Eektriahead.1 Aaisvoouahead Eektrivõrgud töötavad tänapäeva peamiset vaheduvvoou. Erandiks on üksikud aaisvoouüekanded. Tõsi, küatki suur huk õpptarbijaid (eektritransport, tõsteseadmed, paberimasinad jm) kasutab aaisvoou. Kuna aga voou aadatakse seiste tarbijate vahetus äheduses, võib ka neid eektri üekande ja jaotamise seisukohat ugeda vaheduvvooutarbijateks. Eektrotehnika saadustega tutvumist on siiski otstarbekas austada aaisvooust. Ka ajaooiset rajanes eektrotehnika kuni 0. sajandi aguseni aaisvoou..1.1 Eektriväi Eektriväja tekitavad eektriiset aetud kehad. Aine põhiosakese, aatomi tuum on aetud positiivset, seda ümbritsevad eektronid aga negatiivset. Enamasti on aatomi positiivne ja negatiivne aeng tasakaaus ja aatomist väjaspoo eektriväi puudub. Kui aga eektrone eemadada või isada, omandavad aatomid ja neid sisadavad kehad positiivse või negatiivse aengu. Seiste kehade vahe tekitatud eektriväja kujutab joonis.1a. Kui teine aetud keha on piisavat kauge (teoreetiiset õpmata kauge), on eektriväi sümmeetriine (joonis.1b). a) b) Joonis.1 Kahe aetud keha eektriväi (a) ja sümmeetriine eektriväi (b) Eektriaengut Q iseoomustab suurus ja poaarsus. Laengu suurust mõõdetakse kuonites (C). Eektroni aengu suurus Q e = -1,60 10 19 C. Poaarsus on kas positiivne või negatiivne. Poaarsus määrati kindaks juba enne aatomi tundmaõppimist. Hijem segus, et eektroni aeng on negatiivne. Laengu märgi poe iseenesest tähtsust. Ouine on vaid see, et erineva poaarsusega aengud tõmbuvad ja sama poaarsusega tõukuvad. Eektriväja oemasou võib avastada ja eektriväja väjatugevust mõõta testaengue QT mõjuva jõu FT kaudu. Eektriväja tugevus avadub nende suhtena FT E = (.1) Q T 008 M. Medorf; J. Kiter 81
Väjatugevuse suund 1 ühtib jõu suunaga (eeduse, et testaeng on positiivne) ja on seega arvuiset võrdne, kui tegemist on ühikaenguga. Väjatugevuse mõõtühikuks on V/m. Tööd, mis seondub ühikaengu ümberpaigutamisega eektriväjas teekonna = ( 1, ), nimetatakse pingeks U = E U = 1 Ed (.) Kui ühikaengu ähtekohas eektriväi puudub (ähtekoht on teoreetiiset õpmata kauge), on tegemist potentsiaaiga V = Ed (.3) Praktikas oetakse eektriväja mingi punkti (nt maapinna) potentsiaa nuiks V 0 = 0. Pinge avadub potentsiaaide vahena U = V V 0, U1 = V1 V (.4) Nii pinge kui potentsiaai mõõtühik on vot (V). Eektrivoog Ψ on teatud pinda äbiva eektriväja määr. Eektrivoo mõõtühik on kuon, sest mingit aengut ümbritsevat pinda äbiva eektriväja kogumäär on võrdne see aenguga Ψ = Q Eektrivoo intensiivsust ruumiosas iseoomustab eektrivoo tihedus Ψ D =, D = dψ / da (.5) A kus A on pindaa. Eektrivoo tihedus on võrdeine eektriväja tugevusega D = ε E (.6) Tegurit ε nimetatakse dieektriiseks äbitavuseks ehk permitiivsuseks. Dieektriine äbitavus sõtub ainest (dieektrikust), mies eektriväi eksisteerib. Vaakumi 1 dieektriine äbitavus ε 0 = 8,85 10 F/m. Muude keskkondade dieektriist äbitavust on kombeks avadada vaakumi suhtes ε = ε rε 0 (.7) Tavaiset on suhteine dieektriine äbitavus ε r=... 10. Eektriväja kasutatakse ära kondensaatorites. Kui kondensaatorie rakendada pinget U, kandub seee aeng Q, mis on võrdeine mahtuvusega C Q = CU (.8) 1 Jõudu, väjatugevust ja mõningaid muid siin vaadedavaid suurusi tueks käsiteda vektoritena. Käesoevas ihtsustatud üevaates tuginetakse siiski skaaaridee. 8 008 M. Medorf; J. Kiter
Mahtuvus sõtub eektroodide pindaast A, nende vahekaugusest ja eektroodidevaheise aine dieektriisest äbitavusest ε. Traditsiooniise kahetasapinnaise eektroodiga kondensaatori mahtuvus on A C = ε (.9) Eektrivõrkude arvutamise pakub huvi iinijuhtmetevaheine mahtuvus C ning juhtme ja maa vaheine mahtuvus (joonis.) C 0 r a h U E E 1 1 Joonis. Eektriiini juhtmed Joonis.3 Kahe dieektrikukihiga kondensaator π ε π ε C =, C0 = a h n n re r e Mahtuvust mõõdetakse faradites (F). Ka eespoo vaadedud dieektriist äbitavust avadatakse mahtuvuse kaudu, mõõtühik F/m. Rööbiti paiknevate kondensaatorite mahtuvused iituvad C = C 1 + C (.10) Jadaühenduses kondensaatorite korra iituvad mahtuvuste pöördväärtused 1 1 1 = + (.11) C C1 C Sama vaem kehtib oukorras, kus kondensaatori dieektrik koosneb mitmest kihist (joonis.3), kusjuures A A C1 = ε1, C = ε 1 Siit tueneb tähtis järedus eektriväja tugevuse jagunemise kohta kõrgepingeisoatsioonis. Kuna eektrivoo tihedus on mõemas kihis sama D 1 = D, siis 008 M. Medorf; J. Kiter 83
ε ε 1E1 = ε E ja E 1 = E (.1) ε1 Seega on eektriväja tugevus pöördvõrdeine aine dieektriise äbitavusega. Kuna õhu dieektriine äbitavus on suhteiset väike, tekib just õhukihis kõrge tugevusega eektriväi, mis võib põhjustada äbiööke osaahenduste kuju..1. Eektrivoo Eektriaheas (joonis.4) tekib eektriaengute ümberpaiknemise tuemusena eektrivoo ΔQ dq( t) I =, i( t) = (.13) Δt dt Eektrivoou ühik on amper (A = C/s). Voou suunaks oetakse positiivsete aengute iikumise suunda. Seine epe on jäänud püsima, kuigi voo sisadab tihti vaid negatiivse aenguga eektrone, mis iiguvad vastassuunas. I U R I A Joonis.4 Eektriahe Joonis.5 Eektrivoo juhtmes Voo on Ohmi seaduse kohaset võrdeine pingega U I = GU = (.14) R kus G on juhtivus ehk konduktants ja see pöördväärtus R on takistus ehk resistants. Takistuse mõõtühik on oom (Ω = V/A) ja juhtivuse mõõtühik siimens (S = 1/Ω = A/V). Eektrijuhtmes (joonis.5) võib vaadeda vooutihedust I J = (.15) A Vooutihedus on võrdeine eektriväja tugevusega juhtmes J = γ E, E = ρ J (.16) kus γ on erijuhtivus ehk konduktiivsus ja ρ eritakistus ehk resistiivsus, mis seoste. ja.14...16 kohaset avaduvad kuju γ = G / A, ρ = R A / (.17) Siin ja edaspidi tähistatakse väikeste tähtedega muutujate hetkväärtusi. Suurtähed on jäetud suurustee, mis jäävad ajas muutumatuks. 84 008 M. Medorf; J. Kiter
