ΜΕΡΟΣ º π Εμδά Επίπεδων Σχημάτων Ô Πυθγόρειο Θεώρημ
ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ È appleïëìì Ú ÙÔ Â ÏÔ, ÙÔ ÁÚË Î È ÙÔ ÊÚ ÙË, appleúèó applefi appleâú appleô ÙÚÂÈ ÈÏÈÂÙ Â, Ó ÁÎ Û Ó ÙÔ Ï Ô appleô Î ÙÔÈÎÔ Û Ó ÛÙËÓ appleâúèô Ó Ó appleù ÍÔ Ó ÙËÓ «Ù ÓË» ÙË Ì ÙÚËÛË ÙË ÁË ( ˆ-ÌÂÙÚ ). fiùâ Ó appleù ıëîâ Ë ÓÓÔÈ ÙÔ ÂÌ Ô, ÙËÓ ÔappleÔ ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÛÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ Ùfi. Ì ıô Ì ÙÈ ÛÈÎ ÌÔÓ Â Ì ÙÚËÛË ÂÌ ÒÓ, Î ıò Î È ÙÔ Ù appleô appleôïôáèûìô ÙÔ ÂÌ Ô :. Εμδόν επίπεδης επιφάνεις. Μονάδες μέτρησης επιφνειών. Εμδά επίπεδων σχημάτων. Πυθγόρειο θεώρημ ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ, ÔÚıÔÁˆÓ Ô, apple Ú ÏÏËÏÔÁÚ ÌÌÔ, ÙÚÈÁÒÓÔ Î È ÙÚ appleâ Ô. ÙÔ Ù ÏÔ ÙÔ ÎÂÊ Ï Ô ı ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Î È ı ÂÍÂÙ ÛÔ Ì ÚÎÂÙ ÂÊ ÚÌÔÁ ÙÔ.
.. Εμδόν επίπεδης επιφάνεις ƒ ƒ π ίνοντι δύο ορθογώνι κι ισοσκελή τρίγων με κάθετες πλευρές cm κι έν τετράγωνο πλευράς cm. ) Μπορείτε χρησιμοποιώντς τ τρί υτά σχήμτ ν κτσκευάσετε: i) Έν ορθογώνιο πλάτους 0 cm κι ύψους cm; ii) Έν ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου οι κάθετες πλευρές είνι 0 cm; iii) Έν ισοσκελές τρπέζιο με άσεις cm κι cm; ) Τι έκτση κτλμάνουν τ πρπάνω σχήμτ στο επιπεδο, ν θεωρήσουμε ως μονάδ μέτρησης το τετργωνάκι πλευράς cm; Λύση ) Έχουμε τ πρκάτω σχήμτ: Ορθογώνιο Ορθογώνιο τρίγωνο Τρπέζιο ) Μετρώντς τ τετργωνάκι πλευράς cm ρίσκουμε ότι το ορθογώνιο κτλμάνει έκτση 0, το τρπέζιο 0 κι το ορθογώνιο τρίγωνο πάλι 0. Πρτηρούμε, λοιπόν, ότι τ τρί νέ σχήμτ που προκύπτουν, πρόλο που είνι διφορετικά μετξύ τους, κτλμάνουν την ίδι έκτση στο επίπεδο, γιτί ποτελούντι κριώς πό τ ίδι στοιχεί: το τετράγωνο κι τ δύο ορθογώνι κι ισοσκελή τρίγων. ι ν δηλώσουμε ότι τ τρί υτά σχήμτ που κτσκευάσμε, κτλμάνουν την ίδι έκτση στο επίπεδο, λέμε ότι έχουν το ίδιο εμδόν. ι ν μετρήσουμε το εμδόν, πρέπει πρώτ ν επιλέξουμε μί μονάδ μέτρησης. ν, ρχικά, επιλέξουμε ως μονάδ μέτρησης το έν πό τ δύο ισοσκελή ορθογώνι τρίγων, τότε τ τρί νέ σχήμτ έχουν εμδόν.
Μέρος -.. Εμδόν επίπεδης επιφάνεις ν επιλέξουμε ως μονάδ μέτρησης το τετργωνάκι πλευράς cm, τότε, όπως είδμε, θ έχουν εμδόν 0. Το εμδόν μις επίπεδης επιφάνεις είνι ένς θετικός ριθμός, που εκφράζει την έκτση που κτλμάνει η επιφάνει υτή στο επίπεδο. Ο ριθμός υτός εξρτάτι πό τη μονάδ μέτρησης επιφνειών που χρησιμοποιούμε. Ν υπολογίσετε το εμδόν των πρκάτω σχημάτων χρησιμοποιώντς ως μονάδ μέτρησης εμδού: ) ) γ) ) Μετρώντς τ τετργωνάκι που υπάρχουν μέσ σε κάθε σχήμ πρτηρούμε ότι είνι 7. Άρ Ε = 7. ) φού κάθε τριγωνάκι έχει το μισό εμδόν πό κάθε τετργωνάκι, τ δύο εμδά με μονάδ μέτρησης το θ είνι 7 =. Άρ Ε =. γ) φού κάθε έχει το διπλάσιο εμδόν πό κάθε τετργωνάκι, τ δύο εμδά με μονάδ μέτρησης το 7 θ είνι =,. Άρ Ε =,. Ν υπολογίσετε τ εμδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντς ως μονάδ μέτρησης εμδών το. Τι πρτηρείτε; ρίσκουμε ότι τ εμδά των,, είνι :, :,, : 7,. Επομένως, πρτηρούμε ότι το εμδόν του ισούτι με το άθροισμ των εμδών κι, κάτι που γίνετι φνερό ν «ενώσουμε» κτάλληλ τ σχήμτ κι.
