ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται από τα διανύσματα u (,,,), u (,,, ) και u (,,9, ) α) (7 μον) Να βρείτε μια βάση και τη διάσταση του V β) (7 μον) βρείτε μια βάση και τη διάσταση του ορθογώνιου συμπληρώματος V γ) (6 μον) Δίδεται η γραμμική απεικόνιση f : 4 που ορίζεται από τις σχέσεις: f (,,) u, f(,,) u, f(,,) u Αφού γράψετε τον πίνακα αναπαράστασης της f ως προς την κανονική βάση, να βρείτε τις διαστάσεις της εικόνας Imf και του πυρήνα Kerf της f Λύση α) Θεωρούμε τον πίνακα με γραμμές τα u, u, u δηλαδή τον πίνακα A Εφαρμόζοντας σ αυτόν διαδοχικά τις γραμμοπράξεις 9 Γ Γ, Γ Γ + Γ, Γ Γ Γ, Γ Γ, Γ Γ και Γ Γ + Γ, 9 9 8 9 9 9 4 4 4 καταλήγουμε στον γραμμοϊσοδύναμο πίνακα: 9 B 4 Παρατηρούμε ότι οι μη μηδενικές γραμμές του τελευταίου πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες Άρα μια βάση του V είναι το σύνολο{ (,,9, ),(,,, 4)} οπότε dimv Εναλλακτικά:
Θεωρούμε τον πίνακα με στήλες τα u, u, u και εφαρμόζουμε σ αυτόν διαδοχικά τις γραμμοπράξεις: Γ Γ + Γ Γ Γ+Γ Γ Γ Γ4 Γ 4+ Γ 9 9 4 Γ ΓΓ 4 Γ 4 Γ 4+Γ Επειδή η η και η η στήλη του τελικού πίνακα έχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία η η και η η στήλη του αρχικού πίνακα δηλαδή τα u, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα παράγουν τον χώρο Συνεπώς αυτά αποτελούν βάση του V dimv και οπότε β) Το στοιχείο (, yzw,, ) V αν και μόνο αν είναι κάθετο στα διανύσματα της βάσης του V, δηλαδή τα u, u, Οπότε η βάση του ορθογώνιου συμπληρώματος θα προκύψει από τη λύση του ομογενούς συστήματος με επαυξημένο πίνακα: 4 4 4 Από όπου έχουμε : 4z+ w και τελικά y z+ 4w ( yzw,,, ) ( 4 z+ w, z+ 4 wzw,, ) z( 4,,,) + w(,4,,) Τα ( 4,,,),(,4,,) παράγουν το ορθογώνιο συμπλήρωμα V και είναι εύκολο με τη χρήση του ορισμού να δούμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα Οπότε αποτελούν βάση του ορθογώνιου συμπληρώματος V γ) Ως πίνακας της απεικόνισης ως προς τις κανονικές βάσεις είναι ο πίνακας με στήλες τα u (,,,), u (,,, ) και u (,,9, ) Γ Γ + Γ Γ Γ+Γ Γ Γ Γ4 Γ 4+ Γ 9 9 4 Γ ΓΓ 4 Γ 4 Γ 4+Γ
Επειδή η η και η η στήλη του τελικού πίνακα έχουν μη μηδενικά οδηγά στοιχεία η η και η η στήλη του αρχικού πίνακα δηλαδή τα u (,,,), u (,,, ) είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα αποτελούν βάση του χώρου εικόνα της απεικόνισης, άρα d im Im f Οπότε dim Kerf dim Im f Θέμα ( μονάδες) 4 Έστω A M( ) 6 α) ( μον) Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α β) ( μον) Εξετάστε αν ο Α διαγωνοποιείται και εάν ναι βρείτε τον αντιστρέψιμο πίνακα P και τον διαγώνιο D έτσι ώστε D P AP γ) ( μον) Υπολογίστε τον πίνακα A Λύση α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι 4 det( A I) det ( + ) det ( + )( ( ) + ) 6 6 ( )( + ) Άρα οι ιδιοτιμές του A είναι και,- Τα ιδιοδιανύσματα του A είναι οι λύσεις των εξισώσεων A y, ( A I) y και ( A+ I) y z z z Για τη πρώτη εξίσωση έχουμε τις λύσεις 8 z, z για τη δεύτερη εξίσωση οι λύσεις είναι y y και για την τρίτη 6, Όλες αυτές οι λύσεις εκτός της μηδενικής είναι τα ιδιοδιανύσματα του A β) Επειδή ο πίνακας έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές (οπότε και γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα) διαγνοποιείται με πίνακες διαγωνοποίησης: 8 P και D P AP 6 γ) Ισχύει:
