ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει μόνο ένα διακριτό σύνολο τιμών. F(,,, +,, +r π.χ. + - +r ), r N,,,,, και F δοσμένη συνάρτηση Λύση μιας ε.δ. είναι μια ακολουθία που την επαληθεύει για,,, π.χ. η είναι λύση της + -,,,, Τάξη μιας ε.δ. λέγεται η διαφορά μεταξύ του μεγαλύτερου και του μικρότερου δείκτη των π.χ. η + - είναι ης τάξης ενώ η + -3 + + είναι ης τάξης
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Αρχικές συνθήκες μιας ε.δ. (τάξης r) είναι r δοσμένες τιμές της σε r διαδοχικές διαφορετικές τιμές του π.χ., αρχικές συνθήκες της + -3 + + Συνοριακές συνθήκες μιας ε.δ. είναι δοσμένες τιμές της σε μη-διαδοχικές τιμές του π.χ., 5 συνοριακές συνθήκες της + -3 + + Εξισώσεις διαφορών συναντάμε αρκετά συχνά σε εφαρμογές. Διάφορες μέθοδοι προσεγγιστικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων περιλαμβάνουν αντικατάσταση των διαφορικών εξισώσεων με εξισώσεις διαφορών (π.χ. στη μετεωρολογία).
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ Η γραμμική εξίσωση διαφορών πρώτης τάξης με μεταβλητούς συντελεστές + -q r,,,, όπου q, r είναι δοσμένες ακολουθίες και q, έχει γενική λύση i q i + n i n+ q i r n,,, 3
Η γραμμική εξίσωση διαφορών πρώτης τάξης έχει γενική λύση + -q,,,, i q + n i n+ q q,,, 4
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ + +p + +q r, όπου p, q, r είναι δοσμένες ακολουθίες και q H γενική της λύση είναι το άθροισμα Α) της γενικής λύσης της ομογενούς γραμ. εξίσ. διαφορών και Β) μίας μερικής λύσης της μη ομογενούς γραμ. εξίσ. διαφορών o μ () () μ + c + c + 5
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. ης ΤΑΞΗΣ Θεωρούμε τη γραμ. ε.δ. ης τάξης α + +α + +α όπου α, α, α είναι πραγματικές σταθερές και α, α, Αν λ και λ είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης α λ +α λ+α τότε η γενική λύση της ε.δ. δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις (όπου c, c είναι αυθαίρετες σταθερές και,,,...): ) αν λ, λ R και λ λ c λ + c λ ) αν λ, λ R και λ λ c λ + c λ 6
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. ης ΤΑΞΗΣ c r cos θ + c r sin θ 3) αν λ, λ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί δηλαδή λ,λ α±iβ r α + β cosθ α, r β θ τοξεφ α sin θ β r 7
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων ορίζουσα Casorati (), () διαπιστώνεται από την C () () + () () + Αν είναι C,,, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Επειδή C q q q - C για,,, όπου q,,, o έλεγχος της γραμ. ανεξαρτησίας μπορεί να γίνει με χρήση της C δηλαδή της ορίζουσας Casorati (C ) όπου 8
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος στη γραμ. ε.δ. ης τάξης πρέπει: α + +α + +α r Α) α, α, α είναι σταθερές και α, α, Β) η r να έχει ειδική μορφή 9
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ i) αν r P() β κ όπου: τότε: η μερική λύση είναι η όπου: P() πολυώνυμο βαθμού m βσταθερά μ ν Q() β Q() προσδιοριστέο πολυώνυμο βαθμού m ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας β της χαρ. εξ. α λ +α λ+α δηλαδή v αν β δεν είναι ρίζα της χαρ. εξ. v αν β είναι απλή ρίζα της χαρ. εξ. ν αν β είναι διπλή ρίζα της χαρ. εξ.
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ii) αν r β κ [P ()cosγ+ P ()sinγ] όπου: P () πολυώνυμο βαθμού m P () πολυώνυμο βαθμού m β, γσταθερές τότε: η μερική λύση είναι η μ ν β [Q()cos γ + Q ()sin γ ] όπου: Q (), Q () προσδιοριστέα πολυώνυμο βαθμού mma{m,m } ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας β e iγ της χαρ. εξ. α λ +α λ+α β e iγ β(cosγ+i sinγ)
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ iii) αν όπου: (i) r είναι της μορφής (i) ή (ii) τότε: χωρίζουμε την αρχική μη-ομογενή ε.δ. α + +α + +α r στις... ( ) ( ) (n ) r r + r +... + r α + α r > + + α+ + + α+ ( ) ( ) α + α r > (n ) α α + α r > + + + μ μ μ n και το άθροισμα των μερικών λύσεων μ μ + μ +... + μ n είναι μια μερική λύση της αρχικής μη-ομογενής ε.δ.