Μέρος -.. Εμδόν επίπεδης επιφάνεις π Ποιο πό τ δύο σχήμτ, έχει το μεγλύτερο εμδόν; ίνοντι τέσσερ ορθογώνι κι ισοσκελή τρίγων με ίσες κάθετες πλευρές: N υπολογίσετε το εμδόν κθενός πό τ πρκάτω σχήμτ χρησιμοποιώντς ως μονάδ εμδού το. Τι πρτηρείτε; ) Χρησιμοποιώντς μόνο τ δύο τρίγων ν κτσκευάσετε έν τρίγωνο κι έν τετράγωνο. ) Χρησιμοποιώντς κι τ τρίγων, (μι φορά το κθέν) ν κτσκευάσετε έν τετράγωνο, έν ορθογώνιο κι έν τρπέζιο. π π : Στο πρκάτω σχήμ χρησιμοποιήσμε σπίρτ γι ν σχημτίσουμε έν τετράγωνο με εμδόν ίσο με 9 τετράγων πλευράς ενός σπίρτου! Aν τοποθετήσουμε, όμως, με διφορετικό τρόπο τ υτά σπίρτ, μπορούμε ν σχημτίσουμε σχήμτ με άλλο εμδόν. ι πράδειγμ, το πρκάτω σχήμ (στυρός) έχει εμδόν ίσο με τετράγων πλευράς ενός σπίρτου. Μπορείτε ν τοποθετήσετε με άλλο τρόπο τ υτά σπίρτ, ώστε ν προκύψουν σχήμτ με εμδά 8, 7,,, τετράγων πλευράς ενός σπίρτου;
.. Μονάδες μέτρησης επιφνειών m = 0 dm dm = 0 cm cm=0 mm m = 0 dm m = 00 dm dm = 0 cm cm=0 mm \ \ dm = 00 cm cm = 00 mm ς θεωρήσουμε έν τετράγωνο πλευράς m. To εμδόν του τετργώνου υτού λέγετι τετργωνικό μέτρο ( m ) κι το χρησιμοποιούμε ως μονάδ μέτρησης εμδών. φού m = 0 dm, το τετργωνικό μέτρο χωρίζετι σε 0 0 = 00 «τετργωνάκι» πλευράς dm. To εμδόν σε κάθε τετργωνάκι ονομάζετι τετργωνικό δεκτόμετρο ή τετργωνική πλάμη ( dm ). Πρτηρούμε ότι m = 00 dm. ς θεωρήσουμε τώρ έν τετράγωνο πλευράς dm. φού dm = 0 cm, το τετργωνικό δεκτόμετρο χωρίζετι σε 0 0 = 00 «τετργωνάκι» πλευράς cm. Το εμδόν ενός τετργώνου πλευράς cm λέγετι τετργωνικό εκτοστόμετρο ή τετργωνικός πόντος ( cm ). Πρτηρούμε ότι dm = 00 cm. ς θεωρήσουμε τώρ έν τετράγωνο πλευράς cm. φού cm = 0 mm, το τετργωνικό εκτοστόμετρο χωρίζετι σε 0 0 = 00 «τετργωνάκι» πλευράς mm. Το εμδόν ενός τετργώνου πλευράς mm λέγετι τετργωνικό χιλιοστόμετρο ( mm ). Πρτηρούμε ότι cm = 00 mm. Άλλες μονάδες μέτρησης εμδών είνι: Το τετργωνικό χιλιόμετρο ( km ), το οποίο ισούτι με το εμδό ενός τετργώνου πλευράς 000 m. Eπομένως km = 000 000 =.000.000 m. Χρησιμοποιείτι κυρίως γι τη μέτρηση μεγάλων εκτάσεων, όπως είνι η έκτση που κτλμάνει έν κράτος, ένς νομός ή έν νησί. Το στρέμμ, το οποίο ισούτι με 000 m κι χρησιμοποιείτι κυρίως γι τη μέτρηση των εμδών οικοπέδων κι κτημάτων. Συνοψίζοντς τ πρπάνω σχημτίζουμε τον πίνκ: m = 00 dm = dm = 0.000 cm = 00 cm = cm =.000.000 mm 0.000 mm 00 mm mm = 0,0 cm = cm = 0,000 dm = 0,0 dm = dm = 0,00000 m 0,000 m 0,0 m
Μέρος -.. Μονάδες μέτρησης επιφνειών 7 Mε τη οήθει του σχήμτος μεττροπής μονάδων εμδού, ν συμπληρώσετε τον διπλνό πίνκ. m dm 0 cm 7 mm m 00 :00 dm 00 :00 cm 00 mm :00 Σύμφων με το πρπάνω σχήμ, γι ν μεττρέψουμε έν εμδόν στην μέσως μικρότερη μονάδ, πολλπλσιάζουμε με το 00, ενώ γι ν το μεττρέψουμε στην μέσως μεγλύτερη μονάδ, διιρούμε με το 00. Επομένως: m,0 0,7 0,0 dm 00 0 7,, cm 0000 000 7, mm 000000 00000 700 Ν άλετε σε ύξουσ σειρά τ πρκάτω εμδά: ),7 dm, 7 cm,, cm,,7 m. ) 0 cm, mm, 0 dm, m. γ) mm,, cm,, dm, 0, m. ) Μεττρέπουμε τ τέσσερ εμδά στην ίδι μονάδ μέτρησης:,7 dm = 70 cm,,7 m = 7000 cm, οπότε:, cm < 7 cm <,7 dm = 70 cm <,7 m = 7000 cm. ) mm <0 cm = 000 mm < 0 dm = 00000 mm < m = 000000 mm γ) φού, cm = 0 mm,, dm = 000 mm κι 0, m = 0000mm, έχουμε ότι:, cm < mm <, dm < 0, m.. ƒø π N επιλέξετε τη σωστή πάντηση., m =, mm =, cm =, cm =, m =, mm = cm cm m 0 mm dm 0,00000 m 0 cm 0 cm 0, m 00 mm 0 dm 0,000 m 000 cm 0, cm 0 m 0, mm 000 dm 0,0 m 0, cm 0,0 cm 0,000 m 0,000 mm 0,0 dm 0,00 m
