Siete jednosmerného prúdu alebo 77 odporných príkladov

Siete jednosmerného prúdu alebo 77 odporných príkladov Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_materials.html Aktualizované 23. septembra 2016 Poznámky k semináru o tom, ako sa vysporiada s príkladmi o jednosmernom prúde, ako vypo íta viac i menej zloºité siete a ve a príkladov na precvi enie. Obsah 1 Kombinácie sériového a paralelného zapojenia 2 2 Ohmov zákon v úlohach 5 3 Spájanie a rozpájanie v elektrických sie ach 7 4 Úlohy na Kirchhofove zákony 11 5 Siete jednosmerného prúdu s kondenzátormi 13 6 Nekone né odporové siete 17 7 Za obzorom týchto poznámok 22 1

Úvod Tento text stru ne zh a problematiku elektrických sieti jednosmerného prúdu v stredo²kolskom rozsahu. Okrem stru ných poznámok a zhrnutia uºito ných vz ahov pre kaºdú z astí ponuka ve ké mnoºstvo príkladov na precvi enie. Mnohé príklady sú doplnene návodom k rie²eniu, kompletným rie²ením alebo výsledkom. Ako je zvykom, je viac ako odporú ané nad príkladom porozmý² a a potrápi sa s ním pred tým, ako si skúsime pomôc návodom alebo rie²ením. Príklady sú zoradene do nieko kých tematických asti, pri om ve mi asto treba na vyrie²enie príkladu znalosti zo skor²ej asti, ve mi zriedka naopak. V rámci asti sú príklady zoradenie pod a náro nosti a vyrie²enie úvodných príkladov môºe pomôc k vyrie²eniu príkladov z konca asti. Zdroje príkladov ako aj odporú ané ítanie k tejto problematike je uvedené na zaver textu. Príklady pochádzajú zvä ²a zo zbierok FKS, FX, Náboja FKS, semináru Fykos a úloh Fyzikálnej Olympiády, autorom ktorých patri ve ká v aka. 1 Kombinácie sériového a paralelného zapojenia dva odpory s odpormi R 1 a R 2 zapojené za sebou sa dajú nahradi jedným odporom ve kosti R = R 1 + R 2 dva odpory s odpormi R 1 a R 2 zapojené ved a seba sa dajú nahradi jedným odporom ve kosti R = R 1R 2 R 1 +R 2 to znamená, ºe medzi svorkami nahradeného odporu bude v oboch prípadoch pri rovnakom napätí preteka rovnaký prúd ako v prípade pôvodného zapojenia je uºito ne pamäta si, ºe dva rovnaké odpory zapojené paralelne dávajú odpor, ktorý je polovi ný obe tieto tvrdenie sa dajú odvodi s Ohmovho zákona pripadne Kirchhofovych zákonov a neskôr si ich aj odvodíme Príklad 1. Ak dva odpory zapojíme sériovo, dostaneme odpor 9 Ω, ak paralelne dostaneme odpor 2 Ω. Aké sú tieto odpory? Výsledok. 6 Ω a 3 Ω Príklad 2. Ak kaºdé dva odpory z trojice odporov zapojíme paralelne, dostaneme postupne zapojenie s odporom 30 Ω, 40 Ω, 60 Ω. Aký odpor dostaneme ke zapojíme v²etky tri odpory paralelne? Návod. Dobre si napísa rovnice, ktoré z toho vyplývajú a iba s nimi dostato ne zaºonglova. Rie²enie. Ke si zapí²eme rovnice pre tri paralelné zapojenia zo zadania, dostaneme 1 + 1 = 1 R 1 R 2 30 (1) 1 + 1 = 1 R 2 R 3 40 (2) 1 + 1 = 1 R 1 R 3 60. (3) Ak v²etky rovnice s ítame, dostaneme ( 1 2 + 1 + 1 ) = 1 R 1 R 2 R 3 30 + 1 40 + 1 60 = 9 12. Výsledok. 80 3 Ω = 26, 667 Ω Príklad 3. Z drôtu postavíme dom ek. Aký je odpor takéhoto zapojenia medzi vrcholmi 'pri zemi'? A aký je odpor medzi vrcholmi 'pod strechou'? Odpor jednej hrany je R. Výsledok. 8 11 R a 8 11 R Príklad 4. Do elektrického obvodu sme zaradili ²es rezistorov s odpormi R. Sústava rezistorov tvorí ²es uholník ako na obrázku. 2

Je doleºíte si uvedomi, ºe v aka nekone nej vodivosti (=nulovému odporu) ktorý sa vo v²etkých úlohách ml ky predpokladá, môºeme v²etky tri vrcholy na avej strane zapojenie (bod A a dva vrcholy pod nim) spoji do jedného, kde uº paralelnos zapojenia odporov 2R bije do o i. Príklad 6. Aký prúd te ie cez zdroj, ak jeho napätie je U a kaºdý odpor má ve kos R? a. Ur te výsledný odpor sústavy rezistorov medzi bodmi A a D? b. Medzi body A a D pripojíme al²í rezistor s odporom R. Aký bude výsledný odpor sústavy medzi bodmi A a D v tomto prípade? c. Do obvodu pripojíme e²te al²ie dva rezistory s odporom R, a to jeden medzi body A, C a druhy medzi body A, E. Aký bude výsledný odpor sústavy rezistorov medzi bodmi A a D v tomto prípade? Príklad 5. Rezistory s odpormi R a 2R sú zapojene pod a schémy na obrázku. Ur te výsledný odpor medzi koncovými bodmi A a B. Výsledok. 4U/R Príklad 7. Nájdite odpor nasledujúceho zapojenia. Návod. Jedná sa len o sériovo a paralelne zapojene odpory, schému si treba vhodne prekresli. Výsledok. 5R/8 Príklad 8. Aký je výsledný odpor tohto zapojenia? (V miestach, kde sa vodi e pretínajú bez bodky nie sú vodivo spojene.) Návod. Ke ºe majú vodi e nulový odpor, mô- ºeme miesta spojenia vodi ov ubovo ne premiest- ova, pokia nepresko íme nejaký odpor. Takto sa da schéma zjednodu²i. Rie²enie. Pod a pravidla o dvoch rovnakých odporoch môºeme nahradi dva paralelne zapojene odpory 2R pri bode A odporom R, a dostávame paralelne zapojenie dvoch odporov 2R, ktoré má pod a toho istého pravidla odpor R. Návod. Jedná sa len o sériovo a paralelne zapojene odpory, schému si treba vhodne prekresli. 3

