ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. α) (z) = i z iz= i. Αν z= + yi τότε + y y= + y i( yi) = i ( + y y) i = i + y = y+ + y = y + 4y+ 4,y = = = 3 y = 4. Άρα = 3 z= i. 4 β) (z) = z iz = z i z = ( i) z οπότε (z) = i z = z. Άρα z= z=. γ) Αν z = τότε: w = iz iz = w οπότε w = iz w = z = z = άρα w = Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=. Δίνεται η εξίσωση : ( ) ΘΕΜΑ zz + 4R i z + 4 = (I). α) Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών. β) Αν z,z είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι: z z 8. γ) Αν t,t είναι αντίστοιχα οι τιμές των μιγαδικών z και z (του ερωτ. β) για τις οποίες η παράσταση z z γίνεται μέγιστη, να δείξετε ότι: v v 4v+ v t + t + (t t ) = 5 για κάθε * ν.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 α) Θέτουμε z=+yi, (,y ) και η (Ι) παίρνει την μορφή: + y + 4 + 8y + 4 = ( + ) + (y + 4) = 6. Επομένως η εξίσωση (I) έχει λύση κάθε μιγαδικό, του οποίου η εικόνα είναι σημείο του κύκλου C: ( + ) + (y + 4) = 6. β) Αν z,z δύο λύσεις της (I) τότε οι εικόνες τους M(z) και M(z) είναι σημεία του κύκλου C. Οπότε έχουμε: z z = (M M ) ρ = 4 = 8. γ) Η παράσταση z z γίνεται μέγιστη όταν η χορδή MΜ, του κύκλου C, γίνεται διάμετρος. Έτσι οι εικόνες Α, Β των μιγαδικών t και t αντίστοιχα είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Οπότε 3 t t = ma z z = 8=. t+ t = OA + OB = OK = = 5. Έτσι έχουμε: v v 4v v 4v v 4v v 4v+ v t+ t + (t t ) = 5 + 5 = 5 = 5. ΘΕΜΑ 3 Έστω μια συνάρτηση : τέτοια ώστε: (I) 3 () + () = 3ημ 3 για κάθε (). Αν lim = α τότε: α) Να δείξετε ότι α=. (ημ) (()) ( ) β) Να βρείτε τα όρια: i) lim, ii) lim και iii) lim 3 +. 3 () 3 () ημ 3 α) Για διαιρούμε με την (I) οπότε έχουμε: ( ) + = 3( ) και 3 υπολογίζοντας τα όρια των δύο μελών παίρνουμε : α + α = 3 α =. β) Παρατηρούμε ότι σε περιοχή του έχουμε (ημ) (ημ) ημ i) = ημ όπου (ημ) (y) lim για y=ημ γίνεται lim =. y y
ii) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 (()) (()) () = όπου () () lim () = lim( ) = = και (()) (y) lim για y=() lim =. y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iii) = = = 3+ 3+ ( )( ) Εύκολα βρίσκουμε ότι σε περιοχή του είναι: ΘΕΜΑ 4 ( ) lim = ( ) =. 3+ Έστω μια συνάρτηση :, που είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής. Αν () lim = (ημ) α) Να βρείτε το όριο: lim π συν β) Να δείξετε ότι: ()= (), γ) Να βρείτε την τιμή του k, ώστε η συνάρτηση g() = να είναι k, = συνεχής στο. δ) Για την τιμή του k= να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία (ε): y= σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,). α) Παρατηρούμε ότι σε περιοχή του (ημ) (ημ) (ημ) (ημ) συν = συν = συν = συν συν ημ ημ- + ημ π έχουμε (ημ) (y) (ημ) όπου για y=ημ έχουμε lim = lim =. Άρα lim = =. π y ημ- y- π συν () β) Επειδή συνεχής στο έχουμε: ()= lim () = lim( ) = =. () γ) g()= lim g() = lim = άρα k=. δ) Εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano για την h()=g()- στο [,]. Παρατηρήστε ότι: h()=g()=-() όμως γνησίως αύξουσα στο, οπότε: () < () =. Επομένως h() >. Ακόμα είναι: h()=g()-=- <. 3
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 5 Έστω μια συνάρτηση : τέτοια ώστε: (I) () για κάθε. () α) Να δείξετε ότι: lim =. + β) Να βρείτε τα όρια: () * i) lim, v, ii) lim[ ( )], iii) lim [ + v + ( )]. + + α) Για > έχουμε: () () () + και () εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε: lim =. + β) i) Έχουμε: () () Για ν> lim = lim [ ] = = + v v + () () Για ν= lim = lim =. + v + ( ) ii) = και για + + lim () =. + ( ) ( )(+ ) iii) Είναι ( ) = ( ) = ( ) + + + () + ( ) () και θέτοντας = βρίσκουμε: lim + = lim = + + + οπότε από την + () παίρνουμε: lim [ ( )] = +. + + ΘΕΜΑ 6 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο τέτοια ώστε: (I). ημ α) Να δείξετε ότι: lim =. + β) Να βρείτε το (). γ) Να δείξετε ότι υπάρχει π π (, ) π-6 π- ημ ( ) = τέτοιο ώστε: ( ) =. για κάθε 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ημ ημ ημ α) Για κάθε > έχουμε: = με κριτήριο - - ημ παρεμβολής βρίσκουμε: lim =. + β) Από την (I) παίρνουμε: lim ( ) =. Θέτουμε y = τότε + = lim ( ) = lim(y) και επειδή η είναι συνεχής στο έχουμε: + y () = lim(y) =. y π π γ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την στο [, ] π-6 π-. -Για - Για π = 6 η (I) δίνει: π = η (I) δίνει: π 3 ( ) = = < π-6 π π 6 6 π ( ) = = >. π- π π Σημείωση: Παρατηρείστε ότι από την σχέση (I) μπορεί να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης για κάθε, οπότε τα ερωτήματα β) και γ) επιλύονται διαφορετικά. ΘΕΜΑ 7 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο [, + ) με ()> για κάθε [, + ). Αν το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τους άξονες, y y και την ευθεία = είναι E() = () για κάθε τότε: i) να αποδείξετε ότι () + () = για κάθε [, + ) () ii) lim =. iii) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. iv) να λύσετε την εξίσωση () = ημ. i) Επειδή η είναι συνεχής στο [, + ) και ()> για κάθε [, + ), το εμβαδόν ου χωρίου που περικλείεται από την C, τους άξονες, y y και την ευθεία =, 5 ()d= () είναι E() = ()d οπότε για κάθε είναι (). Η ως παραγωγίσιμη είναι και συνεχής στο [, + ), το [, + ) άρα ( ()d) = ()
Για κάθε είναι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 = = + =. ( ()d) ( ()) () () () () Άρα για κάθε [, + ) είναι () + () = (). Από τη σχέση () για = έχουμε ()= και από τη σχέση () για = έχουμε () =. () () () Είναι lim = lim = () = από υπόθεση). ii) Για κάθε [, + ) είναι (η είναι παραγωγίσιμη στο [, + ) () + () = () + () = ( () ) = ( ) οπότε () = + c, (3). Για = από την (3) έχουμε = + c c= επομένως για κάθε είναι () = + () = ( + ),. iii) Για κάθε [, + ) είναι () = ( ), οπότε η εξίσωση () = ημ ισοδύναμα γράφεται ( ) = ημ = ημ (4). Παρατηρούμε ότι = ημ = αληθές, άρα το είναι ρίζα της εξίσωσης. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = + ημ,. Για κάθε [, + ) είναι g() = + συν=( + ) + ( συν) > άρα η g είναι γνησίως αύξουσα > στο [, + ), οπότε η ρίζα της εξίσωσης είναι μοναδική. Επομένως - () = ημ = ημ =. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Είναι γνωστό ότι α + για κάθε α> και αφού > είναι α +. Επίσης -συν> αφού συν για κάθε. 6
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 8 Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με () > 7 για κάθε. Να αποδείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=6+ σε ένα ακριβώς σημείο. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση () =6+ έχει μία ακριβώς ρίζα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=()-( 6+),. H g είναι παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγισίμων με g ()= ()- 6>7-6=> (), για κάθε, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα η εξίσωση g()= έχει το πολύ μια ρίζα στο. Η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού σε κάθε διάστημα της μορφής [,] με > άρα θα υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g()-g() > g(ξ )= g()=g (ξ ) +g()>+g() (αφού g(ξ )> g (ξ )> ). Είναι lim ( + g() ) =+ άρα και lim g() = +, οπότε θα υπάρχει διάστημα της + + μορφής (β, + ) με β> τέτοιο ώστε g()> για κάθε (β, + ). Επομένως g(λ)> για λ (β, + ). Η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισμού σε κάθε διάστημα της μορφής [,] με < άρα θα υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε g()-g() < g(ξ )= g()=g (ξ ) +g()<+g() (αφού g(ξ )> g (ξ )< ). Είναι lim ( + g() ) = άρα και lim g() =, οπότε θα υπάρχει διάστημα της μορφής (,α) με α< τέτοιο ώστε g()< για κάθε (,α). Επομένως g(κ)< για κ (,α). Η g ικανοποιεί λοιπόν τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano στο [κ.λ]. Επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (κ,λ) τέτοιο, ώστε g( )=. Δείξαμε λοιπόν ότι η g()= έχει: μια τουλάχιστον ρίζα και μια το πολύ ρίζα στο Άρα η g()= έχει μια ακριβώς ρίζα στο, που σημαίνει ότι η C τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=6+ σ ένα ακριβώς σημείο. ΘΕΜΑ 9 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο (, + ) η οποία ικανοποιεί τη σχέση (t) () dt = + για κάθε (, +. ) α) Να αποδείξετε ότι () = ln(+ ) β) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τους ημιάξονες Ο και Oy. 