8 Μέρος -.. Μονάδες μέτρησης επιφνειών. N επιλέξετε τη σωστή πάντηση. ι ν μεττρέψουμε:. m σε dm πολλπλσιάζουμε με 00 διιρούμε με 00 διιρούμε με 0. dm σε cm διιρούμε με 00 πολλπλσιάζουμε με 00 διιρούμε με 0. cm σε mm διιρούμε με 00 διιρούμε με 0 πολ/με με 00. dm σε m πολλπλσιάζουμε με 00 διιρούμε με 00 διιρούμε με 0. cm σε dm πολλπλσιάζουμε με 0.000 πολλπλσιάζουμε με 00 διιρούμε με 00. mm σε cm διιρούμε με 00 πολλπλσιάζουμε με 00 διιρούμε με 0 7. m σε cm διιρούμε με 00 πολλπλσιάζουμε με 0.000 διιρούμε με 0.000 8. m σε mm πολ/με με.000.000 διιρούμε με 00.000 διιρούμε με.000 9. cm σε m διιρούμε με 00 διιρούμε με 0.000 πολ/με με 0.000 0. mm σε dm διιρούμε με 00 πολλπλσιάζουμε με 0.000 διιρούμε με 0.000 π N μεττρέψετε σε m τ πρκάτω μεγέθη: cm, cm, 7 km, 70 dm, 70 mm, dm, 80 mm, 79 km. N μεττρέψετε σε cm τ πρκάτω μεγέθη: m, 7 dm, m, m, km, 70 mm, km. N μεττρέψετε σε mm τ πρκάτω μεγέθη: km, m, 7 dm, cm. N μεττρέψετε σε km τ πρκάτω μεγέθη: 7 mm, cm, dm, mm, 0 m. Στις πρκάτω περιπτώσεις ν εκφράσετε τ εμδά στην ίδι μονάδ μέτρησης κι στη συνέχει ν τις κττάξετε κτά σειρά μεγέθους πό το μικρότερο προς το μεγλύτερο. ) 80 mm, 0, m, 0,8 m, 70 cm,,7 dm. ) dm,, m, 70 mm, cm. Ποι πό τις μονάδες μέτρησης εμδού θ πρέπει ν χρησιμοποιήσουμε, γι ν μετρήσουμε το εμδόν: ) του δωμτίου μς, ) της Κρήτης, γ) ενός γρού, δ) ενός γρμμτόσημου, ε) ενός φύλλου τετρδίου.
.. Εμδά επίπεδων σχημάτων cm cm Εμδόν τετργώνου ς θεωρήσουμε έν τετράγωνο πλευράς cm. Μπορούμε ν το χωρίσουμε σε = = «τετργωνάκι» πλευράς cm, κθέν πό τ οποί έχει εμδόν cm. Άρ, το τετράγωνο έχει εμδόν cm. ενικά: Το εμδόν ενός τετργώνου πλευράς ισούτι με. Εμδόν ορθογωνίου ς θεωρήσουμε έν ορθογώνιο με πλευρές cm κι cm. Όπως φίνετι στο σχήμ, το ορθογώνιο χωρίζετι σε «τετργωνάκι» εμδού cm. Επομένως, το ορθογώνιο έχει εμδόν = cm. ενικά: Το εμδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές, ισούτι με. Τις πλευρές ενός ορθογωνίου τις λέμε μήκος (τη μεγλύτερη πλευρά) κι πλάτος (τη μικρότερη) κι τις ονομάζουμε διστάσεις του ορθογωνίου. Έτσι, μπορούμε ν πούμε ότι το γινόμενο των διστάσεων ενός ορθογωνίου ισούτι με το εμδόν του ή: εμδόν ορθογωνίου = μήκος πλάτος. E E E Z Z Πρτήρηση: ι ν συμολίσουμε το εμδόν κάθε επίπεδου σχήμτος, το γράφουμε μέσ σε πρένθεση. ηλδή, το εμδόν ενός τετρπλεύρου συμολίζετι με (), το εμδόν ενός τριγώνου ΖΗΘ συμολίζετι με (ΖΗΘ) κ.ο.κ. Εμδόν πρλληλογράμμου ς θεωρήσουμε έν πρλληλόγρμμο με άση = = κι ς φέρουμε τ ύψη του Ε = υ κι Ζ = υ. Μετφέροντς το τρίγωνο Ε στη θέση τού (ίσου με υτό) τριγώνου Ζ, πρτηρούμε ότι: το εμδόν του πρλληλογράμμου ισούτι με το εμδόν του ορθογωνίου ΕΖ. Άρ: () = (ΕΖ) = ΕΖ Ζ = υ. ενικά: E Z Το εμδόν ενός πρλληλογράμμου είνι ίσο με το γινόμενο μίς άσης του με το ντίστοιχο ύψος.
