Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο ολοκλήρωμα, η οποία «λειτουργεί» ως αντίστροφη διαδικασία από εκείνη της παραγώγισης Παρουσιάζονται οι ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος και αναπτύσσονται οι τεχνικές υπολογισμού του Εισάγεται η έννοια του αθροίσματος Riem, με τη χρήση του οποίου, δίνεται ο ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος (κατά Riem) Διατυπώνεται το θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού και το Θεώρημα Μέσης Τιμής Προαπαιτούμενη γνώση Παράγωγος πραγματικής συνάρτησης, κανόνες παραγώγισης, τύποι παραγώγισης βασικών συναρτήσεων 7 Η έννοια του αόριστου ολοκληρώματος Στο Διαφορικό Λογισμό (βλέπε, Κεφάλαιο 5) είδαμε ως ερμηνεία της παραγώγου μίας συνάρτησης f : A σ ένα σημείο 0 A, τον αριθμό που δίνει την κλίση (ή συντελεστή διεύθυνσης) της εφαπτόμενης ευθείας της καμπύλης y = f( ) στο σημείο ( 0, f( 0) ) Αντίστροφα, αν δοθεί μία συνάρτηση g, της οποίας οι τιμές παριστάνουν την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας κάποιας άγνωστης καμπύλης σε κάθε σημείο της, μπορούμε να βρούμε ποια είναι η καμπύλη με την παραπάνω ιδιότητα ; Για παράδειγμα, έστω ότι η κλίση μίας καμπύλης δίνεται από τη συνάρτηση g ( ) = 5 και ζητούμε να βρούμε ποια είναι η καμπύλη, δηλαδή, αναζητούμε μία συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση σε κάθε σημείο (, f( )) έχει κλίση ίση με 5 Τότε, ως γνωστό, θα ισχύει f '( ) = 5 Οπότε αναζητούμε εκείνη τη συνάρτηση f, της οποίας η παράγωγος σε κάθε σημείο της ισούται με 5 Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε, από τις ιδιότητες παραγώγισης, ότι μία συνάρτηση f, που ικανοποιεί τη σχέση f '( ) = 5, 5 5 είναι η f( ) = Επίσης, θα μπορούσε να παρατηρήσει κάποιος, ότι και η συνάρτηση f( ) = + c, c ικανοποιεί την απαίτησή μας Έτσι οδηγούμαστε στον ακόλουθο ορισμό Ορισμός 7 Αν για τη συνάρτηση f υπάρχει μία συνάρτηση F, της οποίας η παράγωγος είναι η f, δηλαδή, F' = f σε ένα διάστημα Ι υποσύνολο του, η F ονομάζεται αντιπαράγωγος (ή παράγουσα ή αρχική συνάρτηση) της f και συμβολίζεται με A( f ) Παραδείγματα 7 i) Μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = 5 (στο προηγούμενο παράδειγμα) είναι η συνάρτηση 5 5 A( 5 ) = F( ) = 5, όπως επίσης και οι συναρτήσεις F( ) = + 7, F( ) = είναι αντιπαράγωγοι της f( ), εφόσον επαληθεύεται ο Ορισμός 7 4 ii) Η συνάρτηση F( ) = + 5 είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = 4 + 5

iii) Μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( ) = cos( ) είναι η συνάρτηση F( ) = si( ) Επίσης, F( ) = si( ) είναι μία αντιπαράγωγος της f( ) = cos( ) Πρόταση 7 Αν F'( ) = 0, για κάθε (, ), τότε F( ) = c, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός Απόδειξη: Έστω, (, ) με < Από την υπόθεση, η F ως παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ) είναι και συνεχής στο ίδιο διάστημα (βλέπε, Πρόταση 5 ) και σε κάθε υποδιάστημα της μορφής (, ) Επομένως, για τη συνάρτηση F στο διάστημα [, ] ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (βλέπε, Θεώρημα 5), οπότε υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε να ισχύει: F( ) F( ) = F'( ξ )( ) (7) Επειδή από την υπόθεση προκύπτει F '( ξ ) = 0 η ισότητα στην (7) δίνει F( ) = F( ), για κάθε (, ) Αυτό δηλώνει ότι η F είναι σταθερή συνάρτηση, δηλαδή F( ) = c, για κάποιο c Εφαρμογή 74 Αν για τις συναρτήσεις F και G ισχύει F ( ) = G ( ) για κάθε (, ), τότε για κάποιο c F ( ) = G ( ) + c, Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπτει εύκολα από την Πρόταση 7, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση H ( ) = F ( ) G ( ) Παρατηρήσεις 75 i) Από την Εφαρμογή 74, συμπεραίνουμε ότι, αν F είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f, τότε κάθε συνάρτηση της μορφής F( ) + c, όπου c είναι μία πραγματική σταθερή συνάρτηση, αποτελεί επίσης μία αντιπαράγωγο της f Δηλαδή, η αντιπαράγωγος μίας συνάρτησης f δεν ορίζεται με μοναδικό τρόπο και όλες οι αντιπαράγωγοι διαφέρουν μεταξύ τους κατά τη σταθερά c ii) Η υπόθεση για την παραγωγισιμότητα των συναρτήσεων F και G στο διάστημα (, ) στην Πρόταση 7 είναι απαραίτητη και δεν μπορεί να παραληφθεί Πράγματι, αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f( ) =, για κάθε I I =,,4 και τις συναρτήσεις τότε Όμως, με ( ) ( ) F( ) =, για κάθε I, και G ( ) = F'( ) = G'( ) = f( ), για κάθε I 0, αν (,) G ( ) F ( ) =,, αν (,4), αν [, ] +, αν [, 4] δηλαδή, δεν υπάρχει μοναδική πραγματική σταθερή συνάρτηση c τέτοια ώστε G ( ) = F ( ) + c, για κάθε I

Ορισμός 76 Έστω ένα διάστημα Ι υποσύνολο του, και f : I Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της f στο Ι ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα (idefiite itegrl) της f στο Ι και συμβολίζεται με f ( ), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή της f στο Ι Επομένως, αν F παριστάνει μία αντιπαράγωγο της f, τότε (7) f ( ) = F ( ) + c, c Η συνάρτηση f ονομάζεται ολοκληρωτέα ή υπό ολοκλήρωση συνάρτηση και είναι το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής, (βλέπε, Κεφάλαιο 5) Από τον Ορισμό 76 και την (7) είναι φανερό ότι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων αποτελούν συναρτήσεις των οποίων η γραφική παράσταση είναι μετατοπισμένη κατά τη σταθερή c από τη γραφική παράσταση της αντιπαραγώγου F( ) κατά μία διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα y ' Oy Επιπλέον μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι εφαπτόμενες των καμπυλών F( ) + c στο σημείο είναι παράλληλες, επειδή η παράγωγος όλων των αντιπαραγώγων της f έχουν την ίδια τιμή στο σημείο με τετμημένη και είναι ίση με ( ) F( ) + c ' = f( ) Παράδειγμα 77 Αν η αρχική θέση ενός σώματος είναι s = 0, να βρεθεί η θέση του, όταν η ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t είναι v= 9,8t+ 5 Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα v ενός σώματος, που κινείται ευθύγραμμα, είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος s στη μονάδα του χρόνου Δηλαδή, ds vt () = s'() t =, dt όπου st () η συνάρτηση η οποία δίνει την απόσταση του σώματος συναρτήσει του χρόνου t από ένα αρχικό σημείο Επομένως, ds s'( t) 9,8t 5 dt = = + Αναζητούμε τη συνάρτηση st () της οποίας η παράγωγος δίνεται από την παραπάνω σχέση Αναζητούμε, δηλαδή, το αόριστο ολοκλήρωμα v() t dt της συνάρτησης vt ( ) = 9,8t+ 5 και συγκεκριμένα, εκείνη την αντιπαράγωγο Avt ( ()), η οποία ικανοποιεί την αρχική συνθήκη s (0) = 0 Από τις ιδιότητες της παραγώγισης, είναι φανερό ότι 9,8 st ( ) = A( 9,8t+ 5) = t + 5t+ c, c 9,8 ή s() t = v() t dt = t + 5t + c Για να ικανοποιείται και η αρχική συνθήκη θα πρέπει 9,8 s(0) = 0 + 5 0 + c= 0 c= 0 Τελικά, η ζητούμενη συνάρτηση st () είναι ds Σημείωση Εξισώσεις σαν την 9,8t 5 st ( ) = 4,9t + 5t+ 0 dt = + ή ( 9,8 5) ds = t + dt ονομάζονται διαφορικές εξισώσεις, οι λύσεις των οποίων ως προς την άγνωστη συνάρτηση (στο Παράδειγμα 77 είναι η st ()) δίνονται με τη βοήθεια αορίστων ολοκληρωμάτων, (βλέπε, Κεφάλαιο 8) Όταν υπάρχει και αρχική συνθήκη, (όπως η s (0) = 0 ) λέμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών ή συνθηκών