Vooutiheduse, erijuhtivuse ja eritakistuse mõõtühikud on A/m, S/m = A/(V m) ja Ω m = V m/a. Materjaide erijuhtivused ja -takistused sõtuvad aine puhtusest ja temperatuurist. Näiteks suureneb temperatuuri kasvamise ühe kraadi võrra vase eritakistus 0,4%. Juhtivuse seisukohat jagunevad materjaid eektrijuhtideks, isoaatoriteks ja nende vahevormiks poojuhtideks. Temperatuuri absouutse nui äheduses muutuvad metaid üijuhtideks, kus nende eritakistus on nu. Tabeis.1 on andmed mõne materjai kohta. Tabe.1 Materjaide erijuhtivusi ja eritakistusi Materja Erijuhtivus S/m Eritakistus Ω m Märkus Hõbe Vask Aumiinium Nikke Räni Kumm 6 000 000 57 000 000 36 000 000 7 700 000 0,000 435 10-1 0,000 000 016 0,000 000 018 0,000 000 08 0,000 000 19 300 10 1 Eektrijuht Eektrijuht Eektrijuht Eektrijuht Poojuht Isoaator Kahe eektrijuhtme iitumiskoha kontakttakistust mõjutab materjaide iseoom, pinna seisund ja voou jagunemine. Vastav erijuhtivus on tavaiset tunduvat väiksem kui kummagi juhtme erijuhtivus. Kontakttakistuse erijuhtum on maandustakistus. i i I I 3 i a) b) Joonis.6 Kakskemmeementi äbiv voo I 1 I 4 Joonis.7 Eektriahea sõm Eektriahea eemendid on aenguneutraased, s.t nendesse ei kogune aeng. Kui mingi voo siseneb kakskemmeementi üemise kemmi kaudu (joonis.6a), siis sama suur voo väjub see aumiset kemmit. Seda omadust rõhutab joonise.6b ühine voou tähistav noo. Sama kehtib ka hargneva eektriahea sõme kohta (joonis.7), mis tähendab, et sõmest väjuvate vooude summa võrdub sõme sisenevate vooude summaga I 1 + I = I3 + I4. Üdisemat väjendab seda Kirchhoffi esimene ehk voouseadus: sõme kõikide vooude agebraine summa võrdub nuiga. 008 M. Medorf; J. Kiter 85
Ik = 0 k (.18) Voou tekitamiseks eektriaheas on vaja pingeaikat, näiteks patareid või generaatorit. Ideaane pingeaikas on ahea eement, mie pinge ei sõtu aikat äbivast vooust. Aikapinget nimetatakse eektromotoorjõuks. Reaaset pingeaikat, mie pinge sõtub vooust, võib kujutada koosnevana konstantse eektromotoorjõuga E ideaasest pingeaikast ning aika sisetakistusest R 0 (joonis.8). Potentsiaaide vahet U takisti ehk üdisemat eektriahea passiivse eemendi nimetatakse pingeanguks. Eektromotoorjõudu sisadava aktiivse eemendi Joonis.8 Reaase pingeaikaga eektriahe võib vaadeda pingetõusu U 0 ehk negatiivset pingeangu. Eektriahe sisadab ühte või enamat simust, s.t teekonda, mis, äbides sõmi vaid üks kord, jõuab tagasi agussõme. Energia jäävuse seaduse tõttu on simust U 1 U äbivae aengue antav energia nu, mis tähendab, et pingeangude summa simuses võrdub S 3 pingetõusude summaga. Seda väjendab ka Kirchhoffi teine E U 0 S 1 U 3 S U 4 ehk pingeseadus: eektriahea simuse pingeangude agebraine summa võrdub nuiga ehk simuse eektromotoorjõudude agebraine U 5 Joonis.9 Kome simusega eektriahe summa võrdub pingeangude agebraise summaga Uk = 0 ehk E i U (.19) k i = Joonise.9 kujutatud eektriahea võib vaadeda kome simust S 1, S ja S 3 U 0 + U1 + U3 + U5 = 0 U 3 + U + U4 = 0 U 0 + U1 + U + U 4 + U5 = 0 ehk E = U1 + U3 + U5 U 3 + U + U4 = 0 E = U + U + U + 1 4 U5 86 008 M. Medorf; J. Kiter
Jadaühenduse (joonis.10) korra on kõigis takistites üks ja sama voo, mis on eitav aikapinge ja ahea kogutakistuse kaudu U1 U U3 E I = = = = R1 R R3 R Kuna E = U1 + U + U3 siis ahea kogutakistus R = R + R + (.0) 1 R3 E I U 0 U 1 R 1 R U R 3 U 3 Joonis.10 Takistite jadaühendus Rööpühenduse (joonis.11) puhu ühtib takistite pinge U U U I 1 =, I =, I 3 = R1 R R3 ning I = I1 + I + I3 Seega avadub ahea kogutakistus R võrrandist 1 1 1 1 = + + R R1 R R3 Joonis.11 Takistite rööpühendus ja kogujuhtivus G on G = G1 + G + G3 Niisiis iituvad jadaühenduse korra takistused, rööpühenduse aga juhtivused..1.3 Magnetväi Voouga juhtme ümber tekib magnetväi, mie suund määratakse kruvireegi ause (joonis.1). Kvantitatiivset võib magnetväja kujutada magnetvoona Φ (joonis.13), mie intensiivsuseks on magnetvoo tihedus B Φ B = (.1) A Φ B I Joonis.1 Eektrivoou tekitatud magnetväi A Joonis.13 Magnetvoog 008 M. Medorf; J. Kiter 87
Magnetvoo mõõtühik on veeber (Wb = V s) ja magnetvoo tiheduse mõõtühik on tesa (T = Wb/m = V s/m ). Kuna magnetvoo tihedus sõtub keskkonnast (materjaist), kus magnetväi eksisteerib, vaadedakse voouga proportsionaaset magnetväja tugevust. Magnetväja tugevuse definitsioon: kui mööda magnetjõujoont teha täisring ümber voouga juhtme, võrdub magnetväja tugevuse H ja teepikkuse korrutis voouga I H = I, ehk H = (.) Täpsemat kirjedab seda Ampère i ehk koguvoouseadus, mis üteb, et magnetväja tugevuse ja suetud kontuuri pikkuse (võetuna mööda magnetjõujoont) korrutis on võrdne koguvoouga, mis äbib kontuuriga piiratud pindaa I = H Δ (.3) m m n n n See avadise paremat poot nimetatakse ka magneetimisergutuseks. Magnetväja tugevuse mõõtühik on A/m. Magnetvoo tiheduse ja magnetväja tugevuse suhet μ nimetatakse magnetiiseks äbitavuseks ehk permeaabuseks B = μh (.4) 7 Vaakumi magnetiine äbitavus μ0 = 4π 10 H/m. Diamagnetiiste materjaide (nt vask) magnetiine äbitavus on seest veidi väiksem ja paramagneetikute (nt õhk) veidi suurem. Omaette rühma moodustavad ferromagneetikud, mie suhteine magnetiine äbitavus μ r = μ / μ 0 võib uatuda tuhandetesse. Voou poot mingis seadmes tekitatud magnetvoog on võrdeine voouga Φ = LI (.5) Proportsionaasustegurit L nimetatakse induktiivsuseks, mie mõõtühik on henri (1 H = 1 V s/a). Joonise.14 on kujutatud simusekujuise voouringi magnetvoogu. Magnetväja ebaühtane jaotumine seadmes muudab induktiivsuse määramise keerukaks. Simuse induktiivsus avadub näiteks kuju R L = μ 0 R n r kus R on simuse ja r juhtme raadius. Joonise.15a kujutatud torujuhtme sees võib magnetvoo tiheduse ugeda ühtaseks ja seest väjaspoo piisavat väikeseks, mistõttu Joonis.14 Simusvoouringi magnetvoog I BA = μ 0HA = μ A, Φ 0 L μ0 A 88 008 M. Medorf; J. Kiter
Sama aruteu kehtib ka siinderpooi suhtes (joonis.15b). Kuna pooi on n juhtmekeerdu, siis on vastavat suurem ka koguvoo. Lisaks haarab juhe magnetvoogu n korda. Kokku võttes on pooi induktiivsus võrdeine keerdude arvu ruuduga A L n μ Joonis.15 Torujuhe (a) ja siinderpoo (b) 0 Ferromagnetiise südamiku korra, mie magnetiine äbitavus μ Fe >> μ0, saab otsustavaks õhupiu. Kui õhupiu on oemas (joonis.16a), siis määrab see kogu ahea induktiivsuse. Õhupiu puudumise (joonis.16b) saavad määravaks raudsüdamiku näitajad. Vastavat A0 AFe L n μ0, või L n μ Fe 0 Fe µ Fe n 0 A 0 n A Fe Fe a) b) Joonis.16 Õhupiuga (a) ja õhupiuta (b) ferromagnetiise südamikuga poo Magnetväjas mõjub voouga juhtmee jõud, mis on risti nii voouga I kui magnetvoo tihedusega B (joonis.17). Seevastu magnetväjas kiirusega v iikuvas juhtmes indutseeritakse eektromotoorjõud E (joonis.18) F = BI, E = Bv (.6) F.. E I B I.. B v Joonis.17 Voouga juhtmee mõjuv jõud 008 M. Medorf; J. Kiter Joonis.18 Eektrijuhtmes indutseeritav eektromotoorjõud 89
