. Bzele ritmetice l clcultorelor numerice.. Sisteme de numerţie Un sistem de numerţie (SN) este formt din totlitte regulilor de reprezentre numerelor cu jutorul unor simboluri numite cifre. SN sunt de două tipuri: poziţionle şi nepoziţionle. Pentru un sistem poziţionl pondere unei cifre este dtă tât de vlore ei intrinsecă cât şi de poziţie. Un sistem nepoziţionl, este cel în cre pondere nu este influenţtă de poziţi cifrei. Dtorită simplităţii de reprezentre şi efecture clculelor, în sistemele numerice se folosesc în eclusivitte sistemele poziţionle, un semene sistem fiind crcterizt prin bză cre reprezintă numărul totl de simboluri (cifre). Eemple de bze uzule: Sistemul zeciml: b=, simboluri:,,,3,4,5,6,7,8,9; Sistemul binr: b=, simboluri:,; Sistemul octl: b=8, simboluri:,,,3,4,5,6,7; Sistemul hezeciml: b=6, simboluri:,,,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f. Pentru un număr întreg N, reprezentre în bz b este secvenţ de simboluri m- m-. cre verifică următorele condiţii:. i b, i m,m,,,,; m ; (.) b. N m m b m b m b b b. (.) Numerele rele u o reprezentre semănătore, însă conţin punctul frcţionr (su virgul) cre sepră prte întregă de ce frcţionră. Pentru un număr rel r, reprezentre în bz b este secvenţ de simboluri m-. - - cre verifică următorele condiţii:. i b, i m,m,,,,,,, ; m ; (.3) b. r m m b b b b b b. (.4) Pornind de l fptul că l bz relizării unui sistem numeric de clcul stu dispozitivele cu două stări stbile, rezultă că SN binr (cre necesită numi două cifre, şi ) este cel mi potrivit pentru prelucrre, codificre şi trnsmitere informţiei în ceste echipmente. SN le căror bze reprezintă puteri le lui prezintă de semene proprietăţile sistemului binr, motiv pentru cre sunt frecvent utilizte în tehnic de prelucrre utomtă dtelor (în specil SN octl şi SN hezeciml). În cee ce priveşte SN zeciml cest este cu precădere utilizt în numite fze le operţiilor de intrre- ieşire.
.. Conversi unui număr dintr-o bză în lt Eistenţ şi utilizre mi multor SN ridică problem conversiei dintr-un sistem în ltul. Un din metodele frecvent utilizte o reprezintă împărţire / înmulţire numărului cu nou bză. Vom emin pentru început conversi numerelor întregi. Fie numărul N eprimt în bz : (N) m m α α m α m α α, (.5) pentru cre se doreşte eprimre în bz, respectiv (N) n n α β n β n β β, (.6) Algoritmul de conversie presupune determinre coeficienţilor i, un din metode fiind ce împărţirilor succesive numărului l nou bză, conform următorului procedeu: (N) α /β n n 3 β β n n β /β, (.7) Câtul(N ) α Restul (N n 3 n 4 ) α /β β n β n β /β, (.8) Câtul(N ) α Restul.. (N n k k ) α /β β n k β k /β k, (.9) Câtul(N k ) α Restul. După cum se observă în urm primei împărţiri rezultă, (cifr ce mi puţin semnifictivă rezulttului - CCMPS), poi ş..m.d. Procedeul continuă până când câtul devine mi mic decât nou bză, ultimul rest fiind coeficientul n-, (cifr ce mi semnifictivă rezulttului - CCMS). În czul numerelor rele de form r = r I + r S prte întregă r I se converteşte potrivit procedurii prezentte, ir prte subunitră r S prin înmulţiri succesive cu nou bză. Fie numărul r S eprimt în bz : (r m S ) α α α m α, (.) pentru cre se doreşte eprimre în bz, respectiv (r n S ) α β β n α, (.) Coeficienţii -i se obţin prin înmulţiri succesive în (.) cu, respectiv (r n S ) α β β n, ; (.) (r S ) α