Η επόμενη πρόταση αναφέρεται στη γραμμική ιδιότητα του αόριστου ολοκληρώματος Πρόταση 78 Αν f και g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα Ι του και έχουν αόριστα ολοκληρώματα στο Ι και, (όχι και οι δύο μηδέν), τότε η συνάρτηση f + g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι και ισχύει ( ) f ( ) + g( ) = f ( ) + g( ) Απόδειξη: Εφαρμόζοντας τους Ορισμούς 7 και 76 η απόδειξη προκύπτει άμεσα Στην επόμενη εφαρμογή γενικεύεται η ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος για περισσότερες από δύο συναρτήσεις Εφαρμογή 79 Αν c, c,, c και για τις συναρτήσεις f, f,, f υπάρχουν οι αντιπαράγωγοί τους, τότε c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ) = c f ( ) + c f ( ) + + c f ( ) ( ) Απόδειξη: Η απόδειξη προκύπτει από την Πρόταση 78 με τη βοήθεια της μαθηματικής επαγωγής Κάθε φορά που εφαρμόζεται είτε η Πρόταση 78 είτε η Εφαρμογή 79 κατά τον υπολογισμό αορίστου ολοκληρώματος, δεν είναι αναγκαίο να γράφεται η σταθερά που προκύπτει σε κάθε επιμέρους αόριστο ολοκλήρωμα, επειδή το άθροισμα τελικά όλων των επιμέρους σταθερών είναι ξανά μία σταθερά, η οποία γράφεται μία φορά στο τέλος της συνολικής ολοκλήρωσης Δίνουμε παρακάτω τα αόριστα ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων, τα οποία προκύπτουν από τις παραγωγίσεις των αντίστοιχων συναρτήσεων: 70 Πίνακας ολοκλήρωσης στοιχειωδών συναρτήσεων 0 = c, c = + c, + = + c, { } + 4 = l + c, 0 5 + f ( ) f ( ) f '( ) = + c, { } + 6 '( ) f = l f ( ) + c, f( ) 0 f( ) 7 8 9 0 e = e + c, = + c, 0<, l si( ) = cos( ) + c, cos( ) = si( ) + c, 4

t( ) = l cos( ) + c cot( ) = l si( ) + c 4 t( ) cos ( ) = + c π π, kπ, kπ + k, (( k ) π, kπ) cot( ) si ( ) = + c 5 rcsi( ) c si ( ) c = + = +, k, (,) 6 = rc t( ) + c = t ( ) + c, + 7 sih( ) = cosh( ) + c και cosh( ) = sih( ) + c, 8 9 th( ) cosh ( ) = + c + και coth( ) sih ( ) = + c ( ) = + = + + + sih ( ) c l c 0 cosh ( ) = + c, [,], Παραδείγματα 7 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) p( ), όπου p( ) = + + + + 0, i, 0 i ii) 7 + 5 5 iii) iv) 5 + v) vi) 4 + si ( ) cos ( ) i) Εφαρμόζοντας την Εφαρμογή 79 και τον τύπο () του Πίνακα 70 έχουμε p( ) = + + + + = ( 0) = + + + + = 0 + = + + + + 0 + c, c + Ακολουθώντας τον παραπάνω τρόπο υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα οποιασδήποτε πολυωνυμικής συνάρτησης ii) Εφαρμόζοντας τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = και f( ) = 7 + 5 έχουμε: 5

+ ( ) ( ) 7 5 7 5 + + 7 + 5 = ( 7 + 5 )' 7 + 5 = + c = + c, c 4 4 + iii) Εφαρμόζοντας την Πρόταση 78 και τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = και f( ) = έχουμε: 5 ( ' ) 5 5 = 5 = 5 = ( )' = + c, c iv) Εφαρμόζοντας τον τύπο (6) του Πίνακα 70 έχουμε: ( 5 + ' ) = = l 5 + + c 5+, c 5 5+ 5 v) Εφαρμόζοντας την Πρόταση 78 και στη συνέχεια τον τύπο (6) του Πίνακα 70 έχουμε 4 4+ = = = 4+ 4 4+ 4 4+ 4 + 4 = 4 + = + = 4+ 4+ 4 4 4 4+ ( 4 + ' ) = + = + l 4 + + c, c 4 6 4 + 4 6 vi) Επειδή si ( ) + cos ( ) =, εφαρμόζοντας τους τύπους () και (4) του Πίνακα 70 και την Πρόταση 78 έχουμε: si ( ) + cos ( ) = = si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) si ( ) cos ( ) = + = = + cos ( ) = si ( ) = t( ) cot( ) + c, c Επειδή οι ιδιότητες της παραγώγου του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων δίνουν πολύπλοκο τύπο, το αόριστο ολοκλήρωμα τέτοιων συναρτήσεων απαιτεί ανάπτυξη μεθοδολογίας τέτοιας ώστε στο αρχικό αόριστο ολοκλήρωμα να μπορεί να εφαρμοστεί η ιδιότητα της γραμμικότητας του αόριστου ολοκληρώματος για τις βασικές συναρτήσεις (βλέπε, Πρόταση 78 και Πίνακα 70) Έτσι, στις επόμενες ενότητες παρουσιάζουμε τις σημαντικότερες μεθόδους υπολογισμού αορίστου ολοκληρώματος, που είναι: μέθοδος της αντικατάστασης, μέθοδος της κατά παράγοντες ολοκλήρωσης, μέθοδος ολοκλήρωσης ρητών συναρτήσεων, μέθοδος ολοκλήρωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων, και μέθοδος αναγωγής σε ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων 6

7 Μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση Έστω η συνάρτηση f : I ορισμένη και συνεχής στο διάστημα Ι και = gt (), όπου g συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ' κι επομένως Έτσι, I, τέτοιο ώστε g( I' ) I ( ) ( ) ( ) F g '() t = F' gt () g'() t = f gt () g'() t ( ) ( ) Αν F είναι μία αντιπαράγωγος της f, τότε f g() t g '() t dt = F g() t + c = F( ) + c = f ( ) ( ) f g () t g '() t dt = f ( ) (7) Η σχέση (7) μας επιτρέπει αντί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα f ( ) να υπολογίσουμε το f ( g() t ) g '() t dt, το οποίο προκύπτει αν αντικαταστήσουμε την αρχική ανεξάρτητη μεταβλητή με = gt (), με σκοπό το τελευταίο ολοκλήρωμα να είναι πιο εύκολο στον υπολογισμό του από ό,τι το αρχικό Παρατηρήσεις 7 i) Επειδή g () t dt = d ( g() t ), η σχέση (7) μπορεί να γραφεί κι ως f ( g () t ) g '() t dt = f ( g () t ) dg () t = f ( ) (7) ii) Η συνάρτηση gt () = μέσω της οποίας αλλάζουμε τη μεταβλητή από σε t πρέπει να είναι - Και αυτό γιατί, το ολοκλήρωμα f ( g () t ) g '() t dt είναι μία συνάρτηση (αντιπαράγωγος) του t, ενώ το αρχικό ολοκλήρωμα ζητείται ως συνάρτηση του Έτσι, αν G είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f( gt ()) g'() t, τότε f ( g () t ) g '() t dt = G () t + c Επειδή η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη, αφού είναι -, έχουμε t = g ( ), οπότε f ( g() t ) g '() t dt = G() t + c = G( g ( ) ) + c, όπου ( ) G g ( ) = F( ) μία αντιπαράγωγος της f iii) Κατά τη διαδικασία αλλαγής μεταβλητής για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος f ( ) ακολουθούμε τα ακόλουθα βήματα: Βήμα Επιλέγουμε κατάλληλη συνάρτηση g, η οποία είναι παραγωγίσιμη και αντιστρέψιμη, θέτουμε = gt () (το σύμβολο της νέας μεταβλητής μπορεί να είναι u, v, y, z ή όποιο άλλο θελήσουμε) Η επιλογή της g δεν είναι μοναδική (βλέπε, Παράδειγμα 7 (i)) Βήμα Αντικαθιστούμε την «παλιά» μεταβλητή στο f ( ) καθώς και το διαφορικό από τη σχέση = g () t dt Βήμα Υπολογίζουμε το f ( g () t ) g '() t dt και στο τέλος θέτουμε t = g ( ) Παραδείγματα 7 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) 5 ii) 7 + iii) l iv) e 7

