MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală)
Capitolul Introducere în funcţii complexe. Operaţii cu funcţii complexe Un număr complex este o pereche de numere reale x, y) R R. Adunarea şi înmulţirea sunt definite de x, y ) + x 2, y 2 ) = x + x 2, y + y 2 ) x, y ) x 2, y 2 ) = x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). Înzestrat cu aceste doua operaţii, setul de numere complexe este un câmp comutativ, notat cu C. De obicei perechea,) este notată cu i. Numerele complexe x, ) sunt identificate cu numerele reale x, datorită: x, ) + y, ) = x + y, ) x, ) y, ) = xy, ). Apoi, pentru fiecare număr complex: z = x, y) = x, ) + y, ), ) = x + yi x este partea reală sau Rez), şi y este partea imaginară, sau Imz). Modulul lui z este z = x 2 + y 2 şi unghiul θ, cosθ) = Rez), sin θ = z 3
Imz). Complexul conjugat al lui z = x + yi este numărul complex z z = x yi. Următoarele proprietăţi sunt bine cunoscute şi nu vor fi demonstrate aici: z + z 2 = z + z 2 ; z z 2 = z z 2 ; ) z = z ; z 2 z 2 z + z 2 z + z 2 z z 2 = z z 2 z = z z 2 z 2 z n ) = z n ; z n = z n. Fiecare număr complex z = x + yi poate fi reprezentat printr-un punct x, y) în planul xoy. Nu doar coordonatele carteziene pot determina un punct, ci şi coordonatele polare r, θ). Ele sunt definite de r = z = x 2 + y 2, tanθ) = y x, cosθ) = x r, sinθ) = y r. Apoi z = x + yi = rcos θ + i sin θ). Dacă z = cos θ + i sin θ ) şi z 2 = cos θ 2 + i sin θ 2 ), atunci z z 2 = r r 2 cosθ + θ 2 ) + i sinθ + θ 2 )) z = r cosθ θ 2 ) + i sinθ θ 2 )) z 2 r 2 z n = r n cos nθ + i sin nθ )) n z = n r cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n ) ; k =,,..., n. În cazul n = 2, rădăcina pătrată poate fi găsită fără trigonometrie: a + bi = x + yi a + bi = x + yi) 2 x 2 y 2 = a, 2xy = b..2 Convergenţa în câmpurile complexe O secvenţă de numere complexe este o funcţie f : N C, unde fn) = z n. Secvenţa va fi notată cu z n ) n N. Pentru a defini convergenţa întrun câmp complex evocăm funcţia d : C C R, dz, z 2 ) = z z 2.
Această funcţie satisface: dz, z 2 ) and dz, z 2 ) = iff z = z 2 dz, z 2 ) = dz 2, z ) dz, z 3 ) dz, z 2 ) + dz 2, z 3 ) care decurg cu uşurinţă din proprietăţile modulului. O multime C, înzestrată cu o funcţie d ca mai sus se numeşte un spaţiu metric. O secvenţă z n ) n N, z C, este numită convergentă dacă există z C, astfel încât dz n, z) în R. Multimea Dz, r) = {z C dz, z) < r} este numită discul deschis de rază r şi centru z. Dz, r) = {z C dz, z) < r} este numită discul închis de rază r. Propoziţiile următoare oferă condiţii echivalente pentru convergenţă. Propoziţia. Fie z n ) n N, z n = x n + y n i, o secvenţă de numere complexe. Următoarele afirmaţii sunt adevărate:. z n z = x + yi 2. ε >, n N astfel încât n > n, dz n, z) < ε 3. x n x, y n y. Demonstraţie. 2 printr-un argument bine cunoscut într-un spaţiu metric ca pentru secvenţele din R). din 3 dz n, z) = z n z = x n x) 2 + y n y) 2 x n x + y n y ; max{ x n x, y n y } dz n, z). Ştim că un câmp real este un spaţiu metric complet, că orice secvenţă Cauchy este convergentă. O secvenţă z n ) n N este Cauchy dacă ε >, n ε N, astfel încât n, m n ε, dz n, z m ) < ε. Utilizând inegalităţile din demonstraţia propoziţiei precedente observăm că z n ) n N este Cauchy dacă x n ) n N şi y n ) n N sunt secvenţe Cauchy, de unde x n x, y n y, în consecinţă z n z. Deci, câmpul C este un spaţiu metric complet. Următoarele definiţii sunt standard pentru spaţiile metrice aici spaţiul metric este C): i) Mulţimea O din spaţiul metric C este deschisă dacă z O, ε > astfel încât Dz, ε)σo, sau echivalentă pentru orice secvenţă z n z D există n astfel încât z n D pentru n > n.
ii) Mulţimea A este închisă în spaţiul metric C dacă C A este deschis, sau echivalent, orice secvenţă z n z, z n A implică z A. iii) Un punct z este aderent la B dacă ε >, Dz, ε) B =, sau echivalent, z este limita unei secvenţe de elemente aparţinând lui B. iv) Un punct z este punct de acumulare a lui B dacă ε >, Dz, ε) intersectează B într-un punct diferit de z, sau echivalent, z este limita unei secvenţe de puncte aparţinând lui B, diferite de z. v) Închiderea lui B, notată B este mulţimea tuturor punctelor aderente ale lui B. B este întotdeauna închis şi este intersecţia tuturor mulţimilor închise ce conţin B. vi) Interiorul lui B, notat cu B, este mulţimea de puncte z B astfel încât să existe un ε >, depinzând de z, astfel încât Dx, ε) B. B să fie mereu deschisă, şi este submulţimea maximă deschisă din B. vii) Limita lui B, notată cu B, este mulţimea B B, este închisă, are interiorul gol şi coincide cu limita complementarului lui B adică C B)..3 Planul complex extins Se spune că o secvenţă de numere complexe converge la infinit, dacă lim z n = şi se scrie lim n n z n =. Pentru secvenţele de numere complexe ce tind la infinit, sunt valabile următoarele proprietăţi: a) z n z n dacă z n = pentru orice n N) b) z n şi ξ n a = rezultă z n ξ n. z n înseamnă R >, n N astfel încât n n z n > R. Pentru a reprezenta simbolul printr-un punct de ceva finit se consideră o sferă de rază r şi centru,, ) R 3. Fie planul complex reprezentat de planul xoy. Linia dreaptă ce uneşte polul nord N =,, ) cu punctul P = x, y, ) al planului complex intersectează sfera în punctele SP ) = 2x + x 2 + y, 2y 2 + x 2 + y, x2 + y 2 2 + x 2 + y 2 Pe masură ce distanţa P, O), SP ) se apropie de polul nord N. Spunem că sub această corespondenţă polul nord corespunde simbolului ).