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Μία σταθερά c λέμε ότι είναι τιμή ισορροπίας της ε.δ. + +p όπου p, q, r είναι σταθερές και q αν η c,,,, p + +q είναι λύση της. +q r () Συνεπώς: Η τιμή cr/(+p+q), +p+q είναι τιμή ισορροπίας της () Η τιμή c είναι τιμή ισορροπίας της αντίστοιχης ομογενούς ε.δ. 3
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ - Η τιμή ισορροπίας είναι ευσταθής (ασυμπτωτικά) αν κάθε λύση της () τείνει στην c, όταν, δηλαδή lim c - Κάθε λύση της () τείνει στην c, όταν κάθε λύση της αντίστοιχης ομογενούς + +p όπου p, q είναι σταθερές και q τείνει στο, όταν, δηλαδή lim o o μ o [ + + c] p + +q +q () - Αυτό συμβαίνει όταν οι ρίζες λ και λ της χαρακτ. εξ. έχουν απόλυτες τιμές (ή μέτρο στην περίπτωση των μιγαδικών) <, δηλαδή λ <, λ < 4
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ - Κριτήριο ευστάθειας: Η τιμή ισορροπίας c της () ή c της () είναι (ασυμπτωτικά) ευσταθής p <q+< 5
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Έστω λ και λ οι ρίζες της χαρακτ. εξ. της () Α) αν λ, λ R και λ λ o cλ + cλ - αν λ < και λ < ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c - αν λ > ή λ > αστάθεια της τιμής ισορροπίας c - αν ( λ και λ ) ή ( λ και λ ) ευστάθεια (όχι ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c Β) αν λ, λ R και λ λ o cλ + cλ - αν λ λ < ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c - αν λ λ αστάθεια της τιμής ισορροπίας c 6
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ης ΤΑΞΗΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Γ) αν λ, λ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί, λ,λ α±iβ c r cos θ + c r sin θ o - αν - αν - αν λ λ λ λ α + β < λ α + β > λ α + β ευστάθεια (ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c αστάθεια της τιμής ισορροπίας c ευστάθεια (μη ασυμπτωτική) της τιμής ισορροπίας c Μη-ασυμπτωτική ευστάθεια σημαίνει ότι έχουμε ευστάθεια, με τις λύσεις που ξεκινάνε από περιοχή της τιμής ισορροπίας να παραμένουν στην περιοχή της όταν, χωρίς όμως να τείνουν στην τιμή ισορροπίας. 7
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. Θεωρούμε την ομογενή γραμ. ε.δ. τάξης n 3 όπου α n, α n-,, α, α είναι πραγματικές σταθερές και α n, α, Αν λ i (i,..,n) είναι οι n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης τότε οι ρίζες της ομογενούς ε.δ. είναι: λ i a n + n + an + n +... + a + + a α n λ n + α n- λ n- + +α λ+α ) αν η ρίζα λ i R είναι απλή λ, i λ, i λ,..., i m λ i ) αν η ρίζα λ i R είναι πολλαπλότητας m n 8
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Ε.Δ. 3) αν λ i & λ i α±iβ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί 4) r r α cos θ, r sin θ + β α cosθ, r r cos θ, r sin θ, β sinθ, r r cos r θ, sin θ, θ ( π, π ]...,..., ν ν r r cos θ, sin θ αν λ i & λ i α±iβ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί με πολλαπλότητα v<n Με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της ομογ. ε.δ. Ο γραμμικός τους συνδυασμός δίνει τη γενική λύση της ομογ. ε.δ. με σταθερούς συντελεστές 9
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ n 3 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων την ορίζουσα Casorati C( (), (),..., ( n) ) () + n (), () + n (),..., ( n) ( ) () ( n) () () ( n) + +... +.................. ( n) + n Αν είναι C,,, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες διαπιστώνεται από
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων διαφορών ης τάξης είναι της μορφής + + a a + a + a + r +τ } ---------> μη-ομογενές + + a a + a + a } ---------> ομογενές όπου α ij, i,j, R