i) Θέτουμε t = 5, άρα t + 5 = gt () = Τότε dt = ( 5) = Από τον τύπο (5) του Πίνακα 70 για = το ολοκλήρωμα γράφεται : dt = = dt = ( t ) dt = t + c 5 t t, c Επειδή t = 5 (και η g είναι αντιστρέψιμη (γιατί;)), προκύπτει τελικά ότι 5 5 = + c, c Παρατήρηση: Θα μπορούσαμε, επίσης, να κάνουμε την αντικατάσταση t = 5 (για ( 5) dt = = 5 = t Επομένως, t = dt = dt = t + c = 5 + c 5 t ii) Θέτουμε = t, άρα, c = = () Τότε dt = ( ) = = t dt, t gt επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται: t t 7+ t 7 7+ t 7 dt = dt = dt = dt dt = dt 4 dt 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t 7+ t Από την ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων το παραπάνω ολοκλήρωμα ισούται με t dt = t 4l 7 + t + c = 4l 7 + + c, c 7 + t t iii) Θέτουμε t = l, άρα = e = gt () Τότε dt =, επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται = dt l t c l l c l = = + = + l, c t iv) Θέτουμε = t, οπότε dt = και επομένως το ολοκλήρωμα γράφεται 5 > ), οπότε t t e = e = e dt = e + c = e + c, c Εφαρμογή 7 i) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν υπολογίζονται, θέτοντας = si( t), όπου >, 0 ii) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν υπολογίζονται, θέτοντας = cosh( t), όπου >, 0 Απόδειξη: i) Έστω ότι I =, με >, 0 Θέτουμε = si( t), οπότε t = si (για κατάλληλα ) και d( ) = d ( si( t) ) = cos( t) dt = cos( t) dt 8

Επίσης ( ) t t t = si ( ) = si ( ) = cos ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και επειδή > 0 καταλήγουμε: I = cos( t) dt = dt t c si c cos ( t) = + = +, c Παρατήρηση: Όταν το ριζικό βρίσκεται στο παρονομαστή, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε και τον τύπο (5) του Πίνακα 70 Δηλαδή, μπορούμε να θέσουμε = t, οπότε = dt και = t = t, > 0 Έτσι, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και εφαρμόζοντας τον τύπο (5), έχουμε I = dt = dt si ( t) c si c t = + = + t, c ii) Έστω ότι I =, με >, 0 Θέτουμε = cosh( t), οπότε d( ) = ( cosh( t) ) dt = sih( t) dt = sih( t) dt, και = cosh ( t) = cosh ( t) = sih ( t) ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και επειδή > 0 καταλήγουμε: I = sih ( t) sih( t) dt = sih ( t) dt cosh( ) Επειδή sih ( ) = (βλέπε, Εφαρμογή 66) και ( sih( ) ) = cosh( ), έχουμε cosh( t) ( ) I = dt cosh( t) dt dt sih( t) t c sih( t) t c = = + = + = 4 = sih cosh cosh + c, c 4 Ανάλογα εργαζόμαστε για το ολοκλήρωμα I =, που αφήνεται ως άσκηση Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) I = ii) I = 4 9 i) Θέτουμε = si( t), οπότε 9

Επιπλέον, t si = και = cos( t) dt ( ) 4 4 4si ( ) 4 si ( ) 4cos ( ) cos( ) = t = t = t = t Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα () από το Τυπολόγιο 58 έχουμε: 4si ( t) cos( t) I = cos( t) dt = 4 si ( t) dt 4 dt ( dt cos( t) dt) cos( t) = = = dt cos( t) dt = t si( t) + c = = + c c si si si, ii) Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση περιέχει το ριζικό 9 το οποίο είναι της μορφής και σύμφωνα με την Εφαρμογή 7 (ii) θέτουμε = cosh( t) και ακολουθώντας τα βήματα της απόδειξης της Εφαρμογής 7 (ii) καταλήγουμε I = = t + c = cosh c + 9, c Ένας άλλος τρόπος απόδειξης μπορεί να προκύψει από την εφαρμογή του τύπου (0) του Πίνακα70, επειδή το ριζικό 9 βρίσκεται στον παρονομαστή Συνεπώς, αν θέσουμε = u έχουμε: = du και = = 9 9u 9 u Επομένως μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα έχουμε: I = du = du = cosh ( u) + c = cosh c + u u, c Από τον Ορισμό 67 μπορούμε ακόμη να γράψουμε, για 0, ότι I = l + + c= l + 9 + c 9, c Εφαρμογή 75 i) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν τη συνάρτηση υπολογίζονται, θέτοντας = sih( t) +, με >, 0, Να αποδείξετε ότι: l I = = c + + + +, >, 0, c ii) Αόριστα ολοκληρώματα, που περιέχουν τη συνάρτηση +, με,, υπολογίζονται, θέτοντας = t( t) Να αποδείξετε ότι: t = = +, I c με c,, + 0

Απόδειξη: i) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I = + >, 0 Θέτουμε = sih( t), οπότε t = sih (για κατάλληλα ) και = cosh( t) dt = cosh( t) dt Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την ταυτότητα > 0 μπορούμε να γράψουμε: cosh ( t) sih ( t) = +, (βλέπε, Εφαρμογή 66 (i)) και επειδή ( ) t t + = sih ( ) + = cosh( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο I = cosh( t) dt = dt t c sih c cosh( t) = + = +, c Για κάθε σύμφωνα με τον Ορισμό 6 και την (64) το παραπάνω ολοκλήρωμα γράφεται +, c I = = sih + c = l + + + c ii) Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I =, με, + Θέτουμε = t( t), οπότε t = t και = dt = dt cos ( t) cos ( t) Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα () από το Τυπολόγιο 58 έχουμε: + = t ( t) + = ( t ( t) + ) = cos ( t) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο t I = dt = dt t c t c cos ( t) = + = = +, c cos ( t) Παραδείγματα 76 Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα Παρατηρούμε ότι I = 4 + 4 + 5 ( ) 4 + 4+ 5 = + +, συνεπώς, η ολοκληρωτέα συνάρτηση παίρνει τη μορφή των συναρτήσεων της Εφαρμογής 75 Θέτουμε + = sih( t) από όπου προκύπτει d( + ) = d(sih( t)) = cosh( t) dt Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα cosh ( t) sih ( t) = +, (βλέπε, Εφαρμογή 66 (i)) έχουμε:

( ) ( ) + + = 4sih ( t) + 4 = 4 + sih ( t) = cosh ( t) = cosh( t) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα και εφαρμόζοντας τον τύπο (7) του Πίνακα 70 και την ταυτότητα (iv) της Εφαρμογής 66, αυτό μετασχηματίζεται στο + cosh( t) I = cosh( t) cosh( t) dt = cosh ( t) dt = dt = sih( t) = dt + cosh( t) dt = t + + c = + + = sih + sih sih + c, c Παρατήρηση: Χρησιμοποιήσαμε τη δεύτερη μορφή αντικατάστασης επειδή καθιστά ευκολότερο τον υπολογισμό του δοσμένου ολοκληρώματος Αν θέταμε + = t( t), τότε d( + ) = d( t( t)) = dt cos ( t) και + + = + = + = = ( ) t ( t ) 4 t ( ) 4 4 t ( ) cos ( t ) cos( t ) Σε αυτήν την περίπτωση το αρχικό ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται στο I = dt = dt cos( t) cos ( t) cos ( t), το οποίο είναι δυσκολότερο στον υπολογισμό του συγκριτικά με την παραπάνω αντικατάσταση Στην Ενότητα 75, θα προτείνουμε μία μέθοδο υπολογισμού αυτών των ολοκληρωμάτων Στη συνέχεια μελετώνται τριγωνομετρικά ολοκληρώματα, που έχουν τουλάχιστον έναν από τους εκθέτες των si( ),cos( ) περιττό φυσικό αριθμό Η περίπτωση, όπου οι δύο εκθέτες είναι άρτιοι μελετάται στην Ενότητα 75 Εφαρμογή 77 i) Αόριστα ολοκληρώματα της μορφής si k + m I = ( )cos ( ), km,, υπολογίζονται, θέτοντας t = cos( ) ii) Αόριστα ολοκληρώματα της μορφής k+ J = si ( )cos ( ), k,, υπολογίζονται, θέτοντας t = si( ) Απόδειξη: i) Το ολοκλήρωμα Ι γράφεται: k+ m k m I = si ( )cos ( ) = si ( )cos ( )si( ) Θέτουμε t = cos( ), από όπου προκύπτει dt = d(cos( )) = (cos( )) = si( ) dt = si( ) Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: k si ( ) = si ( ) = cos ( ) = t ( ) ( ) ( ) k k k Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα Ι, αυτό μετασχηματίζεται στο k+ m k m I = si ( )cos ( ) = t t dt ( )