Eektromotoorjõud indutseeritakse ka siis, kui juhe on paiga, kuid magnetvoog muutub dφ E = (.7) dt Seda tuntakse Faraday seadusena. Indutseeritava eektromotoorjõu suund on seine, et see poot tekitatava voou magnetväi töötab vastu eektromotoorjõudu tekitavae nähtusee (Lenzi reege). Kuna eektromotoorjõud indutseeritakse tavaiset mähises, mies on n keerdu, esitatakse vaadedav seos kuju dψ E =, Ψ = nφ (.8) dt Suurust Ψ nimetatakse ahedusvooks. Üdjuhu on keerdude arvu n aseme seadme konstruktsioonist sõtuv magnet- ja ahedusvoo vaheine proportsionaasustegur. Vooutugevuse ühik amper defineeritaksegi kahe vaakumis asetsevae paraeejuhtmee mõjuva jõu kaudu I F = μ0 π a kus on juhtmete pikkus ja a nende vahekaugus. Kui = a, siis on vooutugevuse 1 A korra juhtmetee mõjuv jõud 10-7 N. Vaakumi magnetiine äbitavus 7 μ0 = 4π 10 H/m antakse ette ja on seega täpne suurus..1.4 Eektrienergia Kui voo äbib takisti, haihtub sees energia, mis võrdub eektriaengu ümberpaiknemise tehtava tööga U W = UQ = UIt = t = RI t (.9) R Energia muutumiskiirus on võimsus W U P = = UI = = RI (.30) t R Viimast tuntakse Joue i-lenzi seadusena. Eektriväjaga seondub energia, mis võrdub väja tekitamiseks vajaike aengute ümberpaigutamise tehtava tööga. Tueb tähee panna, et aengute ümberpaigutamise tõuseb pinge nuist kuni õppväärtuseni U W U U 1 C = uqdu = Cu du = CU (.31) 0 0 Samamoodi võib eida ka magnetväjaga seotud energia väärtuse I I 1 W uidi Li di LI L = = = (.3) 0 0 90 008 M. Medorf; J. Kiter
Joonis.19 Eektriiini aseskeem Eektrienergiat kantakse üe eektriiini abi. Eektriiini hajutatud induktiivsust ja mahtuvust võib aseskeemi kujutada jadaühenduses eementide üitusena (joonis.19). Kui eektriiin ühendatakse voouaikaga, tekib pingeaine, kus eektriaeng siirdub esmat esimesee kondensaatorie. Kui esimese kondensaatori pinge tõuseb, hakkab aeng üe kanduma teisee kondensaatorie jne. Ühtasi tekib induktiivsetes eementides magnetväi ja kasvab seega seotud energia. Eektri- ja magnetväjas sisaduva energia tõttu vajab protsess aega. Pingeaine edenemiskiiruseks kujuneb 1 1 v 0 = = 300 000 km/s LC μ0ε0 Seega iigub pingeaine ja ühtasi edastub eektrienergia vaguse kiirusega, sama aja kui aengukandjate (eektronide) iikumiskiiruseks on vaid mõni miimeeter sekundis. Eektrienergia üekannet piirab muuhugas toiteaika sisetakistus. Kui U 0 on aikapinge, R S toiteaika sisetakistus ja R V väistakistus, siis on üekantav võimsus suurim, kui R S = R V, sest RV U0 dpv PV = RV I = ja kui = 0, siis R S = RV ( RS + RV ) drv Seine üekanne võib oa vajaik nõrkvooutehnikas, kus tingimuse R S = R V kohta öedakse, et koormus on aikaga sobitatud. Eektrivarustuses tähendaks see, et üekande kasutegur on vaid 50%.. Vaheduvvoouahead Eektrivarustuses on vaheduvvoou ouisi eeiseid. Vaheduvvoo võimadab vaida üekandmiseks sobivat pinget ja seda vajaiku viisi regueerida. Aaisvooumasinatega võrredes on vaheduvvooumootorid ja -generaatorid tunduvat ihtsama konstruktsiooniga ning seetõttu ka odavamad ja töökindamad. Tõsi, probeemiks on onud vaheduvvooumootorite juhtimine, kuid ka sea on viimaste aastakümnete tehtud jõueektroonika kaasabi edusamme...1 Põhimõisted Eektrivarustuses on kasutuse siinuseine vaheduvvoo. Voou siinuseine kuju tueneb seest, et magnetväjas pööreva juhtmekeeru (joonis.0) aktiivküjee mõjuva magnetvoo tihedus sõtub keeru asendist 008 M. Medorf; J. Kiter 91
Φ b = sinα = Bm sinα, kus A = s A Seega on keerus indutseeritud eektromotoorjõud e = Bmv sinα, e = Bmv sinωt, e = Em sinωt kus ω on juhtmekeeru nurksagedus, mie mõõtühik on radiaani sekundis (rad/s). Kui juhtmekeeruga ühendada eektriahe, tekib sees siinuseine pinge ja voo (joonis.1). Φ s U m I m u α A=s 0 ϕ i ϕ u i ωt Joonis.0 Juhtmekeerd magnetväjas Joonis.1 Vaheduvpinge ja -voo Siinuseiset muutuvat pinget ja voou u = U m sin( ω t + ϕu ), i = I m sin( ω t + ϕ I ) iseoomustab ampituud U m ja I m, periood T, sagedus f π 1 ω T =, f = = ω T π ning faasinurk ehk faas ϕ U ja ϕ I, mis pinge ja voou ei pruugi kokku angeda. Sageduse f =50 Hz korra on periood T = 1/f = 0 ms ja nurksagedus ω = πf = 314 rad/s. Kokkueppe kohaset ei kasutata koosinusfunktsiooni ega ampituudi negatiivseid väärtusi, vaid muudetakse vastavat siinusfunktsiooni faasi o o cosα = sin( α + 90 ), U sinα = + m U sin( α + 180 ) Siinuseiste suuruste käsitemine ihtsustub tunduvat, kui siinusfunktsiooni vaadeda pööreva vektori projektsioonina horisontaatejee (joonis. a). Kui oobuda aja jägimisest (vaadeda oukorda hetke t = 0) eeduse, et sagedus ω ei muutu, esindab siinusfunktsiooni mittepöörev vektor ehk faasor X = X m ϕ (joonis. b). Kahe suvaise faasiga suuruse summat Zm sin( ω t + γ ) = X m sin( ωt + ϕ) + Ym sin( ωt + φ) on ihtne eida vektordiagrammi abi (joonis. c). m 9 008 M. Medorf; J. Kiter
Joonis. Siinusfunktsiooni asendamine vektoriga Vektordiagrammid sobivad üesannete graafiiseks ahendamiseks. Numbriise ahendamise on otstarbekas rakendada kompeksarvutust. Seeks kujutatakse vektoreid ja muid suurusi kompekstasandi, kus reaateg paikneb horisontaaset ja imaginaarteg vertikaaset (joonis.3). Vertikaakoordinaadi korra on kasutuse imaginaarühik j = 1. Suurusi (nii skaaareid kui ka vektoreid) kujutatakse kompekstasandi kas rist- või poaarkoordinaatides (joonis.3 a ja b) A = a r + ja i või A = A ϕ kus a r = Re[ A] ja a i = Im[ A] on suuruse A reaa- ja imaginaarosa. Matemaatiise seose rist- ja poaarkoordinaatide vahe võib tuetada trigonomeetriiset a r = A cosϕ, a i = A sinϕ A = a r + a i, ϕ = tan 1 ( a i / ar ) Eueri vaemi kohaset ± α e j = cosα ± jsinα jα kusjuures e on ühikpikkusega ning nurgaga α õik (joonis.3 c). Seda vaemit rakendades võib kompekssuuruse teisendada eksponentsiaasee kujue jϕ A = Ae Joonis.3 Suurused kompekstasandi Kompeksarvude iitmist ja ahutamist tueb teha ristkoordinaatides. Kui A = a r + ja i ja B = b r + jbi siis 008 M. Medorf; J. Kiter 93
A ± B = ( ar ± br ) + j( ai ± bi ) Korrutamiseks ja jagamiseks sobivad enam poaarkoordinaadid. Kui jϕ jφ A = Ae ja B = B e siis j( ϕ + φ ) AB = AB e = AB ( ϕ + φ) A A j( ϕ φ ) A = e = ( ϕ φ) B B B Edasiseks on kasuik tähee panna, et 1 jα = j, j = 1, e = 1, e jα = α j Eektrotehnikas tähistatakse kompekssuurusi sagei akriipsuga. Moodueid isamärgiga ei tähistata. Näiteks jϕ A = Ae, A = A ϕ, A = B + jc, A = B + C On ka teisi kokkueppeid, näiteks tähistatakse akriipsuga vaid vektoreid. Muud kompekssuurused kirjutatakse aga nii, nagu on näidatud eespoo... Vaheduvvoouahe Vaheduvpingee üitatud aktiivtakistie (resistorie) kehtib Ohmi seadus sama kuju kui aaisvoou korra u = Ri miest u( t) = RIm sin( ω t + ϕ I ) = Um sin( ωt + ϕu ) kus ϕ U = ϕ I. Seega U = RI (.33) Faasorid U ja I on siin koineaarsed ning pinge ja voo samas faasis (joonis.4). 94 Joonis.4 Resistori vektordiagramm ja ainekujud 008 M. Medorf; J. Kiter