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Μεθοδολογία επίλυσης: ) Αποφασίζω αν θα εργασθώ πρώτα ως προς (ή ) και θέτω κ+ αντί για κ στην αντίστοιχη εξίσωση του συστήματος, δηλαδή στην +.. (ή( στην + ) ) Μετασχηματίζω το σύστημα έτσι ώστε να προκύψει μία ε.δ., μόνο ως προς (ή ) 3) Λύνω την ε.δ. που προέκυψε ως προς (ή ) 4) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις του αρχικού συστήματος, υπολογίζω και την άλλη μεταβλητή (ή )
ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Μη-γραμμική ε.δ. πρώτης τάξης: n+ f( n ) () Λέμε τιμή ισορροπίας της () τις τιμές που ικανοποιούν τη σχέση f ( Οι τιμές ισορροπίας λέμε ότι είναι ευσταθείς (τοπικά ασυμπτωτικά) όταν οι λύσεις της () που ξεκινάνε από κάποια περιοχή τους, τείνουν στις τιμές ισορροπίας, όταν n + Διαφορετικά, οι τιμές ισορροπίας λέγονται ασταθείς 3
ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Η μη-γραμμική ε.δ. πρώτης τάξης (), σε κάποια μικρή περιοχή της τιμής ισορροπίας της, προσεγγίζεται από τη γραμμική ε.δ. όπου df df ( δ n+ δ n + ( δ n δ n + δ n n 4
ΠΡΩΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κριτήριο ευστάθειας: Αν df ( < τότε η τιμή ισορροπίας της () είναι ευσταθής (τοπικά ασυμπτωτικά) Αν df ( > τότε η τιμή ισορροπίας της () είναι ασταθής Αν df ( τότε δεν μπορεί να βγει ασφαλές συμπέρασμα για ευστάθεια ή αστάθεια της τιμής ισορροπίας της () 5
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ: Διαφορική εξίσωση (δ.ε.) είναι μία εξίσωση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή, μία άγνωστη συνάρτηση και τις παραγώγους της διαφόρων τάξεων. Αν η άγνωστη συνάρτηση εξαρτάται από μία μόνο μεταβλητή, τότε η δ.ε. λέγεται συνήθης δ.ε. αλλιώς η δ.ε. λέγεται δ.ε. με μερικές παραγώγους Τάξη μιας δ.ε. είναι η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στη δ.ε. Βαθμός μιας δ.ε. (που κάθε μέλος της μπορεί να γραφεί σαν ένα πολυώνυμο της άγνωστης συνάρτησης και των παραγώγων της) είναι ο βαθμός της μεγαλύτερης τάξης παραγώγου που περιέχεται σε αυτή. 6
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ: Μια δ.ε. λέγεται γραμμική όταν είναι γραμμική ως προς τις παραγώγους και τη συνάρτηση, με συντελεστές συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Λύση μιας δ.ε. είναι κάθε συνάρτηση ( ( που την επαληθεύει Μια δ.ε. δεν έχει ποτέ μία μόνο λύση. Το σύνολο των λύσεων μιας δ.ε. λέγεται γενική λύση Θέτοντας ορισμένες συνθήκες είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε από τη γενική λύση μια συγκεκριμένη λύση που λέγεται μερική λύση. Δηλαδή, μερική λύση μιας δ.ε. είναι μια οποιαδήποτε λύση της. 7
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ανήκουν οι δ.ε. πρώτης τάξης: P(, ) + Q(, ) d ή d f (, ) Οι οποίες μετά από πράξεις μπορούν να πάρουν τη μορφή F ( + F ( ) d Και μετά από ολοκλήρωση οι λύσεις είναι F ( + ) F ( ) d c όπου το c είναι αυθαίρετη σταθερή 8
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Λέγονται οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d F Οι οποίες μετά από το μετασχηματισμό ( z( ( z( d( z( + dz( Καταλήγουν στη δ.ε. χωριζομένων μεταβλητών dz F( z) z, F( z) z, 9
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΑΝΑΧΘΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. τη μορφής: ) Αν a a d Λύνουμε ως προς, το σύστημα a F a a a β, γ ή γ β + β + γ + β + γ + β + γ + β + γ h Και θέτοντας X+h X+h,, Y+ προκύπτει η ομογενής δ.ε. dy dx F a a X X + βy + β Y 3
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΠΟΥ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΑΝΑΧΘΟΥΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. της μορφής: ) Αν κάνουμε την αντικατάσταση οπότε και a a β ( β a ) λ d a F a + β + γ + β + γ a + β + β λz όπου λ β z a a β και καταλήγουμε στη δ.ε. χωριζομένων μεταβλητών β dz a z + γ F λz + γ 3
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ Δ.Ε. ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d όπου P(, Q( συνεχείς συναρτήσεις + P( Q( Η γενική λύση δίνεται από τη σχέση ( ( e Q( e P P( + c 3