0 Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων υ υ A υ A υ Εμδόν τυχίου τριγώνου ς θεωρήσουμε έν τυχίο τρίγωνο που δεν είνι ορθογώνιο κι ς πάρουμε κι άλλο έν τρίγωνο ίδιο με υτό. ν τοποθετήσουμε το δεύτερο τρίγωνο δίπλ στο πρώτο, όπως φίνετι στ διπλνά σχήμτ, τότε θ σχημτιστεί έν πρλληλόγρμμο, που θ έχει ως άση, τη άση του κι ως ύψος υ, το ύψος του, πό την κορυφή. Είτε το τρίγωνο είνι οξυγώνιο είτε είνι μλυγώνιο, το εμδόν του θ είνι ίσο με το μισό του πρλληλογράμμου που σχημτίζετι, ν τοποθετήσουμε άλλο έν τρίγωνο ίσο με το, όπως φίνετι στ διπλνά σχήμτ. Επομένως, θ ισχύει: () = () = υ, όπου η άση του κι υ το ντίστοιχο ύψος. ενικά: Το εμδόν ενός τριγώνου είνι ίσο με το μισό του γινομένου μις άσης του με το ντίστοιχο ύψος. υ = γ Εμδόν ορθογωνίου τριγώνου Ότν το τρίγωνο είνι ορθογώνιο, τότε η μί πό τις κάθετες πλευρές είνι η άση κι η άλλη το ύψος του. Επομένως: () = υ = γ. Το εμδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είνι ίσο με το μισό του γινομένου των δύο κάθετων πλευρών του. E υ Θ Ζ Η Εμδόν τρπεζίου ς θεωρήσουμε το τρπέζιο Ε που έχει μεγάλη άση =, μικρή άση Ε = κι ύψος ΕΘ = υ. Θεωρώντς άλλο έν ίσο τρπέζιο με το Ε σχημτίζουμε έν πρλληλόγρμμο ΖΗΕ, όπως φίνετι στο διπλνό σχήμ. Το πρλληλόγρμμο που σχημτίσμε έχει άση ( + ) κι ύψος υ. Επομένως: (ΖΗΕ) = ( + ) υ. Όμως: (ΖΗΕ) = (Ε) ( + )υ Άρ: (Ε) = Το εμδόν ενός τρπεζίου είνι ίσο με το γινόμενο του ημιθροίσμτος των άσεών του με το ύψος του.
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων Ν συμπληρώσετε τον διπλνό πίνκ: Μήκος ορθογωνίου m 7 m m Πλάτος ορθογωνίου 0 m 9 m Περίμετρος ορθογωνίου m Εμδόν ορθογωνίου m 0 m Με τη οήθει της σχέσης: εμδόν ορθογωνίου = μήκος πλάτος, συμπληρώνουμε τον πίνκ: Μήκος ορθογωνίου m 7 m m m Πλάτος ορθογωνίου 0 m m 9 m 0 m Περίμετρος ορθογωνίου m m 8 m 8 m Εμδόν ορθογωνίου 0 m 8 m m 0 m H ίθουσ Φυσικής στο σχολείο της Άννς ποφσίστηκε ν στρωθεί με τετράγων πλκάκι που το κθέν έχει πλευρά cm. ) Ν ρείτε πόσ πλκάκι θ χρειστούν, ν το δάπεδο της τάξης έχει διστάσεις m μήκος κι 8 m πλάτος. ) ν κάθε πλκάκι κοστίζει 0,, πόσ χρήμτ θ χρειστούν γι ν στρωθεί η τάξη; ) Το εμδόν του δπέδου είνι: Ε Π = 8 = 9 (m ) κι το εμδόν σε κάθε πλκάκι είνι: Ε ΠΛΚ = = (cm ) = 0,0 (m ). ιιρώντς τ δύο υτά εμδά ρίσκουμε πόσ πλκάκι χρειάζοντι γι ν στρωθεί η τάξη: E Π 9 = =. Ε ΠΛΚ 0,0 ) φού χρειάζοντι πλκάκι κι το κάθε πλκάκι κοστίζει 0,, το συνολικό κόστος θ είνι: 0, = 78. Στο σχολείο της Κάτις το μθητικό συμούλιο εκδίδει μι εφημερίδ που κάθε φύλλο της έχει διστάσεις cm μήκος κι 0 cm πλάτος. Ν υπολογίσετε τη συνολική επιφάνει του χρτιού που θ χρησιμοποιηθεί, γι ν τυπωθούν 800 ντίτυπ της εφημερίδς, ν κάθε ντίτυπο έχει 8 φύλλ. Το εμδόν κάθε φύλλου είνι 0 = 0 (cm ). Aφού κάθε ντίτυπο έχει 8 φύλλ, χρειάζοντι 8 0 = 0080 (cm ) χρτί γι κάθε ντίτυπο. Eπομένως, γι ν τυπωθούν 800 ντίτυπ, θ χρειστούν: 800 0080 = 80000 (cm ) = 80, (m ) χρτί.
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων Στο τρίγωνο του σχήμτος φέρνουμε τη διάμεσο Μ. Ν ποδείξετε ότι τ τρίγων Μ κι Μ έχουν το ίδιο εμδόν. Η Μ Φέρνουμε το ύψος Η. Τότε το τρίγωνο Μ έχει εμδόν: (Μ) = Μ Η. Το τρίγωνο Μ έχει εμδόν: (Μ) = Μ Η. Όμως, Μ = Μ, επειδή το Μ είνι το μέσο της (η Μ είνι διάμεσος). Άρ: (Μ) = (Μ). Έν οικόπεδο, όπως φίνετι στο πρκάτω σχήμ, πωλείτι προς 00 το m. Ποι είνι η ξί του οικοπέδου; ρίσκουμε πρώτ το εμδόν του οικοπέδου. υτό ποτελείτι πό το ορθογώνιο κι το τρπέζιο ΕΖ. Το εμδόν του ορθογωνίου είνι: () = 8 = 70 (m ). To εμδόν του τρπεζίου είνι: m Ζ 8 m ( + 8) 0 (ΕΖ) = = (m ). 8 m Ε Άρ, το εμδόν του οικοπέδου είνι 70 + = 8 (m ). ι ν ρούμε την ξί πώλησης του οικοπέδου, πολλπλσιάζουμε το εμδόν του με την τιμή πώλησης του τετργωνικού μέτρου. Άρ, η ξί του οικοπέδου είνι: 8 00 =.00. Στο πρκάτω σχήμ: ) Ν εκφράσετε το εμδόν του τρπεζίου ως συνάρτηση του. ) ν το εμδόν του τρπεζίου είνι το τριπλάσιο πό το εμδόν του ορθογωνίου ΕΖ, ν υπολογίσετε το. 8 m ) Στο τρπέζιο, η μικρή άση είνι = + (cm), η μεγάλη άση είνι = + + = + (cm) κι το ύψος του είνι = (cm). Άρ, το εμδόν του ( + ) υ ( + + + ) είνι: () = = = ( + 7) (cm ). ) Το εμδόν του ορθογωνίου είνι (ΕΖ) = = 8 (cm ). Aφού το εμδόν του τρπεζίου είνι τριπλάσιο πό το εμδόν του ορθογωνίου, έχουμε: () = (ΕΖ) ή ( + 7) = 8 cm cm Ζ ηλδή: Ε + + 7 = 8 ή = ή =, (cm).