şi lim n z n = corespunde cu lim n P n = N unde P n = Sz n ). Mulţimea ˆC = C { } este denumită planul complex extins sau sfera lui Riemann) şi este într-o corespondentă de unu la unu cu sfera de rază si centru,, )..4 Serii complexe O sumă formală z k = z + z + z 2 +... + z k +..., z k C, este k= o serie complexă. Suma s n = z + z +... + z n este denumită suma partială de ordin n. Prin definiţie seria este convergentă dacă secvenţa sumelor parţiale s n ) n N este convergentă. Limita lui s n este numită suma seriei. Seria se numeşte absolut convergentă dacă seria z k este convergentă. Propoziţia 2. Fie z k o serie complexă. i) Seria este convergentă dacă ε >, n e N astfel încât pentru k=m n > n ε, z k z k. k=n ii) Dacă seria este absolut convergentă, atunci este convergentă. iii) z n. Demonstraţie. i) Condiţia din i) exprimă că secvenţa s n ) n N este Cauchy, de unde şi convergentă. k=m k=m ii) Evident, z k z k. Secvenţa z +... + z n fiind k=n k=n convergentă de unde Cauchy), inegalitatea implică că secvenţa s n = z +... + z n este Cauchy, de unde şi convergentă..5 Curbe în planul complex O funcţie f : [a, b] C, continuă, este prin definiţie o curbă complexă. Continuitatea înseamnă ft) = ut) + ivt), cu funcţiile reale continue u şi v. Dacă u şi v sunt funcţii diferenţiabile, curba este denumită diferenţiabilă. Dacă a = x < x <... < x k <... < x n = b este o
diviziune a lui [a, b], şi restricţiile la [x k, x k ] funcţiilor continue f sunt diferenţiabile, spunem că f este diferenţiabilă pe porţiuni. De exemplu: f : [, 2] C, t + ti; t ft) = t 2 + ti; t 2 este o curbă diferenţiabilă pe porţiuni. Curba este de clasă C k, dacă f = u + iv, cu u şi v de k ori continue diferenţiabile. O mulţime deschisă D C astfel încât oricare două puncte să poată fi conectate printr-o curbă continuă asta înseamnă fa) = primul punct, fb)= al doilea punct) este numită un domeniu complex..6 Funcţii complexe Fie D C. O funcţie f : D C este o funcţie complexă. Fiecare funcţie complexă are o parte reală si o parte imaginară: fz) = uz) i vz), unde u şi v sunt funcţii reale. Adesea, vom scrie ux, y), în loc de uz), z = x + iy. Fiind o funcţie între spaţii metrice, f este continuă la z, dacă ε >, δ > astfel încât dz, z ) < δ dfz), fz )) < ε. Acest lucru este echivalent cu z n z ) fz n ) fz ). f este continuă pe D dacă este continuă în orice punct al lui D. Următoarele propoziţii sunt imediate: Propoziţia 3. Fie f : D C, o funcţie complexă, fz) = uz)+ivz). Atunci: i) f este continuă dacă u şi v sunt continue ca funcţii reale. ii) dacă g este de asemenea o funcţie complexă, atunci f ± g, f g, f/g, f g, sunt continue, arată că operaţiile au sens. Demonstraţie. Demonstraţia este la fel ca pentru funcţii reale.. La fel ca şi secvenţele de puncte putem considera şi secvenţe de funcţii. O secvenţă f n ) de funcţii, se spune că este convergentă dacă secvenţa f n z)) este convergentă pentru orice z D la anumite valori fz). Putem defini o distanţă sau metric) între două funcţii prin df, g) = max z D dfz), gz)). Cu privire la această distanţă setul tuturor funcţiilor f : D C este un spaţiu metric. Dacă lim n df n, f) =
atunci spunem că convergenţa este uniformă. Acest lucru poate fi exprimat ca: ε >, n ε N astfel încât n > n ε z D, f n z) fz) < ε. Urmatoarea propoziţie este standard: Propoziţia 4. Fie f n ) n N o secvenţă de funcţii uniform convergente la f. Dacă f n este continuă pentru orice n, atunci f este continuă. Demonstraţie. Exerciţiu. O secvenţă de funcţii este p secvenţă Cauchy dacă ε >, n ε N, încât m > n > n ε df n, f m ) < ε. Atunci este uşor de văzut că pentru orice z D, f n z)) este o secvenţă Cauchy de numere complexe, astfel, o secvenţă convergentă pentru anumite valori fz) şi f n ) tind uniform către f. Acest lucru înseamnă că spaţiul tuturor funcţiilor continue f : D C cu distanţa de mai sus, reprezintă un spaţiu metric complet. Din propoziţia anterioară reiese că spaţiul tuturor funcţiilor continue este de asemenea un spaţiu metric, cu aceiaşi dimensiune. Următoarele teoreme oferă condiţii pentru convergenţa uniformă: Teorema 5 Weierstrass). Fie f + f 2 +... + f n +... o serie de funcţii, f n : D C astfel încât max f nz) a n R, şi seria de z D numere pozitive a + a 2 +... + a n +... este convergentă. Atunci seria f +... + f n +... este uniform convergentă. Demonstraţie. Fie S n = f +... + f n şi s n = a +... + a n. Fie ε >. Există n ε N astfel încât pentru m > n > n ε s n s m ε. Dar avem ds n, S m ) = max f n+ z) +... + f m z), care este mai mic decât max f n+ z) +... + f m z), care la rândul său este mai mic decât a n+ +... + a m ε. Acest lucru demonstrează că S n ) este o secvenţă Cauchy de funcţii, de unde şi uniform convergentă. Observaţia 6. Din propoziţia anterioară dacă toate f n sunt funcţii continue atunci şi suma f este de asemenea continuă..7 Funţii complexe definite prin serii de puteri Se consideră seria a + a z + a 2 z 2 +... + a n z n +...
O asemenea serie se numşte serie de puteri. Teorema 7 Abel). Dacă seria de puteri este convergentă pentru z =, atunci este absolut convergentă in D = {z z < z } şi este uniform convergentă D = {z z < r}, pentru orice < r < z. Demonstraţie. Convergenţa pentru z implică a n z n. Prin urmare, există o constantă pozitivă M astfel încât a n z n M. Fie z un punct arbitrar in D. Atunci a n z n a n z n z n < M q n z z unde q = <, şi acest lucru implică că seria este absolut convergentă. Dacă z D atunci a n z n Mq n r, unde q = z z, nu depinde de z D, deci, din Teorema lui Weierstras, seria este uniform convergentă pe D. Corolar 8. Fie seria de puteri convergentă la D = z < R. Atunci funcţia dată de suma este continuă pe D. Demonstraţie. În orice disc mic de centru avem, conform teoremei anterioare, o serie uniform convergentă de funcţii continue, astfel, suma este continuă. Corolar 9. Valoarea maximă a lui R pentru care seria este convergentă în z < R este: R = n lim sup n a n. Demonstraţie. După cum am vazut în demonstraţia teoremei lui Abel, dacă a n z n M, pentru anumiţi M pozitivi şi orice n, atunci seria este convergentă în domeniul z < z. Astfel R = max{r a n r n M r for some M r > and any n N} = max{r r = n lim sup a n n n Mr n a n for some M r > and any n N} =
Observaţia. Dacă a n a n+ R = lim R atunci n a n R şi a n n a n+ = n a n. lim n Fie pz) = a + a z +... + a n z n, qz) = b + b z + b 2 z 2 +... + b m z m două polinomiale. Atunci: pz) ± qz) = a ± b ) + a ± b )z +... a k ± b k )z k +..., k max{m, n} pz)qz) = c + c z + c 2 z 2 +... + c k z k +..., k m + n unde c k = a b k + a b k +... + a k b + a k b αpz) = αa ) + αa )z +... + αa k )z k +..., k n. Dacă p şi q sunt serii de puteri atunci suma, produsul şi înmulţirea cu scalar sunt definite ca mai sus cu k <. Dacă pz) şi qz) sunt serii de puteri convergente cu sumele s şi s 2 atunci se poate demonstra că pz) ± qz), pz)qz) şi αpz) sunt serii de puteri convergente cu s ± s 2, s s 2 şi αs ca fiind sumele lor. Demonstraţia nu este dificilă şi este lăsată ca exerciţiu. Raţia pz) qz) = c + c z + c 2 z 2 +... c k z k +... = cz) este definită prin condiţia pz) = cz) qz). Identificând coeficienţii din membrul stâng şi drept obţinem: a = c b a = c b + c b...... a k = c k b + c k b +... + c b k Dacă b = q) = sistemul de mai sus poate fi rezolvat pas cu pas şi se pot găsi coeficienţii c k. Este mult mai dificil să se demonstreze că cz) este o serie de puteri convergentă dacă pz) şi qz) sunt convergente.
Dacă q) = b = atunci seria pqz)) = a + a qz) + a 2 qz)) 2 +... + a k qz)) k +... este bine definită deoarece qz) k = d k z k + d k+ z k+ +... şi pentru orice k numărul de coeficienţi = din z k este finit. Dacă pz) şi qz) sunt serii de puteri convergente atunci pqz)) este de asemenea convergentă în unele discuri de rază pozitivă..8 Exerciţii. Calculaţi + i), 3 + 4i 2 i,, x + i)3, + i + i 2 +... + i n. 2. Reprezentaţi în planul complex numerele complexe 2 + 3i, 3i 5 + + i) 3. 3. Calculaţi 2 + i, 4 5i) 2 2 + i, 2 i. ) + i 4. Gasiţi forma polară din 3 4i,, + i tan θ) n. i 5. Calculaţi + i, 3 2 + 2i. 6. Rezolvaţi ecuaţiile: z 2 z + i + =, z 4 + 4 i)z 2 + 3 4i =. 7. a) z + i < 2, b) z i = z, c) z 2 < z + + 2i, d) z z + z 2 = 4, e) z 2 < 2, f) Rez2 ) < 4. 8. Fie punctele A şi B reprezentând numerele complexe z A = + i, z B = 2 + 3i. Gasiţi coordonatele complexe ale punctului C astfel încât triunghiul ABC să fie echilateral. 9. Demonstraţi că pentru orice trei numere complexe z, z 2, z 3?? avem: z 2 + z2 2 + z3 2 = z z 2 + z 2 z 3 + z z 3. z i. Demonstraţi că: Imz) > implică <.. Demonstraţi că: sin π n sin 2π n z + i n )π... sin n = n 2 n. Indicaţie: Considerăm ecuaţia sin nx = cu rădăcinile x = dπ n, k Z. De la cos nx + i sin nx = cos x + i sin x) n rezultă nx = C n sin x cos n x C 3 n sin 3 x cos n 2 x +.... Din aceasta obţinem ecuaţia algebrică cu o necunoscută sin x.??