(r n S ) α β 3 β n, ; (.3) (r S ) α.. (r n k ) β β S k α k k n, k ; (.4) (r S k ) α. Cifr - reprezintă CCMS ir -k CCMPS rezulttului. Procedur se opreşte în momentul prte frcţionră r S k rezulttului unei înmulţiri devine zero, su dcă s- tins precizi de conversie specifictă prin numărul de cifre l reprezentării. Din prezentre efectută rezultă că numărul de poziţii binre pentru prte întregă se pote determin priori, în timp ce pentru prte frcţionră cest număr trebuie impus. Astfel numărul n de poziţii binre cre se obţin l conversi unui număr zeciml N este: k log N dcă N=, k N n [log N] k dcă N, k N (.5) Conversiile binr - octl ; binr - hezeciml se relizeză simplu dtorită fptului că bzele cestor sunt puteri le lui spect evidenţit în tbelul.. Octl Binr Heze ciml Binr 3 Tbelul. Heze ciml Binr 8 9 A 3 3 B 4 4 C 5 5 D 6 6 E 7 7 F Cifrele sistemului octl pot fi reprezentte prin combinţii de câte trei biţi denumite tride ir le sistemului hezeciml prin combinţii de câte ptru biţi numite tetrde. Regul de conversie: fiind dtă reprezentre în binr unui număr rel, reprezentre în octl se obţine grupând câte trei cifrele binre începând de l seprtorul frcţionr (punct, virgulă), spre stâng şi spre drept. După ce grupele etreme se completeză (dcă este czul cu zerouri nesemnifictive), fiecre tridă se substituie cu echivlentul său octl. Aceişi regulă se plică şi l conversi binr-hezeciml, cu observţi că în loc de tride se opereză cu combinţii de 4 biţi (tetrde).
Conversi inversă octl / hezeciml binr se fce prin înlocuire fiecărei cifre octle / hezecimle cu trid / tetrd corespunzătore..3. Reprezentre numerelor în clcultor Uzul un echipment de clcul numeric prei dtele şi oferă rezulttele într-o formă ccesibilă utiliztorului. În cee ce priveşte prelucrre, cest presupune eprimre dtelor într-o formă specifică procesorului. În consecinţă eistă două formte de reprezentre numerelor în clcultor şi nume formtul intern şi formtul etern. ) Reprezentre numerelor întregi. Aceste se reprezintă de regulă în formt cu virgulă fiă. De l început trebuie făcută precizre că virgul (punctul zeciml) nu este prezentă în mod eplicit în reprezentre. Sintgm virgulă fiă re în vedere o convenţie cre presupune un loc fi l cestei şi un celşi număr de cifre pentru număr. Numărul de biţi (n) utilizţi pentru o reprezentre determină numărul de vlori reprezentbile ( n ). În tbelul. sunt prezentte vlori tipice pentru n şi n. Domeniul finit de vlori pentru numerele întregi, reprezentte în formtul cu virgulă fiă este: D [ Vmin, Vm] Z, (.6) unde V min şi V m sunt ce mi mică respectiv ce mi mre vlore ce se pot reprezent pe n biţi. Cele n vlori distincte pot constitui reprezentări le unor numere întrgi pozitive su negtive. Observţie importntă. Indiferent de formt numărul de biţi pe cre se reprezintă un număr este finit şi fi, stbilindu-se în fz de proiectre clcultorului. Din cest motiv în clcultor nu se pote reprezent decât un număr finit de vlori, interprette diferit în cele două formte. Numerele cre se pot reprezent în clcultor se numesc numere cu precizie finită (NPF) şi u proprietăţi diferite fţă de numerele din mtemtică. În czul cestor pote păre depăşire cpcităţii de memorre deorece NPF u un domeniu finit de vlori, în sensul că nu pot eist numere oricât de mri su oricât de mici. Depăşirile pot fi detectte hrdwre su softwre. Numerele întregi fără semn se reprezintă prin corespondentul lor binr (codul direct) numărul de biţi pentru reprezentre unui număr N fiind n N n. (.7) Pentru numerele cu semn eistă trei reprezentări mi des utilizte şi nume: semn mărime; complement fţă de ; 3 complement fţă de. 4