Για τις διάφορες τιμές των φυσικών αριθμών k, m, στο I η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι πολυωνυμική με ανεξάρτητη μεταβλητή t βαθμού k + m και υπολογίζεται σύμφωνα με το Παράδειγμα 7(i) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή t με t = cos( ) ii) Ανάλογα εργαζόμαστε για το ολοκλήρωμα J Θέτουμε t = si( ), από όπου προκύπτει Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: dt = d(si( )) = si( ) = cos( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k cos ( ) = cos ( ) = si ( ) = t Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο ολοκλήρωμα J, αυτό μετασχηματίζεται στο k+ k k si ( )cos ( ) si ( )cos ( )cos( ) ( ) J = = = t t dt Για τις διάφορες τιμές των φυσικών αριθμών k,, στο J η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι πολυωνυμική με ανεξάρτητη μεταβλητή t βαθμού k + και υπολογίζεται σύμφωνα με το Παράδειγμα 7(i) Στη συνέχεια, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή t με t = si( ) Παράδειγμα 78 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα Θέτουμε t = cos( ), οπότε έχουμε 4 I si ( )cos ( ) = dt = si( ) dt = si( ) Επιπλέον μπορούμε να γράψουμε: si ( ) = si ( )si( ) = cos ( ) si( ) ( ) Επομένως, μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αρχικό ολοκλήρωμα, αυτό μετασχηματίζεται στο 4 4 I = ( cos ( ) ) cos ( )si( ) = ( t ) t dt = 5 7 5 7 4 6 t t cos ( ) cos ( ) = ( t t ) dt = + + c = + + c, c 5 7 5 7

7 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ένας τρόπος υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων, όταν η μέθοδος αλλαγής μεταβλητής δεν συμβάλλει στον υπολογισμό τους Η μέθοδος ανάγει ένα ολοκλήρωμα της μορφής f dg σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής g df, όπου f, g συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής Πρόταση 7 Έστω f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις ορισμένες σ ένα διάστημα Ι Αν η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι, τότε η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο Ι και ισχύει f( ) g ( ) = f( ) g( ) f ( ) g( ) (7) Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f g έχει αόριστο ολοκλήρωμα στο διάστημα Ι και έστω F μία αντιπαράγωγος αυτής Τότε F ( ) = f ( ) g ( ) Σύμφωνα με τον Ορισμό 75 έχουμε f g f( ) g ( ) = { f g F + c: c } Έστω G f g f ( ) g( ) = { f g F + c: c }, οπότε G = f g F + c, για κάποια σταθερή c Τότε G ( ) = ( f( ) g( ) ) F ( ) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) f ( ) g( ) = f( ) g ( ) Η τελευταία ισότητα σημαίνει ότι η συνάρτηση G είναι μία αντιπαράγωγος της συνάρτησης f g, δηλαδή G f g Επομένως, { } f g f ( ) g( ) = f g F + c : c f ( ) g ( ) (7) Έστω H μία αντιπαράγωγος της f g, δηλαδή, H f ( ) g ( ) και H ( ) = f( ) g ( ) = f ( ) g ( ) + f( ) g ( ) f ( ) g ( ) = = ( f( ) g ( )) f ( ) g ( ) = ( f( ) g ( )) F ( ), όπου F μία αντιπαράγωγος της f ( ) g ( ) Δηλαδή, υπάρχει σταθερή c τέτοια ώστε H = f g F + c, το οποίο υποδηλώνει ότι H f g f ( ) g( ) Άρα, f ( ) g ( ) f g f ( ) g( ) (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις στην (7) και (7) με τον Ορισμό 7 συμπεραίνουμε την ισχύ της (7) Παρατηρήσεις 7 i) Η Πρόταση 7 αναφέρεται σε ολοκλήρωση γινομένου δύο συναρτήσεων, όπου η μία εκ των δύο είναι η παράγωγος μίας γνωστής συνάρτησης Επειδή d ( g( ) ) = g ( ), ο τύπος (7) ανάγει ένα ολοκλήρωμα της μορφής f dg στο ολοκλήρωμα g df του οποίου ο υπολογισμός είναι (πιθανώς) ευκολότερος ii) Σε ένα ολοκλήρωμα της μορφής u( ) v( ), όπου είναι εύκολο να γράψουμε u ( ) = f ( ) και v ( ) = g ( ), ο τύπος στην (7) μπορεί να εφαρμοστεί είτε f ( ) v( ) είτε u( ) g ( ) iii) Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες και η εφαρμογή της (7) μπορεί να χρησιμοποιηθεί όσες φορές χρειάζεται προκειμένου να καταλήξουμε σε απλοποιημένη μορφή ολοκληρώματος (βλέπε, Παράδειγμα 7 (ii)) 4

Παραδείγματα 7 i) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = cos( ) Είναι γνωστό ότι cos( ) ( si( )) έχουμε =, οπότε σύμφωνα με τον τύπο (7) της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες, I = cos( ) = si( ) = si( ) si( ) = ( ) = si( ) si( ) = si( ) + cos( ) + c, c Παρατήρηση Αν κάποιος, αξιοποιώντας την Παρατήρηση 7 (ii), ορθά γράψει: I = cos( ) cos( ) ( cos( ) ) = = cos( ) ( si( ) ) = = cos( ) + si( ) cos( ) I, = + όπου I = si( ), τότε πρέπει να υπολογίσει το I Στη συνέχεια ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία με την παραπάνω για τον υπολογισμό του I, αν γράψει I = si( ) si( ) ( si( ) ) si( ) cos( ) = = = 6 6 6 6 = si( ) I, 6 όπου I = cos( ), τότε πρέπει να υπολογίσει το I, που για τον υπολογισμό του απαιτείται ένα 6 4 ολοκλήρωμα της μορφής I = cos( ) Όπως είναι φανερό, η παραπάνω υπολογιστική διαδικασία 4 είναι ατέρμονη, επειδή οι δυνάμεις της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνονται διαρκώς, αν και η εφαρμογή του τύπου (7) είναι ορθή Επομένως, μπορούμε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) cos( ), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας του συνημιτόνου και όχι της πολυωνυμικής συνάρτησης ii) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = e Εφαρμόζοντας δύο φορές τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: I = e = e e = e e = ( ) ( ) ( ) ( ) = e e = e e ( ) e = e e + e = = e e + e + c, c Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του f ( ) ολοκληρώματος I = p( ) e, όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της εκθετικής συνάρτησης και εφαρμογή του (7) τόσες φορές όσες και ο βαθμός της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) iii) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = e cos( ) Επειδή ( ) = και ( e ) si( ) cos( ) = έχουμε διπλή δυνατότητα για τη χρήση του τύπου (7) Εφαρμόζοντας δύο φορές τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: e 5

( ) ( ) I = e si( ) = e si( ) e si( ) = e si( ) e si( ) = = e si( ) e cos( ) = e si( ) + e cos( ) = ( ) ( ) ( ) = e si( ) + e cos( ) + c e cos( ) = ( ) ( ) = e si( ) + cos( ) + c e cos( ) = e si( ) + cos( ) + c I Άρα, το αρχικό ολοκλήρωμα Ι επανεμφανίζεται, οπότε I = e ( si( ) + cos( ) ) + c I I = e ( si( ) + cos( ) ) + c I = e ( si( ) + cos( ) ) + c, c, όπου c= c Στην ίδια απάντηση θα καταλήγαμε αν χρησιμοποιούσαμε εξαρχής το ( e ) = στην εφαρμογή του (7) iv) Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = l Επειδή = το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί ως I = l Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: I = l l ( l ) = = l = l = l + c, c Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) l( f ( )), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, αρχικά απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) ii) Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα I = t ( ) Όπως στο προηγούμενο Παράδειγμα 7(iv) μπορούμε να γράψουμε: ( )' I = t ( ) t ( ) ( t ( ) = ) = t ( ) = + 4 ( + 4 ) = t ( ) t ( ) l ( 4 ) c, c 4 = + + + 4 4 Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η εφαρμογή του τύπου (7) κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I = p( ) t ( f ( )), όπου p ( ) πολυωνυμική συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής, αρχικά απαιτεί τον υπολογισμό της παράγουσας της πολυωνυμικής συνάρτησης p ( ) e Εφαρμογή 74 Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: si ( ) cos( ) + ( ) I I = si ( ) = (74) Απόδειξη: Επειδή (cos( )) = si( ), από τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε: 6