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων ƒø π. Στο διπλνό σχήμ: cm Θ To εμδόν του ΗΘ είνι: To εμδόν του ΖΘ είνι: 9 8 cm To εμδόν του ΕΗ είνι: To εμδόν του Η είνι: 9 8, Η To εμδόν του ΖΗ είνι: To εμδόν του ΖΗ είνι: 9 8, cm 7 8 To εμδόν του ΕΗ είνι: To εμδόν του ΕΘ είνι:,, 8 8 7 Ζ N επιλέξετε τη σωστή πάντηση. cm Ε. N επιλέξετε τη σωστή πάντηση: To εμδόν του πρλληλογράμμου είνι: 9 8 To ύψος που ντιστοιχεί στην πλευρά είνι:, 9, cm cm cm To εμδόν του πρλληλογράμμου ΕΖΗΘ είνι: Ε cm 8 cm cm cm Ζ Η πλευρά = ΕΘ είνι: Θ Η Ποιο πό τ επόμεν δεν είνι ίσο με το εμδόν του τριγώνου ; A A A K AΛ K Το εμδόν του τριγώνου ΕΘΗ είνι: 0 Λ E Κ 7 Το ύψος ΘΚ που ντιστοιχεί στην πλευρά ΕΗ είνι: Θ cm Ζ 0 cm 8 cm Η
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων Το διπλνό πρλληλόγρμμο έχει εμδόν Κ 8 cm κι το Ε είνι το μέσο της πλευράς. Το εμδόν του τριγώνου ΚΕ είνι: 8 υ Ε 9 Το εμδόν του μπλε πρλληλογράμμου είνι: 8 m 0 Το εμδόν κάθε πράσινου τριγώνου είνι: 0 7, 8m m ν το εμδόν του πρλληλογράμμου Ε είνι cm κι το Ε είνι το μέσο της πλευράς, τότε το εμδόν του τρπεζίου είνι: 8 Ε π ν η περίμετρος ενός τετργώνου είνι 0 cm, ν υπολογίσετε το εμδόν του. Οι διστάσεις ενός φύλλου στο εικοσάφυλλο τετράδιο του Στύρου είνι cm κι 0 cm. Ν υπολογίσετε πόση επιφάνει χρτιού έχει όλο το τετράδιο. Στο πρκάτω σχήμ ν ποδείξετε ότι τ εμδά του ροζ κι του κίτρινου σχήμτος είνι ίσ. ) Ν ποδείξετε ότι το τετράγωνο κι το τρίγωνο Ε έχουν ίσ εμδά. ) Ν ποδείξετε ότι το εμδόν του Ε είνι διπλάσιο πό το εμδόν του Ε. N υπολογίσετε τ εμδά των δύο σχημάτων στο πρκάτω σχήμ, ν = cm. Στη συνέχει, ν εξηγήσετε γιτί υτά είνι ίσ γι οποιδήποτε τιμή του. cm cm Ν κτσκευάσετε έν τετράγωνο. Στη συνέχει ν προεκτείνετε την πλευρά του τετργώνου κι ν πάρετε τμήμ Ε =. Έν τετράγωνο κι έν τρπέζιο έχουν ίσ εμδά. ν οι άσεις του τρπεζίου είνι cm κι 0 cm κι το ύψος του είνι cm, ν υπολογίσετε το εμδόν του τετργώνου.