) Reprezentre numerelor în semn mărime Considerând reprezentre pe n+ biţi primul bit din stâng este socit semnului, ir restul de n biţi conţin mărime numărului eglă cu reprezentre binră vlorii N- figur.. În privinţ semnului s cre ocupă bitul cel mi semnifictiv (MSB Most Significnt Bit) convenţi este următore: S =, dcă N ; S =, dcă N <. ) Reprezentre numerelor în complement fţă de Pentru numere pozitive N reprezentre în complement fţă de este identică cu reprezentre semn mărime. Dcă N <, tunci s = şi mărime N n N, M C (.8) unde n este numărul de biţi utilizţi pentru reprezentre mărimii. Clculul complementului C se pote fce prin două metode şi nume: S - utilizând definiţi, (.8) respectiv M n s M mărime bit n biţi Fig... Reprezentre semn mărime pe n+ biţi. N. - prin inversre biţilor reprezentării cu semn vlorii bsolute N numărului N. 3) Reprezentre numerelor în complement fţă de Pentru numere pozitive N reprezentre în complement fţă de este identică cu reprezentările semn mărime şi în cod complementr fţă de. Dcă N <, tunci s = şi mărime N n N, M C (.9) unde n este numărul de biţi utilizţi pentru reprezentre mărimii. Clculul C se pote fce prin trei metode şi nume: - utilizând definiţi, respectiv S M n N. s=. - prin inversre biţilor reprezentării cu semn vlorii bsolute N numărului N l cre se dugă ; 5
3 - prin nliz de l drept l stâng reprezentării cu semn vlorii bsolute N numărului N. Primii biţi de şi primul bit de se lsă neinversţi, poi se inverseză toţi biţii, inclusiv bitul de semn (dcă primul bit întâlnit este se lsă neschimbt numi cest). Observţie Reprezentre în complement fţă de este ce mi utiliztă pentru numerele lgebrice dtorită fptului că elimină mbiguităţile legte de reprezentre numărului zero. Reprezentările semn mărime şi C oferă două reprezentări distincte le cestui număr (+ şi -) după cum urmeză. Semn - mărime C C + = + = + = - = - = - = b. Reprezentre numerelor rele. Numerele rele se pot reprezent în formt virgulă fiă su virgulă mobilă. b) Reprezentre în formt virgulă fiă este semănătore reprezentării numerelor întregi. Se impun n biţi pentru prte întregă, respectiv n biţi pentru ce frcţionră, rezultând o poziţie fi[ pentru seprtorul zeciml (punct su virgulă) potrivit figurii.. s M mărime prte întregă n biţi M mărime prte frcţionră n biţi Fig... Reprezentre formt cu virgulă fiă pentru numere rele. b) Reprezentre în formt virgulă fiă mobilă utilizeză reprezentre ştiinţifică r m E, (.) cărei îi sunt socite două componente: E - eponentul - indică ordinul de mărime l numărului; m - mntis - rtă mărime ectă numărului într-un numit domeniu. Considerăm că pentru reprezentre unui număr în virgulă mobilă se utilizeză n biţi din cre e pentru eponent (cre determină intervlul de vlori) şi m biţi pentru mntisă (cre determină precizi reprezentării). După cum se ştie cu n biţi se pot reprezent n numere rele. Diferenţ fţă de formtul cu virgulă fiă constă în modul în cre sunt interprette ceste vlori. Între numere rele din mtemtică şi numerele rele reprezentte în formtul cu virgulă mobilă eistă diferenţe legte de domeniul finit şi mulţime discretă de vlori. Domeniul finit de vlori este determint de cpcitte fizică limittă memoriei clcultorului. O reprezentre vlorilor limite pe relă permite evidenţiere situţiilor in cre se produce depăşire. Determinre vlorilor V min şi V m permite identificre pe relă, figur.3, domeniilor de vlori reprezentbile. 6
