Απαντήσεις στα Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 9/5/ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9/5/ ΘΕΜΑ Α Α. Πρόκειται για την απόδειξη της σελίδας 34 του σχολικού βιβλίου. Α. Ο ορισμός της σελίδας 79 του σχολικού βιβλίου. Α3. Η δεύτερη περίπτωση του ορισμού της σελίδας 73 του σχολικού βιβλίου. Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Για z έχουμε z + = z z + =. Η εξίσωση αυτή έχει Δ = 4 < και δύο λύσεις z β ± i ± i μιγαδικές συζυγείς που δίνονται από τον τύπο z, z = =. Δηλαδή οι λύσεις της είναι: α z = + i,z = i Β. Είναι: z + z = (+ i) + ( i) = = i + + ( i) = i = i ( i) + ( i) = = i ( i) + ( i) = = ( )( i) + ( i) = Β3. Είναι: w 4+ 3i = z z w (4 3 ι ) = (+ i) ( i) w (4 3 ι ) = i w ( 4 3i) = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι κύκλος με κέντρο K(4, 3), που είναι η εικόνα του μιγαδικού w = 4 3i, και με ακτίνα ρ = (Σχ.). y Ο -3 A M 4 Κ(4,-3) Β Β4. Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο του προηγούμενου ερωτήματος στα σημεία Α και Β. Είναι: (OK ) = 4 3i = 5 = w Από τα σημεία του κύκλου, το πλησιέστερο προς την αρχή των αξόνων είναι το Α και ισχύει: (OA) = (OK) ρ= 5 = 3. Από τα σημεία του κύκλου το πιο μακρινό από την αρχή των αξόνων είναι το Β και ισχύει: (OB) = (OK) +ρ= 5 + = 7 / 6 www.ellinoekdotiki.gr
Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9/5/ Για κάθε άλλο σημείο Μ του κύκλου ισχύει: ( ΟA) (OM) (OB) 3 w 7 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ: Γράφουμε w = w w + w και από την τριγωνική ανισότητα και το γεγονός ότι από το (Β3) είναι w w = έχουμε: w w w w w + w w w + w 5 w + 5 3 w 7. ΘΕΜΑ Γ Γ. Η συνάρτηση f() = + ln( + ), R έχει παράγωγο R. Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R. ( + + ) f () = > + για κάθε (3 ) + Γ. H εξίσωση ( 3 + ) = ln 4 + γράφεται ισοδύναμα: ( ) = + + 4 (3 ) ln (3 ) ln ( ) + ln ( ) + = (3 ) + ln (3 ) + f( ) = f(3 ) () Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι και -, οπότε από την () έχουμε: Γ3. Η συνάρτηση f( ) = f(3 ) = 3 3+ = (= ή = ) f() = + ln( + ), R έχει δεύτερη παράγωγο f () = =± και η f () f () = ( ) +. Είναι εκατέρωθεν των ριζών της αλλάζει πρόσημο. Επομένως παρουσιάζει σημεία καμπής στο και στο +. Τα σημεία καμπής είναι: A(, + ln) και B(, + ln) Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο A(, + ln) είναι: y f ( ) = f ( ) ( ( ) ), δηλαδή y = + ln () Η εξίσωση εφαπτομένης της f στο σημείο B(, + ln) είναι: y f ( ) = f ( ) ( ), δηλαδή y = 3 + ln () Από το σύστημα των () και () βρίσκουμε ότι αυτές τέμνονται στο σημείο M (,ln ) το οποίο βρίσκεται στον άξονα y y για κάθε R. Γ4. Έχουμε: I f()d ln( ) d = = + + = = d + ln( + )d = I + I 3 / 6 www.ellinoekdotiki.gr
Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9/5/ Το I 3 4 = d = = = 3 3 3 3. Για το Ι, αν θέσουμε u = + με du = d, έχουμε: I = ln( + )d = lnudu = 4 4 Άρα I = I + I = 3 + = 3. t Δ. Από την f() = 3 + dt έχουμε: ΘΕΜΑ Δ t f() = + 3 + dt () t Επειδή f(t) t για κάθε R, η συνάρτηση h( t ) = ορίζεται στο R όπου και είναι συνεχής, διότι προκύπτει με πράξεις ανάμεσα στη συνεχή f και την ταυτοτική. Τότε από το θεώρημα ύπαρξης αρχικής η συνάρτηση t dt είναι παραγωγίσιμη στο R. t H πολυωνυμική + 3 είναι επίσης παραγωγίσιμη στο R. Άρα η f() = + 3 + dt είναι παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα παραγωγίσιμων. Συγκεκριμένα: f () = + 3 + dt = + 3 + dt = t t ( ) f(t) t f(t) t f() = + = που ζητάμε f() f() Δ. Αποδείξαμε παραπάνω ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R. Συνεπώς είναι παραγωγίσιμη στο R και η g() = ( f() ) f(). Είναι g() f()f () f() f () = = [ ] ( ) = f () f() f() = f() f() = Επειδή για κάθε R είναι g () =, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο R. Από την () του ερωτήματος (Δ), για = βρίσκουμε f() = 3 και τότε g() = ( f() ) f() = 9. Άρα η συνάρτηση g()=9 για κάθε R. 4 / 6 www.ellinoekdotiki.gr
Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9/5/ Η ισότητα f() f() = f() ΣΧΟΛΙΟ γράφεται: ( ) f ()f() f () = f() f ()f() f () + f() = ( + ) = = f ()f() f () f() f () f().. Δ3. Αφού g()=9, η g() = ( f() ) f() γράφεται: ( ) ( ) f() f() = 9 f() f() + = 9+ ( ) f() = + 9 f() =± + 9 () Από την υπόθεση η συνάρτηση φ() = f() είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται. Επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο. Και επειδή φ() = f() = 3 = 3>, είναι θετική και για κάθε άλλη πραγματική τιμή. Οπότε από τις δύο περιπτώσεις της (), δεκτή είναι η: Το τριώνυμο ( ) f() f() 9, του αυτές f() = + 9 f() = + + 9 ΣΧΟΛΙΟ = γ ως προς άγνωστο f() έχει ρρ = = <. Άρα οι ρίζες α = ± + είναι ετερόσημες και μάλιστα θετική είναι η προφανώς μεγαλύτερη από f() 9 f() = + + 9.. Δ4. Έστω ότι F είναι μια αρχική της f στο R. Σύμφωνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού η ανίσωση: γράφεται ισοδύναμα: + + f(t)dt < + f(t)dt F( + ) F() < F( + ) F( + ) () Για τη συνάρτηση F η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R εφαρμόζουμε Θ.Μ. Τιμής στα διαστήματα [, +] και [+, +]. ξ + ξ + Τότε υπάρχουν ξ (+,) και ξ (+,+) τέτοια, ώστε: ( ) F( ) F + F ( ξ ) = (+) ( ) ( ) F + F + F ( ξ ) =, ( + ) ( + ), δηλαδή f( ) F( +) F( ) ξ = () και δηλαδή f( ) F( +) F( +) ξ = (3) Είναι 9 f() + + f () = + = = > από το (Δ3). + 9 + 9 + 9 5 / 6 www.ellinoekdotiki.gr
Απαντήσεις Πανελλαδικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης - 9/5/ Άρα είναι f ()> για κάθε R, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και επειδή ξ <ξ, έχουμε: () και (3) f( ξ ) < f( ξ ) F(+) F()<F(+) F(+) που είναι η ζητούμενη σχέση (). ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ: + Η συνάρτηση Φ() = f(t)dt είναι γνησίως αύξουσα στο R και η () προκύπτει από το γεγονός ότι παίρνει τη μορφή Φ() < Φ(+). Δημήτριος Γ. Κατσαρός (Μαθηματικός) email.: Katsarost@hotmail.gr Περιέχει: Πλήρη και υποδειγματικά αναλυμένη θεωρία. Σημεία προσοχής και σχόλια στα δύσκολα σημεία του θεωρητικού πλαισίου. Μεθοδολογία και τεχνικές επίλυσης. Υποδειγματικά λυμένα παραδείγματα. Ασκήσεις για λύση ανά ενότητα. 34 κριτήρια αξιολόγησης. Τρίωρα διαγωνίσματα. Γενική επανάληψη. Θέματα πανελλαδικών εξετάσεων. 6 / 6 www.ellinoekdotiki.gr