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 δ) Να βρείτε τη γραμμή που διαγράφουν οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z () με Rz στο μιγαδικό επίπεδο, αν ισχύει + z + για κάθε (, +. ) α) Η συνάρτηση (, + ) άρα η συνάρτηση (t) είναι συνεχής στο (, ) (t) dt είναι παραγωγίσιμη στο (, ) () ( (t) () dt) () είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με + ως σύνθεση συνεχών, το +, οπότε και η = + = () = () () () () () () = [ ] = () = + c, c (). Για = από την αρχική σχέση έχουμε ()=, ενώ από τη σχέση () είναι () = c c=. () Έχουμε λοιπόν = + () = ln(+ ), >-. β) Από τη σχέση () έχουμε () = () > άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε είναι και -. Επομένως η αντιστρέφεται. Για να βρούμε την αντίστροφη της θέτουμε y=() και λύνουμε ως προς. Έχουμε λοιπόν y y y y = () y = ln( + ) + = = (y) =, y. Άρα η αντίστροφη της είναι η : με () =. γ) Συντεταγμένες Α Για y= είναι ln( + ) = ln( + ) = ln + = = οπότε Α(-,). Είναι Ε(Ω)= ln( + )d = ln( + )d = [ ln( + )] (ln( + )) d = d = + - - - - + = ( )d = ( )d = d d = ( + ) d d = + + + + + = [ln + ] [ ( )] = + = τ.μ. - - - - - - δ) Θεωρούμε συνάρτηση () g() z = +, (, + ). Για κάθε () () (, + ) είναι + z + + z g() g(). Δείξαμε ότι g() g() για κάθε (, + ), άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο = του πεδίου ορισμού της. Η g είναι παραγωγίσιμη στο 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 () (, + ) με g() = () + z άρα είναι παραγωγίσιμη και στο = με () () () g() = () + z g() = + z g() = 3 z. Ισχύει λοιπόν το () Θεώρημα Frmat, οπότε g() = 3 z = z = 3. Άρα οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ=3 που έχει εξίσωση + y = 9. Όμως το Rz επομένως οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z πάνω στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφουν το ημικύκλιο BAB του κύκλου + y = 9 όπου Β (,-3). Α(3,), και Β(,3). ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση () = () ( ) για κάθε με ()=. α) Να αποδείξετε ότι [()-] = [ ( )] για κάθε. β) Να αποδείξετε ότι () για κάθε. γ) Αν η C έχει με τον άξονα δύο μόνο κοινά σημεία, τότε να αποδείξετε ότι για = η παίρνει μέγιστη τιμή ()=. α) Για κάθε είναι () = () ( ) () () = ( ) () () + = ( ) [() ] = [ ( )]. [ () ] * β) Για είναι ( ) = οπότε ( ) για κάθε. Επίσης είναι ( ) = () =. Άρα ( ) για κάθε. Αν όπου θέσουμε το - έχουμε ( ( )) () για κάθε. γ) Για = από την αρχική σχέση έχουμε () = () () () = () ()[ () ] = () = ή () =. Για = επίσης έχουμε () = () =. Επειδή () = και ()= δεν είναι δυνατόν να είναι και ()= αφού η C έχει με τον άξονα δύο μόνο κοινά σημεία. Υποχρεωτικά λοιπόν είναι ()=. Άρα () () για κάθε. Επομένως η παίρνει μέγιστη τιμή το για =. 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο. Αν η συνάρτηση g είναι -, ( g)() = και για κάθε ισχύει η σχέση g() (t)dt + ( g)(t)dt =, τότε να αποδείξετε ότι: * α) g ()=- για κάθε και β) g() + (t)dt=,. α) Η είναι συνεχής στο, το και η g είναι παραγωγίσιμη στο, επομένως η g() (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο. Η g είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών, το άρα η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο. Για κάθε έχουμε g() ( (t)dt + ( g)(t)dt) = ( g)(t)dt είναι (g())g () + ( g)() = ( g)()[g () + ] = (). Επειδή η συνάρτηση g είναι - και ( g)() = ισχύει ( g)() = ( g)() = ( g)() =. Δηλαδή η εξίσωση ( g)() = έχει μοναδική λύση την =. Επομένως η () ισοδύναμα γράφεται = ή g() + =, για κάθε β) Θεωρούμε τη συνάρτηση *. g() + h() = (t)dt,. () Η είναι συνεχής στο, το, η g()+ είναι παραγωγίσιμη στο, άρα η h παραγωγίζεται στο με h () = (g() + ) (g() + ) h () = (g() + ) (g () + ),. Για = έχουμε h () = (g()) (g () + ) = (g () + ) =. Για έχουμε h () = (g() + ) =. Παρατηρούμε λοιπόν ότι h() = για κάθε, άρα η h είναι σταθερή στο, δηλαδή h() = c,. Για = από την αρχική σχέση έχουμε την () έχουμε g() + h() = (t)dt =. g() g() (t)dt= και από h() = (t)dt c =. Άρα για κάθε είναι