Výsledok. 172/75 Ω Príklad 9. Do schémy na obrázku vkladáme na miesto odporu R X odpory s rôznou hodnotou a meriame celkový odpor medzi bodmi A a B. V akom rozsahu ich nameriame. Aká bude minimálna a maximálna takto dosiahnutá hodnota? al²ích odporov rovnakým spôsobom? Ako a ko ko najmenej odporov treba prida do zapojenia, aby jeho odpor bol men²í ako R? Návod. V²imnite si odpor úplne na avo hore. Výsledok. 4 3 R, 3 2 R Príklad 10. Na hranách ²tvorca sú umiestnené odpory, tri s odporom R a jeden s odporom R. Vymyslite spôsob, ako na o najmenej meraní ohmmetrom zisti, ktorá hrana ma odpor R a aká je numerická hodnota tohto odporu ak vieme, aká je hodnota odporu R. Návod. O ividne to sa to da na tri merania, kde zmeriame odpor na kaºdej hrane. Vieme to ale aj jednoduch²ie? Rie²enie. Je doleºíte si uvedomi, ºe ak meriame odpor na uhloprie ke, vºdy nameriame tu istú hodnotu R u = 2R(R+R ) 3R+R. To nám pomôºe pri h adaní numerickej hodnoty odporu R. Av²ak preto nám meranie na uhloprie ke nepomôºe pri pátraní po polohe odporu R. Odpor R vieme nájs na tri merania. Odmeriame odpor na troch hranách ²tvorca. Ak majú v²etky tri rovnaký odpor, h adaný odpor je na zvislej hrane, ak mali dve rovnaký a jedna iný odpor, tato iná hrana ma odpor R. Na menej ako tri merania sa to nedá, nako ko ke odmeriame ubovo ne dve hrany, vºdy môºeme vymeni odpory na dvoch hranách (tých ktoré sme nemerali) bez toho, aby sme zmenili predchádzajúce výsledky. Príklad 11. Je odpor nasledujúcej schémy vä ²í alebo men²í ako odpor jedného rezistoru R? Mô- ºeme dosiahnu odpor men²í ako R pridávaním Rie²enie. Po tom ako sme si v²imli odpor na avo hore vidíme, ºe schéma je vlastne jeden odpor a k nemu v sérii zapojene divne (a pridávaním odporov im divnej²ie) zapojenie odporov, ktoré ma vºdy nenulový odor. Výsledok bude teda vºdy zapojenie s odporom vä ²ím ako R. Tu je aj rie²enie na druhu otázku. Musíme sa zbavi sériového zapojenia v²imnutého odporu, najlep²ie tak, ºe k nemu osi paralelne priradíme. Sta í teda jeden odpor zvislo pred neho. Konkrétne hodnoty odporov sa uº ahko dopo ítajú. Príklad 12. Nájdite odpor nasledujúceho zapojenia. Kaºdý rezistor ma odpor R. Návod. To, ºe sme niektoré body vodivo spojili znamená, ºe ich môºeme poväzova ºe jeden bod. Takto mame schému s troma bodmi A,B,C a piatimi odpormi. Teraz uº len zostava prekresli schému a uvidie paralelne a sériovo zapojene odpory. Ak to nie je jasne, skúste si najskôr schému s tromi odpormi, kde sú vodivo spojene body 'pred prvým' a 'medzi druhým a tretím' a body 'medzi prvým a druhým' a 'za posledným'. Výsledok. R/2 Príklad 13. Tento príklad je zov²eobecnením predchádzajúceho. Majme nepárny po et odporov 2n 1 zapojených v rade za sebou, n 1. Teraz vodivo spojím bod pred prvým odporom s bodom 4

medzi odporom n a n+1. Potom postupujeme odpor za odporom a vo výslednom zapojení sú vºdy vodivo spojene body, ktoré majú medzi sebou n vodi ov. Aký je odpor výsledného zapojenia medzi koncovými bodmi? Návod. Postup ako v predchádzajúcom príklade. Výsledné zapojenie ma vlastne n bodov, treba medzi ne dokresli odpory a potom uº len zráta sériovo-paralelne zapojenie. 2 Ohmov zákon v úlohach experimentálne zistená závislos medzi prúdom a napätím, jeden z mnohých lineárnych zákonov fyziky verzia 1 : prúd (tj. mnoºstvo náboja za jednotkový as), ktorý prejde rezistorom je priamo úmerný napätiu, na ktoré je odpor pripojený, pri om kon²tanta úmernosti je prevrátená hodnota odporu rezistora paralelne zapojene odpory : dva odpory R 1 a R 2, pri om napätie na kaºdom z nich je rovnaké U; prúd prechádzajúci odpormi je I 1,2 = U/R 1,2, opä chceme nahradi jedným odporom, pre ktorý R = U/I o spolu s I = I 1 + I 2 (zachovanie náboja) dáva o akávaný výsledok Príklad 14. Mame zdroj s napätím U, ku ktorému sme pripojili rezistor. Týmto rezistorom prechádzal prúd 3 A. Potom sme spravili to iste s iným rezistorom a dostali sme prúd 10 A. Aký prúd bude tiec, oboma rezistormi zapojenými za sebou k tomu istému zdroju? Výsledok. 30/13 A Príklad 15. Ak zapojíme elektricky obvod pod a obrázka na zdroj kon²tantného napätia U 0, voltmeter ukáºe hodnotu U 1. I = 1 R U verzia 2 : ak rezistorom s odporom R preteká prúd I, rozdiel napätí na jeho koncoch je U = RI verzia 3 : ak rezistorom, napojeným na napätie U prechádza prúd I, jeho odpor je R = U I síce v²etky verzie sú jedna a ta istá rovnica, treba vidie ich rozdielny význam sériovo zapojene odpory : dva odpory R 1 a R 2, ke ºe náboj sa zachováva, oboma prechádza rovnaký prúd I; napätie na odpore je U 1,2 = IR 1,2 ; odpory chceme nahradi jedným odporom R, pre ktorý platí R = U/I ke ºe U = U 1 + U 2 dostávame R = R 1 + R 2 a. Aký prúd I 1 prechádza ampérmetrom? b. Aká je hodnota napätia U 0 zdroja napätia? c. Akú hodnotu napätia U 2 a prúdu I 2 nameriame voltmetrom a ampérmetrom, ak voltmeter pripojíme paralelne k rezistoru s odporom R 2? Rie²enie. Tato úloha je ve mi dôleºitá pre pochopenie toho, o om v sie ach vlastne ide. Odporú am teda nepokra ova alej, pokia sme sa nepopasovali s úlohou ozaj dobre. Ak je na odpore R 1 napätie U 1, pod a prvej verzie Ohmovho zákona nim preteká prúd I 1 = 5

U 1 /R 1. Ke ºe sa nikde náboj nemôºe stráca, hromadi ani vznika, prúd te úci cez odpor R 2 je opä I 2 = I 1. Zapojenie ma odpor R = R 1 +R 2, ak nim ma teda tiec prúd I 1, musí byt pod napätím U 0 = I 1 R = R 1 + R 2 R 1 U 1 Prúd I 2 sme uº vyrie²ili. Ostáva napätie U 2. Potenciálový rozdiel medzi svorkami odporu R 1 je U 1, celkový potenciálový rozdiel na zapojení je U 0, potenciálový rozdiel na odpore R 2 musí byt teda U 2 = U 0 U 1. Tu pre pochopenie ve mi pomôºe analógia medzi elektrickým a gravita ným polom, potenciálom a vý²kou. Tuto analógiu dokonale a bez slov vystihuje nasledujúci obrázok Výsledok. U/11 Príklad 18. Majme zapojenie ako na obrázku, pri om R 4 < R 2 = R 5 < R 3 < R 1. Zora te odpory pod a prúdu, ktorý prechádza odporom, ak odpory pripojíme na zdroj napätia U. Návod. Sta í si poriadne premyslie, kde sú rovnaké napätia, kadia pote ú rovnaké prúdy a o to znamená pre kaºdý z odporov. Rie²enie. I R2 = I R4 < I R3 = I R5 < I R1. V²imnite si, ºe odporom R 1 pote ie najvä ²í prúd bez oh adu na jeho ve kos. Príklad 16. a. Dva odpory R 1 a R 2 zapojíme paralelne a k nim do série pripojíme odpor R 3. Ak takúto schému zapojíme na napätie U, aký ve ký prúd bude prechádza kaºdým z odporov a aké ve ké napätie na nich bude? Príklad 19. Sie zo zadania úlohy 4 pripojíme na zdroj napätia U. Vypo ítajte prúdy, ktoré te ú kaºdým z odporov a napätia na odporoch v prípadoch a),b),c). Príklad 20. Kaºdý odpor tejto siete ma ve kos 1 Ω. Cez posledný odpor prechádza prúd 1 A. Aké je napätie na vstupe? b. Podobne ako v predchádzajúcej úlohe, ale vo vymenenom garde. Dva odpory R 1 a R 2 zapojíme do série a k nim paralelne pripojíme odpor R 3. Príklad 17. Akú hodnotu bude ukazova voltmeter v nasledujúcej schéme? Návod. Na kaºdom zvislom odpore musí byt rovnaké napätie ako na celom zvy²ku napravo od neho (Pre o?). Kaºdým vodorovným odporom musí prechádza rovnaký prúd, ako celým zvy²kom napravo od neho (Pre o?). 6