() () (3) (4) (5) (6) (7) Numere negtive forte mri în modul nereprezentbile -V m Numere negtive forte mici în modul nereprezentbile Numere pozitive forte mici nereprezentbile -V min +V min +V m Fig..3. Domeniile vlorilor rele reprezentbile. Numere pozitive forte mri nereprezentbile Zonele mrcte cu cifre in figur.3 reprezintă următorele ctegorii de numere:. numere negtive forte mri în modul nereprezentbile ;. numere negtive reprezentbile 3. numere negtive forte mici în modul, nereprezentbile; 4. numărul zero; 5. numere pozitive forte mici în vlore bsolută nereprezentbile; 6. numere pozitive reprezentbile ; 7. numere pozitive forte mri in vlore bsolută, nereprezentbile. Domeniul de reprezentre v fi formt din zonele ( numere negtive) şi (6 - numere pozitive) l cre se dugă zon 4 reprezenttă de numărul zero. Dcă în urm unei operţii ritmetice rezultă o vlore în zonele () su (7) pre depăşire flotntă (inferioră dcă rezultt < -V min su superioră dcă rezultt > V m ). Dcă rezulttul se situeză în zonele (3) su (5) se semnlizeză imposibilitte reprezentării pentru c numerele sunt pre mici (negtive zon 3, pozitive zon 5). Crcterul discret l reprezentării în virgulă mobilă este dt de fptul că mulţimile din zonele () şi (6) le schemei din figur.3 sunt mulţimi finite. Având în vedere că mulţime numerelor rele este o mulţime continuă (între orice două numere rele se găseşte o infinitte de semene numere) rezultă că nu eistă o corespondenţă biunivocă între cestă mulţime şi mulţime numerelor reprezentbile în virgulă mobilă. Numărul de cifre l mntisei determin precizi de reprezentre în domeniile şi 6 in timp ce numărul de cifre l eponentului fecteză mărime celorşi domenii. Mntis se reprezintă uzul in form normliztă (prim cifră din stâng diferită de zero) si intr-un din bzele, 4, 8, 6. Pentru nu folosi eponenţi negtivi se introduce noţiune de crcteristică. Acest este eglă cu eponentul cu semn deplst, stfel încât să i vlori intr-o mulţime de numere pozitive. De eemplu pentru un eponent in domeniul [-64, +63]Z, o deplsre cu +64 v conduce l o crcteristică în domeniul [, +7]Z. Reprezentre stndrd în VM. Î nul 985 s- doptt stndrdul IEEE 754 referitor l reprezentre numerelor în virgulă mobilă, stndrd cceptt de mjoritte firmelor producătore de microprocesore. 7
Stndrdul defineşte trei formte: simpl precizie, dubl precizie, precizie etinsă, tbelul. fiind prezentte crcteristicile primelor două formte. Tbelul. Formt Biti Semn Ep. Mntis Eces Simplă 3 8 3 7 precizie Dublă precizie 64 5 3.4. Operţii ritmetice În cele ce urmeză se vor prezent câtev elemente ce privesc relizre operţiilor ritmetice în cod binr. Efecture oricărei stfel de operţii se reduce l dunre şi / su scădere numerelor binre conform regulilor următore: + = - = + = - = + = - = +b + = =+c - = unde c (crry) este trnsportul l rngul superior, ir b (borrow) este împrumutul de l rngul superior. Adunre şi scădere în reprezentre semn - mărime. Cele două operţii vor fi trtte unitr conform relţiei: tbelului.3. op = S y S s OP (.) unde: op reprezintă operţi efectivă ce se v efectu între cei doi opernzi; S, y S - semnele celor doi opernzi ( pt. -, pt. +); s OP - operţi ce se doreşte fi efectută ( pt. -, pt. +). În cee ce priveşte operţi (su eclusiv) cest este definită stfel: = ; = ; = ; =. Pe bz celor prezentte, vlore opertorului op se determină cu jutorul Tbelul.3 s y s S op Op s y s S op Op + + + + + + - - + - + - + - - + - + + - - + - + - - + + - - - - 8