2. Fie z = x + iy. Demonstraţi lim + z n = e n n) x cos y + i sin y). Indicaţie. Scrieţi forma polară a lui z = x + iy folosind formula Moivre. n n + n!)2 3. Gasiţi limitele: lim + i n n 2n)!, lim n k 2 k= n 3 + i n + n). 4.?? ˆC, ˆC. a) f : C {} C, fz) = z +, b) f : C {} C, z fz) = 2x + 3 z, c) f : C {, 2} C, fz) = z2 + z + z 2 3z + 2. 5.?? + r cosx) +... r k coskx) +... şi r sinx) + r 2 sin2x) +... + r k sinkx)..., r <. Indicaţie. Fie z = rcos x + i sin x) şi calculaţi + z + z 2 + z 3 +... z n +... { 6. Fie z, z 2, z 3 trei puncte necoliniare. Demonstraţi că z? z 3 z : z z } = real?? z, z 2, z 3. z 3 z 2 z z 2 7.?? a) n n z n, b) nz n, c) n + n)z n, d) n= n= n= n= n n n! zn. 8. Desenaţi următoarele curbe: a) [, 2π] θ cos θ + i sin θ, b) {z z = 2}, c) [, ] t t + t 2 i, c) {z Re z + Im z = }, d) [, 2π] θ e θ cos θ + i sin θ). 9. Găsiţi părţile reale şi imaginare ale următoarelor funcţii complexe: a) fz) = z + z 2, b) fz) = z z + 2, c) fz) = z. 2.?? f n z)?? z < : a)f n z) = z n, b) f n z) = zn n n, c) f nz) = 2 z + ) n ) n z n, d) f n 2 n z) = z + 2 2. n 2. Fie fz) = + z n, gz) = + nz n. Găsiţi puterea seriei n= fz) + gz), fz) gz), gz) fz). n=
.9 Funcţii diferenţiabile. Ecuaţiile Cauchy- Riemann Fie f o funcţie complexă f : D C unde D este un domeniu complex. Dacă există următoarea limită: fz) fz ) lim ) z z z z atunci f se numeşte diferenţiabilă complexă sau derivabilă complexă) la z şi limita este notată cu f z ). Dacă f este o diferenţiabilă complexă în fiecare punct al lui D atunci f este diferenţiabilă complexă în D. Următoarele proprietăţi sunt, valide pentru funcţii reale, sunt valabile şi în câmpul complex se presupun f şi g derivabile complexe):. αf + βg) z) = αf z) + βg z) 2. fg) z) = f z)gz) + fz)g z) ) f 3. z) = f z)gz) fz)g z), dacă fz) = g g 2 z) 4. f g) z) = f gz)) g z) 5. f ) w) =, unde w = fz). f z) Funcţia fz) = z n este derivabilă şi z n ) = nz n, deoarece: z n z n lim z z z z ) z z )z n + z n 2 z + z n 3 z 2 +... + z n = lim z z z z = nz n Din.-4. funcţiile a +a z+...+a n z n polinomiale) şi a + a z +... + a n z n b + b +... + b m z m funcţii raţionale) sunt derivabile complexe. Orice funcţie evaluată ca fiind complexă este suma dintre partea reală şi partea imaginară: fz) = uz) + ivz) = ux + iy) + ivx + iy) = ux, y) + ivx, y), unde u şi v sunt reale. Se consideră funcţia fz) = z = x iy. Limita lui fz) fz ))/z z ) când z z este în cazul z = t + iy şi este în cazul z = x + it în ambele cazuri t R şi t ).
Următoarea teoremă explică când o funcţie complexă este o funcţie derivabilă: Teorema. Fie f : D C, f = u + iv o funcţie complexă şi u, v diferenţiabile în x, y) D. Atunci f este derivabilă complexă în z = x + iy dacă şi numai dacă sunt adevărate următoarele ecuaţii: u x = v y 2) u y = v x În plus f z) = u x + i v x = v y i u y. 3) Demonstraţie. Necesitate. Se presupune că u şi v sunt diferenţiabile în z şi f este diferenţiabilă complexă. Atunci pentru t real fz + t) fz) lim t t Prima limită este = lim t fz + it) fz) it ux + t, y) ux, y) vx + t, y) vx, y) lim + i t t t = f z), t R. = u x + i v x. Analog, a doua limită este v y i u. Inegalitatea limitelor implică y 2) Suficient. Să presupunem că u şi v sunt diferenţiabile şi 2) este adevărată. Atunci fz + Δz) = ux + Δx, y + Δy) + ivx + Δx, y + Δy) = = ux, y) + u u Δx + x y Δy + e + + i vx, y) + v ) v Δx + x y Δy + e 2 = ) u = fz) + x + i v Δx + iδy) + e + e 2, x
e unde Δ z şi e 2 Δ z. Prin urmare z + Δz) fz) lim Δz Δz = u x + i v x + lim e + e 2 + u Δz Δz x + i v x. Acest lucru demonstrează derivabilitatea complexă a lui f. Exemplul 2. Fie fz) = e x cosy) + ie x siny). Atunci u x = v y = e x cosy) şi u y = v x = ex siny), astfel, f este derivabilă complexă şi prin f z) = fz). Această funcţie va fi notată cu e z, şi este uşor de vazut că e z +z 2 = e z e z 2. Numărul complex rcos θ + i sin θ) poate fi scris re iθ. Exerciţiul 3. Fie sinz) = eix e iz 2i tanz) = sin z cos z, Demonstraţi că sunt derivabile complexe şi cos z) = sinz) sin z) = cosz) cos 2 z) + sin 2 z) =, cosz) = eiz e iz, 2 cosz) cotz) = sinz). cosz + w) = cosz) cosw) sinz) sinw) ) π sinz) = cos 2 z. În general identităţile dintre funcţiile reale trigonometrice sunt adevărate şi pentru argumentele complexe. Exerciţiul 4. Fie shz) = ez e z, chz) = ez + e z. Arătaţi că 2 2 ch 2 z) sh 2 z) =, chz) = cosiz), shz) = i siniz) sunt derivabile complexe şi sh z) = chz), ch z) = shz).
Exerciţiul 5. Fie z = 2 x i ), y z = 2 x + i ). y Arătaţi că condiţiile Cauchy-Riemann sunt echivalente pentru z f) =. Exerciţiul 6. Fie ur, θ) + i vr, θ) o funcţie complexă z = r e iθ ). Demonstraţi condiţiile Cauchy-Riemann în coordonate polare: u r = r v θ ; v r = r u θ. Sugestie. De la x = r cosθ), y = r sinθ), urmează r = cosθ) x + sinθ) y, θ = r sinθ) x + r cosθ) y. Înlocuind aceste relaţii în formulele din exerciţiu observăm cu uşurinţă echivalenţa cu ecuaţiile Cauchy-Riemann. Exerciţiul 7. Fie n z = n rcosθ) + i sinθ)) = n θ + 2kπ r cos + i sin n ) θ + 2kπ. n Demonstraţi că n z este derivabilă complexă pentru < θ < 2π şi n z) = n n z) n. Sugestie. Folosiţi exerciţiul anterior sau 5). Exerciţiul 8. Fie lnz) = lnr)+iθ+2kπ), z = re iθ. Demonstraţi că lnz) este derivabilă complexă pentru < θ = argz) < 2π, ln z) = z şi e lnz) = z. Sugestie. Utilizaţi Cauchy-Riemann pentru coordonate polare sau 5). Corolar 9. Fie f = u + iv o derivabilă complexă în D, fie u şi v de două ori derivabile continuu. Atunci 2 u x + 2 u 2 y = şi 2 v 2 x + 2 v 2 y =. 2 Această consecinţă poate fi exprimată ca Δu = şi Δv = unde Δ = 2 x + 2 operatorul Laplace). 2 y2
Demonstraţie. x ) u + x y ) u y ) = 2 v x y + 2 v y x. Similar pentru v. Aceste funcţii u şi v sunt denumite conjugate armonice. Teorema 2. Fie D un domeniu simplu conex şi ux, y) armonic în D. Atunci există vx, y) armonic în D conjugat la ux, y) acest lucru se întâplă dacă f = u + iv este derivabilă complexă în D). Demonstraţie. Fie x, y orice punct în D. Integrala vx, y) = x,y) x,y ) u u dx + dy + C y x nu depinde de curba ce uneşte punctele de capăt deoarece u ) = ) u y y x x din ipoteză. În plus v x = u y ; v y = u x. Din Cauchy-Riemann, f = u + iv este derivabilă. Exemplul 2. Găsiţi vx, y) dacă ux, y) = y 3 3x 2 y. Funcţia u este armonică în C, astfel, există v astfel încât v x = u y = 3y2 + 3x 2 ; v y = u x = 6xy. Prima ecuaţie oferă vx, y) = 3y 2 x + x 3 + hy). Înlocuind în a doua, se obţine 6xy + h y) = v y = u x = 6xy de unde h x) = hx) = c vx, y) = x 3 3xy 2 + c şi fx, y) = y 3 3x 2 y) + ix 3 3xy 2 ) + c = ix + iy) 3 + c = iz 3 + c. Dacă f este o diferenţiabilă complexă în fiecare punct al lui D atunci f este diferenţiabilă complexă în D.