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων 7 m Ένς ορθογώνιος κήπος έχει διστάσεις 0 m κι m. Tον κήπο δισχίζουν δύο κάθετ μετξύ τους δρομάκι. Το έν πράλληλο προς τη μεγάλη πλευρά του κήπου με πλάτος 0, m κι το άλλο με πλάτος 0,8 m. Το υπόλοιπο τμήμ θ φυτευτεί 0, m 0,8 m ) Ν ποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝ έχει εμδόν όσο είνι το άθροισμ των εμδών των πρπάνω τριγώνων. Στ πρκάτω σχήμτ κάθε τετργωνάκι έχει πλευρά cm. Ν ρείτε τ εμδά των σχημάτων που δίνοντι: Μ Ν 0 m 8 με γκζόν. Ν υπολογίσετε το κόστος της κτσκευής του γκζόν, ν ο γεωπόνος χρεώνει κάθε m γκζόν. Τ πρκάτω ορθογώνι έχουν τις ίδιες διστάσεις. Εξηγήστε γιτί τ πράσιν μέρη των δύο ορθογωνίων έχουν ίσ εμδά. 8 9 7 0 9 Στο πρκάτω σχήμ φίνετι οικόπεδο σχήμτος ορθογωνίου, το οποίο δισχίζει διγώνι ένς δρόμος στθερού πλάτους. ) Ν ποδείξετε ότι τ τριγωνικά οικόπεδ που πομένουν έχουν ίσ εμδά. ) Ν υπολογίσετε το, ώστε ο δρόμος ν «ποκόπτει» πό το οικόπεδο τμήμ του οποίου το εμδόν ν είνι ίσο με το του εμδού που πομένει στο οικόπεδο. { Στο τετράπλευρο του διπλνού σχήμτος οι διγώνιες είνι κάθετες. ν = cm,ο=cm κι Ο=cm, ν υπολογίσετε το εμδόν του τετράπλευρου. Ν υπολογίσετε το σε κθέν πό τ πρκάτω σχήμτ. Ο 8 m cm 0 cm cm 0 0 m Στο τετράγωνο του πρκάτω σχήμτος είνι Μ κι Ν τ μέσ των πλευρών του κι ντίστοιχ. ) Ν ποδείξετε ότι τ τρίγων Μ κι Ν έχουν ίσ εμδά. cm 0 cm 8 cm
Μέρος -.. Eμδά επίπεδων σχημάτων cm 9 cm Ν υπολογίσετε τ εμδά των πρκάτω σχημάτων: cm cm cm cm cm cm 8 cm 0 cm cm Στο πρκάτω σχήμ δίνετι η κάτοψη ενός διμερίσμτος. Ν ρείτε: ) Το εμδόν κάθε δωμτίου. ) Το εμδόν του γωνικού διδρόμου. γ) Το εμδόν της εράντς. εράντ εράντ 8, m Σλόνι m m Κουζίν ιάδρομος ρφείο Υπνοδωμάτιο WC, m Mπάνιο Υπνοδωμάτιο, m m m, m, m m m m m cm Ν ρείτε το εμδόν του πορτοκλί τετργώνου του πρκάτω σχήμτος. 7 Στο πρκάτω σχήμ φίνετι το τοπογρφικό διάγρμμ ενός κτήμτος το οποίο πωλείτι προς 0.000 το στρέμμ. ) Ν ρεθεί η ξί του κτήμτος. ) Πόσ κλήμτ μπορούμε ν φυτέψουμε στο κτήμ υτό, ν κάθε κλήμ πιτεί, m χώρο; 0m 0m 0m π π : Πίσω πό την κουρτίν κρύοντι έν τετράγωνο, έν ορθογώνιο κι έν ορθογώνιο τρίγωνο. m ρείτε τη θέση κι το εμδόν κθενός, ν γνωρίζετε ότι:. Το ορθογώνιο έχει τετρπλάσιο εμδόν κι ρίσκετι πιο ριστερά πό το τετράγωνο.. Έν σχήμ εμδού 00 cm ρίσκετι δεξιά πό το ορθογώνιο τρίγωνο.. εξιά πό έν σχήμ με τέσσερις ορθές γωνίες ρίσκετι το ορθογώνιο τρίγωνο.. Οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είνι ίσες με τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου.
.. Πυθγόρειο θεώρημ ε γ ƒ ƒ π ίνοντι οκτώ ίσ ορθογώνι τρίγων με κάθετες πλευρές, γ κι υποτείνουσ κι τρί τετράγων με πλευρές,, γ ντίστοιχ. ) Ν υπολογίσετε τ εμδά ε, Ε, Ε, Ε των διπλνών τριγώνων κι τετργώνων. ) Ν τοποθετήσετε κτάλληλ τ τρίγων κι τετράγων, ώστε ν σχημτίσουν δύο νέ τετράγων, πλευράς ( + γ). Λύση ) Έχουμε ότι: ε = γ γ E γ E E Ε = Ε = γ Ε = ) ρκεί ν τ τοποθετήσουμε όπως φίνετι στ πρκάτω σχήμτ. Πρτηρούμε ότι μπορούμε ν γράψουμε το εμδόν των ίσων τετργώνων πλευράς ( + γ) με δύο διφορετικούς τρόπους: ος τρόπος: Ε + Ε + ε πό το πρώτο τετράγωνο που ποτελείτι πο τρίγων κι τ δύο τετράγων πλευράς, γ ντίστοιχ. ος τρόπος: Ε + ε πό το δεύτερο τετράγωνο που ποτελείτι πάλι πό τρίγων κι το τετράγωνο πλευράς. γ γ γ ε γ ε ε E γ ε ε E E ε ε ε γ γ γ Επομένως, θ ισχύει ότι: Ε + Ε + ε = Ε + ε ή Ε + Ε = Ε ή + γ = Η σχέση υτή, που συνδέει τις κάθετες πλευρές με την υποτείνουσ ενός τριγώνου, εκφράζει το Πυθγόρειο θεώρημ, δηλδή ισχύει:
8 Μέρος -.. Πυθγόρειο θεώρημ γ γ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμ των τετργώνων των δύο κάθετων πλευρών είνι ίσο με το τεράγωνο της υποτείνουσς. Πρτήρηση: Στο διπλνό σχήμ το τρίγωνο είνι ορθογώνιο στο. Σύμφων με το Πυθγόρειο θεώρημ ισχύει ότι: = + γ, δηλδή το εμδόν του μεγάλου πορτοκλί τετργώνου είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των δύο πράσινων τετργώνων. Το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήμτος Στην ρχί ίγυπτο γι την κτσκευή ορθών γωνιών χρησιμοποιούσν το σκοινί του πρπάνω σχήμτος. Όπως λέπουμε, το σκοινί έχει κόμπους σε ίσες ποστάσεις μετξύ τους που σχημτίζουν ίσ ευθύγρμμ τμήμτ. Κρτώντς τους κρίους κόμπους ενωμένους κι τεντώνοντς το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχημτίζετι το τρίγωνο, το οποίο οι ρχίοι ιγύπτιοι πίστευν ότι είνι ορθογώνιο με ορθή γωνί την κορυφή. Μετγενέστερ, οι ρχίοι Έλληνες επλήθευσν τον ισχυρισμό υτό ποδεικνύοντς την επόμενη γενική πρότση, που είνι γνωστή ως το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήμτος: ν σε έν τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγλύτερης πλευράς είνι ίσο με το άθροισμ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνί που ρίσκετι πένντι πό τη μεγλύτερη πλευρά είνι ορθή. Ν επληθεύσετε το Πυθγόρειο θεώρημ στο τρίγωνο του διπλνού σχήμτος. Ε Ζ Στο τρίγωνο ΕΖ οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη κι, οπότε το άθροισμ των τετργώνων των κάθετων πλευρών είνι + = + = 9. Επιπλέον, η υποτείνουσ έχει μήκος κι το τετράγωνό της ισούτι με: = 9. Επομένως, ισχύει το Πυθγόρειο θεώρημ, φού: + =.