Induktiivtakistis indutseerib vaheduvvoo eektromotoorjõu, mis tasakaaustab seee üitatud pinge di u = L dt Seega d o u( t) = L Im sin( ω t + ϕ I ) = ωlim sin( ωt + ϕ I + 90 ) = jωlim sin( ωt + ϕ I ) dt ning U = jωli (.34) Seega jääb induktiivtakisti korra voo 90 võrra pingest maha (joonis.5). U I 90 i u ϕ U ϕ I 0 ωt Joonis.5 Induktiivtakisti vektordiagramm ja ainekujud Voo kondensaatoris on võrdeine aengu muutumise kiirusega dq du i = = C dt dt mistõttu d o i( t) = C Um sin( ω t + ϕu ) = ωcum sin( ωt + ϕu + 90 ) = jωcum sin( ωt + ϕu ) dt Siit j I = jωcu ehk U = 1 I = I (.35) jωc ωc Seega edestab voo kondensaatoris ehk mahtuvustakistuses pinget 90 võrra (joonis.6). Üdjuhu võib Ohmi seaduse vaheduvvoouaheatee esitada vektorkuju U = Z I (.36) kus tegurit Z nimetatakse näivtakistuseks ehk impedantsiks 3. Eespoo vaadedud juhtumite 3 Mõnikord nimetatakse näivtakistuseks mooduit Z, suurust Z aga kompekstakistuseks. 008 M. Medorf; J. Kiter 95
90 u I i ϕ I - ϕ U 0 ωt U Joonis.6 Kondensaatori vektordiagramm ja ainekujud o Z R = R, Z L = jωl = ωl 90 ja Z C = j / ωc = 1/ ωc 90 Siin on suurus R aktiivtakistus ehk resistants. Suurusi X L = jωl ja X C = j / ωc (.37) nimetatakse vastavat induktiivtakistuseks ehk induktantsiks ja mahtuvustakistuseks ehk kapasitantsiks. Nende ühisnimetus on reaktiivtakistus ehk reaktants. Takistuste pöördväärtused, juhtivused, on näivjuhtivus ehk admitants, aktiivjuhtivus ehk konduktants ja reaktiivjuhtivus ehk sustseptants. Reaktiivjuhtivuse mõiste ühendab nii induktiivse kui mahtuvusiku juhtivuse. Vajaduse korra täpsustatakse mõistet eessõnaga (tabe.). Takisti Tabe. Eementide takistused ja juhtivused Eement Takistus Juhtivus Aktiivtakisti Resistor Induktiivtakisti Induktor Mahtuvustakisti Kondensaator Näivtakistus Impedants Aktiivtakistus Resistants Induktiivtakistus Induktiivne reaktants Induktants Mahtuvustakistus Mahtuvusik reaktants Kapasitants X C X L Z Näivjuhtivus Admitants Aktiivjuhtivus R Konduktants Induktiivjuhtivus = jωl Induktiivne sustseptants Mahtuvusjuhtivus = j /ωc Mahtuvusik sustseptants B L o Y = 1/ Z G = 1/R B C = j / ωl = jωc Kompekstasandi võib vaadeda nn takistuste komnurka, mie hüpotenuus on näivtakistus ning kaatetid aktiiv- ja reaktiivtakistus (joonis.7). Kehtivad seosed 96 008 M. Medorf; J. Kiter
Z = Z γ, Z = R + X, Vaheduvvoouaheas võib nagu aaisvoouaheas eida ekvivaentse takistuse, iites jadaühenduses näivtakistused ja rööpühenduses näivjuhtivused Z = Z 1 + Z + Z 3 Y = Y 1 + Y + Y 3 Kehtivad ka Kirchhoffi esimene ja teine seadus k = k X γ = tan 1 (.38) R +j Z Z γ R=Re[ Z] X=Im[ Z] + Joonis.7 Takistuste komnurk I 0, U = 0 (.39) Joonise.8 kujutatud skeem iseoomustab eektriüekannet. Eriti kaabeiinide korra, kus juhtmed paiknevad ähestikku ja mahtuvus on seetõttu suur, võib tua ette, et pinge iinis ei ange, vaid hoopiski kasvab. Seine nähtus takistab pikkade (nt mereauste) kaabeiinide rajamist. Teisat võimadab kondensaatorpatareide üesseadmine tarbija äheda pinget tõsta ja regueerida. Joonis.8 Eektriüekannet iseoomustav vaheduvvoouahe Joonise.9 on takistite jada- ja rööpühendus. Jadaühenduse korra induktiivse ja mahtuvusiku iseoomuga reaktiivtakistused kompenseerivad teineteist Z( ω) = R + j( X X ) = R + j( ωl 1/ ωc) L C Joonis.9 Takistite jada- (a) ja rööpühendus (b) 008 M. Medorf; J. Kiter 97
Kui reaktiivtakistused on võrdsed, tekib nähtus, mida nimetatakse resonantsiks, jadaühenduse ka jada- ehk pingeresonantsiks. Seine oukord vastab resonantssagedusee ω 0 ω 0 L 1/ ω0c = 0, 0 = 1/ LC, 0 = 1/ LC (.40) Resonantsi korra I = U / R ja 1 U L = j R L U C Joonis.30 RLC-jadaahea vektordiagrammid Induktiiv- ja mahtuvusiku takisti pinged võivad jadaresonantsi oa toitepingest suuremad. Vektordiagrammid joonise.30 vastavad oukorrae, kus üekaaus on mahtuvusiku iseoomuga reaktiivtakistus ( ω < ω0 ), tegemist on resonantsiga ( ω = ω0 ), või üekaaus on induktiivse iseoomuga takistus ( ω > ω0 ). Füüsikaiset on resonantsinähtus seetatav savestatud energia võnkumisega. I C I L I I R U Joonis.31 RLC-rööpahea vektordiagramm Takistite rööpühenduse (joonis.9b) iituvad juhtivused Y ( ω ) = G + BL + BC = 1/ R + jωc j / ωl Rööp- ehk voouresonantsie vastab sagedus ω 0 C 1/ ω0l = 0, ω 0 = 1/ LC, ω 0 = 1/ LC (.41) Resonantsi korra U = IR ja C C I L = jr I, I C = jr I L L Rööpahea resonantsi vektordiagramm on joonise.31...3 Vaheduvvoou võimsus Voou ja pinge muutumise tõttu on vaheduvvoou korra ka võimsus muutik (joonis.3). Võimsuse hetkväärtus 98 008 M. Medorf; J. Kiter
p = ui = U m sin( ω t + ϕ ) I sin( ωt + ϕ ) U m UmIm UmIm p = cos( ϕ U ϕ I ) cos(ωt + ϕu + ϕ I ) (.4) Enamasti pakub huvi vaid keskmine võimsus 1 t1 + T P = p( t) dt T t1 Kuna avadise (.4) teise iikme keskväärtus on nu, siis U m I m P = cos( ϕu ϕ I ) Kui tähistada ϕ = ϕ U ϕ I ning võtta kasutusee pinge ja voou efektiivväärtused U = U m /, I = I m / (.43) saame P = UI cosϕ (.44) I Joonis.3 Võimsuse hetkväärtuse muutumine Voou ja pinge efektiivväärtused on vaheduvvoouaheates üdkasutatavad. Efektiivväärtustee on skaeeritud ka mõõteriistad. On ihtne veenduda, et Ohmi ja Kirchhoffi seadused jäävad seejuures kehtima. Üdjuhu võib efektiivväärtusi defineerida kui voou ja pinge ruutkeskmisi. Tõepooest, kui vaadeda resistori hajuva võimsuse keskväärtust t + T R t + T t + T P = 1 1 1 1 1 p( t) dt = i ( t) dt = t t u ( t) dt T 1 T 1 RT t1 ja võrdsustada see konstantsee vooue või pingee vastava võimsusega U P = RI = R siis I = 1 t1 + T i t1 T ( t) dt, U = T 1 t1 + T u t1 ( t) dt (.45) 008 M. Medorf; J. Kiter 99