A PDP P P A PD P P P ( ) P P PDP A Θέμα ( μονάδες) n+ n + 4 α) (6 μον) Υπολογίστε το όριο της ακολουθίας an n,, n cos( n) + sin( n) β) (7 μον) Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά Υπόδειξη: Εξετάστε την απόλυτη σύγκλιση της σειράς φράσσοντας τον γενικό όρο της σειράς από γενικό όρο γνωστής για τη σύγκλισή της σειράς γ) (7 μον) Δίνεται η συνάρτηση f( ) Καθορίστε το πεδίο ορισμού + της f ( ) και να βρείτε το lim f ( ) 4 n n Λύση i) Έχουμε li n n 4 4 4 4 + + lim+ lim+ e 4 n n n n m an lim e n n lim lim n n n n e ii) Για το γενικό όρο της σειράς έχουμε cos( n) + sim( n) coz( n) + sin( n) cos( n) + sin( n) + an n n n n n Θεωρούμε τη σειρά η οποία συγκλίνει, καθώς n n n n και η συγκλίνει ως γεωμετρική με r < Από το κριτήριο σύγκρισης n συμπεραίνουμε ότι και a n συγκλίνει και άρα και η a n συγκλίνει iii) Για το πεδίο ορισμού της f ( ) έχουμε τους εξής περιορισμούς, λόγω της ύπαρξης στον αριθμητή της ρίζας ), (λόγω της ύπαρξης στον παρανομαστή της ρίζας + ) και + η ισοδύναμα + 9, δηλαδή 4 Συνεπώς το πεδίο ορισμού της f ( ) είναι το σύνολο [,4) (4, +) Για να βρούμε το lim f ( ), επειδή η f ( ) για 4 δεν 4 ορίζεται, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρανομαστή επί την συζυγή 4
παράσταση του παρανομαστή και έχουμε: ( )( + + ) lim f( ) lim 4 4 4 + + + 4+ lim 4 + + 4 Εναλλακτικά : Μπορούμε να εφαρμόσουμε και τον κανόνα του L Hospital αφού το πρώτο όριο δίνει την απροσδιόριστο μορφή / lim ( ) lim lim + f lim 4 4 + 4 4 + Θέμα 4 ( μονάδες) α) Δίνεται η συνάρτηση f( ) a + β Υποθέτουμε ότι η f ( ) παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία και i) ( μον) Να υπολογισθούν οι συντελεστές a και β ii) (7 μον) Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η f ( ) είναι αύξουσα ή φθίνουσα, τα διαστήματα στα οποία η f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, τα κοίλα προς τα κάτω καθώς και τα σημεία καμπής της e β) ( μον) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα d e + Υπόδειξη: χρησιμοποιείστε μέθοδο αντικατάστασης και στη συνέχεια ανάλυση σε κλάσματα γ) ( μον) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα cos( d ) Υπόδειξη: χρησιμοποιείστε παραγοντική ολοκλήρωση π Λύση α) i) Ισχύει f ( ) a + β Για τα τοπικά ακρότατα θα πρέπει να ισχύει f ( ) f, δηλαδή a β και α+ β που σημαίνει a και β ii) Η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα (c,d) αν f ( ) > (αντίστοιχα f ( ) < ) για κάθε (, cd) Συνεπώς η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα για όλα τα που ικανοποιούν την f ( ) + ( + ) > δηλαδή για όλα τα με > ή < H f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα αν < < Η f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω αν f ( ) 6+ >, δηλαδή για > Η f ( ) στρέφει τα κοίλα προς τα