. Ramuri de funcţii analitice După cum am văzut funcţiile lnz) şi n z nu sunt definite pe tot câmpul complex. Motivul este discontinuitatea argumentului pe C {}. ln este definită ca inversul funcţiei exponenţiale. Dându-se z C, z = x + iy soluţiile ecuaţiei Z = X + iy e X cos Y +i sin Y ) = e Z = z = x+iy = x 2 + y 2 cosargz))+i sinargz))) sunt X = ln x 2 + y 2 ), Y = argz) + 2kπ. Prin urmare lnz) = ln x 2 + y 2 ) + iarg z + 2kπ). Când z descrie o curbă închisă, ce parcurge originea în sensul invers acelor de ceasornic, argz) creşte cu 2π. Astfel, argz) şi ln z nu sunt continue pe acea curbă şi pe niciun domeniu ce deţine o asemenea curbă. Suntem forţaţi să scoatem unele mulţimi din C pentru a nu permite în rest, curbe închise în jurul lui zero. Îndepărtând {z argz) = θ} obţinem o funcţie logaritmică pentru care θ < argz) < θ +2π. Aceasta funcţie realizează o corespondenţă de unu la unu între C {z argz) = θ} şi domeniul {Z θ < ImZ) < θ + 2π}. n Funcţia radical z definită mai sus depinde de argz) şi trebuie să scoatem unele mulţimi din C pentru a nu permite în rest curbe închise în jurul lui zero, pentru a avea o funcţie radical continuă. Îndepărtând, ca şi pentru funcţia logaritm, {z argz) = θ}, obţinem o corespondenţă de unu la unu n z la zona C {z argz) = θ}. Funcţia radical poate fi definită printr-un logaritm precum n z = e n lnz). Este mai uşor de verificat n z) n = z. În general una defineşte z z 2 = e z lnz 2 ). Această expresie nu este nici unică doarece ln z nu este unic definită. O funcţie olomorfă fz) definită într-un anumit domeniu, astfel încât fz)) α = z în acel domeniu este numită o ramură a lui z α.. Transformări Conforme Fie D o mulţime deschisă R 2 = C şi f : D C = R 2, fx + iy) = ux, y), vx, y)). Fie γ : t γt) = αt), βt)) R 2 o cale de derivabilitate, t [, a]. Atunci fγt)) are la t = următoarea tangentă la
t = = ) d uαt), βt), dt d dt vαt), βt)) t= = du dx x, y )α ) + du dy x, y )β ), dv dx x, y )α ) + dv ) dy x, y )β ) sau în formă matricială d uαt), βt)) dt d vαt), βt)) dt t= du dx x, y ) = dv dx x, y ) du dy x, y ) dv α ). dy x β, y ) ) Pentru ca transformarea liniară dată de matricea de mai sus, să păstreze unghiurile dintre vectori şi să aibă un determinant pozitiv este necesar şi suficient ca matricea să fie vezi lema de mai jos) du dx x, y ) dv dx x, y ) du dy x, y ) dv = a dy x b, y ) Acest lucru este echivalent cu du dx = dv dy, du dy = dv dx la x, y ) aceasta este condiţia Cauchy-Riemann. Obţinem următoarea teoremă Teorema 22. Fie D C, D 2 C două domenii complexe şi f : D D 2 o transformare cu Jacobian pozitiv C cu alte cuvinte C este un diffeomorphism preserving orientation). Apoi f păstrează unghiul dintre curbe dacă f este o funcţie regulată. Demonstraţie. Demonstraţia urmăreşte consideraţiile de mai sus şi lema următoare Lema 23. Fie T : R 2 R 2 o transformare lineară care păstrează unghiurile dintre vectori şi are un determinant pozitiv. Apoi matricea lui T în conformitate cu baza naturală a lui R 2 este a b. b a b a.
Demonstraţie pentru lemă). Fie ı = T ı) = a. b Atunci ȷ = ı de unde T ı) T ȷ), astfel T ȷ) = ρb. ρa Dar ı + ȷ, ı) = π 4 = T ı) + T ȷ), T ı)). Acest lucru implică vectorii, ı) + T ȷ), T j) fac un pătrat de unde ρ = sau ρ = ±. Matricea lui T este T ı) T ȷ)) = a ρb. ρb ρa Determinantul matricei este pozitiv doar pentru ρ =. Acest lucru termină demonstraţia teoremei şi a lemei. Exemplul 24. Funcţia fracţională lineară ax + b Se consideră funcţia fz) = cz + d unde a c b d =. { Această funcţie este definită pe C d } c şi ia valori în C. Dacă z d c atunci fz) şi dacă z atunci fz) a c. Prin ) urmare f poate fi extinsă prin continuitate la ˆf : ˆC ˆC, f { }, ˆf ) = a c şi ˆfz) = fz) pentru z C d. c Raţia z, z 2, z 3, z 4 ) = z 3 z z 4 z : este numită raţia nearmonică a numerelor z, z 2, z 3, z 4. z 3 z 2 z 4 z 2 Teorema 25. Fie f o funcţie fracţională raţională. Atunci a) z, z 2, z 3, z 4 ) = fz ), fz 2 ), fz 3 ), fz 4 )) b) z, z 2, z 3, z 4 aparţine aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii dreapte dacă z, z 2, z 3, z 4 ) R d c =
c) Dacă z, z 2, z 3 aparţine aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii dreapte atunci fz ), fz 2 ), fz 3 ) aparţin aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii drepte d) Dându-se trei puncte distincte z, z 2, z 3 şi un al doilea set de trei puncte distincte w, w 2, w 3 există şi numai o transformare fracţională lineară f astfel încât fz ) = w, fz 2 ) = w 2, fz 3 ) = w 3. Demonstraţie. a) Fie fz) = az + b. Demonstraţia pentru a) este cz + d un calcul direct. b) z, z 2, z 3, z 4 aparţin aceluiaşi cerc sau aceleiaşi linii drepte dacă z z 3, z 2 z 3 ) = z z 4, z 2 z 4 ) sau z z 3, z 2 z 3 ) + z z 4, z 2 z 4 ) = π aici z z 3 este un vector începând la z 3 şi sfârşind la z ) ) z z 3 z z 4 etc). Prima condiţie este echivalentă cu arg = arg z 2 z 3 z 2 z 4 sau argz, z 2, z 3, z 4 ) = sau ) z, z 2, z 3, z 4 ) R + ). A doua condiţie este z z 3 z z 4 echivalentă cu arg = π arg sau z, z 2, z 3, z 4 ) = π z 2 z 3 z 2 z 4 sau z, z 2, z 3, z 4 ) R. c) Rezultă din b) d) Ecuaţia z, z 2, z 3, z) = w, w 2, w 3, fz)) oferă fz) Determinantul Jacobian al lui f este pozitiv. Acest lucru implică că partea dreaptă a curbei este transformată î n partea dreaptă a imaginii sale şi analog pentru partea stângă. Se consideră funcţia fz) = z i z + i. Această funcţie este fracţional lineară f ) = i, f) =, f) = i. Cercul ce trece prin,, de fapt o linie dreaptă) se transformă într-un cerc, trecând prin i,, i, i, r cercul unitate. Partea stângă a liniei drepte luând [...] ca orientare pozitivă) se transformă în partea stangă a cercului unitate luând i,, i ca orientare pozitivă) i.e. discul unitate. Exemplul 26. Transformarea fracţională lineară ce transformă semi- az + b planul Imz) > în semiplanul Imw > este fz) = cz + d unde a, b, c, d sunt reale şi ab cd >. Întradevăr, de la,,, z) = α, β, ψ, fz)), α, β, ψ R rezultă fz) = az + b cz + d cu a, b, c, d R. De la Imfi) > rezultă ad bc >. Exemplul 27. Funcţia w = fz) = z 2. Funcţia este o bijectivă între