Seiset määratud efektiivväärtused sobivad nii siinuseise kui ka mis tahes muu kujuga vaheduvvoou ja pinge korra. Kui võimsuse hetkväärtuse vaemis (.4) teha asendus ϕ I = ϕ U ϕ, saab peae trigonomeetriisi teisendusi p = UI cosϕ [ 1 + cos ( ωt + ϕu )] + UI sinϕ sin ( ωt + ϕu ) Saadud avadise esimene iige vastab oukorrae, kus ϕ I = ϕu, s.t ahe on resistiivne. Teine iige, mie keskväärtus on nu, kajastab seega energia võnkumist aika ja reaktiivtakisti vahe. Suurusi P = UI cosϕ, Q = UI sinϕ (.46) nimetatakse vastavat aktiivvõimsuseks, ühik vatt (W), ja reaktiivvõimsuseks, ühik varr (VAr). Neist esimest, võimsust tavaises mõttes, on vaadedud eespoo. Reaktiivvõimsuse mõistet on otstarbekas kasutada vahedvvoouaheate käsitemise. o Kui aheas on vaid induktiiv- või mahtuvusik takisti, siis ϕ = 90 või o ϕ = 90 ja U U Q L = = I X L > 0, Q C = = I X C < 0 X L X C On kombeks öeda, et induktiivne reaktiivtakisti tarbib ja mahtuvusik reaktiivtakisti toodab reaktiivvõimsust, kuigi tegemist on vaid vaheduva energiasavestusega. Reaktiivvõimsust ei oe siiski otstarbekas üe kanda, sest see suurendab voou I = I P + I Q ja tõstab kadusid Δ P = RI üekandeaheates (R on üekandeaheate aktiivtakistus). Pinge ja voou efektiivväärtuste korrutist S S = UI Q nimetatakse näivvõimsuseks, ühik votamper (VA). Näivvõimsus kujutab võimsuste komnurga (joonis.33) ϕ hüpotenuusi, kus üks kaatet on aktiiv- ja teine reaktiivvõimsus P Joonis.33 P + Q = ( UI ) cos ϕ + ( UI ) sin ϕ = ( UI ) Võimsuste komnurk Kui aktiivvõimsus paigutada kompekstasapinna reaatejee, siis reaktiivvõimsus kuuub imaginaartejee. Kompekssuurust * S = U I = P + jq (.47) nimetatakse ka kompeksvõimsuseks. Määrangus voou kaaskompeksi * * I = [ I ( ϕ U ϕ )] = I ( ϕ U + ϕ) kasutamine tagab see, et näivvõimsuse nurk on ϕ * S = U I = U ϕu I ( ϕ U + ϕ ) = UI ϕ Kompeksvõimsuse ouine omadus on tema summeeritavus sõme summaarne 100 008 M. Medorf; J. Kiter
kompeksvõimsus võrdub kõikide koormuste kompeksvõimsuste summaga. See omadus aieneb ka aktiiv- ja reaktiivvõimsusee. Aktiivvõimsuse suhet näivvõimsusse P / S = cosϕ nimetatakse võimsusteguriks. Kuna reaktiivvõimsuse üekandmine põhjustab eektrivõrkudes kadusid, on soovitav, et võimsustegur oeks võimaikut ähedane ühee. Kokkuvõte vaheduvvoouvõimsust iseoomustavatest suurustest on tabeis.3. Tabe.3 Vaheduvvoouvõimsuse suurused koormusee Z = R + jx = Z ϕ Suurus Avadis Ühik Tähendus Aktiivvõimsus P = UI cosϕ = RI Keskmine edastatav W võimsus Reaktiivvõimsus Q = UI sinϕ = XI Reaktiivenergia vahetuse VAr määr Kompeksvõimsus kuju * S = U I = P + jq = ZI Näivvõimsuse kompeks VA Näivvõimsus S = UI = P + Q VA Kompeksvõimsuse Võimsustegur P / S = cosϕ..4 Vastastikune induktiivsus moodu Aktiiv- ja näivvõimsuse suhe Voo magnetahea (joonis.34a) mähises tekitab magnetvoo φ, mie suund on määratav parema käe reegi abi kui võtta pooist kinni parema käega ja sõrmed on voou suunas, siis pöia osutab voo suunae poois. Joonis.34 Magnetahea skeem ja aseskeem Kui südamiku suhteine magnetiine äbitavus on suur, siis ei väju magnetvoog südamikust ja on igikaudu φ = μr μ 0 Ni A / kus μ r on südamiku materjai suhteine magnetiine äbitavus, N pooi keerdude arv, A südamiku ristõikepindaa ja voo teepikkus südamikus. Magnetaheate anaüüsi hõbustamiseks nimetatakse pooi voogutekitavat efekti magneto- 008 M. Medorf; J. Kiter 101
motoorjõuks F = N i ja voo teed iseoomustavat omadust magnetiiseks takistuseks ehk reuktantsiks R = / μrμ0a Tuemuseks on avadis F = Rφ (.48) mis on Ohmi seaduse magnetiine versioon. Seee avadisee vastab magnetahea aseskeem joonise.34b. Kui südamikue asetada vee teine mähis (joonis.35a), isandub teine magnetvoog, mie suund võib esimesega ühtida või mitte. Magnetvoogude poaarsuse fikseerimiseks tähistatakse mähiste otsad punktiga nii, et seat sisenevate vooude tekitatud magnetvood on samasuunaised. Arvestades ka puistevooga φ, võtab magnetahea aseskeem joonise.35b näidatud kuju. Joonis.35 Kahe mähisega magnetahe Magnetahea skeemi ause võib koostada võrrandisüsteemi ( R 1 R φ + ( R mie ahendiks on + R ) φ R φ = N i 1 1 1 1 + R ) φ = N i φ 1 = N 1i1 / R11 + Ni / R M, φ = N i / R + N1i1 / RM kus R // Faraday seaduse ause 11 = R1 + R R, R + R1 R R = //, R M = R1 + R + R1R / R 1 1 1 / 1 11 1 + 1 u = N dφ dt = ( N / R ) di / dt ( N N / RM ) di / dt u = N dφ / dt = ( N / R ) di / dt + ( N1N / RM ) di1 / dt Defineerides 11, L 1 = N1 / R L = N / R, M = N N / R 1 M 10 008 M. Medorf; J. Kiter
saame 1 1 1 / + / + 1 u = L di dt Mdi / dt, u = L di dt Mdi / dt (.49) Suuruste L 1, L, ja M interpreteerimiseks kujutame ette, et sekundaar- või primaarahe on avatud (i = 0 või i 1 =0). Siis u 1 = L1di1 / dt, u = Mdi1 / dt või u = Ldi / dt, u 1 = Mdi / dt Siit võime järedada, et L 1 kujutab endast primaar- ja L sekundaarmähise omainduktiivsust. Vastastikune induktiivsus M väjendab aga mähistevaheist magnetiist sidestust ja on ühesugune mõemas suunas (joonis.36). Vastastikuse induktiivsuse võib avadada omainduktiivsuste kaudu M = κ L 1 L kus sidestustegur κ = R / ( R1 + R )( R + R ) 1 Vastastikune induktiivsus on suurim ( κ = 1), u kui eke puudub ( R = ). Kui üks poo oeks 1 L 1 L u keritud teises suunas, siis see tekitatud voog oeks vastassuunaine ja Joonis.36 Magnetaheate omau 1 = L1di1 / dt Mdi / dt ja vastastikune induktiivsus u = Ldi / dt Mdi1 / dt mis tähendab, et se juhu vastastikuse induktiivsuse märk muutub. Vastastikuseid induktiivsusi sisadavate aheate anaüüsimise võib ähtuda vaemitest (.49). Püsitaituse korra kasutatakse efektiivväärtusi, asendades Lk dik / dt jωlk I k ja Mdik / dt jωm I k (k = 1,) U = jω L1 I 1 + jωm, U = jω L I + jωm 1 (.50) 1 I i 1 I M i Joonis.37 Trafo skeem (a) ja aseskeem (b) Kasutada võib ka aseskeeme. Joonise.37a kujutatud trafo korra kehtib joonise.37b kujutatud aseskeem. Tõepooest, aseskeemi ause tuetatud võrrandid u = L M ) di / dt + M d( i + i ) / dt = L di / dt M di / dt 1 ( 1 1 1 1 1 + = ( L M ) di / dt + M d( i1 + i ) / dt = L di / dt + M di1 u / dt on identsed varem saadud võrranditega. 008 M. Medorf; J. Kiter 103