Výsledok. 34 V, v²imnite si Fibbonaciho postupnos Príklad 21. Aký prúd preteká v tejto schéme ideálnym ampérmetrom? Aké napätie by ukazoval voltmeter zapojený na jeho mieste? Návod. Porozmý² a nad tým, ako s touto schémou súvisí schéma, v ktorej je ampérmeter nahradený vodi om. Úloha sa da rie²i aj pomocou Kirchofovych zákonov. Pre o výsledok nie je hodnota potenciálový rozdiel/odpor medzi dvoma bodmi? Rie²enie. Majme teda schému, kde je medzi dvomi vetvami siete vodi. Odpor celého zapojenia je potom R 2 + 2R 3 = 7 6R a sie ou teda te ie prúd I = 6U 7R. V prvej asti siete majú obidva odpory rovnakú ve kos a preto kaºdým pote ie rovnaký prúd I/2. V druhej asti siete sa rozdelí prúd medzi odpory R a 2R tak, aby na nich bolo rovnaké napätie I R R = I 2R 2R a v sú te musia da prúd I R + I 2R = I. Vyrie²ime tuto sústavu a uvedomíme si, ºe cez spájajúci vodi pote ie rozdiel týchto dvoch prúdov. A to je ná² výsledok. U Výsledok. 7R, odpove na otázku z navodu - tieto dve situácie sú iný obvod! Príklad 22. Podobne ako predchádzajúci príklad, ale namiesto odporu 2R je zapojený odpor R X. Príklad 23. Ako máme do nasledujúcej schémy zapoji odpory ve kosti 1 Ω, 1 Ω, 3 Ω, 5 Ω, 5 Ω tak aby výsledný odpor bol o najmen²í? 3 Spájanie a rozpájanie v elektrických sie ach základom je nasledovný fakt : medzi bodmi, ktoré majú rovnaký potenciál nete ie prúd; tak isto ako ºiadne teleso sa samovo ne nehýbe po rovnej zemi to znamená, ºe aj ke medzi takými dvoma bodmi je vodi, môºeme ho k udne rozpoji, nako ko by tadia aj tak prúd netiekol; ak tam bol rezistor, môºeme ho preda a kúpi si ºuva ku to znamená, ºe ak medzi dva takéto body vodi pridáme, ni nepokazíme, lebo tadia aj tak nikdy ºiadny prúd nepote ie to znamená, ºe ak rozpojením schémy v nejakom bode vzniknú dva body, ktoré majú rovnaký potenciál, opä sme ni nepokazili, tejto krok je vlastne pridanie vodi a, prekreslenie a jeho následné vypustenie v²etky tieto veci robíme, ke prekres ujeme schémy, pri tom predpokladáme, ºe potenciál sa mení iba na odporoch (pripadne neskôr iných sú iastkach) a vo vodi och je v²ade rovnaký ako prís na to, ºe dva body budú mat rovnaký potenciál výpo tom z Ohmovho zákona ak ma schéma symetriu (tj. transformáciu, ktorá ju nezmení, prevedie na takú istú), ktorá zachováva body zapojenia, tak body, ktoré sa zobrazia jeden na druhy majú rovnaký potenciál dôvod - pred transformáciou potenciál φ 1, po transformácii potenciál φ 2, ale ke ºe symetria je to ta istá schéma, takºe φ 1 = φ 2 7

ak ma schéma symetriu, ktorá vymení body zapojenia, tak body, ktoré sa zobrazia samé na seba majú v²etky rovnaký potenciál dôvod - takáto symetria zobrazí na seba vºdy body s opa ným potenciálom, lebo v bodoch zapojenia môºeme zobra potenciály φ, φ a potom z Ohmovho zákona a symetrie pretekajúcich prúdov dostaneme toto tvrdenie (premyslie ), pre body, ktoré sa zobrazia samé na seba platí φ pred = φ po ale φ pred = φ po takºe φ pred,po = 0 a v²etky majú rovnaký (=nulový=presne medzi bodmi zapojenia) potenciál v²etky tieto argumenty je dobre si poriadne premyslie, da sa pri tom pochopi ve a o fungovaní sveta mnohé zloºité schémy sa dajú takýmto trikom previes na schému, ktorá je uº iba paralelné a sériové zapojenie odporov Ak v ²tvorci ²tvorsten neuvidíme, môºeme si v²imnú symetriu pod a priamky, ktorá spája body zapojenie v prvom prípade. šia, v druhom prípade by sme symetriu v rovine h adali aºko. Výsledok. R/2 v oboch prípadoch Príklad 25. es rezistorov s odporom R sme zapojili do schémy tvaru Trojstenu". Aký ve ký prúd preteká zdrojom? Výsledok. 2U/R 0 Príklad 26. Osem rovnakých odporov je zapojených pod a obrázku. Aký je odpor medzi bodmi A a B. Príklad 24. Vrcholy ²tvorca spojíme kaºdý s kaºdým odporom ve kosti R. Aký odpor nameriame medzi proti ahlými vrcholmi? Aký medzi vrcholmi na jednej hrane? Návod. Takýto ²tvorec je vlastne sie ou ²tvorstenu, ktorá ma úºasné symetrie. Rie²enie. Ke uvidíme v ²tvorci ²tvorsten, rie- ²enie je uº priamo iare. V prvom rade vidíme ºe obe zapojenia sú vlastne to iste zapojenie. Potom vidíme ºe zvy²né dva vrcholy majú rovnaký potenciál. To vidno z oboch moºných symetrii a tieº z Ohmovho zákona, nako ko prúdy te úce k týmto bodom musia byt v aka symetrii rovnaké. Odpor, ktorý spája nezapojene body teda môºeme vypusti a body rozpoji. Rovnako ich môºeme spoji. Overte, ºe takto získane výsledky sú rovnaké. Výsledok. 7 15 R Príklad 27. Kostra ²tvorstenu ABCD je vyrobená z drôtu tak, ºe kaºdá hrana ma odpor R, iba hrana AB ma odpor 2R. Aký prúd bude preteka obvodom, ak na tuto hranu privedieme napätie U? Návod. Úloha 24. Výsledok. 3U 2R Príklad 28. Z drôtenej kostry kocky odstrihneme tri hrany vychádzajúce z jedného vrcholu. Aký je odpor medzi vrcholmi A a B, ak odpor kaºdej hrany je R 0? 8

Výsledok. 9 10 R 0 Príklad 29. Aký je odpor medzi bodmi A a B v takomto zapojení, ak je odpor vodi a úmerný jeho d ºke. Rie²enie. Ak rozpojíme zapojenie v strednom bode vodorovne (tj. dostaneme ²tvorec s dvoma trojuholníkmi, jeden vrcholom nahor a druhy nadol), dostaneme schému, ktorá je symetrická pod a zvislej osy ²tvorca. Preto majú oba body, ktoré vznikli rozpojením rovnaký potenciál a to dáva ná²mu rozpojenie za pravdu. Dopo íta výsledný odpor je uº potom malina. Zamyslite sa, pre o nemôºeme rozpoji zapojenie v tom istom mieste zvislo? Návod. Spájajte a rozpájajte o vám hrdlo rá i. Skúste vypo íta kaºdú schému viac ako jedným spôsobom a porovna výsledky. Výsledok. a) 4 3 R, b) 4 11 5R, c) 10 R, d) 3 2 R, e) 5 3 R Príklad 31. a. Aký je odpor zapojenie troch kruhov z drôtu kon²tantnej d ºkovej vodivosti medzi bodmi A a B? Drôt ktorý tvorí jeden kruh má odpor R, stredy kruhov leºia vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka a v miestach kde sa prekrývajú sú vodivo spojené. pod a rovnakej symetrie môºeme spoji bod v strede a stredy vodorovných hrán. Overte, ºe takto dostaneme rovnaký výsledok! Výsledok. 0, 478 Ω Príklad 30. Nájdite odpor medzi bodmi A a B v týchto schémach. Kaºdé dva uzly sú spojene odporom ve kosti R. b. Aký je odpor zapojenie piatich kruhov z drôtu kon²tantnej d ºkovej vodivosti medzi 9

