 2 sin = 1 sin 2 b v_a a = + + A c B Če sta trikotnika ABC in A'B'C'podobna, je razmerje stranic: : = : = : = Za ploščini podobnih trikotnikov velja : = Pravokotni trikotnik = 2 Enakostranični trikotnik = 3 2 = 3 4 Trapez A d D c s a C b B + = 2 = = + + + 45

GEOMETRIJA V RAVNINI Deltoid A e D f C = 1 2 = 2( + ) B Pravilni n-kotnik Pravilni n-kotnik je sestavljen iz n skladnih enakokrakih trikotnikov. Če znamo izračunati ploščino tega trikotnika, poznamo tudi ploščino pravilnega n-kotnika. R: polmer pravilnemu n-kotniku očrtanega kroga : stranica pravilnega n-kotnika = 1 2 sin 360 = = 1 2 sin 360 2.7.2 Ploščina in obseg VAJE 1. Zapiši v cm 2 a. 20 dm 2 c. 5 m 2 b. 0,1 dm 2 d. 820 mm 2 2. Zapiši v m 2 a. 1 km 2 b. 630 dm 2 3. Izračunaj obseg in ploščino pravokotnika s stranicama a. = 6 cm, = 18 cm b. = 0,3 cm, = 10 mm 4. Izračunaj drugo stranico pravokotnika z dano ploščino in stranico a. = 510m 2, = 34 m b. = 64cm 2, = 8 cm 5. Izračunaj ploščino kvadrata z obsegom a. 12 m b. 13,6 km 6. Izračunaj dolžino diagonale v pravokotniku s stranicama a. = 3 cm, = 5cm b. = = 12 m 46

GEOMETRIJA V RAVNINI 7. Obseg pravokotnika meri 860 m. Kolikšna je njegova ploščina, če: a. se stranici razlikujeta za 90 m b. je ena stranica za 70 m daljša od druge c. sta stranici enako dolgi d. je ena stranica štirikrat daljša od druge 8. Izračunaj ploščino paralelograma s podatki a. = 4 cm, = 6 cm, = 30 b. = 20 dm, = 10 dm 9. Razmerje dveh stranic paralelograma je : = 2: 1. Višina na stranico a meri 10 cm, ploščina pa 400 cm 2. Koliko merita stranici in koliko višina na stranico b? 10. Izračunaj dolžino diagonale in obseg romba z dano ploščino in drugo diagonalo: a. = 24 m 2, = 8 m b. = 252 cm 2, = 7 dm 11. Izračunaj ploščino trikotnika s podatki a. = 4 cm, = 2 cm b. = 12 cm, = 8 cm, = 140 12. Izračunaj stranico a v enakostraničnem trikotniku s ploščino a. 60 cm 2 b. 80 mm 2 13. Izračunaj obseg enakokrakega trikotnika z osnovnico c in ploščino S a. = 60 cm 2, = 10 cm b. = 64 cm 2, = 8 cm 14. V pravokotnem trikotniku s ploščino = 900 cm 2 izračunaj hipotenuzo c, če: a. je ena kateta dvakrat daljša od druge b. sta obe kateti enako dolgi c. se kateti razlikujeta za 51 cm d. dolžina ene katete predstavlja 12,5% dolžine druge 15. Natančno izračunaj ploščino trapeza z osnovnicama = 6 m in = 4 m ter višino = 3 m. 16. Izračunaj višino in nato še ploščino trapeza ABCD a. = 6 cm, = 4 cm, = 3 cm, = 30 b. = 32 cm, = 20 cm, = 10 cm, = 45 17. Določi ploščino enakokrakega trapeza z osnovnicama = 5 dm in = 3 dm ter krakom = 4 dm. 18. Izračunaj ploščino deltoida z danimi podatki a. = 20 cm, = 10 cm b. = 8 cm, = 6 cm, = 150 19. Kolikšna je ploščina pravilnega n-kotnika, ki je včrtan krogu s polmerom 16 cm, če je a. = 5 b. = 10 47

GEOMETRIJA V RAVNINI 2.7.3 Razreševanje trikotnika Naslednje zakonitosti veljajo v poljubnem trikotniku Polmer trikotniku očrtanega kroga = = Sinusni izrek 2 = = = Sinusni izrek uporabljamo pri razreševanju trikotnika, kadar poznamo dve stranici trikotnika ter kot nasproti ene od njih ali dva kota in eno od stranic. Kosinusni izrek = + 2 cos = + 2 cos = + 2 cos Kosinusni izrek nam pomaga pri računanju neznanih stranic oz. kotov trikotnika, pri katerem poznamo dolžine vseh treh stranic ali dolžini dveh stranic in kot med njima. Polmer trikotniku včrtanega kroga = pri čemer je S ploščina trikotnika ABC in s polovica njegovega obsega = Heronov obrazec = = ( )( )( ) S Heronovim obrazcem izračunamo ploščino trikotnika s pomočjo dolžine njegovih stranic. 2.7.4 Razreševanje trikotnika VAJE 1. Izračunaj neznane stranice in kote trikotnika a. = 7 cm, = 5 cm, = 75 c. = 4 cm, = 5 cm, = 35 b. = 2 cm, = 3 cm, = 4 cm 2. Izračunaj ploščino trikotnika s stranicami = 8 cm, = 29cm, = 35 cm. 3. Izračunaj dolžini diagonal paralelograma s podatki: = 10m, = 8 m, = 55 4. Izračunaj kota in v trapezu s stranicami = 16 m, b= 14 m, = 6 m in = 12 m. 5. Natančno izračunaj polmer kroga včrtanega trikotniku s ploščino = 16 cm 2 in obsegom = 16 cm. 48

GEOMETRIJA V RAVNINI 2.7.5 Krog Obseg kroga = 2 Dolžina krožnega loka = Ploščina kroga = Ploščina krožnega izseka Krožni izsek je del kroga, ki ga določa izbrani središčni kot. = 2.7.6 Krog VAJE 1. Izračunaj obseg kora s polmerom a. 12 cm b. 0,4 m c. 11 mm d. 82,5 m 2. Izračunaj premer kroga z danim obsegom a. 13 cm b. 24 dm 3. Kolo na gorskem kolesu s polmerom 34 cm se na poti zavrto 820-krat. Kako dolgo pot naredi kolesar? 4. Izračunaj dolžino krožnega loka, ki pripada središčnemu kotu v krogu s polmerom 12cm a. = 95 b. = 107 5. Izračunaj ploščino kroga s polmerom a. 16 cm b. 25,2 mm 6. Kolikšen je obseg kroga s ploščino a. 80 cm 2 b. 104 mm 2 7. Kolikšna je natančna ploščina kroga, ki je očrtan pravokotniku s stranicama = 4 cm in = 6 cm? 8. Izračunaj ploščino krožnega izseka, ki pripada v krogu s polmerom 1,2 dm središčnemu kotu a. 45 b. 70 49