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ BERNOULLI Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d n + P( Q( ( n, n ) όπου P(, Q( συνεχείς συναρτήσεις. Κάνουμε το μετασχηματισμό v( n ( Και αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. πρώτης τάξης dv + ( n) P( v ( n) Q( 33
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ RICCATI Είναι οι δ.ε. που μπορούν να πάρουν τη μορφή: d P( + Q( + R( ) Κάνουμε το μετασχηματισμό Όπου u( είναι γνωστή λύση της δ.ε. και αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. πρώτης τάξης dz ( u( + z( + ( P( u( + Q( ) z P( 34
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. ΤΟΥ RICCATI ) Αν κάνουμε το μετασχηματισμό ( v ( P( v( αναγόμαστε στη γραμμική δ.ε. δεύτερης τάξης P ( v + Q( v + R( P( v P( 35
ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Οι δ.ε πρώτης τάξης P (, ) + Q(, )d λέγονται πλήρεις δ.ε όταν υπάρχει συνάρτηση u(,) τέτοια ώστε u P(, ), u Q(, ) Οι λύσεις της δ.ε δίνονται από τη σχέση u (, ) c καθώς u u du (, ) + d P(, ) + Q(, )d 36
ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Κριτήριο: Η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι η δ.ε πλήρης, είναι να ισχύει η σχέση P Q, (, ) D πεδίο ορισμού 37
ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ) Από τις σχέσεις u P(, ), u Q(, ) υπολογίζουμε την u(,) Και η λύση είναι u (, ) c ) u(, ) P(t, )dt + Q( α, )d c α όπου c αυθαίρετη σταθερά και α κατάλληλη σταθερά (το πρέπει να μπορεί να πάρει την τιμή α) 38
ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Όταν P Q αναζητούμε μια συνάρτηση μ(,) τέτοια ώστε η παρακάτω δ.ε να είναι πλήρης μ(, )P(, ) + μ(, )Q(, )d δηλαδή μp μq 39
ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Μια τέτοια συνάρτηση μ(z) όπου zz(, z(,) λέγεται ολοκληρωτικός πσράγοντας μ μ(z) e f (z)dz f (z) P Q P z z Q 4
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ d d d + a( + β ( d + a( + β ( όπου α(, β(, f( f συνεχείς συναρτήσεις H γενική της λύση είναι το άθροισμα Α) της γενικής λύσης της ομογενούς γραμ. δ.ε και Β) μίας μερικής λύσης της μη-ομογενούς γραμ. δ.ε. f ( (μη-ομογενής) (ομογενής) o ( ( + ω ( cϕ ( + cϕ ( + ω( 4
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. ης ΤΑΞΗΣ d d Η ομογενής γραμ. δ.ε. ης τάξης + a + β (όπου οι συντελεστές α, β είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) όταν το ρ είναι ρίζα της χαρακτηριστικής της εξίσωσης ρ +αρ+β έχει τις εξής δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις: ϕ ( ρ e, ( ) ρ ϕ e ) αν ρ, ρ R και ρ ρ ρ ϕ ( e, ϕ( e ρ ) αν ρ, ρ R και ρ ρ ρ ϕ ( e 3) αν ρ, ρ συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί ϕ ( e λ λ cos μ sin μ δηλαδή ρ,ρ λ±iμ 4
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΛΥΣΕΩΝ Η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων ορίζουσα Wrons ϕ(, ϕ( διαπιστώνεται από την W ( ϕ (, ϕ ( ) ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( Αν είναι W I, οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο I 43
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος στη γραμ. δ.ε. ης τάξης πρέπει: d + α Α) α, β να είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, Β) η f( να έχει ειδική μορφή d + β f ( 44
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ i) αν f((β m + β m- + + β m- + β m )e λ τότε: η μερική λύση είναι η όπου: ω( ν Q(e λ Q( προσδιοριστέο πολυώνυμο βαθμού m ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας λ της χαρ. εξ. ρ +αρ+β δηλαδή v αν λ δεν είναι ρίζα της χαρ. εξ. v αν λ είναι απλή ρίζα της χαρ. εξ. ν αν λ είναι διπλή ρίζα της χαρ. εξ. 45