I = si ( ) = si ( )si( ) ( ) = si ( ) si( ) = ( ) = si ( ) cos( ) = = si ( )cos( ) + ( ) si ( )cos ( ) = ( ) = si ( )cos( ) + ( ) si ( ) si ( ) = = si ( )cos( ) + ( ) si ( ) ( ) si ( ) = = si ( )cos( ) + ( ) I ( ) I Επομένως, για κάθε έχουμε: si ( )cos( ) + ( ) I I + ( ) I = si ( )cos( ) + ( ) I I = Εφαρμογή 75 Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: I = = + I ( ), (75) + + ( ) με I c ( ) ( ) t = = +, c + Απόδειξη: Για κάθε το ολοκλήρωμα I μπορεί να γραφεί: I = ( + ) Εφαρμόζοντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες (7) έχουμε: ( + ) I = = + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Για το τελευταίο ολοκλήρωμα στην (76) έχουμε: + α α + = = = + + + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) (76) = = I I + + ( + ) ( + ) Αντικαθιστώντας την τελευταία ισότητα στην (76) έχουμε I = + ( I I ) = + I I ( + ) ( + ) ή ισοδύναμα, λύνοντας ως προς I + : I + + = + I ( + ) + Επειδή, την παραπάνω ισότητα μπορούμε να την γράψουμε I = + I ( ) ( + ) ( ) Για =, σύμφωνα με την Εφαρμογή 75 (ii) είναι φανερό ότι I = = t c, + c, + το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη Οι τύποι (74) και (75) ονομάζονται αναγωγικοί (ή αναδρομικοί) τύποι, 7

74 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων ρητών P ( ) συναρτήσεων, δηλαδή πηλίκων της μορφής, όπου P ( ), Q ( ) είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις Q ( ) Διάφορα ολοκληρώματα, όπως εκείνα αρκετών τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ανάγονται σε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων και επομένως, είναι σημαντική η γνώση του υπολογισμού τους Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων ρητών συναρτήσεων βασίζεται στην ανάλυση μίας ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων, δηλαδή κλασμάτων της μορφής: A A + B και, όπου m, και p 4q< 0 ( r) m ( + p + q ) Η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων σε συνδυασμό με την ιδιότητα της P ( ) γραμμικότητας του ολοκληρώματος ανάγει τον υπολογισμό του στους υπολογισμούς απλούστερων Q ( ) ολοκληρωμάτων όπως είναι ( r), και A + B Συμβολίζουμε με degp() (αντ degq()) m ( + p + q) το βαθμό του αντίστοιχου πολυωνύμου P() (αντ του Q()) Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Ι) deg P ( ) deg Q ( ) και ΙΙ) deg P ( ) < deg Q ( ) Ι) deg P ( ) deg Q ( ) Η περίπτωση αυτή ανάγεται στην περίπτωση (ΙΙ) μετά τη διαίρεση πολυωνύμων P ( ): Q ( ) Επειδή deg P ( ) deg Q ( ) στη διαίρεση P ( ): Q ( ) αντιστοιχεί, ως γνωστό, ένα πηλίκο π ( ) και ένα υπόλοιπο υ ( ), που οι βαθμοί ικανοποιούν τη συνθήκη 0 deg υ( ) < deg Q ( ) και τα πολυώνυμα συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη ισότητα P ( ) = Q ( ) π( ) + υ( ) από όπου προκύπτει: P ( ) υ( ) = π ( ) + Q ( ) Q ( ) Επομένως, P ( ) υ( ) ( ) ( ) υ = ( ) Q ( ) π + = π + Q ( ) Q ( ) (74) Η ολοκλήρωση π ( ) αφορά την πολυωνυμική συνάρτηση π ( ) και είναι απλή (βλέπε, Παράδειγμα υ( ) 7 (i)) Η ολοκλήρωση είναι μία ολοκλήρωση ρητής συνάρτησης, που εντάσσεται στην Q ( ) περίπτωση (ΙΙ), επειδή 0 deg υ( ) < deg Q ( ), η οποία εξετάζεται στη συνέχεια ΙΙ) deg P ( ) < deg Q ( ) P ( ) Ο υπολογισμός του, όταν deg P ( ) < deg Q ( ), απαιτεί τα ακόλουθα βήματα: Q ( ) Βήμα : Ανάλυση του πολυωνύμου Q ( ) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ( r) m, r είναι ρίζα του Q, ( ) και δευτεροβαθμίων παραγόντων ( + p + q), όταν p 4q< 0 Βήμα : Σε κάθε παράγοντα της μορφής ( r) m, r είναι ρίζα του Q, ( ) αντιστοιχεί το άθροισμα των μερικών (ή απλών) κλασμάτων ως εξής: m A A A Am ( r) + + + +, όπου A m, A,, Am r r r r ( ) ( ) ( ) 8

Σε κάθε παράγοντα της μορφής ( p q) + + με p 4q< 0 αντιστοιχεί το άθροισμα των μερικών κλασμάτων ως εξής: B+ C B+ C B+ C B + C ( + p + q) + + + + + p + q + p + q + p + q + p + q, ( ) ( ) ( ) όπου Bi, Ci, i=,,, Βήμα : Επειδή, από την Άλγεβρα είναι γνωστό ότι, κάθε ρητή συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως άθροισμα μερικών κλασμάτων, τέτοιων όπως στο Βήμα, απαιτείται το άθροισμα όλων των μερικών κλασμάτων να P ( ) ισούται με τη ρητή συνάρτηση Μετά την άθροιση των μερικών κλασμάτων (κάνοντας πρώτα Q ( ) ομώνυμα τα κλάσματα), προκύπτει ρητή συνάρτηση με παρονομαστή Q ( ) Επομένως, η προηγούμενη απαίτηση, εξισώνει δυο ρητές συναρτήσεις με ίδιο παρονομαστή, Q, ( ) οπότε πρέπει και οι αριθμητές να είναι ίσοι Δηλαδή, ο νέος αριθμητής, ο οποίος είναι μία πολυωνυμική συνάρτηση, πρέπει να είναι ίσος με P ( ) Η ισότητα των πολυωνύμων οδηγεί σε ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τους συντελεστές Ai, Bj, C j, από όπου υπολογίζονται Βήμα 4: Σύμφωνα με την Εφαρμογή 79 το ολοκλήρωμα ολοκληρωμάτων είτε της μορφής ( r), είτε m A + B ( + p + q) P ( ) μπορεί να γραφεί ως άθροισμα Q ( ), για τους διαφορετικούς φυσικούς αριθμούς m και Εφαρμόζοντας τους τύπους () και (4) του Πίνακα 70 υπολογίζονται τα ολοκληρώματα της πρώτης μορφής:, όταν m m m ( r) = m (74) ( r) l r, όταν m= Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος άθροισμα τετραγώνων όπου (υπενθυμίζεται ότι ισχύει A + B ( + p + q) p p, το πολυώνυμο + p + q γράφεται ως + p + q = + + q = ( + c) + d, c, d, (74) 4 p p d = q, με 4 4q< 0) Θέτοντας u = + c, το αόριστο ολοκλήρωμα είτε σε ολοκλήρωμα της μορφής Πίνακα 70 και ισούται με: p c =, (744) u ( u + c ) 4q p 0 >, (745) A + B ανάγεται: ( + p + q) du, το οποίο υπολογίζεται από τους τύπους (5) και (6) του 9

είτε σε ολοκλήρωμα της μορφής:, όταν u ( ) ( u + c ) du = (746) ( u + c ) l( u + c ), όταν = du (747) ( u + c ) Το αόριστο ολοκλήρωμα στην (747) αντιμετωπίζεται μέσω του αναδρομικού τύπου (75) της Εφαρμογής 75 Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: 4 + 5 i) I = ii) I = + iii) I = ( + ) 4 4 + + iv) I 4 = v) I5 = + + + + i) Επειδή deg P ( ) = deg(4 + 5) < deg Q ( ) = deg( + ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης 4 + 5 + Έχουμε + = + ( ) ( ) Σύμφωνα με το Βήμα στον παράγοντα ( ) αντιστοιχεί άθροισμα δύο μερικών κλασμάτων, (τόσα κλάσματα όση είναι η πολλαπλότητα της ρίζας r =, δηλαδή, ) ( ) A B +, AB, ( ) και στον παράγοντα + αντιστοιχεί ένα απλό κλάσμα C + + Απαιτούμε 4 + 5 A B C A ( )( + ) + B ( + ) + C = + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A+ C) + ( A+ B C) + ( A+ B+ C) = ( ) ( + ) από όπου προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: 4 + 5= ( A+ C) + ( A+ B C) + ( A+ B+ C) Η παραπάνω ισότητα δίνει: A+ C = 4 A= A+ B C = B= A B C 5 + + = C = Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: ( ) 0