Μέρος -.. Πυθγόρειο θεώρημ 9 Στο διπλνό σχήμ, το τρίγωνο έχει περίμετρο 0 m. ) Ν ρείτε τον ριθμό. ) Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. ) Η περίμετρος του τριγώνου είνι: + + = + 0 + + + = + 0. Σύμφων με την εκφώνηση είνι: + 0 = 0 ή = 0 0 ή = 0 ή 0 =. Άρ = 0. +0 + ) ι = 0 τ μήκη των πλευρών (σε μέτρ) είνι: = 0 + 0 = 0, = 0 =, = 0 + =. Επομένως: + = 0 + = 00 + =. Επίσης: = =. Επομένως: + = κι σύμφων με το ντίστροφο του Πυθγορείου θεωρήμτος το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. Έν ράφι είνι στερεωμένο σε έν κτκόρυφο τοίχο με έν μετλλικό στήριγμ μήκους =, cm. ν = 7,7 cm κι = 7, cm, ν εξετάσετε ν το ράφι είνι οριζόντιο. Το ράφι θ είνι οριζόντιο, μόνο ν είνι κάθετο στον τοίχο, δηλδή ν το τρίγωνο είνι ορθογώνιο στο. Είνι: + = 7,7 + 7, = 77,9 + 9,8 = 0,. Επίσης: =, = 0,7. Επομένως: +, οπότε το τρίγωνο δεν είνι ορθογώνιο. Στο διπλνό σχήμ δίνετι τετράγωνο πλευράς cm. To σημείο Μ είνι το μέσο της πλευράς κι Ρ = cm. ) Ν υπολογίσετε τ Μ, ΜΡ κι Ρ. ) Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΡ είνι ορθογώνιο στο Μ. Μ Ρ ) φού το Μ είνι μέσο του, είνι Μ = Μ = (cm). Eπίσης: Ρ = = 9 (cm). πό το Πυθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ έχουμε: Μ = + Μ = + = + = 80.
0 Μέρος -.. Πυθγόρειο θεώρημ Ομοίως, στο ορθογώνιο τρίγωνο ΜΡ έχουμε: ΜΡ = Μ + Ρ = + = + 9 =, κι στο ορθογώνιο τρίγωνο Ρ έχουμε: Ρ = + Ρ = + 9 = + 8 =. ) Είνι Μ + ΜΡ = 80 + = = Ρ, οπότε σύμφων με το ντίστροφο του Πυθγόρειου θεωρήμτος, το τρίγωνο ΜΡ είνι ορθογώνιο στο Μ. ƒø H Στις πρκάτω ερωτήσεις - τ τρίγων είνι ορθογώνι στο. Ν επιλέξετε τη σωστή πάντηση. cm 0 cm γ 8 cm cm cm cm 7 cm = = = = κι γ = 7cm cm cm = κι γ=8 9cm cm 0 cm = κι γ=0 0 cm cm cm = κι γ= cm cm 0 cm =8 κι γ=9 π Ν ρείτε το εμδόν του κόκκινου τετργώνου στ επόμεν σχήμτ. Ν ποδείξετε ότι τ πρκάτω τρίγων είνι ορθογώνι. m 7 0 8 7,7 m m 9 m 0, m m ) ίνετι έν τρίγωνο με μήκη πλευρών cm, 8 cm κι 0 cm. N ποδείξετε ότι το τρίγωνο είνι ορθογώνιο. ) Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο που έχει διπλάσιες πλευρές πό τις πλευρές του, κθώς κι το τρίγωνο που έχει τις μισές πλευρές πό τις πλευρές του, είνι επίσης ορθογώνιο.