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ii) αν f([p (συν+ P (ημ]e λ όπου P (, P ( πολυώνυμα βαθμών m, m αντίστοιχα τότε: η μερική λύση είναι η ω( ν [Q ( συν λ Q( ] e όπου: Q (, Q ( προσδιοριστέα πολυώνυμα βαθμού mma{m,m } ημ ν είναι η πολλαπλότητα της ρίζας λ+i της χαρ. εξ. ρ +αρ+β + 46
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ iii) αν όπου: τότε: f i ( f ( είναι της μορφής (i) ή (ii) χωρίζουμε την αρχική μη-ομογενή δ.ε. +α +β f( στις... f ( + f( +... + f ( + α + β f( > ω( + α + β f ( > ( ω + α + β f ( > ω ( και το άθροισμα των μερικών λύσεων ω( ω( + ω( +... + ω ( είναι μερική λύση της αρχικής μη-ομογενής δ.ε. 47
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ Για να εφαρμοσθεί αυτή η μέθοδος πρέπει να γνωρίζουμε δύο γραμ. ανεξ. λύσεις φ (, φ ( της ομογενούς γραμ. δ.ε. d + α d + β Βήματα: ) Λύνουμε το γραμμικό σύστημα c ( ϕ( + c ( ϕ( c ( ϕ ( + c ( ϕ ( f ( c ( c ( 48
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΡΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΣΤΑΘΕΡΩΝ Βήματα: ) Ολοκληρώνουμε τις λύσεις (θεωρώντας σταθερά ολοκλήρωσης μηδέν) c ( c ( g g ( ( c c ( ( g g ( ( 3) Μια μερική λύση της μη ομογενούς γραμ. δ.ε. είναι ω( c( ϕ( + c( ϕ( 49
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ n 3 ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΛΥΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ Δ.Ε. Για να βρούμε n γραμ. ανεξ. λύσεις της ομογενούς γραμ. δ.ε. n τάξης ( n) ( n ) + n (όπου οι συντελεστές α i είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) λύνουμε την χαρακτηριστική της εξίσωση n ρ +... + a + a ) αν ρ R απλή ρίζα της χ.ε., αντιστοιχεί η λύση a n a ρ +... + a ρ + a + n e ρ ) αν ρ R ρίζα της χ.ε. με πολλαπλότητα v, αντιστοιχούν οι ν γραμ. ανεξ. λύσεις e, e, ρ ρ ν 3)αν ρλ+iμ ρίζα της χ.ε. με πολλαπλότητα, σε αυτή και τη συζυγή της αντιστοιχούν οι γραμ. ανεξ. λύσεις e..., συνμ, e συνμ,..., λ e ημμ, e ημμ,..., n e ρ λ λ λ n λ e συνμ λ e ημμ 5
ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ EULER Οι δ.ε. της μορφής n ( n) a n ( n ) + n (όπου οι συντελεστές α i είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί) λέγονται δ.ε. του Euler Θα εργασθούμε για n3 3 Κάνουμε το μετασχηματισμό Και βρίσκουμε τις σχέσεις +... + a + a 3 n f (, + a + a + a f (, > ( ή < > e t αν > ή -e t αν < ( ή ) < ) d d dt d d dt d dt 3 3 3 d d d 3 + 3 3 dt dt d dt Αντικαθιστώντας τις στην αρχική δ.ε. του Euler προκύπτουν γραμ. δ.ε 5
ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. Όταν είναι γνωστή μια λύση ( της δ.ε. + a( + β ( πώς θα βρούμε μια δεύτερη λύση ( γραμ. ανεξ. της (? Βήματα: ) Θέτουμε ) Από την αντικατάσταση προκύπτει η δ.ε. 3) Θέτουμε και αναγόμαστε στη δ.ε. πρώτης τάξης που έχει τη γενική λύση ( v( ( με v ( v + v ( + a( ) v ( z( dz ( + [ ( + a( ( ] z z ( g(, ) όπου αυθαίρετη σταθερά 5
ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Δ.Ε. 4) Με ολοκλήρωση παίρνουμε v( g(, ) + όπου, αυθαίρετες σταθερές 5) Η δεύτερη λύση είναι ( v( ( ) 53
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ.Ε. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Σύστημα n δ.ε. με n άγνωστες συναρτήσεις Ένα σύστημα δ.ε. το οποίο έχει μόνο παραγώγους πρώτης τάξης, όταν λυθεί (αν είναι δυνατόν) ως προς τις παραγώγους του, παίρνει την παρακάτω μορφή που λέγεται κανονική μορφή dt dt dt n f f f n ( t, ( t,... ( t,,,,,..., n,...,,..., n n ) ) ) 54
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Δ.Ε. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗΣ Επίλυση για n3 Στόχος: να προκύψει γραμ. δ.ε. n τάξης ως προς τη μία άγνωστη συνάρτηση Παραγωγίζω την έτσι ώστε να προκύψουν οι και και βρίσκω τα και 3 ως προς οποία και αντικαθιστώ στην εξίσωση του Από τις τα οποία Έτσι προκύπτει γραμ.δ.ε. n τάξης από την οποία βρίσκω το Αντικαθιστώντας τις λύσεις βρίσκω και τα και 3 55