{z Imz) > } şi C [, ). Transformarea inversă este z z. Exemplul 28. Funcţia w = fz) = expz) = e x cos y+i sin y) urmează {z z = x + iy, θ < y < θ + 2π} conform cu C {w argw) = θ} şi urmează intervalul {z < Imz) < π} până la semiplanul superior. Exemplul 29. Funcţia w = fz) = z α, α >, urmează sectorul < argz) < π până la semiplanul superior {w Imw) > }. α Exemplul 3. Prin compunerea transformărilor conforme se pot obţine transformări interesante. Fie D = {z Imz) > } {yi y h} este transformată în ξ D 2 = C [ h 2, ). Prin η = ξ + h 2 D 2 este transformat în D 3 = C [, ). Funcţia η w = n transformă D 2 în D 4 = {w Imw) > }. Compunerea celor trei transformări este z z 2 + h 2 şi transformă D în semiplanul superior. Exemplul 3. Funcţia Zhukovskii, este funcţia w = u + iv = Jz) = z + ). Următoarele propoziţii aduc funcţiei nişte proprietăţi. 2 z Propoziţia 32. a) f este univalentă într-un domeniu D dacă z, z 2 D z z 2 = { } b) imaginea de rază u 2 z argz) = α, α = kπ este o ramură a hiper- 2 v2 sin 2 α) = ce corespunde cu u = r + ) cosα), 2 r bolei cos 2 α) v = r 2 r în axa imaginară u =. ) sinα). Raza ce corespunde cu α = π 2 este transformată c) Cercul z = r = este transformat în elipsa u2 a + v2 2 b = unde 2 a = r + ), b = r ) 2 r 2 r d) Cercul z = este transformat în segmentul [, ] traversat de două ori. e) Discul z < este transformat conform în exteriorul segmentului [, ]. f) J transformă conform demicercul z <, Imz) > în semiplanul inferior v = Imw) <. g) J transformă domeniul z >, Imz) > în semiplanul superior Imw) >. Demonstraţie. a) Este uşor de văzut că Jz ) = Jz 2 ) z z 2 =.
b-g) Dacă z = re iα şi w = Jz) = u+iv, atunci u = 2 r ) sinα) şi rezultatul se află uşor. r v = 2 r + ) cosα), r.2 Exerciţii. Calculaţi e +2i, sin2 + i), tani), ln + 3i), shi + ). 2. Aflaţi partea reală şi partea imaginară a sinz), cosz), tanz), cotz), shz), chz). 3. Demonstraţi că pentru f = u + iv olomorfă, curbele ux, y) = const., vx, y) = const., sunt ortogonale. 4. Fie u armonică. Demonstraţi că x u u + y este armonică. x y 5. Găsiţi funcţiile olomorfe f = u + iv, astfel încât a) u depinde numai de x 2 + y 2 b) u v depinde numai de y x + x) + y2 c) ux, y) = + x 2 + y 2 d) ux, y) = αx) βy) e) ux, y) = sin2x) ch2y) cos2y) f) ux, y) = x2 + y 2 3x + 2 x 2 + y 2 4x + 4 g) ux, y) = a argz) + b, z = x + iy. h) ux, y) = x x 2 + y 2. 6. Aflaţi constantele astfel încât următoarele funcţii să fie olomorfe a) fx + iy) = x + ay + ibx c y) b) fx + iy) = x 2 + axy + by 2 ) + icx 2 + dxy + y 2 ). 7. Aflaţi imaginea < x, y < din a) fz) = 2 + i)z + i b) fz) = iz c) fz) = z.
8. Aflaţi transformarea fracţională lineară care transformă semiplanul superior Imz) > în: a) semiplanul {s + iσ s > σ} b) discul [w w < ] c) semiplanul {w Rew) > }. 9. Aflaţi o transformare fracţională lineară astfel încât i, i, 2i.. Găsiţi imaginile următoarelor domenii prin corespondenţa funcţiilor olomorfe: a) D = {z Rez /2, /2), Imz > }, fz) = sinπz) b) D = {z Rez, ), Imz > }, fz) = cosπz) z + z c) D = {z z >, Imz > }, fz) = 2 d) D = {z z <, Imz > }, fz) = z z +.. Găsiţi imaginea Rez = c const.) la fz) = z 2. 2. Demonstraţi că orice transformare fracţională lineară ce face z a din discul unitate, un disc unitate este z fz) = c, unde c şi az a sunt complexe şi c =, a <. ).3 Integrarea în câmpul complex Fie γ : [a, b] D C a C o clasă de curbe şi f : D C continuă, f = u + iv. Se defineşte: γ fz)dz = u+iv) dx+idy) = γ γ ) ) udx vdy +i vdx + udy. γ După cum ştim partea dreaptă din egalitatea de mai sus nu se schimbă dacă schimbăm parametrizarea lui γ. Exemplul 33. Calculaţi z n dz. Calea este orientată în sens invers z =R acelor de ceasornic. Curba z = poate fi parametrizată t Re it, t 2π. Integrala este 2π R n cos nt + i sin nt) R sin t + i cos t)dt =
2π, n = = ir n+ cosn + )t + i sinn + )t)dt = 2πi, n =. Dacă curba γ este pe porţiuni C, integrala este definită ca o sumă de integrale de peste C părţi de γ. Avem: Propoziţia 34. a) afz) + bgz))dz = a fz)dz + b gz)dz γ γ γ b) Fie Δ : a = t < t <... < t n = b o diviziune a [a, b] curba γ este definită pe [a, b]) şi fie ζ i [t i, t i ], z i = γt i ) = xt i ) + yt i ), ξ i = γζ i ) = xζ i ) + i=n yζ i ). Atunci fz)dz = lim fξ i )z i z i ). c) fz)dz = fz)dz γ γ d) fz)dz = fz)dz + fz)dz γ γ 2 γ γ 2 e) fz)dz max fz) lengthγ) γ z Imageγ) f) Fie f n f uniform pe γ. Atunci Demonstraţie. a) Este evidentă. b) Fie f = u + v. Atunci i=n i= i=n i= i=n γ γ Δ i= f n z)dz γ fz)dz. fξ i )z i z i ) = uxζ i ), yζ i )) xt i )) + i= vxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i )+ [ i=n i= vxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i ))+ +uxζ i ), yζ i ))xt i ) xt i ))] udx vdy + vdx + udy = γ γ γ fdz. c), d), f) sunt evidente datorită proprietăţilor integralei liniare.
e) fz)dz = lim fξi )z i z i ) lim fξi ) z i z i γ δ δ max f lim δ zi z i = max f lengthγ)..4 Teorema şi consecinţele integralei lui Cauchy Teorema 35. Presupunem că o funcţie f : D C este de clasă C şi D este un domeniu simplu conex. Apoi f este olomorfă în D dacă fz)dz = pentru orice curba închisă ce se află în D. γ Demonstraţie. = fz)dz udx vdy =, vdx + udy =. γ γ Conform teoremei Riemann-Green ultimele două egalităţi sunt adevărate pentru orice γ dacă u y = v) v şi x y = u), sau ecuaţiile Riamann- x Green. Corolar 36. Fie D un domeniu complex cu un număr finit de componente pe porţiuni pe graniţa sa. Dacă f este olomorfă în D şi continuă în D, fz)dz =. Graniţa lui D este orientată astfel încât D să se D situeze în stânga lui D. Notând cu Γ graniţa exterioară şi cu Γ, Γ 2,... graniţele interioare orientate în sens invers acelor de ceasornic, atunci: fz)dz = fz)dz 4). Γ i Γ i Demonstraţie. D = Γ Γ )... Γ n ), unde Γ i reprezintă Γ i cu orientare inversă. Fie γ = A A Γ AA A A Γ ) A A... ca A n A n A unde A A i căi de clasă C în interiorul lui D ce conectează A D cu A i Γ i şi A A conecteză pe A la A Γ. Atunci γ este o cale închisă şi f este o funcţie olomorfă în D de unde fz)dz = sau A A fz)dz+ fz)dz+ fz)dz+ fz)dz Γ AA A A γ γ Γ fz)dz+... =.