bodmi A a B? Drôt ktorý tvorí jeden kruh má odpor R, kruhy sú romiestnené pod a obrázka, najdlh²í oblúk má d ºku 3/4 obdovdu kruhu, najkrat²í 1/4 a v miestach dotyku a prekryvu sú kruhy vodivo spojené Príklad 35. V schéme na obrázku je ierny ²tvor- ek dokonale vodivý. Aký odpor nameriame medzi bodmi A a B? Výsledok. a) R/14, b) 8 29 R Príklad 32. Z vodi a urobíme ²tvorec. Stredy strán tohto ²tvorca spojíme takým istým vodi om, im dostaneme ²tvorec v ²tvorci. Aký je odpor tohto uda, ak ho zapojíme za proti ahlé vrcholy ve kého ²tvorca. A aký ak za vrcholy leºiace na jednej hrane? Ako sa zmení odpove na obe otázky, ak podobne pridáme e²te jeden ²tvorec do men- ²ieho ²tvorca? Príklad 33. Podobne ako v úlohe 32 ale s trojuholníkom. Odpor vypo ítajte pri zapojení v dvoch vrcholoch ve kého trojuholníka a vo vrchole a v strede proti ahlej strany. Rie²enie. Najskôr môºeme cely ²tvor ek zcucnút do jedného bodu, nako ko ma v²ade rovnaký potenciál. Potom môºeme tento bod porozpájat tak, aby mali rozpojene body rovnaký potenciál a dostaneme zrátate né zapojenie. Výsledok. 8R/5 Príklad 36. Ako to uº býva v príkladoch o kocke z drôtu, mame z drôtu s kon²tantnou d ºkovou vodivos ou poskladanú sie kocky. Jedna hrana má odpor R 0. A ako to uº býva v príkladoch o odporoch, chceme vedie, aký odpor bude mat kocka medzi dvoma vyzna enými bodmi. Príklad 34. Nájdite odpor medzi bodmi A a B v tejto schéme. Výsledok. 7R 0 /8 Príklad 37. Rezistory s odporom R sú pozapájane v hranách pravidelného osemstena. Okrem toho spojíme kaºdú dvojicu proti ahlých vrcholov vodi om s nulovým odporom. Aký je odpor medzi dvoma susednými vrcholmi? Návod. Ktoré dva odpory sú paralelne zapojene a dajú sa nahradi jedným, im úloha získa symetriu? Výsledok. 20 Ω Výsledok. R/6 Príklad 38. Vypo ítajte odpor kocky, ktorá ma na kaºdej hrane odpor 1 Ω medzi vrcholmi a. na telesovej uhloprie ke, 10

b. na jednej hrane kocky, c. na uhloprie ke steny. Rie²enie. a. Najskôr si ukáºme metódu, ktorá vyuºíva symetriu úlohy, ale nie spájanie a rozpájanie. Ak do bodu zapojenia prichádza prúd I, rozdelí sa (zo symetrie) na tri rovnaké prúdy I/3. Tie sa potom rozdelia na dva prúdy I/6. Kaºdú moºnú cestu z jedného bodu zapojenia do druhého teda tvoria dve hrany s prúdom I/3 a jedna s prúdom I/6. Celkový potenciálový rozdiel je potom I(2/3 + 1/6) = I5/6. H adaný odpor je teda 5/6. Odporú am premyslie na nakreslenej kocke, pripadne kocke cukru. Kocka ma pri takomto zapojení dve sady bodov, ktoré majú rovnaký potenciál. Sú to body, ktoré sú na jednej hrane s prvým bodom zapojenia a na jednej hrane s druhým bodom zapojenia. Da sa na to prís napríklad výpo tom z Ohmovho zákona (zo symetrie kaºdou z týchto hrán preteká rovnaký prúd), alebo dvoma rovinnými symetriami problému. To potom vedie na sériové zapojenie troch paralelných zapojení, a to troch, ²iestich a opä troch odporov. b. Tu uº ºia Ohmom zákon nepomôºe. Zato symetria áno. c. Pouºitím symetrie úlohy pod a uhloprie nej roviny, ktorá neobsahuje body zapojenia dostaneme jednoduchú schému odporov 1 Ω a 0, 5 Ω. V²imnite si, ºe pouºitím symetrie pod a uhloprie nej roviny, ktorá obsahuje body zapojenia nedostaneme jednoduchú schému. Ta sa ale da previes podobne ako v úlohe 34 na to iste zapojenie ako v prvom prípade. Príklad 39. Rovnako ako predchádzajúci príklad, ale s pravidelným osemstenom. Príklad 40. Rezistory s odporom R sú pozapájane v hranách pravidelného dvanás stena. Ur te odpor medzi jeho dvoma proti ahlými vrcholmi. Návod. Úloha 38a s o osi zloºitej²ou geometriou dvanás stenu. Výsledok. 7R/6 Príklad 41. Mame pravidelný N uholník, kde je kaºdý vrchol spojený s kaºdým odporom R. Aký je odpor medzi dvomi vrcholmi? Výsledok. 2R/N, po tom ako vyrie²ite úlohu pomocou symetrie a rozpájania skúste úlohu vyrie²i odhadnutím výsledku z prvých nieko ko prípadov a dokázaním indukciou, pripadne naopak Príklad 42. Vypo ítajte odpor N-rozmernej kocky, ktorá ma na kaºdej zo svojich hrán odpor R. Odpor meriame na proti ahlých vrcholoch, t.j. medzi bodmi (0,..., 0) a (1,..., 1). Návod. Úloha 38a s o osi zloºitej²ou geometriou N-rozmernej kocky. 4 Úlohy na Kirchhofove zákony Kirchofove zákony v sebe vtipne a ú inne skrývajú dve vcelku jednoduché tvrdenia prvý : sú et prúdov vchádzajúcich do uzla je rovnaký, ako sú et prúdov vychádzajúcich z uzla inak povedane náboj sa zachováva, lebo uva- ºujeme ustálený stav, kde sa náboj nikde nehromadí a ke ºe chudák nemôºe vzniknú ani zaniknú, ten o prite ie musí aj odtiec druhý : v uzavretej slu ke elektrického obvodu je sú et napätí rovnaký ako úbytok napätí IR na odporoch (v²ade zobraté znamienko do úvahy) inak povedane potenciál v tomto bode sa ozaj rovná potenciálu v tomto bode, nako ko 11

ak sa po uzavretej slu ke vrátim do toho istého bodu, zmena potenciálov musí byt nulová, takºe prírastky v aka zdrojom musia byt rovnaké, ako úbytky na odporoch (prírastok proti smeru je úbytok a naopak) tu opä vyhráva analógia s gravita ným polom, vozením sa na vý ahu (zdroj) a krá aním dolu schodmi (odpor) tieto dva zákony sú aºká delostrelecká zbra proti ubovo nému elektrickému nepriate- ovi a vrelo odporú am premyslie, ako by sa predchádzajúce úlohy pomocou nich rie- ²ili Výsledok. 2 7 V Príklad 45. Majme rezistor s odporom R a dva zdroje s napätím U 1, resp. U 2 a vnútornými odpormi R 1, resp. R 2. Zapojme ich podlá obrázka. Aké je napätie na rezistore s odporom R. to ºe sa kaºdá úloha takto da rie²i e²te neznamená, ºe ju tak vºdy budeme rie²i, lebo zvä ²a dostávame ve a rovníc o ve a neznámych a kaºdé obídenie steny namiesto jej zdemolovania hlavou je vítane tak ci onak najmä so silou po íta ov a zloºitej²ími schémami to nie je neschodná cesta Príklad 43. Z rezistorov s odporom R a dvoch zdrojov s napätím U postavíme schému ako na obrázku. Aký prúd te ie rezistorom medzi zdrojmi? Rie²enie. Sústava rovníc, na ktorú vedú Kirchhofove zákony je U 1 + I 1 R 1 = U 2 + I 2 R 2, IR = U 2 + I 2 R 2, I = I 1 + I 2, z ktorej uº ahko dopo ítame prúd I a potom napätie IR Výsledok. U 1 R 2 +U 2 R 1 R 1 R 2 +R(R 1 +R 2 ) R Príklad 46. Hrana jedného ²tvorca na obrázku ma odpor R. Aký odpor nameriame medzi bodmi A a B? Rie²enie. Ak cez tento rezistor te ie prúd I, potom cez pravú aj avú vetvu te ie prúd I/2, o vedie na rovnicu 3IR/2 + IR = 2U. Výsledok. 4U 5R, po tom ako to vypo ítate pomocou Kirchhofovych zákonov si skúste schému prekresli Príklad 44. Aký je potenciálový rozdiel (napätie) medzi uzlami A a B na obrázku? Návod. Úloha sa da rie²i bez akýko vek fínt hrubou silou. Av²ak da sa v²imnú si symetria úlohy a potom zjednodu²i cele po ítanie, nako ko nájdeme body, ktoré majú opa ný potenciál. Nezabudneme na vz ah I = φ/r a vysta íme len s prvým zákonom. 12