Dcă op=, se dună modulele celor doi opernzi semnul rezulttului fiind dt de semnul primului opernd. Rezulttul este corect dcă nu se depăşeşte vlore mimă pentru numărul respectiv de biţi. Dcă op=, se v efectu scădere modulelor celor doi opernzi, semnul rezulttului fiind dt de semnul numărului mi mre în modul. Adunre şi scădere în C. Aceste operţii se reduc l operţi de dunre numerelor reprezentte în C. Cei doi opernzi se dună bit cu bit, inclusiv biţii de semn. Eventulul trnsport cre rezultă l rngul de semn se v dun l rngul cel mi puţin semnifictiv. Dcă bitul de semn l rezulttului re vlore tunci rezulttul este în C (ltfel este semn mărime). Adunre şi scădere în C. Operţiile se reduc l dunre numerelor reprezentte în C. Cei doi opernzi se dună bit cu bit inclusiv biţii de semn ir eventulul trnsport cre rezultă l bitul de semn se neglijeză. Dcă bitul de semn l rezulttului re vlore tunci rezulttul este în C (ltfel este semn mărime). Înmulţire numerelor binre. Mjoritte metodelor de înmulţire numerelor binre se bzeză pe procedeul dunării repette. Vom eemplific pentru produsul două numere şi y eprimte în semn mărime, pentru cre se prcurg următorele etpe: ) se determină semnul produsului s P = s + s Y unde s P este semnul produsului ir s şi s Y semnele celor doi fctori s P, s,s Y, conform regulii: p k unde y + = ; (+) (+) = (+) + = ; (+) (- ) = (- ) + = ; (- ) (+) = (- ) + = ; (- ) (- ) = (+) b) se clculeză modulul produsului prin însumre produselor prţile, respectiv n k k k y k k dc y dc y k k (.) O ctegorie specilă de înmulţire o reprezintă înmulţire cu puteri le bzei respectiv cu k, cre presupune deplsări după cum urmeză: k> deplsre stâng cu k poziţii (se dugă zerouri în poziţiile nesemnifictive din drept rămse libere); k< deplsre drept cu k poziţii (se dugă zerouri în poziţiile semnifictive rămse libere). 9
Împărţire numerelor binre. Împărţire numerelor binre re l bză regulile : =, : = (împărţire cu zero nu re sens). După cum s- văzut, operţi de înmulţire pote fi redusă l o serie de dunări. În mod similr operţi de împărţire pote fi redusă l o serie de scăderi. Adunre şi scădere numerelor reprezentte în formt virgulă mobilă. Aceste operţii se eecută în mi multe etpe şi nume: ) dcă cei doi eponenţi (crcteristici) nu coincid se duc numerele l celşi cel mi mre - cel mi mre (în cest scop numărul cu eponentul mi mic v fi deplst cu D = E m - E min poziţii l drept); b) se dună mntisele în codul în cre sunt reprezentte; c) se normlizeză mntis obţinută în urm dunării. Fie două numere în VM bz 6 A = (.M ) 6 6 E şi B = (.M ) 6 6 E unde M şi M sunt mntisele ir E şi E (unde E >E ) sunt crcteristicile celor două numere. Sum respectiv diferenţ celor două numere se clculeză stfel: A B = ((.M ) 6 (.M ) 6 6 D ) 6 E (.3) Înmulţire şi împărţire numerelor reprezentte în formt cu virgulă mobilă. Acestă operţie presupune dunre (scădere) eponenţilor (crcteristicilor) şi înmulţire (împărţire mntiselor). Dcă cele două numere sunt: A = (.M ) 6 6 E şi B = (.M ) 6 6 E tunci produsul şi câtul vor fi : A B = ((.M ) 6 (.M ) 6 ) 6 E+E A : B = ((.M ) 6 : (.M ) 6 ) 6 E-E Produsul mntiselor v determin un număr de lungime dublă fţă de cele două mntise din cre se vor reţine numi jumătte din cifre (cele mi semnifictive) după cre se fce rotunjire..5. Coduri numerice şi lfnumerice Pentru stocre, prelucrre şi trnsmitere informţiei se utilizeză diverse codificări cre elimină erorile de reprezentre permiţând detecţi şi corecţi erorilor..5.. Coduri numerice (binr zecimle) Cifrele zecimle pot fi reprezentte tât în binr cât şi în lte codificări cre prezintă diverse vntje în utilizre cum r fi: BCD, codurile ponderte 84 şi 4 şi neponderte Gry şi Eces 3.