κάτω αν f ( ) 6+ <, δηλαδή για στο < Προφανώς το σημείο καμπής είναι β) Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης, θέτοντας u e έχουμε du e u d, οπότε d du u e + Αναλύοντας το υπό ολοκλήρωση κλάσμα ( u+ ) u u A B ( A+ B) u+ A έχουμε +, οπότε A- και B Έτσι έχουμε ( u+ ) u u u+ ( u+ ) u e du du d + ln u + ln u + + c + ln( e + ) + c e + u u+ γ) cos( ) d (sin( ))' ( sin( ) sin( ) ) d d ( sin( ) ( cos( ))' ) ( sin( ) cos( )) d + + c ( sin( ) + cos( )) + c Οπότε π π π π cos( ) d ( sin( ) + cos( )) (sin( ) + cos( )) 9 Θέμα ( μονάδες) α) Έρευνα έδειξε ότι η πιθανότητα αύξησης στην συνολική ζήτηση ενός προϊόντος κατά τον επόμενο χρόνο είναι 7% Στην περίπτωση που πράγματι υπάρξει αύξηση, τότε η πιθανότητα να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων ενός συγκεκριμένου εισαγωγέα κατά τον επόμενο χρόνο είναι 8% Στην περίπτωση που δεν υπάρξει αύξηση στη συνολική ζήτηση του προϊόντος, τότε η πιθανότητα να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων του συγκεκριμένου εισαγωγέα κατά τον επόμενο χρόνο είναι % i) ( μον) Να υπολογισθεί η πιθανότητα κατά τον επόμενο χρόνο οι πωλήσεις του συγκεκριμένου εισαγωγέα να αυξηθούν ii) ( μον) Να υπολογισθεί η πιθανότητα κατά τον επόμενο χρόνο η συνολική ζήτηση του προϊόντος και οι πωλήσεις του συγκεκριμένου εισαγωγέα να αυξηθούν ii) ( μον) Αν οι πωλήσεις του συγκεκριμένου εισαγωγέα παρουσιάσουν αύξηση κατά τον επόμενο χρόνο να υπολογισθεί η πιθανότητα ότι και η συνολική ζήτηση του προϊόντος θα παρουσιάσει αύξηση Υπόδειξη: Ορίστε τα ενδεχόμενα: Σ : το ενδεχόμενο να υπάρξει συνολική αύξηση της ζήτησης A : το ενδεχόμενο να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων του εισαγωγέα β) ( μον) Τα μηνιαία έσοδα μιας επιχείρησης είναι τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή Χ Ν( μ, σ ) με παραμέτρους μ και 6
σ Ποια η πιθανότητα η επιχείρηση να ξεπεράσει τις 8 σε έσοδα ένα συγκεκριμένο μήνα (Δίδεται ότι Φ () 9 ) (Δεν είναι απαραίτητο να γίνουν οι διαιρέσεις των δεκαδικών τιμών που προκύπτουν στις αριθμητικές παραστάσεις της άσκησης αυτής ) Λύση α) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα Σ : το ενδεχόμενο να υπάρξει συνολική αύξηση της ζήτησης ΡΣ ( ) 7 και επομένως ΡΣ ( ) A : το ενδεχόμενο να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων του εισαγωγέα Για τις πιθανότητες δίδεται Ρ( A / Σ ): η πιθανότητα να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων του εισαγωγέα δεδομένου ότι υπήρξε συνολική αύξηση της ζήτησης Ρ( A / Σ ) 8 Επίσης Ρ( A / Σ ) η πιθανότητα να υπάρξει αύξηση των πωλήσεων του εισαγωγέα δεδομένου ότι δεν υπήρξε συνολική αύξηση της ζήτησης Ρ( A / Σ ) i) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η PA ( ) για την οποία ισχύει: PA ( ) ΡΑ ( / ΣΡΣ ) ( ) + Ρ ( Α/ Σ ) ΡΣ ( ) 8 7 + 7 ii) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ( A Σ) με Ρ( A Σ) Ρ( Α/ Σ) Ρ( Σ) 6 iii) Η πιθανότητα που ζητείται είναι με ΡΑ ( Σ) 6 6 ΡΣ ( / Α) ΡΑ ( / ΣΡΣ ) ( ) + ΡΑ ( / Σ ) ΡΣ ( ) 8 7 + 7 Χ μ β) Γνωρίζουμε ότι Χ Ν( μ, σ ) Ζ Ν(,) Επομένως σ X 8 ΡΧ ( > 8) P > ΡΖ ( > ) Φ() 668 7