Rie²enie. Stredová symetria pod a stredu prostredného ²tvroca vymení body zapojenia ale schému nechá nezmenenú. To znamená, ºe potenciály budú vyzera nasledovne (Pre o?) φ 1 + U R + φ 1 φ 2 R + φ 1 + φ 2 R a podobne pre bod s potenciálom φ 2 Výsledok. 15 8 R I = U φ 1 R + U + φ 2 2R = 0 Príklad 48. Vypo ítajte odpor medzi dvoma susednými bodmi ²tvorca, ktorého strany majú odpor R a ktorého uhloprie ky majú odpor R/2. Prúd, ktorý te ie medzi bodmi A a X je ( φ + U)/R, z oho dostávame prvý zákon v tvare φ + U R + φ φ R + φ U 2R = 0 Rie²ením tejto rovnice potom dostávame hodnotu φ a z nej celkový prúd I = U φ R + U + φ 2R Odpor zapojenia je potom jednoducho 2U/I. Výsledok. R Príklad 47. Hrana jedného ²tvorca na obrázku ma odpor R. Aký odpor nameriame medzi bodmi A a B? Návod. Opä môºeme bezhlavo ráta dva zákony. Av²ak rohy, v ktorých nezapájame majú zo symetrie a Ohmovho zákona opa né potenciály. Potom uº podobne ako v úlohe 46 zapí²eme prvý zákon pre jeden z nezapojených vrcholov, im sa úplne vyhneme druhému zákonu. Výsledok. 5 12 R Príklad 49. Vo ²tvorci ABCD je na kaºdej hrane jeden odpor, ve kosti R 1,2,3,4 a okrem toho sú body B,C spojene odporom R 5. Aký je odpor medzi bodmi AD? Návod. Áno, ozaj treba ve mi ve a po íta. Alebo pouºi po íta. Príklad 50. Vypo ítajte odpor medzi dvoma hranami siete ²tvorstenu, pri om na kaºdej hrane je rôzny odpor R 1,2,3,4,5,6. To iste pre kocku a R 1,...,12. Návod. Predchádzajúca úloha. Rie²enie. Uº len obrázok a rovnice. 5 Siete jednosmerného prúdu s kondenzátormi do obvodov nám pribudne nová sú iastka, kondenzátor, ktorý ma tieto najdôleºitej²ie vlastnosti v ustálenom stave nim nete ie prúd a sprava sa ako dokonalý izolant 1 1 Ak sa zaujímame o nestacionárne prúdy, toto nie je pravda a pri nabíjaní kondenzátora nim prúd te ie. Dokonca na za iatku nabíjania sa kondenzátor sprava ako ideálny vodi. 13

na jeho doskách sa môºe hromadi náboj, na jednej klady a na druhej záporný môºe na om byt potenciálový rozdiel a ak je na nim potenciálový rozdiel U, tak je na nim nahromadený náboj Q = CU kde C je kon²tanta, ktorá je charakteristikou konkrétneho kondenzátora dva kondenzátory zapojene paralelne sa správajú ako jeden kondenzátor, ktorý ma kapacitu C = C 1 + C 2 dôvod - na oboch kondenzátoroch je napätie U, takºe náboje na nich sú Q 1 = UC 1, Q 2 = UC 2, celkový nazhromaºdený náboj je teda Q = Q 1 + Q 2 = CU Príklad 51. a. Dva kondenzátory s kapacitou C 1 a C 2 zapojíme do série a k nim paralelne pripojíme kondenzátor s kapacitou C 3. Ak takúto schému zapojíme na napätie U, aký ve ký náboj sa nahromadí na kaºdom z kondenzátorov? b. To isté v opa nom garde. Dva kondenzátory s kapacitou C 1 a C 2 zapojíme paralelne a k nim do série pripojíme kondenzátor s kapacitou C 3. Výsledok. a. Q 3 = UC 3, Q 1 = Q 2 = C 1C 2 C 1 +C 2 U b. Q 3 = C 3(C 1 +C 2 ) C 1 +C 2 +C 3 U, Q 1 = C 2 C 3 C 1 +C 2 +C 3 U C 1 C 3 C 1 +C 2 +C 3 U, Q 2 = Príklad 52. Ko kokrát sa zmení náboj na kondenzátore C 3, ak sa kondenzátor C 2 prebije (=stane sa nevodivým)? dva kondenzátory zapojene do serie sa správajú ako jeden kondenzátor, ktorý ma kapacitu C = C 1C 2 C 1 + C 2 dôvod - zapojme také dva kondenzátory na napätie U, potom napätie na kondenzátoroch je U 1 + U 2 = U, náboj na vnútorných doskách majú opa ný a rovnakej ve kosti, takºe C 1 U 1 = C 2 U 2 = Q, pri om takýto náboj sa nazhromaºdí aj na 'novom' kondenzátore, pre kapacitu ktorého C = Q/U s kondenzátormi sa da zvä ²a vysporiada pomocou sedliackeho rozumu alebo druhého kirchhofovho zákona do potenciálového spádu zarátame aj napätie na kondenzátore Návod. Poriadne si premyslie, ako to je s tými sériovými a paralelnými kondenzátormi. Rie²enie. Treba vypo íta náboje na kondenzátoroch pred a po prebití jedného z nich. Cele zapojenie pred prebitím ma kapacitu C = (C 1+C 2 )C 3 C 1 +C 2 +C 3, po prebití C = C 1C 3 C 1 +C 3. V prvom prípade je na kondenzátore C 3 náboj CU, v druhom C U (pre o?). Výsledok. C 1 (C 1 +C 2 +C 3 ) (C 1 +C 2 )(C 1 +C 3 ) Príklad 53. Aké napätia ukazuje voltmeter na obrázku? 14

Rie²enie. Kirchhofove zákony pre pravú slu ku nám dávajú IR + I EF R = Q/C, ostáva uº len z kirchofovho zákona pre avú slu ku ur i prúd I EF Návod. Voltmeter ukáºe potenciálový rozdiel medzi dvoma miestami, kam sme ho zapojili. Aký je potenciál v hornom bode? Aký je potenciál v dolnom bode? ( ) Výsledok. U C2 C 1 +C 2 R 1 R 1 +R 2 Príklad 54. Na obrázku je schéma kondenzátorov pripojených k zdroju jednosmerného napätia U. Vypo ítajte napätia medzi bodmi A a B. Výsledok. 4 5UC, v²imnite si, ºe výsledok úlohy je taký istý, ako keby sme rátali obvod bez kondenzátora, vypo ítali rozdiel potenciálov medzi bodmi E a B a potom na taký potenciálový rozdiel napojili kondenzátor (pre o?) Príklad 56. Ur te náboj, ktorý sa v tejto schéme nahromaºdí na kondenzátore. Rie²enie. Kirchhofove zákony nám dávajú 2E +RI +Q/C+E = 0, E Q/C+2RI +E = 0 Návod. V akom vz ahu sú náboje na kondenzátoroch v kaºdej vetve? V akom vz ahu sú napätia na nich? Výsledok. U/3 Výsledok. Q = 2 3 CE Príklad 57. Aký náboj prete ie ampérmetrom, ke v schéme na obrázku zapneme spína? Príklad 55. Aký náboj sa nahroºmadí na kondenzátore, ak pripojíme body A a B na potenciálový rozdiel U. Návod. Ako sa zmení náboj na kondenzátore s kapacitou 2C a o to znamená pre náboj, ktorý prete ie cez ampérmeter? 15