Μέρος -.. Πυθγόρειο θεώρημ Το τρίγωνο του πρκάτω σχήμτος είνι ισοσκελές με = = 0 dm κι = dm. Ν υπολογίσετε το εμδόν του τετργώνου που έχει πλευρά ίση με το ύψος του τριγώνου. A 8 H διτομή ενός κνλιού είνι σχήμτος ισοσκελούς τρπεζίου με πλευρές: = = m, = 7 m κι = m. Ν υπολογίσετε το ύψος του κνλιού. A m 0 dm 0 dm m m 7 m dm 9 Ποι πό τις τοποθεσίες Ε,, είνι πλησιέστερ στην πόλη ; 7 Ν υπολογίσετε το εμδόν του μπλε τετργώνου το οποίο έχει πλευρά ίση με τη διγώνιο m του ορθογώνιου. ι ν σχημτίσει ορθή γωνί με δύο ξύλιν δοκάρι (όπως λέμε γι ν «γωνιάσει» τ δοκάρι), ένς τεχνίτης μετράει στο έν δοκάρι = 0 cm κι στο άλλο = 0 cm. Στη συνέχει, τ τοποθετεί κτάλληλ, ώστε ν είνι = 0 cm. Μπορείτε ν εξηγήσετε γιτί είνι σίγουρος ότι η γωνί που σχημτίζουν τ δοκάρι είνι ορθή; Ο χρτετός του διπλνού σχήμτος είνι ρόμος με διγώνιες dm κι dm. N ρείτε την περίμετρο κι το εμδόν της επιφάνεις του χρτετού.,m 90 A 0 cm 0 cm A 0 cm Ο E 8 m 7 m m A 9 m π π : γ γ ÙÔ ÈappleÏ Ófi Û Ì Ô ÌÂ Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ ÁˆÓÔ μ ( =90Æ) ÌÂ Ì ÎÔ appleôùâ ÓÔ Û Î È Ì ÎË Î ıâ ÙˆÓ appleïâ ÚÒÓ Î È Á. ͈ÙÂÚÈÎ ÙÔ ÙÚÈÁÒÓÔ Ô Ì Π٠ÛΠÛÂÈ ÙÚ ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÌÂ Ì ÎË appleïâ ÚÒÓ, Î È Á ÓÙ - ÛÙÔÈ. ÃÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ Ù ÚˆÌ ÙÈÛÙ «ÎÔÌÌ ÙÈ» appleô appleôùâïô Ó Ù ÙÂÙÚ ÁˆÓ ÙˆÓ Î ıâùˆó appleïâ ÚÒÓ, ÌappleÔÚ ÙÂ Ó «ÁÂÌ ÛÂÙ» ÙÔ ÌÂÁ ÏÔ ÁÎÚ Ô ÙÂÙÚ ÁˆÓÔ ÙË appleôùâ ÓÔ Û ÂÊ ÚÌfi ÔÓÙ ÎÚÈ Ò Ù ÚˆÌ ÙÈÛÙ ÎÔÌÌ - ÙÈ ˆÚ ÙÔ Ó Ó ÂappleÈÎ Ï appleùâè ÙÔ ÏÏÔ; γ γ
Μέρος -.. Πυθγόρειο θεώρημ π ƒπ ª πøª To ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ô ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì appleôùâïâ Ó applefi Ù appleèô ÎÔÌ ÏÏ Ù Ùfi ÚÔÓ Î È appleèô ÛËÌ ÓÙÈÎ ıâˆú Ì Ù Ì appleôïï ÂÊ ÚÌÔÁ. Ó Î Ï Ë ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ, Ó Î È apple Ú ÔÛÈ Î appleô ÂÙ È ÛÙÔÓ ı - ÁfiÚ ÙÔ ÌÈÔ (8-00 apple.ã.), ÂÓ Â Ó È ÈÔ fiùè ÁÈÓ applefi ÙfiÓ applefi Î appleôèôó applefi ÙÔ Ì ıëù ÙÔ ÛÙËÓ ı ÁfiÚÂÈ ÔÏ appleô Ú ÛÂ. ŸÌˆ Â Ó È ÈÔ appleˆ  Ù fi ÈÔ Â Ù ÔÈ Ì ıëù ÙÔ È Ù appleˆû Ó ÙËÓ appleúòùë applefi ÂÈÍË. ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ apple Ú ÔÛË, ÔÈ ıâô Ó ÎÔ ÓˆÛ Ó ÛÙÔÓ ı ÁfiÚ ÙÔ ÔÌÒÓ ÌÔ ıâòúëì Î È fiù Ó ÙÔ apple ÂÈÍÂ, ÁÈ Ó ÙÔ Â ÚÈÛÙ ÛÂÈ, Î Ó ı Û 00 Ô ÈÒÓ. È ÙÔ ÏfiÁÔ Ùfi, ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ó Ê ÚÂÙ È Û Ó Î È ˆ ıâòúëì ÙË ÂÎ - ÙfiÌ Ë. appleèappleï ÔÓ, ÔÈ ı ÁfiÚÂÈÔÈ È Ù appleˆû Ó Î È apple ÂÈÍ Ó ÙÔ ÓÙ ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ. ÔÏÏÔ Ì ıëì ÙÈÎÔ, È ÛËÌÔÈ Î È ÌË, appleúôûapple ıëû Ó Ó appleô  ÍÔ Ó ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâòúëì Ì ÈÎ ÙÔ ÓÂÍ ÚÙËÙË Ì ıô Ô. Ó ÌÂÛ Û ÙÔ apple Ú Ô Ó Î È appleúôûˆappleèîfiùëùâ, fiappleˆ Ô Leonardo da Vinci Î È Ô appleúfiâ ÚÔ ÙˆÓ Garfield. To 90 o Elisha Scott Loomis appleâúè Ï Â È ÊÔÚÂÙÈÎ appleô  ÍÂÈ ÙÔ ı ÁfiÚÂÈÔ ıâˆú - Ì ÙÔ Û Ó È Ï Ô. Το εμδόν μις επίπεδης επιφάνεις είνι ο θετικός ριθμός που εκφράζει το πλήθος των μονάδων μέτρησης, το οποίο χρειάζετι ν πάρουμε, ώστε ν κλύψουμε τη δοσμένη επιφάνει. apple Ó ÏË Ë ÂÊ Ï Ô Eμδά Επίπεδων Σχημάτων - Πυθγόρειο θεώρημ Μονάδες μέτρησης εμδών m = Εμδά των σικών επιπέδων σχημάτων. 00 dm = dm = 0.000 cm = 00 cm = cm =.000.000 mm 0.000 mm 00 mm Τετράγωνο Oρθογώνιο Πρλληλόγρμμο Ε = Ε = υ Ε = υ Oρθογώνιο τρίγωνο Τυχίο τρίγωνο Τρπέζιο γ Ε = υ γ Ε = υ υ Ε = (+) υ Πυθγόρειο θεώρημ: + γ = Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμ των τετργώνων των δύο κάθετων πλευρών είνι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσς. ντίστροφο Πυθγόρειου θεωρήμτος ν σε έν τρίγωνο το τετράγωνο της μεγλύτερης πλευράς είνι ίσο με το άθροισμ των τετργώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνί που ρίσκετι πένντι πό τη μεγλύτερη πλευρά είνι ορθή.