Aseskeemie võib isada vee ideaase trafo (joonis.38) keerdude suhtega k, kusjuures trafo võrrandid jäävad kehtima sõtumata k väärtusest. Eektrivõrgu arvutustes vaitakse suhe k võrdseks trafo tegeiku üekandesuhtega, mie tuemusena trafo parameetrid osutuvad taandatuks tema primaarpooee. Eektrivarustuses on trafode kõrge magnetiise äbitavusega ferromagnetiine südamik ning mähised on keritud üksteise peae, mistõttu magnetvoo eke on minimaane ( κ 1). Arvestada tueb aga kadudega. Üheks Joonis.38 Trafo aseskeem kadude põhjuseks on mähiste kuumenemine aktiivtakistuse tõttu. Seda võimsust nimetatakse trafo vaseskaoks. Tekivad ka südamikuskaod. Nende põhjuseks on hüstereesiefekt ja pöörisvooud südamikus. Kui trafosüdamik oeks massiivne, võiksid pöörisvooude põhjustatud kaod uatuda üe pooe trafoe antavast võimsusest. Kui südamik koostada üksikutest isoeeritud ehtedest, vähenevad kaod järsut (pöördvõrdeiset ehtede arvu ruuduga). Jõutrafo T-aseskeemis (joonis.39a) vastab trafo primaarmähise vaseskadudee takistus R 1 ja sekundaarmähise vaseskadudee primaarpooee taandatud takistus R ning südamikuskadudee juhtivus G = 1/ Rm. Joonis.39 Jõutrafo T- ja Γ-kujuine aseskeem Eektrivõrkude arvutamise puututakse kokku suure huga trafodega, mistõttu kasutatakse trafode ihtsustatud aseskeeme. Näiteks oobutakse kassikaisest T- aseskeemist ja kasutatakse ihtsamat Γ-aseskeemi, tuues juhtivused G ja B aseskeemi primaar- või sekundaarkemmidee (joonis.39b) ja summeerides takistused R = R 1 + R ja X = X 1 + X. Aseskeemi piki- ja põikharu parameetrite suure erinevuse tõttu tagab Γ-aseskeem eektrivõrkude arvutamise praktikas piisava täpsuse. Ka ideaane trafo võib aseskeemis oa primaar- või sekundaarpooe, ainut aseskeemi parameetrid peavad oema taandatud vastava pooe pingee. Aseskeemis (.39b) on trafo takistus X võrdne puistereaktantsiga X ja reaktiivjuhtivus B on trafo magneetimistakistuse X m pöördväärtus. 104 008 M. Medorf; J. Kiter
Trafo parameetrid võivad oa antud passiandmetes. Sagei antakse trafo tühijooksu- ja ühiskatse tuemused, mie ause võib vajaikud parameetrid tuetada. Kui tühijooksu parameetrid on U 0, I 0 ja P 0 (tavaiset rakendatakse nimipinget U 0 = U n ), siis P0 U0 I0 P0 G =, B = (.51) U0 U0 Lühiskatse trafo sekundaarpoo ühistatakse ja primaarpooee rakendatakse pinget U L, mis kutsub sekundaarpooe esie voou I L (tavaiset nimivoou I L = In ) võimsuse, ning P L P R =, I L L LI L I L L U P X = (.5) Tõsi, viimased seosed ei oe päris täpsed, sest ühiskatse avadavad mõju ka põikjuhtivused. Viga ei oe siiski suur ja ka parameetrite täpsustamine ei tekita raskusi..3 Komefaasiised ahead Eektrijõumasinates ning üekanade- ja jaotusvõrkudes rakendatakse komefaasiist vaheduvvoousüsteemi. Komefaasiise süsteemi eeiseks on eektriiinide ja trafode väiksem materjaikuu. Veegi ouisem on, et komefaasiise voou pöörev magnetväi võimadab ehitada eriti ihtsaid ja töökindaid eektrimasinaid..3.1 Põhimõisted Komefaasiine süsteem tekib, kui generaatori staatorie paigutada kom üksteise suhtes 10 võrra nihutatud mähist (joonis.40 a). Generaatoris pööreb rootor (eektromagnet) kiirusega w = ω / π = 50 pööret sekundis tagamaks 50 Hz sagedust. Pöörev rootor indutseerib faasimähistes eektromotoorjõud, mis on ajas o nihutatud π / 3 = 10 võrra (joonis.40 b) 008 M. Medorf; J. Kiter Joonis.40 Komefaasiine süsteem 105
e A o = Em sinωt, eb = Em sin ( ω t 10 ), ec = Em sin ( ωt 40 ) (.53) Võrrandid (.53) defineerivad sümmeetriise komefaasiise süsteemi faasijärgnevusega A-B-C. Komefaasiises süsteemis on eektromotoorjõudude summa iga ajahetke nu ea ( t) + eb ( t) + ec ( t) = 0 o o sest trigonomeetriiset sin ωt + sin ( ωt 10 ) + sin ( ωt 40 ) = 0. See asjaou võimadab kome faasi voou üe kanda vaid kome juhtme kaudu (joonis.41), kusjuures voo võimaikus neutraajuhtmes puudub i N = 0. Tõepooest, kuna ia = ua / R, ib = u B / R, i A = uc / R siis i ( t) = i ( t) + i ( t) + i ( t) = e ( t) + e ( t) + e ( t) / R = N [ ] [ ] 0 A B c A B C o i A e A R u A i N i B R N R e C e B i C u B u C Joonis.41 Komefaasiine ahe Segub ka, et kome faasi hetkvõimsuste summa on konstantne p( t) = pa ( t) + pb ( t) + pc ( t) = 3U / R (.54) kus pinge efektiivväärtus U = U m /. Avadise (.54) tõestamiseks tueb tähee panna, et pa = ua( t) / R, pb = ub ( t) / R, pc = uc ( t) / R Edasine tueneb trigonomeetriast. Tehniisest seisukohast tähendab hetkvõimsuse konstantsus mehaaniise vibratsiooni vähenemist komefaasiistes generaatorites ja muudes eektriseadmetes, võrredes ühefaasiiste seadmetega, kus võimsuse hetkväärtus puseerib. Komefaasiises süsteemis võib vaadeda faasipingeid U A, U B ja U B neutraai suhtes ja iinipingeid U AB = U A U B, U BC = U B U C ja U CA = U C U A kahe juhtme vahe. Joonise.4 on faasi- ja iinipingete vektordiagramm. Geomeetria põhja on sege, et iini- ja faasipingete mooduite U ja U f suhe on U = 3U f (.55) Ka iinipinged moodustavad 10 võrra nihutatud komefaasiise süsteemi. 106 008 M. Medorf; J. Kiter
Praktikas ähtutakse enamasti iinipingete väärtustest, kuna need on aati mõõdetavad. Seetõttu kasutatakse ka vaemites iinipingeid, jättes indeksie osutamata. A U CA U A U AB U CA B U B U AB U C U BC U BC Joonis.4 Faasi- ja iinipinged C Joonis.43 Generaatori komnurküitus Generaatori mähiseid ja koormusi võib ühendada ka komnurka (joonis.43). Se juhu füüsiine neutraapunkt ja võimaus neutraajuhi ühendamiseks puudub ning faasipinged on vaid teoreetiised. Muus osas jääb oukord samaks, väjastpoot vaadatuna ei oe võimaik kindaks teha, kas generaator või tarbija on täht- või komnurküituses..3. Sümmeetriine ahe Sümmeetriises aheas on kõigi kome faasi pingete ja vooude mooduid võrdsed (joonis.44a). Seetõttu võib ühe faasi kohta saadud tuemused üe kanda kahee üejäänue. Komefaasiisi aheaid anaüüsitaksegi ühefaasiise aseskeemi ause, mis saadakse faasi A ja neutraajuhi eradamise muust skeemist (joonis.44b). Kuna voo neutraajuhis on nu, ei mõjuta see parameetrid oukorda aheas ja neutraajuhti oetakse ideaaseks takistuseta juhiks ka juhu, kui neutraajuht füüsiiset puudub. Komnurkühenduse korra teisendatakse aseskeem ekvivaentsesse tähtüitusse. Teisendustingimusi vaadedakse apoo. Joonis.44 Komefaasiine süsteem ja see ühefaasiine aseskeem 008 M. Medorf; J. Kiter 107
Antud juhu U A I A = Z, U B I B = Z, U C I C = Z Kuna U f U I A = I B = IC = I = ja U f = Z 3 siis võib voou komefaasiises aheas eida vaemiga U I = (.56) 3Z pidades simas, et tegemist on iinipingega. Komefaasiise ahea aktiiv- ja reaktiivvõimsus on imset kõigi kome faasi võimsuste summa, sümmeetriises aheas komekordne ühe faasi võimsus P = 3P = 3U I cosϕ 3U I cosϕ (.57) f f = f = 3U f I sin = Q = 3Q ϕ 3U I sinϕ (.58) Vastav näivvõimsus S = P + Q = 3UI (.59) Võimsustegur P / S = cosϕ jääb samaks mis ühe faasi korra. Ja kuigi faaside hetkvõimsused võnguvad, on summaarne hetkvõimsus konstantne p( t) = u ( t) i ( t) + u ( t) i ( t) + u ( t) i ( t) = 3U I cosϕ = 3P P A A B B c C f f = Komefaasiisi koormusi võib ühendada komnurka (joonis.45a) ja toita nii komnurk- kui ka tähtüituses generaatorist ka siis, kui koormuse puudub punkt neutraai ühendamiseks. Joonis.45 Koormuste komnurk- ja tähtüitus Voo faasis A komnurküituse korra I Kuna = I I = ( U U Z A AB CA AB CA) Δ 108 008 M. Medorf; J. Kiter