Considerându-se că fz)dz = fz)dz, se obţine rezultatul. AA A A Corolar 37. Dacă o funcţie este olomorfă într-un domeniu simplu conex D, atunci fz)dz depinde doar de punctele de capăt ale lui γ. γ Teorema 38. a) Dacă o funcţie g este olomorfă în D, atunci există f în D astfel încât z D F z) = fz) şi gz)dz = fz 2 ) fz ). z b) Orice funcţie f dată de o serie de puteri convergentă pe Dz, R), fz) = a k z z ) k este o funcţie olomorfă. c) Î plus este infinit derivabilă şi f se obţine derivând f termen cu termen. d) a n = f n) z ) 5) n! z Demonstraţie. a) Fie fz) = gt)dt integrala ce preia orice cale ce z conectează z şi z în interiorul lui D. Atunci fz) este bine definită şi z2 z + h) fz) h = h z+h z gt)dt = h h gz+t)dt = h h gz)+wz, t))dt cu wz, t) când t. Astfel fz + h) fz) h = gz) + h h wz, t)dt gz) când h întrucât h wz, t)dt h max w h. h n b) Fie fz) = a k z z ) k şi f n z) = a k z z ) k. Funcţia f k= k= este de clasă C, f n este olomorfă în domeniul D = {z z z < R} şi f n f uniformă în orice domeniu D = {z z z < R < R}. Fie γ orice cale închisă din D. Atunci γ există în D pentru R < R. Atunci deci, f este olomorfă. γ fz)dz = n lim f n z)dz = lim γ n =
c) Se consideră gz) = ka k z z ) k k= care este convergentă în z z < R. Fie n g n z) = ka k z z ) k. k= Atunci g n z) = f nz), f n z) = a + a + z z gξ)dξ = a + lim n z z z gξ)dξ, g n g uniform, de unde z g n ξ)dξ = lim n f n z) = fz) şi c) rezultă din a) d) f n) z) = n!a n + n + )nn )... 2a n+ z z ) +..., la c), de unde f n) z ) = n!a n..5 Reprezentarea integralelor şi extinderea seriilor de puteri Teorema 39 Formula integrală a lui Cauchy). Fie f : D C o funcţie olomorfă şi D D, Γ = D D, D părţi conexe de clasă C, z D cu alte cuvinte Γ este o curbă închisă în D şi z este situată în interiorul lui Γ). Atunci Formula integrală a lui Cauchy): fz) = fξ) dξ. 6) 2πi Γ ξ z Demonstraţie. Fie D ε = {η η z < ε} D şi D ε = Γ ε. Funcţia gη) = fn) η z este olomorfă în D D ε şi D D ε ) = Γ Γ ε ). Potrivit corolarului anterior fη)dη = Γ gη)dη Γ ε 7)
fη) = fz) + cu wz, η)?? în D. Atunci fη) fz) η z) = fz) + wz, η) η z) η z gη)dη = fz) Γ ε Γ ε η z dη }{{} =2πi + wz, η)dz = Γ ε = fz) 2π + wz, η)dη. Γ ε Dar wz, η) max w lengthγ ε) = max w 2πε, as Γ ε ε. Luând în ambele părţi din 7 limita pentru ε se verifică formula 6. Corolar 4. Funcţia f de clasă C este olomorfă în D dacă în jurul oricărui punct z D, f admite o reprezentare 6) Demonstraţie. Dacă f este olomorfă atunci am demonstrat formula 6). Invers, formula 6) poate fi derivată sub integrală şi se obţine f z) = 2πi γ fη) η z) 2 dη. Observaţia 4. Acest corolar oferă o nouă caracterizare pentru funcţiile olomorfe. Se rescrie formula fz) = 2πi ξ = z + re iθ. Obţinem ξ z =r fz) = 2π fz + re iθ )dθ 2πr fξ) dξ utilizând parametrizarea ξ z ce demonstrează următorul corolar. Corolar 42. Valoarea unei funcţii olomorfe în z este media valorilor lui f pe orice cerc cu centrul în z. O consecinţă imediată este Corolar 43 principiul modulului maxim). Fie f olomorfă în D şi continuă în D. Atunci f atinge minimul şi maximul în D. Dacă f atinge un maxim în interiorul lui D atunci f este constantă.
Anterior am demonstrat că orice serie de puteri convergentă oferă o funcţie olomorfă. Reciproca este de asemenea adevarată. Următoarea teoremă oferă o afirmaţie precisă. Teorema 44 a) Fie f : D C o funcţie de clasă C. Atunci f este olomorfă în D dacă z D, într-o anumită vecinătate a lui z f poate fi scrisă fz) = a + a z z ) + a 2 z z ) 2 +... + a n z z ) n +... Coeficienţii a n sunt definiţi de a n = 2πi γ fξ) dξ ξ z ) n+ γ fiind orice curbă închisă pe porţiuni de clasă C ce înconjoară z γ = D, D D, z D ) b) F este infinit derivabilă şi coeficienţii a n sunt unic definiţi de f n) z ) = n! 2πi γ fξ) ξ z ) n+ = n!a n. Demonstraţie a) Fie Dz, r) D. Pentru z Dz, r) avem fz) = fξ) dξ = 8) 2πi ξ z =r ξ z = 2πi ξ z =r ξ z ) fξ) + z z ξ z )dξ = 9) = fξ) + z z + z z ) 2 ) 2πi ξ z =r ξ z ) ξ z ξ z ) +... = ) 2 + a = fξ) 2πi ξ z =r ξ z dξ }{{} 2πi } ξ z =r {{ } a fξ) ξ z ) dξ 2 z z ). )
Am folosit aici z z < ξ z şi progresia geometrică este uniform convergentă la {ξ ξ z = r}. Dacă γ = D, z D D şi r este suficient de mic astfel încât Dz, r) D, atunci 2πi D fξ) dξ = ξ z ) n+ 2πi ξ z =r fξ) ξ z ) n+ = a n, b) Este o consecinţă a lui a) şi 5). Observaţia 45. Dezvoltarea în jurul lui z poate fi scrisă: fz) = fz )+ f z )! z z )+ f z ) 2! z z ) 2 +... f n) z ) z z ) n +... n! şi raza de convergenţă este cel puţin distanţa dintre z şi graniţa lui D. Exemplul 46. Fie fz) = e z, z =, f z) = f z) =... = f n) z) = e z şi f n) ) = e =. Atunci e z = +! z + 2! z2 +... + n! zn +... Exemplul 47. Fie fz) = sinz), z =. Folosind dezvoltarea pentru e iz şi e iz obţinem Exemplul 48. Analog sinz) = z! z3 3! +... + )n z 2n+ 2n + )! +... cosz) = z2 2! + z4 z2n +... + )n 4! 2n)! +... Exemplul 49. ln + z) = + z = z + z2 +... + ) n z n +.... Integrând ambele părţi ln + z) = z z2 2 + z3 zn +... + )n 3 n +... ln z) = z = z z2... z n.