4 + 5 = + + + + ( ) Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή των τύπων στην (74) ως ακολούθως: I = + + = + + = ( ) + ( ) + = l + l + + c, c ii) Επειδή deg P ( ) = deg < deg Q ( ) = deg( + ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης ( + ) Ο παρονομαστής ( + ) είναι ένα πολυώνυμο χωρίς πραγματικές ρίζες, οπότε σύμφωνα με το Βήμα η ρητή συνάρτηση γράφεται ως άθροισμα μερικών κλασμάτων ως εξής: A+ B C+ D A + B + ( A + C) + ( B + D) = + = ( + ) + ( + ) ( + ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: = A + B + ( A + C) + ( B + D), το οποίο δίνει: A= A= B 0 = B= 0 A+ C = 0 C = B+ D= 0 D= 0 Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: = + ( + ) + ( + ) Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου στην (746) ως ακολούθως: I = + = = + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) = l( ) c, c = + + + ( + ) + 4 iii) Επειδή deg P ( ) = deg< deg Q ( ) = deg( ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης 4 Έχουμε 4 = ( )( + )( + ) Σύμφωνα με το Βήμα, η ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων έχει τη μορφή:

A B C + D = + + = 4 + + ( + )( + ) + ( )( + ) + ( + )( + )( ) A B C D = = 4 ( A+ B+ C) + ( A B+ D) + ( A+ B C) + ( A B D) = 4 Από την ισότητα των πολυωνύμων προκύπτει: A = A+ B+ C = 0 4 A B + D = 0 B = 4 A+ B C = 0 C = 0 A B D= D = Επομένως, η ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων είναι: = 4 4 4 + + Ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή των τύπων στις (74) και (747) ως ακολούθως: I = = 4 4 + + 4 4 + + = l l + t ( ) + c, c 4 4 iv) Επειδή deg P ( ) = deg< deg Q ( ) = deg( + + + ) ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (ΙΙ) για την ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων της ρητής συνάρτησης + + + Σύμφωνα με το Βήμα, προσπαθούμε να αναλύσουμε το + + + σε γινόμενο πρωτοβάθμιων ή το πολύ δευτεροβάθμιων παραγόντων Εξετάζουμε ποιοι από τους διαιρέτες του σταθερού όρου (δηλαδή τους ±, ± ) αποτελούν ρίζες του πολυωνύμου Επειδή, το - αποτελεί μία (πραγματική) ρίζα του, το + + + διαιρείται ακριβώς δια του + και έχουμε (μετά τη διαίρεση): + + + = ( + )( + + ) Σύμφωνα με το Βήμα, επειδή το + + δεν έχει πραγματικές ρίζες η ανάλυση σε άθροισμα μερικών κλασμάτων έχει τη μορφή: A B + C = = + + + + + + + + + + ( ) ( ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει η ισότητα των πολυωνύμων: = A + + + B + C + = A + B + A + B + C + A + C, ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) από όπου προκύπτει: A = A+ B= 0 A+ B+ C = 0 B= A C + = C = Επομένως, ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος I 4 προκύπτει από την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και την εφαρμογή του (74) ως ακολούθως:

+ I4 = l + = + + I +, (748) + + όπου + I = + + Χρησιμοποιώντας τους τύπους (744) και (745) το τριώνυμο + + μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων και σύμφωνα με την (74) αυτό γράφεται: + + = + + Θέτουμε + = u, οπότε = u και d( ) = d( u ) = du + Μετά από αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων στο αόριστο ολοκλήρωμα I =, + + εφαρμόζοντας την ιδιότητα της γραμμικότητας του ολοκληρώματος και χρησιμοποιώντας τους τύπους (746), (747) και (75) της Εφαρμογής 75 το αόριστο ολοκλήρωμα Ι γράφεται: + + I = = = + + + + u + u + u = du = du = du du + = u + u + u + u + l u t u c l u + t u + c= = + + + = + + = l ( + + ) + t c, c + Επομένως, το αρχικό ολοκλήρωμα της (748) υπολογίζεται μετά την αντικατάσταση του Ι από το παραπάνω αποτέλεσμα, το οποίο ισούται με: + I4 = l + + I = l + l ( + + ) + t c 6 +, c 4 v) Επειδή deg( + + ) = 4 > deg( + ) = ακολουθούμε τη μεθοδολογία που περιγράφηκε (Ι), εκτελώντας αρχικά τη διαίρεση των πολυωνύμων: 4 + + 0 + + 0 + Επομένως, 4 + + + 0 + 0 + 0 + +

4 + + = ( + ) ( + ) + ( + ), από όπου μπορούμε να γράψουμε 4 + + ( ) + = + + + + Εφαρμόζοντας την (74) έχουμε: ( + + ) + I5 = ( + ) + = + + = + + ( + ) = + + = + + = + l( + ) + t ( ) + c, c + Παρατηρήστε ότι, η ρητή συνάρτηση δεν αναλύεται σε άθροισμα απλών κλασμάτων και + προσπαθήσαμε να αξιοποιήσουμε τον πίνακα ολοκλήρωσης στοιχειωδών συναρτήσεων Εφαρμογή 74 Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν ρητή παράσταση της e, θέτουμε t = e, οπότε = l t και = dt και οδηγούμαστε σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του t t Παραδείγματα 74 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: e i) I = ii) I = e e sih( ) cosh( ) i) Πρόκειται για ολοκλήρωμα που περιέχει μία ρητή έκφραση του e Σύμφωνα με την Εφαρμογή 74 θέτουμε t = e και έχουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης: I = dt tt ( ) t Αναλύουμε τη ρητή συνάρτηση σε άθροισμα απλών κλασμάτων: A B C ( A+ Ct ) + ( A+ Bt ) B = = + + = t t t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει: A = A+ C = 0 9 A+ B= 0 B= B = C = 9 Οπότε το ολοκλήρωμα γράφεται: I = l l 9 dt dt dt t t c t + t 9 = + + + = t 9 t 9 = l e + + l e + c= + + l e + c, c 9 e 9 9 e 9 ii) Θέτουμε t = e, οπότε = l t και = dt Από τον ορισμό των υπερβολικών συναρτήσεων (βλέπε, t Ορισμός 6 και 65) έχουμε: 4

t e e t sih( ) t e + e t + = = = και cosh( ) = = t t Επομένως, t t t I = dt = dt = dt = t t + t t 5 ( t 5)( t+ 5) t t = dt + dt = l t 5 + l t + 5 + c = l t 5 + c = t 5 t+ 5 = l e 5 + c, c επειδή, t = + ( t 5)( t+ 5) t 5 t+ 5 Ένας άλλος τρόπος επίλυσης του παραπάνω ολοκληρώματος μπορεί να είναι : t ( t 5 ) I = dt = dt = l t 5 + c t 5 t 5, c Εφαρμογή 744 Για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν μία ρητή παράσταση του και τα +,, c + d θέτουμε + t =, c + d dt από όπου = και, οδηγούμαστε σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης του t ct Γενικότερα, για τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων, τα οποία περιέχουν μία ρητή παράσταση του και των + + +,,, s,,,, s, c + d c + d c + d θέτουμε + t =, όπου είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,,, s c + d Παραδείγματα 745 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: i) I = ii) I = + + + iii) I = + i) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα που περιέχει μία ρητή παράσταση του και του με την Εφαρμογή 744, θέτουμε t t = t = = + + t + και = 4t ( t + ) dt + Σύμφωνα Επομένως, το ολοκλήρωμα I γίνεται: t + 4 t ( ) ( ) t t + + t I = t dt = dt = dt = dt + dt t ( t + ) ( t )( t + ) ( t )( t + ) t t + 5