Rie²enie. Pred zapnutim je na oboch kondenzatoroch náboj 6CU/5. Po zapnutí spína a je celkový náboj na kondenzátoroch 3CU/2, o dá potenciál na tre om kondíku U/2. Na zvy²ných kondenzátoroch mnusí by potom rovnaké napätie, ktoré toto dop a do celkového napätia U, o dá náboj na druhom kondenzátore po zapnutí CU. Príklad 60. Sústava kondenzátorov je zapojená pod a schémy na obrázku. Výsledok. 1 5 CU Príklad 58. Aký náboj sa nahromadí na kaºdom z kondenzátorov a aký prúd pote ie kaºdým z vodi ov v nasledujúcej schéme? a. Ur te celkovú kapacitu sústavy medzi uzlami A a D. b. K uzlom A a D pripojíme zdroj kon²tantného napätia U. Ur te, na aké napätia sa po pripojení zdroja nabije kondenzátor C 3. Príklad 59. V²etky kondenzátory na obrázku majú kapacitu C a na za iatku sú nabite na potenciál U a s polaritou ako na obrázku. Aké budú napätia na kondenzátoroch ke sa po uzavretí obvodu obvod ustali? Rie²enie. Prive me na schému napätia U. Na kaºdom kondenzátore sa ustali nejaké napätia a nejaký náboj, pri om Q i = C i U i pre kaºdý kondenzátor. Zákon zachovania náboja v uzatvorených astiach obvodu nám dá dve rovnice. al²ie tri rovnice dostaneme ke napí²eme tri kirchhofove zákony pre uzavreté slu ky. Inak povedane, medzi bodmi A a D je vºdy napätia U, nech sa tam dostanem cez ubovo ne kondenzátory. Takto mame 5 rovníc o piatich neznámych, ktoré hravo vyrie²ime. Dokonca ich nemusíme vyrie²i úplne, nám totiº sta í vedie U 1 a U 2, lebo C = Q U = Q 1 + Q 2 U = U 1C 1 + U 2 C 2 U Návod. Na astiach obvodu, ktoré sú oddelene platí zákon zachovania náboja. Rie²enie. Zachovanie náboja dá rovnicu CU + CU CU = U 1 C + U 2 C U 3 C (predpokladame polaritu ako v pri pôvodnom nabití) plus dva krát druhý kirchofov zákon U 1 U 2 = U 2 + U 3 = 0 Výsledok. U/3, U/3, U/3 s polaritou ako pri pôvodnom nabití, v²imnite si, ºe odpory v zapojení nemajú ºiadny vplyv na výsledok (pre o?) Na úlohu b. nám treba z tejto sústavy vypo íta U 3. Pripadne si sta í uvedomi, ºe U 3 = U 1 U 2. Príklad 61. Vypo ítajte kapacitu kocky, ktorá ma na kaºdej svojej hrane kondenzátor s kapacitou C, ak ju zapojíme do obvodu vo vrcholoch na telesovej uhloprie ke. Návod. Úloha 38a s o osi iným pravidlom pre zapájanie kondenzátorov. Výsledok. 6C/5 16

Príklad 62. Ur te napätia U na výstupe siete nakreslenej na obrázku, ak na vstup pripojíme zdroj s napätím U 0. k tomu budeme potrebova dva nové poznatky, ktoré v²ak platia v²eobecne, nie len pre nekone né zapojenia superpozícia - majme zapojenie, ktoré Pre kapacity kondenzátorov uväzujte dva prípady: a. C 2 = 2C 1, b. C 2 = C 1. Návod. a. Schému si trochu prekresli a potom si v²imnú podobnos s úlohou 5. b. Ráta kapacity do zblaznenia Výsledok. a. U 0 /8, b. U 0 /21 Príklad 63. Na obrázku je elektricky obvod tvorený rezistormi a kondenzátormi. Elektrický zdroj s vnútorným napätím U i ma zanedbate ne malý vnútorný odpor. Kondenzátory s kapacitou C sú na za iatku vybite. Aký náboj prejde cez spojovací vodi AB so zanedbate ným odporom (R x = 0) po as nabíjania kondenzátorov, ak zapneme spína S? Aká je odpove na predchádzajúcu otázku, ak ma spojovací vodi AB odpor R x = R? ma N vývodov A 1,..., A N ke na ne privedieme potenciály φ (1) 1,..., φ(1) N, budú z nich vyteka prúdy I (1) 1,..., I(1) N, ke na ne privedieme potenciály φ (2) 1,..., φ(2) N, budú z nich vyteka prúdy I (2) 1,..., I(2) N potom ke na ne privedieme potenciály φ (1) 1 +cφ(2) 1,..., φ(1) N +cφ(2) N, budú z nich vyteka prúdy I (1) 1 + ci (2) 1,..., I(1) N + ci (2) N ve mi pekne o superpozicii pí²e Bzduso vo vzoráku k úlohe FX 3.12 v zbierke, pozor, je to vlastne príklad 70, takºe ne- íta ak sa s nim chcete potrápi sami ierna skri a - majme zapojenie, ktoré ma N vývodov A 1,..., A N potom toto zapojenie môºeme nahradi N bodmi, ktoré sú kaºdý s kaºdým spojene jedným odporom R ij, pri om tieto dve zapojenia majú rovnaký odpor medzi kaºdou dvojicou vývodov pozor, odpor medzi bodmi A i, A j v novom zapojení, teda R ij, nemusí byt rovnaký ako odpor, ktorý nameriame medzi A i a A j toto je ve mi netriviálne tvrdenie, ktoré je dôsledkom superpozicie a tieº sa o om osi pí²e v spomínanom vzoráku 6 Nekone né odporové siete záver tejto asti je ve mi aºký :) pre nekone né odpory môºeme vyuºi, ºe as obvodu sa asto podobá na obvod celý vhodne ºonglovanie s týmto a tým, o sme sa nau ili doteraz by malo viest k zdarnému koncu spome me e²te, ºe v skuto nosti ni ako nekone né situácie neexistuje; v prírode je kone ne ve a materiálu a kone ne ve a pries- 17

toru; ak sa pýtame na nejakú vlastnos nekone nej situácie, mysli sa tým toto : máme postupnos kone ných situácii ktoré sa postupne pribliºujú k nasej nekone nej. k omu sa pribliºuje postupnos vlastnosti týchto kone ných situácii? Príklad 64. Vypo ítajte odpor medzi bodmi A a B v nasledujúcich nekone ných schémach. Jeden rezistor má vºdy odpor R. Pri po ítaní kaºdej al²ej schémy zabudnite, ºe ste po ítali predchádzajúce, teda napríklad nepoväzujte tretiu schému za sériové zapojenie druhej a odporu R. Na druhej strane je to fajn spôsob, ako si overi výsledok. Návod. V²ade funguje zvy ajná nta s nahradením asti siete odporom R, ktorý je rovnaký ako odpor siete a potom rie²i uº len paralelne/sériovo zapojene odpory. Pre o je odpor v prvom prípade nulový a ostatných nie? Pre o je výsledok pre druhu a siestu sie rovnaký? Bol by rovnaký aj pre sie podobnú tej druhej, ale kde by boli odpory na preská u hore/dole? Výsledok. Posledné ²tyri : 2 R,, 1.62 R, 1.37 R, 1.46 R Príklad 65. Vypo ítajte odpor tejto nekone nej schémy. 18