Integrând ln z) = z z2 2 z3 3... zn n... Exemplul 5. fz) = + z) α = e α lnz), f z) = α + z eα ln+z) = α + z) α. Prin introducerea f n) = αα )... α n + ) + z) α n. Folosind proprietatea logaritmului pentru care ln) =, atunci f n) ) = αα )... α n + ) şi +z) α = + α αα ) z+ z 2 αα )... α n + ) +...+ z n +...! 2! n! Mai jos sunt adunate unele caracterizări ale funcţiilor olomorfe, demonstrate în teoremele precedente. Teorema 5. Fie f : D C o funcţie de clasă C, D fiind un domeniu complex. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: fz) fz ) a) lim există pentru orice z D. z z z z b) Dacă f = u + iv, u, v - funcţii reale, atunci u x = v y v y. c) γ şi u y = fz)dz = pentru orice cale închisă, deformabilă într-un punct din D. d) fz) = fξ) pentru orice z D, γ o cale din D, în jurul 2πi γ ξ z lui z mai precis γ = D z, D D. γ poate avea una sau mai multe componente). e) Pentru orice z D, r >, astfel încât pentru z z < r, fz) = a n z z ) n f n) z ) = z z ) n. n= n= n! f) Dacă f este un diffeomorfism între D şi fd), atunci a-e) sunt echivalente cu faptul că f este o transformare conformă şi menţine orientarea..6 Serii Laurent Teorema 52 Dezvoltarea Laurent). Fie f olomorfă pe domeniul
D = {z r < z z < R}. Atunci a p fz) =...+ z z ) +...+ a +a p +a z z )+...+a n z z ) n +... z z unde a n = 2πi γ 2) fξ) dξ 3) ξ z ) n+ γ este o cale închisă în D în jurul lui z. Dezvoltarea este unică. Demonstraţie. Fie D = {r < r < z z < R < R}. Atunci fz) = 2πi D = 2πi Prima integrală este fξ) ξ z dξ = z z =R fξ) ξ z dξ 2πi z z =r a n z z ) n n= fξ) ξ z dξ. unde a n sunt date ). Pentru cea de-a doua integrală obţinem 2πi ξ z =r = 2πi ξ z =r = a n = 2πi fξ) ξ z dξ = 2πi ξ z =r fξ) z z ξ z =r + ξ z z z + ξ z ) 2 z z ) 2 + d fξ) dξ ξ z ) n+ fξ) z z ) ξ z )dξ = z z ) ξ z deoarece z z < pe ξ z = r. Împreaună aceste două extinderi demonstrează existenţa extinderii Laurent. Convergenţa este uniformă pe D. Se ia în considerare 2πi ξ z =r dξ ξ z ) n = for n = = for n =
şi presupunând 2) atunci se obţine uşor 3) demonstrându-se unicitatea lui a n. Exemplul 53. Fie fz) =. Rădăcinile numitorului sunt z 2 3z + 2 şi 2. În discul z < funcţia este olomorfă şi avem o dezvoltare Taylor. fz) = z + z 2 = z 2 z 2 = +z+z 2 +...+z n +...) 2 + z 2 + z 2 ) 2 +... + z 2 ) n +... ) = n= ) z n. 2 2n+ În intervalul < z < 2 dezvoltarea se schimbă deoarece z nu mai este mai mic decât şi se foloseşte /z < în progresia geometrică. fz) = 2 z 2 z z = 2 + z ) 2 + z2 2 +... + zn 2 2 +... n z z + ) z +... = 2 =... z +... 2 z 2 z 2 2 z +... 2 2 n+ zn +... În domeniul z > 2, avem z < 2 şi z <, astfel, dezvoltările progresiei geometrice trebuie să utilizeze ca raţii z şi 2 z fz) = z + z z ) + z 2 z + 2 ) z + 22 z +... 2 ) = z z + z 2 +... ) + = + 2 n ) n= z. n
.7 Exerciţii. Calculaţi 2. Calculaţi z =r g z 2 + 3z + 4 ) dz. z z 2 + z )dz unde γ : [, ] C, γt) = t + it 2. 3. Găsiţi dezvoltările funcţiilor a) fz) = sin 3 z, z =. b) fz) = 3 + z, z =, f) =. + z c) fz) = ln z, z =, f) =. d) fz) = cos 2 z, z =. e) fz) = arctan z, z =, f) =. f) fz) = arcsin z, z =, f) =. g) fz) = cos z, z =. h) fz) = z 2 3z + 2, z =, f) >. 4. Găsiţi dezvoltările funcţiilor a) fz) = z 2 ) în jurul lui z =. b) fz) = z 3 2z 2 + z 2) în jurul lui z = 2. c) fz) = e/ z în jurul lui z = 2. d) fz) = e z+i z i în jurul lui z = i. f) fz) = tan z în jurul lui z = 2. 5. Folosind formula integrală Cauchy, calculaţi cos z a) z = z dz. z 4 b) z =2 z 2 4z + 3 dz.
z 4 c) z =2 z ) dz. 3 6. Demonstraţi că pentru orice funcţie derivabilă complexă f : D C, D simplu conex şi f diferit de zero, există F : D C, derivabilă complexă, astfel încât f = e F. Sugestie: f f admite o primitivă G. De la G = f ) e G f rezultă = f de unde f = const e G. 7. Demonstraţi că pentru orice funcţie derivabilă complexă F : D C, D simplu conex şi f diferit de zero, există g : D C, derivabilă complexă, astfel încât g 2 = f. Soluţie: f = e F, deci g = e F 2. 8. Demonstraţi că pentru o funcţie olomorfă f din interiorul discului z < R, astfel încât fz) < M r pe {z z = r}, coeficienţii dezvoltării fz) = a n z n satisfac inegalităţile a n M r Inegalităţile lui 2π r n Cauchy). Sugestie: Folosiţi a n = fξ) dξ şi propoziţia 34. 2πi ξ =r ξn+ 9. Fie f : C C olomorfă şi fz) M pentru orice z C. Demonstraţi că f este constant. Liouville). Sugestie: fz) = a n z n şi folosiţi exerciţiul anterior pentru a es- n tima a n.. Fie pz) = a n z n +a n z n +...+a k z k +...+a, n o funcţie polinomială cu coeficienţi complecşi. Demonstraţi că există z C cu pz ) =. Sugestie: Presupuneţi că pz) este diferit de. Atunci fz) = pz) este o funcţie olomorfă mărginită f : C C, şi din exerciţiul anterior este constantă. Contradicţie.. Presupuneţi că f transformă discul unitate în el însuşi şi f) =. Demonstraţi că fz) z şi dacă fz) = z pentru z = atunci fz) = cz pentru anumite constante c cu c =.
Soluţie: Fie gz) = fz) pentru z = şi g) = f ). g este z olomorfă şi gz) = fz) pe orice cerc de rază r <. Principiul z r modulului maxim implică gz) pe discul de rază r. Lu ând r r rezultă gz) pe discul unitate. Dacă gz) = undeva în interiorul discului unitate, atunci principiul modulului maxim implică gz) şi g este constant..8 Puncte singulare Fie f : D {z, z, z 2,..., z n } C olomorfă în D D - domeniu în C ) cu excepţia punctelor z, z 2,..., z n D. Punctele z, z 2,..., z n sunt numite puncte singulare ale lui f. În jurul lui z, în intervalul < z z < r, f poate fi dezvoltată în serie Laurent fz) = i= i= a i z z ) i. 4) Evident că, pentru z = z, f nu este definită. Se pot întâmpla mai multe lucruri în jurul lui z. Mai jos z există pentru orice punct singular al lui f. Teorema 54. Fie f cu dezvoltarea 4) în jurul lui z. Atunci a) Dacă fz) este delimitată într-o vecinătate a lui z, atunci dezvoltarea 4) are numai puteri pozitive de z z ), z z lim fz) = a, şi luând fz ) = a, funcţia devine regulară la z. z este denumit punct singular mobil. b) Dacă z z lim fz) = atunci dezvoltarea 4) este de forma i= n a i z z ) i a n = n N n =. Punctul z se numeşte pol de ordinul n. c) Dacă nu sunt valabile a) sau b) atunci dezvoltarea 4) este infinită în ambele direcţii şi pentru orice w C există o secvenţă z n z astfel încât fz k ) w. z este numit punct singular esenţial.