Επειδή t t t+ dt = dt + dt = l t + l t + + c,, c, και Επομένως, όπου c= c + c t ( ) dt t + = t + c, c t I = l t + l t+ + t ( t) + c = l + t ( t) + c= t + + = + + c c + + + l t,, t ii) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 744, θέτουμε t = +, από όπου = και = t dt Επομένως, t + t I = dt = dt = dt dt = + t + t + t = t l + t + c= + l + + + c, c 6 iii) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 744, επειδή εκπ (,) = 6, θέτουμε = t, από όπου προκύπτει 5 = t dt Τότε το ολοκλήρωμα I γράφεται: 8 t 5 t I = t dt = dt t + t + Επειδή από τη διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει 8 6 4 t = ( t t + t )( t + ) +, από το παραπάνω ολοκλήρωμα έχουμε: 7 5 6 4 t t t I = ( t t + t ) dt + dt = t t ( t) c + + + = t + 7 5 7 5 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) 6 = + + t ( ) 6 + c, c 7 5 6

75 Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων των ακόλουθων μορφών: m Ι) si ( )cos ( ), m, ΙΙ) si( k)cos( l), si( k)si( l) και cos( k)cos( l), kl, ΙΙΙ) ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων των si( ) και cos( ) m Ι) si ( )cos ( ), m, α) Όπως αποδείχθηκε στην Εφαρμογή 77, αν ένας από τους m, είναι περιττός, έστω m= k +, θέτουμε t cos( ) dt = d cos( ) = si( ) dt = si( ) Τότε το αόριστο ολοκλήρωμα γράφεται: =, από όπου ( ) k+ k k ( ) ( ) k ( t ) t dt I = si ( )cos ( ) = si ( )si( )cos ( ) = = si ( ) cos ( )si( ) = cos ( ) cos ( )si( ) = = Το τελευταίο ολοκλήρωμα αφορά μία πολυωνυμική συνάρτηση, το οποίο εύκολα υπολογίζεται Αν = k +, θέτουμε t = si( ), και εργαζόμαστε με ανάλογο τρόπο, (βλέπε, Εφαρμογή 77(ii)) Αν και οι δύο m, είναι περιττοί τότε εκτελούμε την ίδια διαδικασία, όπως παραπάνω, είτε για τον m είτε για τον β) Αν οι m, είναι και οι δύο άρτιοι χρησιμοποιούμε τους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58()) cos( ) + cos( ) si ( ) = και cos ( ) = (75) οι οποίοι υποβιβάζουν τις άρτιες δυνάμεις ΙΙ) si( k)cos( l), si( k)si( l) και cos( k)cos( l), kl, Εφαρμόζοντας τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58(4)) si( k)cos( l) = ( si( k l) + si( k + l) ) (75) si( k)si( l) = ( cos( k l) cos( k + l) ) (75) cos( k)cos( l) = ( cos( k l) + cos( k + l) ) (754) στα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα της (ΙΙ) αυτά γράφονται: (α) si( k)cos( l) = ( si( ) si( )) k l + k + l = = si (( ) ) si (( ) ) k l + k + l = = cos (( k l ) ) cos (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (755) (β) si( k)si( l) = ( cos( ) cos( )) k l k + l = = cos (( ) ) cos (( ) ) k l k + l = = si (( k l ) ) si (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (756) k 7

k l = k l + k + l = = cos (( ) ) cos (( ) ) k l + k + l = = si (( k l ) ) + si (( k+ l ) ) + c, ( k l) ( k + l) c (757) (γ) cos( )cos( ) ( cos( ) cos( ) ΙΙΙ) Όταν έχουμε μία ρητή παράσταση R( si( ), cos( )) των si( ) και cos( ) αξιοποιούμε τους τριγωνομετρικούς τύπους (βλέπε, Τυπολόγιο 58(5)), με τη βοήθεια των οποίων si( ) και cos( ) εκφράζονται συναρτήσει της t, ( ππ, ) : t t si( ) = και cos( ) = (758) + t + t Θέτουμε t = t, από όπου προκύπτουν = t ( t) και = dt, + t οι δε τριγωνομετρικοί αριθμοί στην (758) γράφονται: t t si( ) = και cos( ) = + t + t Επομένως, ένα αόριστο ολοκλήρωμα R( si( ), cos( ) ) εφαρμόζοντας τις παραπάνω αντικαταστάσεις ανάγεται σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης της μεταβλητής t, του οποίου η επίλυση μελετήθηκε στην Ενότητα 74 Παραδείγματα 75 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: 4 i) I = si ( )cos ( ) ii) I = si ( )cos ( ) iii) I = si( )cos(5 ) iv) I4 = cos(7 )cos( ) v) I5 = si( ) + cos( ) i) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (Ι) (α), όπου ο εκθέτης του συνημιτόνου είναι περιττός Επομένως, 4 I = si ( )cos ( )cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) ( ) ( ) Θέτουμε t = si( ), από όπου dt = d(si( )) = cos( ) Τότε το αόριστο ολοκλήρωμα γράφεται: 5 5 4 4 t t si ( ) si ( ) ( ), I = t t dt = t dt t dt = + c = + c c 5 5 Έναν άλλο τρόπο υπολογισμού δείτε στο Παράδειγμα 75(i) ii) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα της περίπτωσης (Ι) (β), όπου οι εκθέτες του ημιτόνου και συνημιτόνου είναι και οι δύο άρτιοι αριθμοί Αρχικά έχουμε 4 4 6 4 6 si ( )( si ( )) (si ( ) si ( )) si ( ) si ( ), όπου I = = = = I I I = και I 4 si ( ) = 6 si ( ) Εφαρμόζοντας τους τριγωνομετρικούς τύπους από την (75) γράφουμε: 8

4 cos( ) cos( ) + cos ( ) + cos(4 ) si ( ) = ( si ( ) ) = = = cos( ) + 4 4 4 Αντικαθιστώντας την παραπάνω ισότητα στο I έχουμε: I = cos( ) ( cos(4 )) si( ) si(4 ) 4 + 8 + = + + + c 4 4 8 4 = si( ) + si(4 ) + c 8 4 Ανάλογα, 6 si ( ) si ( ) cos( ) cos( ) + cos ( ) cos ( ) = ( ) = = = 8 + cos(4 ) = + = + 8 8 8 8 8 8 8 8 cos( ) cos ( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) Αντικαθιστώντας την παραπάνω ισότητα στο I έχουμε: I = cos( ) ( cos(4 )) cos ( ) 8 8 + 6 + 8 = 5 = si( ) + + si(4 ) I = si( ) + si(4 ) I, 8 6 6 64 8 6 6 64 8 όπου I = cos ( ) = cos ( ) cos( ) = ( si ( ) ) cos( ) Θέτοντας t = si( ), έχουμε dt = d(si( )) = cos( ) dt = cos( ), οπότε t si ( ) I = ( si ( ) ) cos( ) = ( t ) dt t c si( ) c = + = + Αντικαθιστώντας το I στο I έχουμε: 5 I = si( ) + si(4 ) + si ( ) + c, 6 4 64 48 c = c Τελικά, αντικαθιστώντας το I, I στο I προκύπτει: 8 I = I I = si(4 ) si ( ) + c, 6 64 48 όπου c= c + c, c με iii) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (ΙΙ) (α), όπου από την (75) για k = και l = 5 ισχύει si( ) cos(5 ) = ( si( ) + si(8 ) ) = si( ) + si(8 ), επειδή, ως γνωστόν si( ) = si( ) Επομένως, εφαρμόζοντας τον τύπο στην (755) έχουμε: I = si( ) cos(5 ) = cos( ) cos(8 ) + c, c 4 6 iv) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα όπως (ΙΙ)(γ), οπότε εφαρμόζοντας τον (757) για k = 7 και l = έχουμε: I4 = cos(7 ) cos( ) = si(5 ) + si(9 ) + c, c 0 8 v) Πρόκειται για ένα αόριστο ολοκλήρωμα μίας ρητής συνάρτησης R( si( ),cos( ) ) = si( ) + cos( ) 9