Návod. Opä bude fungova nta ako v predchádzajúcom prípade. Výsledok. (1 + 17)/2 R Príklad 66. Vypo ítajte kapacitu tejto nekone nej schémy, ak kapacita jedného kondenzátora je C. Výsledok. (1 + 5)/2 R Príklad 67. Z vodi a spravíme ²tvorec. Rovnakým vodi om spojíme stredy strán tohto ²tvorca, im vznikne men²í ²tvorec. Stredy jeho hrán spojíme rovnakým spôsobom a takto postupujeme do nekone na. Strana ve kého ²tvorca ma odpor 1 Ω. Aký odpor nameriame medzi vrcholmi pôvodného ²tvorca, ktoré a. leºia na uhloprie ke, b. leºia na tej istej hrane? Návod. Na vhodných miestach v aka symetrii rozpoji a potom nahradi stredný ²tvorec odporom, ktorý je vhodným násobkom celého odporu R. Tento násobok zisti z toho, ºe dva krát krat²í kábel ma dva krát men²í odpor. V druhej asti bude treba výsledok prvej. Príklad 68. Z vodi a spravíme rovnostranný trojuholník. Rovnakým vodi om spojíme stredy strán tohto trojuholníka, im vznikne men²í trojuholník. Stredy jeho hrán spojíme rovnakým spôsobom a takto postupujeme do nekone na. Strana ve kého trojuholníka ma odpor 1 Ω. Aký odpor nameriame medzi a. vrcholmi pôvodného trojuholníka, b. vrcholom pôvodného trojuholníka a stredom proti ahlej strany? c. Vrcholy najvä ²ieho trojuholníka vodivo spojíme. Aký bude odpor medzi vrcholom a stredom najvä ²ieho trojuholníka? Návod. Podobne ako predchádzajúci príklad. V poslednej asti pomôºe Ohmov zákon a rozmyslie si, aké prúdy pote ú vo vetvách siete... a potom s íta nekone ný rad. Výsledok. a) 7 1 3 Ω Príklad 69. Z vodi a spravíme n-uholník. Do neho umiestnime men²í n-uholník tak, ºe kaºdý vrchol malého je stredom strany ve kého a tieto body u vodivo spojene. Takto postupujeme do nekone na. Aký nameriame odpor medzi a. susednými vrcholmi najvä ²ieho n-uholníka, b. vrcholom najvä ²ieho n-uholníka a proti- ahlým vrcholom, resp. stredom proti ahlej strany? c. Vrcholy najvä ²ieho n-uholníka vodivo spojíme. Aký bude teraz odpor medzi vrcholom pôvodného n-uholníka a jeho stredom útvaru? Príklad 70. Majme dvojitý a nekone ný odporový rebrík, tak ako na obrázku. Kaºdý z odporov ma odpor R. a. Vypo ítajte odpor medzi bodmi A a C. b. Vypo ítajte odpor medzi bodmi A a B, ak sú body A a C vodivo spojene (vodi om s nulovým odporom). 19

c. Vypo ítajte odpor medzi bodmi A a B. Návod. V prvých dvoch prípadoch vyuºi symetriu a vhodne rozpojí/spoji. V tretej úlohe pouºi superpoziciu predchádzajúcich dvoch alebo iernu skrinku. Rie²enie. Nasleduje skrátene rie²ene asti c) ako vo vzoráku zo zbierky Fx. Pomôºe superpozicia predchádzajúcich dvoch asti. V prípade a) sú potenciály na bodoch A, B, C postupne φ A = φ 1, φ B = φ 1 /2, φ C = 0 (pre o?) a I A = I, I B = 0, I C = I, prípad b) je φ A = φ C = 0, φ B = φ 2 a I A = I C = I/2, I B = I (prúdy vytekajú, takºe záporný prúd znamená vtekanie) o nás privedie k rovnici R c = R b + R a /4. Príklad by sa dal rie²i aj iernou skrinkou. Medzi bodmi A, B, C by sme si predstavili trojuholník z troch odporov. Z úloh a)b) a zo symetrie by sme ur ili hodnoty kaºdého odporu a potom získa výsledok asti c) nie je aºké. Výsledok. a) ( 5 1)R, b) ( 5+ ) 21 4 1 R 21 3 4 R, c) Príklad 71. Majme nekone nú ²tvorcovú sie, v ktorej je na kaºdej hrane odpor R. Aký je odpor takejto siete medzi vrcholmi ktoré sú na jednej hrane jedného zo ²tvorcov siete. Aký by bol výsledok, ak by bola sie trojuholníková? Návod. V prvom prípade vhodná super pozícia vtekania do bodu A a vytekania z bodu B.. Rie²enie. Ukáºka toho, ako funguje superpocizia. Ozna me na²e dva body A a B. Teraz najskôr prive me na bod A potenciál U, im do siete bude vteka prúd I. Zo symetrie úlohy bude v kaºdom smere tiec z bodu A prúd I/4. V bode B bude teda potenciál U RI/4. Nulový potenciál prive me do nekone na. Nekone no teda bude akýmsi tretím vývodom, ozna me ho N. Mame teda zapojenie, kde je v bode A potenciál U, v bode B potenciál U RI/4 a v bode N potenciál 0, pri om z týchto bodov vytekajú postupne prúdy I, 0, I. Záporne znamienko znamená, ºe prúd vteká. Majme teraz iné zapojenie, kde do bodu B privediem potenciál U a do bodu N dáme nulový potenciál. Zo symetrie celej siete bude týmto zapojením tiec opä prúd I, a opä z kaºdého smeru vte ie do bodu B prúd I/4. To znamená, ºe v bode A je potenciál U +IR/4. Celkovo teda mame potenciály v bodoch A,B,N rovne U+IR/4, 0, U a vytekajúce prúdy 0, I, I. A teraz z ve kou slávou zistime, ºe ke tieto dve situácie skombinujeme (spravíme ich superpoziciu), dostaneme zapojenie, kde sú potenciály IR/4, 0, IR/4 a prúdy I, 0, I. Medzi bodmi A a B teda te ie prúd I, pri om je na nich potenciálový rozdiel IR/2. Odpor medzi nimi je teda R/2. Zvy²né úlohy v tejto asti sú pravdepodobne vypo ítané zle. To ale neznamená, ºe nie sú zaujímavé a neopaltí sa nad nimi zamyslie. Ale rie²enia treba bra dos s rezervou. Skú²te nájs, kde v nich je chyba. Sná sa niekedy dostanem k tomu túto as opravi. Ak tu je tento odstavec, e²te sa tak nestalo. Príklad 72. Nekone na sie je vytvorená z pravidelnej ²tvorcovej siete vynechaním niektorých prie ok (výsledná sie je na obrázku znázornená plnou iarou). Strana elementárnej ²tvorcovej bunky (napr. AB) ma odpor R. 20