Demonstraţie. a) a n = fξ)ξ z ) n dξ, deci, pentru n z z =r, fξ) M?? r găsim a n Mr n 2πr = 2πMr n.?? a n = pentru n.?? b) Dacă fz) = a n z z ) n +... + a +... = = a n + a n+ z z ) +... + a z z ) n +... z z ) n = gz) z z ) n unde gz) este olomorfic?? z atunci lim fz) = lim z z z z gz) z z ) n =.??, if lim fz) =?? z fz), deci hx) = este olomorfic, z z fz) atunci?? fz) = b nz z ) n + b n+ z z ) n+ +..., n, b n =. fz) = hz) = z z ) n b n + b n+ z z ) + b n+2 z z ) 2 +...). Dar b n + b n+ z z ) +... = c + c z z ) +..., este olomorfic în jurul lui z. În final, fz) = c z z ) + c n z z ) +... + c n n +...,?? z?? n. c) În contrast cu a) şi b) lim fz) nu există, este echivalent cu z z o infinitate de puteri negative ale dezvoltării Laurent. Se presupune că z este un punct singular esenţial şi a C nu este limita unei secvenţe fz n )) n N unde z n z. Atunci pe anumite vecinătăţi U la z, fz) a ε >. Acest lucru implică că gz) = fz) a = a pz z ) p + a p+ z z ) p+ +... p, a p =
este olomorfă în jurul lui z. De unde fz) = a + gz) = a + z z ) p a p + a p+ z z ) +...) = z = z z ) + c p z z ) +... p după cum am văzut la b), contrazicerea lui z este o singularitate esenţială. Observaţia 55. Demonstraţia lui b) arată că hz ) = h z ) =... = h n ) z ) =, h n) = sau hz) = z z ) n h z), h z ) = implică că z este un pol de ordinul n pentru fz) =. Analog dacă fz) = hz) gz) hz), gz ) =. Observaţia 56. Dacă z este un punct singular pentru f atunci într-o anumită vecinătate a lui z nu mai sunt alte puncte singulare deoarece i= a i z z ) i este convergentă pentru z = z. i= Fie acum o funcţie f periodică într-o vecinătate punctată z vecinătate cu z îndepărtată) şi se consideră integrala lui f pe un cerc mic în jurul lui z. fz)dz = a n z z ) n dz = = z z =r n= a n z z =r n= z z ) n dz z z =r Definiţia 57. Numărul a = 2πi ) = a z z =r z z ) dz = 2πi a. z z =r fz)dz este numit reziduul lui f în punctul z şi este notat cu Resf, z ). Exemplul 58. Fie fz) = e /z. Atunci la z = dezvoltarea lui fz) este fz) = z! z =... + n frac/n!zn +... + z +. n=
Prin urmare Resf, ) = Rese /z, ) =. Teorema 59. Fie f o funcţie periodică într-o vecinătate punctată z C. Dacă z este pol de ordin n atunci Resf, z ) = n )! lim z z z z ) n fz)) n ). În particular dacă fz) = gz) hz), gz ) =, hz ) =, h z ) = atunci z este pol de ordinul şi Demonstraţie. fz) = Resf, z ) = gz ) h z ). a n z z ) + a n+ n z z ) +... + a n +... şi z z ) n fz)) n ) = a n + a n+ z z ) +... + a z z ) n + +a z z ) n +...) n ) = n )!a + n!a z z ) +... şi reiese rezultatul. Exemplul 6. ) Res z 2 + ), i 2 = lim z i = lim z i! ) = 2 z 2 + ) 2 ) z ) 2 = z 2 + ) 2 z 2 + i) 3 = z=i 4i Exemplul 6. Fie z una dintre rădăcinile lui z n + =. Apoi z este pol de ordinul al funcţiei fz) = z n + şi nz n ) Res z n +, z = z=z = nz n = z n. Exemplul 62. Pentru funcţii ca fz) = e /z z, reziduul la z = poate fi calculat doar prin dezvoltare în jurul acestui punct fz) =... + /n! /2! +... + + /! + zn z 2 z ) +z+z 2 +...+z n +...) =
... + a 2 z 2 +! + 2! +... + n! +... ) z + a + a z +... Apoi Resf, ) = a =! + +... = e =.7828. 2! În contradicţie cu z = care este o singularitate esenţială, punctul z = este un pol de ordinul, de unde Resf, ) = e/ = e. Definiţia 63. O funcţie olomorfă definită în D cu excepţia unui set de puncte izolate de puncte polare, se numeşte meromorfă în D. Teorema 64 Teorema Reziduurilor). Presupunem că fz) este periodică în domeniul simplu conex D cu excepţia unui set finit de puncte singulare z, z 2,..., z n şi presupunem că γ o curbă simplă închisă în D fără puncte autointersectate), pe porţiuni C, ce conţine z,..., z n în interiorul său şi orientată pozitiv domeniul închis de γ se află la stânga lui γ). Atunci n = fz)dz = 2πi Resf, z k ). γ Demonstraţie. Fie E domeniul închis de γ cu discuri mici D k în jurul lui z k îndepărtat. Apoi γ este marginea exterioară a lui E şi D k sunt marginile interioare. Prin urmare fz)dz = fz)dz = 2πi Resf, z k ). γ k D k k k=.9 Folosirea reziduurilor pentru evaluarea integralelor definite 9.. Integralele I = 2π 2π Rcos θ, sin θ)dθ Rcos θ, sin θ)dθ, R = funcţie raţională Propoziţia 65. Integrala este I = R z + ), z )) ) dz. z = 2 z 2i z iz
Demonstraţie. Fie z = e iθ. Atunci cos θ = eiθ + e iθ ) 2, sin θ = eiθ e iθ ), dθ = i dz 2i) 2. Dacă θ ia valori de la la 2π, z ia valori pe cercul z = şi I = R z + ), z )) ) dz = R z)dz. z = 2 z 2i z iz z = După teorema reziduurilor I = 2πi z k < ResR, z k ) unde z, z 2,... sunt polii lui R pe discul z <. Exemplul 66. Fie a <. Atunci 2π dθ 2a cos θ + a = z = 2 2a ) z + z + a 2 iz dz = = idz = 2πi Resf, a) = z = az 2 a 2 + )z + a i = 2πi = 2π az 2 a 2 + )z + a) z=a a. P x) 9.2. Integralele Rx)dx, Rx) = Qx) I = Rx)dx, Rx) = Propoziţia 67. Integrala este I = 2πi P x), P, Q polinoame deg Q deg P + 2. Qx) Im z k )> ResR, z k ). Demonstraţie. Fie γ R = [ R, R] Γ R, unde Γ este demicercul din semiplanul superior ce conectează R, ) cu R, ). Fie D R domeniul închis de γ. Atunci R 2πi Resf, z k ) = fz)dz + fz)dz. z k D R Γ R R
Pe măsură ce R partea din stânga tinde către suma tuturor reziduurilor din semiplanul superior. Prima integrală din partea dreaptă tinde la este marginită de fz)dz. Cea de-a doua integrală din partea stângă fz)dz max fz) πr A γ R z Γ R R πr = πa 2 R datorită ipotezei degq) 2+degP ). Acum luând limitele din ambele părţi obţinem rezultatul. Exemplul 68. + x dx = 2πi = 2πi 9.3. Integralele Imz k )> z 99 k Imz k )> = 2πi = πi k=49 e 2k+)πi = 5 + k= e iax Rx)dx ) Res + z, z z Imz k )> π 2 sin π z ) k = ). = I = + e iax Rx)dx, Rx) = P x) Qx), a >, P and Q polinoame deg P < deg Q. Propoziţia 69. Integrala este I = e iax Rx)dx = 2πi Imz k )> Rese iaz Rz), z k ). Pentru a evalua integrale de acest tip folosim Lema 7 Lema lui Jordan). Fie a > şi următoarele condiţii să fie îndeplinite:. O funcţie gz) este continuă pe domeniul Imz), z R
2. MR) = max gz) as R, z C R unde Γ R este demicercul z = R, Imz). Atunci lim R Γ R gz) e iaz dz =. Demonstraţie. Presupunem z Γ R, z = Re iθ, dz = ire iθ dθ, şi Deoarece Atunci e iaz = e iar cos θ+i sin θ) = e ar sin θ. θ sin θ θ for θ [, 2π]. π e iaz π gz)dz max gz) e ar sin θ Rdθ Γ R z C R MR) 2R 2π π/2 e ar sin θ dθ 2RMR) e ar 2 π θ dθ = = MR) π a e ar ) R Observaţia 7. Dacă a < atunci suma se prelungeşte peste reziduuri cu partea negativă imaginară. Observaţia 72. Dacă ipoteza ce priveşte dezvoltarea lui g este valabilă pentru {z α argz) β π} atunci limita superioară este zero pentru integrala luată peste C R = {z z = R, α argz) β}. Demonstraţie a propoziţiei). Se consideră contorul γ R = [ R, R]. Atunci R 2πi Rese iaz gz), z k ) = e iax gx)dx + e iaz gz)dz z k inside γ R Γ R R P z) unde gz) = Qz). Pe masură ce R partea stângă tinde la ) iaz P z) 2πi Res e Qz), z k Imz k )>