U AB U CA = ( U A U B ) ( U C U A) = U A U B U C = = 3U A ( U A + U B + U C ) ja U A + U B + U C = 0 siis I A = 3 U A / Z Δ = U A /( Z Δ / 3) Siit järedub, et komnurküitusega ekvivaentse tähtüituse takistused on = Z Δ Z Y (.60) 3 Tähee tueks panna ka seda, et kui samad takistid ühendada tähtüituse aseme komnurka, suurenevad vooud ja võimsused kom korda. Joonis.46 Trafo mähiste üitusskeemid ja vektordiagrammid Komefaasiiste trafode mähised võib ühendada tähte (joonis.46a) või komnurka (joonis.46 b). Lisavõimauseks on siksaküitus (joonis.46c), mida kasutatakse näiteks trafo madaama pinge pooe ühtustamaks kõrgema pingega mähiste koormust. Mähiste üitusskeeme tähistatakse tähtedega D, Y, Z või d, y, z trafo kõrgema või madaama pingega mähiste järgi. Kui täht- või siksaküituses mähise neutraa maandatakse (ühendus neutraaiga on toodud trafo üituskibie), isatakse tähisee täht N või n. Sõtuvat trafomähiste üitusskeemist võib primaar- ja sekundaarmähise pingete 008 M. Medorf; J. Kiter 109
vahe tekkida faasinihe. Näiteks kui primaarmähis on ühendatud tähte ja sekundaarmähis komnurka, on faasinihe 30, sest sekundaarmähise iinipinge on siis samas faasis kui primaarmähise faasipinge (joonis.47). Kuna võimaik faasinihe on 30, võivad mähised kuuuda 1 erinevasse üitusgruppi. Kokkueppeiset on hakatud üitusgruppe kujutama kea numbriaua nii, et suur osuti vastab kõrgema pingega mähise faasipingee ja on aati numbri 1, madaama pingega mähise faasipinge suund aga vastab kea väikesee osutie, näidates üitusgruppi. Joonise.47 toodud ühendusviisi üitusgrupp on seetõttu 11. Lüitusskeemid Yy, Dd ja Dz võivad moodustada paarisarvuisi üitusgruppe 0 (või 1),, 4, 6, 8 ja 10, üitusskeemid Yd, Dy, Yz aga paarituarvuisi gruppe 1, 3, 5, 7, 9 ja 11. Lüitusskeemi ja neutraai tähis ning üitusgrupp moodustavad trafo üitustähise, näiteks YNd11, Yy0, Dyn11, Dd0y5. Joonis.47 Trafo YNd11-üitus Lüitusgruppe tueb tähee panna trafode paraeeühenduse, vätimaks sekundaarpingete faaside erinevust. Lüitusskeem on ouine mittesümmeetriise taituse korra, määrates siis trafo ja kogu eektrivõrgu nujärgnevusaseskeemi (p.3.3). Lüitusskeemiga seondub muidki probeeme, näiteks võib Yy-üituses trafo maandamata neutraai korra genereerida üemäära komandat harmoonikut (p.3.4)..3.3 Asümmeetriine ahe Komefaasiise ahea asümmeetriine seisund tekib näiteks tasakaaustamata koormuse korra, kui võimsused tarbija eri faasides ei oe võrdsed. Teiseks asümmeetria põhjuseks on rikked faasijuhtmete katkemised või asümmeetriised (ühe- ja kahefaasiised või kahefaasiised maaga) ühised. Vähema määra põhjustavad asümmeetriat võrgu asümmeetriised eemendid, nagu transponeerimata või puuduikut transponeeritud eektriiinid. 110 008 M. Medorf; J. Kiter
Asümmeetriist seisundit võib arvutada faasikoordinaatides ehk iga faasi kohta eradi. Enam on evinud sümmeetriiste komponentide meetod, mie kohaset võib igat komefaasiist vektorisüsteemi kujutada kome sümmeetriise süsteemi päri-, vastu- ja nujärgnevussüsteemi vektorite summana (joonis.48) Pärijärgnevussüsteem Asümmeetriine süsteem F A1 F 0 F A F C1 FA F A1 F B1 F C1 F A FC F = F = F = F A0 B0 C0 0 F C F 0 F C F B1 F B F B Vastujärgnevussüsteem Nujärgnevussüsteem Joonis.48 Sümmeetriised komponendid ja vastav asümmeetriine süsteem F A = F A 1 + F A + F 0 F B = F B 1 + F B + F 0 (.61) F C = F C1 + F C + F 0 Pärijärgnevussüsteemi vektorid F A 1, F B1 ja F C1 on omavahe nihutatud 10 võrra päripäeva, vastujärgnevussüsteemi vektorid F A, F B ja F C aga vastupäeva. Ehk teisiti, pärijärgnevussüsteemis on faasijärgnevus A B C, vastujärgnevussüsteemis A C B. Nujärgnevussüsteemi vektorid on kõik võrdsed F = F = F. A 0 B 0 C 0 = F 0 Faaside B ja C sümmeetriisi komponente saab avadada faasi A sümmeetriiste komponentide F A 1, F A ja F 0 kaudu, kui kasutada eriist ühikvektorit ehk faasikordajat a, mis pöörab temaga korrutatavat vektorit 10 vastupäeva j10 1 3 a = 1 10 = e = + j Faasikordaja ruut a pöörab seega korrutatavat vektorit 40 vastupäeva ehk 10 päripäeva j 40 1 3 a = 1 40 = e = j Faasikordajat kasutades avaduvad asümmeetriise süsteemi vektorid järgmiset: F B F 0 008 M. Medorf; J. Kiter 111
F F F A = F A1 + F A + F 0 B a F A1 + a F A + = F (.6) C = a F A1 + a F A + F 0 0 Nüüd on ihtne ahendada ka pöördüesannet, s.t eida faasi A sümmeetriised komponendid vektorite tegeike väärtuste F, F ja F C kaudu 1 1 F C F A = ( F A + a F B + a 3 1 ) F A = ( F A + a F B + a F C ) (.63) 3 1 F 0 = ( F A + F B + F C ) 3 Päri-, vastu- ja nujärgnevussüsteemis kehtivad Ohmi ja Kirchhoffi seadused tavaise kuju. Igas sümmeetriises süsteemis saab eida pingeangu ja voou vahe seose Δ U 1 = Z1 I 1, Δ U = Z I, Δ U 0 = Z 0 I 0 kus Z 1, Z ja Z 0 on vaadedava aheaharu päri-, vastu- ja nujärgnevustakistused. Keeruisee aheae võib koostada aseskeemid ja võrrandid ning ahendada need eradi päri-, vastu- ja nujärgnevuskomponendi jaoks. Tegeikud faasisuurused eitakse sümmeetriiste komponentide summeerimise tee. Tabe.4 Eektrivõrgu eementide orienteerivad nujärgnevusreaktantsid Eement X 0 Trafo, maandamata neutraaiga Trafo Yyn- või Zyn-üituses, viie- ja nejasambaine või koostatud komest ühefaasiisest trafost Trafo Yyn- või Zyn-üituses, komesambaine 10...15 X 1 Trafo Dyn- või YNyn-üituses X 1 Trafo Dzn- või Yzn-üituses 0,1...0, X 1 Sünkroonmasin 0,5 X 1 Asünkroonmasin, maandamata neutraaiga Asünkroonmasin, maandatud neutraaiga 0 Eektriiin 3 X 1 Ahea päri- ja vastujärgnevusskeemid on üdjoones sarnased. Erinevuseks on eektromotoorjõu puudumine (omab nuväärtust) vastujärgnevusskeemis. Erinevad on ka pöörevate masinate vastu- ja pärijärgnevustakistused, sest vastujärgnevusvooud tekitavad nendes magnetväja, mis pööreb pärijärgnevusvooude poot tekitatud magnetväjaga võrredes vastassuunas. Liinide ja trafode päri- ja vastujärgnevustakistused on võrdsed. Seevastu ahea eementide nujärgnevustakistused A B 11 008 M. Medorf; J. Kiter