Aký odpor nameriame, ak pripojíme ohmmeter a. k uzlom siete A a B, b. k uzlom siete B a C, c. k uzlom siete A a C, d. k uzlu ozna enému iernou bodkou a uzlu C? Návod. V prvých troch astiach pomôºe predchádzajúca úloha a prekresli schému na ²es uholníkovú. V poslednej asti verzia iernej skrinky. Rie²enie. Ukáºeme si rie²enie prvých asti iernou skrinkou. a) toto zapojenie ma vlastne tri vývody, A, B a nekone no (N), mame teda trojuholník, v ktorom R AB = R, R AN = R BN = R, ke privedieme potenciál U do bodu A a nulu do bodu N, platí I AN = 2I, I AB = I, I AB = I, I BN = I, kirchofov zákon da potom R = R, takºe celkový odpor medzi A a B je 2 3 R c) toto je zapojenie o ma 4 vývody A, B, C, N (mohlo by mat aj tri ACN, ale tam by sme toho ve a nevedeli), pri om R AB = R BC = R, R AN = R CN = R 1, R BN = R 2, opä zapojíme do A potenciál U a do N nulový potenciál, pri om teraz platí I AB = I, I AN = 2I, I BN = I BC = I/2, I CN = I/2, z oho kirchof dáva R 1 = R a teda odpor medzi A a C je R as c) inak : opä si toto zapojenie prekreslime ako 4 vývody s R AB = R BC = R, R AN = R CN = R 1, R BN = R 2, ale tentoraz nebudeme uvaºova ºiadne prúdy, namiesto toho napí²eme podmienky : odpor medzi A a B je 2R/3, odpor medzi A a N je taký istý ako odpor medzi B a N 2 R 1 + R + 1 R 2 = 1 R + (R+R 1)R 2 R 1 +R 2 +R 3 2R = 1 R 1 + (R+R 1)R 2 R 1 +R 2 +R + 1 R 1 + 1 R tieto rovnice dávajú R 2 = 2R, R 1 = R, o dáva o akávaný výsledok odporu medzi A a C d) bude to chcie iernu skri u o ma 5 vývodov Príklad 73. Majme nekone nú ²tvorcovú sie, v ktorej je na kaºdej hrane odpor R. Aký je odpor takejto siete medzi vrcholmi ktoré sú na uhloprie ke jedného zo ²tvorcov siete. Aký by bol výsledok, ak by bola sie trojuholníková? 2 Návod. Rovnice vyzerajú ve mi podobne ako v asti c) prechádzajúcej úlohy, s malou zmenou pre ²tvorcovú sie. Mame teda 4 vývody A,B,C,N s R AB = R BC = R, R AN = R CN = R 1, R BN = R 2 a 2 R 1 + R + 1 R 2 = 1 R + (R+R 1)R 2 R 1 +R 2 +R 2 R = 1 R 1 + (R+R 1)R 2 R 1 +R 2 +R + 1 R 1 + 1 R Tieto rovnice majú rie²enie R 1 = R 2, R 2 = 3R 4, ostáva teda poráta zapojenie do ²tvorca, ktoré ide napríklad transformáciou na hviezdu abo kirchofacmi Príklad 74. Majme nekone nú kockovú sie odporov, pri om kaºdý z odporov ma odpor R. Aký nameriame odpor medzi 2 Niekde som po ul, ºe z numerických simulácií sa zdá, ºe výsledok tohto príkladu má osi z íslom π a teda nemôºe by rie²ením algebraických rovníc, ktore isto dostaneme. Problém uº za ína v asti c predchádzajúceho príkladu. Neviem, i je uvedené rie²enie správne a akéko vek poznámky k týmto príkladom budem po u ve mi rád. 21

a. dvoma susednými vrcholmi b. vrcholmi, ktoré leºia ne uhloprie ke ²tvorca, c. vrcholmi, ktoré leºia na uhloprie ke kocky. 7 Za obzorom týchto poznámok Nau ili sme sa po íta vcelku ²irokú paletu rôzne náro ných a rôzne zameraných príkladov. Na zaver uº len stru né zhr me, o v týchto poznámkach bolo viac i menej nahlas zaml ané a kam by sa ²túdium elektrických problémov mohlo ubera alej. V celom texte sme povaºovali sú iastky za ideálne. V skuto nosti v²etky ampérmetre, voltmetre, zdroje a iné sú iastky ideálne nie sú. To sa do istej miery dá napravi pridaním sú iastky, napríklad odporu, ktorá bude tieto neideálne vlastnosti nahrádza. Ideálne v²ak nie sú ani vodi e. Tu je problém o osi vä ²í, nako ko tým strácajú na platnosti v²etky prekreslovacie, spájacie a rozpajacie nty, nako ko menia odpor schémy, pripadne vôbec neplatia a schému menia úplné. Tu nezostává kon- ²tatova ni iné, ako ºe pri rozumných rozmeroch a prúdoch sa odpory s dobrou presnos ou pova- ºova za ideálne dajú a u om, ktorí ich za také povaºova nemôºu (silnoprúdový inºinieri, projektanti vedení vysokého napätia) alebo nechcú (rýpali) popria ve a ² astia. V neposlednom rade ma asi vä ²ina itate ov pocit, ºe úlohy boli síce pekne, ale slu²ne povedané akademické. Opä námietka, na ktorú sa odpovedá aºko inak ako pokr ením pliec. Pravda je. Skuto né siete, ktoré sa vyskytuje v elektrotechnike a ktoré ná² obklopujú v²ade naokolo, sú ove a komplikovanej²ie a na výpo et ich vlastnosti sa pou- ºívajú asto ve mi zloºité a niekedy iba pribliºné metódy. Av²ak pre potreby stredo²koláka, na ilustráciu a pochopenie toho, o sa v obvodoch deje, by mali tieto príklady slúºi dokonale. V texte sme vynechali jednu vcelku ²tandardnú techniku, ktorej sa hovorí transformácia trojuholníka na hviezdu. je to ú inná zbra v boji s príkladmi, v ktorých sa nedá rozumným spôsobom pouºi nejaká nta a ni iné ako hrubá sila nezostává. Pomocou tohto triku môºme zjednodu- ²i zapojenie a previes schému, ktorá inak nie je iba paralelne a sériové zapojenie odporov na nie o zrátate né. Transformáciu si môºe itate na²tudova napríklad v ²tudijnom texte eskej FO. Potom sa môºe pokúsi vypo íta pomocou nej napríklad úlohy 46, 48 a 49. Tak isto sme vo v²etkých príkladoch uväzovali ustálené prúdy. Av²ak pri zapojení obvodu istý as trvá, kým sa ustali. Tak isto po as nabíjania kondenzátora nim nejaký as prú te ie. Ke do odporu zapojíme cievku, tak nejaký as brzdi prú v obvode. V²etky tieto javy si na svoj systematicky popis vyºadujú jazyk diferenciálnych rovníc av²ak kvalitatívne sa dajú popísa aj na stredo²kolskej úrovni. Okrem sú iastok, ktoré sme tu popísali sa do obvodov dajú zapája polovodi ové sú iastky, ktoré svojimi vlastnos ami otvárajú v elektrotechnike dvere nekone ným moºnostiam. Na tomto mieste v²ak len spome me, ºe také sú iastky existujú a ich správanie a vlastnosti sú ve mi ²iroké a vcelku náro né témy. A na úplný zaver pripome me, ºe obvodmi môºu tiec prúdy striedavé, ktorých moºnosti na teoretické ²túdium a praktické vyuºitie aleko presahujú jednosmerný prúd. A ak sa nájde niekto, kto uº v²etky príklady vypo ítal a málilo sa mu, na zaver nieko ko ozaj výnimo ných príkladov. Príklad 75. Nájdite zapojenie, zloºené s rezistorov s odporom 1 Ω, ktorého odpor sa od numerickej hodnoty ísla π lí²i o menej ako 0, 00001 Ω. Vymyslite takéto zapojenie z o najmen²ieho poctu 22

rezistorov. Príklad 76. Zoberiem 3n odporov, vyrobím z nich n zapojení v tvare písmena U a zapojím ich za seba. Na obrázku je zapojenie pre n = 3. Teraz vodivo spojím body 1 a 3 a body 2 a 4, ím dostaneme valec odporov. Aký je odpor medzi bodmi 1 a 2? Potom vodivo spojíme body 1-4 a 2-3, ím vznikne Mobiov pásik odporov. Aký bude medzi bodmi 1 a 2 odpor teraz? Výsledky vypo ítajte pre v²eobecné n. Príklad 77. Predstavte si, ºe pred sebou mate 11 rezistorov. Z nich ma desa odpor 10 Ω, jeden (chybný) ma ve kos 30 Ω. Najmenej ko kými meraniami ste zaru ene schopní nájs medzi rezistormi ten, ktorého odpor je vä ²í? Pre o je tento po et meraní minimálny? Pouºitá a odporú aná literatúra Zbierky rie²ených úloh Náboja FKS, 1999 az 2013 Zbierka rie²ených úloh FX, 1. a 3. rocnik Zbierky rie²ených úloh Fyziklani Fykosu 2011 az 2014 Archív úloh Fyzikálnej Olympiády tudijné texty eskej FO - Miroslava Jaresova, ELEKTRICKE OBVODY (Stejnosmerný proud) Andrej Tirpák - Elektromagnetizmus 23