Όπως αναφέρθηκε στο (ΙIΙ) θέτουμε, t = t, από όπου προκύπτουν t t = t ( t) = t ( t), = dt, και si( ) =, cos( ) = + t + t + t Επομένως, I5 = = dt = dt = si( ) + cos( ) t t + t t + t + + t + t + t = dt = dt = dt = l t + c = l t + c, c t t t Εφαρμογή 75 i) Αόριστα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων, για τις οποίες ισχύει R( si( ),cos( ) ) = R( si( ),cos( ) ), υπολογίζονται θέτοντας t = cos( ) ii) Αόριστα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων, για τις οποίες ισχύει R( si( ), cos( ) ) = R( si( ),cos( ) ), υπολογίζονται θέτοντας t = si( ) Παραδείγματα 75 Να υπολογισθούν τα ακόλουθα αόριστα ολοκληρώματα: si ( ) i) I = si ( )cos ( ) ii) I = cos( ) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση R( si( ), cos( ) ) = si ( )cos ( ) Αν θέσουμε στη θέση του cos( ) το cos( ) έχουμε: R( si( ), cos( ) ) = si ( ) ( cos( ) ) = si ( )cos ( ) = R( si( ), cos( ) ), Σύμφωνα με την Εφαρμογή 75 (ii), για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I, θέτουμε t = si( ) και dt = cos( ) Επομένως, I = si ( )cos ( )cos( ) = si ( ) si ( ) cos( ) = ( )( ) 5 5 t t si ( ) si ( ) = t ( t ) dt = + c = + c, c 5 5 Σύγκρινε με τη μεθοδολογία και το αποτέλεσμα στο Παράδειγμα 75(i) si ( ) ii) Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση R(si( ),cos( )) =, όπου αν θέσουμε το si( ) στη θέση του cos( ) si( ), έχουμε ( ) si ( ) si ( ) R( si( ),cos( )) = = cos( ) cos( ) Σύμφωνα με την Εφαρμογή 75(i), για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα I, θέτουμε t = cos( ), από όπου dt = si( ) Επομένως, 0

si ( ) si ( ) ( cos ( ) ) ( si( )) ( si( ) ) I = = = = cos( ) cos( ) cos( ) t t = dt = dt t dt l t c t + t = + + = cos ( ) = l cos( ) + + c, c

76 Το ορισμένο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρωμα ή ολοκλήρωμα του Riem είναι μία έννοια οριζόμενη με τη βοήθεια του ορίου συνάρτησης και έχει πολλές εφαρμογές, όπως, το εμβαδό επίπεδης περιοχής (που δεν περικλείεται από ευθείες γραμμές), τον όγκο στερεού που παράγεται από περιστροφή επίπεδης περιοχής, το εμβαδό επιφάνειας στερεού από περιστροφή, το μήκος καμπύλης, το έργο μίας μεταβλητής δύναμης, το κέντρο μάζας κλπ Ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος συνδέεται άμεσα με τον υπολογισμό του αόριστου ολοκληρώματος μέσω του θεμελιώδους Θεωρήματος του Ολοκληρωτικού Λογισμού, με τη χρήση του οποίου τα ορισμένα ολοκληρώματα υπολογίζονται ευκολότερα σε σύγκριση με τον αρχικό ορισμό τους (βλέπε, Ορισμός 76) Για τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος χρειαζόμαστε την έννοια του αθροίσματος του Riem (βλέπε, Ορισμός 76) και για το σκοπό αυτό θα χρειαστούμε τον επόμενο ορισμό Ορισμός 76 Στο κλειστό διάστημα [, ] επιλέγουμε τυχαία σημεία 0,,,,, τέτοια ώστε = 0 < < < < < = Το σύνολο των - υποδιαστημάτων [ 0, ], [, ],,[, ] λέγεται διαμέριση (prtitio) του διαστήματος [, ] Στο [, ] μπορούμε να έχουμε άπειρες διαμερίσεις Το μήκος του υποδιαστήματος [, i i] συμβολίζεται με i και με = m { i : i }, τη μέγιστη από τα μήκη των υποδιαστημάτων της διαμέρισης Για παράδειγμα, μία διαμέριση του διαστήματος [, 4] αποτελεί το σύνολο των υποδιαστημάτων: [, 5 ], [ 5,0 ], [ 0, ], [, 5 ], [ 5, 4] με = 5 Επίσης, τα σύνολα των υποδιαστημάτων {[, ], [, ], [, ], [, 4] } και {[, 4] } αποτελούν δύο διαφορετικές διαμερίσεις του [, 4], με τη δεύτερη να είναι τετριμμένη Για την πρώτη έχουμε = (γιατί;) και για τη δεύτερη = 4 ( ) = 7 Παρατήρηση 76 Μία διαμέριση του διαστήματος [, ] μπορεί να επιλεγεί τέτοια ώστε τα υποδιαστήματα να είναι ίδιου μήκους και ίσου με η διαμέριση λέγεται κανονική Συγκεκριμένα, αν επιλέξουμε μία διαμέριση - υποδιαστημάτων μήκους = Ορισμός 76 Έστω μία φραγμένη συνάρτηση f: [, ] και μία διαμέριση [ 0, ],[, ],,[, ] του [, ] Επιλέγουμε τυχαία ένα σημείο w i στο [, i i] Το άθροισμα f ( wi) i = f ( w) + f ( w) + + f ( w) (76) i= ονομάζεται άθροισμα Riem (Riem sum) για την f στο διάστημα [, ] Παρατήρηση 764 Επειδή η επιλογή των Riem για την f στο διάστημα [, ] w i μπορεί να γίνει με άπειρους τρόπους, προκύπτει ότι υπάρχουν άπειρα αθροίσματα Μπορεί, για παράδειγμα, να επιλέξει κάποιος ως wi = i ή wi = i, δηλαδή, ένα από τα άκρα του υποδιαστήματος [ ], i i Αν wi i = το άθροισμα Riem γίνεται f ( i ) i = f ( 0)( 0) + f ( )( ) + + f ( )( ) (76) i= Ενώ, αν wi = i το άθροισμα Riem είναι

f ( i) i = f ( )( 0) + f ( )( ) + + f ( )( ) (76) i= Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις (76), (76), το άθροισμα Riem, δηλώνει ένα άθροισμα εμβαδών ορθογωνίων παραλληλογράμμων, όπου η μία διάσταση τους είναι i = i i (πάνω στον άξονα '0) f, αντίστοιχα Ανάλογα, αν επιλεγεί μία διαμέριση ίδιου και η άλλη (δηλαδή το ύψος) είναι f ( ) ή ( ) μήκους i, όπως η κανονική, το άθροισμα Riem γίνεται i f ( i) = f ( ) + f ( ) + + f ( ) i= Επειδή τα ύψη f ( ) ή ( ) i f i των ορθογωνίων παραλληλογράμμων, που σχηματίζονται με βάση, έχουν τα πέρατά τους πάνω στη γραφική παράσταση της f το άθροισμα Riem είναι ένας αριθμός που προσεγγίζει το εμβαδόν της περιοχής, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα '0 και τις κατακόρυφες = και = Όσο πιο «λεπτή» είναι η διαμέριση, τόσο πιο κοντά στην τιμή, που ισούται με το εμβαδόν, βρίσκεται το αποτέλεσμα Φανταστείτε, για παράδειγμα, την κανονική διαμέριση για πολύ μεγάλο Ορισμός 765 Έστω μία φραγμένη συνάρτηση f: [, ] [ 0, ],[, ],,[, ] του [, ] και w [ ] Το όριο, i i i και έστω μία διαμέριση ( ) lim f wi i = L 0 i = υπάρχει και είναι ίσο με τον πραγματικό αριθμό L, αν, για κάθε πραγματικό αριθμό ε > 0 υπάρχει πραγματικός αριθμός δ > 0, τέτοιος ώστε i= ( ) f w L < ε i για όλα τα αθροίσματα Riem της f στο διάστημα [, ] για τα οποία < δ Η τιμή του ορίου (όταν υπάρχει) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα (defiite itegrl) ή ολοκλήρωμα Riem (Riem itegrl) της f από το έως το και συμβολίζεται με f ( ) Δηλαδή, ισχύει f ( ) = lim f w i i (764) 0 i = Όταν το ορισμένο ολοκλήρωμα της f υπάρχει στο διάστημα [, ] η συνάρτηση f ονομάζεται ολοκληρώσιμη κατά Riem στο [, ] ή απλά ολοκληρώσιμη στο [, ] Οι αριθμοί και ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης, ιδιαίτερα ο ονομάζεται κατώτερο όριο (ή άκρο) ολοκλήρωσης και ο ανώτερο όριο (ή άκρο) ολοκλήρωσης Αν < και υπάρχει το f ( ) ορίζουμε f ( ) = f ( ) (765) και για κάθε στο οποίο ορίζεται η f ισχύει: f ( ) = 0 (766) Παρατήρηση 766 Ο Ορισμός 76 είναι ανεξάρτητος από την επιλογή των w i στο [, i i] και θα μπορούσαν να είναι wi = i ή wi = i, (βλέπε, Παρατήρηση 76) Επίσης δεν ενδιαφέρει το πλάτος i των υποδιαστημάτων i ( ) Ο ορισμός οφείλεται στο Γερμανό μαθηματικό του 9 ου αιώνα Georg Friedrich Berhrd Riem 86 866