on teistsugused. Trafo nujärgnevustakistus oeneb mähiste üitusgrupist ja trafo orienteeritusest nujärgnevusvooude suhtes. Nujärgnevusvooud saavad trafosse siseneda ja edasi vooata ainut äbi maandatud neutraaiga mähiste. Trafosse sisenenud nujärgnevusvooud suguvad komurkmähistes (mähise takistus skeemi maandatakse), kuid ei saa vooata maandamata tähte ühendatud mähistes (takistus on õpmata suur). Seega sõtub trafode üitusgrupist kogu nujärgnevusskeem. Nujärgnevusreaktantside orienteerivad väärtused on tabeis.4..3.4 Mitteineaarne ahe Pinge ja seega seonduv voo eektriaheas ei pruugi oa siinuseine. Mittesiinuseise kujuga pingeid võib vaadeda ennekõike eektroonikaskeemides. Kuid ka eektrivõrgus tähedatakse kõrvaekadeid pingeaine siinuseisest kujust. Igae perioodiiset muutuvae suurusee võib fikseerida muutumisperioodi T ja seee vastava põhisageduse ω = π T. Fourier avastas, et iga perioodiise funktsiooni f(t), mie põhisagedus on ω, saab arendada ritta f ( t) = c0 + ( ak cos kω t + bk sin kωt) (.64) k = 1 Vaem (.64) kujutab trigonomeetriist Fourier rida, mie tegurid on c 0, a 1, b 1,... Rea võib esitada ka ampituudide ja faaside kaudu f ( t) = c0 + ck sin ( kω t + ϕk ) k = 1 või eksponentsiaase Fourier reana f ( t) = c jkωt jkωt 0 + ( cke + cke ) k= 1 = c k k= e jkωt (.65) Joonis.49 Funktsioonid f ( t) = 3sinωt sin ωt (a) ja f ( t) = 3sinωt sin 3ωt (b) 1 + Fourier teisendus on füüsikaiset tõgendatav nii, et iga perioodiine funktsioon koosneb konstantsest komponendist ning perioodiistest komponentidest, mie sagedused on põhisageduse ω kordsed ehk harmoonikud. Funktsiooni kujust oenevat võib osa harmoonikutest (nt paaris- või paaritud harmoonikud) puududa. Ka võib rea iikmete arv oa õpik või jäetakse iiga kõrge sagedusega harmoo- 008 M. Medorf; J. Kiter 113
nikud praktiiste kaautuste vaatemata. Joonise.49 on kaks funktsiooni, mis sisadavad kahe- ja komekordse sagedusega harmoonikuid. Igat harmoonikut iseoomustab sagedus, ampituud ja faas. Hea üevaate oukorrast annab spekter, kus harmoonikute ampituude (vajaduse korra ka faase) on kujutatud sõtuvat sagedusest. Perioodiiste funktsioonide spektrite uurimist nimetatakse spektraaanaüüsiks, mida tehakse erimõõteriistadega spektraaanaüsaatoritega. I I t t a) b) I I t t c) d) Joonis.50 Harmoonikugeneraatorite vooe: juhitav ajam (a), aadi (b), arvuti (c), ahendusamp (d) Eektrivõrkudes genereerivad harmoonikuid peamiset mitteineaarsed koormused (joonis.50). Põhiised mitteineaarsed koormused on jõueektroonikat kasutavad ja eektriahenduse rajanevad tööstuskoormused: juhitavad ajamid, aadid, inverterid, kaarahjud, keevitusseadmed, ahendusambid jm. Mitteineaarseteks koormusteks on ka seised kodu ja kontori eektritarvitid nagu teeviisorid, mikroaine- ja induktsioonahjud, arvutid, printerid, kopeerimismasinad jt. Enamik mitteineaarsetest koormustest genereerivad paarituid harmoonikuid. Trafode hüstereesi tõttu mitteineaarne magneetimisvoo, pooaineaadid ja kaarahjud genereerivad paarisharmoonikuid. Juhusiku iseoomuga koormused (kaarahjud, keevitusseadmed ja sagedusmuundurid) võivad genereerida ka vaheharmoonikuid, mie sagedus ei oe pinge põhiaine sageduse kordne. Eektrivõrgus, kus harmoonikute esinemine viitab pinge kvaiteedi angusee, hinnatakse toitepinge harmoonikute koguväärtust harmoonmoonutusteguriga THD (Tota Harmonic Distortion) 114 008 M. Medorf; J. Kiter
40 h U 40 U h h= THD = = h= U (.66) 1 U1 kus: U h pinge h-nda harmooniku ampituudväärtus U 1 pinge põhiharmooniku ampituudväärtus. Harmoonikugeneraatorite põhjustatud muude tarbijate toitepinge moonutused sõtuvad eektrivõrgu ehitusest, ennekõike takistusest. Taitust arvutatakse superpositsiooniprintsiibi (p.4.1), kus iga harmooniku kohta eradi arvutatud seisundid summeeritakse..4 Eektriaheate anaüüsimeetodid.4.1 Superpositsiooniprintsiip Eektriaheate anaüüsimise ähtutakse enamasti ideaasest pingeaikast ehk eektromotoorjõust, mie väärtus ei sõtu seda äbivast vooust. Mõnikord, näiteks vooutrafo modeeerimise, on otstarbekas vaadeda ka ideaaset voouaikat. Kui eektriahe sisadab vaid ideaaseid aikaid ja ahea muude eementide takistused on konstantsed, siis on tegemist ineaarse aheaga. Lineaarses aheas kehtib superpositsiooniprintsiip (teoreem): kui ineaarahe sisadab kahte või enamat eektriaikat, siis võrduvad ahea vooud ja pinged iga eektriaika poot eradi tekitatud (teised aikad on kõrvadatud) osaväärtuste agebraise summaga. Joonis.51 Superpositsiooniprintsiibi rakendamise näide 008 M. Medorf; J. Kiter 115
Ogu joonise.51a esitatud näites, mis sisadab kahte pinge- ja ühte voouaikat, vaja eida voo I 3. Leiame voou osaväärtused I 31, I 3 ja I 33, mis on tekitatud iga eektriaika poot eradi (joonis.51b, c ja d). Otsitava voou väärtus saadakse osavooude summeerimise I = I + I + 3 31 3 I 33.4. Aseskeemide teisendamine Eektriahea aseskeem tekib, kui asendada ähteskeemi kõik eemendid nende aseskeemidega. Eementide aseskeemide vaiku arvestatakse uuritava nähtuse iseoomu ja tuemuste vajaikku täpsust. Näiteks võib arvestada või mitte iinide ja trafode pikiaktiiv- või reaktiivtakistusi ja põikjuhtivusi. Enne vajaike taitusparameetrite (vooud, pinged, võimsused) arvutamisee asumist on aseskeemi otstarbekas ihtsustada. Aaisvoou puhu (p.1.) vaadedud jada- ja rööpühenduses takistuste iitmise reegid kehtivad ka vaheduvvoou korra. Jadaühenduse (joonis.5a) Y 1Y Z = Z 1 + Z või Y = (.67) Y 1 + Y Rööpühenduse korra (joonis.5b) Z1Z Y = Y 1 + Y või Z = (.68) Z 1 + Z 1 = Z 1 Y1 1 1 1 Z = Y 1 = Y = Y Z 1 Z a) b) Joonis.5 Takistuste jada- ja rööpühendus Takistuste jada- ja rööpühendusee isaks võib tekkida vajadus teisendada tähtühendust komnurka või vastupidi (joonis.53). Teisendamisvaemid saadakse eeduse, et väised vooud I 1, I ja I 3 ning pinged U 1, U 3 ja U 31 jäävad muutumatuks Z 1Z Z 1 Z 31 Z 1 = Z1 + Z + ja Z 1 Z = 3 Z 1 + Z 3 + Z (.69) 31 Üejäänud takistused eitakse samamoodi. 116 008 M. Medorf; J. Kiter
I 1 I 1 U 31 U 1 Z 1 Z Z 3 U 31 U 1 Z 1 Z 31 I I Z 3 U 3 U 3 I 3 a) b) Joonis.53 Täht-komnurkteisendus Vaadedud võtetega võib mis tahes passiivse, voouaikaid mittesisadava skeemi teisendada T- või Π-kujuiseks ekvivaentseks aseskeemiks (joonis.54). Seosed nende skeemide takistuste vahe on samad mis täht- ja komnurkteisenduse. I 3 Z 1 Z Z 1 Z 3 Z 31 Z 3 a) b) Joonis.54 T- ja Π-kujuine aseskeem.4.3 Thévenini ja Nortoni aikad Suvaist ineaarset aheat (toitevõrku) võib vaadeda tühijooksu ja ühises (joonis.55a ja b). Tuemuseks on tühijooksupinge U 0 ja ühisvoo I k. Ahea ineaarsuse tõttu kehtib joonise.55 c näidatud karakteristik, mie kae resistiivse ahea korra on R t, kusjuures R = U / I. I = 0 t 0 k I=I k U 0 U 1 Toitevõrk U = U 0 Toitevõrk U=0 R t a) b) c) Joonis.55 Toitevõrgu tühijooksu- ja ühiskatse ning karakteristik 0 I k I 008 M. Medorf; J. Kiter 117