Codul BCD. Fiecre cifră zecimlă unui număr este reprezenttă prin codul său binr codificre numindu-se zeciml codifict binr (BCD Binry Coted Deciml). Acestă codificre se deosebeşte evident de codificre binră, următorul eemplu fiind relevnt. Operţii ritmetice în cod BCD. Din modul în cre se efectueză codificre în BCD rezultă că sunt vlide numi combinţiile cuprinse între şi, celellte (între şi ) fiind invlide. Se pune problem efectuării de clcule ritmetice cu numere reprezentte în BCD, dr utilizând o UAL cre lucreză binr. De eemplu 36+94 ş 3 ş BCD unde pr combinţiile interzise şi. Eliminre cestor şi revenire în cod BCD se fce prin procedeul de justre zecimlă cre constă în:. dcă în urm dunării rezultă o cifră he S A tunci se dună 6 (respectiv şi se obţine cifr BCD; b. dcă în urm dunării rezultă cifr S 3, dr cu trnsport spre rngul superior, tunci se dună 6 (respectiv şi se obţine cifr BCD. Acestă corecţie v permite efecture dunării în bză şi nu în bză 6 cum s-r efectu dcă s-r lu în considerţie tote combinţiile posibile de câte 4 biţi. În cee ce priveşte celellte operţii ceste se reduc l dunre su utilizeză în mod repett dunre. O menţiune pentru înmulţire (împărţire) cu k,echivlente cu deplsre numărului cu k tetrde spre drept su spre stâng fţă de poziţi punctului zeciml, după cum k este un întreg pozitiv, respectiv negtiv. Coduri ponderte şi neponderte. Un cod pondert sociză fiecărei cifre zecimle o tetrdă binră, ir pondere fiecărui bit din tetrdă este eglă cu vlore cifrei din denumire codului. Vlore cifrei zecimle codificte se obţine prin însumre biţilor cuvântului de cod, ponderţi cu vlore corespunzătore din denumire codului. L codurile neponderte nu este o legătură directă între poziţi şi pondere unui numit bit.. In tbelul.4 se prezintă câte două coduri din fiecre ctegorie menţiontă. Tbelul.4 Cifră Coduri ponderte Coduri neponderte zecimlă 84 4 Gry Eces 3 3 4 5 6 7 8 9
Referitor l codurile prezentte în tbelul.4 se pot formul observţiile de mi jos. ) L codul 4 codurile primelor 4 cifre sunt identice cu le codului 84. Codurile cifrelor căror sumă este 9 sunt complementre eemplu cu 7, 3 cu 6, 4 cu 5 etc). b) Codul Gry re propriette de dicenţă în sensul că trecere de l o cifră l următore se fce prin modificre unui singur bit. c) Un cuvânt l codului EXCES 3 se obţine din cuvântul corespunzător din 84 l cre se dugă (dică 3 în binr). Avntjul cestui cod este că se pote fce distincţie între bsenţ informţie şi codul cifrei zero. Cel mi răspândit cod este 84 cre stă l bz codificării zeciml binre (BCD)..5.. Coduri lfnumerice În fr numerelor întregi su rele informţi prelucrtă de clcultor mi pote conţine tet formt din crctere, drese de memorie, informţie de stre etc. Tetul reprezintă un din formele cele mi utilizte pentru mnevrre şi memorre informţiei. În prezent clcultorul este utilizt într-o mre vriette de plicţii cre nu necesită nepărt clcule mtemtice cum r fi: editre, redctre, grfică etc. Tot cu jutorul crcterelor se introduc în memori clcultorului progrmele sursă şi se obţin rezulttele. În generl, în mulţime crcterelor lfnumerice intră cifre, litere şi crctere specile. Crcterele pot fi tipăribile su nu, în ultim ctegorie intrând: - crctere de control pentru comunicţi între dispozitive; - crctere de control pentru deplsre cursor; - crctere cu semnificţie nedefinită. În prezent mre mjoritte pltformelor de clcul utilizeză codul IBM ASCII (Americn Stndrd Code for Informtion Interchnge). Codul ASCII se prezintă în vrintele restrâns şi etins. Codul ASCII restrâns sociză fiecărui crcter câte o formţie de 7 biţi ir cel etins câte un de 8 biţi. Rezultă că cele două coduri permit codificre 8 respectiv 56 de crctere. Eemple de coduri ASCII: A: 4h, :3h, *:Ah,?:3Fh, etc..5.3. Coduri pentru detectre şi corectre erorilor Reltiv l erorile cre pot pre l trnsmisi sunt de menţiont două ctegorii de probleme. detectre erorilor; b. corectre erorilor. L rândul său detectre erorilor comportă două tipuri de operţii:. detectre stării de erore;. dignoz erorii. Prin detectre stării de erore se specifică eistenţ unei erori fără se preciz ect erore. Dignoz presupune determinre erorii, respectiv biţilor cre u fost trnsmişi eront. Importntă în detectre erorilor de trnsmisie este distnţ Hmming (DH) definită c numărul de poziţii binre prin cre diferă două cuvinte de cod. De eemplu cuvintele binre = şi y = diferă prin două poziţii binre, deci distnţ Hmming este d =. Fiind vorb de sesizre lipsei coincidenţei, d se pote determin cu jutorul funcţiei SAU EXCLUSIV, respectiv d = y. Semnificţi DH este că sunt necesre d erori de un singur bit
pentru converti un cuvânt în ltul. De semene pentru elimin d erori este nevoie de un cod cu DH = d +. Ce mi simplă soluţie de semnlre stării de erore este dăugre bitului de pritte (bp). Dcă de eemplu l codul 84 pe 4 biţi se dugă un bit de pritte se obţine un cod detector de erori pe 5 biţi. DH cestui cod este deorece l trnsmisi greşită unui bit este fectt şi bitul de pritte. Se pote utiliz convenţi de pritte pră (PP) su impră (PI). L PI numărul totl de biţi din codul 84 împreună cu bitul de pritte este impr, ir l PP cest număr este pr. În prctică este lrg utiliztă şi metod codului polinomil cunoscut şi sub denumire de cod cu redundnţă ciclică su cod CRC ( Cyclic Redundncy Code). L trnsmitere dtelor între cele mi utilizte polinome genertore sunt următorele : CRC- = + + 3 + + + CRC-6 = 6 + 5 + + CRC-CCITT = 6 + + 5 + Corectre erorii presupune înlocuire biţilor detectţi c fiind trnsmişi eront. Un cod este cod corector de erori (CCE) tunci când cuvântul de cod corect pote fi întotdeun dedus din cuvântul eront. Între CCE un loc prte revine codului Hmming, cre în czul unei corecţii singulre re distnţ 3. Numărul minim de biţi de control pentru sigur cestă distnţă se determină cu relţi k m k, (.4) unde m este numărul de biţi de informţie, ir k - numărul de biti de control. 3